Fundamentos de Matemática II

7/25/2019 Fundamentos de Matemtica II

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Teorema 4.4. Se A B , ento ( ) ( ) P A P B .

Demonstrao. Se A B , ento B pode ser decomposto nos even-

tos mutuamente exclusivos A e | B A (como mostra a gura abaixo),ou seja, | B A B A= + .

AB

B | A

Figura 4.1

Aqui dizemos que| B A o mesmo que B A .Assim, ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) B A B A P B P A B A P A P B A= = = +

(pelo Axioma 3).

Como ( / ) 0 P B A , vem que ( ) ( ) P B P A ou ( ) ( ) P A P B .

Observao 4.1 Esse resultado tambm segue imediatamente do problemaanterior: ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P B A P B= , pois ( ) 0 P B A .

Teorema 4.5 Se A e B so dois eventos quaisquer, ento

( | ) ( ) ( ) P A B P A P A B= .

Demonstrao. Como o evento A pode ser decomposto nos eventosmutuamente exclusivos | A B e A B ,

( | ) ( ) A A B A B= ,

da gura abaixo

A

BA BA | B

Figura 4.2


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resulta que

( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) A A B A B P A P A B P A B= = + ,

(pelo axioma 3),

ou

( | ) ( ) ( ) P A B P A P A B= .

Teorema 4.6. ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B = + .

Demonstrao.

Como ( ) ( ) e B ( ) ( ) A A B A B B A A B= = ,onde as unies so disjuntas, temos

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P A P A B P A B

P B P B A P A B

= + = + .

Somando estas igualdades, obtemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( )

P A P B P A B P A B P B A P A B

P A B P B A P A B

+ = + + + = + +

Alm disso, podemos escrever ( ) ( ) ( ) A B A B B A A B = ,

que uma unio disjunta e, portanto,( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A B P B A P A B = + + ,

que combinado com a identidade anterior gera( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A B P B A P A B = + +

( ) ( ) ( ) P A P B P A B= + .

O teorema 4.6 pode ser estendido usando-se o mesmo argumen-

to do princpio da incluso e da excluso para se obter a seguinteigualdade:

1 2 1

1 2 1

1 2 3

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( 1) ( )

n n

n n

nn

P A A A P A P A

P A A P A A

P A A A

P A A A

= + + ++ + ++

.

.


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Exemplo 4.3. Trs moedas so jogadas simultaneamente. Qual a probabilidade de obter 2 caras? Qual a probabilidade de obter pelo me-nos 2 caras?

Soluo. Comeamos exibindo o nosso espao amostral:

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),

( , , ), ( , , ), ( , , )

H H H H H T H T H H T T T H H S

T H T T T H T T T =

.

Segue que os resultados possveis so# 8S = e os resultados favor-veis para a obteno de exatamente duas caras esto no conjunto

{ }( , , ), ( , , ), ( , , ) E H H T H T H T H H = .Logo, a probabilidade de obter exatamente 2 caras :# 3

# 8 E

pS

= = .

Para a segunda pergunta, os resultados favorveis esto no conjunto

{ }( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ) A H H H H H T H T H T H H = ,e portanto, a probabilidade procurada

# 4 1# 8 2 A

pS

= = = .

Exemplo 4.4. Dois dados so lanados simultaneamente. Qual a probabilidade de que a soma dos nmeros obtidos nas faces de cima dos

dados seja 6?

Soluo. Precisamos exibir o nosso espao amostral. Vamos exibi-loatravs de uma tabela,

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

onde colocamos, em negrito, os resultados favorveis, isto , aquelescuja soma dos nmeros 6. As possibilidades so 5 em um universode 36. Logo, a probabilidade procurada 5

36 p = .

Exemplo 4.5. Dois estudantes numa sala de aula de 30 estudantesnasceram no mesmo dia do ano. Qual a probabilidade de tal even-to ocorrer?


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Soluo. O espao amostral de nosso problema o conjunto dospares de dias de nascimento dos estudantes desta sala. Como cadaestudante pode ter nascido em qualquer dia dos 365 de um ano, exis-tem 30 76365 7, 4 10= pares de tais datas. Para resolver o proble-ma de maneira mais fcil, vamos calcular a probabilidade do eventocomplementar, ou seja, quando nenhum dos estudantes possua datasde nascimento iguais. Temos ento 30 estudantes e queremos alocardatas de nascimento de modo a nunca termos duas iguais. Usandonossa combinatria dos captulos anteriores, temos 365 possibilida-des para o primeiro estudante, 364 para o segundo, pois sua data denascimento no pode coincidir com a do primeiro, 363 para o tercei-ro, ..., 336 para o ltimo. Logo a probabilidade de que todos tenhamdias de nascimento diferentes

30365 364 336 365 364 336 0,294365 365 365 365 p = = = .

