Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Genel Matematik I

Prof. Dr. Ömer ÖNALAN

M.Ü. İşletme Fakültesi, Sayısal Yöntemler Anabilim dalı

1

Yararlanılan Kaynaklar

Ders Kitabı: Ömer Önalan, İşletme Matematiği, Nobel Basım Yayın.(2020)

Diğer Kaynaklar Tan, S. T. (2015). Applied mathematics for the managerial, life, and social

sciences. Cengage Learning. Stewart, James (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th edition) Barnett,R.A.,Zeigler,M.R.,Byleen,K.E.( 2015). Finite Mathematics for

Business,Economics,Life Sciences and Social Sciences, 13 th ed. Printice-Hall.

Thomas’ Calculus 11th Edition, Pearson Publ. ( Çeviri: Recep Korkmaz , Beta Basım, 2010)

2

1

Kalkülüs’e Giriş I Kalkülüs’e Giriş II Kartezyen Koordinat Sistemi Doğrular

Başlangıç

3

The Elements –Euclid(Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570)

4

1.1Kalkülüse Giriş I

– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

Origin

Positive DirectionNegative Direction

2 –

5

Matematik Nedir?

Matematik, doğruluk , kesinlik ve anlaşılırlık bakımlarından en üst düzeyde düşünsel ürünlerden oluşan bir bilgi alanı, bir soyutlama ve bir düşünce biçimidir;

Mantıksal, biçimsel ve simgesel bir sistemdir; akıl yürütmeye dayalı bir imgeler ve kurallar bütünü olup kendisine ait bir “sentaks” ı olan evrensel bir dildir.

Matematik nesnelerin kendilerini değil aralarındaki ilişkileri inceler; ölçülen şeyle değil ölçü fikriyle uğraşır. Matematikte esas unsur kuraldır.

Fakat “Matematiksel kavram ve bilgilerin hemen tümü nün gerçek dünyada hiçbir yeri yoktur” (King,1999).

6

Matematiğin Tanımı

Matematiğin Aksiyomatik Tanımı Eleman olarak adlandırılan nesnelerden oluşan bir küme ile bu

kümenin elemanlarına uygulayacağımız bir ilişki(Bağıntı) kümesini ele alalım.

Bu ikisine birden ilkel terim adı verilir. Bu ilkel terimlerin Aksiyom adı verilen önceden belirlenmiş kendi aralarında tutarlı bir takım kurallara uyması istenir. Aksiyomlardan mantık kurallarına uygun olarak çıkarılan sonuçlara teorem adı verilir.

Aksiyomlar, ilkel terimler ve bunlardan çıkarılan tüm teoremlere birlikte bir aksiyomatik sistem adı verilir.

Matematik ise bu aksiyomatik sistemlerin tümünün incelenmesidir.

7

Temel Kavramlar

Aksiyom, doğru olduğu herkes tarafından kabul edilen önerme.

Postulat, doğruluğu mantıki olarak kabul edildiği halde, doğruluğu da yanlışlığı da ispatlanamayan önermedir.

Aksiyomlar, mantıki işlemler için yeni teorem ve ispatların elde edilmesinde kullanılırlar.

8

Temel Kavramlar(Devam)

İspata yönelik her bilim, konusunun ilkelerini oluşturan varsayımlarla işe başlar.

Bu varsayımların bir bölümü tüm bilim alanları için ortak niteliktedir. (Aristoteles bunlara aksiyom adını vermekte); diğerleri her alanın kendi

konusuna özgü ilkelerdir (Aristoteles bunlara postulat adını vermektedir). Postulatlar, inceleme konusu nesneleri, bunlara ilişkin özellik ve ilişkileri

belirleyen önermelerdir.

9

Temel Kavramlar(Devam)

Örneğin, geometride ‘nokta’ , ‘çizgi’ gibi nesneler varsayılmakta,

‘üçgen’, ‘daire’ gibi tanımlanan diğer nesneler, varsayılan nesnelere dayanılarak inşa edilmektedir.

Örneğin, “Tüm dik açılar eşittir” postulatı, bir grup nesnenin belli bir özelliğini dile getirmektedir.

Özetle Aksiyom tüm alanlar için geçerli, doğruluğu apaçık bir

önermedir. Postulat belli bir konu ya da inceleme alanına özgü, doğruluğu apaçık bir önermedir.

