115
Genel Matematik I Prof. Dr. Ömer ÖNALAN M.Ü. İşletme Fakültesi, Sayısal Yöntemler Anabilim dalı 1

Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

  • Upload
    others

  • View
    9

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Genel Matematik I

Prof. Dr. Ömer ÖNALAN

M.Ü. İşletme Fakültesi, Sayısal Yöntemler Anabilim dalı

1

Page 2: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Yararlanılan Kaynaklar

Ders Kitabı: Ömer Önalan, İşletme Matematiği, Nobel Basım Yayın.(2020)

Diğer Kaynaklar Tan, S. T. (2015). Applied mathematics for the managerial, life, and social

sciences. Cengage Learning. Stewart, James (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th edition) Barnett,R.A.,Zeigler,M.R.,Byleen,K.E.( 2015). Finite Mathematics for

Business,Economics,Life Sciences and Social Sciences, 13 th ed. Printice-Hall.

Thomas’ Calculus 11th Edition, Pearson Publ. ( Çeviri: Recep Korkmaz , Beta Basım, 2010)

2

Page 3: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

1

Kalkülüs’e Giriş I Kalkülüs’e Giriş II Kartezyen Koordinat Sistemi Doğrular

Başlangıç

3

Page 4: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

The Elements –Euclid(Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570)

4

Page 5: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

1.1Kalkülüse Giriş I

– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

Origin

Positive DirectionNegative Direction

2 –

5

Page 6: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Matematik Nedir?

Matematik, doğruluk , kesinlik ve anlaşılırlık bakımlarından en üst düzeyde düşünsel ürünlerden oluşan bir bilgi alanı, bir soyutlama ve bir düşünce biçimidir;

Mantıksal, biçimsel ve simgesel bir sistemdir; akıl yürütmeye dayalı bir imgeler ve kurallar bütünü olup kendisine ait bir “sentaks” ı olan evrensel bir dildir.

Matematik nesnelerin kendilerini değil aralarındaki ilişkileri inceler; ölçülen şeyle değil ölçü fikriyle uğraşır. Matematikte esas unsur kuraldır.

Fakat “Matematiksel kavram ve bilgilerin hemen tümü nün gerçek dünyada hiçbir yeri yoktur” (King,1999).

6

Page 7: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Matematiğin Tanımı

Matematiğin Aksiyomatik Tanımı Eleman olarak adlandırılan nesnelerden oluşan bir küme ile bu

kümenin elemanlarına uygulayacağımız bir ilişki(Bağıntı) kümesini ele alalım.

Bu ikisine birden ilkel terim adı verilir. Bu ilkel terimlerin Aksiyom adı verilen önceden belirlenmiş kendi aralarında tutarlı bir takım kurallara uyması istenir. Aksiyomlardan mantık kurallarına uygun olarak çıkarılan sonuçlara teorem adı verilir.

Aksiyomlar, ilkel terimler ve bunlardan çıkarılan tüm teoremlere birlikte bir aksiyomatik sistem adı verilir.

Matematik ise bu aksiyomatik sistemlerin tümünün incelenmesidir.

7

Page 8: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Temel Kavramlar

Aksiyom, doğru olduğu herkes tarafından kabul edilen önerme.

Postulat, doğruluğu mantıki olarak kabul edildiği halde, doğruluğu da yanlışlığı da ispatlanamayan önermedir.

Aksiyomlar, mantıki işlemler için yeni teorem ve ispatların elde edilmesinde kullanılırlar.

8

Page 9: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Temel Kavramlar(Devam)

İspata yönelik her bilim, konusunun ilkelerini oluşturan varsayımlarla işe başlar.

Bu varsayımların bir bölümü tüm bilim alanları için ortak niteliktedir. (Aristoteles bunlara aksiyom adını vermekte); diğerleri her alanın kendi

konusuna özgü ilkelerdir (Aristoteles bunlara postulat adını vermektedir). Postulatlar, inceleme konusu nesneleri, bunlara ilişkin özellik ve ilişkileri

belirleyen önermelerdir.

9

Page 10: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Temel Kavramlar(Devam)

Örneğin, geometride ‘nokta’ , ‘çizgi’ gibi nesneler varsayılmakta,

‘üçgen’, ‘daire’ gibi tanımlanan diğer nesneler, varsayılan nesnelere dayanılarak inşa edilmektedir.

Örneğin, “Tüm dik açılar eşittir” postulatı, bir grup nesnenin belli bir özelliğini dile getirmektedir.

