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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
METODOS DE GAUSSDESCOMPOSICIÓN LU Y SU INVERSA
FREDY ANDRES REYES SANCHEZ
DOCENTE: PhD EDUARDO CARRILLO
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS Trabajos métodos numéricos
Primer Semestre Académico 2010
DE GAUSS-JORDAN CON Y SIN PIVOTEO, DESCOMPOSICIÓN LU Y SU INVERSA
FREDY ANDRES REYES SANCHEZ
DOCENTE: PhD EDUARDO CARRILLO
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA INGENIERIA DE PETROLEOS
MÉTODOS NUMÉRICOS
BUCARAMANGA
2010
JORDAN CON Y SIN PIVOTEO, DESCOMPOSICIÓN LU Y SU INVERSA
DOCENTE: PhD EDUARDO CARRILLO
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
INGENIERIA DE PETROLEOS
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
1. Resuelva:
�� ��� �����ó� � 16�3
�1 1 �10 �4 80 7 �2 �20� �100
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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS Trabajos métodos numéricos
Primer Semestre Académico 2010
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6�� 2�! � 2�� � 2
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36 2 20 5 20 0 �8 5/ 22�18 5/ 6
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224 3/ 22�10 3/ 6
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS Trabajos métodos numéricos
Primer Semestre Académico 2010
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! � 2 � 2.9 4/ 05 � 2 � 9 2/5 � �5 2/5 � � 12
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<�?� �!>? @AAAB
224 3/ 22�10 3/ 6
3/5/ 1 3/2 5/9 4/ @A
AB
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
→ �! � (25) �� → 9::;100
2. Use la regla de la multiplicación matricial para demostrar que las ecuaciones
se derivan de la ecuación
Solución:
3. Use la eliminación de Gauss simple y descomponga los siguientes sistemas
Después, multiplique las matrices resultantes [L] y [U] para determinar que [A] se genera.
Solución:
CD
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Primer Semestre Académico 2010
9::; 1 3/ 1 3/1 00 1 1 3/�1 2/9 4/ @AA
B → �� � (13) �! → 9::;1 00 10 0
→ �� � (13) �� → 9::;1 0 00 1 00 0 1 �1 4/�1 2/9 4/ @AA
B �� � �14 ; �! � �12 ; �� � 94
Use la regla de la multiplicación matricial para demostrar que las ecuaciones
CE FCGF � CDF H CEFIJK � ILK
se derivan de la ecuación CEFMCGFINK � IJKO � CDFINK � ILK
CEFCGFINK � CEFIJK � CDFINK � ILK CEFCGFINK � CDFINK → CEFCGF � CDF �CEFIJK � �ILK → CEFIJK � ILK
Use la eliminación de Gauss simple y descomponga los siguientes sistemas
7�� 2�! � 3�� � �12
2�� 5�! � 3�� � �20
�� � �! � 6�� � �26
Después, multiplique las matrices resultantes [L] y [U] para determinar que [A] se genera.
CDFINK � ILK � 0
CDF � �7 2 �32 5 �31 �1 �6� → �! � (27) ��; �� � (17) ��
1 3/01 1 2/�1 2/9 4/ @AAB
Use la regla de la multiplicación matricial para demostrar que las ecuaciones
FUse la eliminación de Gauss simple y descomponga los siguientes sistemas
Después, multiplique las matrices resultantes [L] y [U] para determinar que [A] se genera.
( ) →
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CEFCCDF
4. Use la descomposición LU para resolver el sistema de ecuaciones del problema 3.
Muestre todos los pasos del cálculo. También resuelva el sistema para un vector alterno
del lado derecho.
Solución:
Sustitución hacia adelante:
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�7 2 �30 4.429 �2.1430 �1.286 �5.571� → �� (1.2864.429) �! →
�7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� � CGF
Q!� � 27 � 0.2857
Q�� � 17 � 0.1429
Q�! � �1.2864.429 � �0.290
CEF � � 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1�
C FCGF � � 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� �7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193C F � CEFCGF � � 7 2 �31.999 5.000 �3.0001.003 �0.9986 �6.000�
Use la descomposición LU para resolver el sistema de ecuaciones del problema 3.
Muestre todos los pasos del cálculo. También resuelva el sistema para un vector alterno
ILKR � S12 18 �6T CEFIJK � ILK
� 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� U7�7!7�V � U�12�20�26V
3143193�
�
Use la descomposición LU para resolver el sistema de ecuaciones del problema 3.