10

Matematiğin Bölümleri

Matematik çalışmaları kesin olmamakla birlikte iki kısımda ele alınabilir.

Matematik

Pür(Teorik) Matematik

Uygulamalı Matematik

11

Matematik Haritası

Matematik haritası

12

Teorik(Pür) Matematik

Pür matematik günlük hayatın kaygılardan tamamen uzaktır pür matematik; sanat sanat içindir anlayışının matematiğe yansımış halidir .

Benim derdim teoremi ortaya atıp ispatlamaktır, sonra siz bunu alır mühendislikte kullanırsınız orası beni ilgilendirmez derler. (bakınız, matematik sanatı) jerry p. King

Teorik matematikçinin, üzerinde uğraştığı sorunların ve problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur. (Hardy-University of Oxford)

13

Uygulamalı Matematik

Uygulamalı matematik; doğayı anlamak, somut olgular üzerinde çalışmak için matematiğin kullanımı ile belirlenmiş entelektüel bir alan dır.

Teorik matematikçilerin geliştirmiş olduğu matematiksel yöntemler ve tekniklerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matematikçilerin işidir. Literatürden de görülebileceği gibi bir çok teori ortaya konduktan uzun bir zaman sonra pratikte uygulama alanı bulmuştur.

14

Doğal Sayılar Kümesi

15

Doğal Sayılar Kümesi(Devamı)

16

Doğal Sayılar Kümesi(Devamı)

17

Doğal Sayılar Kümesi(Devamı)

18

Rasyonel Sayılar

19

Rasyonel Sayılar(Devamı)

20

Rasyonel Sayılar(Devamı)

21

Reel Sayı Doğrusu

Reel sayıları geometrik olarak reel doğru üzerindeki noktalarla gösterebiliriz :

Bu doğru tüm reel sayıları içerir. Her bir reel sayı doğru üzerindeki tam olarak bir nokta ile

ilişkilendirilmiştir. Veya bunun tersi

– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

Orjin

Positif yönNegatif yön

2

22

Sonlu Aralıklar

Açık Aralıklar Kesinlikle a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan reel

sayılar kümesi, (a, b) açık arağı olarak adlandırılır. Bu aralık a < x < b eşitsizliğini sağlayan tüm reel sayılardan

oluşur. Buna açık aralık denmesinin nedeni aralığın bitiş

noktalarını içermemesidir..

23

Sonlu Aralıklar

Kapalı Aralıklar Kesinlikle a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan reel sayılar

ve a ve b yide içeren sayılar kümesi, [a, b] kapalı aralığı olarak adlandırılır.

Bu aralık a x b eşitsizliğini sağlayan tüm reel sayılardan oluşur.

O kapalı aralık olarak adlandırılır çünkü aralık her iki bitiş noktasınıda içerir.

24

Sonlu Aralıklar

Yarı-Açık Aralıklar a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan ve a ve b bitiş

noktalarından sadece birini içeren sayılar kümesi, (a, b] veya[a, b). Yarı-açık aralığı olarak adlandırılır.

Bu aralık a < x b veya a x < b eşitsizliklerini sağlayan tüm reel sayılardan oluşur.

25

Sonsuz Aralıklar

Sonsuz aralıkların örnekleri: (a, ), [a, ), (–, a), ve (–, a]. Yukarıdaki aralıklar sırasıyla, x > a, x a, x < a, x a,

eşitsizliklerini sağlayan reel sayılar kümesi ile tanımlanırlar.

26

Üslü ve Köklü İfadeler

Eğer b herhangi bir reel sayı ve n de bir pozitif tamsayı ise ozaman bn ifadesi aşağıdaki gibi tanımlanan bir sayıdır.

bn = b ∙ b b ∙ ∙ … ∙ b

Burada b sayısı taban ve n üssüde bn üstel ifadesinin kuvveti olarak adlandırılır.

örneğin:

Eğer b ≠ 0, ise b0 = 1 olarak tanımlarız. örneğin:

20 = 1 ve (–)0 = 1, fakat 00 tanımsızdır.

n çarpan

52 2 2 2 2 2 32

32 2 2 2 83 3 3 3 27

27

Üslü ve Köklü İfadeler

Eğer n bir pozitif tamsayı ise o zaman b1/n ifadesi; nth kuvveti alındığında b ye eşit olan bir sayı olarak tanımlanır. Böylece,

Böyle bir sayı b nin nth kökü olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi yazılır.

