Kunskapskrisen i matematik - undersökning av lärande på Youschool, ett webbaserat

matematikstöd

John Rödin

UMK900, Examensarbete (30 hp)

Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapernas

didaktik vid Stockholms Universitet

Civilingenjör och Lärare (300 hp)

Inriktning: Kemi och matematik

Vårterminen 2015

Examinator: Carl-Johan Rundgren

Huvudhandledare: Tanja Pelz-Wall

Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapernas

didaktik vid Stockholms Universitet

Biträdande handledare: Hans Thunberg

Institutionen för Matematik vid Kungliga Tekniska Högskola

English title: Alarmingly low proficiency in mathematics in Swedish

education – A study of learning by Youschool, a private tutor on the

web ! !

Stockholm, 2015

!!

2!

Kunskapskrisen i Matematik

- undersökning av lärande på Youschool, ett webbaserat matematikstöd

John Rödin

Abstract

There!are!a!growing!number!of!companies!in!Sweden!that!provide!private!tutoring!to!students!in!upper!secondary!school,!one!of!these!companies!is!Youschool.!They!distinguished!themselves!from!the!others!by!having!a!tutor!communicating!with!a!student!via!Internet!–!using!pencil!and!sound!in!real!time.!Youschool!provide!virtual!classes!with!two!to!four!students!at!each!time!lead!by!one!teacher!using!a!“document!camera”!as!the!main!communication!equipment.!The!students!put!their!notebooks!under!their!document!cameras!and!are!thereafter!able!to!demonstrate!their!solutions!and!follow!each!other’s.!They!can!literally!follow!each!stroke!of!each!other’s!pencils.!!!!!!!Matematik!2b!is!a!mathematics!unit!in!the!Swedish!upper!secondary!school!mainly!taken!by!students!in!the!Business!Management!and!Economics!Programme!and!the!Humanities!Programme,!both!theoretical!programmes!preparing!students!for!university!studies.!Statistics!based!upon!the!Swedish!national!examinations!each!year!shows!that!a!great!number!of!students!fail!the!tests!in!this!unit.!!!This!is!a!qualitative!study!based!on!semi!structured!telephone!interviews!of!students!taking!the!Matematik!2b!unit,!and!who!are!using!Youschool!as!private!tutoring,!as!well!as!observations!of!a!screen!filmed!class!where!students!practiced!solving!mathematic!problems.!The!purpose!of!the!study!is!to!research!whether!Youschool!is!supportive!in!studying!mathematics!or!not.!In!the!discussion!section!of!this!study,!both!the!curriculum!of!the!unit!and!the!van!HieleJlevels!are!referred!to!when!analysing!the!findings.!!!The!results!points!out!the!importance!of!a!supportive!and!challenging!tutor!to!help!students!to!keep!their!motivation!up!during!classes!in!Youschool.!Furthermore,!some!mathematics!skills!might!be!better!practiced!using!Youschool!than!others,!therefore!students!wish!to!exercise!further!mathematic!problems!to!stimulate!thinking!on!the!higher!van!HieleJlevels.!However,!the!technology!that!is!supposed!to!enable!learning!by!Youschool!might!sometimes!be!the!one!thing!to!hinder!a!student!from!learning.!Problems!with!the!technology!therefore!impose!Youschool!to!update!their!systems!to!affirm!effective!learning.!

Keywords

Youschool, mathematics education, private tutoring, virtual teaching, document camera, van Hiele, crisis of thinking

!

!!

3!

Sammanfattning

En!rad!företag!som!erbjuder!läxhjälp!har!uppstått!sedan!Rutavdraget!för!läxhjälp!utökades!till!att!gälla!för!gymnasieelever.!Youschool!är!ett!av!dessa!företag.!Det!som!utmärker!Youschool!är!att!de!erbjuder!läxhjälp!där!elever!och!lärare!kan!kommunicera!med!varandra!både!med!penna!och!ljud!i!realtid!via!nätet.!De!tillhandahåller!virtuella!lektioner!med!en!lärare!på!2!till!4!elever!åt!gången,!där!en!dokumentkamera!är!det!verktyg!som!utgör!grunden!i!kommunikationstekniken.!Eleverna!lägger!exempelvis!sitt!skrivblock!under!sina!dokumentkameror!och!så!kan!de!som!är!med!på!lektionen!följa!varandras!resonemang,!eftersom!de!hela!tiden!kan!se!vad!alla!gör!med!sina!pennor.!!Matematik!2b!är!en!kurs!främst!för!elever!som!läser!på!Samhällsvetenskapsprogrammet!eller!på!Ekonomiprogrammet,!två!högskoleförberedande!gymnasieprogram.!Statistik!för!resultaten!på!de!nationella!proven!i!kursen,!från!totalundersökningar!i!Sverige,!visar!att!en!hög!andel!elever!får!underkänt!betyg!på!provet.!!Denna!studie!är!kvalitativ!och!utgörs!av!semistrukturerade!telefonintervjuer!med!elever!som!läser!Matematik!2b!och!som!använder!Youschool!som!läxhjälp!samt!av!observationer!från!en!skärminspelad!lektion!på!Youschool!där!eleverna!jobbar!med!ett!för!studien!tillrättalagt!material!som!testar!deras!kunskaper!om!funktionsbegreppet.!Syftet!är!att!undersöka!om!och!i!så!fall!hur!läroverktyget!Youschool!kan!utgöra!ett!stöd!i!elevers!kunskapsutveckling!i!Matematik!2b.!Kursens!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmågor!hos!eleverna!och!van!Hieles!tankenivåer!är!de!analysverktyg!som!används!i!diskussionen!av!resultaten.!!Lärarens!roll!som!stöttande!och!utmanande!framträder!som!viktig!för!att!upprätthålla!elevernas!motivation!till!att!arbeta!under!lektionerna!på!Youschool.!Vidare!kan!eventuellt!antydas!att!eleverna!tränas!i!vissa!matematiska!förmågor!mer!än!andra,!och!att!elever!önskar!fler!uppgifter!som!stimulerar!deras!tänkande!på!de!högre!av!van!HieleJnivåerna.!Tekniken!som!å!ena!sidan!möjliggör!undervisningen!på!Youschool!kan!behöva!utvecklas!eftersom!den!å!andra!sidan!ofta!strular.!

!Nyckelord Youschool,!läxhjälp!på!nätet,!dokumentkamera,!Matematik!2b,!Ma2b,!nationella!prov,!van!Hiele,!förmågor,!centralt!innehåll,!kunskapskrav!

!Tack Tack!Tanja!PelzJWall!för!att!du!har!velat!vara!ett!bollplank!genom!hela!den!långa!process!som!det!har!inneburit!för!mig!att!skriva!ett!examensarbete.!Tack!Hans!Thunberg!för!matematisk!granskning.!Tack!till!er!båda!för!er!handledning!och!för!att!ni!har!pushat!på!och!hjälpt!mig!genom!arbetet.!Tack!Fredrik!Jansson!som!har!öppnat!upp!mina!ögon!för!Youschool.!Tack!Björn!Olsson!för!användbara!kommentarer!som!opponent.!Tack!Jessika!Rödin!för!engelsk!översättning.!Sist!men!inte!minst!ett!stor!tack!till!familj!och!vänner!som!har!stått!ut!med!mig!och!har!bidragit!med!värdefullt!stöd!och!kommentarer!under!skrivprocessen. !

!!

4!

!

Innehållsförteckning0!1! Inledning!och!bakgrund!...........................................................................................................................!5!1.1! Nationella!prov!i!gymnasieskolan!efter!reformen!2011!...................................................!6!1.2! Läxläsning!..............................................................................................................................................!7!1.3! Youschool,!en!virtuell!skola!på!nätet!.........................................................................................!8!1.4! Pilotstudie!på!komvux!......................................................................................................................!9!1.5! Denna!studie!i!korthet!...................................................................................................................!10!

2! Teori!..............................................................................................................................................................!11!2.1! Centralt!innehåll!och!bedömning!av!elevers!kunskaper!i!Ma2b!.................................!11!2.2! Funktionsbegreppet!.......................................................................................................................!15!2.3! Van!Hieles!tankenivåer!.................................................................................................................!18!2.4! Kommunikativ!teori!om!lärande!..............................................................................................!20!

3! Syfte!och!frågeställningar!.....................................................................................................................!22!4! Metod!............................................................................................................................................................!23!4.1! Telefonintervjuer!............................................................................................................................!23!4.2! Skärminspelad!lektion!..................................................................................................................!24!

5! Resultat!........................................................................................................................................................!26!5.1! Telefonintervjuer,!resultat!..........................................................................................................!26!5.1.1! Vad!inspirerar!de!intervjuade!att!börja!använda!Youschool?!.............................!26!5.1.2! Vad!i!Youschool!utgör!ett!stöd!för!de!intervjuade!att!närma!sig!sina!betygsmål?!................................................................................................................................................!26!5.1.3! Ser!de!intervjuade!något!som!kan!utvecklas!på!Youschool?!................................!30!

5.2! Skärminspelad!lektion,!observationer!...................................................................................!31!6! Diskussion!...................................................................................................................................................!36!6.1! Hur!använder!elever!Youschool?!..............................................................................................!36!6.2! På!vilket!sätt!kan!Youschool!utgöra!ett!stöd!för!elever!i!deras!lärande!i!Ma2b?!.!36!6.3! Vilka!förmågor!går!att!träna!via!Youschool?!.......................................................................!37!6.4! En!vidare!reflektion!........................................................................................................................!39!6.5! Reliabilitet,!validitet!och!generaliserbarhet!........................................................................!39!

Källförteckning!.................................................................................................................................................!41!

!

00 0

!!

5!

1 Inledning0och0bakgrund0!Idén!till!studien!grundar!sig!i!att!jag!under!höstterminen!2012!får!i!uppdrag!att!starta!upp!och!genomföra!en!kvällskurs!i!matematik!för!komvuxstuderande.!Kursen!är!Matematik!2b,!Ma2b.!Tiden!för!detta!är!i!startgroparna!strax!efter!en!sjösättning!av!nya!läroplaner!med!nya!gymnasiekurser,!GY11!och!VUX12.!Politikers!retorik!är!att!det!ska!bli!en!mer!kunskapsorienterad!skola!än!tidigare,!vilket!är!en!av!tankarna!som!ligger!bakom!de!nya!läroplanerna.!!!Ma2b!är!den!lägsta!gymnasiekursen!i!matematik!som!av!flera!högskoleutbildningar!kräver!som!särskild!behörighet.!Kursen!ingår!även!som!obligatorium!i!det!högskoleförberedande!samhällsvetenskapligaJ!och!ekonomiprogrammet.!Initialt!ligger!i!dessa!faktorer!enda!motivationen!till!att!läsa!kursen,!för!många!elever!på!såväl!gymnasiet!som!på!komvux.!De!behöver!minst!det!lägsta!godkända!betyget!i!kursen!för!att!kunna!få!en!plats!på!önskad!högskoleutbildning.!!Kursen!Ma2b!är!även!den!första!påbyggnadskursen!i!matematik!på!gymnasiet!och!kursinnehållet!upplevs!i!stor!utsträckning!som!helt!nytt!för!elever!jämfört!med!till!exempel!övergången!från!grundskolematematik!till!kurs!1!på!gymnasiet.!Kvällskursen!som!nämndes!tidigare!bör!snarare!ses!som!att!den!tas!över,!mer!än!att!den!startas!upp,!då!likheterna!med!den!tidigare!första!påbyggnadskursen!Matematik!B,!MaB,!är!stora.!Jämfört!med!innehållet!i!MaB!är!innehållet!i!Ma2b,!i!linje!med!gymnasiereformen,!dock!något!utökat.!Redan!innan!denna!utökning!upplevdes!påbyggnadskursen!som!en!problemkurs!på!skolor.!!!Det!nationella!provet!i!Ma2b!är!obligatoriskt!för!alla!elever!som!har!kursen!som!den!högsta!och!avslutande!matematikkursen!i!sin!utbildning,!det!vill!säga!de!elever!som!läser!samhällsvetenskapligt!eller!ekonomiskt!program.!Ett!undantag!är!de!elever!som!läser!ekonomiprogrammet!med!inriktning!ekonomi,!eftersom!även!den!efterföljande!matematikkursen!utgör!en!obligatorisk!kurs!för!dem.!Många!elever!misslyckas!på!det!nationella!provet!i!Ma2b,!vilket!genererar!en!stor!andel!underkända!betyg!i!kursen.!För!att!läsa!mer!om!nationella!provresultat!för!Ma2b,!se!1.1.!!Problemet!med!underkända!betyg!ärvs!alltså!av!den!nya!kursen!Ma2b!från!den!gamla!MaB,!men!det!blir!nu,!mer!än!tidigare,!synligt!i!statistiken!eftersom!problemet!är!större!på!komvux!och!på!de!gymnasieprogram!som!inte!är!naturvetenskapligt!eller!tekniskt!inriktade.!På!de!naturvetenskapliga!och!tekniska!programmen!kan!antas!att!elever!är!mycket!medvetna!om!hur!viktiga!matematikkunskaper!är!för!deras!egen!framtid.!Nu!när!de!eleverna!har!fått!egna!kurser,!Matematik!1c,!2c!och!3c,!som!statistikförs!för!sig,!kommer!den!stora!andelen!underkända!betyg!på!de!andra!programmen!som!läser!Ma2b!i!ljuset.!!!TIMSS%och!PISA!är!två!omtalade!internationella!jämförelseundersökningar!som!båda!sägs!visa!att!svenska!elevers!matematikkunskaper!blir!allt!sämre!och!sämre.!Dock!bör!nämnas!att!båda!studierna!enbart!är!inriktade!på!grundskoleelever,!med!undantag!för!den!minde!utbredda!undersökningen!TIMSS%Advanced!som!för!svenska!elever!är!

!!

6!

inriktad!på!sistaårselever!på!naturvetenskapligtJ!eller!tekniskt!program.1!Dessa!elever!läser!inte!Ma2b.!!!De!fallande!resultaten!i!grundskolan!kan!antas!utgöra!en!ytterligare!faktor!till!att!många!elever!har!svårigheter!att!ta!till!sig!av!den!matematik!som!de!möter!i!det!efterföljande!gymnasiet.!Dock!klarar!flertalet!av!eleverna!ändå!den!första!kursen!på!gymnasiet.!!

1.1 Nationella0prov0i0gymnasieskolan0efter0reformen020110!Från!och!med!hösten!2011!genomförs!totalinsamlingar!av!provresultaten!på!de!nationella!proven!av!statistiska!centralbyrån.2!Skolorna!väljer!själva!om!proven!i!Ma2b!genomförs!på!höstJ!eller!vårterminen!men!majoriteten!av!skolorna!väljer!att!genomföra!dem!under!vårterminen.!Statistik!som!redovisas!i!tabeller!nedan!är!endast!för!de!prov!där!minst!18!000!elever!deltar!och!vars!provbetyg!rapporteras.!Betygsskalan!ska!läsas!så!att!F!är!lägst,!det!vill!säga!underkänt!betyg,!E!näst!lägst!och!lägsta!godkända!betyg!och!A!är!det!högsta!möjliga!betyget.!!!Statistiken!visar!att!42,!8!%!av!eleverna!som!skriver!nationellt!prov!i!kursen!Ma2b!vt!2014!får!provbetyget!F.!Motsvarande!siffra!för!vt!2013!är!29,2!%.!En!detalj!som!kan!vara!av!vikt!att!tillägga!är!att!i!provet!vt!2013!ingick!en!muntlig!del!i!provet,!det!ingick!inte!i!provet!vt!2014.!!

Provbetyg*NP*Ma2b*(%)* F! E! D! C! B! A!vt*13* 29,2! 37,7! 18,7! 10,5! 3,1! 0,8!vt*14* 42,8! 30,4! 14,9! 9,5! 1,9! 0,4!

Tabell01.1.1.00Statistik!för!NP!Ma2b.!

I!sammanhanget!är!det!även!intressant!att!studera!motsvarande!siffror!från!den!första!matematikkursen!dessa!elever!möter!på!gymnasiet.!!!

Provbetyg*NP*Ma1b*(%)* F! E! D! C! B! A!vt*12* 30,2! 33,3! 20,9! 8,7! 5,2! 1,8!vt*13* 7,3! 40,1! 27,5! 16,1! 6,8! 2,2!vt*14* 16,7! 35,0! 23,9! 14,7! 6,4! 3,3!

Tabell01.1.2.00Statistik!för!NP!Ma1b.!

Av!resultaten!att!döma,!bara!utifrån!att!till!exempel!studera!andelen!F!i!de!två!olika!kurserna,!så!har!fler!elever!lättare!att!ta!till!sig!kursinnehållet!i!kurs!1!jämfört!med!kurs!2.!Ett!undantag!är!den!höga!andelen!F!på!det!nationella!provet!vt!12,!det!första!provet!i!kursen!som!gavs!efter!att!ett!läsår!gått!sedan!införandet!av!GY11.!Elever!som!skrev!detta!prov!hade!gått!i!grundskolan!enligt!den!gamla!skolformen,!och!var!kanske!bättre!förberedda!för!den!gamla!introduktionskursen!Matematik!A!då!de!kom!till!gymnasiet!än!för!Ma!1b!som!hade!ett!annat!innehåll.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1!Skolverket,!Internationella!studier,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/statistikJochJutvardering/internationellaJstudier!(hämtad!2014J10J22)!2!Skolverket,!SIRIS!J!Nationella!prov,!2014,!tillgänglig:!http://siris.skolverket.se/siris/f?p=SIRIS:114:0::NO!(hämtad!2014J11J20)!

!!

7!

!En!hypotes!är!att!elever!kan!uppleva!nationella!provet!i!kurs!1!som!lättare!än!vad!innehållet!i!kursen!är!och!utifrån!detta!överskatta!sin!”förmåga!att!skriva!nationella!prov”.!I!slutet!av!kurs!2!kanske!dessa!elever!istället!upplever!det!nationella!kursprovet!i!denna!kurs!som!svårare!än!vad!de!hade!förväntat!sig.!Statistiken!visar!att!ett!glapp!skapats!mellan!de!två!kurserna!då!det!till!exempel!under!de!senare!av!de!redovisade!åren!är!en!större!andel!elever!som!får!F!i!kurs!2!än!i!kurs!1.!!Statistiken!bör!dock!inte!läsas!så!att!för!stor!vikt!läggs!vid!att!vt!2012!skrev!en!större!andel!elever!F!i!kurs!1!jämfört!med!motsvarande!andel!F!i!kurs!2!vt!2013.!Många!av!dessa!elever!kan!antas!vara!samma!elever,!men!det!var!bara!ca!18!000!elever!som!redovisades!ha!skrivit!NP!Ma2b!vt!2013!jämfört!med!ca!30!000!elever!för!NP!Ma1b!vt!2012.!!För!att!sätta!resultaten!i!relation!till!resultaten!på!kurserna!1c!och!2c,!för!naturvetare!och!tekniker,!bör!även!motsvarande!siffror!för!dessa!kurser!presenteras.!Dessa!prov!skrivs!varje!gång!av!färre!elever!än!proven!ovan,!men!de!har!istället!skrivits!fler!gånger!än!för!kurserna!1b!och!2b.!För!1c!ligger!andelen!F!på!de!hittills!skrivna!proven!mellan!2,7!%!och!5,4!%,!motsvarande!siffror!för!2c!är!att!andelen!F!ligger!mellan!10,9!%!och!15,4!%.!Det!går!att!dra!slutsatsen!att!även!för!naturvetarJ!och!teknikelever!är!kursinnehållet!lättare!att!ta!till!sig!i!kurs!1!jämfört!med!kurs!2,!men!att!en!mindre!andel!över!lag!får!underkända!betyg!i!matematik!jämfört!med!samhällsvetarJ!och!ekonomielever.!!En!mycket!viktig!fråga!som!dyker!upp!och!behöver!undersökas!är:!Vad%är%det%som%gör%att%eleverna%har%så%svårt%med%just%denna%kurs?%%!

