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FundamentosCap. I
1
Introducción general • El análisis numérico es la rama de la matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través
de números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. Introducción general [editar]
• El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
• En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.
• El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
• Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
2
Contenido:
3
1. Números Reales2. Exponentes y radicales3. Expresiones Algebraicas4. Expresiones Racionales5. Ecuaciones6. Modelación mediante ecuaciones7. Desigualdades
1.1 Números Reales
4
Números Naturales: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Números Cardinales: 0, 1, 2, 3, …
Números Enteros: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …
Números Racionales: Cualquier número de la forma r = m/n.
Números Irracionales:
23 3
,,2,5,3
Propiedades
5
Propiedad Ejemplo Descripción
Conmutativa
a + b = b + aab = ba
7 + 3 = 3 + 73.5 = 5.3
Cuando se suman dos números, no importa el orden.
Cuando se multiplican dos números no importa el orden.
Asociativas
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
(2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)
(3.7) 5 = 3 (7.5)
Cuando se suman tres números no importa cuáles dos se suman primero.
Cuando multiplicamos tres números no importa cuáles dos se multiplican primero.
Distributiva a(b + c) = ab + ac
(b + c)a = ab + ac
2(3 + 5) = 2(3) + 2(5)
(3 + 5)2 = 2(3) + 2(5)
Cuando se multiplica un número por una suma de dos números se obtiene el mismo resultado al multiplicar el número por cada uno de los términos y luego sumar los resultados.
Propiedad de los negativos
6
Propiedad Propiedad EjemploEjemplo
3.(-1)a = -a (-1)5 = -5
4.-(-a) = a -(-5) = 5
5.(-a)b = a(-b) = -(ab) (-5)7 = 5(-7) = -(5.7)
6.(-a)(-b) = ab (-4) (-5) = 4.5
7.-(a + b) = -a – b -(3 + 6) = -3 – 6
8.-(a – b) = -a + b -(5 – 9) = 9 – 5
Propiedad de las fracciones
7
Propiedad Ejemplo1.
2.
3.
4.
5.
6.
bd
ac
d
c
b
a.
21
10
)7(3
)5(2
7
5.
3
2
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
c
ba
c
b
c
a
bd
bcad
d
c
b
a
b
a
bc
ac
bcadd
c
b
a
15
14
5
7
3
2
7
5
3
2
7
8
7
62
7
6
7
2
21
29
21
1514
21
)3(5)7(2
7
5
3
2
3
2
5
5.
3
2
)6(3)9(29
6
3
2
Definición de valor absoluto
8
Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es:
a
aa si
si 0
0
a
a
b
a
b
a
baab
aa
a
01)
2)
3)3
12
3
12
5252
55
033
El valor absoluto de un número es siempre positivo o cero.
Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto.
El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.
El valor absoluto de un número es el cociente de los valores absolutos.
PROPIEDAD DE VALOR ABSOLUTO
1.2 Exponentes y radicales
9
Notación Exponencial
Si a es un número real cualquiera y n es un entero positivo, entonces la potencia n-ésima de a es:
aaaaaan ,...,...
n factores
El número a se denomina base y n es el exponente.
Exponente cero y negativo
10
Si es un número real y n es un entero positivo, entonces;
0a
10 a nn
aa
1
y
Ejemplo 2:
3
1
0
2)
)
7
4)
c
xb
a
8
1
8
1
2
1
11
1
3
1
xx
Leyes de exponentes
11
n
nn
nnn
mnnm
nmn
m
nmnm
b
a
b
a
baab
aa
aa
a
aaa
)5
)4
)3
)2
)1
2
22
222
105252
3252
5
75252
4
3
4
3
4343
333
333
3
3333
Se suman los expentes.
Se restan los exponentes.
Se mulplican los exponentes.
Se eleva cada factor a la potencia.
Se eleva cada factor al numerador y denominador de la potencia.
Aplicacion de las leyes:
12
5
9
124
84
)
)
)
c
cc
yyb
xxa
4
88
12
1
c
yy
x
Ejemplo 3: Ejemplo 4:
4
57
43
843
4
48
3
3
4
442
3
3
423
116
9323
333323
3323
1
)
54
272
32
32)
z
yx
zy
yxx
z
xy
y
x
z
xy
y
x
z
xy
y
xb
ba
baba
baba
abbaa
Notación científica
13
Se dice que un número positivo x está escrito en notación científica si está expresado como sigue:
nax 10 101 adonde y n es un entero.
Los científicos utilizan la notación exponencial para compactar la escritura de números muy grandes o de los muy pequeños. Por ejemplo la estrella más cercana más allá del Sol, Alfa Centauro, está a casi 40 000 000 000 000 kilómetros. Por otro lado la masa de un átomo de hidrógeno es de casi 0.00 000 000 000 000 000 000 000 166 gramos.Son números díficiles de leer y de escribir, de modo que se expresan en notación científica.
00004000000000104 13 El punto décimal 13 lugares a la derecha.
Ejemplos:
14
Ejemplo 6: Escritura de números en notación científica
Ejemplo 7: Cálculos con ayuda de la notación científica, halla; :
18
22
1091.2
10697.1
00046.0
c
b
ac
ab
18
224
1091.2
10697.1106.4
c
ab
36
18224
107.2
1091.2
697.16.4
4
4
5
5
1027.6000627.0)
10279.3327900)
b
alugares
lugares
Definición de raíz n-ésimas
15
Si n es un entero positivo, entonces la raíz n-ésima principal de a se define:
esto significa .
Si n es par, debemos tener y .
ban abn
0a 0b
Propiedades de las raíces n-ésimas
333)5
22;55)4
3729729)3
3
2
81
16
81
16)2
632278278)1
4 4
5 53 3
63
4
4
4
333
n ab
aa
aa
aa
b
a
b
a
baab
n n
n n
mnm n
n
n
n
nnn
)5
)4
)3
)2
)1
si n es impar
si n es par
Exponentes racionales
16
Para definir lo que se quiere decir con exponente racional o, lo que es lo mismo, exponente fraccionario como a1/2, necesitamos usar radicales. Con objeto de dar significado al símbolo a1/n de manera que sea consistente las Leyes de los exponentes, tendríamos:
(a1/n)n = a(1/n)n = a1 = aEntonces según la regla de la raíz n-ésima:
a1/n =n a
Definición de exponentes racionalesPara cualquier exponente racional m/n de los términos más bajos, donde m y n son enteros y n>0, definimos,
am/n = o en forma equivalente am/n = mn an ma
1.3 Expresiones algebraicas
17
Una variablevariable es una letra que representa a cualquier número de un conjunto dado de números. La combinación de variables y números reales, representan expresiones algebraicasexpresiones algebraicas.