Özetle Aksiyom tüm alanlar için geçerli, doğruluğu apaçık bir

önermedir. Postulat belli bir konu ya da inceleme alanına özgü, doğruluğu apaçık bir önermedir.

10

Page 11: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Matematiğin Bölümleri

Matematik çalışmaları kesin olmamakla birlikte iki kısımda ele alınabilir.

Matematik

Pür(Teorik) Matematik

Uygulamalı Matematik

11

Page 12: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Matematik Haritası

Matematik haritası

12

Page 13: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Teorik(Pür) Matematik

Pür matematik günlük hayatın kaygılardan tamamen uzaktır pür matematik; sanat sanat içindir anlayışının matematiğe yansımış halidir .

Benim derdim teoremi ortaya atıp ispatlamaktır, sonra siz bunu alır mühendislikte kullanırsınız orası beni ilgilendirmez derler. (bakınız, matematik sanatı) jerry p. King

Teorik matematikçinin, üzerinde uğraştığı sorunların ve problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur. (Hardy-University of Oxford)

13

Page 14: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Uygulamalı Matematik

Uygulamalı matematik; doğayı anlamak, somut olgular üzerinde çalışmak için matematiğin kullanımı ile belirlenmiş entelektüel bir alan dır.

Teorik matematikçilerin geliştirmiş olduğu matematiksel yöntemler ve tekniklerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matematikçilerin işidir. Literatürden de görülebileceği gibi bir çok teori ortaya konduktan uzun bir zaman sonra pratikte uygulama alanı bulmuştur.

14

Page 15: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Doğal Sayılar Kümesi

15

Page 16: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Doğal Sayılar Kümesi(Devamı)

16

Page 17: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Doğal Sayılar Kümesi(Devamı)

17

Page 18: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Doğal Sayılar Kümesi(Devamı)

18

Page 19: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Rasyonel Sayılar

19

Page 20: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Rasyonel Sayılar(Devamı)

20

Page 21: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Rasyonel Sayılar(Devamı)

21

Page 22: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Reel Sayı Doğrusu

Reel sayıları geometrik olarak reel doğru üzerindeki noktalarla gösterebiliriz :

Bu doğru tüm reel sayıları içerir. Her bir reel sayı doğru üzerindeki tam olarak bir nokta ile

ilişkilendirilmiştir. Veya bunun tersi

– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

Orjin

Positif yönNegatif yön

2

22

Page 23: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Sonlu Aralıklar

Açık Aralıklar Kesinlikle a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan reel

sayılar kümesi, (a, b) açık arağı olarak adlandırılır. Bu aralık a < x < b eşitsizliğini sağlayan tüm reel sayılardan

oluşur. Buna açık aralık denmesinin nedeni aralığın bitiş

noktalarını içermemesidir..

23

Page 24: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Sonlu Aralıklar

Kapalı Aralıklar Kesinlikle a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan reel sayılar

ve a ve b yide içeren sayılar kümesi, [a, b] kapalı aralığı olarak adlandırılır.

Bu aralık a x b eşitsizliğini sağlayan tüm reel sayılardan oluşur.

O kapalı aralık olarak adlandırılır çünkü aralık her iki bitiş noktasınıda içerir.

24

Page 25: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Sonlu Aralıklar

Yarı-Açık Aralıklar a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan ve a ve b bitiş

noktalarından sadece birini içeren sayılar kümesi, (a, b] veya[a, b). Yarı-açık aralığı olarak adlandırılır.

Bu aralık a < x b veya a x < b eşitsizliklerini sağlayan tüm reel sayılardan oluşur.

25

Page 26: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Sonsuz Aralıklar

Sonsuz aralıkların örnekleri: (a, ), [a, ), (–, a), ve (–, a]. Yukarıdaki aralıklar sırasıyla, x > a, x a, x < a, x a,

eşitsizliklerini sağlayan reel sayılar kümesi ile tanımlanırlar.

26

Page 27: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Üslü ve Köklü İfadeler

Eğer b herhangi bir reel sayı ve n de bir pozitif tamsayı ise ozaman bn ifadesi aşağıdaki gibi tanımlanan bir sayıdır.

bn = b ∙ b b ∙ ∙ … ∙ b

Burada b sayısı taban ve n üssüde bn üstel ifadesinin kuvveti olarak adlandırılır.

