12 Metodo de Gauss - Jordan e Inversion de Matrices

7/25/2019 12 Metodo de Gauss - Jordan e Inversion de Matrices

http://slidepdf.com/reader/full/12-metodo-de-gauss-jordan-e-inversion-de-matrices 1/29

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 2: MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN DESISTEMAS LINEALES. MÉTODO DE GAUSS –

JORDAN E INVERSIÓN DE MATRICES.

Ing. Willians Medina.

Maturn! "uni# de $%&'.

2.4.- MÉTODO DE GAUSS – JORDAN.Matriz diagoa!. D"#ii$i%.

Una (atri) diagoa! de #rden n es una (atri)*+ ijd D = ,#n la -r#-iedad de ue

%=ijd sie(-re ue ji ≠ .

Matri) identidad. De/ini,i0n.

La &atriz id"tidad d" ord" n!*+ ijn I δ =

! es la (atri) diag#nal ,#n ele(ent#s



Ca-tul# $. M1t#d#s -ara la s#lu,i0n de siste(as lineales. M1t#d# de 2auss 3 "#rdan 4 Matri) in5ersa.

≠

==

ji

jiij

si%

si&δ

+$.&'*

Cuand# el ta(a6# de I n est7 ,lar#! esta (atri) se es,ri8e si(-le(ente ,#(# I .La (atri) identidad de #rden tres es

=

&%%

%&%

%%&

9 I

+$.&*

La (atri) identidad de #rden ,uatr# es

=

&%%%

%&%%

%%&%

%%%&

; I

+$.&<*

M'todo d" Ga()) – Jorda.

El (1t#d# de 2auss = "#rdan es una 5aria,i0n de la eli(ina,i0n de 2auss. La -rin,i-al

di/eren,ia ,#nsiste en ue ,uand# una in,0gnita se eli(ina en el (1t#d# de 2auss = "#rdan!

1sta es eli(inada de t#das las #tras e,ua,i#nes! n# s#l# de las su8se,uentes. Ade(7s! t#d#s

l#s rengl#nes se n#r(ali)an al di5idirl#s entre su ele(ent# -i5#te. De esta /#r(a! el -as#

de eli(ina,i0n genera una (atri) identidad en 5e) de una triangular. En ,#nse,uen,ia! n#es ne,esari# usar la sustitu,i0n >a,ia atr7s -ara #8tener la s#lu,i0n.

+

+

+

+

&!

&!9

&!$

&!&

&...%%%

...

%...&%%

%...%&%

%...%%&

nn

n

n

n

a

a

a

a

+$.&?*

La s#lu,i0n del siste(a es:

&!&& += na x! &!$$ += na x

! @! &! += nnn a x+$.&*

E*"&+!o 2.,.

Resuel5a el siguiente siste(a lineal usand# el (1t#d# de 2auss3"#rdan.

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 '%




$; 9$& −=−+ x x x

;$' 9$& =++ x x x

:: 9$& =++ x x x

S#lu,i0n.

Este eer,i,i# /ue resuelt# en el ee(-l# $.$ a-li,and# el (1t#d# de eli(ina,i0n 2aussiana

sustitu,i0n >a,ia atr7s. Au ser7 resuelt# a-li,and# el (1t#d# de 2auss = "#rdan -ara

esta8le,er di/eren,ias entre l#s (1t#d#s. Se ,#(ien)a deter(inand# la (atri) a(-liada de

,#e/i,ientes.

Matri) a(-liada.

−−

:

;$

&&:

$&'&&;

;!9

;!$

;!&

999$9&

$9$$$&

&9&$&&

a

aa

aaa

aaaaaa

El ele(ent# -i5#te es *%+;&& ≠=a . Se -r#,ede a n#r(ali)ar el rengl0n & di5idiend# di,>#

rengl0n entre ;.

;&

&

E E →

Las #-era,i#nes est7n indi,adas a ,#ntinua,i0n:

−−

:

;

&&:

$&'

;$

;&

;&

;;

#8tene(#s:

−−

:

;

'.%

&&:

$&'

$'.%$'.%&

;!9

;!$

;!&

999$9&

$9$$$&

&9&$&

a

a

a

aaa

aaa

aa

Una -ri(era di/eren,ia entre el (1t#d# de eli(ina,i0n 2aussiana sustitu,i0n >a,ia atr7s

el (1t#d# de 2auss = "#rdan es ue en el -ri(er# n# se reuiere n#r(ali)ar el rengl0n &.

a n#r(ali)ad# el rengl0n & + &&& =a *! el #8eti5# es ,rear un ,er# en las -#si,i#nes d#nde

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 '&




est7n $&a 9&a (ediante #-era,i#nes en 8ase al -ri(er rengl0n. Se de/inen las siguientes

#-era,i#nes:

Rengl0n $: &$$ ' E E E −→

O8s1r5ese ue el 5al#r ue (ulti-li,a al rengl0n ue ,#ntiene al -i5#te + ' *! es el (is(#

ue se de8e ,#n5ertir en ,er# +'* en el rengl0n $.

Rengl0n 9: &99 : E E E −→

O8s1r5ese ue el 5al#r ue (ulti-li,a al rengl0n ue ,#ntiene al -i5#te +*! es el (is(#

ue se de8e ,#n5ertir en ,er# +'* en el rengl0n 9.