Benzer şekilde, the expression bp/q ifadesi aşağıdaki gibi tanımlanan bir sayıdır.

(b1/q)p veya Örnekler:

n b

q pb

3 33/2 1/22 2 1.41412 2.8283

5/2

55/2 51/2

1 1 1 144 2 324

(b1/n)n = b

28

Üs Kanunları

Kanun Örnek

1. am ∙ an = am + n x2 ∙ x3 = x2 + 3 = x5

2.

3. (am)n = am ∙ n (x4)3 = x4 ∙ 3 = x12

4. (ab)n = an ∙ bn (2x)4 = 24 ∙ x 4 = 16x4

5.

( 0) m

m nn

a a aa

( 0) m

m nn

a a aa

7

7 4 34

x x xx

7

7 4 34

x x xx

n n

n

a ab b

n n

n

a ab b

3 3 3

32 2 8x x x

3 3 3

32 2 8x x x

29

Örnekler İfadelerin Basitleştirilmesi

2 3

5/ 4

1/ 2

32/3

23 2

23/ 2

1/ 4

3 4

1616

6

x x

x y

yx

a.

b.

c.

d.

e.

2 3 512 12x x

33/4 3416 16 2 8

(2/3)(3) 6/3 26 6 6 36

42 23 2 (3)( 2) ( 2)( 2) 6 46

yx y x y x yx

(3/2)( 2) 3 1/2

(1/4)( 2) 1/2 3

y y xx x y

30

Örnekler İfadelerin Basitleştirilmesi

4 84

3 5

3 6

33

16

12 3

278

x y

m n m n

xy

a.

b.

c.

1/44 8 1/4 4/4 8/4 216 16 2x y x y xy

1/28 2 8 2 1/2 8/2 2/2 436 36 36 6m n m n m n m n

1/36 1/3 6/3 2

1/3 1/3 3/33

27 27 38 28

x x xy yy

31

Örnekler İfadenin paydasının rasyonelleştirilmesi

32

xx

2

3232

x xx x

x xx

32

32

x xx

x

32

Örnekler İfadenin payının rasyonelleştirilmesi

32

xx

2

32

32

x xx x

xx x

32

32

xx x

x

33

Cebirsel ifadeler ile işlemler

34

Cebirsel ifadeler ile işlemler

Sabit terimler veya aynı değişken faktörlerini içeren terimler benzer terimler olarak adlandırılır.

Benzer terimler onların nümerik katsayıları toplanarak veya çıkartılarak birleştirilebilirler.

Örnekler:

3x + 7x = 10x 12xy – 7xy = 5xy

35

Örnekler İfadenin basitleştirilmesi

4 3 4 3 2(2 3 4 6) (3 9 3 )x x x x x x

4 3 4 3 22 3 4 6 3 9 3x x x x x x

4 4 3 3 22 3 3 9 3 4 6x x x x x x

4 3 26 3 4 6x x x x

36

Örnekler İfadenin basitleştirilmesi

3 22 { [ (2 1)] 4}t t t t

3 22 { [ 2 1] 4}t t t t

3 22 { [ 1] 4}t t t

3 22 { 1 4}t t t

3 22 1 4t t t

3 22 3t t t

37

Örnekler İfadenin basitleştirilmesi

2 2( 1)(3 10 3)x x x

2 2 2(3 10 3) 1(3 10 3)x x x x x

4 3 2 23 10 3 3 10 3x x x x x

4 3 23 10 6 10 3x x x x

38

örnekler İfadenin basitleştirilmesi

( ) ( )t t t t t te e e e e e 2 0 2 0t te e e e

1 1

2

39

Çarpanlara Ayırma

Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadenin diğer cebirsel ifadelerin bir çarpımı olarak ifade edilmesi sürecidir.

Örnek:23 (3 1)x x x x

40

Çarpanlara Ayırma

Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak için, önce herhangi bir ortak terim içerip içermediğini kontrol edin.