örneğin:

Eğer b ≠ 0, ise b0 = 1 olarak tanımlarız. örneğin:

20 = 1 ve (–)0 = 1, fakat 00 tanımsızdır.

n çarpan

52 2 2 2 2 2 32

32 2 2 2 83 3 3 3 27

27

Page 28: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Üslü ve Köklü İfadeler

Eğer n bir pozitif tamsayı ise o zaman b1/n ifadesi; nth kuvveti alındığında b ye eşit olan bir sayı olarak tanımlanır. Böylece,

Böyle bir sayı b nin nth kökü olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi yazılır.

Benzer şekilde, the expression bp/q ifadesi aşağıdaki gibi tanımlanan bir sayıdır.

(b1/q)p veya Örnekler:

n b

q pb

3 33/2 1/22 2 1.41412 2.8283

5/2

55/2 51/2

1 1 1 144 2 324

(b1/n)n = b

28

Page 29: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Üs Kanunları

Kanun Örnek

1. am ∙ an = am + n x2 ∙ x3 = x2 + 3 = x5

2.

3. (am)n = am ∙ n (x4)3 = x4 ∙ 3 = x12

4. (ab)n = an ∙ bn (2x)4 = 24 ∙ x 4 = 16x4

5.

( 0) m

m nn

a a aa

( 0) m

m nn

a a aa

7

7 4 34

x x xx

7

7 4 34

x x xx

n n

n

a ab b

n n

n

a ab b

3 3 3

32 2 8x x x

3 3 3

32 2 8x x x

29

Page 30: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler İfadelerin Basitleştirilmesi

2 3

5/ 4

1/ 2

32/3

23 2

23/ 2

1/ 4

3 4

1616

6

x x

x y

yx

a.

b.

c.

d.

e.

2 3 512 12x x

33/4 3416 16 2 8

(2/3)(3) 6/3 26 6 6 36

42 23 2 (3)( 2) ( 2)( 2) 6 46

yx y x y x yx

(3/2)( 2) 3 1/2

(1/4)( 2) 1/2 3

y y xx x y

30

Page 31: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler İfadelerin Basitleştirilmesi

4 84

3 5

3 6

33

16

12 3

278

x y

m n m n

xy

a.

b.

c.

1/44 8 1/4 4/4 8/4 216 16 2x y x y xy

1/28 2 8 2 1/2 8/2 2/2 436 36 36 6m n m n m n m n

1/36 1/3 6/3 2

1/3 1/3 3/33

27 27 38 28

x x xy yy

31

Page 32: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler İfadenin paydasının rasyonelleştirilmesi

32

xx

2

3232

x xx x

x xx

32

32

x xx

x

32

Page 33: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler İfadenin payının rasyonelleştirilmesi

32

xx

2

32

32

x xx x

xx x

32

32

xx x

x

33

Page 34: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Cebirsel ifadeler ile işlemler

34

Page 35: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Cebirsel ifadeler ile işlemler

Sabit terimler veya aynı değişken faktörlerini içeren terimler benzer terimler olarak adlandırılır.

Benzer terimler onların nümerik katsayıları toplanarak veya çıkartılarak birleştirilebilirler.

Örnekler:

3x + 7x = 10x 12xy – 7xy = 5xy

35

Page 36: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler İfadenin basitleştirilmesi

4 3 4 3 2(2 3 4 6) (3 9 3 )x x x x x x

4 3 4 3 22 3 4 6 3 9 3x x x x x x

4 4 3 3 22 3 3 9 3 4 6x x x x x x

4 3 26 3 4 6x x x x

36

Page 37: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler İfadenin basitleştirilmesi

3 22 { [ (2 1)] 4}t t t t

3 22 { [ 2 1] 4}t t t t

3 22 { [ 1] 4}t t t

3 22 { 1 4}t t t

3 22 1 4t t t

3 22 3t t t

37

Page 38: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler İfadenin basitleştirilmesi

2 2( 1)(3 10 3)x x x

2 2 2(3 10 3) 1(3 10 3)x x x x x

4 3 2 23 10 3 3 10 3x x x x x

4 3 23 10 6 10 3x x x x

38

Page 39: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

örnekler İfadenin basitleştirilmesi

( ) ( )t t t t t te e e e e e 2 0 2 0t te e e e

1 1

2

39

Page 40: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Çarpanlara Ayırma

Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadenin diğer cebirsel ifadelerin bir çarpımı olarak ifade edilmesi sürecidir.

Örnek:23 (3 1)x x x x

40

Page 41: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Çarpanlara Ayırma

Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak için, önce herhangi bir ortak terim içerip içermediğini kontrol edin.