Logo a probabilidade de que ao menos um par de estudantes te-nha dias de nascimento iguais 1 0,294 0,706 p = = . Observe queneste problema usamos a igualdade( ) 1 ( )c P A P A= , onde por c A denotamos o complementar deem A S .

Exemplo 4.6. Seis dados so lanados. Qual a probabilidade detodos os nmeros serem diferentes?

Soluo. O nmero de resultados possveis de nosso experimento 66 . O nmero de resultados favorveis ao evento em questo o n-mero de permutaes de 6 elementos, que 6! . Portanto, a

probabilidade do evento6 4

6! 5 4 0,015432

6 6= = .

Exemplo 4.7. Uma funcionria de correio deve enviar 5 passaportespara seus legtimos donos. Preocupada com o encontro que terianesta noite, ela trabalha apressadamente, sem vericar corretamen-te a correspondncia. Determine a probabilidade da funcionria ter

enviado todos os 5 passaportes para donos errados.Soluo. O espao amostral neste caso pode ser representado pelaspermutaes dos nmeros{ }1,2,3,4,5 . Logo o nmero de resultadospossveis 5! . J os favorveis correspondem s permutaes queno deixam nenhum elemento xo. Para calcular este nmero, use-mos o princpio da incluso-excluso. Denotamos pori N as permu-taes que deixam xo o elementoi , ij N aquelas deixam xosei j ,


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e assim sucessivamente, e nalmente por0 N aquelas que no xamnenhum elemento. Pelo princpio da incluso e excluso,

0 1 2 3 4 5 12 45

123 345 1234 2345 12345 ,

N N N N N N N N N

N N N N N

= + + +

+ + +

onde N o nmero de permutaes de 5 elementos. Observe que

1 2 5 N N N = = = , e existem 5 conjuntos destes, e similarmente,

12 23 45 N N N = = = , e existem exatamente5,2C destes conjuntos,

e assim sucessivamente. Isto segue do fato de ser irrelevante quais osalgarismos que so xados. Logo, denotando por

1 2 i

i j j j N N = , nossa

frmula se torna:

1 2 3 4 50 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 N N C N C N C N C N C N = + + .

Temos ento que calcular cada um destes nmeros. Mas as permuta-es de n elementos que deixam k elementos xos correspondem spermutaes den k elementos e, portanto, ( )!k N n k = . Final-mente obtemos

0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,55! 4! 3! 2! 1! 1 N C C C C C = + + =

120 5 24 10 6 10 2 5 1 1 1 44= + + =.

Segue que a probabilidade procurada 44

120 p = .

Exemplo 4.8. Dez pessoas so separadas em dois grupos de 5 pes-soas cada um. Qual a probabilidade de que duas pessoas determi-nadas, A e B, faam parte do mesmo grupo?

Soluo. O nmero de casos possveis 10,5 252C = , pois h

10,5 252C = modos de escolher o primeiro grupo e, depois disso, hapenas um modo possvel para escolher o segundo grupo. O nmero

de casos favorveis 8,32 112C = , pois h 8,3 56C = modos de dis-tribuir as pessoas A e B no primeiro grupo e h outro tanto com A eB no segundo grupo.

A probabilidade procurada


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112 4252 9

P = = .

Exemplo 4.9. H 8 carros estacionados em 12 vagas em la.

Qual a probabilidade das vagas vazias serem consecutivas?a)

Qual a probabilidade de no haver duas vagas vazias conse- b)cutivas?

Soluo.

a) H 12,4 495C = modos de selecionar as 4 vagas que no sero

ocupadas e 9 modos de escolher 4 vagas consecutivas (1 2 3 4, 2 3 4

5, ..., 9 10 11 12). A resposta 9 1495 55= .

b)H 12,4 495C = modos de selecionar as 4 vagas vazias. Conside-remos na escolha das vagas que caro vazias uma disposio de 8carros. Restam para a escolha das 4 vagas vazias, que no podem serconsecutivas, 9 espaos possveis.

- C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

Segue que existem9,4 126C = escolhas de vagas vazias sem que haja

consecutivas. Portanto 126 14495 55

p = = .

Exemplo 4.10. Um torneio disputado por 4 times A, B, C e D. 3 vezesmais provvel que A vena o torneio do que B, 2 vezes mais provvelque B vena do que C e 3 vezes mais provvel que C vena do que D.Quais as probabilidades de vitria para cada um dos times?

Soluo. Vamos indicar por { }, , , A B C DS s s s s= o espao amostral emque

A s denota o evento A vence o torneio, e assim sucessivamente.

