Cap2 Signals & Systems

7/28/2019 Cap2 Signals & Systems

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CAPITULO 2

Descripcin y Anlisis de Sistemas

2.1 Introduccin y Objetivos2.2 Caractersticas de sistemas2.3 Funcin propias de sistemas LTI2.4 Analogas

2.5 La integral de convolucin2.6 Simulacin con diagramas de bloques de ecuacionesdiferenciales.2.7 Ejercicios

Seales y Sistemas


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Las seales se procesan u operan por medio de sistemas. Cuando una o ms seales deexcitacin se aplican a una o ms entradas del sistema, ste produce una o ms seales derespuesta en sus salidas. La figura 1.1 muestra el diagrama de un sistema de una entrada ysalida.

En un sistema de comunicaciones, el transmisores un dispositivo que produce una seal y

el receptor es un dispositivo que adquiere esa seal. El canal es la trayectoria que unaseal y/o el ruido toman desde un transmisor y/o fuente de ruido hasta un receptor(figura 1.2).

El transmisor, el canal y el receptor son sistemas, que constituyen componentes osubsistemas del sistema completo.

Figura 1.1

Figura 1.2

2.1 Introduccin y Objetivos

Seales y Sistemas


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Otros tipos de sistemas tambin procesan seales que se analizan mediante el anlisis deseales. Los instrumentos que miden un fenmeno fsico (temperatura, presin, velocidad,etc.) convierten ese fenmeno en una seal de voltaje o de corriente.

Los sistemas de control de edificios comerciales y de procesos de una planta industrial, lossistemas electrnicos de los aviones, el control de encendido y bombeo de combustible en losautomviles, etc., son sistemas que procesan seales.

La definicin del trmino sistema incluso comprende campos que uno no imaginara, porejemplo, el mercado accionario, el gobierno, el clima y el cuerpo humano.

Todos ellos responden a excitaciones. Algunos sistemas se analizan sin dificultades de maneradetallada, algunos pueden analizarse de manera aproximada, pero otros son tan complejos odifciles de medir que no es posible conocerlos lo suficiente para entenderlos o controlarlos.

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El trmino sistema es tan amplio y abstracto que es difcil de definir. Un sistema puede ser casi

todo.

Una manera de definirlo es como algo que efecta una funcin. Esto es, opera sobre algo y producealgo mas. Otra definicin sera como algo que responde cuando se estimula o excita. Un sistemapuede ser elctrico, mecnico, biolgico, un sistema de cmputo, uno econmico, uno poltico, etc.

Diagramas de bloques y terminologa de sistemas

Aunque los sistemas pueden ser de muchos tipos tienen algunas caractersticas en comn. Unsistema opera con base en seales en una o ms entradas para producir seales en una o mssalidas. En el anlisis de sistemas es muy til representar a stos mediante diagramas de bloque.

Un sistema muy simple con una entrada y una salida se representara como en la figura.

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En este caso el operador H acta sobre la seal de entradax(t) para producir la seal en la salida

y(t).

El operador H podra efectuar cualquier operacin general imaginable. La terminologa comn en

el anlisis de sistemas es que si se aplican una o ms de las seales de excitacin a una o msentradas, aparecen las seales de respuesta en una o ms salidas.

Esto es, una seal aplicada en una entrada es una seal de excitacin (o slo una excitacin) y unaseal que aparece en la salida es una seal de respuesta ( o slo una respuesta). Otros nombres

equivalentes son seal de entrada para la excitacin y seal de salida para la respuesta.

Objetivos:

1. Introducir la nomenclatura que describe las caractersticas importantes del sistema.2. Formular tcnicas para clasificar sistemas de acuerdo a sus caractersticas.3. Formular mtodos para determinar las respuestas a excitaciones arbitrarias de un tipo desistema muy importante.

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En definitiva un sistema es:

Un modelo matemtico de un proceso fsico que relaciona la seal de entrada (excitacin) conrespecto a la seal de salida (respuesta).

El sistema es considerado como una transformacin (o mapeo) de

yax Hxy

El operador H representa una regla bien definida para la cual la entrada es transformadaen la salida

Resumen de definicin de un sistema (Concepto matemtico)

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Sistemas continuos:

Si tanto la senal de entrada como de salida son continuas en el tiempo, entonces el

sistema es llamado de tiempo continuo.