Öyleyse, en büyük ortak terimi çıkarın Örneğin, ifade için en büyük ortak faktör

2a, dır çünkü

22 4 6a x ax a

22 4 6 2 32(

2 22 2 3)

a x ax a axaa ax

axax

41

Page 42: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

örnekler Her bir ifadede en büyük ortak çarpanın bulunması

2 2

2

3/ 2 1/ 2

3

0.3 3

2 3

2 2xy xy

t t

x x

ye xy e

a.

b.

c.

0.3 ( 10)t t

1/2 (2 3)x x

2 22 (1 )xyye xy

42

Page 43: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler Her bir ifadede en büyük ortak çarpanın bulunması

2 2

3 4 2 6

ax ay bx by

x y y x

a.

b.

2 ( ) ( )(2 )( )

a x y b x ya b x y

3 2 6 4

(3 2) 2(3 2)

(3 2)( 2)

x y y x

y x x

x y

43

Page 44: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

İkinci dereceden polinomların çarpanlarına ayrılması

İkinci dereceden polinomun çarpanları

px2 + qx + r(ax + b)(cx + d), şeklindedir. Burada ac = p, ad + bc = q, ve bd = r dir

Yalnızca sınırlı sayıda seçenek mümkün olduğundan, bu forma sahip polinomları çarpanlarına ayırmak için bir deneme yanılma yöntemi kullanıyoruz

.

44

Page 45: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

x2 – 2x – 3 polinomunu çarpanlarına ayırınız.Çözüm The x2 nin katsayısı 1, dir Böylece mümkün terimler

birinci dereceden dir. (x )(x ) sabit terimin çarpanı –3, olduğundan bu aşağıdaki

mümkün çarpımı verir.(x – 1)(x + 3)(x + 1)(x – 3)

Çarpanların hangisinin x in katsayısı -2 yi verdiği kontrol edilir.:

(–1)(1) + (1)(3) = 2 veya (1)(1) + (1)(–3) = –2ve sonuçta doğru çarpan aşağıdaki gibidir.

x2 – 2x – 3 = (x + 1)(x –3) 45

Page 46: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

Aşağıdaki ifadelerin çarpanlarını bulunuz.

2

2

3 4 4

3 6 24

x x

x x

(3 2)( 2)x x

23( 2 8)3( 4)( 2)

x xx x

46

Page 47: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Polinom İfadelerin Kökleri

11 0 0n n

n na x a x a

5 3 22 8 6 3 1 0x x x x

47

Page 48: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Polinom ifadelerin Kökleri

48

Page 49: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Kuadratik Formül

Denklemin çözümü

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)aşağıdaki gibi verilir.

2 42

b b acxa

2 42

b b acxa

49

Page 50: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

Aşağıdaki denklemi kuadratik formülü kullanarak çözünüz.:

çözüm Denklemde, a = 2, b = 5, ve c = –12, dir. Böylece,

22 5 12 0x x 22 5 12 0x x

22 5 5 4(2)( 12)42 2(2)

b b acxa

22 5 5 4(2)( 12)42 2(2)

b b acxa

5 121 5 114 4

342

or

5 121 5 114 4

342

or

50

Page 51: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

Aşağıdaki denklemi kuadratik formülü kullanarak çözünüz:

Çözüm: Önce denklemi standart formda yazalım

denklemde, a = 1, b = 3, ve c = – 8,

2 3 8x x 2 3 8x x

22 3 3 4(1)( 8)42 2(1)

b b acxa

22 3 3 4(1)( 8)42 2(1)

b b acxa

2 3 8 0x x 2 3 8 0x x

3 412

3 41 3 411.7 4.72 2

x x

so, or

3 412

3 41 3 411.7 4.72 2

x x

so, or 51

Page 52: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

1.2Kalkülüs e Giriş II

1 1hh

2 21 11 1 1 11 1 1 1

hh hh h h h

2 21 11 1 1 11 1 1 1

hh hh h h h

1 1

1 1 1 1

11 1

h hh h h h

h

1 1

1 1 1 1

11 1

h hh h h h

h

52

Page 53: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Rasyonel İfadeler

İki polinomun oranı rasyonel ifade olarak adlandırılır. Örneğin

3 82 3

xx

3 82 3

xx

2 35 24

x y xyx2 35 2

4x y xy

x 2

5ab2

5ab

53

Page 54: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Rasyonel İfadeler

Gerçek sayıların özellikleri rasyonel ifadeler için geçerlidir

Örnekler Sayıların özellikleri kullanılarak şu yazılabilir.

burada a, b, ve c herhangi bir reel sayı ve b ve c sıfır değildir.