1.2 Läxläsning0!Lärarledd!undervisningstid!omtalas!inte!sällan!som!en!bristvara.!För!den!omnämnda!kvällskursen!på!komvux!är!den!sammanlagda!tiden!54!timmar,!inkluderande!två!provskrivningar,!det!vill!säga!en!tre!timmar!lång!lektion!en!gång!i!veckan,!under!en!termin.!Gymnasieelever!har!ofta!mer!undervisningstid.!Skollagen!slår!fast!att!elever!på!högskoleförberedande!program!har!rätt!till!minst!2!180!undervisningstimmar!om!60!minuter.3!Utslaget!i!lika!stora!andelar!för!varje!poäng!av!de!2500!poäng!som!högskoleförberedande!examen!innehåller,!motsvarar!kursen!Ma2b,!som!är!på!100!poäng,!därmed!87,2!undervisningstimmar.!Oavsett!är!troligen!i!båda!fallen!den!knappa!tiden!långt!ifrån!tillräcklig!för!elever!att!ta!till!sig!kursinnehållet!på!den!nivå!som!krävs!för!ett!godkänt!kursbetyg.!!!Elever!behöver!lägga!ner!tid!utöver!lektionstid!på!läxläsning.!John!Hattie!presenterar!2009!en!så!kallad!meta?meta?analys!av!en!stor!mängd!effektstudier!i!skolan!i!vilken!han!använder!effektstorlek!som!måttenhet!för!att!mäta!hur!mycket!olika!faktorer!påverkar!elevers!studieresultat.4!Effektstorlek!är!en!term!som!är!hämtad!från!medicinsk!forskning!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3!SFS!2010:800,!Skollag,!16!kap.,!Utbildning%på%nationella%program%i%gymnasiet,!18!§.!4!Hattie,!J.,!Synligt%lärande:%en%syntes%av%mer%än%800%metaanalyser%om%vad%som%påverkar%elevers%skolresultat,!Natur!&!Kultur,!Stockholm,!2014.!

!!

8!

och!mäts!huvudsakligen,!ibland!med!små!modifieringar,!enligt!något!av!följande!två!sätt,!se!nedan:!!

d =µbehandling −µkontroll

σeller d =

µefter behandling −µ före behandling

σ!

!En!faktor!som!Hattie!studerar!är!förekomst!av!hemläxor.!Studien!av!hemläxors!påverkan!omfattar!5!metaanalyser!av!totalt!sett!161!studier!och!därmed!motsvarande!ett!elevunderlag!på!över!100!000!elever.!Resultaten!visar!att!det!finns!markanta!skillnader!i!effekt!hos!grundskoleJ!jämfört!med!gymnasieelever.!Medelvärdet!av!effekterna!på!studier!i!grundskolan!är!d=0,15,!medan!motsvarande!siffra!för!gymnasiet!är!d=0,64.!!!Effekterna!kan!bedömas!utifrån!en!skala!där! d < 0 !motsvarar!motsatt!eller!negativ!effekt,!0 < d ≤ 0,15 !motsvarar!effekt!som!skulle!kunna!uppnås!utan!påverkan!eller!låg!effekt,!0,15< d ≤ 0, 4motsvarar!effekt!som!uppnås!med!undervisning!eller!medeleffekt!och! d > 0, 4motsvarar!önskad!effekt!eller!hög!effekt.!De!givna!gränserna!ska!inte!ses!som!orubbliga,!men!de!utgör!en!tumregel!så!att!det!finns!något!att!följa.!!En!intressant!notering!som!Hattie!gör!är!att!effekterna!även!ser!ut!att!vara!större!för!högpresterande!elever!än!för!lågpresterande.!Han!varnar!även!för!att!i!de!fall!hemläxor!inte!följs!upp!av!läraren,!finns!risken!att!en!förstärkning!sker!av!elevers!känsla!av!att!han!eller!hon!inte!kan!lära!sig!på!egen!hand!och!därmed!inte!kan!klara!av!skolarbetet.5!!Värt!att!ha!i!beaktande!är!att!tyngdpunkten!av!alla!studier!som!Hattie!har!analyserat!är!från!engelskspråkiga!länder.!Definitionen!av!hemläxor!verkar!även!vara!snävt!definierad!till!uppgifter!som!lärare!gett!till!eleverna!och!som!är!avsedda!att!utföras!utanför!lektionstid.6!!

1.3 Youschool,0en0virtuell0skola0på0nätet0!Elever!kan!behöva!hjälp!med!läxläsningen,!dels!med!utformning!av,!och!innehåll!i,!läxläsningen!och!dels!med!själva!genomförandet!av!den.!Youschool7!är!ett!läxhjälpsföretag!vars!affärsidé!går!ut!på!att,!till!ett!överkomligt!pris,!erbjuda!elever!stödundervisning!via!internet!i!främst!grundskoleJ!och!gymnasiematematik.!Läxhjälpen!utformas!av!virtuella!lektioner!där!elever!i!grupper!om!cirka!två!till!fyra!elever!under!handledning!av!en!lärare!arbetar!med!matematikuppgifter.!En!begränsning!i!tekniken!är!dock!att!det!maximalt!går!att!följa!vad!fyra!personer!gör!samtidigt.!!Tekniskt!krävs,!för!att!lektionerna!på!Youschool!ska!fungera!som!tänkt,!att!både!lärare!och!elever!har!en!dokumentkamera!och!är!uppkopplade!till!internet.!I!grunden!utgör!Youschools!hemsida!en!lärplattform!där!både!lärare!och!elever!kan!kommunicera!med!varandra!muntligt!och!skriftligt.!För!att!det!ska!gå!att!se!varandras!skrifter!läggs!ett!vanligt!skrivhäfte!under!dokumentkameran!som!är!kopplad!till!internet!via!en!dator.!Det!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5!ibid.!s.!315.!6!ibid.!s.!314.!7!Youschool,!webbplats:!www.youschool.se!

d=effektstorlek µ=medelvärde σ=standardavvikelse

!!

9!

går!då!för!alla!närvarande!att!följa!varandras!resonemang!i!skrift,!live,!även!om!alla!inte!befinner!sig!på!samma!plats.!En!artikel!i!Aftonbladet!fångar!essensen!av!det!som!gör!att!Youschool!kan!vara!tilltalande!att!prova!som!ett!komplement!till!undervisningen.!!!!

”Youschool!ska!enligt!Fredrik8!kännas!som!en!blandning!mellan!Facebook,!Youtube!och!Skype,!och!är!en!virtuell!skola!där!man!som!elev!kan!välja!ett!klassrum!med!lärare!eller!där!man!kan!plugga!tillsammans!med!sina!kompisar.![…]!!!Nyckeln!till!interaktiviteten!ligger!i!webbkameran[dokumentkameran],!men!att!bara!se!varandras!ansikten!hjälper!inte!mycket!när!man!ska!visa!krångliga!matteuträkningar.!Därför!säljer!Youschool!en!egen!webbkamera![dokumentkamera]!som!istället!filmar!anteckningsblocket!vid!sidan!av!datorn.!’Jag!vet!att!det!är!väldigt!”analogt”!att!använda!papper!och!penna,!men!rent!pedagogiskt!är!det!snabbt!enkelt!och!överlägset!mest!effektivt.!Vår!kameralösning!är!ganska!unik,!och!vi!föredrar!förstås!att!våra!elever!använder!den!förr!eller!senare.’”%9%%

Ett!sidoprojekt!som!också!bedrivs!på!Youschool!är!inspelning!av!filmer!med!lösningförslag!till!flera!av!de!vanligaste!läroböckerna!i!matematik!i!svensk!gymnasieJ!och!grundskola.!Filmerna!kan!ses!gratis!för!alla!som!skapar!ett!konto!på!Youschool.!

!

1.4 Pilotstudie0på0komvux0!För!att!återgå!till!komvuxeleverna!på!kvällskursen!ht!2012,!så!informeras!de!om!den!stora!vikten!av!att!utöver!lektionstid!kontinuerligt!plugga!i!kursen.!I!viss!utsträckning!följer!flera!av!eleverna!också!instruktionerna.!Trots!ambitionerna!så!lyckas!ett!flertal!av!kursdeltagarna!inte!nå,!alternativt!kan!inte!uppvisa,!den!kunskapsnivå!som!krävs!för!ett!godkänt!betyg!i!Ma2b.!!!Inför!kursstarten!av!kvällskursen!vt!2013!kommer!jag!i!kontakt!med!Youschool.!Med!en!ny!grupp!elever!i!samma!kurs!gör!jag!under!vt!2013!ett!pilotprojekt!för!att!undersöka!och!öka!förståelsen!kring!hur!YS!skulle!kunna!utvecklas!som!ett!stöd!i!Ma!2b,!komvuxeleverna.!!!I!projektet!tillkommer!två!timmars!undervisningstid!varje!vecka.!Eleverna!har!kvällen!innan!varje!lektion!möjlighet!att!gå!in!på!Youschools!lärplattform!och!där!besöka!mitt!klassrum!under!dessa!två!timmar!för!att!få!läxhjälp.!Då!de!går!in!i!klassrummet!under!angiven!tid!finns!jag!där!för!att!hjälpa!dem!med!den!teori!och!uppgifter!som!de!har!svårt!med.!Varje!ordinarie!undervisningspass!i!kvällskursen!inleds!därefter!med!ett!kort!skriftligt!läxförhör,!vilket!följs!av!en!genomgång!av!förhörsuppgifterna!så!att!eleverna!får!snabb!feedback!på!sina!prestationer.!!Med!dessa!tillägg!gjorda!i!upplägget!för!kvällskursen!minskar!andelen!elever!som!får!F!i!kursen!från!75!%,!ht!2012,!till!45!%,!vt!2013.!Dessutom!ökar!antalet!elever!som!är!kvar!i!kursen!vid!kursslut,!från!16!till!20!elever,!räknat!utifrån!att!det!vid!de!två!olika!kursstarterna!var!ungefär!lika!många!elever!vid!kursstart.!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8!Fredrik!Jansson,!grundare!av!och!matematiklärare!på!Youschool!9!von!Essen,!C.,!Din!skola!på!nätet,!Aftonbladet,%Fokus:%Studera,!Mars!2013!

!!

10!

Att!siffrorna!rimmar!dåligt!med!totalundersökningen!av!nationella!provresultat,!se!1.1,!bör!i!sammanhanget!försvaras!något.!Dels!med!att!flertalet!av!eleverna!på!komvux!som!läser!kursen!Ma2b!inte!gör!det!för!första!gången!utan!har!ett!okänt!antal!misslyckade!försök!bakom!sig.!Dels!med!att!det!nationella!provet!inte!är!obligatoriskt!för!komvuxelever!och!att!de!därmed!inte!ingår!i!statistiken.!!Eftersom!pilotstudien!endast!omfattar!ett!litet!elevunderlag,!rör!det!sig!inte!om!någon!statistisk!studie.!Därmed!är!det!svårt!att!kunna!avgöra!ifall!det!finns!några!avgörande!faktorer!i!och!med!de!nämnda!förändringarna!av!kursen,!eller!om!det!bara!råkar!röra!sig!om!att!det!är!andra!elever!under!de!två!olika!terminerna.!Vidare!går!det!tyvärr!heller!inte!att!säga!något!om!i!vilken!utsträckning!den!extra!lärarledda!läxläsningstiden!eller!de!återkommande!förhören!separat!från!varandra!skulle!kunna!tänkas!bidra!till!en!eventuell!positiv!effekt.!Det!skulle!kunna!vara!så!att!det!positiva!utslaget!är!ett!resultat!av!de!båda!förändringarna!i!kombination.!%Även!läsår!ht!14/vt!15!testar!jag!ett!liknande!kursupplägg,!men!denna!gång!för!gymnasielever.!Gymnasieungdomarna!erbjuds!samma!kvällsläxhjälp!och!ungefär!en!gång!per!vecka!har!även!de!läxförhör!som!är!utformade!på!ungefär!samma!sätt!som!för!komvuxeleverna.!Därvid!upphör!likheterna!med!pilotstudien.!Eleverna!läser!på!en!annan!skola.!Undervisningen!sträcker!sig!över!ett!läsår!istället!för!under!en!termin.!De!har!tre!kortare!undervisningspass!i!veckan!istället!för!ett!enda!längre!pass.!De!läser!i!skolan!på!dagtid.!De!har!en!annan!lärobok.!Dessa!elevers!studieresultat,!som!grupp!betraktat,!visar!vid!en!jämförelse!med!föregående!års!elevers!resultat,!då!Youschool!inte!tillämpades,!tyvärr!inga!förändringar.!Beräkningarna!som!gjordes!var!i!andelar!elever!som!får!högre,!lägre!eller!oförändrat!betyg!i!kurs!2!jämfört!med!i!kurs!1.!!

1.5 Denna0studie0i0korthet0*Utifrån!mitt!perspektiv,!ett!lärarperspektiv,!bidrar!de!framsteg!som!pilotstudien!på!komvux!eventuellt!visar!till!att!jag!blir!intresserad!av!att!göra!en!kvalitativ!studie!som!undersöker!vilka!möjligheter!till!stöd!som!går!att!finna!i!Youschool,!för!elever!i!sitt!lärande.!En!annan!utgångspunkt!för!denna!studie!är!min!utbildning,!Civilingenjör!och!lärare!med!inriktningen!kemi!och!matematik!vid!KTH.!I!utbildningen!lärde!jag!mig!att!anta!ett!”lösningsorienterat!perspektiv”,!kanske!är!det!därför!som!jag!ofta!stimuleras!av!att!upptäcka!problem!och!att!undersöka!om!jag!kan!hitta!lösningar!på!dem.!Målet!med!denna!studie!är!att!undersöka!om!Youschool!kan!vara!ett!pedagogiskt!och!effektivt!redskap!i,!eller!ett!komplement!till,!undervisningen!i!problemkursen!Ma2b.!!I!kapitel!2!studeras!först!de!styrdokument!från!skolverket!som!ligger!till!grund!för!Ma2b.!Studien!avgränsas!sedan!till!att!behandla!de!delar!i!det!centrala!kursinnehållet!som!är!kopplat!till!funktionsbegreppet.!Vidare!redovisas!olika!tolkningar!av!kursens!styrdokument,!dels!av!de!ansvariga!för!de!nationella!proven,!dels!av!olika!läroboksförlag.!Kapitlet!avslutas!med!några!teorier!om!och!forskning!kring!lärande.!I!kapitel!3!beskrivs!studiens!syfte!och!de!frågeställningar!som!undersöks!i!studien.!I!kapitel!4!redogörs!för!de!metoder!för!kvalitativa!studier!som!används,!intervjuer!och!lektionsobservation.!I!kapitel!5!redovisas!resultatet!av!de!undersökningar!som!görs!i!studien.!Studien!avslutas!i!kapitel!6!med!en!diskussion!om!resultatet,!kopplad!till!styrdokument!och!teori!om!lärande.!

!!

11!

2 Teori0!

2.1 Centralt0innehåll0och0bedömning0av0elevers0kunskaper0i0Ma2b0

Ämnesplanerna!i!läroplanen!Gy11!är!skrivna!med!rubrikerna!centralt%innehåll!och!kunskapskrav.%10!I!denna!studie!är!tolkningen!av!styrdokumenten!gjord!så!att!undervisningen!i!kursen!ska!handla!om!det!centrala!innehållet!i!kursen,!men!inte!att!eleverna!ska!bedömas!utifrån!vilka!kunskaper!inom!det!centrala!innehållet!som!de!visar!att!de!har!tillgodogjort!sig.!Elevernas!betyg!ska!bedömas!utifrån!vilka!kunskapskrav!som!de!har!uppfyllt.!!

Någon!vill!kanske!i!sammanhanget!passa!på!att!spetsfundigt!hävda!att!eleverna!kravlöst!kan!klara!kurserna!utan!att!de!egentligen!har!tillgodogjort!sig!några!kunskaper!om!det!centrala!innehållet.!För!att!undvika!att!detta!sker!anammas!därför!här!en!bedömningskultur!som!innebär!att!elevers!kunskaper!testas!genom!att!de!utsätts!för!väl!valda!uppgifter!som!är!avsedda!att!testa!kursinnehållet.!De!kunskapskrav!eller,!som!andra!kallar!dem,!de!förmågor%som!eleverna!har!tillgodogjort!sig!i!kursen!sätts!därmed!”ändå”!på!prov.!Beroende!på!hur!varierade!uppgifterna!är!och!med!exempelvis!lämpligt!valda!följdfrågor!går!det!att!arrangera!så!att!eleverna!kan!behöva!tillämpa!de!flesta!eller!kanske!rentav!alla!matematiska!förmågor!i!en!sekvens!av!uppgifter.!Vilka!de!matematiska!förmågorna!är!och!hur!de!är!kopplade!till!kunskapskraven!utreds!närmre!efter!att!det!centrala!innehållet!har!presenterats.!

Centralt%innehåll%i%Ma2b%

Eftersom!det!i!studien!undersöks!hur!elever!på!Youshool!arbetar!med!funktioner!så!hänsyn!taget!till!detta!i!urvalet!ur!det!centrala!innehållet!i!Ma2b!nedan.!Utvalt!är!allt!i!det!centrala!innehållet!som!handlar!om!funktioner,!men!under!den!observerade!lektionen!i!studien!arbetar!eleverna!enbart!med!punkt!2!och!punkt!4.!

”Undervisningen!i!kursen!ska!behandla!följande!centrala!innehåll:**

• Begreppet!logaritm!i!samband!med!lösning!av!exponentialekvationer.!!• Räta!linjens!ekvation!samt!hur!analytisk!geometri!binder!ihop!geometriska!och!algebraiska!begrepp.!

!• Egenskaper!hos!andragradsfunktioner.!

• Konstruktion!av!grafer!till!funktioner!samt!bestämning!av!funktionsvärde!och!nollställe,!med!och!utan!digitala!verktyg.”!

% %

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!10!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hämtad!2015J06J04)!

!!

12!

Kunskapskrav%för%Ma2b%

Kunskapskraven!har!av!flera!styrdokumentstolkare!försökt!att!konkretiseras!genom!att!de!kategoriseras!i!7!förmågor!som!elever!ska!ges!möjlighet!att!utveckla!i!undervisningen.!Sedan!ska!elevernas!betyg!bedömas!i!utifrån!den!nivå!på!varje!av!förmågorna!som!de!uppnått!i!slutet!av!kursen.!Förmågorna!som!här!skrivs!kursivt!har!sin!grund!i!skolverkets!sammanfattning!av!gymnasieämnet!matematiks!syfte11!och!är!formulerade!i!tabell!2.1.1.!

Förmåga! Förkortning! Skolverkets!definition!”Undervisningen!i!ämnet!matematik!ska!ge!eleverna!förutsättningar!att!utveckla!förmåga!att:!

Begrepp% B använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.

Procedur% P hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.

Problemlösning% PL formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat.

Modellering% M tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar.

Resonemang% R följa, föra och bedöma matematiska resonemang.

Kommunikation K kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.

Relevans Rlv relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.”

! Tabell02.1.1.0Skolverkets!definition!av!matematiska!förmågor!med!gängse!förkortningar.0

Som!har!setts!avsnitt!1.1!om!resultat!från!nationella!proven,!betygssätts!elever!enligt!en!6Jgradig!skala,!där!F!är!det!lägsta!betyget!och!underkänt,!E!det!näst!lägsta!och!första!godkända!betyget!och!A!det!högsta!betyget.!Det!är!för!betygen!E,!C!och!A!som!det!finns!kunskapskrav.!Mellanbetygen!D!och!B,!ges!de!elever!som!inte!fullt!ut,!men!till!övervägande!del,!har!uppfyllt!kunskapskraven!för!ett!högre!betyg!i!betygsskalan.!I!Appendix!I!återfinns!de!fullständiga!kunskapskraven!i!skolverkets!egen!matris.!