Öyleyse, en büyük ortak terimi çıkarın Örneğin, ifade için en büyük ortak faktör

2a, dır çünkü

22 4 6a x ax a

22 4 6 2 32(

2 22 2 3)

a x ax a axaa ax

axax

41

örnekler Her bir ifadede en büyük ortak çarpanın bulunması

2 2

2

3/ 2 1/ 2

3

0.3 3

2 3

2 2xy xy

t t

x x

ye xy e

a.

b.

c.

0.3 ( 10)t t

1/2 (2 3)x x

2 22 (1 )xyye xy

42

Örnekler Her bir ifadede en büyük ortak çarpanın bulunması

2 2

3 4 2 6

ax ay bx by

x y y x

a.

b.

2 ( ) ( )(2 )( )

a x y b x ya b x y

3 2 6 4

(3 2) 2(3 2)

(3 2)( 2)

x y y x

y x x

x y

43

İkinci dereceden polinomların çarpanlarına ayrılması

İkinci dereceden polinomun çarpanları

px2 + qx + r(ax + b)(cx + d), şeklindedir. Burada ac = p, ad + bc = q, ve bd = r dir

Yalnızca sınırlı sayıda seçenek mümkün olduğundan, bu forma sahip polinomları çarpanlarına ayırmak için bir deneme yanılma yöntemi kullanıyoruz

.

44

Örnekler

x2 – 2x – 3 polinomunu çarpanlarına ayırınız.Çözüm The x2 nin katsayısı 1, dir Böylece mümkün terimler

birinci dereceden dir. (x )(x ) sabit terimin çarpanı –3, olduğundan bu aşağıdaki

mümkün çarpımı verir.(x – 1)(x + 3)(x + 1)(x – 3)

Çarpanların hangisinin x in katsayısı -2 yi verdiği kontrol edilir.:

(–1)(1) + (1)(3) = 2 veya (1)(1) + (1)(–3) = –2ve sonuçta doğru çarpan aşağıdaki gibidir.

x2 – 2x – 3 = (x + 1)(x –3) 45

Örnekler

Aşağıdaki ifadelerin çarpanlarını bulunuz.

2

2

3 4 4

3 6 24

x x

x x

(3 2)( 2)x x

23( 2 8)3( 4)( 2)

x xx x

46

Polinom İfadelerin Kökleri

11 0 0n n

n na x a x a

5 3 22 8 6 3 1 0x x x x

47

Polinom ifadelerin Kökleri

48

Kuadratik Formül

Denklemin çözümü

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)aşağıdaki gibi verilir.

2 42

b b acxa

2 42

b b acxa

49

Örnekler

Aşağıdaki denklemi kuadratik formülü kullanarak çözünüz.:

çözüm Denklemde, a = 2, b = 5, ve c = –12, dir. Böylece,

22 5 12 0x x 22 5 12 0x x

22 5 5 4(2)( 12)42 2(2)

b b acxa

22 5 5 4(2)( 12)42 2(2)

b b acxa

5 121 5 114 4

342

or

5 121 5 114 4

342

or

50

Örnekler

Aşağıdaki denklemi kuadratik formülü kullanarak çözünüz:

Çözüm: Önce denklemi standart formda yazalım

denklemde, a = 1, b = 3, ve c = – 8,

2 3 8x x 2 3 8x x

22 3 3 4(1)( 8)42 2(1)

b b acxa

22 3 3 4(1)( 8)42 2(1)

b b acxa

2 3 8 0x x 2 3 8 0x x

3 412

3 41 3 411.7 4.72 2

x x

so, or

3 412

3 41 3 411.7 4.72 2

x x

so, or 51

1.2Kalkülüs e Giriş II

1 1hh

2 21 11 1 1 11 1 1 1

hh hh h h h

2 21 11 1 1 11 1 1 1

hh hh h h h

1 1

1 1 1 1

11 1

h hh h h h

h

1 1

1 1 1 1

11 1

h hh h h h

h

52

Rasyonel İfadeler

İki polinomun oranı rasyonel ifade olarak adlandırılır. Örneğin

3 82 3

xx

3 82 3

xx

2 35 24

x y xyx2 35 2

4x y xy

x 2

5ab2

5ab

53

Rasyonel İfadeler

Gerçek sayıların özellikleri rasyonel ifadeler için geçerlidir

Örnekler Sayıların özellikleri kullanılarak şu yazılabilir.

burada a, b, ve c herhangi bir reel sayı ve b ve c sıfır değildir.