Un monomiomonomio es una expresión de la forma axk, donde aa es un número real y kk es un entero negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres monomios. En general la suma de monomios se En general la suma de monomios se llama polinomiosllama polinomios.
PolinomiosUn polinomio en la variable x es una expresión de la forma:
Donde ao , a1,…an son números reales, y n es un entero negativo. o
nn
nn axaxaxa
11
1 ...
Ejemplo 1: Adicion y sustracion
18
a) Efectúe la suma de (x3 – 6x2 + 2x +4) + (x3 + 5x – 7x)
b) Encuentre la diferencia (x3 – 6x2 + 2x + 4) – (x3 + 5x2 – 7x)
452
4)72()56()(
)75()426(
23
2233
2323
xxx
xxxxxx
xxxxxx
4911
4)72()56()(
)75426
)75()426(
2
2233
2323
2323
xx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
Ejemplo 2: Multiplicación
19
a) (2x + 1)(3x – 5) = 6x2 – 10x + 3x – 5
= 6x2 – 7x – 5
e) (x2 – 3)(x3 + 2x + 1) = x2(x3 + 2x + 1) - 3(x3 + 2x + 1)
= x5 + 2x3 + x2 – 3x3 – 6x – 3
= x5 – x3 + x2 – 6x – 3 c)
)32)(1( xx
xxx 3232
xx 32
Productos especiales:
20
Ejemplos
21
)2)(2)(
)2)(
)53)(
32
2
yxyxc
xb
xa 253095)5)(3(2)3( 222 xxxx
3222232 2)2)((3)2()(3)( xxx
8126 246 xxx
22 )()2( yx
yx 24
22
Logo manzana
23
1.1. Definir el concepto de expresión racionalDefinir el concepto de expresión racional.
2.2. Simplificar expresiones racionalesSimplificar expresiones racionales.3. Multiplicar expresiones racionales4. Dividir expresiones racionales
5.5. Sumar expresiones racionales.Sumar expresiones racionales.
6.6. Restar expresiones racionalesRestar expresiones racionales.
7.7. Simplificar fracciones complejas.Simplificar fracciones complejas.
Objetivos
24
DefiniciónDefiniciónUna expresión racionalexpresión racional es una expresión de la forma
, donde p(x) y q(x) son polinomios y
( ) 0.q x ﾹ
( )
( )
p x
q x
25
Ejemplos de expresiones racionalesEjemplos de expresiones racionales
31)
2 5
x
x
2
3
52)
25
x x
x x
2
2
63)
2 3
x x
x x
26
Procedimiento para simplificar expresiones Procedimiento para simplificar expresiones racionalesracionales
1.1. Factorice completamente el numerador y el Factorice completamente el numerador y el denominador de la expresión racional.denominador de la expresión racional.
2.2. Cancele o divida aquellos factores que sean Cancele o divida aquellos factores que sean comunes (iguales) en el numerador y en el comunes (iguales) en el numerador y en el denominadordenominador.
Simplificación de expresiones racionales
27
EjemplosEjemplosSimplifiqueSimplifique cada expresión racional. cada expresión racional.
2
41)
16
x xy
y
4
4 4
x y
y y
4
x
y
4
x
y
4 22)
1 2
w
w
2 2 1
1 2
w
w
2 2 1
2 1
w
w
2
1
2
28
2 2
2 2
10 243)
5 4
x xy y
x xy y
6 4
4
x y x y
x y x y
6x y
x y
38 274)
2 3
x
x
22 3 4 6 9
2 3
x x x
x
24 6 9x x
29
Procedimiento para multiplicar expresiones racionales
1. Factorizar los numeradores y denominadores de las expresiones racionales.
2. Dividir los factores comunes que hayan entre los numeradores y denominadores.
3. Multiplicar los numeradores y colocar el resultado sobre la multiplicación de los denominadores.
Multiplicación de expresiones racionales
30
2
2
4 11.
2 43 2
x x
xx x
￦ ￦ ￨￨
g
2 2 1
1 2 2 2
x x x
x x x
1
2
2
2
2 8 32.
49
x x x
xx
￦ ￦ ￨￨
2 4 3
3 3 4
x x x
x x x
2; 3, 3, 4
3
xx x x
x
ﾹ ﾹ ﾹ
Ejemplos
31
2
2
2 8 43.
216
x x x
xx
￦ ￦ ￨￨
4 2 4
4 4 2
x x x
x x x
12
2
2 14.
21
x x x
xx
￦ ￦ ￨￨
2 1
1 1 2
x x x
x x x
1
x
x
, 1, 1, 2x x xﾹ ﾹ ﾹ
, 4, 4, 2x x xﾹ ﾹ ﾹ
32
Procedimiento para dividir expresiones racionales
1. La división se cambia a la multiplicación por el reciproco del divisor.
2. Factorizar los numeradores y denominadores de las expresiones racionales.
3. Dividir los factores comunes que hayan entre los numeradores y denominadores.
4. Multiplicar los numeradores y colocar el resultado sobre la multiplicación de los denominadores.
División de expresiones racionales
33EjemplosLleva a cabo la operación indicada.
2
2
9 31.
4 2 4
x x
x x
ﾸ
3 3 3
2 2 2 2
x x x
x x x
ﾸ
3 3 2 2
2 2 3
x x x
x x x
2 3
2
x
x
2 6
2
x
x
2 2
3 2
2 1 22.
3 3
x x x x
x x x
ﾸ
2 2
1 1 2 1
1 3 1
x x x x
x x x
ﾸ
34
2
2
3 11 1
2 11
xx x
x xx x
2 2
1 1 2 1
1 3 1
x x x x
x x x
ﾸ
3 1
2
x
x x
2
3 3
2
x
x x
352 2
2 2
6 9 2 33.
