Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. · Tipos especiales: (PIZARRA) ... Clasi caci on de Sistemas Lineales ... de software matem atico. En ambos casos, PIZARRA Matrices,

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

12 de octubre de 2014


Matrices

Una matriz Am×n es una coleccion de numeros ordenados en filas ycolumnas

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

→ f1→ f2...→ fm

↓ ↓ ↓c1 c2 · · · cn

Decimos que la dimension de A es m × n. Si m = n, decimos que A escuadrada; si m 6= n decimos que es rectangular.


Matrices

Diagonal principal. Si A es una matriz cuadrada de dimension n, loselementos aii , i = 1, . . . , n forman la diagonal principal de la matriz; lasuma de estos elementos es la traza de la matriz.

Traspuesta de una matriz: es la matriz que se obtiene cuandointercambiamos las filas y las columnas (PIZARRA)


Matrices

Tipos especiales: (PIZARRA)

Matriz identidad.

Matriz diagonal.

Matrices triangulares (superior, inferior).

Matriz nula.

Matriz fila, matriz columna.

Matriz simetrica, hemisimetrica (antisimetrica).


Matrices

Operaciones: (PIZARRA)

1. Suma. Propiedades:

Conmutativa.Asociativa.Elemento neutro: matriz nula.Elemento inverso: opuesta de una matriz.

2. Multiplicacion por un numero. Propiedades:

λ · (A + B) = λ · A + β · B(λ + µ) · A = λ · A + µ · Aλ · (µ · A) = (λ · µ) · A1 · A = A.


Matrices

Operaciones: (PIZARRA)

3. Multiplicacion de dos matrices. Propiedades:

En general no es conmutativa.Asociativa.Elemento neutro para matrices cuadradas: matriz identidad.Elemento inverso para algunas matrices cuadradas: matriz inversa.(A · B)T = BT · AT .


Matrices

Inversa de una matriz: dada una matriz cuadrada A, A−1 (su inversa)es la matriz, si existe, que cumple

A · A−1 = A−1 · A = I

A−1 no siempre existe. Se puede caracterizar cuando existeutilizando determinantes, o la nocion de rango.

(A−1)T = (AT )−1.

(A · B)−1 = B−1 · A−1

Dos opciones para calcularla: determinantes o el metodo deGauss-Jordan (lo veremos mas adelante).


Determinantes

Dada una matriz cuadrada A, el determinante de A, querepresentamos por |A|, es un numero que asociamos con A.

Decimos que |A| tiene orden n, si la dimension de A es n × n.


Determinantes

|A| se define primero para orden 2 (PIZARRA). Los determinantesde orden 3 se calculan desarrollando por una fila o columna,reduciendo por tanto el calculo a orden 2. Por ejemplo, si A es 3× 3,desarrollando por la primera fila (aunque se puede elegir cualquierotra fila, o cualquier columna), tenemos∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13

donde Aij representa el adjunto del elemento aij (es decir, el menorcomplementario multiplicado por (−1)i+j). En el caso de matricesfor 3× 3, la Regla de Sarrus puede ser, tambien, util. (PIZARRA).

Igualmente, los determinantes de orden 4 se calculan desarrollandopor una fila o columna, etc.


Determinantes

Propiedades basicas:

1. |A| = |At |2. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces|A · B| = |A| · |B|.

3. Si todos los elementos de una fila (o columna) tienen un factorcomun, dicho factor se puede extraer fuera del determinante.

4. Si intercambiamos dos filas (o dos columnas), el determinantecambia de signo.


Determinantes

Propiedades basicas:

5. Si A tiene una fila o una columna de 0’s, entonces |A| = 0.

6. Si A tiene dos filas (o dos columnas) iguales o proporcionales,entonces |A| = 0. Si hay una fila o columna que es combinacionlineal de otras, el determinante tambien es cero.

7. El valor del determinante no cambia si anadimos a una fila (ocolumna) una combinacion lineal de otras filas (o columnas). Estapropiedad es esencial para calcular el valor de un determinantede manera eficiente.

Calculo practico de determinantes: PIZARRA


Determinantes

Calculo de la inversa de una matriz cuadrada A.

La inversa A−1 existe si y solo si |A| 6= 0.

A−1 =1

|A|· AdjT (A), donde Adj(A) es la matriz adjunta, es decir,

la matiz cuyo elemento i , j es el adjunto del elemento aij .

Alternativa: metodo de Gauss. (PIZARRA)


Rango de una Matriz

Decimos que una fila r (analogamente, una columna) es unacombinacion lineal de las filas ri1 , . . . , ris si existen numerosα1, . . . , αs tales que

r = α1 · ri1 + · · ·+ αs · ris .

Los α1, . . . , αs se llaman coeficientes de la combinacion lineal.