En general los sistemas pueden ser de dos clases:

Sistema tipo SISO: Es aquel sistema el cual tiene una sola seal de entrada y una sola seal desalida.

Sistema tipo MIMO: Es aquel sistema el cual tiene varias seales de entrada y varias seales desalida. (Considerando que el numero de entradas no necesariamente es igual al numero desalidas)

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Sistemas vistos como la interconexin de operadores

Matemticamente un sistema de tiempo continuo puede ser visto como la

interconexin de operadores que transforman la seal de entrada en unaseal de salida con propiedades diferentes a la seal de entrada.

)()( txHty

Ejemplo:

Considere que un sistema esta representado por la siguienteecuacin:

)()()()()( 222

121 txtxtxtxty

Represente el sistema como una interconexin de operadores paraobtener la seal de salida

)(ty

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Sistemas vistos como la interconexin de operadores, cont

)()()()(:)()()()()( 43212

2

2

121 tytytytytxtxtxtxty

4222

24

3

222

13

222

111

)()(

)()(

)()(

)()(

HH

HH

HH

HH

txty

txty

txty

txty

Podemos considerar que la seal de salida es la suma de varias sub seales con susrespectivos operadores.

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T1

T2

T3

T4

X1(t)

X2(t)

Y4(t)

Y2(t)

Y3(t)

Y1(t)

Y4(t)*Y3(t)

+

+

+x

Y(t)=Y1(t)+Y2(t)+Y4(t)*Y3(t)

Sistemas vistos como la interconexin deoperadores, cont

422224

322213

222

111

)()(

)()(

)()(

)()(

HH

HH

HH

HH

txty

txty

txty

txty

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2.2 Caracteristicas de los sistemas

Estabilidad

Se dice que un sistema es BIBO estable (Bounded-input, Bounded-output), es decirde entrada y salida acotada si y solamente si por cada seal de entrada acotada seproduce una seal de salida acotada.

El operador H es BIBO-estable si la seal de salida satisface la siguientecondicin:

tMty y todopara)(

tMtx x todopara)(

La salida de tal sistema no diverge si la seal de entrada no diverge.

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Ejemplo de Estabilidad

t

diC

)(1

v(t)

Considere el circuito elctrico y determine si esestable.

signalInput:i(t)

signalOutput:)(tv

0),()( 11 KtuKtv

t

dtC1

H

)()(

0)()(1

)( 111

0

11 tr

C

K

C

ttuKt

C

tKdttu

C

KdttuK

Ctv

tt

El sistema no es BIBO porque la seal rampa crece considerablemente con el

tiempo, es decir tiende al infinito y no cumple a pesar de que la seal de

entrada no crece indefinidamente: tMty y todopara)(

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Memoria

Se dice que un sistema posee memoria si su seal de salida depende de valorespasado o futuros de la seal de entrada. En contraste un sistema no posee memoria si

su seal de salida depende solamente de valores presentes de la seal de entrada.

Ejemplo de Memoria:

))2()1()((3

1)( txtxtxty

Ejemplo de no memoria:

2)()( txty

En este ejemplo se describe la salida de un sistema que posee memoria, porque elvalor de la seal de salida en tiempo t depende de valores presentes y dos valoresen el pasado de la seal de entrada.

En contraste un sistema descrito por la relacin salida entrada mostrada en laecuacin es desmemoriado o sin memoria, debido a que el valor de la seal desalida depende solamente de valores presentes de la seal de entrada.

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Causalidad:

Se dice que un sistema es causal si el valor presente de la seal de salida dependesolamente de los valores presentes o pasados de la seal de entrada. En contraste, la

seal de salida de un sistema no causal depende de uno o mas valores futuros de laseal de entrada.

Ejemplo de Causalidad:

))2()1()((3

1)( txtxtxty

Ejemplo de no causalidad:

))2()1()1((3

1)( txtxtxty

En este ejemplo se describe la salida de un sistema causal, porque el valor de la

seal de salida en tiempo t depende de valores presentes y dos valores en elpasado de la seal de entrada.

En este ejemplo se describe la salida de un sistema no causal, porque el valor de laseal de salida en tiempo t depende de un valor en el futuro y dos valores en elpasado de la seal de entrada.