3 3 3
x x x x
x x x x
ﾸ
3 3 3 1
3 3 1
x x x x
x x x x
3
36
Procedimiento para sumar y/o restar Procedimiento para sumar y/o restar expresiones racionales.expresiones racionales.
1.1. Para sumar o restar expresiones racionales Para sumar o restar expresiones racionales con el mismo denominador; sumamos o con el mismo denominador; sumamos o restamos los numeradores conservando el restamos los numeradores conservando el denominador común.denominador común.
2.2. Para sumar o restar expresiones racionales Para sumar o restar expresiones racionales con denominadores distintos, con denominadores distintos,
a.a. Encuentra un denominador común, el Encuentra un denominador común, el denominador común recomendado es el denominador común recomendado es el mínimo común múltiplo.mínimo común múltiplo.
Suma y resta de expresiones racionales
37
a. Encuentra las expresiones equivalentes usando el denominador común.
b. Suma o resta los numeradores y coloca el resultado sobre el denominador común.
c. Simplifica si es posible.
38
Efectúe la operación indicada.Efectúe la operación indicada.
5 3 2 51)
7 7
x x
x x
5 3 2 5
7
x x
x
7 2
7
x
x
22 3 4
2) 3 2 3 2
x x x
x x x x
22 3 4
3 2
x x x
x x
22 3 4
3 2
x x x
x x
2 5 4
3 2
x x
x x
39
4 3 53)
2 1
x x
x x
4 1 3 5 2
2 1
x x x x
x x
2 24 4 3 6 5 10
2 1
x x x x x x
x x
2 24 4 3 6 5 10
2 1
x x x x x x
x x
40
2 24 4 3 6 5 10
2 1
x x x x x x
x x
22 2 6
2 1
x x
x x
41
2
2 2 2
3 14)
2 7 3 4 4 3 2 3 9
y y y
y y y y y y
23 1
+2 1 3 2 1 2 3 2 3 3
y y y
y y y y y y
22 3 3 3 1 2 1
2 1 2 3 3
y y y y y y
y y y
42
22 3 3 3 1 2 1
2 1 2 3 3
y y y y y y
y y y
2 2 3 22 3 6 9 2 2 1
2 1 2 3 3
y y y y y y y
y y y
2 2 3 22 3 6 9 2 2 1
2 1 2 3 3
y y y y y y y
y y y
43
2 2 3 22 3 6 9 2 2 1
2 1 2 3 3
y y y y y y y
y y y
3 22 4 5 10
2 1 2 3 3
y y y
y y y
44
EjemplosEjemplos
1)
x yx
x yy
2
15
2) 1 5
x
x x
3
3) 3
aaa
DefiniciónDefinición
Una Una fracción complejafracción compleja es una división de dos es una división de dos
expresiones racionales.expresiones racionales.
45
Procedimiento para simplificar fracciones complejas.
1. Simplifica las operaciones en el numerador.2. Simplifica las operaciones en el denominador.3. Cambia la división a la multiplicación por el
reciproco del divisor.4. Multiplica las expresiones racionales.
46
Procedimiento alterno para simplificar fracciones complejas
1. Encuentra el denominador común de los denominadores en las expresiones racionales del numerador y del denominador.
2. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción compleja por el denominador común.
47
Ejemplos:Ejemplos:Simplifique cada fracción compleja.Simplifique cada fracción compleja.
3 24 31) 1 14 6
3 212
4 3
1 112
4 6
￦ ￨ ￦ ￨
9 8 3 2
17
1 17
1
2) 1
cd
dc
1
1
cd cd
cd dc
￦￨ ￦ ￨
2
2
c d c
cd d
1
1
c cd
d cd
c
d
48
1 2
2 2 13)
x xy
xy x y
2
2 2
1
1
xx yxy x y
2 22
2 22 2
1
1
xx y
x y
xx y
y x y
￦
￨
￦
￨
2 3
3
xy x
x y
49
1 2
2 14)
x x
x x
2
2
1 1
1 1x x
x x
22
2
2
1 1
1 1
xx xx
x x
1
1
x
x
2 2
2
2 2
2
x xx xx xx x
50
1 2
2 15)
x x
x x
2
2
1 1
1 1x x
x x
2 2
2 2
1
1
xx x
xx x
2
2
1
1
x x
x x
2
2
1
1
xx
xx
Simplifica la fracción compleja simplificando el numerador y el denominador primero.
1
1
x
x
V e r o t r o s e je m p lo s p á g . V e r o t r o s e je m p lo s p á g . 4 0 .4 0 .
51
1 . 5 E c u a c io n e s y 1 . 5 E c u a c io n e s y R e s o lu c ió n d e R e s o lu c ió n d e
E c u a c io n e s Lin e a le sE c u a c io n e s Lin e a le s
52DefiniciónDefiniciónUna Una variablevariable es un símbolo o letra que se usa es un símbolo o letra que se usa para representar números o cantidades en una para representar números o cantidades en una expresión matemática expresión matemática ..
Ejemplo:Ejemplo: En la expresión En la expresión 5xy + 3a 5xy + 3a , las letras , las letras x,y,ax,y,a se consideran variables.se consideran variables.
DefiniciónDefiniciónUna Una ecuaciónecuación es una relación de igualdad quees una relación de igualdad que contiene al menos una variable.contiene al menos una variable.
DefiniciónDefiniciónUna ecuación con variableUna ecuación con variable x x que se puede que se puede reducir a la forma reducir a la forma ax = bax = b se le llama se le llama ecuación líneal.ecuación líneal.
53
Ejemplos de ecuacionesEjemplos de ecuaciones
712 .1 x LINEALLINEAL1 VARIABLE1 VARIABLE
04 .2 2 x 1 VARIABLE1 VARIABLE NO LINEALNO LINEAL CUADRÁTICACUADRÁTICA
32 .3 yx 2 VARIABLES2 VARIABLES LINEALLINEAL
4 .4 22 yx 2 VARIABLES2 VARIABLES NO LINEALNO LINEALCUADRÁTICACUADRÁTICA
54
5. 6 6x x 1 VARIABLE1 VARIABLE
6. 3 4 2 0x y z 3 VARIABLES3 VARIABLES
LINEALLINEAL
LINEALLINEAL
55
DefiniciónDefiniciónEl valor o valores de las variables que hacen El valor o valores de las variables que hacen cierta una ecuación se llamancierta una ecuación se llaman soluciones.soluciones.