−−

−−

−

−−−−

−−−−

−

*'.%+::

*'.%+';

'.%

*$'.%+:&*$'.%+:&*&+::

*$'.%+'$*$'.%+'&*&+''

$'.%$'.%&

#8tene(#s:

−

−

−

−

A

'.:

'.%

'.$'.%%

$'.9$'.%%

$'.%$'.%&

;!9

;!$

;!&

999$

$9$$

&9&$

%

%

&

a

a

a

aa

aa

aa

El ele(ent# -i5#te es *%+$'.%$$ ≠−=a . Se -r#,ede a n#r(ali)ar el rengl0n $. La

n#r(ali)a,i0n de rengl#nes es ne,esaria ,#n el #8et# de #8tener l#s ele(ent#s de la

diag#nal iguales a la unidad. O8s1r5ese ue al igual ue en el -ri(er -as# del

-r#,edi(ient# de 2auss = "#rdan! en este -as# el (1t#d# de eli(ina,i0n 2aussiana

sustitu,i0n >a,ia atr7s n# reuiere n#r(ali)a,i0n de rengl#nes! (ientras ue en el (1t#d#

de 2auss = "#rdan sie(-re ser7 ne,esari# tal ,#(# se >a ilustrad#. Para n#r(ali)ar el

rengl0n $! se di5ide di,># rengl0n entre =%.$'

$'.%

$$

−→ E E


M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 '$




−

−

−

−−−−

−

A

'.%

'.$'.%%

$'.%$'.%&

$'.%'.:

$'.%$'.9

$'.%$'.%

$'.%%

#8tene(#s:

−

−

−

−

−

A

$:

'.%

'.$'.%%

&9&%

$'.%$'.%&

;!9

;!$

;!&

999$

$9

&9&$

%

&%

&

a

a

a

aa

a

aa

a n#r(ali)ad# el rengl0n $ + &$$ =a *! el #8eti5# es ,rear un ,er# en las -#si,i#nes d#nde

est7n &$a 9$a (ediante #-era,i#nes en 8ase al segund# rengl0n. Fe au #tra di/eren,ia

entre el (1t#d# de eli(ina,i0n de 2auss ,#n sustitu,i0n >a,ia atr7s el (1t#d# de 2auss =

"#rdan! -uest# ue en el -ri(er#! se ,rea8a el ,er# s0l# en la -#si,i0n d#nde est7 9$a !

(ientras ue en el segund# se de8en ,rear en las d#s -#si,i#nes ,itadas + &$a 9$a *.

E5idente(ente el (1t#d# de 2auss = "#rdan in5#lu,ra (a#r ,antidad de #-era,i#nes

arit(1ti,as -#r l# tant# reuiere una ,antidad adi,i#nal de tie(-# -ara su ee,u,i0n.

Se de/inen las siguientes #-era,i#nes:

Rengl0n &: $&& $'.% E E E −→

Rengl0n 9: $99 '.% E E E +→


−+

−

−−−

−++−+

−

−−−−−

*$:+'.%A

$:

*$:+$'.%'.%

*&9+'.%'.$*&+'.%'.%*%+'.%%

&9&%

*&9+$'.%$'.%*&+$'.%$'.%*%+$'.%&

#8tene(#s:

−

−

−

−

;

$:

:

;%%

&9&%

9%&

;!9

;!$

;!&

99

$9

&9

%%

&%

%&

a

a

a

a

a

a

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 '9




El ele(ent# -i5#te es *%+;99 ≠−=a . Se -r#,ede a n#r(ali)ar el rengl0n 9 di5idiend# di,>#

rengl0n entre =;.

;9

9−

→ E E


−−

−−

−−

−− ;;

;;

;%

;%

$:

:

&9&%

9%&

#8tene(#s:

−−

&

$:

:

&%%

&9&%

9%&

;!9

;!$

;!&

$9

&9

&%%

&%

%&

a

a

a

a

a

a n#r(ali)ad# el rengl0n 9 + &99 =a *! el #8eti5# es ,rear un ,er# en las -#si,i#nes d#nde

est7n &9a $9a (ediante #-era,i#nes en 8ase al ter,er rengl0n. Se de/inen las siguientes

#-era,i#nes:

Rengl0n &: 9&& 9 E E E −→

Rengl0n $: 9$$ &9 E E E +→


+−

−

+−++

−−−

&

*&+&9$:

*&+9:

&%%

*&+&9&9*%+&9&*%+&9%

*&+99*%+9%*%+9&

#8tene(#s:

−

&

&9

9

&%%

%&%

%%&

;!9

;!$

;!&

&%%

%&%

%%&

a

a

a

La s#lu,i0n del siste(a de e,ua,i#nes -lantead# utili)and# el (1t#d# de 2auss3"#rdan es:

9& = x ! &9$ −= x &9 = x .M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 ';




Ginal(ente! dentr# de las di/eren,ias entre l#s (1t#d#s de eli(ina,i0n 2aussiana ,#n

sustitu,i0n >a,ia atr7s de 2auss = "#rdan se en,uentra ue en el -ri(er# la s#lu,i0n de8e

ser #8tenida a-li,and# las /0r(ulas de sustitu,i0n >a,ia atr7s! (ientras ue en el segund#

di,>a sustitu,i0n n# es ne,esaria! -uest# ue se #8tiene la s#lu,i0n del siste(a +,uand#

tenga s#lu,i0n* en una /#r(a dire,ta! l# ,ual re-resenta una 5entaa -ara el (1t#d# de

2auss 3 "#rdan.

