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MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
06 de Abril de 2011
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1
ECUACIONES LINEALES(Clase 02)(Clase 02)
Departamento de Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería
Universidad Central de Venezuela
1. Producto de matrices
2. Aplicaciones
3. Operaciones elementales con las filasde una matriz
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 2
4. Matrices equivalentes
5. Matrices inversibles
6. Método de Gauss-Jordan
7. Un poco de historia
[ ]naaaA 11211 ⋯=
= 21
11
b
b
B⋮
Sea A una matriz o vector fila de orden n, y
sea B una matriz o vector columna de orden n:
Producto de matrices
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
[ ]n11211 ⋯
=
1nb
B⋮
El producto AB está dado por:
][ 1121121111 nnbababaAB ⋯++=
(NOTA: A este producto también se le llama producto escalar)
Encuentra el producto escalar o interno de los siguientes vectores.
[ ]1. 2 1 3 4 1 .− −
3
1
4
5
6
−
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 1 1 3 4 4 5 1 6= + − + − + + −
( ) ( ) ( )6 1 12 20 6 7= + − + − + + − =
Producto de matrices
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
6
[ ]2. 3 4 0 1 .− − ( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 1 4 5 0 1 1 0= − − + − − + +3 20 0 0 23= + + + =
1
5
1
0
− −
El resultado del producto interno es un número real y el número de columnasdel primer vector debe ser igual al número de filas del segundo.
Dadas las matrices:
A = [aij] de orden m x p
B = [bij] de orden p x n
El producto de AxB es una matriz C = [cij] de orden m xn cuya componente cij es el producto de la fila i de Ay la columna j de B.
Producto de matrices
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
=63
52
34
A
y la columna j de B.
=
3152
4231B
63
52
34
A= B=3152
4231
Producto de matrices
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
30123915239311225112710
C=
−−−−=
−−−−
−−
36166874
1618471
4102012
1254
4046
4583
.
870
853
012
Columna 3Fila 2
Producto de matrices
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
−−
−−
361668741254870
Posición c23
1. A(B + C) = AB + AC
2. (A + B)C = AC + BC
3. (AB)C = A(BC)
4. (kA)B = k(AB) = A(kB), k es un escalar
Sean A, B y C matrices multiplicativas.
Propiedades
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
4. (kA)B = k(AB) = A(kB), k es un escalar
5. (AB)T = BTAT
6. PorPor lolo general,general, ABAB ≠≠ BABA
7.7. ABAB == 00 nono implicaimplica queque AA == 00 óó BB == 00
8.8. ABAB == ACAC nono implicaimplica queque BB == CC
Si A · B = 0 no implica que A = 0 óB = 0
Si A · B = A · C no implica que B = C
Consecuencias de las propiedades
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
En general (A+B) 2 ≠≠≠≠ A2 + B2 +2AB, ya que A · B ≠≠≠≠ B · A
En general (A+B) · (A–B) ≠≠≠≠ A2 – B2, ya que A · B ≠≠≠≠ B · A
Dadas las matrices A = [aij]3x3 , B = [bij]3x2 y C = [cij]2x3tales que:
aij =i2 – j , i < 3
-i + j2 , i ≥ 3bij =
1 , i – j < 1
-1 , i – j ≥ 1
Ejercicios
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
cij =-1 , 2j/i = primo
0 , 2j/i ≠ primo
Calcular: A2 – (2B)(3C)
1. Producto de matrices
2. Aplicaciones
3. Operaciones elementales con las filasde una matriz
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 11
4. Matrices equivalentes
5. Matrices inversibles
6. Método de Gauss-Jordan
7. Un poco de historia
Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 accionestipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. Los preciospor acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300,respectivamente.
Escriba un vector renglón (fila) que represente elnúmero de acciones compradas de cada tipo.
A B C D
Aplicaciones
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
A B C D
Acciones 200 300 500 250
Escriba un vector columna que represente el preciopor acción por cada tipo.
100 A
Precios 150 B
200 C
300 D
Utilizando al multiplicación de matrices, encuentre elcosto total de las acciones.
250500300200Acciones
DCBA
B150Precios
A100
Aplicaciones
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
250500300200Acciones
D300
C200
B150Precios
200x100 + 300x150 + 500x200 + 250x300 = 240,000
Una empresa utiliza tres tipos de materia prima M1, M2 yM3 en la elaboración de dos productos P1 y P2. Elnúmero de unidades de materia prima usados porcada unidad de P1 son 3, 2 y 4 respectivamente y porcada unidad de P2 son 4, 1 y 3 respectivamente.
Suponga que la empresa produce 20 unidades de P1 y30 unidades de P2 a la semana. Exprese las respuestas
Aplicaciones
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
30 unidades de P2 a la semana. Exprese las respuestascomo producto de matrices:
a)¿Cuál es el consumo semanal de materia prima?
b)Si los costos por unidad ($) para M1, M2 y M3 son 6, 10y 12 respectivamente. ¿Cuáles son los costos de lamateria prima por unidad de P1 y P2?
c)¿Cuál es la cantidad total gastada en materia primaa la semana en la producción de P1 y P2?