Ejemplos:Ejemplos:
712 .1 x solución una es 3 , x
712 377
04 .2 2 x 2y 2 , xxAclaración: Verifica que son soluciones.Aclaración: Verifica que son soluciones.
56
DefiniciónEl conjunto de todas las soluciones de una El conjunto de todas las soluciones de una
ecuación se llama ecuación se llama conjunto soluciónconjunto solución.
DefiniciónSe dice que dos ecuaciones son Se dice que dos ecuaciones son equivalentesequivalentes si sitienen el mismo conjunto de soluciones.tienen el mismo conjunto de soluciones.
3 6
2 4
x
x
￬￭ ￮
Ejemplo:Ejemplo:.
2
2
x
x
{ }Ejemplo: 2 1 7
Conjunto Solución es 3
x
57
Tipos de ecuacionesTipos de ecuaciones
Las ecuaciones se pueden clasificar en tres tiposLas ecuaciones se pueden clasificar en tres tipos
dependiendo de su conjunto de soluciones.dependiendo de su conjunto de soluciones.
1.1. Identidades :Identidades :
Las identidades son ecuaciones ciertasLas identidades son ecuaciones ciertas
para todo valor posible de la variable.para todo valor posible de la variable.
1. 3 3
2.
Ejempl
3 3
:
2
o
2
x x
x x
58
2. Ecuaciones InconsistentesEcuaciones Inconsistentes: Las ecuaciones inconsistentes son ecuacionesecuaciones inconsistentes son ecuaciones
falsas para todo valor posible de la variable.falsas para todo valor posible de la variable.
1. 3 2 3 5
2. 2 3 2 3
Ejemp
3. 7 6
los:
x x
x x
59
3. Ecuaciones Condicionales:Condicionales: Las ecuaciones condicionales son ecuacionesecuaciones condicionales son ecuaciones
que pueden ser ciertas o falsas dependiendo delque pueden ser ciertas o falsas dependiendo del
valor asignado a la variable.valor asignado a la variable.
1. 7 21
2. 2 3 9
Eje
3.
mplos
3 5
:
2 2
x
x
x x
CIERTA SI x = 7CIERTA SI x = 7
CIERTA SI x = 6CIERTA SI x = 6
CIERTA SI x = 3CIERTA SI x = 3
AclaraciónAclaración:: Para otros valores de Para otros valores de xx las ecuaciones las ecuacionesson falsasson falsas..
60
Propiedades de ecuacionesPropiedades de ecuaciones
1.1. Propiedad AditivaPropiedad Aditiva : Si sumamos o restamos el mismo número o cantidad enSi sumamos o restamos el mismo número o cantidad en ambos lados de una ecuación, obtenemos otra ecuación ambos lados de una ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente a la ecuación original.equivalente a la ecuación original.
Si a = b y c es un número real entonces a + c = b + c
Aclaración: las soluciones de ecuación no cambian.Aclaración: las soluciones de ecuación no cambian.
61
Ejemplos:Ejemplos:
1. 2 3 8
3 3
2 5
x x
x x
5x
2 5
5
x x
x x
x
{ }5 esSoluciónConjunto
62
Transposición de términos:Transposición de términos:
Podemos pasar un término (o número) de un ladoPodemos pasar un término (o número) de un lado
al otro de una ecuación con el al otro de una ecuación con el signo opuestosigno opuesto y y
obtenemos una ecuaciónobtenemos una ecuación equivalente a la original.equivalente a la original.
Aclaración: Aclaración: Las soluciones no cambian.
63Ejemplos:Ejemplos:Resuelve cada ecuaciónResuelve cada ecuación
4x
2 7 3x
1. 2 = 7 x x
2 7 3x x
{ }Conjunto Solución es 4
3 3
xx
64
2. 3 3 2 8 x x
3 2 8 3x x
5x
{ }5 esSolución Conjunto
65
3 6 2 4 3 x x x
5 6 4 3x x
3x
{ }Conjunto solución es 3
3. 3 2 2 4 3x x x
5 4 3 6x x
66
2 3 4 4 2 3 3 3 2 x x x x x 2 23 12 12 2 3 9 3 2x x x x x
0 12
{ }Conjunto Solución es ￆ
24. 3 2 2 3 3 3 2x x x x
2 23 3 12 12 2 14x x x x
La ecuación es inconsistenteLa ecuación es inconsistente
67
Propiedades de ecuaciones:Propiedades de ecuaciones:
2. Propiedad multiplicativa:Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una multiplicamos o dividimos ambos lados de una ecuación por un número real distinto de cero, obtenemosecuación por un número real distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente a la ecuación original.una ecuación equivalente a la ecuación original.
Si y entonces y .
Aclaración: Aclaración: Las soluciones no cambianLas soluciones no cambian.
0c ﾹ
c
b
c
a
ba ac bc
68Ejemplos:Ejemplos:Resuelve la ecuación.Resuelve la ecuación.
123 x
4 8 4x x
1. 4 4 8 x x
123 x33
4x
{ }Conjunto Solución es 4
69
2) 0.5 2.6 3.2 5.1x x
5.27.2 x6.21.52.3.50 xx
0.925x
2.7 2.5x
{ }Conjunto Solución es 0.925
2.7 2.7
70
2) 4 5 4 5 15x x
0 0x
4 5 4 20 15x x
4 4 20 15 5x x
0 0 CiertoAnotación:Anotación: La ecuación se reduce a una identidadLa ecuación se reduce a una identidad..
Conjunto Solución es el conjunto de todos los reales.