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Invertibilidad:

Se dice que un sistema es invertible si la entrada del sistema puede ser recuperada de la salida.Se puede visualizar el conjunto de operadores necesarios para recuperar la entrada como un

segundo sistema conectado en cascada con respecto al sistema dado, de tal manera que la salidadel segundo sistemas sea igual a la seal de entrada del sistema dado.

signalOutput:)(

signalInput:)(

continuosistemaunRepresenta:Operador

ty

tx

T

)()()(

)()(

txtxty

txty

invinvinv TTTTT

T

TTinv

Operador inversor

Para que el sistema

sea invertible esnecesario que estarelacin se cumpla.

Tinv el sistema asociado a este operador esllamado el sistemas inversor.

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Ejemplo de Invertibilidad:

ISStxtyS

txSStyS

txSStyS

S

txSttxty

ooo

ooo

ooo

o

o

ttt

ttt

ttt

t

t

o

:)()(

)()(

)()(

)()()(

Se debe cumplir la condicin

establecida en la diapositiva

para considerar que el

sistema es invertible

Indica desplazamiento en el tiempo

Considere un sistema que presenta un desplazamiento en el tiempo y seencuentra descrito por la relacin entrada-salida tal y cual como semuestra:

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Invariancia en el tiempo:

Se dice que un sistema es invariable en el tiempo si un desplazamiento en la seal de

entrada causa el mismo desplazamiento en la seal de salida.

:),()( tytxT

Ejemplo:

Se tiene un sistema cuya seal de salida esta representada por la siguiente ecuacin:

)(

)()(

tR

txty

Determinar si el sistema es invariableen el tiempo

signalsSystem':R(t)

signalInput:x(t)signalOutput:)(ty

Cualquier valor real

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)(

)()(

tR

txty

0),()(

)(

)()(

)(

)()(y

1

1

oo

o

oo

o

tttyty

ttR

ttxtty

tR

ttxt Desplazando la seal de entrada

Desplazando la seal de salida

Sistema variable en el tiempo

signalsSystem':R(t)

signalInput:x(t)

signalOutput:)(ty

Hacemos una comparacin entre los dos desplazamientos realizados anteriormente y

comparamos si son iguales, de serlo el sistema es invariable o invariante en el tiempo.

Hacemos un desplazamiento en la seal de entrada y luego otro en la salida del sistema

por separado y se comparan las respuestas:

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Linealidad

Superposicin:

)()()()(

)()(

)()(

2121

22

11

tytytxtx

tytx

tytx

Homogeneidad:

)()(

)()(

tytx

tytx

Un sistema continuo en el tiempo es lineal cuando cumple las siguientes dos propiedades, encaso de no cumplirse con alguna de ellas, el sistema inmediatamente deja de ser lineal.

La suma de las entradas a unsistema da una respuesta que esigual a la sumatoria individual delas salidas por separado del

sistema

Cualquier cambio en amplitud de laseal de entrada del sistema debedar como resultado una seal desalida exactamente igual como si seaplicara el concepto de escalamientode amplitud a esta respuesta.

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Ejemplo:

)()(cos)(cos)(cos)]()([)()(

cos)()()(

cos)()()(

cos)()(

21212121

222

111

tytyttxttxttxtxtxtx

ttxtytx

ttxtytx

ttxty

ccc

c

c

c

)(cos)()()(

cos)()()(

cos)()(

1121

111

tyttxtytx

ttxtytx

ttxty

c

c

c

Considere un sistema cuya relacin entrada-salida se encuentra descrita por la ecuacin dada,determine si el sistema es lineal.

Analizando la propiedad de superposicin

Analizando la propiedad de homogeneidad

En conclusin el sistemael Lineal ya que cumple

ambas propiedades.

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2.3 Funcin propias de sistemas LTI

Como ejemplo de un sistema de segundo orden considere el circuito RLC de la figura.

Suponga que el circuito est inicialmente en su estado cero (no hay energa almacenada enel inductor o capacitor) y que la seal del voltaje de entrada es ven(t) =Au(t). En ese caso lasuma de voltajes alrededor del lazo cerrado produce

)()()(')('' tAutVtRCVtLCV salsalsal

y la solucin para la seal del voltaje de salida es

tLCLRLReKtLCLRLReKVsal )/1(2/2/)/1(2/2/2

2

2

1

y K1 forma K2 son constantes arbitrarias.