Benzer şekilde,

1ac a c a abc b c b b

1ac a c a abc b c b b

( 2)( 3) ( 2) ( 2,3)( 2)( 3) ( 2)

x x x xx x x

( 2)( 3) ( 2) ( 2,3)( 2)( 3) ( 2)

x x x xx x x

54

Page 55: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler İfadenin basitleştirilmesi

2

2

2 34 3

x xx x

2

2

2 34 3

x xx x

( 3)( 1)( 3)( 1)

11

x xx x

xx

( 3)( 1)( 3)( 1)

11

x xx x

xx

55

Page 56: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

örnekler İfadenin basitleştirilmesi2 2 2

2 4

( 1) ( 2) (2 )(2)( 1)(2 )( 1)

x x x xx

2 2 2

2 4

( 1) ( 2) (2 )(2)( 1)(2 )( 1)

x x x xx

2 2

2 4

2 2 2

2 4

( 1) ( 1)( 2) (2 )(2)(2 )( 1)

( 1)( 2 2 8 )( 1)

x x x xx

x x xx

2 2

2 4

2 2 2

2 4

( 1) ( 1)( 2) (2 )(2)(2 )( 1)

( 1)( 2 2 8 )( 1)

x x x xx

x x xx

2 2

2 4

2

2 3

2

2 3

( 1)(6 2)( 1)

(6 2)( 1)2(3 1)( 1)

x xx

xx

xx

2 2

2 4

2

2 3

2

2 3

( 1)(6 2)( 1)

(6 2)( 1)2(3 1)( 1)

x xx

xx

xx

56

Page 57: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Çarpım ve Bölüm Kuralları

Eğer P, Q, R, ve S polinomlar ise o zaman Çarpım

Bölüm

( , 0) P R PR Q SQ S QS ( , 0) P R PR Q S

Q S QS

( , , 0) P R P S PS Q R SQ S Q R QR ( , , 0) P R P S PS Q R S

Q S Q R QR

57

Page 58: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler Belirtilen işlemi gerçekleştirin ve basitleştirin

2

2

2 8 4 42 16

x x xx x

2

2

2 8 4 42 16

x x xx x

22( 4) ( 2)2 ( 4)( 4)

2( 4)( 2)( 2)( 2)( 4)( 4)2( 2)

4

x xx x xx x x

x x xx

x

22( 4) ( 2)2 ( 4)( 4)

2( 4)( 2)( 2)( 2)( 4)( 4)2( 2)

4

x xx x xx x x

x x xx

x

58

Page 59: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Toplama ve Çıkarma Kuralları

Eğer P, Q, R, ve S polinomlar ise o zaman Toplama

Çıkarma

( 0)P Q P Q RR S R

( 0)P Q P Q R

R S R

( 0)P Q P Q RR S R

( 0)P Q P Q R

R S R

59

Page 60: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnek Belirtilen işlemi gerçekleştirin ve basitleştirin

1 1x h x

( )( )

( )

( )

x x hx x h

x x hx x h

hx x h

60

Page 61: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Diğer Cebirsel Kesirler

Rasyonel ifadeleri basitleştirmek için kullanılan teknikler, pay ve paydanın polinom olmadığı cebirsel kesirleri basitleştirmek için de kullanılabilir.

.

61

Page 62: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

Basitleştirme11

14

xx

x

2 2

1 121

4 1 4

xx xx

x x xx

21 ( 2)( 2)

( 1)( 2)

x xx x x

xx x

62

Page 63: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler Basitleştirme

1 1

2 2

x yx y

2 2

2 2 2 2

1 1

1 1

y xx y xy

y xx y x y

2 2 2

2 2

( )( )( )

y x x y y x xyxy y x xy y x y xxy

y x

63

Page 64: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Cebirsel Kesirleri Rasyonelleştirme

Bir cebirsel kesrin paydası, radikalleri içeren toplamlar veya farklılıklar içerdiğinde, paydayı rasyonelleştirebiliriz

. Bunu yapmak için şu gerçeği kullanıyoruz:

2 2a b a b a b

a b

64

Page 65: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler Paydanın Rasyonelleştirilmesi

22

1

1

11

x

x

xx

11 x

1 11 1

xx x

65

Page 66: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler Payın Rasyonelleştirilmesi

1 1hh

2 21 11 1 1 11 1 1 1

hh hh h h h

2 21 11 1 1 11 1 1 1

hh hh h h h

1 1

1 1 1 1

11 1

h hh h h h

h

1 1

1 1 1 1

11 1

h hh h h h

h

66

Page 67: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Eşitsizliklerin Özellikleri

Eğer a, b, ve c, herhangi bir reel sayı ise ozaman

Özellik 1 Eğer a < b ve b < c, ise a < c.