Conjunto Solución es R
71
Resuelve las ecuacionesResuelve las ecuaciones::
4 10 81. x x
13 82. x x 4 10 3 3 3 13. ( ) x x x
4 2 10 11 8 4 4. ( ) ( ) x x x
3 110 8
4 35. x x
SoluciónSolución
SoluciónSolución
SoluciónSolución
SoluciónSolución
SoluciónSolución
72
Soluciones:
4 8 10x x
3 2x 3 3
2
3x
2Conjunto Solución es
3
￬￭�￮
1. 4 10 8 x x
73
13
13
5 x
0 5 La ecuación es inconsistente.(falsa)
x
{ }Conjunto Solución es f
2. 13 8 x x
8 x x
EjerciciosEjercicios
74
4 10 3 3 3 13. ( ) x x x
4 10 9 9 1 x x x
4 10 10 10 x x
6 0 x
6 60 x
4 10 10 10 x x
{ }0 essolución ConjuntoEjerciciosEjercicios
75
8 40 11 8 32 x x x
61 x1
61x
{ }Conjunto Solución es 61
4 2 10 11 8 4 4. ( ) ( ) x x x
8 29 9 32 x x
8 9 32 29 x x
1
EjerciciosEjercicios
763 110 8
4 35. x x
Multiplicando por el denominador común se simplifica la ecuaciónMultiplicando por el denominador común se simplifica la ecuación
3 110 8
4 3 ( ) ( )x x 12 12
9 120 4 96 x x 9 4 96 120 x x
5 24 x5 5
24
5 x
5
24 esSolución Conjunto
77
Factorización
Raíz Cuadrada
Completar Cuadrado
Fómula Cuadrática
Ejercicios
Fin
78
Ecuaciones CuadrEcuaciones Cuadrááticasticas
Definición Una ecuación con variable x que se puede reducir a la forma 02 cbxax
0con constantesson y , donde acbase conoce como ecuación cuadrática.
Podemos resolver las ecuaciones cuadrPodemos resolver las ecuaciones cuadrááticas mediante los ticas mediante los siguientes msiguientes méétodos:todos:Método de factorizaci factorizacióónnMétodo de raíces cuadradasMétodo de completar el cuadrado completar el cuadradoMétodo de la F la Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica
79
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
0910 )1 2 xx
3319 2 )2 2 xx
259 )3 2 x
205 )4 2 x
0148 )5 2 xx26) 7 0x
80
El procedimiento para el El procedimiento para el Método de Método de Factorización es:Factorización es:
1.1. Iguale la ecuación a cero.Iguale la ecuación a cero.
2.2. Factorice el polinomio que forma la ecuación.Factorice el polinomio que forma la ecuación.
3.3. Use la propiedad del producto nulo para reducir a Use la propiedad del producto nulo para reducir a ecuaciones lineales.ecuaciones lineales.
4.4. Resuelva las ecuaciones lineales.Resuelva las ecuaciones lineales.
Empezar
1. Método de Factorización1. Método de Factorización
Métodos de solución de las ecuaciones cuadráticasMétodos de solución de las ecuaciones cuadráticas
81
Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de Resuelve las ecuaciones usando el método de factorización.factorización.
910 )1 2 xx
09102 xx
019 xx
09 x ó 01x
9x 1x
{ }C. S.= 9, 1
82
3319 2 )2 2 xx
033192 2 xx
01132 xx
032 x ó 011x
32 x
2
3x
11x
3C.S.= , 11
2
￬￭�￮
8323) 2 18x x22 18 0x x
2 9 0x x
2 0x ó 9 0x
0
2x
0x
9x
{ }C.S.= 0, 9
8424) 9 36x 29 36 0x
2 4 0x
2 0x
ó
2 0x
2 2 0x x
2x 2x
{ }C. S.= 2, 2
29 36 0
9 9 9
x
85
2Si entonces ó .
Teorema:
x p x p x p
2. El método de raíz cuadrada2. El método de raíz cuadrada
2Recordar que x x x ﾱ0
0
x si x
x si x
ﾳ￬￭ ￮
86
El procedimiento para el Método de Raíz Cuadrada
1. Despeje la variable cuadrática2. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de
la ecuación3. Simplifique
Aclaración : Este método se puede aplicar cuando el coeficiente del término lineal es cero.
Empezar
Método de Raíz Cuadrada
87
21) 9 25x
9
25
9
9 2
x
9
252 x
2 25
9x
3
5x
5 5C. S.= ,
3 3
￬￭�￮
5
3x ﾱ
Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de la Resuelve las ecuaciones usando el método de la raíz cuadrada.raíz cuadrada.
88
22) 5 20x
25 20x
205 x
5 4 5x ﾱ ￗ
525 x
525x
{ }C. S.= 5 2 5, 5 2 5
89
Procedimiento para completar el cuadrado
1. Deje a un lado los términos con variables.
2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática.
3. Encuentre el término que completa el cuadrado.El término que completa el cuadrado se encuentra dividiendo el coeficiente del términolineal por 2 y elevando al cuadrado.
4. Sume el término que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación.
5. Factorice y use el Método de la Raíz Cuadrada.
3. El método de completar el cuadrado
90
0148 )1 2 xx
1482 xx
2
2
8 24 16
14 82 xx 16 16
21682 xx
91
21682 xx
244 xx
24 2 x
24 2 x
24 x
92
24x
24 x
{ }. 4 2, 4 2C S
93
014129 )2 2 xx29 12 14
=9 9 9
x x
2 4 14
3 9x x
2 4 14
3 9 x x
4
9
4
9
9
4
3
2
23
422
94
2 2 18
3 3 9x x
￦ ￦ ￨ ￨
2 4 14
3 9 x x
4
9
4
9
22
23
x￦ ￨
22
23
￦ ￨
x
95
22
3x ﾱ
22
23
￦ ￨
x
22
3x ﾱ
2 2. . 2, 2
3 3C S ￬ ￭�
￮
96Ejemplo:Ejemplo:Resuelva para Resuelva para x x completando el cuadradocompletando el cuadrado
2 0ax bx c
2 a b c
x xa a a
2 b c
x xa a
2 b c
x xa a
2
24
b
a
2
24
b
a
2 22
2 24 4
b b b cx x
a a a a
2 2
2
4
2 4
b b acx
a a
￦ ￨
4a
4a
2
22
42 a
b
a
b
972 2
2
4
2 4
b b acx
a a
￦ ￨
2
2
4
2 4
b b acx
a a
ﾱ
2
2
4
2 4
b b acx
a a
ﾱ
2 4
2 2
b b acx
a a
ﾱ
2 4
2 2
b b acx
a a
ﾱ
2 4
2
b b acx
a
ﾱ
2 2
2
4
2 4
b b acx
a a
￦ ￨
98
Teorema: Las soluciones de una ecuación cuadrática 02 cbxaxdonde , y son constantes y 0a b c a ﾹestán determinadas por la fórmula:
aacbbx 2
42 La misma es llamada la fórmula cuadrática.
Empezar
4. La Fórmula Cuadrática
99
aacbbx 2
42 2Al número se le llama el discriminante d
Definición
e la ecuacb ón.4 iac
Aclaración:Aclaración:1. Si el discriminante es un número positivo; la Si el discriminante es un número positivo; la ecuación tendrá dos soluciones reales.ecuación tendrá dos soluciones reales.2. Si el discriminante es un2. Si el discriminante es un número negativo; la número negativo; la ecuación tendrá dos soluciones complejasecuación tendrá dos soluciones complejas conjugadas.3.Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una solución real de multiplicidadsolución real de multiplicidad dos.
100Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
018248 )1 2 xx
8, b 24 y c 18a
aacbbx 2
42
1018, b 24 y c 18a
82
18842424 2 x
16
57657624 x
24
2x
ﾱ 24 24 8
8
18
102
16
57657624 x
16
024 x
24 0
16x
ﾱ
24
16x
2
3
2
3..SC
1030523 )2 2 xx
3, b 2 y c 5a
aacbbx 2
42
2 4 60
6
ﾱ
22 2 3 54
32x
ﾱ
104
2 4 60
6x
ﾱ
6
562
2 4 14 1
6
ﾱ
2 2 14
6
ix
ﾱ
1052 2 14
6
ix
ﾱ
2 2 14
6 6i ﾱ
iSC3
14
3
1..
1 14
3 3x i ﾱ
10623) 3 2x x
1, b 3 y c 2a
aacbbx 2
42
23 3 4 1 2
2 1
ﾱ
2 3 2 0x x
107
23 3 4 1 2
2 1x
ﾱ
3 9 8
2x
ﾱ
3 1
2x
ﾱ
3 1
2x
ﾱ
3 1 3 1
2 2x ó x
2x 1x
{ }. . 2,1C S
108Ejercicios:Resuelve la ecuación por el método de factorización.
ddd
nn
dd
y
mm
dd
dd
163215.7
4.6
01617.5
04936.4
0124.3
0144.2
012144.1
23
3
24
2
2
2
2
109Ejercicios:Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.
2
2
2
2
4
1. 4 16 0
2. 1 0
3. 4 32 0
4. 36 49
5. 16 0 *
d
d
m
y
d
110Ejercicios:Resuelva la ecuación completando el cuadrado.
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
2. 4 12 0
3. 2 4
4. 17 16 0
5. 3 1
d d
m m
y y
d d
d d
111
Ejercicios:Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
2. 4 4 1 0
3. 4 12 0
4. 36 49 0
5. 17 16 0
d d
d d
m m
y
d d
112
Resuelve la ecuación usando factorización.
012144.1 2 dd2
2 2
4 14 2
2
0
2
1d d
22 7 6 0d d
2 3 2 0d d
2 3 0 2 0d ó d
113
2 3 0d
2 3d
3
2d
2d
2 0d
3. , 2
2C S ￬ ￭�
￮
114
22. 4 4 1 0d d
2 1 2 1 0d d
2 1 0 2 1 0 d ó d
2 1d
1
2d
1
2d
1. .
2C S
￬ ￭�￮
115
23. 4 12 0m m
4 3 0m m
4 0 3 0 m ó m0
4m
0m
3m
{ }. . 0. 3C S
11624. 36 49 0y
6 7 6 7 0y y
6 7 0 6 7 0y ó y
7
6y
7
6y
7 7. . ,
6 6C S ￬ ￭�
￮
6 7 6 7y ó y
117
4 25. 17 16 0d d
2 216 1 0d d
4 0 4 0 1 0 1 0d ó d ó d ó d
4d 4d 1d
{ }. . 4, 4,1, 1C S
4 4 1 1 0d d d d
1d
118
36. 4n n
2 4 0n n
0 2 0 2 0n ó n ó n
0n 2n 2n
{ }. . 0, 2 2C S
3 4 0n n
2 2 0n n n
119
3 27. 15 32 16 0d d d
215 32 16 0d d d
0 5 4 0 3 4 0d ó d ó d
0d 4
5d 4
3d
4 4. . , ,0
5 3C S
￬ ￭�￮
5 4 3 4 0d d d
120
21. 4 16 0d
Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.
24 16d 24 16
4 4
d
2 4d 2 4d
2d ﾱ{ }. . 2, 2C S
121
{ }
2
2
2
2. 1 0
1
1
1
. . 1, 1
ﾱ
d
d
d
d
C S
122
{ }
2
2
2
2
2
3. 4 32 0
4 32
4 32
4 4
8
8
4 2
2 2
. . 2 2, 2 2
ﾱ
m
m
m
m
m
m
m
C S
1232
2
2
2
4. 36 49
36 49
36 3649
36
49
367
67 7
. . ,6 6
ﾱ
￬ ￭�￮
y
y
y
y
y
C S
124
{ }
4
4
4
2
2 2
2 2
5. 16 0 *
16
16
4
4 o 4
4 o 4
2 o 2
. . 2, 2, 2 , 2
ﾱ
ﾱ ﾱ
d
d
d
d
d d
d d
d d i
C S i i
125
2
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
4 14 12
4 14 12
4 4 47
347 49 49
34 16 16
7 48 49
4 16 16
￦ ￨
d d
d d
d d
d d
d d
d
Resuelva la ecuación completando el cuadrado.2
7 1
4 16
7 1
4 47 1
4 46 8
o 4 43
o 22
3. . , 2
2
￦ ￨
ﾱ
ﾱ
￬ ￭�￮
d
d
d
d d
d d
C S
126
2
2
2
2
2
2. 4 12 0
4 12 0
4 4 4
3 0
9 93
4 4
3 9
2 4
￦ ￨
m m
m m
m m
m m
m { }
3 3
2 23 3 3 3
o 2 2 2 23 o 0
. . 3,0
ﾱ
m
m m
m m
C S
127
2
2
2
2
2
3. 2 4
2 4
2 2 21
221 1 1
22 16 16
1 32 1
4 16 16
￦ ￨
y y
y y
y y
y y
y
1 33
4 16
1 33
4 4
1 33.