E*"&+!o 2.,.

Resuel5a el siguiente siste(a lineal usand# el (1t#d# de 2auss = "#rdan.

$;$& =++ x x x

&$ ;9$& =+−+ x x x x

;9$ ;9$& =−++− x x x x

9$9 ;9$& −=+−− x x x x

S#lu,i0n.

−−−

−−

−

9

;

&

$

$&&9

&9$&

&&&$

&%&&

'!;

'!9

'!$

'!&

;;;9;$;&

9;999$9&

$;$9$$$&

&;&9&$&&

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

N#r(ali)ar el -ri(er rengl0n. El -ri(er rengl0n a se en,uentra n#r(ali)ad# + &&& =a *.

−−−

−−

−

9

;

&

$

$&&9

&9$&

&&&$

&%&&

'!;

'!9

'!$

'!&

;;;9;$;&

9;999$9&

$;$9$$$&

&;&9&$&

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaa

Crear ,er# en las -#si,i#nes $&a ! 9&a ;&a .

&$$

$ E E E −→

&99 E E E +→

&;; 9 E E E −→

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 ''




−

−

−−−

−−−

A

:

9

$

&&;%

%99%

&&&%

&%&&

'!;

'!9

'!$

'!&

;;;9;$

9;999$

$;$9$$

&;&9&$

%

%

%

&

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaa

N#r(ali)ar el segund# rengl0n.

&

$$

−→

E E

−−−− A

:

9

$

&&;%

%99%

&&&%

&%&&

'!;

'!9

'!$

'!&

;;;9;$

9;999$

$;$9

&;&9&$

%

%

&%

&

a

a

a

a

aaa

aaa

aa

aaa

Crear ,er# en las -#si,i#nes &$a ! 9$a ;$a .

$&& E E E −→

$99 9 E E E −→

$;; ; E E E +→

−

−

−

−

9

9

9

&

99%%

9%%%

&&&%

%&%&

'!;

'!9

'!$

'!&

;;;9

9;99

$;$9

&;&9

%%

%%

&%

%&

a

a

a

a

aa

aa

aa

aa

N#r(ali)ar el ter,er rengl0n. N# es -#si8le n#r(ali)ar el ter,er rengl0n! -uest# ue %99 =a

. Si inter,a(8ian l#s rengl#nes 9 ;.

;9 E E ↔

−

−

−

−

9

9

9

&

9%%%

99%%

&&&%

%&%&

N#r(ali)ar el ter,er rengl0n.

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 '




9

99

E E →

−

−

−

−

9

&

9

&

9%%%

&&%%

&&&%

%&%&

'!;

'!9

'!$

'!&

;;;9

9;

$;$9

&;&9

%%

&%%

&%

%&

a

a

a

a

aa

a

aa

aa

Crear ,er# en las -#si,i#nes &9a ! $9a ;9a . O8s1r5ese ue %;9 =a ! -#r l# ,ual n# se

reuiere #-era,i0n s#8re el rengl0n 9.

9&& E E E +→

9$$ E E E −→

−− 9

&

$

%

9%%%

&&%%

%%&%

&%%&

'!;

'!9

'!$

'!&

;;

9;

$;

&;

%%%

&%%

%&%

%%&

a

a

a

a

a

a

a

a

N#r(ali)ar el ,uart# rengl0n.

9;

;−

→ E

E

&

&

$

%

&%%%

&&%%

%%&%

&%%&

'!;

'!9

'!$

'!&

9;

$;

&;

&%%%

&%%

%&%

%%&

a

a

a

a

a

a

a

Crear ,er# en las -#si,i#nes &;a ! $;a 9;a . O8s1r5ese ue %$; =a ! -#r l# ,ual n# se

reuiere #-era,i0n s#8re el rengl0n $.

;&& E E E −→

;99 E E E −→

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 '<




−

&

%

$

&

&%%%

%&%%

%%&%

%%%&

'!;

'!9

'!$

'!&

&%%%

%&%%

%%&%

%%%&

a

a

a

a

La s#lu,i0n del siste(a de e,ua,i#nes -lantead# utili)and# el (1t#d# de 2auss3"#rdan es:

&& −= x ! $$ = x ! %9 = x &; = x .

E*"&+!o 2.,/.

HGJ Resuel5a el siguiente siste(a lineal usand# el (1t#d# de 2auss3"#rdan.

99$& =−+ x x x +A*

$9$& =++−

x x x +*?9 9$& =−+ x x x +C*

S#lu,i0n.

Matri) a(-liada.

−

−

−

?

$

9

&9&

&&&

&&&

;!9

;!$

;!&

999$9&

$9$$$&

&9&$&&

a

a

a

aaa

aaa

aaa

N#r(ali)ar el -ri(er rengl0n. N# es ne,esari# n#r(ali)ar el -ri(er rengl0n! -uest# ue

&&& =a .

−

−

−

?

$

9

&9&

&&&

&&&

;!9

;!$

;!&

999$9&

$9$$$&

&9&$&

a

a

a

aaa

aaa

aa

Crear ,er# en las -#si,i#nes $&a 9&a .