Seja ({ }) D p P s= a probabilidade de D ganhar o torneio. Segue doenunciado que

({ }) 3 ; ({ }) 2 ({ }) 6 ; ({ }) 3 ({ }) 18C B C A B P s p P s P s p P s P s p= = = = = .

Como a soma das probabilidades tem que ser igual a 1, temos:1

3 6 18 1 28 128

p p p p p p+ + + = = =


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e, portanto,3 6 18 1

({ }) 3 ; ({ }) ; ({ }) ; ({ })28 28 28 28C B A D

P s p P s P s P s= = = = = .

4.2 Eventos Independentes eProbabilidade Condicional

Vamos considerar agora um experimento, por exemplo, o lanamen-to de uma moeda, e repeti-lo n vezes. Podemos considerar isto comoum experimento nico, e neste caso o espao amostral ser consti-tudo de seqncias de comprimento n de elementos de S. Assimo espao amostral correspondente a este experimento o conjunto

nS de tais seqncias. O nmero de resultados deste experimento

(novo) (# ) nS . Considerando cada seqncia equiprovvel, tem-se

1 21

( , , )n n P a a a k = onde #k S = . No exemplo do lanamento de uma

moeda 2 vezes, { },S H T = e o espao amostral do experimento repe-tido ser { } , , ,S HH HT TH TT = . A probabilidade de cada resultado, portanto,1/ 4 . Esta denio pretende ser um modelo em que oresultado de cada experimento repetido independente dos resulta-dos anteriores, no sentido cotidiano de quenenhuma inuncia sobreum experimento pode ocorrer em funo dos experimentos anteriores.

Suponhamos que lancemos duas moedas no viciadas simultane-amente em lados opostos de um quarto. Intuitivamente, o modocomo uma das moedas cai no inuencia o modo como a outra cai.O conceito matemtico que formaliza esta intuio chamado deindependncia. Geralmente, independncia uma hiptese que assu-mimos na modelagem de um fenmeno ou gostaramos que fossepossvel assumir realisticamente. Muitas frmulas de probabilidade

s so vlidas se certos eventos forem considerados independentes.Voltemos ao exemplo do lanamento das duas moedas. Seja A o even-to em que na primeira moeda sai CARA, e seja B o evento da segun-da sair CARA. Se assumimos que A e B so independentes, ento aprobabilidade que as duas moedas saiam CARA :

1 1 1( ) ( ) ( )

4 2 2 P A B P A P B = = = .


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Por outro lado, seja N o evento em que amanh ser um dia nubladoe C o evento em que amanh ser um dia chuvoso. Suponhamosque ( ) 1/ 5 P N = e que ( ) 1/10 P C = . Se estes eventos fossem indepen-dentes, ento poderamos concluir que a probabilidade de um diachuvoso e nublado seria bem pequena:

1 1 1( ) ( ) ( ) .

5 10 50 P N C P N P C = = = .

No entanto, estes eventos so dependentes. Em particular, todo diachuvoso nublado. Assim a probabilidade de um dia chuvoso e nublado , de fato,1/10 . Assim denimos:

Denio 4.1. Dizemos que dois eventos, A e B, so independentes se

( ) ( ) ( ) P A B P A P B = .

Vejamos. Por um lado, sabemos que( ) 0 P A B = porque no con-tm evento algum, A B = . Por outro lado, temos ( ) ( ) 0 P A P B > ,exceto nos casos degenerados, nos quais ou A ou B tenham probabi-lidade zero. Assim, disjuno e independncia so conceitos muitodiferentes. Vejamos uma imagem mais adequada pra explicar isto.Seja o retngulo da gura abaixo um espao de probabilidade ondea rea de cada subconjunto a probabilidade do evento representa-do pelo conjunto. Se A cobre uma frao a do retngulo e B cobreuma frao b do mesmo, ento a rea da interseo ser uma frao a b do retngulo. Em termos de probabilidade

( ) ( ) ( ) P A B P A P B = .

Suponhamos que lancemos duas moedas no viciadas. Considereos eventos:

A = as moedas caem com a mesma face voltada pra cima B = a primeira moeda cai CARA.

So estes dois eventos independentes? Intuitivamente, a resposta no. De modo geral, se as moedas caem iguais, depende de comocai a primeira moeda. Entretanto, a denio matemtica de inde-pendncia no corresponde com a noo intuitiva de no-relacio-nados. Estes eventos so, de fato, independentes, como se pode ver


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pelos clculos:1 1 1

( ) ( ) ( )4 4 21 1 1

( ) ( ) ) 4 4 21

( ) ( )4

P A P HH P TT

P B P HH PHT

P A B P HH

= + = + =

= + = + =

= =

Considere o lanamento de um dado, se { }2,4,6 A = o evento quecorresponde a sair par, e { }3,6 B = signica sair um mltiplo de 3.Ento A e B so independentes, pois { }6 A B = e, portanto,

1 1 1( ) ({6}) ( ) ( )

6 2 3 P A B P P A P B = = = = .