Ett!exempel!på!konkretisering!som!kan!göras!av!kunskapskraven!i!Ma2b!är!kopplat!till!förmågorna!i!tabell!2.1.1!ovan!kan!ses!i!tabell!2.1.2!på!nästa!sida.!Urvalet!av!kunskapskrav!som!presenteras!i!denna!tabell!är!gjort!så!att!det!är!kopplat!till!vilka!uppgifter!eleverna!får!i!uppdrag!att!arbeta!med!på!den!lektion!på!Youschool!som!observeras!i!denna!studie.!Kunskapskrav!knutna!till!förmågan!relevans!är!därför!inte!redovisade!i!tabellen.!Kunskapskrav!knutna!till!förmågan!kommunikation!är!samtidigt!knutna!till!andra!förmågor!som!till!exempel!förmågan!begrepp,!därför!finns!heller!inte!kommunikation!med!i!tabellen.!Kunskapskrav!finns!som!nämnts!tidigare!endast!för!betygen!E,!C!och!A,!och!vid!en!närmre!observation!kan!ses!att!kravformuleringarna!överensstämmer!för!alla!tre!betygen!i!allt!utom!de!fetmarkerade!orden.!Dessa!avvikande!ord!är!de!”värdeord”!som!ska!användas!vid!bedömning,!i!exempelvis!kraven!som!kopplats!till!förmågan!begrepp!används!bland!andra!orden!översiktligt!kontra!utförligt!för!att!skilja!mellan!två!olika!betygsnivåer.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!11!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014

!!

13!

! E0 C0 A0Begrepp Eleven kan översiktligt

beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen.

Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen.!

Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. !

Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer.!

Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer.

Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan olika representationer. !

Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra representationer.

Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation.

Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal, skrift och i handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.

Procedur I arbetet hanterar eleven några enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med viss säkerhet, både utan och med digitala verktyg.

I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan och med digitala verktyg.

I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt sätt, både utan och med digitala verktyg.

Problem-lösning

Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena i bekanta situationer.

Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena.!

Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena.!

Modellering I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att tillämpa givna matematiska modeller.

I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja och tillämpa matematiska modeller.

I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska modeller.

Resonemang Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden

Eleven kan föra välgrundade matematiska resonemang och värdera med nyanserade omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden.

Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden.

Tabell02.1.2.00Urval!av!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmågor.!

!!

14!

Både!författare!till!de!nationella!proven!och!till!flertalet!av!de!mest!använda!läroböckerna!har!beslutat!sig!för!att!på!olika!sätt!och!i!olika!grad!ta!fasta!på!dessa!förmågor.!

PRIMJguppen!som!ansvarar!för!provkonstruktionen!av!de!nationella!proven!för!grundskolan!och!för!gymnasiekurserna!Ma1a,!1b,!och!1c!har!sammanställt!en!7!gånger!3Jmatris!där!varje!förmåga!tilldelats!de!tre!betygsnivåerna!E,!C!och!A,!liknande!den!i!tabell!2.1.2.12!Elevsvaren!på!uppgifter!på!de!nationella!proven!poängsätts!utifrån!hur!fullständig!och!korrekt!en!lösning!på!dem!bedöms!vara.!Vissa!uppgifter!på!proven!innehåller!en!eller!få!poäng,!alltså!bedömningspunkter,!medan!andra!innehåller!betydligt!fler.!Poängen!är!också!nivåbestämd,!och!kallas!beroende!på!nivå!för!EJ,!CJ!eller!AJpoäng.!Till!varje!poäng!kopplas!en!av!de!sju!förmågorna.!Oavsett!hur!många!av!förmågorna!som!eleven!behöver!behärska!för!att!kunna!avge!ett!poänggivande!svar!så!görs!en!avvägning!vilken!av!förmågorna!som!uppgiften!huvudsakligen!testar.!Det!är!denna!förmåga!som!också!blir!kopplade!till!poängen.!Man!använder!då!förkortningarna!i!tabell!2.1.1.!Till!exempel,!EP,!Betyder!en!poäng!på!EJnivå!där!den!huvudsakliga!förmågan!som!har!bedömts!testas!i!uppgiften!är!procedur.!Samtliga!förmågor!utom!relevans!kopplas!på!detta!sätt!till!poängen!på!de!nationella!proven.!

Institutionen!för!tillämpad!utbildningsvetenskap!vid!Umeå!universitet!som!ansvarar!för!konstruktionen!av!de!nationella!proven!i!de!högre!kurserna!på!gymnasiet!använder!samma!system!för!poängsättning!av!provuppgifter!som!görs!under!PRIMJgruppens!ansvar.!Avvägningar!av!vad!som!är!den!huvudsakliga!förmågan!som!testas!i!uppgifterna!kan!däremot!antas!skilja!från!mellan!de!två!olika!huvudmännen!för!de!nationella!proven.!Figur!2.1.3.!visar!ett!exempel!på!uppgift!med!tillhörande!bedömningsanvisning!från!provkonstruktören.!Uppgiften!är!första!uppgiften!på!det!nationella!provet!i!Ma2b!vt!2012,!ett!av!de!prov!som!släppts!för!att!kunna!användas!som!övningsprov!i!undervisning.!I!bedömningen!kan!ses!att!aJuppgiften!har!avvägts!testa!främst!förmågan!procedur!respektive!bJuppgiften!främst!förmågan!begrepp.!Uppgiften!är!även!den!inledande!uppgift!som!elever!arbetar!med!under!en!lektion!på!Youschool,!se!4.2!och!5.2.!

! !

!Figur02.1.3.00Uppgift!1!på!NP!Ma2b!vt!2012,!med!bedömningsanvisning.13!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!12!Stockholms%universitet,!PRIM?gruppen,%Dokument,!2014,!tillgänglig:!http://www.su.se/polopoly_fs/1.129061.1402923516!/menu/standard/file/A4_Kunskapskrav%201bc%20i%20matrisform_140128.pdf!(hämtad!2015J06J24)!13!Umeå%universitet,!Nationella!kursprov!i!matematik!2J4,!2015,!tillgänglig:!http://www.edusci.umu.se/np/npJ2J4/tidigareJgivnaJprov/!(hämtad!2015J06J15)!

NpMa2b vt 2012

2

1.

a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje med riktningskoefficienten 1� k (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 25)5)(5( ��� xx så långt som möjligt.

______________________(1/0/0) 3. Lös ekvationerna a) 0)7( �xx ______________________(1/0/0) b) 3lg x ______________________(1/0/0) c) xx 23 222 � ______________________(0/1/0)

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

NpMa2b vt 2012

8

Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlös-ningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i mate-rialet markeras detta med en symbol. Del I 1. Max 2/0/0 a) Korrekt svar ( 42 � xy ) +1EP b) Godtagbart ritad rät linje +1EB 2. Max 1/0/0 Korrekt svar ( 2x ) +1EP 3. Max 2/1/0 a) Korrekt svar ( 7och0 21 � xx ) +1EP b) Korrekt svar ( 310 x ) +1EP c) Korrekt svar ( 3 x ) +1CP 4. Max 1/0/0 Korrekt svar (Alternativ B: 062 �x ) +1EB 5. Max 0/1/0 Korrekt svar ( xy 35,07 � ) +1CM 6. Max 0/1/0 Korrekt svar ( 2� x ) +1CB 7. Max 0/1/1

a) Korrekt svar ( 7m

x ) +1CP

b) Korrekt svar ¸¹·

¨©§

3x +1AP

NpMa2b vt 2012

2

1.

a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje med riktningskoefficienten 1� k (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 25)5)(5( ��� xx så långt som möjligt.

______________________(1/0/0) 3. Lös ekvationerna a) 0)7( �xx ______________________(1/0/0) b) 3lg x ______________________(1/0/0) c) xx 23 222 � ______________________(0/1/0)

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

!!

15!

Även!läroboksförfattare!har!lagt!fokus!på!dessa!förmågor!på!olika!sätt.!Sanoma!har!poängsatt!uppgifterna!i!sina!exempelprov!på!samma!sätt!som!görs!på!de!nationella!proven.!Exempelproven!tillhandahåller!de!lärarna!som!använder!deras!böcker.!Gleerups!har!för!alla!olika!uppgifter!eller!för!grupper!av!uppgifter!i!boken!märkt!dem!med!vilken!förmåga!de!avser!att!testa.!Natur%och%kultur!håller!på!att!utarbeta!en!mobilapp!som!i!vilken!de!uppgifter!från!boken!som!hamnar!där!kommer!att!vara!markerade!utifrån!vilka!förmågor!den!testar,!ungefär!på!samma!sätt!som!Gleerups!gör!i!sina!läroböcker.!Ett!snabbt!experiment!gjordes!under!en!övning!då!lärare!var!inbjudna!till!en!föreläsning!om!Natur%och%Kulturs!planer!kring!elektroniska!läromedel.!Det!visade!sig!att!en!slumpvis!utvald!uppgift!från!deras!lärobok!kunde!bedömas!testa!helt!olika!förmågor!beroende!av!olika!lärare,!det!som!kanske!avgjorde!var!på!vilken!skola!läraren!undervisade,!vilka!program!som!gavs!på!skolan!eller!kortare!sagt!vilka!erfarenheter!läraren!hade.!!

2.2 Funktionsbegreppet0

Elevers!förståelse!för!begreppet!funktion!utgör!en!bas!och!är!en!avgränsning!för!denna!studie.!Förutsättningarna!att!arbeta!med!den!del!av!det!centrala!innehållet!i!Ma2b!som!handlar!om!funktioner!beror!av!de!erfarenheter!av!funktioner!elever!har!med!sig!av!från!i!tidigare!kurs,!Ma1b,!och!från!grundskolan.!För!att!inte!göra!en!för!lång!tillbakablick!kan!det!räcka!med!att!studera!det!centrala!innehållet!i!Ma1b.!

”Undervisningen!i!kursen!ska!behandla!följande!centrala!innehåll:**

• Begreppen!funktion,!definitionsJ!och!värdemängd!samt!egenskaper!hos!linjära!funktioner!och!potensJ!och!exponentialfunktioner.!!

• Representationer!av!funktioner,!till!exempel!i!form!av!ord,!gestaltning,!funktionsuttryck,!tabeller!och!grafer.!

!• Skillnader!mellan!begreppen!ekvation,!algebraiskt!uttryck!och!funktion.”14!

!Vad!är!en!funktion?!!!En!studie!av!hur!de!4!ledande!läroböckerna!för!gymnasiekurserna!i!matematik!presenterar!detta!ger!en!fingervisning.!I!tabell!2.2.1,!nästa!sida,!finns!en!sammanställning!av!hur!en!funktion!definieras!i!läroböckerna!i!kursen!Ma1b.!Elever!förväntas!som!tidigare!nämnts!ha!med!sig!dessa!kunskaper!när!de!börjar!kurs!2b.!! !

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!14!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hämtad!2015J06J04)!

!!

16!

!Lärobok,!förlag!

Definition!av!funktion!

Origo, Sanoma

”En funktion är ett samband eller ett beroende mellan två variabler. Man säger att y är en funktion av x, om det till varje värde på x endast finns ett bestämt värde på y.”15

Ma 5000, Natur och kultur

”Om sambandet mellan två variabler x och y är sådant att varje x-värde, enligt någon regel, ger ett bestämt y-värde, kan vi säga att y är en funktion av x.16

Exponent, Gleerups

”y är en funktion av x om det finns en regel eller ett samband som för varje x-värde i en given mängd ger precis ett y-värde. För att ange att y är en funktion x används beteckningen y = f(x).”17

M, Liber Saknas

0 Tabell02.2.1.00Urval!av!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmågor.0!Alla!böckerna!utom%M!förklarar!vad!en!funktion!är!och!väljer!att!likna!den!vid!en!maskin,!som!ifall!man!stoppar!in!ett!invärde!i!maskinen!ger!tillbaka!ett!utvärde.!M!varken!försöker!sig!på!att!definiera!eller!att!förklara!vad!en!funktion!är,!men!inleder!sitt!kapitel!om!funktioner!med!att!beröra!begreppet!kortfattat.!!

”Ordet!funktion!betyder!samband.!En!funktion!kan!vara!något!helt!vardagligt!som!t!ex!att!telefonräkningen!beror!på!hur!mycket!du!ringer.!Ofta!beskrivs!funktioner!med!hjälp!av!formler,!tabeller!och!grafer.”%18%%

Resten!av!funktionskapitlet!i!M!består,!förutom!av!räkneuppgifter,!enbart!av!lösta!uppgiftsexempel.!Viktiga!tillhörande!begrepp!såsom!olika!representationsformer!för!en!funktion,!formel,!värdetabell!och!graf,!illustreras!genom!små!kommentarer!tillhörande!instruktioner!av!hur!räkneexempel!ska!lösas.!På!liknande!sätt!introducerar!de!beteckningen f (x) ,!genom!att!utgå!från!ett!exempel!på!en!funktion!där!kostnaden!beror!av!körsträckan!hos!en!hyrbil!samt!en!beräkning!av!kostnaden!efter!8!körda!mil.!!

”Lägg!märke!till!att!K(8) är!ett!skrivsätt.!Det!är!inte!en!multiplikation!!Här!har!vi!använt!bokstaven!K!som!i!Kostnad.!Vanligast!är!att!använda!bokstaven!f,!som!i!ordet!funktion.”%19%

!Origo!utmärker!sig!genom!att!de!undviker!att!använda!begreppet!formel%som!representationsform!för!en!funktion.!Deras!kapitel!inleds!med!en!kommentar!om!hur!begreppet!funktion!används!i!några!andra!sammanhang!än!inom!matematiken!innan!de!kommer!till!hur!det!bör!tolkas!i!matematiken.!Där!de!nämner!där!att!en!funktion!kan!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!15!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!Dufåker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!Utbildning,!Stockholm,!2011,!s.!178.!16!Alfredsson,!L.,!Björk,!L.!E.,!Brolin,!H.,!Bråting,!K.,!Erixon,!P.,!Heikne,!H.,!Ristamäki,!A.,!Matematik%5000,%Kurs%1b%Grön%lärobok,%Natur!och!Kultur,!Stockholm!s.!316.!17!Gennow,!S.,!Gustafsson,!I.!M.,!Silborn,!B.,!Exponent%1b,!1!uppl.,!Gleerups!Utbildning!AB,!Malmö,!2011,!s.!202.!18!Holmström,!M.,!Smedhamre,!E.!och!Sjunnesson,!J.,!M%Matematik%1b,!1!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2011,!s.!184.!19!ibid.!s.!197.!

!!

17!

skrivas!som!en!formel,!men!sedan!överges!begreppet!formel!helt.20!I!resten!av!kapitlet!om!funktioner!används!istället!synonymt!för!formel!ekvation,!eller!funktionsuttryck.!%Gemensamt!för!samtliga!av!läroböckerna!är!att!de!låter!elever!som!läser!kursen!i!lärobokens!ordning!att!komma!i!kontakt!med!begreppet!formel,!innan!de!kommer!i!kontakt!med!begreppet!funktioner.!Det!väljer!alla!att!lägga!definition!av!vad!en!formel!är!i!ett!kapitel!för!algebra,!som!är!kapitlet!före!eller!några!kapitel!före!det!om!funktioner.!!Ett!annat!gemensamt!drag!är!att!de!även!väljer!att!repetera!från!grundskolan!i!varierande!grad!kunskaper!om!koordinatsystem,!avläsning!i!grafer!och!linjära!samband!innan!de!introducerar!beteckningen! f (x) .!Minst!repetition!står!Exponent!för!som!verkar!vilja!introducera!beteckningen!snabbare!än!de!övriga,!de!väntar!med!att!låta!eleverna!arbeta!med!linjära!funktioner!tills!efter!att!de!gjort!definitionen!för!en!funktion!samt!introducerat!beteckningen f (x) .!!I!bredare!bemärkelse!behöver!en!funktion!inte!enbart!begränsas!till!en!relation21!mellan!element!i!mängder!som!innehåller!tal.!Nedanstående!figur!visar!exempel!på!hur!en!relation!mellan!element!i!definitionsmängd!X!och!värdemängd!Y!som!är!en!funktion!kan!se!ut,!där!värdemängden!innehåller!bokstäver.!!!

%Figur002.2.2.00Diagram!för!olika!observationstyper.!22!

Även!definitionsmängden!kan!bestå!av!något!annat!än!tal.!För!att!ge!det!hela!en!lite!mer!vardaglig!beskrivning!så!kan!följande!exempel!betraktas!som!en!funktion.!I!en!grupp!människor,!mängd!A,!har!varje!person!en!favoritsmak!bland!glassmaker,!vanilj,!choklad,!och!hallon,!mängd!B.!Invärdet!till!funktionen!är!i!detta!fall!en!person,!och!utvärdet!är!en!av!de!tre!glassmakerna.!Favoritsmak,!regeln,!är!en!funktion!av!person!till!glassmak.!Johan!kan!till!exempel!ha!favoritsmaken!vanilj,!medan!Kent!har!favoriten!choklad.!Det!är!fullt!möjligt!för!två!personer!att!ha!samma!favoritsmak.!Det!kan!till!exempel!vara!så!att!både!personerna!Johan!och!Anna!tycker!bäst!om!vanilj.!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!20!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!Dufåker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!Utbildning,!Stockholm,!2011,!s.!161.!21!Ma2b!har!ett!avgränsat!centralt!innehåll.!Definition!av!begreppet!relation!kan!bedömas!ligga!utanför!kursen!samt!inte!tillföra!något!djup!i!studien.!Det!begrepp!som!används!fortsättningsvis!utanför!detta!stycke!istället!för!relation!är!regel,!samma!begrepp!som!också!några!av!kursens!läroböcker!använder.!22!Garten.!B.!i.,%Injection%keine%Injektion%2a,%,!2011,%tillgänglig!http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg#/media/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg%(hämtad!2015J06J09)!

!!

18!