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tLCLRLReKtLCLRLReKVsal )/1(2/2/)/1(2/2/2

2

2

1

Esta solucin es bastante ms complicada que la que podra corresponder por ejemplo a unfiltro pasa bajas RC.

Ahora hay dos trminos exponenciales y cada uno de ellos tiene un exponente mscomplicado. Observe tambin que el exponente incluye una raz cuadrada de una cantidadque podra ser negativa. Por lo tanto, el exponente podra ser complejo.

Por esta razn, la funcin propia et recibe el nombre de exponencial compleja. Lassoluciones para las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes sonsiempre combinaciones lineales de exponenciales complejas.

Una combinacin linealde nmeros, variables o funciones es sencillamente una

suma de nmeros, variables o funciones, y un conjunto de coeficientesconstantes.Por ejemplo, una combinacin lineal de N exponenciales complejas sera:

t

N

tt NeKeKeK ...........21 21Donde las K son constantes

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Las exponenciales complejas son muy importantes en el anlisis de seales y sistemas y sernun tema recurrente en esta materia. En el circuito RLC, si los exponentes son reales, larespuesta es la suma de dos exponenciales reales. El caso ms interesante es el de exponentes

complejos. Los exponentes son complejos si

01

2

2

LCL

R

En este caso la solucin puede escribirse en trminos de dos parmetros estndar de lossistemas de segundo orden, la frecuencia resonante sub amortiguada 0 en radianes y latasa de amortiguamiento , como

teKteKVsal2

0

2

2

2

0

2

1

Donde:

L

R

LC 2y

120

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Cuando se satisface la condicin

01

2

2

LCL

R

se dice que el sistema est sub amortiguado y la respuesta escribirse como

uno de los exponentes es el conjugado complejo del otro. [Deben serlo para que Vsal(t) sea una

funcin de valores reales.]

Al aplicar las condiciones iniciales, la seal del voltaje de salida es

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Esta ecuacin, parece ser una respuesta compleja para un sistema real con excitacin real. Noobstante, aun cuando los coeficientes y exponentes son complejos, la solucin completa es realdebido a que la seal del voltaje de salida puede reducirse a

Esta solucin est en la forma de una senoide amortiguada, una senoide multiplicada por unaexponencial descendente. La frecuencia resonante sub amortiguada f

o=

o/2 es la frecuencia a la

cual el voltaje de la respuesta oscilara si el factor de amortiguamiento fuera cero. La tasa a la cual seamortigua la senoide se determina mediante el factor de amortiguamiento . Cualquier sistemadescrito por una ecuacin diferencial de segundo orden podra analizarse mediante unprocedimiento anlogo.

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2.4 Analogas

Se tiene un sistema mecnico y uno elctrico tal y cual como se muestran en las figuras.

)()()()(

)()()()(

'"

'''

tvtvtRCvtLCv

txtyKtyKtmy

ensalsalsal

sv

Ecuaciones de los dossistemas

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El sistema mecnico y el elctrico son anlogos. Las ecuaciones que los describen son de lamisma, y si se puede resolver una, es posible resolver la otra. El anlisis de sistemas incluye aambos los dos son sistemas LIT.

Reescribiendo la ultima ecuacin, se tiene:

)(1

)(1

)()( '" tvC

tvC

tRvtLv ensalsalsal

Si comparamos la circuito elctrico con la del circuito mecnico, se observa la relacinexistente entre los elementos de uno y otro.

Lm salvy RKv C

Ks1

)(1

)( tvC

tx en

)()()()( ''' txtyKtyKtmy sv

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2.5 La integral de convolucin

La salida de un sistema de tiempo continuo tipo LTI puede ser determinado mediante el

conocimiento de la entrada y la respuesta al impulso del sistema

dtxtx )()()(

dtHxty

dtxHty

txHty

)()()(

)()()(

)()(

Aplicando sobre el sistema

Linealidad

Representacin grafica de laconvolucin.

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)()( tHth

Definimos la respuesta al impulso como la salida del sistema en respuesta a un impulso unitario

)()( tHth

Si el sistema en invariante en el tiempo ,

entonces:

El desplazamiento en el tiempo implica que un desplazamiento en tiempo de la entrada genera undesplazamiento en la respuesta, tal y cual como se muestra en la figura, por tanto sustituyendo esteresultado en la ecuacin:

dthxty

dtHxty

)()()(

)()()(

dthxthtx

)()()(*)(

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Procedimiento para evaluar la integral de convolucion

1. Grafique x() y h(t - ) como una funcin de la variable independiente . Para obtener h(t - ),reflecte h() alrededor de = 0 para obtener h(- ) y entonces desplace h(- ) por -t.