Özellik 2 Eğer a < b, o zaman a + c < b + c.

Özellik 3 Eğer a < b ve c > 0, ise ac < bc.

Özellik 4 Eğer a < b ve c < 0, ise ac > bc.

67

Page 68: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

68

Page 69: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

69

Page 70: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

70

Page 71: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Mutlak Değer

71

Page 72: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Mutlak Değerin Özellikleri

Eğer a, b, ve c, herhangi reel sayılar ise

Özellik 5 |–a| = |a|

Özellik 6 |ab| = |a| |b|

Özellik 7 (b ≠ 0)

Özellik 8 |a + b| ≤ |a| + |b|

aab b

aab b

72

Page 73: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

İfadeyi değerlendirin|– 5| + 3

çözüm – 5 < 0, olduğundan

|– 5| = –(– 5). Bu nedenle

|– 5| + 3 = – (– 5) +3 = 8 – ≈ 4.8584

73

Page 74: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

İfadeyi değerlendirin

çözüm , olduğundan

Benzer şekilde , böylece

Bundan dolayı,

3 2 2 3

3 2 0 3 2 3 2

2 3 0 2 3 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3

4 2 3

2 2 3

0.5359

74

Page 75: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

örnekler

|x| 5 eşitsizliğini değerlendiriniz.

çözüm eğer x 0, ise |x| = x, böylece |x| 5 şunu gerektirir x 5. eğer x < 0, ise |x| = –x ,böylece |x| 5 şunu gerektirir –x 5

veya x –5. böylece, |x| 5 nin anlamı –5 x ≤ 5, dır ve çözüm [–5, 5].

75

Page 76: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

|2x – 3| 1 eşitsizliğini değerlendiriniz.

çözüm Biliyoruzki |2x – 3| 1 ifadesi –1 2x – 3 1 ye denktir. Her tarafa 3 eklenirse 2 2x 4 elde edilir. Her taraf 2 ile bölünürse, 1 x 2, elde edilir. Böylece

çözüm kümesi [1, 2].

76

Page 77: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

1.3Kartezyen Koordinat Sistemi

C(h, k)

h

k r

P(x, y)

77

Page 78: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

The Cartesian Coordinate System

At the beginning of the chapter we saw a one-to-one correspondence between the set of real numbers and the points on a straight line (one dimensional space).

– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

78

Page 79: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Kartezyen Koordinat Sistemi

Kartezyen koordinat sistemi, dikey bir eksen ekleyerek bu kavramı bir düzleme (iki boyutlu uzay) genişletir.

.

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 479

Page 80: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Kartezyen Koordinat Sistemi

Yatay eksen x-ekseni, ve düşey eksen y-ekseni olarak adlandırılır.

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

80

Page 81: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Kartezyen Koordinat Sistemi

Bu iki çizginin kesiştiği noktaya başlangıç noktası (orijin)denir .

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Orijin

81

Page 82: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Kartezyen Koordinat Sistemi

x- ekseninde,

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Positif yönNegatif yön

82

Page 83: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Kartezyen Koordinat Sistemi

y- ekseninde.

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Posi

tifyö

nN

egat

if yö

n

83

Page 84: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

(– 2, 4)

(– 1, – 2)

(4, 3)

Kartezyen Koordinat Sistemi

Düzlemdeki bir nokta bu koordinat sisteminde sıralı bir sayı çifti (x, y)ile tek bir şekilde temsil edilebilir.

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

(3,–1)

84

Page 85: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Kartezyen Koordinat Sistemi

Eksenler, aşağıda gösterildiği gibi düzlemi dört çeyrek bölgeye böler. .

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

x

y

Çeyrek I(+, +)

Çeyrek II(–, +)

Çeyrek V(+, –)

Çeyrek III(–, –)

85

Page 86: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Mesafe Formülü

Düzlemdeki herhangi iki nokta arasındaki mesafe onların koordinatları cinsinden ifade edilebilir.

.