1. Producto de matrices
2. Aplicaciones
3. Operaciones elementales con las filasde una matriz
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 15
4. Matrices equivalentes
5. Matrices inversibles
6. Método de Gauss-Jordan
7. Un poco de historia
Operaciones elementales con las filas de una matriz
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 16
1. Producto de matrices
2. Aplicaciones
3. Operaciones elementales con las filasde una matriz
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 17
4. Matrices equivalentes
5. Matrices inversibles
6. Método de Gauss-Jordan
7. Un poco de historia
Matrices equivalentes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 18
1. Producto de matrices
2. Aplicaciones
3. Operaciones elementales con las filasde una matriz
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 19
4. Matrices equivalentes
5. Matrices inversibles
6. Método de Gauss-Jordan
7. Un poco de historia
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice
que es inversible o regular o no singular; en caso
contrario recibe el nombre de singular.
Matrices inversibles
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
contrario recibe el nombre de singular.
La matriz inversa, si existe, es única
A-1·A = A·A-1= I
(A·B)-1 = B-1·A-1
Propiedades de la inversión de matrices
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
(At) –1 = (A-1) t
(A-1)-1 = A
(kA) -1 = (1/k) · A-1
1. Producto de matrices
2. Aplicaciones
3. Operaciones elementales con las filasde una matriz
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 22
4. Matrices equivalentes
5. Matrices inversibles
6. Método de Gauss-Jordan
7. Un poco de historia
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 23
Si A es una matriz invertible nxn construya la matrizaumentada . La matriz inversa A-1, nxn, seobtiene reduciendo la matriz mediante operacioneselementales de filas hasta obtener la matriz
[ ]nA I
1nI A−
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
n
Ejemplos:1. Encuentra la matriz inversa de .2 4
3 1A
=
2 4 1 0
3 1 0 1
1 11
2f f→
→1
21 2 0
3 10 1
1 2 23 f f f− + →→1
21 2 0
3 10 1
12
01 2
30 5 12−
−
2 21
5f f− →
→1
201 2
30 1 110 5
−
1 2 −
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
110
21 0 530 1 1
10 5
− −
2 1 12 f f f− + →→
1
110
25
3 110 5
A− − = −
1 413 210
− = −
2. Encuentra la matriz inversa de .2 3
3 5
−
2 3 1 0
3 5 0 1
−
1 11
2f f→
→
12
301
20 13 5
−
12
301
2 −
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
1 2 23 f f f− + →→2
3 1190 22
−
2 22
19f f→
→
12
3 012
3 20 1 19 19
− −
2 1 13
2f f f+ →
→
519
31 0 190 1 3 2
19 19
−
1
519
319
3 219 19
A− = −
313 219
5 = −
3. Encuentra la matriz inversa de .4 2
2 1
4 2 1 0
2 1 0 1
11 14
2→
− + →→f f
f f f
1142
1
01
10 0
−
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
2 1 0 1
4
1 2 22− + →→f f f 12 10 0 −
No es posible tener la matriz inversa en el ladoizquierdo por lo tanto la matriz no es invertible, lamatriz inversa no existe.
−−=
655
432
102
A
−
− ⇒ 010432
0001
010432
001102 21
21
121 R
=
100
010
001
)|(
21
22221
11211
⋯⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯⋯
⋯⋯
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
IA
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
−−
−−
++
⇒
⇒
1050
011530
0001
100655
010432
100655
010432
25
217
21
21
52
3121
RRRR
⇒
⇒
+−
010
0001
010
010
0001
115
21
21
51
21
1017
31
31
35
21
21
32
351
231
RR
RR
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
−
−
⇒
⇒
6105100
010
0001
00
010
31
31
35
21
21
30
51
31
61
301
31
31
35
3R
−−−−−+−
+−
⇒6105100
10178010
352001233
5132
1
RRRR
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
−−−−−
=−
6105
10178
3521A
−
−−=
306
542
211
A
−−
010542
001211
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
−−
−−
−
+−
⇒100306
012960
001211
100306
010542
212 RR
−−
−−
−−
+−
+−
⇒
⇒
001211
106960
012960
001211
32
316
RR
RR
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
−−−⇒
114000
01296032 RR
Singular
1. Verifica que la matriz inversa de es .
2. Verifica que la matriz inversa de es .
1 0
2 2
1 0
11
2
− 1 0 2
4 2 1
− −
Método de Gauss-Jordan
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
2. Verifica que la matriz inversa de es .4 2 1
1 2 10
− −
9 2 2
41 94
2 25 1 1
− − −
1. Producto de matrices
2. Aplicaciones
3. Operaciones elementales con las filasde una matriz
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 34
4. Matrices equivalentes
5. Matrices inversibles
6. Método de Gauss-Jordan
7. Un poco de historia
Un poco de historia
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 35
Pensamiento de hoy
“Solo tengo una luz por la que seguían mis pasos, y esta luz es la dela experiencia. No conozco otramanera de juzgar el futuro que
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 36
manera de juzgar el futuro querodea el pasado”.
Patric Henry
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