Benzer şekilde,

1ac a c a abc b c b b

1ac a c a abc b c b b

( 2)( 3) ( 2) ( 2,3)( 2)( 3) ( 2)

x x x xx x x

( 2)( 3) ( 2) ( 2,3)( 2)( 3) ( 2)

x x x xx x x

54

Örnekler İfadenin basitleştirilmesi

2

2

2 34 3

x xx x

2

2

2 34 3

x xx x

( 3)( 1)( 3)( 1)

11

x xx x

xx

( 3)( 1)( 3)( 1)

11

x xx x

xx

55

örnekler İfadenin basitleştirilmesi2 2 2

2 4

( 1) ( 2) (2 )(2)( 1)(2 )( 1)

x x x xx

2 2 2

2 4

( 1) ( 2) (2 )(2)( 1)(2 )( 1)

x x x xx

2 2

2 4

2 2 2

2 4

( 1) ( 1)( 2) (2 )(2)(2 )( 1)

( 1)( 2 2 8 )( 1)

x x x xx

x x xx

2 2

2 4

2 2 2

2 4

( 1) ( 1)( 2) (2 )(2)(2 )( 1)

( 1)( 2 2 8 )( 1)

x x x xx

x x xx

2 2

2 4

2

2 3

2

2 3

( 1)(6 2)( 1)

(6 2)( 1)2(3 1)( 1)

x xx

xx

xx

2 2

2 4

2

2 3

2

2 3

( 1)(6 2)( 1)

(6 2)( 1)2(3 1)( 1)

x xx

xx

xx

56

Çarpım ve Bölüm Kuralları

Eğer P, Q, R, ve S polinomlar ise o zaman Çarpım

Bölüm

( , 0) P R PR Q SQ S QS ( , 0) P R PR Q S

Q S QS

( , , 0) P R P S PS Q R SQ S Q R QR ( , , 0) P R P S PS Q R S

Q S Q R QR

57

Örnekler Belirtilen işlemi gerçekleştirin ve basitleştirin

2

2

2 8 4 42 16

x x xx x

2

2

2 8 4 42 16

x x xx x

22( 4) ( 2)2 ( 4)( 4)

2( 4)( 2)( 2)( 2)( 4)( 4)2( 2)

4

x xx x xx x x

x x xx

x

22( 4) ( 2)2 ( 4)( 4)

2( 4)( 2)( 2)( 2)( 4)( 4)2( 2)

4

x xx x xx x x

x x xx

x

58

Toplama ve Çıkarma Kuralları

Eğer P, Q, R, ve S polinomlar ise o zaman Toplama

Çıkarma

( 0)P Q P Q RR S R

( 0)P Q P Q R

R S R

( 0)P Q P Q RR S R

( 0)P Q P Q R

R S R

59

Örnek Belirtilen işlemi gerçekleştirin ve basitleştirin

1 1x h x

( )( )

( )

( )

x x hx x h

x x hx x h

hx x h

60

Diğer Cebirsel Kesirler

Rasyonel ifadeleri basitleştirmek için kullanılan teknikler, pay ve paydanın polinom olmadığı cebirsel kesirleri basitleştirmek için de kullanılabilir.

.

61

Örnekler

Basitleştirme11

14

xx

x

2 2

1 121

4 1 4

xx xx

x x xx

21 ( 2)( 2)

( 1)( 2)

x xx x x

xx x

62

Örnekler Basitleştirme

1 1

2 2

x yx y

2 2

2 2 2 2

1 1

1 1

y xx y xy

y xx y x y

2 2 2

2 2

( )( )( )

y x x y y x xyxy y x xy y x y xxy

y x

63

Cebirsel Kesirleri Rasyonelleştirme

Bir cebirsel kesrin paydası, radikalleri içeren toplamlar veya farklılıklar içerdiğinde, paydayı rasyonelleştirebiliriz

. Bunu yapmak için şu gerçeği kullanıyoruz:

2 2a b a b a b

a b

64

Örnekler Paydanın Rasyonelleştirilmesi

22

1

1

11

x

x

xx

11 x

1 11 1

xx x

65

Örnekler Payın Rasyonelleştirilmesi

1 1hh

2 21 11 1 1 11 1 1 1

hh hh h h h

2 21 11 1 1 11 1 1 1

hh hh h h h

1 1

1 1 1 1

11 1

h hh h h h

h

1 1

1 1 1 1

11 1

h hh h h h

h

66

Eşitsizliklerin Özellikleri

Eğer a, b, ve c, herhangi bir reel sayı ise ozaman

Özellik 1 Eğer a < b ve b < c, ise a < c.