Mesafe Formülü Düzlemde P1(x1, y1) ve P2(x2, y2) gibi iki nokta

arasındaki mesafe d aşağıdaki gibi verilir.

2 22 1 2 1d x x y y 2 22 1 2 1d x x y y

86

Page 87: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

(–4, 3) ve (2, 6) noktaları arasındaki mesafeyi bulunuz.çözüm P1(–4, 3) ve P2(2, 6) düzlemdeki noktalar olsun. Şuna sahibiz.

x1 = –4 y1 = 3 x2 = 2 y2 = 6

mesafe formülü kullanılarak,

2 22 1 2 1

22

2 2

2 ( 4) 6 3

6 3 45 3 5

d x x y y

2 22 1 2 1

22

2 2

2 ( 4) 6 3

6 3 45 3 5

d x x y y

87

Page 88: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

P(x, y) yarıçapı r ve merkezi C(h, k) olan çember üzerindeki bir noktayı göstersin. x ve y arasındaki ilişkiyi bulunuz.

çözüm Çemberin tanımından, P(x, y) ve C(h, k) arasındaki mesafe

r dir. Mesafe formülünden,

Her iki yanın karesi alınırsa,

2 2x h y k r

2 2 2x h y k r

C(h, k)

h

kr

P(x, y)

y

x

88

Page 89: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Bir Çemberin Denklemi

merkezi C(h, k) ve yarıçapı r olan bir çemberin denklemi aşağıdaki gibi verilir.

2 2 2x h y k r 2 2 2x h y k r

89

Page 90: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

örnekler

yarıçapı 2 ve merkezi (–1, 3) olan çemberin denklemini bulunuz.

çöözüm Çember formülünden, r = 2, h = –1, ve k = 3:

2 2 2

22 2

2 2

( 1) 3 2

1 3 4

x h y k r

x y

x y

(–1, 3)

–1

3

2

y

x

90

Page 91: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

yarıçapı 3 ve merkezi orijinde olan çemberin denklemini bulunuz.

çözüm Çember formülünden, r = 3, h = 0, ve k = 0:

2 2 2

2 2 2

2 2

0 0 3

9

x h y k r

x y

x y

3

y

x

91

Page 92: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

1.4Doğrular

11 22 33 44 55 66

(2, 5)(2, 5)

yy

xxLL

y y = = ––44

x x = 3= 366

55

44

33

22

11 (5, 1)(5, 1)

92

Page 93: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Düşey bir doğrunun eğimi

L , (x1, y1) ve (x2, y2) noktalarından geçen bir doğruyu göstersin

Eğer x1 = x2, ise o zaman L bir düşey doğrudur ve bu doğrunun eğimi tanımsız dır.

(x1, y1)

(x2, y2)

y

x

L

93

Page 94: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Düşey Olmayan bir Doğrunun Eğimi

Eğer (x1, y1) ve (x2, y2) düşey olmayan bir L, doğrusu üzerindeki iki farklı nokta ise o zaman, L doğrusunun eğimi m aşağıdaki gibi verilir.

(x1, y1)

(x2, y2)

y

x

2 1

2 1

y y ymx x x

L

y2 – y1 = y

x2 – x1 = x

94

Page 95: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Düşey Olmayan bir Doğrunun Eğimi

Eğer m > 0, ise doğru soldan sağa doğru eğimlidir .

y

x

L

y = 2

x = 1

m = 2

95

Page 96: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

m = –1

Düşey Olmayan bir Doğrunun Eğimi

Eğer m < 0, ise dogru soldan sağa doğru eğimlidir .

y

xL

y = –1

x = 1

96

Page 97: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

Eğimi – 4/3 olan ve (2, 5) noktasından geçen doğrunun grafiğini çiziniz.

1 2 3 4 5 6

(2, 5)

y

xL

y = –4

x = 3654321 (5, 1)

97

Page 98: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

(–1, 1) ve (5, 3) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz

çözüm (x1, y1) yi (–1, 1) olarak ve (x2, y2) yide (5, 3) olarak

seçelim. Buradan, x1 = –1, y1 = 1, x2 = 5, y2 = 3, eğim,

2 1

2 1

3 1 2 15 ( 1) 6 3

y ymx x

2 1

2 1

3 1 2 15 ( 1) 6 3

y ymx x

98

Page 99: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Doğru Denklemleri

(a, )

y

x

L

(a, 0)

y

99

Page 100: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Doğru Denklemleri

1

1

y ymx x

1 1( )y y m x x

100

Page 101: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Nokta-Eğim Formu

101

Page 102: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

Eğimi 2 olan ve (1,3) noktasından geçen doğru denklemini bulunuz..