2.3 Van0Hieles0tankenivåer0!Nivåerna!gällande!matematiskt!tänkande!kallas!fortsättningsvis!enbart!van%Hiele?nivåerna.!Detta!är!min!tolkning!av!van!HieleJnivåerna,!det!finns!avvikande!tolkningar.23!!1955!presenterar!makarna!van!Hiele!en!artikel!som!påverkar!efterföljande!matematikundervisning!och!läroplanskrivning,!främst!inom!geometri!och!kanske!främst!i!deras!hemland,!Nederländerna.!Pierre!van!Hiele!skriver!1986,!efter!hans!fru!Dina!van!Hieles!bortgång,!en!bok!som!placerar!van!HieleJnivåerna!i!ett!perspektiv!som!omfattar!en!större!del!av!matematikämnet!än!enbart!geometrin.!24!Denna!bok!ligger!till!grund!för!min!tolkning!av!van!Hielenivåerna.!!Van!Hiele!skriver!att!en!viktig!inspirationskälla!till!idéerna!om!elevers!olika!tankenivåer!i!matematiken!är!kommentarer!från!hans!egna!elever.!Han!lägger!märke!till!att!flertalet!av!eleverna!i!början!har!svårt!att!förstå!geometri,!men!när!de!har!fått!arbeta!med!ämnet!en!längre!period!och!med!väl!valda!uppgifter!övervinner!de!flera!av!svårigheterna!och!istället!ser!det!geometri!som!ganska!lätt.!Inte!sällan!händer!det!då!att!någon!elev!ger!uttryck!för!sin!undran!om!varför!van!Hiele!väljer!att!förklara!innehållet!inledningsvis!på!ett!så!komplicerat!sätt!och!med!ett!så!komplicerat!språk.!Efter!att!ha!övergivit!teorin!om!att!det!är!resultatet!av!att!han!själv!är!en!dålig!lärare!väljer!van!Hiele!istället!att!fokusera!på!att!eleven!måste!ha!lärt!sig!ett!nytt!språk!som!gör!att!innehållet!inte!upplevs!så!komplicerat!längre.!Eleven!har!gått!från!en!tankenivå!till!en!annan!inom!ämnet,!till!en!nivå!som!kräver!kunskaper!om!och!djupare!förståelse!för!olika!geometriska!begrepp.!!En!annan!viktig!inspirationskälla!för!van!Hiele!är!Piagets!teorier!om!att!utveckling!av!kunskap!och!insikt!sker!i!olika!perioder!av!ett!barns!liv.!Enligt!van!Hiele!avviker!dock!hans!teorier!från!Piagets!på!flera!olika!sätt.!Till!exempel!så!är!van!Hiele!mer!intresserad!av!hur!övergångarna!mellan!olika!stadier!går!till!och!är!övertygad!om!att!det!kan!ske!genom!olika!former!av!pedagogisk!stimulering.!Han!vill!inte!begränsa!sig!till!att!övergångarna!enbart!är!ett!resultat!av!biologisk!utveckling!eller!kopplade!till!elevers!ålder!som!han!menar!att!många!anhängare!av!Piaget!gör.!!Det!som!kan!ha!varit!det!som!inspirerade!van!Hiele!mest!i!Piagets!teorier!är!den!om!att!inlärningsprocessen!sker!med!hjälp!av!assimilation!och!ackomodation.!!Assimilation!innebär!att!nya!intryck!anpassas!till!de!av!erfarenhet!invanda!tanke!och!handlingsmönster,!gamla!scheman,!som!man!har.!Ackomodation!innebär!den!process!som!utgörs!av!att!de!gamla!schemana!måste!utvecklas!och!omformas!eftersom!de!utmanas!av!intryck!som!inte!går!att!organisera!in!i!dem.!När!det!råder!en!sådan!obalans!mellan!de!gammalt!och!nytt!är!det!en!strävan!efter!jämvikt!som!driver!på!inlärningen.25!!Efter!den!första!publikationen!1955!utökar!van!Hiele!nivåerna!från!tre!till!fyra!nivåer.!En!”0Jnivå”!diskuterades!bland!matematikundervisare!och!det!är!denna!nivå!han!anammar!och!lägger!till!de!ursprungliga!nivåerna!som!en!ny!nivå!1.!Vidare!nämner!van!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!23!tex.!Hedrén,!R.,!Van%Hiele?nivåer%och%deras%betydelse%för%geometriundervisningen,!publicerad!i:!!Emanuelsson,!G.,!Johansson,!B.,!och!Ryding,!R.!(red.),!Geometri%och%statistik,!Studentlitteratur,!Lund,!1992.!24!van!Hiele,!P.,!Structure%and%Insight,%a%Theory%of%Mathematics%Education,!UK!Edition,!Academic!Press!Inc.,!London,!1986.!25!Imsen,!G.,!Elevens%värd,%Introduktion%till%pedagogisk%psykologi,!3!uppl.,!Studentlitteratur,!Lund,!2000,!s.!102J108.!

!!

19!

Hiele!också!att!andra!har!försökt!att!identifiera!fler!tankenivåer!än!vad!han!själv!har!gjort,!men!att!han!inte!ser!det!som!nödvändigt!för!matematikundervisning!före!högskola!och!universitet.!Van!Hiele!ifrågasätter!istället!ifall!lärare!gör!rätt!i!att!försöka!inrikta!sin!undervisning!i!den!allmänna!skolan!för!att!eleverna!ska!uppnå!den!ämnesmässigt!mest!avancerade!nivån,!nivå!4.!Han!hävdar!att!den!främst!är!riktad!mot!dem!som!ska!läsa!vidare!inom,!och!sedan!arbeta!med,!matematik.!Enligt!hans!erfarenheter!är!det!få!elever!som!uppnår!denna!nivå!på!matematiskt!tänkande.!!Nivå%1%%Jag!beskriver!nivå!1!som!igenkänning.!Oavsett!ifall!en!person!är!undervisad!i!matematik!eller!inte!så!har!han!eller!hon!denna!förmåga.!För!att!använda!van!Hieles!eget!exempel!så!går!det!att!lära!sig!att!känna!igen!en!romb!enbart!efter!att!ha!sett!några!ritade!romber,!men!det!kan!bli!svårare!att!uppmärksamma!en!romb!som!avviker!från!det!invanda!mönstret.!!!!En!tredje!inspirationskälla!för!van!Hiele,!som!ligger!till!grund!för!nivå!1,!är!gestaltpsykologin,!som!fokuserar!på!att!människan!har!en!naturlig!förmåga!att!se!strukturer!och!mönster!i!sin!omgivning.!Bjørndal!skriver!om!gestaltpsykologi!att!det!genom!omfattande!experiment!har!kartlagts!ett!antal!ordningsprinciper!som!människor!använder!sig!av!för!att!tillgodose!ett!behov!av!att!ordna!omvärlden!i!meningsfulla!helheter.!Dessa!principer!kan!tolkas!olika!av!olika!personer!och!är,!principen%om!figur%kontra%bakgrund,!närhetsprincipen,!likhetsprincipen!samt!komplettering%av%sinnesintryck.26!En!vidare!fördjupning!av!gestaltpsykologin!ligger!långt!utanför!ramen!för!denna!studie,!men!värt!att!nämna!är!det!kanske!mest!den!sista!av!de!nämnda!principerna!som!van!Hiele!utvecklar!i!sitt!resonemang.!Bara!genom!att!se!en!del!av!ett!regelbundet!mönster!är!det!lätt!att!fylla!i!luckorna!och!bilda!sig!en!uppfattning!om!hur!hela!mönstret!är.!!Nivå%2%%För!att!uppnå!denna!nivå!krävs!ett!grundläggande!ordförråd!av!matematiska!begrepp,!samt!förståelse!för!några!samband!mellan!dem.!Elevens!utveckling!i!matematik!kan!liknas!vid!att!eleven!först!skapar!sig!och!sedan!utvecklar!ett!tankenätverk.*För!att!återgå!till!exemplet!med!romben!skulle!en!elev!som!uppnått!nivå!2!kunna!identifiera!flertalet!av!de!egenskaper!som!är!specifika!för!en!romb!och!även!ha!förmågan!att!jämföra!dem!med!egenskaper!hos!andra!geometriska!figurer!som!eleven!känner!till.!!!Nivå%3%%Min!tolkning!av!van!Hieles!beskrivning!av!nivå!3,!är!att!den!motsvarar!elevers!förmåga!att!använda!generella!resonemang.!Denna!nivå!har!en!elev!uppnått!exempelvis!när!han!eller!hon!väljer!ut!specifika!egenskaper!hos,!och!använder!kända!samband!mellan,!olika!figurer!för!att!på!egen!hand!genomföra!matematiska!bevis!och!för!att!upptäcka!nya!samband.!En!svårighet!som!van!Hiele!nämner!om!att!försöka!identifiera!ifall!en!elev!har!uppnått!denna!nivå!eller!ej!är!att!det!finns!risk!att!eleven!steg!för!steg!kortsiktigt!har!lärt!sig!ett!givet!bevis!som!en!procedur!som!går!att!lära!utantill.!Eleven!har!inte!själv!valt!de!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!26!Bjørndal,!C.!R.!P.,!%Det%värderande%ögat:%observation,%utvärdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!1.!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2005,!s.!29J31.!

!!

20!

olika!delstegen!i!beviset!och!i!värsta!fall!har!eleven!kanske!inte!ens!förstått!alla!av!delstegen.!Eleven!i!sammanhanget!befinner!sig!kvar!på!nivå!2,!då!den!har!en!grundläggande!begreppsförståelse.!!Nivå%4%%Denna!nivå!är!den!mest!avancerade!nivån!av!matematiskt!tänkande!före!högskola!och!universitet,!som!van!Hiele!identifierar.!För!att!skilja!denna!nivå!från!nivå!3!väljer!han!två!olika!exempel!att!uttrycka!ett!bevis!för!att!bisektriserna!från!hörnen!i!en!triangel!skär!varandra!i!en!punkt.!Förklaringen!av!beviset!på!nivå!3!är!språkmässigt!enklare!än!förklaringen!på!nivå!4.!Samtidigt!innehåller!den!enklare!förklaringen!fler!fällor!där!man!kan!tänka!fel.!Med!andra!ord!är!beviset!på!nivå!4!tydligare!eftersom!det!ligger!på!en!mer!detaljerad!nivå!där!det!matematiska!språket!och!symbolspråket!är!mer!avancerat.!!!En!intressant!iakttagelse!som!van!Hiele!gör!är!att!gemensamt!för!elever!som!når!nivå!4!är!att!de!har!en!god!förmåga!och!vilja!att!övervinna!vad!som!skulle!kunna!kallas!ämnesmässiga!tankekriser,!engelska:!”crisis%of%thinking”.!Dessa!kriser!måste!de!övervinna!för!att!därmed!kunna!lösa!de!problem!som!de!för!stunden!arbetar!med.!Ett!inte!okontroversiellt!recept!verkar!vara!livskriser!i!allmänhet.!Han!lyfter!upp!två!olika!exempel!på!elever!från!sin!erfarenhet!som!han!bedömer!har!tydligt!uppnått!nivå!4.!Det!ena!exemplet!är!en!flicka!som!har!en!brokig!skolgång!med!ett!flertal!misslyckanden!bakom!sig.!Efter!att!ha!studerat!vid!en!skola!som!undervisar!i!trädgårdsjordbruk!hittar!hon!dock!rätt!och!uppvisar!snabbt!matematiskt!tänkande!på!nivå!4.!Det!andra!exemplet!är!en!grupp!av!elever!som!efter!ett!eller!två!år!av!skolgång!motsvarande!på!gymnasienivå!har!fått!avbryta!denna!för!att!placeras!i!ett!Japanskt!koncentrationsläger.!Flera!av!dessa!elever!visar!snabbt!upp!tänkande!på!nivå!4!då!de!åter!ges!undervisning.!!

2.4 Kommunikativ0teori0om0lärande0!Den%proximala%utvecklingszonen!utgör!en!viktig!grund!i!Vygotskijs,!syn!på!inlärning,!den!är!alltså!zonen!mellan!gränsen!för!vad!en!elev!kan!klara!av!själv!och!för!vad!eleven!kan!klara!av!med!hjälp.!I!begreppet!hjälp!innefattas!resultatet!av!ett!socialt!samspel!där!kommunikation!sker!mellan!den!som!hjälper!och!den!som!får!hjälpen.!Teorin!om!den!proximala!zonen!tydliggörs!med!hjälp!av!figur!2.4.1!nedan.!

!Figur002.4.1.00Den!proximala!utvecklingszonen.27!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!27!Figur!hämtad!från:!Imsen,!G.,!Elevens%värd,%Introduktion%till%pedagogisk%psykologi,!3!uppl.,!Studentlitteratur,!Lund,!2000,!s.!189.!

!!

21!

Inom!nätbaserad!undervisning!har!modern!teknik!möjliggjort!att!kommunikation!är!intressant!att!diskutera!utifrån!två!motpoler.!Direkt%kommunikation,!även!kallad!synkron!kommunikation!kontra!fördröjd%kommunikation,!asynkron!kommunikation.!Exempel!på!den!tidigare!är!att!kommunicera!via!Skype,!via!chatt,!videoJ!eller!röstsamtal!och!exempel!på!den!senare!är!att!kommunicera!via!EJpost.!Nedan!ses!Hrastinskis!modell!som!överblickar!hur!olika!typ!av!kommunikation!kan!skapa!olika!sorters!samhörighet!mellan!de!som!kommunicerar!eftersom!tonvikt!läggs!vid!olika!saker!i!de!olika!typerna.!Det!behövs!en!kombination!av!kommunikationstyperna.!Direkt!kommunikation!är!effektivt!tillämpbar!i!små!grupper!men!riskerar!att!bli!ohanterlig!i!större!grupper!då!risken!är!större!att!man!börja!tala!i!mun!på!varandra.!28!!

!Figur002.4.20.!Hrastinskis!modell!för!kommunikation!och!deltagande.!29!

!! 0

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!28!Hrastinski,!S.,!Nätbaserad%utbildning,%En%introduktion,%Studentlitteratur,!Malmö,!2009.!29!ibid,!s.!65.!

!!

22!

3 Syfte0och0frågeställningar0!Syftet!är!att!undersöka!om!och!i!så!fall!hur!ett!läroverktyg!på!nätet,!Youschool,!kan!utgöra!ett!stöd!i!elevers!kunskapsutveckling!i!gymnasiekursen!Matematik!2b.!!!Flera!av!de!centrala!kursinnehållen!kräver!av!eleverna!en!förståelse!för!och!en!vana!att!arbeta!med!funktioner,!därför!begränsas!undersökningen!till!denna!del!av!kursen.!!Frågeställningar!som!är!aktuella!är!då:!!

• Hur!använder!elever!Youschool?!!

• På!vilket!sätt!kan!Youschool!utgöra!ett!stöd!för!elever!i!deras!lärande!i!kursen?!!

• Vilka!förmågor,!som!krävs!av!elever!att!de!uppvisar!för!kursens!kunskapskrav,!går!att!träna!via!Youschool?!

! 0

!!

23!

4 Metod00!För!att!komma!närmre!vad!det!är!som!kan!tänkas!göra!Youschool!till!en!effektiv!resurs!för!elever!i!deras!matematikstudier!i!Ma2b!görs!en!kvalitativ!studie.!Bilden!av!pedagogiken!i!undervisningen!på!Youschool!skapas!med!hjälp!av!tre!elever!som!intervjus!via!telefon,!varpå!bilden!utökas!med!en!skärminspelad!lektion!på!Youschool.!!

4.1 Telefonintervjuer0!Tre!elever!som!läser!Ma2b!eller!kurs!med!motsvarande!innehåll!intervjuas.!Intervjuerna!görs!över!telefon!och!spelas!in,!varefter!de!transkriberas!till!text.!Det!som!framkommer!i!intervjuerna!sammanfattas!i!kapitel!5.1.!!Telefonintervjuerna!genomförs!utifrån!en!intervjuguide,!se!Appedix!II.!De!intervjuade!får!frågor!utifrån!guiden!som!är!tänkta!att!stimulera!dem!att!berätta!varför!och!på!vilket!sätt!de!använder,!får!stöd!av!och!lär!sig!med!hjälp!av!Youschool.!De!får!även!ge!förslag!på!hur!Youschool!kan!förbättras.!!Intervjuerna!är!till!formen!semistrukturerade.!Samtliga!av!frågorna!i!guiden!ska!behandlas!men!de!behöver!till!exempel!inte!nödvändigtvis!tas!upp!i!den!ordning!som!de!är!skrivna!i!guiden!och,!för!intervjuaren,!är!det!även!fritt!fram!att!ta!stickspår!med!hjälp!av!följdfrågor!för!att!uppnå!ett!mer!avslappnat!och!öppet!samtal.!I!hög!grad!används!öppna!frågor.!I!Bjørndals!modell!för!olika!typer!av!intervjuer!bedöms!den!semistrukturerade!intervjutypen!ha!en!relativt!låg!grad!av!struktur,!se!figur!4.1!nedan!som!är!en!bearbetning!av!Bjørndal30.!!

!Figur004.1.00Grad!av!struktur!för!olika!typer!av!intervjuer.!

Trost!rekommenderar!för!urval!för!kvalitativa!intervjuer!ett!bekvämlighetsurval.!Han!menar!att!vid!en!kvalitativ!intervju!inte!behöver!göras!försök!att!efterlikna!de!urvalsmetoder!som!normalt!brukar!användas!för!att!få!fram!statistiskt!representativa!urval!vid!en!kvantitativ!intervju.%31!!!Urvalet!av!de!intervjuade!görs!så!att!samtliga!elever!som!vid!tillfället!för!intervjun!läser!Ma2b!på!Youschool!rings!upp!vid!två!tillfällen,!varpå!intervjuer!görs!med!de!elever!som!svarar!på!telefonen!vid!något!av!tillfällena!samt!ställer!upp!på!att!bli!intervjuade.!Intervjuerna!genomförs!efter!att!föräldrar!till!eleverna!har!fått!ett!mejl!som!informerar!om!intervjuerna,!om!syftet!med!dem!och!som!garanterar!elevernas!konfidentialitet.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!30!Bjørndal,!C.!R.!P.,!%Det%värderande%ögat:%observation,%utvärdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!1.!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2005,!s.!91.!31!Trost,!J.,!Kvalitativa%intervjuer,!1993,!Studentlitteratur,!Lund,!s.!71.!

!!

24!

4.2 Skärminspelad0lektion0!Vidare!observeras!en!lektion!i!kursen!Ma2b!på!Youschool.!Lektionen!filmas!som!en!skärminspelning!via!dator,!med!ljudupptagning.!!!Lektionen!utgörs!av!ett!virtuellt!möte!mellan!tre!elever!och!en!lärare!på!Youschools!lärplattform.!Det!är!några!veckor!kvar!till!det!nationella!provet!i!kursen!och!eleverna!pluggar!därför!under!lektionen!inför!detta!prov.!Uppgifterna!som!eleverna!arbetar!med!är!varken!utvalda!av!läraren!eller!av!eleverna!själva,!de!är!utvalda!av!observatören!specifikt!för!att!utgöra!ett!underlag!för!denna!studie.!Uppgifterna!är!hämtade!från!gamla!nationella!prov!i!kursen!MaB!och!är!avsedda!att!testa!elevers!förmåga!att!tillämpa!sina!kunskaper!om!funktioner.!De!handlar!om!räta!linjens!ekvation!som!utgör!ett!av!de!centrala!kursinnehållen!i!Ma2b.!I!appendix!III!återfinns!uppgifterna!i!den!form!som!eleverna!arbetar!med!dem.!!!Lektionsobservationer!kan!delas!upp!i!två!typer!utifrån!observatörens!grad!av!delaktighet!i!undervisningen.!Observation%av%första%ordningen!innebär!när!en!utomstående!observerar!en!pedagogisk!situation,!med!observationen!som!primär!uppgift.!Observation%av%andra%ordningen!görs!av%den!undervisande!själv,!varför!denna!typ!av!observation!kan!ses!som!en!komplementär!uppgift!till!att!leda!den!pedagogiska!aktiviteten.32!Den!genomförda!lektionsinspelningen!motsvarar!en!observation!av!första!ordningen.!!!Förutom!grad!av!delaktighet!i!undervisningen!av!observatören!kan!även!grad!av!öppenhet!om!studien!för!dem!som!deltar!i!studien!ha!en!inverkan!på!resultatet.!I!figur!4.2!nedan!presenteras!Bjørndals!utveckling!av!Junkers!(1960)!modell!för!idealtypiska!forskarroller.!33!!

!Figur004.2.00Diagram!för!olika!observationstyper.!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!32!Bjørndal,!C.!R.!P.,!%Det%värderande%ögat:%observation,%utvärdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!1.!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2005,!s.!26.!33!ibid.!s.!43.!

!!

25!