2. Comience con el desplazamiento t grande y negativo, es decir, desplace h(- ) lo mas lejanoposible hacia la izquierda del eje en tiempo.

3. Escriba la representacin matemtica de t ()

4. Incremente el desplazamiento t moviendo h(t ) hacia la derecha hasta que la representacinmatemtica de t() cambie. El valor t en el cual el cambio ocurre define el final del set actual dedesplazamientos y el comienzo del nuevo set.

5. Sea t en el nuevo set. Repita los pasos 3 y 4 hasta que todos los sets de desplazamiento t y lacorrespondiente representacin de t() sean identificados. Esto usualmente implica incrementar t

a un valor grande y positivo.

6. Para cada set de desplazamientos t, integre t() desde = - hasta = para obtener y(t)

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Evale la integral de convolucin para un sistema con entrada x(t) y respuesta al impulso h(t)dado por las siguientes ecuaciones:

)2()()(

)3()1()(

tututh

tututx

Las ecuaciones matemticas que describen las graficas estn dadaspor:

Ejemplo de Aplicacin:

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dthxty )()()(

Evaluacin grafica de la integral de convolucin

(a) Desplazamiento de h()(b) La funcin t ()(c) Producto de las seales.(d) Resultado final

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5,0

53,5

31,1

1,0

)(

t

tt

tt

t

ty

Respuesta del problema

Evale la integral de convolucin para un sistema con entrada x(t) y respuesta al impulsoh(t) dado por las siguientes ecuaciones:

)()(

)2()()(

tueth

tututx

t

Ejercicio 2:

Solucin:

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Interconexin de Sistemas LTISistemas en Cascada

Sistemas en Paralelo

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Resumen de las propiedades de la convolucin con respecto a la interconexin de sistemasmediante diagramas de bloques.

1. Propiedad distributiva2. Propiedad Asociativa3. Propiedad conmutativa

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Relaciones entre las propiedades de los sistemas LTI y la respuesta al impulso

Sistemas LTI sin memoria

La salida de un sistema continuo en el tiempo:

dtxhty

)()()(

Un sistema continuo en el tiempo LTI no posee memoria si y solamente si:

)()( ch

Para una constante arbitraria c

Respuesta al impulso

La respuesta al impulso caracteriza completamente la relacin entrada salida de un sistema LTI,por tanto, las propiedades de los sistemas, tales como memoria, causalidad y estabilidad estn

relacionadas a la respuesta al impulso del sistema.

La condicin de sin memoria establece muchas restricciones en la forma de la respuesta alimpulso: Todo sistema LTI simplemente realiza la multiplicacin escalar de la entrada.

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Sistemas LTI causales

La condicin de causalidad para un sistema continuo cuya salida es:

dtxhty

)()()(

Establece que se debe cumplir la siguiente condicin:00)( forh

dtxhty

0

)()()(

Un sistema continuo tipo LTI es estable tipo BIBO (Bounded Input - -Bounded output) es establesi y solo si la respuesta al impulso es absolutamente integrable, es decir so y solo si:

dh )(

Ejercicio: Para la siguiente respuesta al impulso, determine si el correspondiente

sistema es: 1. Sin memoria 2. Causal y 3. Estable. Resp: No, No, Si

)1()1()( tututh

Sistemas LTI estables.

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Un sistema es invertible si la entrada al sistema puede ser recuperada de la salida excepto paraun factor de escala constante.

)())(*)((*)( txththtxinv

)()(*)( tththinv

Sistemas LTI Invertibles

La relacin entre la respuesta al impulso de un sistema LTI, h(t) y el; correspondiente sistemainverso, hinv(t), es fcilmente derivada. La respuesta al impulso del sistema en cascada de lafigura es la convolucin de h(t) y hinv(t). Requerimos la salida del sistema igual a la entrada, o

Los requerimientos implican que:

Resumen de las Propiedades parasistemas LTI.