Özellik 2 Eğer a < b, o zaman a + c < b + c.

Özellik 3 Eğer a < b ve c > 0, ise ac < bc.

Özellik 4 Eğer a < b ve c < 0, ise ac > bc.

67

Örnekler

68

Örnekler

69

Örnekler

70

Mutlak Değer

71

Mutlak Değerin Özellikleri

Eğer a, b, ve c, herhangi reel sayılar ise

Özellik 5 |–a| = |a|

Özellik 6 |ab| = |a| |b|

Özellik 7 (b ≠ 0)

Özellik 8 |a + b| ≤ |a| + |b|

aab b

aab b

72

Örnekler

İfadeyi değerlendirin|– 5| + 3

çözüm – 5 < 0, olduğundan

|– 5| = –(– 5). Bu nedenle

|– 5| + 3 = – (– 5) +3 = 8 – ≈ 4.8584

73

Örnekler

İfadeyi değerlendirin

çözüm , olduğundan

Benzer şekilde , böylece

Bundan dolayı,

3 2 2 3

3 2 0 3 2 3 2

2 3 0 2 3 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3

4 2 3

2 2 3

0.5359

74

örnekler

|x| 5 eşitsizliğini değerlendiriniz.

çözüm eğer x 0, ise |x| = x, böylece |x| 5 şunu gerektirir x 5. eğer x < 0, ise |x| = –x ,böylece |x| 5 şunu gerektirir –x 5

veya x –5. böylece, |x| 5 nin anlamı –5 x ≤ 5, dır ve çözüm [–5, 5].

75

Örnekler

|2x – 3| 1 eşitsizliğini değerlendiriniz.

çözüm Biliyoruzki |2x – 3| 1 ifadesi –1 2x – 3 1 ye denktir. Her tarafa 3 eklenirse 2 2x 4 elde edilir. Her taraf 2 ile bölünürse, 1 x 2, elde edilir. Böylece

çözüm kümesi [1, 2].

76

1.3Kartezyen Koordinat Sistemi

C(h, k)

h

k r

P(x, y)

77

The Cartesian Coordinate System

At the beginning of the chapter we saw a one-to-one correspondence between the set of real numbers and the points on a straight line (one dimensional space).

– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

78

Kartezyen Koordinat Sistemi

Kartezyen koordinat sistemi, dikey bir eksen ekleyerek bu kavramı bir düzleme (iki boyutlu uzay) genişletir.

.

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 479

Kartezyen Koordinat Sistemi

Yatay eksen x-ekseni, ve düşey eksen y-ekseni olarak adlandırılır.

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

80

Kartezyen Koordinat Sistemi

Bu iki çizginin kesiştiği noktaya başlangıç noktası (orijin)denir .

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Orijin

81

Kartezyen Koordinat Sistemi

x- ekseninde,

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Positif yönNegatif yön

82

Kartezyen Koordinat Sistemi

y- ekseninde.

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Posi

tifyö

nN

egat

if yö

n

83

(– 2, 4)

(– 1, – 2)

(4, 3)

Kartezyen Koordinat Sistemi

Düzlemdeki bir nokta bu koordinat sisteminde sıralı bir sayı çifti (x, y)ile tek bir şekilde temsil edilebilir.

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

(3,–1)

84

Kartezyen Koordinat Sistemi

Eksenler, aşağıda gösterildiği gibi düzlemi dört çeyrek bölgeye böler. .

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Çeyrek I(+, +)

Çeyrek II(–, +)

Çeyrek V(+, –)

Çeyrek III(–, –)

85

Mesafe Formülü

Düzlemdeki herhangi iki nokta arasındaki mesafe onların koordinatları cinsinden ifade edilebilir.

.