Enligt!beskrivningarna!av!observationstyper!påminner!lektionsinspelningen!mest!om!typ!d,!men!borde!i!diagrammet!placeras!någonstans!närmre!mitten.!Dels!är!elever!och!lärare!som!deltar!i!lektionen!informerade!om!observationen!och!dess!syfte,!men!syftet!presenteras!för!dem!inte!mer!specifikt!än!att!undersökningen!görs!i!förhoppning!om!att!kunna!utveckla!Youschool.!Dels!är!observationen!är!av!första!ordningen,!men!graden!av!delaktighet!i!lektionen!av!observatören!är!långt!ifrån!noll.!Exempelvis!är!uppgifterna!som!eleverna!arbetar!med!utvalda!av!observatören.!!Undersökningens!syfte!utgör!motivet!till!valet!av!skärminspelning!som!observationsmetod.!Fokus!för!observationen!är!relativt!brett!i!den!mening!att!det!går!ut!på!att!upptäcka!och!definiera!Youschools!eventuella!stödpedagogik.!Ett!brett!fokus!gör!det!svårt!att!ha!ett!förhandsbestämt!och!strukturerat!observationsschema!för!att!notera!händelseförlopp!under!en!lektion!utan!att!viktig!information!går!till!spillo.!En!skärminspelning!bedöms!därmed!kunna!lagra!fler!nyanser!av!lektionen!än!andra!observationsmetoder.!En!inspelning!utesluter!inte!heller!att!en!strukturerad!studie!av!lektionen!görs!i!ett!senare!skede.!!Värt!att!ta!hänsyn!till!i!alla!sammanhang!av!filminspelningar!är!att!de!inte!återger!hela!verkligheten.!De!ger!en!begränsad!bild!av!verkligheten.!Jordan!och!Henderson!delar!upp!begränsningar!hos!inspelningar!i!två!kategorier,!operatörens%begränsningar!och!teknikens%begränsningar.!34%Operatören!med!tillhörande!begränsningar!får!i!detta!fall!vara!läraren.!Det!är!läraren!som!styr!fokus!på!skärmen,!det!vill!säga!prioriterar!vilken!eller!vilka!filmer!från!sin!egen!eller!elevers!dokumentkameror!som!ska!visas!på!skärmen!för!stunden.!Teknikens!begränsningar!motsvaras!exempelvis!av!att!plattformen!tillåter!att!maximalt!fyra!filmer!visas!åt!gången!på!skärmen,!eller!att!det!inte!går!att!se!vad!varken!lärare!eller!elever!gör!utöver!vad!de!själva!väljer!att!visa!med!sina!dokumentkameror.!!!En!ytterligare!faktor!att!ta!hänsyn!till!är!att!när!de!inspelade!är!medvetna!om!inspelningen!så!finns!en!risk!att!det!hela!blir!konstlat.!Gällande!videoinspelningar!finns!det!dock!studier!som!har!visat!att!de!som!observeras!ganska!fort!vänjer!sig!vid!situationen,!beroende!på!hur!störande!kameran!är!placerad.35!Kopplat!till!denna!studie!bör!detta!betyda!att!det!finns!goda!förutsättningar!att!elever!och!lärare!hinner!glömma!av!att!de!blir!filmade.!Lektionen!är!lång,!1,5!timmar,!och!det!finns!ingen!synlig!kamera!med!tillhörande!kameraman!som!drar!till!sig!uppmärksamheten.!!!!! 0

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!34!ibid.!s.!74.!Bjørndahl!hänvisar!till!Jordan!och!Henderson!1994!35!ibid!s.78.!Bjørndahl!hänvisar!till!Jordan!och!Henderson!1994*

!!

26!

5 Resultat00!I!detta!kapitel!ges!inledningsvis!utdrag!från!transkriberingar!av!telefonintervjuer.!Anna,!Berit!och!Cecilia,!namnen!är!fingerade,!beskriver!bland!annat!hur!och!varför!de!använder!Youschool.!Sedan!följer!sammanfattning!av!några!observationer!från!en!lektion!på!Youschool,!som!innehåller!transkriberade!konversationer!och!skärmdumpningar.!!Disa,!Emma!och!Fatima,!också!fingerade!namn,!arbetar!tillsammans!med!sin!lärare!på!Youschool,!med!tre!uppgifter!från!gamla!nationella!prov!som!handlar!om!linjära!funktioner.!!

5.1 Telefonintervjuer,0resultat0

5.1.1 Vad0inspirerar0de0intervjuade0att0börja0använda0Youschool?0!Två!av!de!intervjuade,!Anna%och%Berit,%attraherades!av!en!presentations!av!Youschool!som!gjordes!som!marknadsföring!i!deras!klass!på!deras!skolor.!För!Cecilia!var!det!istället!föräldrarna!som!gjorde!att!hon!började!använda!Youschool.!!Anna,!som!har!haft!Youschool!i!ca!3!månader,!säger!att!det!var!på!hennes!eget!initiativ!som!hon!började!använda!sig!av!Youschool.!En!orsak!till!att!hon!ville!ge!det!en!chans!var!att!hon!upplevde!att!hon!”kom!ingenstans!med!matten”.!Hon!berättar!att!hon!under!presentationen!tyckte!att!det!verkade!”skönt!att!kunna!jobba!via!internet”,!att!hon!kunde!”plugga!hemifrån!och!slippa!träffa!en!person”.%Vidare!berättar!Anna!att!hon!tänkte!sig!kunna!spara!tid!på!att!jobba!hemifrån,!istället!för!att!behöva!sitta!i!skolan!för!att!plugga.!Tidsbesparing,!så!att!hon!har!fått!mer!fritid,!upplever!hon!också!att!hon!har!uppnått!med!hjälp!av!Youschool.!%%Berit!har!haft!Youschool!längre!än!Anna,!sedan!höstterminen!före!intervjun.!Liksom!Anna!berättar!Berit!att!hon!kände!att!hon!behövde!hjälp!med!matte!samt!att!det!är!skönt!att!kunna!få!läxhjälp!via!nätet!istället!för!att!det!är!”någon!som!behöver!komma!hem!till!en”.!Ytterligare!en!orsak!som!Berit!lyfter!fram!är!att!hon!lockades!av!att!få!testa!en!lektion!gratis.!Berit!berättar!att!genom!testlektionen!upptäckte!hon!att!hon!tyckte!bra!om!sättet!som!lektionerna!gjordes!på.!Berit!lägger!även!till!att!”sen!var!det!billigare!än!andra!hjälpsaker”,!de!ekonomiska!fördelarna!med!Youschool!jämfört!med!konkurrenter!utreder!hon!även!mer!ingående!senare!under!intervjun.!!Cecilia!har!haft!Youschool!längre!än!båda!de!andra!intervjuade,!hon!har!använt!Youschool!i!ca!ett!år.!Det!var!inför!det!nationella!provet!i!Ma!1b,!som!någon!av!hennes!föräldrar!troligen!sett!någon!reklam!på!mejl!om!Youschool.!Hon!vet!inte!riktigt!eller!minns!inte!exakt!hur!det!hela!gått!till!eftersom!det!hela!inte!startade!på!hennes!eget!initiativ.!!

5.1.2 Vad0i0Youschool0utgör0ett0stöd0för0de0intervjuade0att0närma0sig0sina0betygsmål?0*Samtliga!intervjuade!uppger!att!de!har!höga!betygsmål!i!matematikkursen!som!de!läser,!de!har!målsättningen!betyg!från!C!och!uppåt.!De!uttrycker!också!alla!att!de!är!mycket!nöjda!med!hur!Youschool!bemöter!dem!i!sina!studier.!Resurser!som!finns!för!eleverna!

!!

27!

att!nyttja!på!Youschool!skulle!kunna!beskrivas!som,!tillgång!till!lärare,!lektioner,!lösningsfilmer!och!lärplattformen!som!kommunikationsteknik.!!Läraren%!Anna!tillägger!till!sitt!betygsmål!att!innan!hon!började!använda!Youschool!så!bedömde!hon!själv!att!hon!låg!på!betygsnivån!F!till!E,!men!efter!att!ha!börjat!använda!Youschool!är!hon!väldigt!glad!över!att!hon!nu!kommer!upp!till!DJnivå!på!proven.!Hon!beskriver!sina!studieframsteg!med!orden:!”Jag![…]!fattar!mer!och!typ!att!jag!inte!ger!upp!heller!”!Nyckeln!till!framgångarna!kan!ligga!hos!läraren.!Anna!beskriver!läraren!på!Youschool:!!!

”Han!ger!sig!ju!aldrig!![…]!grejen!att!jag!fortsätter!med!Youschool!det!är!att![…]![läraren]!har!koll!på!vad!vi!måste!klumpa!in!för!kommande!lektioner,!kommande!prov![…]!för!jag!har!själv!aldrig!koll!på!det![…]!då!har!man!en!lärare!som!hela!tiden!hjälper!till!en!att!ligga!i!fas![…]!då!känner!man!att!man!inte!missar!någonting![…]!Sedan!att!han!alltid!påminner,!även!fast!man!inte!orkar!plugga!matte![…][han]!pushar!och!typ!så!här:!skickar!SMS,!och!bara!det!är!ju!en!stor!grej!”!

!Då!Anna!prioriterar!det!viktigaste!i!stödet!är!det!just!att!läraren!på!Youschool!har!kontakt!med!hennes!matematiklärare!på!den!gymnasieskola!som!hon!går!på.!Enligt!Anna!möjliggör!detta!för!läraren!på!Youschool!att!kunna!vara!så!strikt!mot!henne!som!hon!bedömer!behövs,!för!att!hon!ska!göra!de!uppgifter!som!han!ger!henne.!!I!sin!beskrivning!av!egenskaper!som!en!lärare!på!Youschool!behöver!ha,!nämner!Anna!att!de!viktigaste!egenskaperna!är!att!läraren!kan!och!vågar!”pusha!på”!och!utmana!eleverna.!Hon!förklarar!att!hon!upplever!att!det!är!”så!många!som!sätter!ribban!på!att!man!inte!kan!mer,![…]!göra!AJuppgifter,![…]!CJuppgifter!och!sådant,!fast!man!egentligen!kan!det”.!!Berit!prioriterar!egenskapen!att!vara!strukturerad!som!viktigast,!hos!en!lärare.!Hon!nämner!även!att!ha!tålamod!i!sina!förklaringar!som!en!viktig!egenskap,!och!beskriver!det!som!att!läraren!ska!överdriva!lite!i!sina!förklaringar!och!inte!ge!sig!innan!eleverna!förstår.!!!Cecilia!är!inne!på!liknande!spår!som!Berit.!Även!hon!nämner!tålamod!som!en!viktig!egenskap,!men!väljer!liksom!Berit!att!prioritera!en!annan!egenskap!som!viktigast,!nämligen!flexibilitet.!I!begreppet!lägger!hon!in!att!läraren!är!flexibel!i!sina!förklaringar,!det!vill!säga!kan!förklara!en!matematikuppgift!på!flera!olika!sätt.!!Lektionerna%!Anna!beskriver!en!vanlig!lektion:!!

”Intervjuare![I]:!Om!du!beskriver!en!lektion![…]!hur!den!brukar!gå!till,!en!vanlig!lektion!på!Youschool.!!

Anna![A]:![…]!tar!säkert!10J5!minuter!först!att!komma!igång!med!alla!kameror!och!sådant![…]!och!sedan!så![…]%en!lektion,!en!och!en!halv!timme![…]!det!ser!väldigt!likadant!ut!nästan!varje!gång,![…]!gäller!att!lösa!lite![…]!uppgifter!som!man!ska!alltså!förklara!för!kompisen.!

I:!! Som![läraren!på!YS]!har!bestämt!vilka!uppgifter!det!är!då?!

!!

28!

A:!![…]Ja,!precis.!Om!det!är!typ!en!stor!uppgift,![…]!två!delar!av!uppgiften.!Du!gör!den!ena,!och!så!kanske![kompisen]!den!andra,!och!sedan!så!förklarar!vi!hur!vi!har!tänkt,!på!dem!båda!tills!båda!förstår.!Och!sedan!så!lär!man!sig!genom!att!både!förklara!och!att!göra,!och!att!lyssna!på!den!andra![…]!Ja,!och!är!det!så!att!ingen!fattar!så!hjälper![läraren]!till!att!ritar,!för!hur!man!ska!göra!och!så.![…]”!

!Senare!under!intervjun!återberättar!Anna!samma!sak!igen!varefter!hon!får!uppgiften!att!prioritera!vad!som!är!viktigast!i!upplägget!för!henne!och!hon!återkommer!då!igen!bland!annat!till!vikten!av!lärarens!aktiva!roll!i!undervisningen.!

!”I:!!Precis,!så!att*det!skulle!du!säga!är![…]!det*viktigaste!som!gör!lektionerna!bra!då!på!Youschool?!Det!är!just!den!biten?!

A:!!Ja.!Alltså,!att!man!kan!få!förklara!liksom![…]!Ja,!rita!upp!allting.![…]!Det!bästa!med!lektionerna,!det!är!ju!att!man!kan!se!vad![läraren]!gör.![…]!Alltså!i!kameran,!för!att!det!förklarar!så!mycket!lättare![…]!alla!saker!han!skriver!ut,!alla!begrepp![…]!alla!matematiska!formler![…]!bara!att!se!det![…]!alltså!hela!tiden!!

I:!! […]!så!att![läraren]!är!också!ganska!delaktig.!Det!är!inte!bara!att!ni*får!förklara!själva,!utan!han!rycker!in!om!han!känner!att!det*behövs!liksom,!och!förtydligar.!

A:! Ja!precis.”!!

Flera!av!intervjuerna!färgas!kanske!av!att!de!ligger!nära!innan!eleverna!ska!skriva!det!nationella!provet.!Kanske!färgas!mest!beskrivningar!av!lektionsupplägg,!både!hur!de!intervjuade!minns!en!vanlig!lektion!och!vad!de!vill!ska!ingå!i!en!optimal!lektion.!!Liksom!Anna!gör,!lyfter!Berit!upp!att!det!är!bra!att!jobba!med%stora!uppgifterna!på!ett!sådant!sätt!som!görs!på!Youschool.!Förklaringen!av!stora!uppgifter!överensstämmer!med!Annas!i!att!uppgifterna!ska!innehålla!mindre!delfrågor,!men!i!Berits!beskrivning!av!vilka!uppgifter!som!är!bra!att!arbeta!med!under!en!optimal!YouschoolJlektion!framträder!det!en!lite!tydligare!definition!av!vilka!dessa!stora!uppgifter!är.!Oavsett!om!det!gäller!att!förbereda!sig!inför!nationella!provet!eller!inte,!hävdar!Berit,!att!man!ska!”gå!igenom!stora!uppgifter!där!det!liksom!är!på!alla!nivåer![men]!så!att!man!liksom!ändå!hänger!med!på!typ!hur!man!ska!göra”.!Hon!förklarar!dem!även!genom!att!använda!begreppet!”AJuppgift”!eller!som!en!uppgift!som!är!”som!en!sista!uppgift!på!nationella![prov]”.!!!Även!Berit!lägger!vikt!vid!andra!faktorer!i!sin!beskrivning!av!hur!hon!finner!stöd!med!hjälp!av!Youschools!lektioner.!Hon!berättar!att!med!det!material!som!eleverna!arbetar!med!Youschools!lektioner!lägger!de!sig!steget!före!hennes!vanliga!lektioner.!Sedan!när!hennes!lärare!i!gymnasieskolan!går!igenom!kursinnehållet!så!”vet!man!redan!vad!det!handlar!om”.!Det!viktigaste!som!lektionerna!måste!innehålla!för!Berit!är!”att!man!förstår!vad!det!är!för!regler!och!räknesätt!man!använder,!när!man!räknar!vissa!uppgifter”.!!Vem!som!bestämmer!vilka!uppgifter!som!utgör!innehållet!för!en!lektion!kan!variera.!Enligt!Berit!så!har!ibland!läraren!bestämt!vad!som!ska!gås!igenom!alternativt!så!har!eleverna!haft!möjlighet!att!säga!vad!de!skulle!vilja!göra,!i!förväg!eller!precis!i!början!av!lektionen.!Enligt!Cecilia!är!det!oftast!elever!som!kommer!med!uppgifter,!men!att!även!läraren!kan!göra!det.!Cecilia!anser!att!det!är!bäst!då!uppgifterna!kommer!från!elever,!eftersom!de!då!oftast!kommer!från!läroboken!och!att!hon!därmed!”vet!säkert!att!man!pluggar!just!det![…]!som!behövs!i!boken”.!!

!!

29!

Om!att!arbeta!i!grupp!på!lektionerna!berättar!Anna!att!hon!alltid!har!lektionerna!på!Youschool!tillsammans!med!en!nära!klasskamrat!som!”ligger!på!samma!nivå!inom!matten”.!Anna!beskriver!vidare!att!hon!upplever!det!som!en!fördel!att!ha!lektionerna!med!en!nära!vän!”eftersom!vi!funkar!att!jobba!bra!tillsammans”.!!Även!Berit!har!lektioner!med!klasskamrater,!de!är!tre!elever!istället!för!två!som!alltid!har!lektioner!tillsammans.!Hon!beskriver!det!som!om!hon!har!kluvna!känslor!mellan!en!ekonomisk!aspekt!och!en!positiv!effekt!av!att!få!stöd!i!grupp.!!

!”I:!Hur!känns!det!då?![om!att!vara!tre!klasskamrater!på!lektion!på!YS]!Berit![B]:!Alltså!det!känns!bra,!för!det!är!ju!skönt![…]!att!det!är!flera,!men!samtidigt!så!är!det!ju!liksom,!du!betalar!ju!som!om!du!skulle!egentligen!betala!för!en![…]!Förstår!du!vad!jag!menar?!I:!! […]Du!kanske!kan!utveckla!lite?!B:!![…]För!nu!är!vi!ju!tre!i!gruppen,!som!betalar!samma!pris,!för!att!dela!lärare.!I:!! Ja?!B:!!Och!med!ett!annat!studiehjälp!så!betalar!du%[…]!ju!mer%[…]!typ!250!kronor!mer!kanske![…]!för!att!vara!själv!med!en!lärare,!och!då!har!man!ju!ungefär!samma!tid.![…]!Så!det!kan!ju!kännas!ibland!lite!så!här!jobbigt!att!man!delar!så.!

I:!! Ok.!B:! Men!annars!tycker!jag!att!det!är!bra!att!dela,!eftersom![…]!man!ser!ju!det!från!ett!annat!perspektiv.!Alltså,!det!blir!ju!inte!bara!ens!eget!och!läraren,!utan!det!blir!ett!tredje!typ.!

I:!! Som!du!sa!i!början!här.!Det!finns!både!positiva!och!negativa!aspekter!av!det.!B:! Mmm,!precis.”!

!Till!skillnad!från!de!båda!andra!intervjuade!ger!Cecilia!uttryck!för!att!ha!erfarenhet!av!olika!sorters!lektioner!på!Youschool.!Hon!resonerar!mer!utifrån!hur!lektionsupplägget!påverkas!utifrån!gruppstorlek.!!

”Cecilia![C]:!Ibland!kan!man!boka!klass!själv,!så!att!man!ska!vara!själv!med!läraren,!och!ibland!med!flera!personer.!

I:!! Ok.!C:!![…]!Oftast!när!man!är!flera!då!kan!man!diskutera!uppgifterna!tillsammans,!vilket!är!ett!bra!sätt!att!lära!sig!matte!på!tycker!jag.!

I:!! Ja.!Så!du!gillar!när!man!är!flera!då!mer!än!när!man!är!själv,!eller?%C:!!Ja,!ibland!gör!jag!det.![…]!ibland!om!det!är!något!ämne!som!är!rätt!svårt!för!mig,!då!behöver!jag!verkligen!bara!göra!uppgifter,!bara!en!lärare!för!mig.!Och!ibland!när!jag!är!säker![…]!på!ett!ämne!i!matten,!men!ibland!behöver!hjälp!med!några!uppgifter,!då!är!det!skönt!att!vara!tillsammans.”!

!I!beskrivning!av!en!optimal!lektion!återkommer!Cecilia!till!hur!komplext!det!kan!vara!att!finna!en!optimal!gruppstorlek.!Det!hela!verkar!bero!på!hur!svårt!hon!upplever!att!ämnesstoffet!som!behandlas!är.!Desto!svårare!det!är,!ju!färre!elever!får!det!vara!för!att!läraren!ska!ha!tid!med!alla!frågorna!utan!att!eleverna!får!vänta!för!länge.!Hon!uttrycker!det!själv!att:!!

”Om!det!är!svårare!så!behöver!man!oftare!hjälp![…]!och!om!man!är!fyra!elever!då!behöver!man!ju!vänta!för!då!är!det!oftast!också!alla!elever!som!behöver!hjälp.![…]!När!det!är!två!elever!så!är!det!lättare,![…]!om!man!behöver!hjälp!med!en!uppgift,![…]!så!förklarar!läraren!eller!eleven!också!ibland.”!

!

!!

30!