4 4
ﾱ
ﾱ
￬ ﾱ￭�￮
y
y
C S
128
2
2
2
2
2
4. 17 16 0
17 16
289 28917 16
4 4
17 64 289
2 4 4
17 225
2 4
￦ ￨
￦ ￨
d d
d d
d d
d
d { }
17 15
2 217 15
2 217 15 17 15
o 2 2 2 2
16 o 1
. 16,1
ﾱ
ﾱ
d
d
d d
d d
C S
129
2
2
2
2
5. 3 1
9 93 1
4 4
3 4 9
2 4 4
3 5
2 4
￦ ￨
￦ ￨
d d
d d
d
d
3 5
2 4
3 5
2 2
3 5 3 5 o
2 2 2 2
3 5.
2 2
ﾱ
ﾱ
￬ ﾱ￭�￮
d
d
d d
C S
130Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
4 14 12 0
2 2 2 2
2 7 6 0
7 7 4 2 6
2 2
7 49 48
4
7 1
4
ﾱ
ﾱ
ﾱ
d d
d d
d d
d
d
d
7 1
47 1 7 1
o 4 4
6 8 o
4 43
o 22
3. . , 2
2
ﾱ
￬ ￭�￮
d
d x
d x
d x
C S
131
2
2
2. 4 4 1 0
4 4 4 4 1
2 4
4 16 16
8
4 0
84 0
84 1
8 21
. .2
ﾱ
ﾱ
ﾱ
ﾱ
￬ ￭�￮
d d
d
d
d
d
d
C S
132
{ }
2
2
3. 4 12 0
12 12 4 4 0
2 4
12 144
812 12
812 12 12 12
o 8 8
0 24 o
8 80 o 3
. . 0, 3
ﾱ
ﾱ
ﾱ
m m
m
m
m
m m
m m
m m
C S
133
2
2
4. 36 49 0
0 0 4 36 49
2 36
2 6 7
2 6 6
7
67 7
o y6 6
7 7. . ,
6 6
ﾱ
ﾱ
ﾱ
￬ ￭�￮
y
y
y
y
y
C S
134
{ }
2
2
5. 17 16 0
17 17 4 1 16
2 1
17 289 64
2
17 225
217 15
232 2
o 2 2
16 o 1
. . 1,16
ﾱ
ﾱ
ﾱ
ﾱ
d d
d
d
d
d
d d
d d
C S
135
136
1) Identificar la Variable: Identifique la cantidad que el problema le pide determinar. Por lo regular, esta cantidad se puede determinar por medio de una lectura cuidadosa.
2) Expresar todas las incógnitas en terminos de la variable: Lea una vez más cada oración del problema y exprese todas las cantidades mencionadas en el problema en términos de la varible que definió en el paso 1.
3) Plantear el modelo: Encuentre el hecho decisivo en el problema que relaciona las expresiones que usted listó en el paso 2.
4) Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta: Resuelva la ecuación, verifique la respuesta y exprésela como una oración que responde la pregunta.
137
Ejemplo: Renta de un automóvilEjemplo: Renta de un automóvil
Una compañia que renta automóviles cobra 30 dólares al Una compañia que renta automóviles cobra 30 dólares al día más 15 centavos de dólar por milla al rentar un día más 15 centavos de dólar por milla al rentar un automóvil. José, renta un automóvil por dos días y su automóvil. José, renta un automóvil por dos días y su cuenta es de 108 dólares. ¿Cuántas millas recorrió? cuenta es de 108 dólares. ¿Cuántas millas recorrió?
Solución: Solución: Se pide determinar la cantidad de millas que Se pide determinar la cantidad de millas que José recorrió. José recorrió.
x = millas recorridasx = millas recorridas
En palabras Algebricamente
Cantidad de millas recorridas x
Costo de la cantidad de millas recorridas (15 cent.) 0.15x
Costo diario (30 dólares el día) 2(30)
Solución:
Ecuación:Ecuación:Costo de las millas recorridas + costo diario = costo total
xx + + 2(30)2(30) == 108108
0.15 x = 48
x = 48/0.15
xx == 320320
138
En palabras Algebricamente
Cantidad de millas recorridas x
Costo de la cantidad de millas recorridas (15 cent.) 0.15x
Costo diario (30 dólares el día) 2(30)
139
Ejemplo: Interés de una inversiónEjemplo: Interés de una inversión
María hereda 100 000 dólares y los invierte en dos María hereda 100 000 dólares y los invierte en dos certificados de depósito. Uno de los certificados paga el certificados de depósito. Uno de los certificados paga el 6% y el otro paga 4 ½ de interés anual simple. Si el interés 6% y el otro paga 4 ½ de interés anual simple. Si el interés total de María es 5025 dólares por año. ¿Cuánto dinero total de María es 5025 dólares por año. ¿Cuánto dinero está invertido en cada tasa? está invertido en cada tasa?
Solución: Solución: El problema pide la cantidad que María invirtió El problema pide la cantidad que María invirtió a cada una de las tasas.a cada una de las tasas.
x = cantidad invertida a 6%x = cantidad invertida a 6%
140Solución:
Ecuación:Ecuación:Interés al 6% + Interés al 4 ½ = Interés Total
0.06x + 0.045(100 000 – x) = 50250.06x + 4500 – 0.045x = 5025 0.015x + 4500 = 5025
0.015x = 525 x = 525/0.015 x = 35 000
En palabras Algebricamente
Cantidad Invertida al 6% x
Cantidad Invertida al 4 ½ 100 000 – x
Interés ganado al 6% 0.06x
Interés ganado al 4 ½ 0.045(100 000 – x)
141
Ejemplo: Ejemplo: Dimensiones de un terreno para Dimensiones de un terreno para construcciónconstrucción
Un terreno de forma rectangular para construir mide 8 pies Un terreno de forma rectangular para construir mide 8 pies más que el ancho y su área es de 2900 pies cuadrados. más que el ancho y su área es de 2900 pies cuadrados. Determina las dimensiones del lote.Determina las dimensiones del lote.