&$$ E E E +→

&99 E E E −→

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 '?




−

'

'

9

%$%

%$%

&&&

;!9

;!$

;!&

999$

$9$$

&9&$

%

%

&

a

a

a

aa

aa

aa

N#r(ali)ar el segund# rengl0n.

$

$$

E E →

−

'

'.$

9

%$%

%&%

&&&

;!9

;!$

;!&

999$

$9

&9&$

%

&%

&

a

a

a

aa

a

aa

Crear ,er# en las -#si,i#nes &$a 9$a .

$&& E E E −→

&99 $ E E E −→

−

%

'.$

'.%

%%%

%&%

&%&

;!9

;!$

;!&

99

$9

&9

%%

&%

%&

a

a

a

a

a

a

N#r(ali)ar el ter,er rengl0n. N# es -#si8le n#r(ali)ar el ter,er rengl0n! -ues %99 =a

-uest# ue es el Klti(# rengl0n! n# >a adi,i#nales -ara inter,a(8iar. N# se -uede seguir el -r#,edi(ient# de 2auss = "#rdan. En este ,as# el siste(a eui5alente es:

'.%9& =− x x +&*

'.$$ = x +$*

%% = +9*

El siste(a ad(ite in/initas s#lu,i#nes! -uest# ue la e,ua,i0n +9* es una igualdad.

La ra)0n -#r la ,ual el siste(a -lantead# tiene in/initas s#lu,i#nes es -#rue una e,ua,i0n

resulta de la ,#(8ina,i0n lineal de las #tras. En el ee(-l# anteri#r se -uede de(#strar ue

C B A =+$ .

En la i(-le(enta,i0n real de ,ualuiera de l#s (1t#d#s dire,t#s se -uede tener

es-e,ial ,uidad# -ara darse ,uenta de las #-era,i#nes ue no se ne,esitan reali)ar! ,#(#





-#r ee(-l#! una (ulti-li,a,i0n ,uand# se sa8e ue un# de l#s /a,t#res es un#! # una resta

,uand# se ,#n#,e ue el sustraend# es ,er#. Para a(8#s (1t#d#s! el nK(er# de

(ulti-li,a,i#nes di5isi#nes reuerid# -uede redu,irse.

E*"r$i$io) +ro+(")to).

0. HCCJ Utili,e el (1t#d# de eli(ina,i0n de 2auss = "#rdan -ara res#l5er:

&$ 9$& =−+ x x x

;$$' 9$& −=++ x x x

'9 9$& =++ x x x

C#(-rue8e las res-uestas -#r sustitu,i0n de las e,ua,i#nes #riginales.

,1. HCCJ Resuel5a:99$& −=−+ x x x

$$$: 9$& =++ x x x

&;9 9$& =++− x x x

(ediante la eli(ina,i0n de 2auss 3 "#rdan.

,,. HGJ Usar el (1t#d# de 2auss = "#rdan arit(1ti,a de red#nde# a $ dgit#s -ara

res#l5er l#s siste(as del eer,i,i# .

,2. HGJ Re-etir el eer,i,i# ? usand# el (1t#d# de 2auss = "#rdan.,. HGJ C#nsidere el siguiente (1t#d# >8rid# de eli(ina,i0n 2aussiana = 2auss = "#rdan

-ara res#l5er un siste(a de e,ua,i#nes lineales. Pri(er# se a-li,a la t1,ni,a de eli(ina,i0n

2aussiana -ara redu,ir el siste(a a la /#r(a triangular (#strada en la -7gina 9. Des-u1s se

usa la n31si(a e,ua,i0n -ara eli(inar l#s ,#e/i,ientes de n x en ,ada un# de l#s -ri(er#s

&−n rengl#nes. Cuand# est# se ,#(-leta! se usa la e,ua,i0n &−n -ara eli(inar l#s

,#e/i,ientes de&−n x

en l#s -ri(er#s$−n

rengl#nes! et,. El siste(a e5entual(ente tendr7la /#r(a del siste(a redu,id#

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 %




+

+

+

+

&!

&!9

&!$

&!&

99

$$

&&

...%%%

...

%...%%

%...%%

%...%%

nn

n

n

n

nn a

a

a

a

a

a

a

a

+$.$%*

La s#lu,i0n se #8tiene t#(and#

ii

ni

ia

a x &! +=

+$.$&*

a* Use el (1t#d# >8rid# des,rit# arit(1ti,a de $ dgit#s -ara res#l5er l#s siste(as en el

eer,i,i# .

8* Re-etir el eer,i,i# ? usand# el (1t#d# des,rit#.

2..- 3NERSA DE UNA MATR35.

Matriz i6"r)a. D"#ii$i%.

Se di,e ue una (atri) A de nn× es o-)ig(!ar si eiste una (atri)&− A de nn× tal ue

I A A A A =×=× −− &&+$.$$*

La (atri)&− A se lla(a in5ersa de A. Una (atri) ue n# tiene in5ersa se lla(a )ig(!ar.

C7!$(!o d" !a &atriz i6"r)a.