Lösningsfilmerna%%%Lösningsfilmerna!används!endast!mycket!sparsamt!av!samtliga!av!de!intervjuade.!Anna!uppger!först!att!hon!testade!lösningsfilmerna!då!hon!började!på!Youschool,!men!efter!att!ha!fått!fundera!lite!kommer!hon!fram!till!att!hon!inte!alls!använder!dem!längre.!Berit!berättar!också!att!hon!inte!använt!filmerna!så!mycket,!men!sedan!säger!hon!att!hon!ska!försöka!att!göra!det!mer,!”för!att!få!igång!att!man!sitter!och!räknar!hemma!också”.!Cecilia!har!en!mattebok!som!det!på!Youschool!inte!finns!några!lösningsfilmer!till!uppgifterna.!%Lärplattformen%som%kommunikationsteknik%utanför%lektioner%på%Youschool%!Cecilia!beskriver!nedan!hur!hon!använder!sig!av!Youschool.!Det!skiljer!sig!från!de!andra!intervjuade!som!inte!alls!använder!Youschool!som!kommunikationsteknik!utanför!lektionerna,!med!undantag!för!att!Anna!som!har!provat!det!en!gång!men!då!tekniken!tyvärr!krånglade.!!

”I:!!Vad!skulle!du!behöva!hjälp!med!liksom?!C:!!Jag!vet!inte!faktiskt.!Eller!att,!typ!att![…]!bara!plugga!och!plugga!!I:!! Plugga!och!plugga![…]!C:!!Det!är!ju!matte!!Ja,!man!kan!inte!bara!tänka!utan!man!måste!verkligen!göra!uppgifter![…]!matteuppgifter!och!sådant.!!

[…]!I:!! Men!kan!du!beskriva!hur!Youschool!hjälper!dig!med!det!då?!C:!![…]!Eftersom!jag!kan!ju!boka!lektioner,!och!så!kan!man!hoppa!in!i!klassrum!ibland.!Till!exempel:!Man!pluggar!själv!hemma!och!sedan!fastnar!man!på!en!uppgift!och!kan!verkligen!inte!klara!av!den,!och!vill!inte!vänta!tills!man!kan!gå!till!skolan!och!fråga!läraren,!så!bara!hoppar!man!in!på!Youschool!och!får!hjälp!direkt.!

I:! […]!Kan!du!beskriva!hur!det!går!till!liksom?!Hoppa!in!på!Youschool?!Är!det!något!av!klassrummen!där!då!som!du!tittar!om!det!finns![avbryts]!

C:! […]!jag!har!en!lärare![…]!hela!tiden!som!jag!går!till,!så!han!har!ju!alltid!sitt!klassrum!öppet.!Varje!dag!%

I:! Jaha,!så!han!har!öppet!det!varje!dag.!Ja,!ok!!C:! Mmm.!Till!och!med!på!helgerna!![…]!C:! annars!så!är!det!bara![…]!man!kan!alltid!boka![lektioner]!liksom!helt!spontant!också![…]De!är!väldigt!flexibla.”!

%

5.1.3 Ser0de0intervjuade0något0som0kan0utvecklas0på0Youschool?0*Berit!önskar!filmer!för!teoriinnehåll,!hon!anser!att!det!skulle!vara!ett!bra!komplement!till!lösningsfilmerna.!Sedan!resonerar!hon!vidare!kring!hur!sådana!filmer!skulle!kunna!vara!uppbyggda.!!!

”I:!!Hur!skulle!en!sådan!film!då!kunna!se!ut,!tänker!du?!B:!![…]!Typ!så!här:!Man!börjar!förklara![…]!I:!! Jaha.!B:!![…]%Och!sedan!så!visar!man!hur!man!gör.%Och!så!tar![man]!upp!exempel!på![…]!uppgifter!som!man!kan!räkna!med!den![additionsmetoden],!och!då!gör!man!det!på!alla!nivåer!också.!

I:!! Även!där!i!filmen?!

!!

31!

B:!![…]!Ja,!precis!!Så!att!man!liksom!förstår!hur!det!kan!bli.!För!ibland!blir!det!så!här:!Ja,!men!du!får!se!hur!man!gör!på!en!EJnivå,!och!sedan!ska!du!kunna!göra!det!på!en!CJ!och!AJnivå.![…]!och!då!kan!det!vara!svårt!att!se!att!det!är![…]!just!den!som!man!ska!använda!sig!av.”!

%Anna!ger!som!önskemål!att!stödet!mer!än!i!nuläget!utvidgas!till!att!gälla!fler!gymnasieämnen!än!matematik.!!Slutligen!tål!att!nämnas!att!både!Anna!och!Cecilia!uttrycker!att!det!kan!finnas!några!mindre!tekniska!problem!att!övervinna.!Anna!nämner!att!det!händer!att!10!minuter!av!en!lektion!går!bort!för!att!kameror!eller!annat!krånglar.!Cecilia!nämner!att!YouschoolJkamerorna!ibland!kan!fastna!”så!att!man!behöver!ladda!om!sidan!rätt!ofta”.!!!

5.2 Skärminspelad0lektion,0observationer0!Det!tar!ca!3,5!minuter!innan!två!av!de!tre!eleverna!på!lektionen,!Disa%och!Emma!har!fått!i!ordning!på!både!tekniken!och!kommit!åt!att!kunna!se!uppgifterna!som!skickats!till!dem!via!SMS!och!Skype.!Ytterligare!1!minut!dröjer!det!innan!Fatima,!den!tredje!eleven,!får!uppgifterna.!För!den!som!vill!fördjupa!sig!i!uppgifterna!här!igen,!se!Appendix!III.!!Uppgift%1%!Räknat!från!att!Disa!och!Emma!har!fått!uppgifterna,!får!eleverna!ca!5!minuter!till!att!tänka!och!skriva!individuellt!på!uppgiften.!Både!Disa!och!Emma!verkar!kunna!hantera!proceduren36!att!bestämma!räta!linjens!ekvation!på!aJuppgiften!men!uttrycker!att!de!är!osäkra!på!om!de!har!tänkt!rätt.!Disa!får!berätta!vad!svaret!till!aJuppgiften!är.!Alla!har!givit!det!korrekta!svaret!till!uppgiften,!men!eleverna!har!kunnat!se!varandras!svar!då!samtliga!skrivblock!har!kunnat!ses!på!skärmen!för!alla!elever!under!delar!av!den!individuella!arbetstiden.!!!Emma!får!förklara!hur!hon!har!bestämt!svaret!till!aJuppgiften.!Hon!berättar!att!hon!använder!sig!av!”trappstegsmetoden”%37.!Metoden,!som!är!ett!tillvägagångssätt!för!att!bestämma!ekvationen!till!eller!att!rita!ut!en!rät!linje,!verkar!användas!av!läraren!och!eleverna!relativt!ofta.!De!använder!eller!hänvisar!till!metoden!flera!gånger!under!lektionen.!Förklaringen!till!varför!lutningen!blir!2!som!Emma!ger!är!”1!ut!och!2!ner”.!Läraren!kommenterar:!”inte!ner”.!Varpå!Emma!korrigerar!sig!själv!till!hur!hon!borde!ha!beskrivit!det:!”Då!är!det!ju!2!upp!och!1!in!ifall!man!ska!gå!uppåt”.!!Fatima!är!den!enda!eleven!som!har!löst!hela!uppgift!1,!det!vill!säga!både!aJ!och!bJuppgiften.!Hon!löser!uppgiften!snabbt.!Läraren!väljer!ut!henne!till!att!förklara!för!alla!hur!hon!har!resonerat!kring!bJuppgiften.!Hon!har!ritat!en!linje!och!använt!sig!av!trappstegsmetoden,!men!hon!placerar,!liksom!Emma!gjorde,!trappstegen!på!ett!felaktigt!sätt!för!en!linje!med!negativ!lutning.!Trappstegen!hamnar!under!istället!för!ovanför!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!36!Jämför!gärna!med!bedömningsmallen!för!uppgiften!i!figur!2.1.3!s.!14.!37!Ingen!av!de!fyra!läroböckerna!i!gymnasiematematik!använder!begreppet!”trappstegsmetod”,!men!de!redovisar!alla!hur!metoden!går!till,!antingen!i!kursboken!för!Ma1b!och/eller!för!Ma2b.!Alla!utom!Ma5000,!Natur!och!Kulturs!bok,!använder!även!liknelsen!vid!att!trappsteg!bildas!om!man!ritar!ut!avstånd!i!yJled!och!xJled!från!två!olika!punkter!på!grafen!till!en!linjär!funktion.!

!!

32!

grafen,!se!figur!5.2.1.!nedan.!Läraren!förklarar!att!felet!är!gjort!i!bemärkelsen!att!risk!kan!finnas!att!det!är!ett!inkonsekvent!arbetssätt,!inte!att!det!leder!till!ett!felaktigt!svar.!!

!Figur005.2.1.00Fatimas!skiss,!trappstegen!ritade!under!grafen.!

Eleverna!får!i!samtal!med!läraren!resonera!kring!hur!man!kan!rita!linjer!för!några!fler!exempel!på!lutningar.!Läraren!väljer!först!ut!lutningarna!J3/4!och!7/8!för!att!diskutera!tillvägagångssättet,!eller!med!andra!ord!proceduren.!Sedan!avslutar!han!uppgiften!genom!att!ta!ytterligare!ett!exempel,!troligen!för!att!kontrollera!om!eleverna!verkligen!har!lärt!sig!proceduren.!Emma!ger!uttryck!för!att!vara!med!på!hur!resonemanget!går!till,!när!hon!efter!ett!tag!får!klart!för!sig!att!det!i!uppgiften!inte!spelar!någon!roll!vilket!mJvärdet!ska!vara!för!den!linje!som!ska!ritas,!det!vill!säga!var!grafen!skär!yJaxeln.!!Tidsåtgången!för!uppgift!1!är!totalt!ca!16J17!min,!inklusive!utblicken.!Eleverna!tilldelar!också!uppgiften!svårighetsgrad!på!en!skala!från!1!till!4,!där!1!är!lätt!och!4!svår.!Fatima!ger!den!1,!Disa!ger!den!2!och!Emma!ger!den!3.!!Uppgift%2%%!Det!tar!ca!1!minut!för!läraren!att,!i!lugn!och!ro,!läsa!igenom!uppgiften.!Eleverna!får!precis!5!minuter!att!tänka!och!räkna!självständigt.!!Läraren!frågar!först!vad!Fatima!har!svarat!på!uppgift!2a.!Fatima!har!inte!skrivit!något,!men!svarar!muntligt!J1.!Läraren!skriver! 1)0( −=h .!Läraren!frågar!då!vad!de!andra!har!skrivit.!Emma!svarar!J3.!Disas!skrivblock!har!försvunnit!från!kameran!och!hon!uttrycker!att!hon!inte!vill!ge!något!svar!till!uppgiften.!Läraren!börjar!då!att!förklara!hur!man!ska!lösa!uppgiften.!!

”Läraren![L]:![…]h!av!noll![ )0(h ],!ja!det!är!ju!den!här!linjen!som!lutar!uppåt,!eller!hur?![visar!med!pennan!riktningen!för!en!linje!med!positiv!lutning]!Vad!betyder! )0(h !Emma?!

Emma![E]:!Att!någont…!h!gånger…!L:!!Du!har!faktiskt!svarat!rätt.!E:!!Jag!vet!faktiskt!inte!vad!det!betyder![…]!L:!!Du!har!i!alla!fall!svarat!rätt,!så!det!är!därför.!

!!

33!

E:!!Jaha.!Hade!jag?![alla!skrattar]!L:!!Ja.!E:!!Ja!men!typ!att![…]!ifall!h!gånger!någonting![…]!eftersom!att!den!börjar,!den!bryter!ju!på!J3!på!yJaxeln!och!eftersom!den!inte!ska!någonstans!så!är!den!kvar!där,!så!tänkte!jag!typ.”!

!Läraren!fortsätter!därefter!sin!förklaring.!Förklaringen!sinkas!först!lite!av!att!någonting!tekniskt!gör!att!det!hackar!för!Fatima!och!att!hon!därför!får!svårt!att!skriva!av!det!läraren!skriver,!i!sitt!block.!Läraren!definierar!först! )(xh !som!”linjens!yJvärde!för!ett!givet!specifikt!(x)”,!han!korrigerar!alltså!muntligt!att!han!råkade!skriva!speciellt!istället!för!specifikt.!En!intressant!kommentar!i!sammanhanget!som!läraren!säger!är!”och!funktion!brukar!vara!jobbigt!så!jag!brukar!säga!yJvärdet!för!linjen”.!Sedan!skissas!grafen!för!funktionen!h,!eller!med!andra!ord!linjen,!varpå! )0(h !pekas!ut!på!den,!se!figur!5.2.2!nedan.!!

!Figur005.2.2.00Lärarens!visar!var!eleverna!ska!läsa!av!h(0)!i!den!givna!grafen.!

Fatima!frågar:!”Om!det!hade!stått!h!och!sedan!parentes!2!eller!3,!vad!är!det!för!något!då?”!Läraren!reder!ut!hur!man!bestämmer!de!efterfrågade!värdena!för!funktionen!h.!!Innan!resten!av!uppgiften!tas!upp!delar!läraren!ut!till!eleverna,!varsitt!nytt!funktionsvärde!att!bestämma!genom!att!kolla!i!de!givna!graferna.!Detta!genererar!nya!frågor!och!problem.!Fatima!som!får!att!bestämma )2(−f undrar!vad!f%står!för,!och!får!förklarat!att!det!är!att!den!ena!linjen!i!figuren!som!”heter”!f.!Emma,!som!får )1(f ,!tänker!att!hon!först!måste!bestämma!formeln!till!funktionen!f,!innan!hon!får!hjälp!med!att!förstå!att!hon!kan!läsa!av!värdet!direkt!i!grafen.!Disa!som!får! )1(−h lyckas!läsa!av!värdet!på!rätt!ställe!i!grafen,!men!hon!missar!att!det!är!på!den!negativa!delen!av!yJaxeln!som!hon!läser!på!och!får!därför!fel!tecken!i!sitt!svar.!!Tidsåtgången!för!uppgift!2!blir!totalt!sett!närmre!1!timme.!Det!beror!delvis!på!en!väldigt!lång!utblick!i!vilken!exempelvis!båda!funktionernas!formler!bestäms!för!att!ekvationssystemet!i!cJuppgiften!ska!kunna!lösas!algebraiskt!istället!för!grafiskt.!Läraren!uttrycker!till!eleverna!att!han!ville!repetera!det!som!gåtts!igenom!tidigare!i!kursen!och!att!eleverna!genom!detta!skulle!få!en!vidare!förståelse!för!problemet.!Eleverna!är!

!!

34!

mycket!ovana!vid!denna!typ!av!uppgift,!och!det!nämner!också!läraren!”att!det!här!har!vi!inte!jobbat!med!”.!!!Eleverna!tilldelar!uppgiften!svårighetsgrad!på!en!skala!från!1!till!4,!där!1!är!lätt!och!4!svår.!Både!Fatima!och!Disa!ger!den!4.!Emma!ger!den!3,!men!hon!anser!också!att!uppgiften!gjordes!svårare!än!vad!den!behövde!vara!i!förklaringen!av!den.!Vidare!så!tillägger!hon!att!om!en!liknande!uppgift!som!cJuppgiften!skulle!komma!på!provet!så!skulle!hon!framöver!tycka!att!den!är!”jättelätt,!eftersom![…]!ifall!det!är!en!lösning!som!man!ser!grafiskt!så!är!det!ju!brytningspunkten”.!!%Uppgift%3%%!Eleverna!ges!kortare!tid!för!att!tänka!själva!än!på!de!föregående!uppgifterna,!det!tar!cirka!2J3!minuter!innan!läraren!känner!att!han!måste!rycka!in!och!stötta!eleverna!både!med!motivationen!och!med!uppgiften.!!!Till!en!början!är!det!främst!för!Emma!som!det!går!att!se!vad!hon!skriver!i!sitt!skrivblock.!Även!Disas!lösning!går!att!följa!till!en!början,!men!efter!en!stund!låser!sig!hennes!kamerabild!och!hon!behöver!ladda!om!hemsidan!för!att!kunna!visa!vad!hon!skriver!sedan.!Emma!och!Disa!förstår!vad!de!ska!göra!på!aJuppgiften,!men!Fatima!har!svårare!att!komma!igång!med!uppgiften.!!Emma!har!skrivit!en!korrekt!ekvation!på!aJuppgiften,!men!förstår!inte!riktigt!vad!hon!ska!göra!på!bJuppgiften.!Då!hon!gjort!ett!försök!att!”lösa”!ekvationen!i!uppgift!a!genom!att!flytta!några!termer!från!ett!led!till!ett!annat!i!formeln,!utbrister!hon:!!!

”E:!Alltså,!jag!kommer!inte!ihåg!hur!man!löser!en!ekvation!!L:!!Ja!men!det!handlar!inte!om!att!lösa,!annars!kan!man!skriva!upp!bara!först!och!främst!![…]!Eller!förlåt,!är!vi!på!bJuppgiften?![läraren!har!troligen!distraherats!av!Disas!kameraproblem!som!han!samtidigt!behövt!vara!delaktig!i!att!lösa]”!

!Läraren!hintar!om!att!det!åter!handlar!om!vad!de!jobbade!med!i!den!tidigare!uppgiften.!Emma!förstår!då!att!det!ska!handla!om!ekvationssystem,!och!väljer!att!diskutera!en!stund!kring!att!hon!har!svårt!att!rita!en!snygg!”måsvinge”,!{,!istället!för!att!försöka!ställa!upp!ett!ekvationssystem.!!!Efter!att!det!gått!cirka!5!minuter!drar!det!ihop!sig!för!eleverna!att!redovisa!sina!lösningar!och!läraren!avbryter!eleverna!där!de!är!i!sina!resonemang:!!

”L:!Ok.!Fatima,!vad!skriver!vi!på!aJuppgiften!här?!Fatima![F]:!Jag!förstod!inte,!jag!bara!skrev!någonting!![…]!L:!!Emma!vad!säger!du!om!aJuppgiften!här?!E:! xy 75,0100 += !L:! […]Just!det.![…]!Varför!valde!du!de!siffrorna!som!du!gjorde?![…]!E:! För!att!de!fasta!månadspriset!för!Pling%var!hundra,!eller!y!då.!!L:! Ja,!y%=!…!

!!

35!

E:!!Och!sen!plus,!eftersom!att!de!ville!ha!övriga,!alltså!de!ringde!ju!bara!under!övrig%tid.%[…]!och!då!var!det!0,5!gånger!x,!för!vi!vet!ju!inte!hur!många!gånger!

L:! […]!0,75x!plus!100!E:!Yes.![Hon!hade!skrivit!korrekt!siffra!i!sitt!block!men!sa!här!fel!siffra.]!L:!Men!det!var!det,!du!skrev!den!liksom,!med!andra!ord!då.!Men,!det!var!helt!rätt.!Fick!du!också!det,!Disa?!

Disa![D]:![kluddar!över!en!term,!4,50x,!i!sin!formel]!Ja!det!var!bara!det,!jag!tog!inte!för!övrig!tid.!

L.!!Ahhh.!D:!Jag!läste!allt!förutom!de!två!sista!orden.!L:!Jaha.!Är!du!med!på!det!Fatima,!att!vi!tittar!på!fast!månadsavgift!plus!rörliga?”!