çözüm nokta eğim formu kullanırsa,

1 1( )y y m x x

3 2( 1)y x

2 1 0x y

102

Page 103: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler (–3, 2) ve (4, –1) ve noktalarından geçen doğru denklemini

bulunuz.çözüm Doğrunun eğimi;

(4, –1) noktası ve eğime m = – 3/7, nokta-eğim formunda yerine konursa,

31 ( 4)7

y x

3 7 5 0x y

1

1

1 2 34 ( 3) 7

y ymx x

7 7 3 12y x

103

Page 104: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Dik Doğrular

104

Page 105: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

11 ( 3)2

2 2 32 5 0

y x

y xx y

105

Page 106: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

(a, 0)

(0, b)

Eksenlerin Kesilmesi

Ne yatay nede düşey olan bir L doğrusu, x-ekseni ve y-eksenini sırasıyle (a, 0) ve (0, b), noktalarında keser.

The numbers a ve b sırasıyle x-ekseni ve y-ekseninin kesenleri olarak adlandırılır.

y

xL

y-intercept

x-intercept

106

Page 107: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Eğim Kesen Formu

107

Page 108: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

Eğimi 3 ve y-eksenini -4 noktasında kesen doğrunun denklemini bulunuz.

çözüm m = 3 ve b = –4 değerleri y = mx + b, denkleminde yerine

yazılırsa, y = 3x – 4 Doğru denklemi elde edilir.

108

Page 109: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnekler

3x – 4y = 8 denklemi ile belirlenen doğrunun eğimi ve y-eksenini kestiği noktayı bulunuz.

çözüm Denklemi eğim-kesen formunda yeniden yazalım. böylece,

Comparing to y = mx + b denklemi ile karşılaştırılırsa, şu bulunur. m = ¾ , ve b = – 2.

3 4 84 8 3

3 24

x yy x

y x

109

Page 110: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Uygulamalı Örnek

50.000 $ 'a satın alınan bir sanat eserinin önümüzdeki 5 yıl boyunca yıllık 5000 $' lık sabit bir oranda değer kazanması bekleniyor.

Herhangi bir yıl için sanat nesnesinin değerini tahmin eden bir denklem yazın

Satın aldıktan 3 yıl sonra değeri ne olacak?çözüm x = nesnenin satın alınmasından itibaren geçen süre (yıl olarak)

y = nesnenin değeri (dolar cinsinden) x = 0, zamanında y = 50,000 böylece y-keseni b = 50,000. Her yıl değeri 5000,arttığından eğim= m = 5000. Denklem y = 5000x + 50,000 olmalıdır 3 yıl sonra nesnenin değeri 65.000 $ olacak

y = 5000(3) + 50,000 = 65,000 110

Page 111: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Bir Lineer Denklemin Genel Formu

A, B ve C sabitler ve A ve B sıfır dan faklı olamak üzere,

Ax + By + C = 0

denklemine, x ve y değişkenlerine göre bir liner denklemin genel formu denir

111

Page 112: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Teorem 1

Düz bir çizginin denklemi, doğrusal bir denklemdir; tersine, her doğrusal denklem düz bir çizgiyi temsil eder.

112

Page 113: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnek

3x – 4y – 12 = 0 denklemi ile gösterilen doğrunun grafiğini çiziniz.

çözüm Her düz çizgi tekbir şekilde iki farklı nokta tarafından

belirlendiğinden, onu çizmek için çizginin içinden geçtiği yalnızca iki nokta bulmamız gerekir.

Kolaylık sağlamak için x ve y kesişimlerini hesaplayalım✦ Setting y = 0,için x = 4;bulunur.✦ Setting x = 0, için y = –3; bulunur.

Böylece , (4, 0) ve (0, –3) noktalarından geçen doğru dur.

113

Page 114: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

Örnek

3x – 4y – 12 = 0 ,denklemi ile belirlenen doğrunun grafiğini çiziniz.

çözüm (4, 0) ve (0, –3) noktalarından geçen doğrunun grafiği

1 2 3 4 5 6

(0, –3)

y

x

L1

–1–2–3–4

(4, 0)

114

Page 115: Genel Matematik I - ues.marmara.edu.tr

KAYNAK: Tan, S. T. (2015). Applied mathematics for the managerial, life, and social sciences 8th ed.. Cengage Learning

115