La in5ersa se -uede ,al,ular en /#r(a de ,#lu(na -#r ,#lu(na! generand# s#lu,i#nes ,#n

5e,t#res unitari#s ,#(# las ,#nstante del lad# dere,>#. P#r ee(-l#! si la ,#nstante del lad#

dere,># de la e,ua,i0n tienen un nK(er# & en la -ri(era -#si,i0n! ,er#s en las #tras

=

%

%

&

MNb

la s#lu,i0n resultante ser7 la -ri(era ,#lu(na de la (atri) in5ersa. En /#r(a si(ilar! si se

e(-lea un 5e,t#r unitari# ue tiene un nK(er# & en el segund# rengl0n

=

%

&

%

MNb

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 &




el resultad# ser7 la segunda ,#lu(na de la (atri) in5ersa.

E*"&+!o i!()trati6o ,.

Sea

=

?<9

<'$

9$&

A

Para ,al,ular&− A de8e(#s res#l5er l#s tres siste(as lineales

&9$ 9$& =++ x x x

%<'$ 9$& =++ x x x

%?<9 9$& =++ x x x

%9$ 9$& =++ x x x

&<'$ 9$& =++ x x x

%?<9 9$& =++ x x x

%9$ 9$& =++ x x x

%<'$ 9$& =++ x x x

&?<9 9$& =++ x x x

L#s ,7l,ul#s se reali)an ,#n5eniente(ente en la (atri) au(entada (7s grande! /#r(ada

,#(8inand# las (atri,es:

&%%

%&%

%%&

?<9

<'$

9$&

a ue la (atri) de ,#e/i,ientes reales n# ,a(8ia! de8e(#s e/e,tuar la (is(a se,uen,ia de#-era,i#nes de rengl0n -ara ,ada siste(a lineal. Pri(er#! e/e,tuand#

&$$ $ E E E −→

&99 9 E E E −→

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 $




−

−

− &%9

%&$

%%&

&&%

&&%

9$&

En seguida! e/e,tuand#

$99 E E E −→

−−

−

− &&&

%&$

%%&

$%%

&&%

9$&

Se -#dra >a,er una sustitu,i0n >a,ia atr7s en ,ada una de las tres (atri,es au(entadas!

−

−

− &

$&

$%%

&&%9$&

−− &

&%

$%%

&&%9$&

− &

%%

$%%

&&%9$&

-ara en,#ntrar t#d#s l#s ele(ent#s de&− A ! -er# /re,uente(ente! es (7s ,#n5eniente usar la

redu,,i0n de rengl#nes adi,i#nal. En -arti,ular la #-era,i0n

$

99

−→

E E

n#s lle5a a:

−

−

'.%'.%'.%

%&$

%%&

&%%

&&%

9$&

9&& 9 E E E −→

9$$ E E E −→

−

−

−−

'.%'.%'.%

'.%'.%'.$

'.&'.&'.%

&%%

%&%

%$&

Ginal(ente $&& $ E E E −→

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 9




−

−

−

'.%'.%'.%

'.%'.%'.$

'.%'.$'.;

&%%

%&%

%%&

La (atri) au(entada /inal re-resenta a las s#lu,i#nes de l#s tres siste(as lineales

'.;& = x '.$& −= x '.%& = x

'.$$ −= x '.%$ = x '.%$ = x

'.%9 = x '.%9 = x '.%9 −= x

as ue

−

−

−−

=−

'.%'.%'.%

'.%'.%'.$

'.%'.$'.;& A

En el ee(-l#! ilustra(#s ,#(# ,al,ular&− A . C#(# 5i(#s en ese ee(-l#! es ,#n5eniente

arreglar la (atri) au(entada (7s grande

[ ] I A

Lle5and# a ,a8# la eli(ina,i0n siguiend# el alg#rit(# de 2auss! #8tene(#s una (atri)

au(entada de la /#r(a

[ ]Y U

D#nde U es una (atri) nn× ,#n%=iju sie(-re ue ji > Y re-resenta la (atri) de

nn× #8tenida al e/e,tuar las (is(as #-era,i#nes a la identidad I ue /uer#n reali)adas

-ara -asar de A a U . Au! >a ue elegir entre n a-li,a,i#nes del alg#rit(# de sustitu,i0n

>a,ia atr7s # redu,,i0n adi,i#nal >asta llegar a

&− A I

C0(# sa8e(#s si una (atri) A es in5erti8le # n#

Si a-li,a(#s el -r#,edi(ient# de trans/#r(ar [ ] I A a su /#r(a redu,ida si en ,ualuier

eta-a en,#ntra(#s ue ,ualuiera de l#s rengl#nes a la i)uierda de la lnea 5erti,al s0l#

,#nsta de ,er#s! ent#n,es -uede -r#8arse ue&− A n# eiste.

E*"&+!o 2.,8.

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 ;




Deter(ine

&− A

si eiste! dada

=

&%<9

<'$

9$&

A

S#lu,i0n.

&%%

%&%

%%&

&%<9

<'$

9$&

&$$ $ E E E −→

&99 9 E E E −→

−

−

&%9

%&$%%&

&&%

&&%9$&

$&& $ E E E −→

$99 E E E −→

−−

−

−

&&&

%&$

%$'

%%%

&&%

&%&

Dad# ue el ter,er rengl0n a la i)uierda de la lnea 5erti,al s0l# ,#nsta de ,er#s! la

redu,,i0n n# -uede ,#(-letarse. De8e(#s ,#n,luir ue&− A n# eiste ue A es una

(atri) singular .