Muestre todos los pasos del cálculo. También resuelva el sistema para un vector alterno
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7� � �12
7! � �20 � 0.2857W�12� �7� � �26 � 0.1429W�12�
Con la sustitución hacia atrás:
��� �
Ahora para el vector alterno:
Solución:
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7� � �12
0.28577� 7! � �20
0.14297� � 0.297! 7� � �26
� � �16.57
� 0.29W�16.57� � �29.09
IJK � U �12�16.57�29.09V
CGFINK � IJK
�7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� U���!��V � U �12�16.57�29.09V
Con la sustitución hacia atrás:
�� � �29.09�6.193 � 4.697
�! � �16.57 2.143W4.697�4.429 � �1.469
� �12 � 2W�1.469� 3W4.697�7 � 0.7184
INK � U0.7184�1.4894.697 V
Ahora para el vector alterno: ILKR � S12 18 �6T CEFIJK � ILK
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Con la sustitución hacia adelante:
7� � 12
7! � 18 � 0.2857W12� � 147� � �6 � 0.1429W12� 0.29
Con la sustitución hacia atrás:
�
5. Determine la matriz inversa para el problema 3. Revise sus resultados verificando queCDFCDF<� � CXF
Solución:
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� 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� U7�7!7�V � U1218�6V
Con la sustitución hacia adelante:
7� � 12
0.28577� 7! � 18
0.14297� � 0.297! 7� � �6
14.57
29W14.57� � �3.49
IJK � U 1214.57�3.49V
CGFINK � IJK
�7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� U���!��V � U 1214.57�3.49V
Con la sustitución hacia atrás:
�� � �3.49�6.193 � 0.564
�! � 14.57 2.143W0.564�4.429 � 3.563
�� � 12 � 2W3.563� 3W0.564�7 � 0.938
INK � U0.9383.5630.564V
Determine la matriz inversa para el problema 3. Revise sus resultados verificando queDetermine la matriz inversa para el problema 3. Revise sus resultados verificando que
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Con la sustitución hacia adelante:
Con la sustitución hacia atrás tenemos:
Que es el resultado de la primera columna.
Ahora para la segunda columna:
Con la sustitución hacia adelante:
Con la sustitución hacia atrás tenemos:
Ahora para la tercera columna:
Con la sustitución hacia adelante:
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� 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� U7�7!7�V � U100V
Con la sustitución hacia adelante:
IJKR � S1 �0.286 �0.226T �7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� U���!��V � U 1�0.286�0.226V
Con la sustitución hacia atrás tenemos:
INKR � S0.172 �0.047 0.036T primera columna.
Ahora para la segunda columna:
� 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� U7�7!7�V � U010V
Con la sustitución hacia adelante:
IJKR � S0 1 0.29T
�7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� U���!��V � U 010.29V
Con la sustitución hacia atrás tenemos:
INKR � S�0.078 0.203 �0.047T tercera columna:
� 1 0 00.2857 1 00.1429 �0.290 1� U7�7!7�V � U001V
Con la sustitución hacia adelante:
IJKR � S0 0 1T
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Con la sustitución hacia atrás tenemos:
Entonces la matriz inversa es:
Verificando que CDFCDF<� � C�7 2 �32 5 �31 �1 �6� � 0�0
6. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando la descomposición LU con pivoteo
parcial:
� 14 �12 �→ �! � ( 412) ��; �
→ �
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�7 2 �30 4.429 �2.1430 0 �6.193� U���!��V � U001V
Con la sustitución hacia atrás tenemos:
INKR � S�0.047 �0.078 �0.161T
Entonces la matriz inversa es:
CDF<� � � 0.172 �0.078 �0.047�0.047 0.203 �0.0780.036 �0.047 �0.161�
CXF � 0.172 �0.078 �0.047�0.047 0.203 �0. .780.036 �0.047 �0.161� � �1.002 0.0010.001 10.003 0.001
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando la descomposición LU con pivoteo
�� 7�! � 4�� � �51 4�� � 4�! 9�� � 62 12�� � �! 3�� � 8
7 �4�4 9�1 3 � → ��� �� &1�2�� → �12 �1 34 �4 91 7 �4�
) �� � ��12 → �12 �1 30 �3.667 80 7.083 �4.25� → J� �#�1�
�12 �1 30 7.083 �4.250 �3.667 8 � → �� (3.6677.083) �!
CGF � �12 �1 30 7.083 �4.250 0 5.8 �
�0.002�0.0010.997 �
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando la descomposición LU con pivoteo
�
�#�1� �� &1�2�
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Con la sustitución hacia adelante:
7� � 8
7! � �51 � 0.08333W8� � �7� � 62 0.5177W�51.667�
�Con la sustitución hacia atrás:
�
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Q�� � 412 � 0.3333
Q!� � 112 � 0.08333
Q�! � �3.6677.083 � �0.5177
CEF � � 1 0 00.08333 1 00.3333 �0.5177 1�
� 1 0 00.08333 1 00.3333 �0.5177 1� U7�7!7�V � U 8�5162 V
Con la sustitución hacia adelante:
7� � 8
0.083337� 7! � �51
0.3333 � 0.51777! 7� � 62
�51.667
� � 0.3333W8� � 32.59
IJK � U 8�51.66732.59 V
CGFINK � IJK
�12 �1 30 7.083 �4.250 0 5.8 � U���!��V � U 8�51.66732.59 V
Con la sustitución hacia atrás:
�� � 32.595.8 � 5.619
�! � �51.667 4.25W5.619�7.083 � �3.923
V
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��
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� � 8 1W�3.923� � 3W5.619�12 � �1.065
INK � U�1.065�3.9235.619 V
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Tomado y desarrollado de la Chapra, ejercicios propuestos 9.11 y 10.1 - 10.5.
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BIBLIOGRAFÍA
Tomado y desarrollado de la Chapra, ejercicios propuestos 9.11 y Tomado y desarrollado de la Chapra, ejercicios propuestos 9.11 y
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