Mesafe Formülü Düzlemde P1(x1, y1) ve P2(x2, y2) gibi iki nokta

arasındaki mesafe d aşağıdaki gibi verilir.

2 22 1 2 1d x x y y 2 22 1 2 1d x x y y

86

Örnekler

(–4, 3) ve (2, 6) noktaları arasındaki mesafeyi bulunuz.çözüm P1(–4, 3) ve P2(2, 6) düzlemdeki noktalar olsun. Şuna sahibiz.

x1 = –4 y1 = 3 x2 = 2 y2 = 6

mesafe formülü kullanılarak,

2 22 1 2 1

22

2 2

2 ( 4) 6 3

6 3 45 3 5

d x x y y

2 22 1 2 1

22

2 2

2 ( 4) 6 3

6 3 45 3 5

d x x y y

87

Örnekler

P(x, y) yarıçapı r ve merkezi C(h, k) olan çember üzerindeki bir noktayı göstersin. x ve y arasındaki ilişkiyi bulunuz.

çözüm Çemberin tanımından, P(x, y) ve C(h, k) arasındaki mesafe

r dir. Mesafe formülünden,

Her iki yanın karesi alınırsa,

2 2x h y k r

2 2 2x h y k r

C(h, k)

h

kr

P(x, y)

y

x

88

Bir Çemberin Denklemi

merkezi C(h, k) ve yarıçapı r olan bir çemberin denklemi aşağıdaki gibi verilir.

2 2 2x h y k r 2 2 2x h y k r

89

örnekler

yarıçapı 2 ve merkezi (–1, 3) olan çemberin denklemini bulunuz.

çöözüm Çember formülünden, r = 2, h = –1, ve k = 3:

2 2 2

22 2

2 2

( 1) 3 2

1 3 4

x h y k r

x y

x y

(–1, 3)

–1

3

2

y

x

90

Örnekler

yarıçapı 3 ve merkezi orijinde olan çemberin denklemini bulunuz.

çözüm Çember formülünden, r = 3, h = 0, ve k = 0:

2 2 2

2 2 2

2 2

0 0 3

9

x h y k r

x y

x y

3

y

x

91

1.4Doğrular

11 22 33 44 55 66

(2, 5)(2, 5)

yy

xxLL

y y = = ––44

x x = 3= 366

55

44

33

22

11 (5, 1)(5, 1)

92

Düşey bir doğrunun eğimi

L , (x1, y1) ve (x2, y2) noktalarından geçen bir doğruyu göstersin

Eğer x1 = x2, ise o zaman L bir düşey doğrudur ve bu doğrunun eğimi tanımsız dır.

(x1, y1)

(x2, y2)

y

x

L

93

Düşey Olmayan bir Doğrunun Eğimi

Eğer (x1, y1) ve (x2, y2) düşey olmayan bir L, doğrusu üzerindeki iki farklı nokta ise o zaman, L doğrusunun eğimi m aşağıdaki gibi verilir.

(x1, y1)

(x2, y2)

y

x

2 1

2 1

y y ymx x x

L

y2 – y1 = y

x2 – x1 = x

94

Düşey Olmayan bir Doğrunun Eğimi

Eğer m > 0, ise doğru soldan sağa doğru eğimlidir .

y

x

L

y = 2

x = 1

m = 2

95

m = –1

Düşey Olmayan bir Doğrunun Eğimi

Eğer m < 0, ise dogru soldan sağa doğru eğimlidir .

y

xL

y = –1

x = 1

96

Örnekler

Eğimi – 4/3 olan ve (2, 5) noktasından geçen doğrunun grafiğini çiziniz.

1 2 3 4 5 6

(2, 5)

y

xL

y = –4

x = 3654321 (5, 1)

97

Örnekler

(–1, 1) ve (5, 3) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz

çözüm (x1, y1) yi (–1, 1) olarak ve (x2, y2) yide (5, 3) olarak

seçelim. Buradan, x1 = –1, y1 = 1, x2 = 5, y2 = 3, eğim,

2 1

2 1

3 1 2 15 ( 1) 6 3

y ymx x

2 1

2 1

3 1 2 15 ( 1) 6 3

y ymx x

98

Doğru Denklemleri

(a, )

y

x

L

(a, 0)

y

99

Doğru Denklemleri

1

1

y ymx x

1 1( )y y m x x

100

Nokta-Eğim Formu

101

Örnekler

Eğimi 2 olan ve (1,3) noktasından geçen doğru denklemini bulunuz..