E*"&+!o 2.,0.

Deter(ine &−

A si eiste! dada

−

−

−

=

&9&

&&&

&&&

A

S#lu,i0n.





−

−

−

&%%

%&%

%%&

&9&

&&&

&&&

&$$ E E E +→

&99 E E E −→

−

−

&%&

%&&

%%&

%$%

%$%

&&&

$

$$

E E →

−

−

&%&

%'.%'.%

%%&

%$%

%&%

&&&

$&& E E E −→

$99 $ E E E −→

−−

−−

&&$%'.%'.%

%'.%'.%

%%%%&%

&%&

Dad# ue el ter,er rengl0n a la i)uierda de la lnea 5erti,al s0l# ,#nsta de ,er#s! la

redu,,i0n n# -uede ,#(-letarse. De8e(#s ,#n,luir ue&− A n# eiste ue A es una

(atri) singular .

Re,u1rdese ue esta (atri) es la (is(a (atri) de ,#e/i,ientes del ee(-l# $.&<.

C#(# regla general tene(#s ue ,ualuier siste(a en el ,ual la (atri) de ,#e/i,ientes sea

singular! di,># siste(a n# tiene s#lu,i0n # tiene in/initas s#lu,i#nes.Las in5ersas de (atri,es tienen (u,>#s us#s! un# de l#s ,uales est7 en la s#lu,i0n

de siste(as de e,ua,i#nes. En se,,i#nes -re,edentes! res#l5i(#s siste(as de e,ua,i#nes

lineales trans/#r(and# la (atri) au(entada a su /#r(a redu,ida. En el ,as# en ue

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4




tenga(#s n e,ua,i#nes ,#n n 5aria8les! ta(8i1n -#de(#s res#l5er el siste(a en,#ntrand#

la in5ersa de la (atri) de ,#e/i,ientes.

Un siste(a de e,ua,i#nes -uede es,ri8irse en /#r(a (atri,ial ,#(#

B X A = +$.$9*

Si la (atri) de ,#e/i,ientes A es in5erti8le! eiste&− A . Multi-li,and# a(8#s lad#s de la

e,ua,i0n (atri,ial dada -#r&− A ! #8tene(#s

B A X A A && *+ −− = +$.$;*

Usand# la -r#-iedad as#,iati5a si(-li/i,and#! -#de(#s es,ri8ir est# de la (anera

siguiente:

B A X A A && *+ −− =

B A X I &−=

B A X &−= +$.$'*

As! >e(#s #8tenid# una e-resi0n ue -r#-#r,i#na la s#lu,i0n X del siste(a de

e,ua,i#nes dad#s.

E*"&+!o 2.21.

Resuel5a el siste(a de e,ua,i#nes lineales siguiente +Q1ase ee(-l#s $.$ $.&'*:

$; 9$& −=−+ x x x

;$' 9$& =++ x x x

:: 9$& =++ x x x

S#lu,i0n.

Deter(ina,i0n de la (atri) in5ersa.

−

&%%

%&%

%%&

&&:

$&'

&&;

;

&&

E E →

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 <




−

&%%

%&%

%%$'.%

&&:

$&'

$'.%$'.%&

&$$ ' E E E −→

&99 : E E E −→

−

−

−

−

−

&%'.&

%&$'.&

%%$'.%

'.$'.%%

$'.9$'.%%

$'.%$'.%&

$'.%

$$

−→

E E

−

−

−

−

−

&%'.&

%;'

%%$'.%

'.$'.%%

&9&%

$'.%$'.%&

$&& $'.% E E E −→

$99 '.% E E E +→

−

−

−

−

−

&$&

%;'

%&&

;%%

&9&%

9%&

;

99

−→

E E

−−

−

−

−

$'.%'.%$'.%

%;'

%&&

&%%

&9&%

9%&

9&& 9 E E E −→

9$$ &9 E E E +→

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 ?




−−

−

−−

$'.%'.%$'.%

$'.9'.$<'.&

<'.%'.%$'.%

&%%

%&%

%%&

La (atri) in5ersa es

−−

−

−−

=−

$'.%'.%$'.%

$'.9'.$<'.&

<'.%'.%$'.%& A

La s#lu,i0n del siste(a es:

B A X &−=

−

×

−−

−

−−

=

:

;

$

$'.%'.%$'.%

$'.9'.$<'.&

<'.%'.%$'.%

X

−+×+−×−

−+×+−×

+×−+−×−

=

*:+*$'.%+*;+*'.%+*$+*$'.%+

*:+*$'.9+*;+*'.$+*$+*<'.&+

*:+*<'.%+*;+*'.%+*$+*$'.%+

X

−=

&

&9

9

X

A -ri(era 5ista! -uede -are,er ue este (1t#d# de res#l5er un siste(a de

e,ua,i#nes es (u,># (en#s ,#n5eniente ue el (1t#d# (7s si(-le de redu,,i0n de

rengl#nes +2auss 2auss = "#rdan*. La 5entaa de usar la (atri) in5ersa se >a,e -atente en

,as#s en ue de8en res#l5erse 5ari#s siste(as de e,ua,i#nes ,#n la (is(a (atri) de

,#e/i,ientes. En -r#8le(as de este ti-#! las s#lu,i#nes de todos l#s siste(as -ueden

deter(inarse de in(ediat# una 5e) ue se >a en,#ntrad# la in5ersa de la (atri) de

,#e/i,ientes n# es ne,esari# usar la redu,,i0n de rengl#nes una #tra 5e) s#8re ,adasiste(a.