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Respuesta al escalon

La seal de escaln es a menudo utilizada para caracterizar la respuesta de un sistema LTIdebido a cambios sbitos en la seal de entrada. La respuesta al impulso es definida com la

salida del sistema debido a una entrada escaln unitario.

t

dhts )()(

)()( ts

dt

dth

Inversas

Sea s(t) la respuesta alimpulso definido como:

La inversa de la respuesta alimpulso se obtiene como:

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Ejemplo:

Considere un circuito RC en serie cuya respuesta al impulso es:

)(

1

)( tueRCthRC

t

Determine la respuesta al

escaln

RC

tt

RC

t

RC

t

RC

edueRC

ts

deRCdueRCts

1)(1

)(

1

)(

1

)(

0

0

Grafica de la Resp. Al escaln.

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Relacin entre integrales y derivadas deexcitaciones y respuestas para unsistema LTI

Seales y Sistemas


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2.6 Simulacin con diagramas de bloques de ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales son utilizadas para representar sistemas continuos enel tiempo.

Ecuacin general

Aplicacin a un circuito elctrico RLC en serie.

Tomando la derivada a ambos lados de la ecuacin:

Circuito RLC en serie

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Representacin de sistemas mediante diagramas de bloque

El objetivo es representar de una manera mas fcil deimplementar, la ecuacin diferencial, reescribiendoesta.

Escribiendo para una condicin inicial:

Integral sobre todos losvalores de pasado en eltiempo.

Asumiendo condiciones inciales iguales a cero:

Por tanto, si NM y adems integramos la ecuacin original N veces, se obtiene la ecuacin quedescribe el sistema de esta forma:

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Forma directa I Diagrama de Bloque de un Sistema LTI descrito por una ecuacin integral de segundoorden

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La representacin anterior se conoce como la forma directa I, sin embargo tiene su equivalenteconocido como la forma directa II.

Representacin de sistemas mediante diagramas de bloque Diagramas equivalentes

Seales y Sistemas


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Recordando:

dttxtx

dttxtx

dttyty

dttyty

)()(

)()(

)()(

)()(

)2(

)1(

)2(

)1(

De las definiciones anteriores

Derivando la ecuacin:

dttxbtxbdttdx

bdttyatyadt

tdy)()(

)()()(

)(01201

)()()(

)()()(

012

2

2012

2

txbdt

tdxb

dt

txdbtya

dt

tdya

dt

tyd

Representacin de sistemas mediante diagramas de bloque Las Ecuaciones

dttxbdttxbtxbdttyadttyaty )()()()()()( 01201

Seales y Sistemas


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Resolucin de las ecuaciones diferenciales:

1. Encuentre la solucin homognea de la ecuacin.

2. Encuentre la solucin particular de la ecuacin.

3. La solucin total del sistema es igual a la suma de la solucin homognea y particular

)()( hpyyy

Solucin total:

La forma homognea de una ecuacin diferencial es obtenida estableciendo todos los trminosinvolucrando la entrada igual a cero.

Ecuacin caracterstica permite determinar los ir

Solucin Homognea:

Seales y Sistemas


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La forma homognea de una ecuacin diferencial es obtenida estableciendo todos los

trminos involucrando la entrada igual a cero.

Ejemplo:

)()()( txtydt

dRCty

0)()( tydt

dRCty Ecuacin homognea.

trhecty 11

)()(

Solucin Homognea:

RCr

RCrr

1

01

1

11

tRCh ecty

1

1

)()(

Seales y Sistemas


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La forma particular de una ecuacin diferencial es obtenida para una entrada en particular.

Ejemplo:

)cos()()()()( ttxtxtydtdRCty o

De la ecuacin se plantea el siguientesistemas de ecuaciones:

)sin()cos()( 21)(

tctcty oop

)cos()cos()sin()sin()cos( 2121 ttcRCtcRCtctc ooooooo

0

1

21

21

ccRC

cRCc

o

o

21

22

1

1

1

o

o

o

RC

c

RC

RCc

( ) 2 2

1( ) cos( ) sin( )

1 1

o

p o o

o o

RCy t t t

RC RC

Solucin:

Seales y Sistemas


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BIBLIOGRAFA

*1+ Roberts M.J. Seales y Sistemas, McGraw-Hill Interamericana, Primera Edicin, 2005.

[2] Haykin S, Van Veen B. Signal and Systems, Jhon Wiley and Sons, Inc. Second Edition,2003

[3] Oppenheim A., Willsky A., Seales y Sistemas, Pearson, Segunda Edicin, 1998,

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