Decimos que ciertas filas (analogamente, columnas) sonlinealmente independientes, si ninguna se puede obtener comocombinacion lineal del resto. En caso contrario, decimos que sonlinealmente dependientes.

Pregunta: Como podemos reconocer facilmente si dos filas (o doscolumnas) son linealmente dependientes?


Rango de una Matriz

Definicion

El rango de una matriz A, rg(A), es el numero de filas (o de columnas)linealmente independientes de la matriz.

Definicion (equivalente) de rango, en terminos de determinantes.Se dice que un menor, en una matriz A, es cualquier determinante quepodamos obtener a partir de la matriz original, eliminando filas y/ocolumnas. Se puede ver entonces que rg(A) es el maximo orden de losmenores no nulos de A. (PIZARRA)


Rango de una Matriz

Observaciones/propiedades:

Decimos que una matriz A de orden n tiene rango completo (o quees regular), si rg(A) = n. Esto sucede si y solo si |A| 6= 0 (es decir,si y solo si A es invertible). Si A es cuadrada y no tiene rangocompleto, se dice que es singular; una matriz singular no tieneinversa.

El rango por filas coincide con el rango por columnas.

rg(A) = rg(AT ).

Si la dimension de A es m × n, entonces rg(A) ≤ min(m, n).

Al calcular el rango, estamos encontrando filas (o columnas)independientes!


Rango de una Matriz

Algunas reglas para calcular rg(A):

Una matriz tiene rango 0 si y solo si todos sus elementos son 0.

una fila/columna de 0s no cuenta para el calculo de rangos.Igualmente, una fila/columna que es multiplo de otra fila/columna,o es combinacion lineal de otras filas/columnas, no cuenta tampoco.

El rango no cambia si realizamos operaciones elementales por filasen la matriz A (intercambiar dos filas, multiplicar una fila por unnumero, sumar a una fila una combinacion lineal de otras filas);analogamente por columnas.

El calculo practico de rangos se puede realizar utilizandodeterminantes, o el metodo de Gauss. (PIZARRA)


Sistemas lineales: definiciones

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones deltipo

a11 · x1 + a12 · x2 + · · · a1n · xn = b1a21 · x1 + a22 · x2 + · · · a2n · xn = b2

......

...am1 · x1 + am2 · x2 + · · · amn · xn = bm

xi ’s: incognitasaij ’s: coeficientesbj ’s: terminos independientes


Sistemas lineales: definiciones

El sistema se puede escribir en forma matricial como:a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

·

x1x2...xn

=

b1b2...bm

En forma abreviada,

A · x = b

A: Matriz de coeficientes.x : vector de incognitas.b: vector de terminos independientes.


Clasificacion de Sistemas Lineales

Clasificacion de Sistemas Lineales: Un sistema lineal puede ser:

1 Compatible, si tiene solucion. En este caso, puede ser:

Determinado, si tiene solucion unica.Indeterminado, si tiene infinitas soluciones.

2 Incompatible, si no tiene solucion.



Matriz ampliada:

B =

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2

......

. . ....

...am1 am2 · · · amn bm



Teorema (Teorema de Rouche-Frobenius)

Sea A · x = b un sistema lineal de m ecuaciones con n incognitas, y seaB la matriz ampliada del sistema. El sistema es compatible si y solo sirg(A) = rg(B); en este caso, el sistema es determinado sirg(A) = rg(B) = n, y es indeterminado si rg(A) = rg(B) < n.

Si rg(A) = rg(B) = n, la diferencia n− rg(A) es el numero de parametrosde los que depende la solucion.


Resolucion de sistemas lineales

Dos posibilidades:

1 Metodo de Cramer: utiliza determinantes y debe aplicarse sobre unsistema de Cramer (es decir, un sistema donde la matriz decoeficientes tenga rango completo).

2 Metodo de Gauss, y de Gauss-Jordan: no requiere calculardeterminantes, sino realizar unicamente operaciones sobrefilas/columnas. Es el metodo que esta implementado en los paquetesde software matematico.

En ambos casos, PIZARRA


Sistemas Lineales Homogeneos

Sistemas lineales donde los terminos independientes son todos nulos:a11 · x1 + a12 · x2 + · · · a1n · xn = 0a21 · x1 + a22 · x2 + · · · a2n · xn = 0

......

...am1 · x1 + am2 · x2 + · · · amn · xn = 0

Siempre son compatibles (por que?)

La pregunta interesante es si tienen o no otras soluciones, ademas dela solucion trivial (en cuyo caso tienen infinitas!)

Esto sucede si y solo si rg(A) < n.

Si A es cuadrada, esto es equivalente a |A| = 0.


Documents

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. · Tipos especiales: (PIZARRA) ... Clasi caci on de Sistemas Lineales ... de software matem atico. En ambos casos, PIZARRA Matrices,