E*"&+!o 2.2,.

Res#l5er l#s tres siste(as lineales de ;;× .

Siste(a &. Siste(a $. Siste(a 9.M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4




$$ ;9$& −=++− x x x x $$ ;9$& =++− x x x x 9$ ;9$& =++− x x x x

;99$ ;$& −=+− x x x $99$ ;$& =+− x x x $99$ ;$& =+− x x x

$;9$& −=+++ x x x x $;9$&

=+++ x x x x ;;9$& =+++ x x x x

?$9 ;9& −=+− x x x $$9 ;9& =+− x x x ;$9 ;9& =+− x x x

S#lu,i0n.

O8s1r5ese ue l#s tres siste(as tienen la (is(a (atri) de ,#e/i,ientes.

−

−

−

=

$&%9

&&&&

9%9$

$&&&

A

Se deter(ina la (atri) in5ersa:

−

−

−

&%%%

%&%%

%%&%

%%%&

$&%9

&&&&

9%9$

$&&&

&$$ $ E E E −→

&99 E E E −→

&;; 9 E E E −→

−

−

−

−−

−

−−−

−

&%%9

%&%&

%%&$

%%%&

;;9%

&%$%

&$&%

$&&&

&

$$

−→

E E

−

−

−

−−

−

−

&%%9

%&%&

%%&$

%%%&

;;9%

&%$%

&$&%

$&&&

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 <%




$&& E E E +→

$99 $ E E E −→

$;; 9 E E E −→

−

−

−

−

−

−−

&%9A

%&$'

%%&$

%%&9

<&%%%

9;%%

&$&%

99%&

;

99

−→

E E

−

−−

−

−

− &%9A

%$'.%'.%$'.&

%%&$

%%&9

<&%%%

<'.%&%%

&$&%

99%&

9&& 9 E E E −→

$$$ $ E E E −→

9;; &% E E E +→

−−

−−

−

−

−

&'.$$'.9

%$'.%'.%$'.&

%'.%%'.%

%<'.%'.%<'.%

'.%%%%

<'.%&%%

'.%%&%

<'.%%%&

'.%

;;

E E →

−−

−−

−

−

−

$';<

%$'.%'.%$'.&

%'.%%'.%

%<'.%'.%<'.%

&%%%

<'.%&%%

'.%%&%

<'.%%%&

;&& <;.% E E E −→

;$$ '.% E E E +→

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 <&




;99 <'.% E E E +→

−−

−−

−−

−−

$';<

'.&'.9'.$;&$$9

'.&'.;'.9:

&%%%

%&%%%%&%

%%%&

La (atri) in5ersa es:

−−

−−

−−

−−

=−

$';<

'.&'.9'.$;

&$$9

'.&'.;'.9:

& A

La s#lu,i0n de ,ada siste(a de e,ua,i#nes es:Siste(a &.

−

−=

−

−

−

−

×

−−

−−

−−

−−

=

;

9

$

&

?

$

;

$

$';<

'.&'.9'.$;

&$$9

'.&'.;'.9:

X

Siste(a $.

=

×

−−

−−

−−

−−

=

&

%

&

%

$

$

$

$

$';<

'.&'.9'.$;

&$$9

'.&'.;'.9:

X

Siste(a 9.

=

×

−−

−−

−−

−−

=

&

&

&

&

;

;

$

9

$';<

'.&'.9'.$;

&$$9

'.&'.;'.9:

X

Otra /#r(a de res#l5er el -r#8le(a es a-li,and# el (1t#d# de 2auss = "#rdan a la (atri)

au(entada

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 <$




−−

−

−

−

−

;&%;

;9;

$<$

9&:

$&%9

&&&&

9%9$

$&&&

! el ,ual al ser redu,id#! ,#ndu,e a:

−

−

&%;

&&9

&%$

&&&

&%%%

%&%%

%%&%

%%%&

! teni1nd#se ue las s#lu,i#nes s#n:

Siste(a &. Siste(a $. Siste(a 9.

−

−=

;

9

$

&

X

=

&

%

&

%

X

=

&

&

&

&

X

E*"r$i$io) +ro+(")to).

,4. HGJ Deter(ine ,u7les de las siguientes (atri,es s#n n#3singulares ,al,ule! si es

-#si8le! sus in5ersas.

a*

−−− 9&$

<%9

:$;

8*

−

&&9

&&$

%$&

,*

−−−

−−

−

;$%&

'&&$

$;$&

&&&&

d*

−−

<9A:

&<9

'&;$

$&9$

$9

e*

&&;'

%&&&A

%%<:

%%%;

/*

−

−

9;&9

&9&$

$%&&

$&%$

,. HNSJ L#s siguientes ,#nunt#s de e,ua,i#nes lineales tienen ,#e/i,ientes ,#(unes -er#

distint#s t1r(in#s del lad# dere,>#.