Solución: Solución: Se pide determinar el ancho y el largo del Se pide determinar el ancho y el largo del terreno.terreno.
x = cantidad invertida a 6%x = cantidad invertida a 6%
142
143
Objetivos:Objetivos:
1.1. Resolver desigualdades lineales.Resolver desigualdades lineales.
2.2. Resolver desigualdades compuestasResolver desigualdades compuestas.
144
Ejemplos de desigualdades:Ejemplos de desigualdades:
372 )1 x
2) 5 2 1x ﾳ
3) 1 2 3 9x ﾣ
4) 8 1 3 2 13x ﾣ
5) 6 3 5 6x } Desigualdades
Compuestas osimultáneas
145
Recordar:Para resolver una desigualdad lineal se utiliza el mismo procedimiento que se utilizó para resolver ecuaciones lineales con la excepción de que si multiplicamos o dividimos ambos lados de la desigualdad por un número negativo el signo de la desigualdad cambia de dirección o sentido.
146
Resuelva las desigualdades:Resuelva las desigualdades:
372 )1 x
732 x
42 x
2
4
2
2
x
2x
147
AclaraciónAclaración::El conjunto solución de una desigualdad se puede expresar en tres formas.
Estas son:Estas son:1. Forma de conjunto1. Forma de conjunto
2. 2. Forma gráficaForma gráfica 3. 3. Forma de intervaloForma de intervalo
148
En el problema anterior obtuvimos como En el problema anterior obtuvimos como soluciónsolución 2x
Forma conjunto: { }2x R x ￎ
:gráfica Forma0 1 2 313
:intervalo de Forma
2
2,
1492) 5 2 1x ﾳ
2 1 5x ﾳ
2 4x ﾳ
2
4
2
2
x
2 x 2 ,
Forma conjunto:
{ }2x R xￎ ﾣ
:gráfica Forma
:intervalo de Forma
0 1 2 313 2
150
3) 3 7 8x
3 8 7x
3 15x
3 15
3 3
x>
5x >
. . 5,C S ﾥ:gráfica Forma
1 0 1 235
4
151
Definición:
Las desigualdades compuestas son dos desigualdades en la misma expresión. Se pueden resolver por separado o de manera simultánea. La recomendación es que se resuelvan simultáneamente siempre que sea posible.
152
9321 )1 x
1 3 2 9 3x ﾣ
2 2 6x ﾣ
2
6
2
2
2
2
x
31 x
Conjunto Solución
1. . , 3C S
Forma de conjunto: { }. . 1 3 ￎ ﾣC S x R x
:gráfica Forma
0 1 2 313
:intervalo de Forma
2
Resuelve las siguientes desigualdades compuestas.Resuelve las siguientes desigualdades compuestas.
153 2) 8 1 3 2 13x ﾣ
8 1 3 6 13x ﾣ
8 3 7 13x ﾣ
8 7 3 13 7x ﾣ
15 3 6x ﾣ
154 15 3 6x ﾣ
15 3 6
3 3 3
x
>ﾳ
25 > x
52 x
Conjunto Solución
2 C.S.= , 5
Forma de conjunto:
{ }. . 2 5 ￎ ﾣC S x R x
:gráfica Forma
32
:intervalo de Forma
0 1 2 4 5-1
155
3) 6 3 5 6x
1131 x
3
11
3
3
3
1 x
3
11
3
1
x
Conjunto Solución
1 11
3 3. . , C S
￦￨
6 5 3 6 5x Forma de conjunto:
1 11. .
3 3￬ ￎ￭�￮
C S x R x
:gráfica Forma
:intervalo de Forma
1
3
11
3
156
4) 5 2 1 2x
5 2 1 2x
{ }. .C S f
falso
157
5) 6 3 5 6 4 x x x
6 3 5 3 5 6 4 x x y x x
3 5 6 3 4 6 5 x x y x x
2 1 11 x y x12 11 x x
y2 2 1 1
111
2> > x y x
111
2
( (
> >
1,
2￦ ﾥ￨
158
1. . ,
2￦ ﾥ￨
C S
159
6) 6 3 2 6 2 ﾣx x x
6 3 2 3 2 6 2 ﾣx x y x x
3 2 6 3 2 6 2 ﾣx x y x x
2 4 8 ﾣx y x42
8
x
y x2 2
2 8 ﾳx y x
2 8
[ )
ﾳ
160
. . 2,8 C S
161
162
El Plano Cartesiano:El Plano Cartesiano:
),( yx
Cuadrante
),( yx
Cuadrante
),( yx
Cuadrante
),( yx
V
Cuadrante
x
y
x ≥ 0
│x│= - 1
163
Ejemplo: Gráficas de regiones en el plano cartesianoEjemplo: Gráficas de regiones en el plano cartesiano
Describa y grafique las regiones representadas mediante cada conjunto.
{ }0/),() xyxa
{ }1/),() xyxb
{ }1/),() xyxc
x = 1
164Fórmula de la distancia
La distancia entre los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en el plano es:
212
212 )()(),( yyxxBAd
Ejemplo: Aplicación de la fórmula de la distanciaEjemplo: Aplicación de la fórmula de la distancia
¿Cuál de los puntos P(1, -2), Q(8, 9), está más cerca al punto A(5, 3)?
4154))2(3()15(),( 2222 BAd
45)6()3()93()85(),( 2222 AQd
Se demuestra que Se demuestra que d(P, A) < d(Q, A). d(P, A) < d(Q, A). De modo que P esta más cerca de A.De modo que P esta más cerca de A.
165
2,
22121 yyxx
Fórmula del punto medio
El punto medio del segmento de recta desde A(x1,y1), B(x2, y2) es:
Ejemplo: Fórmula del punto medio.Ejemplo: Fórmula del punto medio.Demostrar que el cuadrilátero P(1, 2), Q(4, 4), R(5, 9), S(2, 7).
Esto significa que las diágonales son congruentes.Esto significa que las diágonales son congruentes.
2
11,3
2
74,
2
24
2
11,3
2
92,
2
51
SQ
PR
166
Gráfica de una ecuación:
La gráfica de una ecuación con x y y es el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano coordenado que satisfacen la ecuación.
Trazo de una gráfica mediante la ubicación de puntos:
32 yx32 xy
167
22 xy
2
2 2
x
x
2 2
168
Ecuación de la circunsferencia:
rkyhx 22 )()(
Forma ordinaria:
222 ryx
169
Gráfica de circunsferencia
2522 yx 25)1()2( 22 yx