çözüm nokta eğim formu kullanırsa,

1 1( )y y m x x

3 2( 1)y x

2 1 0x y

102

Örnekler (–3, 2) ve (4, –1) ve noktalarından geçen doğru denklemini

bulunuz.çözüm Doğrunun eğimi;

(4, –1) noktası ve eğime m = – 3/7, nokta-eğim formunda yerine konursa,

31 ( 4)7

y x

3 7 5 0x y

1

1

1 2 34 ( 3) 7

y ymx x

7 7 3 12y x

103

Dik Doğrular

104

Örnekler

11 ( 3)2

2 2 32 5 0

y x

y xx y

105

(a, 0)

(0, b)

Eksenlerin Kesilmesi

Ne yatay nede düşey olan bir L doğrusu, x-ekseni ve y-eksenini sırasıyle (a, 0) ve (0, b), noktalarında keser.

The numbers a ve b sırasıyle x-ekseni ve y-ekseninin kesenleri olarak adlandırılır.

y

xL

y-intercept

x-intercept

106

Eğim Kesen Formu

107

Örnekler

Eğimi 3 ve y-eksenini -4 noktasında kesen doğrunun denklemini bulunuz.

çözüm m = 3 ve b = –4 değerleri y = mx + b, denkleminde yerine

yazılırsa, y = 3x – 4 Doğru denklemi elde edilir.

108

Örnekler

3x – 4y = 8 denklemi ile belirlenen doğrunun eğimi ve y-eksenini kestiği noktayı bulunuz.

çözüm Denklemi eğim-kesen formunda yeniden yazalım. böylece,

Comparing to y = mx + b denklemi ile karşılaştırılırsa, şu bulunur. m = ¾ , ve b = – 2.

3 4 84 8 3

3 24

x yy x

y x

109

Uygulamalı Örnek

50.000 $ 'a satın alınan bir sanat eserinin önümüzdeki 5 yıl boyunca yıllık 5000 $' lık sabit bir oranda değer kazanması bekleniyor.

Herhangi bir yıl için sanat nesnesinin değerini tahmin eden bir denklem yazın

Satın aldıktan 3 yıl sonra değeri ne olacak?çözüm x = nesnenin satın alınmasından itibaren geçen süre (yıl olarak)

y = nesnenin değeri (dolar cinsinden) x = 0, zamanında y = 50,000 böylece y-keseni b = 50,000. Her yıl değeri 5000,arttığından eğim= m = 5000. Denklem y = 5000x + 50,000 olmalıdır 3 yıl sonra nesnenin değeri 65.000 $ olacak

y = 5000(3) + 50,000 = 65,000 110

Bir Lineer Denklemin Genel Formu

A, B ve C sabitler ve A ve B sıfır dan faklı olamak üzere,

Ax + By + C = 0

denklemine, x ve y değişkenlerine göre bir liner denklemin genel formu denir

111

Teorem 1

Düz bir çizginin denklemi, doğrusal bir denklemdir; tersine, her doğrusal denklem düz bir çizgiyi temsil eder.

112

Örnek

3x – 4y – 12 = 0 denklemi ile gösterilen doğrunun grafiğini çiziniz.

çözüm Her düz çizgi tekbir şekilde iki farklı nokta tarafından

belirlendiğinden, onu çizmek için çizginin içinden geçtiği yalnızca iki nokta bulmamız gerekir.

Kolaylık sağlamak için x ve y kesişimlerini hesaplayalım✦ Setting y = 0,için x = 4;bulunur.✦ Setting x = 0, için y = –3; bulunur.

Böylece , (4, 0) ve (0, –3) noktalarından geçen doğru dur.

113

Örnek

3x – 4y – 12 = 0 ,denklemi ile belirlenen doğrunun grafiğini çiziniz.

çözüm (4, 0) ve (0, –3) noktalarından geçen doğrunun grafiği

1 2 3 4 5 6

(0, –3)

y

x

L1

–1–2–3–4

(4, 0)

114

KAYNAK: Tan, S. T. (2015). Applied mathematics for the managerial, life, and social sciences 8th ed.. Cengage Learning

115