a* &9$& =++ x x x 8* $9$& −=++ x x x ,* $9$& =++ x x x

;9$ 9$& =+− x x x '9$ 9$& =+− x x x &9$ 9$& −=+− x x x

$$$9 9$& −=−+ x x x &$$9 9$& =−+ x x x ;$$9 9$& =−+ x x x

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 <9




L#s ,#e/i,ientes l#s tres ,#nunt#s de t1r(in#s del lad# dere,># se -ueden ,#(8inar en

un arregl#

−

−−

−

−

;&$

&';$$&

$$9

9&$&&&

Si a-li,a(#s el esue(a de 2auss = "#rdan a este arregl# redu,i(#s las tres -ri(eras

,#lu(nas a la /#r(a de la (atri) identidad! las s#lu,i#nes -ara l#s tres -r#8le(as se

#8tienen en /#r(a aut#(7ti,a en las ,#lu(nas ,uarta! uinta seta al ter(inar la

eli(ina,i0n. Cal,ule la s#lu,i0n de esta /#r(a.

,. HGJ Dad#s l#s ,uatr# siste(as lineales de 99× ,#n la (is(a (atri) de ,#e/i,ientes

$9$ 9$& =+− x x x :9$ 9$& =+− x x x %9$ 9$& =+− x x x &9$ 9$& −=+− x x x

&9$& −=−+ x x x ;9$& =−+ x x x &9$& =−+ x x x %9$& =−+ x x x

%9 9$& =−+− x x x '9 9$& =−+− x x x 99 9$& −=−+− x x x %9 9$& =−+− x x x

a* Resuel5a l#s siste(as lineales a-li,and# eli(ina,i0n 2aussiana a la (atri) au(entada

−

−

−

−−

−

−

%9'%

%&;&

&%:$

9&&

&&&

&9$

8* Resuel5a l#s siste(as lineales a-li,and# el (1t#d# de 2auss = "#rdan a la (atri)

au(entada de +a*.

,* Resuel5a l#s siste(as lineales en,#ntrand# la in5ersa de

−−

−

−

=

9&&

&&&

&9$

A

(ulti-li,and#.d* Cu7l (1t#d# -are,e (7s /7,il Cu7l (1t#d# reuiere (7s #-era,i#nes

,/. HGJ Re-etir el eer,i,i# &' usand# l#s siste(as lineales:

:$ ;9$& =−+− x x x x &$ ;9$& =−+− x x x x

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 <;




;;9& =−− x x x &;9& =−− x x x

$;9$ ;9$& −=−++ x x x x $;9$ ;9$& =−++ x x x x

';9$ =−+− x x x &;9$ −=−+− x x x

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 <'




RESPUESTA A LOS EJERC3C3OS SELECC3ONADOS.

2.4.- MÉTODO DE GAUSS – JORDAN.

. &;& = x ! 9$$ −= x ! '9 −= x .

&%. $'.%& −= x ! '.%$ −= x ! $.$'9 = x .2..- 3NERSA DE UNA MATR35.

&;. a* Singular 8*

−

−−

−

9<'.%:$'.%&$'.%

&$'.%&$'.%:$'.%

$'.%$'.%$'.%

,* Singular d* Singular e*

−−

−

−

&&&'.%

%&'<&;$A.&&%<&;9.%

%%&;$?'<.%$&;$?:.%

%%%$'.%

/*

−−

−

−−

−

&999999.&999999.%%

%:::::<.%:::::<.%&

&:::::<.&:::::<.&&

&&%&

&'.

−

−−

&:&

;9

&:&<

&:$<

;&9

&:'

;&

;& $

&%%

%&%

%%&

Siste(a a. Siste(a 8. Siste(a ,.

−=

&:&<

&:'

;&

X

−

−=

;9

;&9

$

X

=

&:&

&:$<

;&

X

&. a*

−−

−

−

−

−

−

;.%?.$$.?:.%

'.%&&$

&%:$

?.$%%

'.&'.$%

&9$

8*

−−

−−

−−

&;$?'<.%&A$?'<&.$$&;$?:.%

$?'<&;.%&9'<&;9.&A$?'<&.%

&;$?'<.%&;$?'<&.$$?'<&;.%

&%%

%&%

%%&

,*

−−−−−

−

=

−

9'<&;9.%%<&;$A.%&;$?'<.%$&;$?:.%9'<&;9.%$?'<&;.%

&;$?'<.%'<&;$A.%&;$?'<.%&

A

d* El (1t#d# ,* es el (7s /7,il! reuiere (en#r ,antidad de #-era,i#nes.

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 <




&<. a*

−

−

−

−

−

−

−−

&&

%?

%$

&:

&%%%

??%%

$9&%

&$&&

8*

−

−

−

&&

&$

&:

&9

&%%%

%&%%

%%&%

%%%&

,*

−−−

−−−

−−=−

&$'.%$'.%<'.%

&&$'.%:$'.%?<'.%

&&$'.%9<'.%&$'.%

%&$'.%:$'.%&$'.%

& A

d* El (1t#d# ,* es el (7s /7,il! reuiere (en#r ,antidad de #-era,i#nes.

M1t#d#s Nu(1ri,#s. Ing. Willians Medina. >tt-:44BBB.slides>are.net4ases#ra,ade(i,#4 <<

Documents

12 Metodo de Gauss - Jordan e Inversion de Matrices