!Fatima!svarar!inte!på!frågan,!men!hon!skriver!ner!allt!det!som!läraren!skriver!under!sin!kamera.!!!Läraren!inleder!sedan!bJuppgiften!med!att!ge!eleverna!en!delfråga,!eleverna!ska!skriva!upp!en!likadan!ekvation!för!det!andra!telefonabonnemanget!Ring,%som!de!gjort!för!Pling!i!uppgift!a.!Sedan,!för!att!kunna!besvara!frågan!i!uppgiften,!hjälps!de!åt!att!lösa!ekvationssystemet!som!ställts!upp!av!de!två!ekvationerna!som!de!skapat,!med!de!algebraiska!metoder!som!de!har!lärt!sig!i!kursen.!!Skärminspelningen!blir!en!för!stor!fil!som!inte!kan!hanteras!av!datorn,!så!datorn!hakar!upp!sig!och!filmfilen!bryts!efter!att!12!minuter!har!gått!av!den!tid!som!ges!uppgiften.!Uppskattningsvis!ges!totat!cirka!20!minuter!för!uppgift!3.!Eleverna!hinner!tyvärr!inte!bestämma!svårighetsgraden!på!den,!efter!att!de!är!klara.!!Uppgift%4%%%Uppgift!4!behandlas!inte!under!lektionen.!!! 0

!!

36!

6 Diskussion0!

6.1 Hur0använder0elever0Youschool?0!Det!tycks!framgå!av!telefonintervjuer!med!elever,!som!läser!mer!avancerad!matematikkurs!än!grundkursen!på!gymnasiet!och!som!är!nöjda!med!och!frekvent!använder!sig!av!Youschools!lektioner,!att!inga!andra!lärresurser!än!just!lektionerna!på!Youschool!behövs!för!dem.!!Vad!som!används!av!de!elever!som!varit!med!i!undersökningen!är!skickligt!förklarande,!förstående,!tålmodiga,!både!strukturerade!och!flexibla,!samt!lagom!utmanande!och!disciplinerande!lärare.!Eleverna!bokar!upp!sig!på!lektioner,!och!om!de!inte!bokar!upp!sig!får!de!påminnelser!via!SMS!av!läraren!som!pushar!dem!att!inte!glömma!att!boka!upp!sig.!!!En!viktig!del!förutom!engagemanget!hos!läraren!kan!vara!formen!på!lektionerna.!Dels!anser!de!intervjuade!att!de!lär!sig!bra!då!de!har!kompisar!att!bolla!idéer!med.!Dels!uttrycker!de!att!det!är!bra!att!de!får!vara!med!och!påverka!vilka!uppgifter!som!man!arbetar!med!under!lektionerna!på!Youschool.!Lärarna!på!Youschool!har!även!god!koll!på!elevernas!kursplanering!och!kan!därför!planera!så!att!de!ligger!i!fas!med,!eller!att!gå!igenom!kursinnehåll!innan!eleverna!kommer!i!kontakt!med!kursinnehållet,!på!matematiklektionerna!i!skolan.!!Lösningsfilmer!saknas!för!vissa!böcker!och!det!är!därför!inte!konstigt!att!de!elever!som!läser!kursen!med!dessa!böcker!inte!nyttjar!lösningsfilmerna!på!Yoschool.!Mer!intressant!är!dock!att!användandet!av!lösningsfilmer!kanske!blir!mindre!ju!längre!elever!kommer!in!i!kursen!och!ju!mer!de!använder!lektionerna!på!Youschool.!Någon!trend!går!förstås!inte!att!se!baserat!på!två!elever,!men!det!kan!kanske!vara!av!intresse!att!med!vidare!studier!undersöka!om!det!finns!en!sådan!trend.!

!En!rimlig!hypotes!är!att!elever!som!använder!och!trivs!med!Youschool!som!kommunikationsteknik!under!lektioner!även!stimuleras!att!använda!Youschool!i!kommunikation!med!varandra!självständigt!utanför!lektionerna.!Intervjuerna!talar!snarare!för!en!motsatt!effekt.!En!elev!har!förvisso!provat!detta,!men!då!det!inte!tekniskt!fungerade!såsom!hon!önskade!övergav!hon!denna!teknik!snabbt.!Teknikstrul!är!något!som!flera!av!de!intervjuade!påtalar!som!ett!störningsmoment,!och!som!även!syns!i!observationen.!Om!tekniken!är!orsaken!till!denna,!om!ens!existerande,!motsatta!effekt!eller!om!eleverna!till!exempel!känner!att!det!räcker!med!den!matematiska!kommunikation!som!de!får!under!lektionerna!går!inte!att!gissa!sig!till!och!kräver!kvantitativa!studier.!!

6.2 På0vilket0sätt0kan0Youschool0utgöra0ett0stöd0för0elever0i0deras0lärande0i0Ma2b?0!Två!av!de!intervjuade!efterfrågar!uppgifter!som!är!av!sådan!karaktär!att!det!tränar!deras!förmågor!på!CJ!och!AJnivå.!Det!vill!säga!uppgifter!som!kräver!att!man!kan!tänka!på!van!Hieles!nivåer!3!eller!4,!uppgifter!som!stimulerar!till!tankekriser.!En!elev!fångar!denna!frustration!”du!får!se!hur!man!gör!på!EJnivå,!och!sedan!ska!du!kunna!göra!det!på!en!CJ!och!AJnivå”.!Hennes!lösning!för!att!förbättra!sina!förmågor!och!för!att!uppnå!

!!

37!

kunskapskraven!för!de!höga!betygen!är!att!komplettera!stödet!på!Youschool!med!teorifilmer!som!har!tillhörande!uppgifter!och!lösningar!på!varje!betygsnivå.!Min!uppfattning!är!att!det!är!svårt!för!elever!att!enbart!utifrån!givna!exempel!kunna!uppnå!kunskapskraven!som!krävs!för!A.!Elever!behöver!få!träna!på!uppgifter!där!de!först!kör!fast.!Uppgifterna!behöver!kräva!av!eleverna!att!de!har!tålamodet!att!inte!ge!sig!förrän!problemet!är!fullt!utrett.!Detta!kan!leda!till!tankekriser!som!i!sin!tur!kan!leda!till,!med!Piagets!terminologi,!ackomodation,!eller!med!andra!ord!en!revision!av!elevens!tidigare!uppfattningar.!!!Läxor!som!elever!får!i!skolan,!som!de!inte!kan!klara!av!på!egen!hand,!kan!eleverna!arbeta!med!på!ett!effektivt!sätt!på!Youschool.!Intervjuer!visar!att!elever!kan!känna!sig!motiverade!tack!vare!Youschool.!Genom!att!få!kommunicera!med!dem!som!kan!mer!än!dem!själva,!lärare!på!Youschool,!befinner!sig!eleverna,!med!Vygotskijs!terminologi,!i!en!proximal!utvecklingszon!under!lektionerna!på!Youschool.!Hatties!metaJmetaJanalys!av!en!mängd!effektstudier!visar!dessutom!att!hemläxor!har!en!positiv!effekt!på!elevers!studieresultat,!så!länge!det!handlar!om!studier!på!gymnasienivå.!Läxläsning!genomförs!dock!på!Youschool!i!en!vidare!bemärkelse,!från!att!enbart!beröra!de!uppgifter!som!de!ges!som!hemläxa!av!elevernas!lärare!i!skolan!till!att!även!innefatta!uppgifter!som!kommer!genom!andras!initiativ.!!

6.3 Vilka0förmågor0går0att0träna0via0Youschool?0!Inledningsvis!kan!nämnas!att!det!inte!finns!något!i!denna!undersökning!som!visar!att!någon!av!de!matematiska!förmågorna!skulle!hindras!av!lektionerna!på!Youschool!som!kommunikationsteknik,!vare!sig!det!rör!sig!om!lektioner!med!lärare!på!Youschool!eller!om!annan!kommunikation.!Då!kvaliteten!på!lösningsfilmerna!ligger!utanför!ramen!för!denna!studie!utesluts!dock!inte!att!vissa!förmågor!eventuellt!går!att!träna!betydligt!mindre!än!andra!förmågor!hos!elever!som!enbart!skulle!nyttja!dessa!filmer!flitigt!och!kanske!som!enda!stöd!i!deras!kunskapsutveckling.!Detta!är!ytterligare!ett!exempel!på!en!intressant!vidare!studie!som!skulle!kunna!göras.!!Med!svar!på!frågan!snabbt!utrett,!kan!det!vara!på!sin!plats!att!även!diskutera!vilka!förmågor!som!går!att!se!i!undersökningen!att!de!tränas!och!vilken!av!dem!som!eventuellt!kan!tänkas!tränas!mest!på!Youschool.!!Av!både!intervjuer!och!observation!framgår!att!elever!upplever!att!de!tränas!i!matematisk!kommunikationsförmåga.!De!tränas!i!att!muntligt!uttrycka!sig!med!ett!matematiskt!språk!och!att!använda!ett!skriftligt!symbolspråk.!Genom!att!under!dokumentkameran!lägga!sina!skrivblock!med!egna!ritade!bilder!eller!lägga!mobiltelefonen,!läroboken!eller!pappersutskrifter!med,!till!uppgifter!bifogade,!bilder,!kan!de!smidigt!peka!med!både!fingrar!och!penna!för!att!tydliggöra!sina!resonemang.!!Tidigare!har!nämnts!att!teknikstrul!sätter!hinder!för!smidigheten!vid!elevernas!kommunikation!med!varandra!och!lärare!på!Youschool.!Det!finns!också!en!permanent!begränsning!i!tekniken.!Den!tillåter!bara!att!det!visas!fyra!skrivprocesser!åt!gången.!Huruvida!denna!begränsning!är!av!godo!eller!av!ondo!är!däremot!ytterligare!ett!underlag!för!vidare!studier.!Hrastinski!redovisar!studier!som!visar!att!direkt!kommunikation!i!mindre!grupper,!som!den!på!Youschool,!främjar!motivation!genom!

!!

38!

ökad!samhörighet!i!gruppen!eftersom!kommunikationen!därmed!tillåts!bli!av!mer!personlig!art.!Enligt!Hrastinskis!modell!fungerar!denna!typ!av!kommunikation!som!motpol!mot!fördröjd!kommunikation,!som!till!exempel!email.!Fördröjd!kommunikation!främjar!istället!reflektion!och!kan!därmed!utgöra!en!mer!lärande!typ!av!kommunikation,!så!inte!heller!denna!motpol!behövs!bör!lyftas!ut!från!undervisningen.!!I!observationen!syns!denna!direkta!och!personliga!kommunikation!på!olika!sätt.!Eleverna!tillåts!att!göra!misstag,!de!skrattar!både!åt!sina!egna!och!andras!misstag.!Eleverna!verkar!kunna!lita!på!att!läraren!hjälper!eller!lotsar!dem!så!att!det!reds!ut!vad!som!är!rätt!och!vad!som!är!fel.!En!av!elevernas!block!försvinner!dock!under!arbetet!med!en!av!uppgifterna!och!hon!vill!inte!heller!svara!på!frågor!från!läraren!gällande!den!uppgiften.!Det!kan!vara!ett!tecken!på!att!det!känns!jobbigt!för!henne!att!visa!att!hon!inte!kan.!Eftersom!hon!är!öppnare!på!de!andra!uppgifterna,!både!innan!och!efter!den!uppgiften,!så!framstår!det!ändå!som!att!det!är!tillåtet!att!delta!på!egna!premisser!utan!att!behöva!kännas!sig!pressad.!!!Lektionsobservationen!visar!vidare!att!det!finns!elever!som!har!svårt!med!att!hantera!funktionsbegreppet!vid!bestämning!av!ett!funktionsvärde!med!hjälp!av!graf.!I!synnerhet!är!det!beteckningen f (x) !som!är!en!representation!av!funktionsbegreppet!som!ställer!till!problem.!!!Kunskapskraven!fastslår!för!betyget!E!gällande!begreppsförmågan!att!elever!ska!”översiktligt!kunna!beskriva!innebörden!av!centrala!begrepp!med!hjälp!av!några!representationer”!samt!gällande!problemlösningsförmågan!att!de!ska!kunna!”med*viss*säkerhet!använda!begrepp!och!samband!mellan!begrepp!för!att!lösa!matematiska!problem![…]!i*bekanta*situationer”.!!Innebär!det!att!elever!inte!behöver!använda!beteckningen f (x) för!att!beskriva!en!funktion?!Funktionsbegreppet!är!för!övrigt!inte!inskrivet!i!det!centrala!innehållet!i!kursen.!Innebär!det!att!elever!inte!behöver!kunna!beskriva!detta!begrepp?!Om!det!är!ett!centralt!begrepp!för!kursen!eller!inte!framgår!med!andra!ord!inte!av!styrdokumenten.!Det!kan!tolkas!som!att!det!är!upp!till!den!undervisande!läraren!att!göra!en!avvägning!i!frågan.!I!uppgifter!på!nationella!prov!i!Ma2b!används!beteckningen f (x) .38!Med!andra!ord!ger!detta!för!lärare!som!vill!att!deras!elever!ska!lyckas!med!den!typen!av!uppgifter!på!nationella!prov!en!fingervisning!om!att!eleverna!bör!förberedas!genom!att!arbeta!med!uppgifter!där!de!bekantar!sig!med!denna!representation.!!!Funktionsbegreppet!behandlas!dock!redan!i!kursen!Ma1b,!både!i!det!centrala!innehållet!och!i!flera!kursböcker.!Liksom!i!Ma2b!framgår!det!heller!inte!av!det!centrala!innehållet!i!Ma1b!att!eleverna!behöver!kunna!hantera!representationen f (x) ,!men!läroböckerna!tar!upp!beteckningen.!Kanske!utgår!lärare!från!att!elever!kan!hantera!funktionsbegreppet!eftersom!de!har!arbetat!med!detta!som!centralt!innehåll!i!den!tidigare!kursen,!inte!minst!är!det!rimligt!att!anta!att!det!kan!vara!så!för!de!lärare!som!får!nya!elevgrupper!att!undervisa!i!Ma2b,!eftersom!inga!styrdokument,!varken!för!Ma!1b!eller!Ma!2b,!nämner!skrivsättet! f (x) .!Sammantaget!kan!det!vara!av!värde!för!läraren!att!känna!till!att!det!är!en!beteckning!som!eleverna!inte!nödvändigtvis!är!bekanta!med!när!de!börjar!läsa!Ma2b.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!38!Uppgift!2!i!denna!undersökning!är!hämtat!från!ett!gammalt!nationellt!prov!i!MaB,!men!även!i!flera!uppgifter!på!nationella!prov!i!den!nya!kursen!Ma2b!används!representationen.!

!!

39!

!En!farhåga!ser!jag!i!sammanhanget.!På!lektioner,!oavsett!om!de!är!på!Youschool!eller!i!skolan,!jobbar!man!kanske!för!mycket!med!förmågan!procedurer.!Till!exempel!kanske!elever!jobbar!med!någon!procedur!för!att!bestämma!formeln!till!en!funktion,!kanske!för!en!rät!linje,!utan!att!ha!förståelse!för!vad!man!egentligen!gör!och/eller!varför!man!gör!det.!För!vem!är!nyttan!stor!att!eleverna!kan!bestämma!ekvationen!till!en!linjär!funktion!med!hjälp!av!exempelvis!trappstegsmetoden!om!de!inte!förstår!vad!en!linjär!funktion!är!eller!nyttan!med!att!kunna!bestämma!en!linjär!funktion?!!

6.4 En0vidare0reflektion0!En!fråga!som!ställdes!i!inledningen:!Vad!är!det!som!gör!att!elever!har!så!svårt!med!Ma2b?!Det!är!en!fråga!som!varje!lärare!kanske!ställer!sig!som!inte!har!lyckats!bättre!än!vad!statistiken!i!landet!visar.!!!Går!det!ens!att!finna!någon!lösning!till!detta!problem?!Kanske!är!det!istället!så!att!denna!undersökning!väcker!fler!frågor!än!vad!den!lyckas!ger!svar!på?!!Närmast!ut!var!exemplet!om!hur!styrdokumenten!lämnar!tolkningsutrymme!till!lärarna!gällande!beteckningen! f (x) !som!visar!att!det!förekommer!otydligheter!kring!vad!lärare!ska!undervisa.!Sen!kan!tilläggas!en!tolkningstvetydighet!för!lärarna!att!avgöra!vilka!förmågor!som!testas!huvudsakligen!i!vilka!uppgifter.!De!nationella!proven!uppges!ska!vara!vägledande!men!inte!allena!avgörande!för!lärarna!vid!betygssättning.!Totalundersökningar!av!resultat!från!samtliga!nationella!prov!görs!numera!och!statistiken!från!dessa!är!lätt!att!hitta!på!nätet,!ända!ned!på!enskild!skolnivå!om!man!så!vill.!Detta!pressar!lärarna!att!prioritera!provförfattarnas!tolkningar!av!vad!kurserna!ska!innehålla!då!tveksamheter!uppstår,!alltför!att!skolans!inte!ska!hamna!i!dålig!dager!med!dåliga!provresultat.!Att!tillägga!att!det!är!två!olika!institutioner!som!ansvarar!för!proven!på!gymnasiet!underlättar!inte!arbetet!med!tolkning!av!vad!undervisningen!måste!innehålla.!Så!länge!det!råder!oklarheter!bland!lärarna!kring!vad!undervisningen!ska!innehålla,!är!det!inte!orimligt!att!anta!att!kraven!kan!upplevas!som!otydliga!för!eleverna.!Otydliga!krav!kan!vara!en!orsak!till!problemet.!!!!

6.5 Reliabilitet,0validitet0och0generaliserbarhet0!Intentionen!med!studien!var!från!början!att!ett!kunskapstest!skulle!genomföras!med!alla!elever!som!läste!Ma2b!på!Youschool,!för!att!få!mer!information!om!hur!elever!tränas!i!de!olika!förmågorna!kring!funktionsbegreppet.!Tyvärr!gick!detta!test!inte!att!praktiskt!genomföra,!då!det!bedömdes!vara!för!tidskrävande!samt!att!det!var!svårt!att!genomföra!under!övervakning!då!eleverna!var!spridda!i!landet.!Därför!valdes!istället!att!göras!en!lektionsobservation!men!med!oförändrat!syfte,!och!med!testuppgifterna!istället!som!lektionsmaterial.!Tyvärr!hann!eleverna!inte!arbeta!med!uppgift!4,!den!uppgift!som!eventuellt!skull!kunna!få!eleverna!att!behöva!övervinna!en!tankekris!och!därmed!kunna!visa!att!de!uppnått!van!HieleJnivå!4.!!

!!

40!

Intervjuerna!skulle!också!genomföras!som!en!totalundersökning,!men!då!med!fler!frågor!specifikt!kopplade!till!testet!och!de!skulle!utgöra!en!komplettering!till!testet.!Av!samma!skäl!som!för!varför!kunskapstestet!förenklades!fick!planerna!på!en!totalundersökning!åter!överges.!Intervjuerna!fick!bli!på!telefon!eftersom!eleverna!var!för!spridda!i!landet.!!Resultaten!från!intervjuer!och!observation!är!tillförlitliga!så!till!vida!att!de!gjorts!med!beprövade!metoder!för!semistrukturerade!intervjuer!och!filminspelningar.!Invändningar!mot!urvalet!av!studieobjekt!kan!finnas,!men!allt!material!som!har!varit!möjligt!i!studien!att!samla!in!har!samlats!in.!!!!Eftersom!endast!en!observation!gjorts!är!det!svårt!att!dra!några!generella!slutsatser!om!undervisningen!på!Youschool!utifrån!den,!men!eftersom!vissa!delar!i!diskussionen!ges!stöds!från!både!intervjuer!och!observationen!så!är!åtminstone!dessa!delar!mer!styrkta!än!övriga!delar.!!!!!!! 0

!!

41!

Källförteckning0!Alfredsson,!L.,!Björk,!L.!E.,!Brolin,!H.,!Bråting,!K.,!Erixon,!P.,!Heikne,!H.,!Ristamäki,!A.,!Matematik%5000,%Kurs%1b%Grön%lärobok,%Natur!och!Kultur,!Stockholm,!2011.!!Bjørndal,!C.!R.!P.,!Det%värderande%ögat:%observation,%utvärdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!Liber,!Stockholm,!2005.!!Emanuelsson,!G.,!Johansson,!B.,!och!Ryding,!R.!(red.),!Geometri%och%statistik,!Studentlitteratur,!Lund,!1992.!!von!Essen,!C.!Din!skola!på!nätet.!Aftonbladet,%Fokus:%Studera.!Mars!2013.!!!Garten,!B.,!Injection%keine%Injektion%2a.%2011,%tillgänglig:!http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg#/media/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg!(hämtad!2015J06J09).!!Gennow,!S.,!Gustafsson,!I.!M.,!Silborn,!B.,!Exponent%1b,!Gleerups!Utbildning!AB,!Malmö,!2011.!!!Hattie,!J.,!Synligt%lärande:%en%syntes%av%mer%än%800%metaanalyser%om%vad%som%påverkar%elevers%skolresultat,!Natur!och!Kultur,!Stockholm,!2014.!!!van!Hiele,!P.,!Structure%and%Insight,%a%Theory%of%Mathematics%Education,!UK!Edition,!Academic!Press!Inc.,!London,!1986.!!Holmström,!M.,!Smedhamre,!E.,!och!Sjunnesson,!J.,!M%Matematik%1b,!Stockholm,!Liber,!2011.!!Hrastinski,!S.,!Nätbaserad%utbildning,%En%introduktion,%Studentlitteratur,!Malmö,!2009.!!Imsen,!G.,!Elevens%värd,%Introduktion%till%pedagogisk%psykologi,!3!uppl,!Studentlitteratur,!Lund,!2000.!!SFS!2010:800,!Skollag.!!!Skolverket,!Internationella!studier,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/statistikJochJutvardering/internationellaJstudier!(hämtad!2014J10J22).!!!Skolverket,!SIRIS!J!Nationella!prov,!2014,!tillgänglig:!http://siris.skolverket.se/siris/f?p=SIRIS:114:0::NO!(hämtad!2014J11J20).!%!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/laroplanerJamnenJochJkurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hämtad!2015J06J04).!!!

!!

42!

Stockholms%universitet,!PRIM?gruppen,%Dokument,!2014,!tillgänglig:!http://www.su.se/polopoly_fs/1.129061.1402923516!/menu/standard/file/A4_Kunskapskrav%201bc%20i%20matrisform_140128.pdf!(hämtad!2015J06J24).!!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!Dufåker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!Utbildning,!Stockholm,!2011.!!!Trost,!J.,!Kvalitativa%intervjuer,!Lund,!Studentlitteratur,!1993.!!!Youschool,!webbplats:!www.youschool.se!(hämtad!2015J04J30).!**

Kuns

kaps

krav

, Mat

emat

ik 2

b, 1

00 p

oäng

, Kur

skod

MAT

MAT

02b

Bety

get E

Bety

get D

Bety

get C

Bety

get B

Bety

get A

Elev

en k

an ö

vers

iktli

gtbe

skriv

a in

nebö

rden

av

cent

rala

beg

repp

med

hjä

lpav

någ

ra re

pres

enta

tione

rsa

mt ö

vers

iktli

gt b

eskr

iva

sam

band

en m

ella

n be

grep

pen.

Des

suto

m v

äxla

r ele

ven

med

viss

säke

rhet

mel

lan

olik

are

pres

enta

tione

r. El

even

kan

med

viss

säke

rhet

anvä

nda

begr

epp

och

sam

band

mel

lan

begr

epp

för a

ttlö

sa m

atem

atis

ka p

robl

emoc

h pr

oble

msi

tuat

ione

r ika

rakt

ärsä

mne

na i

beka

nta

situa

tione

r. I

arbe

tet h

ante

rar

elev

en n

ågra

enk

la p

roce

dure

roc

h lö

ser u

ppgi

fter a

vst

anda

rdka

rakt

är m

ed v

isssä

kerh

et, b

åde

utan

och

med

digi

tala

ver

ktyg

.

Elev

en k

an fo

rmul

era,

anal

yser

a oc

h lö

sa m

atem

atis

kapr

oble

m a

v en

kel k

arak

tär.

Des

sa p

robl

em in

klud

erar

ett f

åtal

beg

repp

och

krä

ver

enkl

a to

lkni

ngar

. I a

rbet

etgö

r ele

ven

om re

alis

tiska

prob

lem

situ

atio

ner t

illm

atem

atis

ka fo

rmul

erin

gar

geno

m a

tt til

läm

pa g

ivna

mat

emat

iska

mod

elle

r. El

even

kan

med

enk

la o

mdö

men

utvä

rder

a re

sulta

tets

rim

lighe

tsa

mt v

alda

mod

elle

r, st

rate

gier

och

met

oder

.

Bet

yget

D in

nebä

r att

kuns

kaps

krav

en fö

r Eoc

h til

l öve

rväg

ande

del

för C

är u

ppfy

llda.

Elev

en k

an u

tförl

igt b

eskr

iva

inne

börd

en a

v ce

ntra

labe

grep

p m

ed h

jälp

av

någr

are

pres

enta

tione

r sam

t utfö

rlig

tbe

skriv

a sa

mba

nden

mel

lan

begr

eppe

n. D

essu

tom

väx

lar

elev

en m

ed v

iss sä

kerh

etm

ella

n ol

ika

repr

esen

tatio

ner.

Elev

en k

an m

ed v

iss sä

kerh

etan

vänd

a be

grep

p oc

h sa

mba

ndm

ella

n be

grep

p fö

r att

lösa

mat

emat

iska

pro

blem

och

prob

lem

situ

atio

ner i

kara

ktär

säm

nena

. I a

rbet

etha

nter

ar e

leve

n fle

rapr

oced

urer

och

löse

r upp

gifte

rav

stan

dard

kara

ktär

med

säke

rhet

, båd

e ut

an o

ch m

eddi

gita

la v

erkt

yg.

Elev

en k

an fo

rmul

era,

anal

yser

a oc

h lö

sa m

atem

atis

kapr

oble

m. D

essa

pro

blem

inkl

uder

ar fl

era

begr

epp

och

kräv

er a

vanc

erad

e to

lkni

ngar

.I a

rbet

et g

ör e

leve

n om

real

istis

ka p

robl

emsi

tuat

ione

rtil

l mat

emat

iska

form

uler

inga

rge

nom

att

välja

och

tillä

mpa

mat

emat

iska

mod

elle

r. El

even

kan

med

enk

la o

mdö

men

utvä

rder

a re

sulta

tets

rim

lighe

tsa

mt v

alda

mod

elle

r, st

rate

gier

,m

etod

er o

ch a

ltern

ativ

till

dem

.

Bet

yget

B in

nebä

r att

kuns

kaps

krav

en fö

r Coc

h til

l öve

rväg

ande

del

för A

är u

ppfy

llda.

Elev

en k

an u

tförl

igt b

eskr

iva

inne

börd

en a

v ce

ntra

labe

grep

p m

ed h

jälp

av

flera

repr

esen

tatio

ner s

amt u

tförl

igt

besk

riva

sam

band

en m

ella

nbe

grep

pen.

Des

suto

m v

äxla

rel

even

med

säke

rhet

mel

lan

olik

a re

pres

enta

tione

r. El

even

kan

med

säke

rhet

anv

ända

begr

epp

och

sam

band

mel

lan

begr

epp

för a

tt lö

sa k

ompl

exa

mat

emat

iska

pro

blem

och

prob

lem

situ

atio

ner i

kara

ktär

säm

nena

. I a

rbet

etha

nter

ar e

leve

n fle

rapr

oced

urer

och

löse

r upp

gifte

rav

stan

dard

kara

ktär

med

säke

rhet

och

på

ett e

ffekt

ivt

sätt,

båd

e ut

an o

ch m

eddi

gita

la v

erkt

yg.

Elev

en k

an fo

rmul

era,

anal

yser

a oc

h lö

sa m

atem

atis

kapr

oble

m a

v ko

mpl

exka

rakt

är. D

essa

pro

blem

inkl

uder

ar fl

era

begr

epp

och

kräv

er a

vanc

erad

eto

lkni

ngar

. I p

robl

emlö

snin

gup

ptäc

ker

elev

en g

ener

ella

sam

band

som

pre

sent

eras

med

sym

bolis

k al

gebr

a.I a

rbet

et g

ör e

leve

n om

real

istis

ka p

robl

emsi

tuat

ione

rtil

l mat

emat

iska

form

uler

inga

rge

nom

att

välja

, till

ämpa

och

anpa

ssa

mat

emat

iska

mod

elle

r.El

even

kan

med

nya

nser

ade

Kuns

kaps

krav

, Mat

emat

ik 2

b, 1

00 p

oäng

, Kur

skod

MAT

MAT

02b

Bety

get E

Bety

get D

Bety

get C

Bety

get B

Bety

get A

Elev

en k

an fö

ra e

nkla

mat

emat

iska

reso

nem

ang

och

värd

era

med

enk

la o

mdö

men

egna

och

and

ras r

eson

eman

gsa

mt s

kilja

mel

lan

giss

ning

aroc

h vä

lgru

ndad

e på

ståe

nden

.D

essu

tom

uttr

ycke

r sig

ele

ven

med

viss

säke

rhet

i ta

l, sk

rift

och

hand

ling

med

insla

g av

mat

emat

iska

sym

bole

r och

andr

a re

pres

enta

tione

r.

Gen

om a

tt ge

exe

mpe

l rel

ater

arel

even

någ

ot i

kurs

ens

inne

håll

till d

ess b

etyd

else

inom

and

ra ä

mne

n, y

rkes

liv,

sam

hälls

liv o

ch m

atem

atik

ens

kultu

rhis

toria

. Des

suto

m k

anel

even

föra

enk

la re

sone

man

gom

exe

mpl

ens r

elev

ans.

Elev

en k

an fö

ra v

älgr

unda

dem

atem

atis

ka re

sone

man

goc

h vä

rder

a m

ed n

yans

erad

eom

döm

en e

gna

och

andr

asre

sone

man

g sa

mt s

kilja

mel

lan

giss

ning

ar o

ch v

älgr

unda

depå

ståe

nden

. Des

suto

mut

tryck

er si

g el

even

med

viss

säke

rhet

i ta

l, sk

rift o

chha

ndlin

g sa

mt a

nvän

der

mat

emat

iska

sym

bole

r och

andr

a re

pres

enta

tione

r med

viss

anp

assn

ing

till s

yfte

och

situa

tion.

Gen

om a

tt ge

exe

mpe

l rel

ater

arel

even

någ

ot i

någr

a av

kurs

ens d

elom

råde

n til

l des

sbe

tyde

lse

inom

and

ra ä

mne

n,yr

kesl

iv, s

amhä

llsliv

och

mat

emat

iken

s kul

turh

isto

ria.

Des

suto

m k

an e

leve

n fö

ravä

lgru

ndad

e re

sone

man

g om

exem

plen

s rel

evan

s.

omdö

men

utv

ärde

ra re

sulta

tets

rimlig

het s

amt v

alda

mod

elle

r,st

rate

gier

, met

oder

och

alte

rnat

iv ti

ll de

m.

Elev

en k

an fö

ra v

älgr

unda

deoc

h ny

anse

rade

mat

emat

iska

reso

nem

ang,

vär

dera

med

nyan

sera

de o

mdö

men

och

vida

reut

veck

la e

gna

och

andr

as re

sone

man

g sa

mt

skilj

a m

ella

n gi

ssni

ngar

och

välg

rund

ade

påst

åend

en.

Des

suto

m u

ttryc

ker s

ig e

leve

nm

ed sä

kerh

et i

tal,

skrif

t och

i han

dlin

g sa

mt a

nvän

der

mat

emat

iska

sym

bole

r och

andr

a re

pres

enta

tione

r med

god

anpa

ssni

ng ti

ll sy

fte o

chsit

uatio

n.

Gen

om a

tt ge

exe

mpe

l rel

ater

arel

even

någ

ot i

någr

a av

kurs

ens d

elom

råde

n til

l des

sbe

tyde

lse

inom

and

ra ä

mne

n,yr

kesl

iv, s

amhä

llsliv

och

mat

emat

iken

s kul

turh

isto

ria.

Des

suto

m k

an e

leve

n fö

ravä

lgru

ndad

e oc

h ny

anse

rade

reso

nem

ang

om e

xem

plen

sre

leva

ns.

Appendix II !Intervjufrågor:!!

1. Bakgrundskoll:!!

0 Vilket!program!läser!du!på!gymnasiet?!

0 Hur!länge!har!du!haft!Youschool?!

!

2. Vad!var!det!som!gjorde!att!du!att!började!att!använda!YS?!!

0 På!vems!initiativ!var!det!att!du!började!använda!YS?!(eget,!föräldrars,!lärare!i!skolan!…)!

0 Vem!är!det!som!betalar?!(eleven!själv,!föräldrar!…?!)!

!

3. Har!du!något!betygsmål!i!kursen?"(E,!högre!betyg?)!!

4. Beskriv!vad!som!är!ett!verkligt!stöd,!vad!som!hjälper!dig!att!nå!ditt!mål?!!

0 Prioritera.!Vad!tycker!du!är!viktigast?!

!

5. Beskriv!hur!YS!hjälper!dig!att!nå!ditt!mål?!!

6. Om!du!inte!hade!YS!till!studiehjälp,!vad!ser!du!skulle!kunna!vara!ett!alternativ!att!få!hjälp!med!att!lära!dig!matematik.!

!

7. Vilka!resurser!använder!du!på!YS?!!

0 Vilka!resurser!använder!du!på!YS?!(Kanske!måste!intervjuaren!förklara!vad!han/hon!menar!

med!resurser:!YS0lärare,!kamrater!på!YS,!filmer!…)!!

0 Vilka!resurser!(lärare!eller!annat)!tycker!du!är!viktigast?!!

0 Använder!du!bara!YS!när!du!har!kontakt!med!lärare!(Om!det!inte!redan!har!framkommit)?!

0 Vad!är!viktigast!med!läraren!som!resurs?!

0 Vad!gör!du!på!YS!när!du!inte!har!kontakt!med!lärare!(om!du!inte!redan!fått!svar!på!det)?!

!8. Kan!du!berätta!om!hur!det!brukar!gå!till!under!en!vanlig!lektion!på!YS?!

!

0 Ge!exempel!på!något!lektionstillfälle!på!YS!som!varit!lärorikt!för!dig.!

0 Hur!jobbade!ni!då?!

0 Hur!tänker!du!dig!att!du!lär!dig!med!hjälp!av!YS?!!

0 Vad!skulle!man!kunna!göra!under!en!YS0lektion!om!tex!funktioner!(något!konkret),!för!att!det!

ska!bli!en!optimal!lektion?!

0 Prioritera.!Vad!tycker!du!är!viktigast?!!

!

9. Nu!får!du!fria!händer!!Om!du!skulle!få!förbättra!YS,!vad!skulle!du!göra?!Saknar!du!något!kring!YS!som!skulle!göra!YS!ännu!bättre!än!idag?!

!

10. Har!du!något!som!du!skulle!vilja!tillägga?!Kanske!något!som!du!kom!att!tänka!på!under!intervjun!och!som!jag!inte!frågade!något!om.!

! !

!!

Appendix III !Räta!linjens!ekvation!!

1.!E9nivå!(Np!Ma2b!vt!2012)!

!!

Området"nedan"kan"du"använda"som"kladdpapper.""

!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!

!

Uppgiften!var!lätt!att!lösa!!!

1! 2! 3! 4! ! ☐!Instämmer!helt! Instämmer!

delvis!!

Instämmer!inte!

så!mycket!

Instämmer!inte!

alls!! Ingen!

uppfattning!

!Kommentarer:____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

NpMa2b vt 2012

2

1.

a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje med riktningskoefficienten 1� k (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 25)5)(5( ��� xx så långt som möjligt.

______________________(1/0/0) 3. Lös ekvationerna a) 0)7( �xx ______________________(1/0/0) b) 3lg x ______________________(1/0/0) c) xx 23 222 � ______________________(0/1/0)

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

!!

2.!Odefinerad9nivå!(Np!MaB!vt!2000)!

!Svara"och"motivera"nedan:""

!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!

!

Uppgiften!var!lätt!att!lösa!!!

1! 2! 3! 4! ! ☐!Instämmer!helt! Instämmer!

delvis!!

Instämmer!inte!

så!mycket!

Instämmer!inte!

alls!! Ingen!

uppfattning!

!Kommentarer:____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________!

Np MaB vt 2000

11.

47

37

36

36

46

26

a) Ovan ser du ett träddiagram. Ge ett förslag på en händelse som kan beskri-

vas av diagrammet. (2p) b) Formulera en fråga som besvaras med den uträknade sannolikheten: (1p)

71

62

73

� P

12.

1

1

y = h (x)

y = f (x) y

x

I figuren till vänster visas graferna till de två ekvationerna )(),( xhyxfy a) Bestäm )0(h

Endast svar fordras b) Bestäm det x-värde för vilket

0)( xh Endast svar fordras

c) Använd figuren för att bestämma

lösningen till ekvationssystemet

¯®­

)()(

xhyxfy

Endast svar fordras

(1p)

(1p)

(1p)

!!

3.!G9nivå!(Np!MaB!vt!2001)!!

!Svara"och"gör"beräkningar"nedan:"

!

!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!

!

Uppgiften!var!lätt!att!lösa!!!

1! 2! 3! 4! ! ☐!Instämmer!helt! Instämmer!

delvis!!

Instämmer!inte!

så!mycket!

Instämmer!inte!

alls!! Ingen!

uppfattning!

!

Kommentarer:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________!

Np MaB vt 2001

Del II

11. En camping har 23 stugor, fördelade på trebäddsstugor och fembäddsstugor.

Totalt har campingen 83 bäddar. Efter att ha läst texten ovanför ställde en elev upp följande ekvationssystem:

¯®­

� �

835323

yxyx

a) Vad står x respektive y för? (1/0) b) Lös ekvationssystemet. (2/0) 12. En rektangel har arean 221 cm2. Längden är 4 cm större än bredden. a) Teckna en ekvation som kan användas för att beräkna rektangelns bredd

med hjälp av den givna informationen. Endast svar fordras (1/0) b) Beräkna rektangelns bredd. (1/0) 13. Du ska köpa en mobiltelefon och välja vilket abonnemang du ska ha. Prislista:

a) Skriv månadskostnaden y kr som en funktion av samtalstiden x minuter för

abonnemanget Pling om man endast ringer under ”övrig tid”. (1/0) b) Hur många minuter per månad måste man ringa för att abonnemanget Pling

ska vara lika dyrt som abonnemanget Ring om man endast ringer under ”öv-rig tid”? (2/0)

Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.

Abonnemang Pling Ring Fast månadsavgift 100 kr 150 kr Minutpriser för nationella samtal

Vardagar kl 7-19 4,50 kr 4 kr Övrig tid 0,75 kr 0,50 kr

!!

4.!VG/MVG9nivå!(Np!MaB!ht!2001)!

!Svara"och"gör"beräkningar"nedan:""

!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!

!

Uppgiften!var!lätt!att!lösa!!!

1! 2! 3! 4! ! ☐!Instämmer!helt! Instämmer!

delvis!!

Instämmer!inte!

så!mycket!

Instämmer!inte!

alls!! Ingen!

uppfattning!

!

Kommentarer:____________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________!!

Np MaB ht 2001 17.

A

B

y

x

(2, 3)

En rät linje genom punkten (2, 3) skär positiva y-axeln i A och positiva x-axeln i B, se figur. Punkten B har en x-koordinat som är tre gånger så stor som y-koordinaten för punkten A. Bestäm y-koordinaten för punkten A exakt.

�����͞� 18. ABCD är ett vitt rektangelformat pappersark med grå baksida. Arket viks så att

vikningslinjen går genom hörnet A och så att hörnet B hamnar på sidan CD (se högra figuren).

A B

C D

12 cm

15 cm

Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket.

Beräkningar som bygger på uppmätta värden godtas ej. �����͞�

!!

!!

Stockholms universitet/Stockholm University

SE-106 91 Stockholm

Telefon/Phone: 08 – 16 20 00

www.su.se

! !Stockholm, 2015