Denio 4.2. Dizemos que n eventos, 1 2, , , n A A A , so independentesse, para todo 2 k n e 1 2, , k j j j com 1 21 k j j j n < < < , vale

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

k k j j j j j j P A A A P A P A P A = .

Exemplo 4.11. (Eventos independentes dois a dois, mas que no soindependentes) Considere uma bola retirada de uma urna contendoquatro bolas, numeradas 1, 2, 3, 4. Seja{ } { } { }1, 2 , 1,3 , 1, 4 E F G= = = .

Soluo. Se todos os quatro resultados possveis so igualmente provveis, temos:

1( ) ( ) ( )

4 P E F P E P F = =

1( ) ( ) ( )

4 P E G P E P G = =

1( ) ( ) ( )

4 P F G P F P G = = .

Entretanto,31 1

( ) ( ) ( ) ( )4 2

P E F G P E P F P G = = .

Logo, ainda que os eventos, , E F G sejam dois a dois independentes,eles no so independentes.

Exemplo 4.12. Suponhamos que seja lanado um dado no viciado.Seja E o evento em que a soma dos nmeros na parte superior dos

.


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dados seja 7 e F o evento no qual no primeiro dado sorteado onmero 4. So estes eventos independentes?

Soluo. Observe que

{ }( ) 1( ) 4,336

P E F P = =

enquanto1 1 1

( ) ( ) ( )6 6 36

P E P F P E F = = = ,

provando que eles so, de fato, independentes.

Uma outra noo importante em probabilidade a noo de probabilidade condicional. Vamos deni-la agora. Para tal, consideremos

o seguinte problema: suponha que temos um espao de probabilida-de e que saibamos que um determinado evento ocorreu. Como soento as probabilidades dos outros eventos, uma vez que o eventoconsiderado j ocorreu?

Exemplo 4.13. Um experimento consiste em lanar um dado. Seja X o resultado, seja F o evento{ }6 X = , e seja E o evento{ }4 X > .Como probabilidade, assumamos que 1( )

6 P Y = para 1,2, 6Y = .

Assim 1( )6

P F = . Agora suponhamos que o dado foi lanado e que

fomos informados de que o evento E ocorreu. Neste caso, nos res-tam 2 resultados possveis: 5 e 6. Qual, ento, a probabilidade de F ter ocorrido?

Soluo.

Como restam 2 resultados possveis segue que a probabilidade pro-

curada 12

. Vamos denotar por ( | ) P F E e referenci-lo como a

probabilidade do evento F dado que o evento E ocorreu.

Exemplo 4.14. Dois dados so lanados. Qual a probabilidade deque tenha sado 4 em um dos dados, sabendo que a soma dos resul-tados dos lanamentos 8?

Soluo. Sabemos que a soma dos dois dados foi 8, e portanto sabe-mos que o lanamento dos dois dados deve ter sido 2 e 6, 3 e 5, 4 e


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4, 5 e 3, 6 e 2. Assim, existe um total de 5 possibilidades. Entre estesresultados, somente 1 tem 4 como resultado de um dos dados. Logo,se denotamos pelo evento E saiu um 4 e pelo evento F a somados dados 8, temos que

1( | )

5 P E F = .

Exemplo 4.15. Trs candidatos, , e A B C , esto concorrendo a umcargo poltico. Apenas um candidato pode ganhar. Suponhamosque A e B tm a mesma chance de ganhar e queC tem metade daschances de ganhar que tem A .

Soluo.

Seja A o evento A vence, B o evento B vence, eC o eventoC vence. Logo as probabilidades de cada evento sero 2( )

5 P A = ,

2( )

5 P B = e 1( )

5 P C = .

Suponhamos que, antes da eleio acontecer, A desista. Ento quaisseriam agora as probabilidades para os eventos B e C ?

Soluo.

natural, na ausncia de outras informaes, atribuir probabilidadesa estes eventos que sejam proporcionais s probabilidades originais.

Assim teramos 2( | )3

P B A = e 1( | )3

P C A = .

Nestes exemplos, temos um dado espao de probabilidade e uma novainformao que determina, de certa maneira, um novo espao de probabilidades. Este novo espao consiste nos resultados que ainda sopossveis, dada a informao adicional que temos. Nosso objetivo atribuir probabilidades a estes eventos. Vamos formalizar ento osprocedimentos realizados nestes exemplos. Seja { }1 , , r = o es-pao amostral original com as probabilidades( )i P correspondentes.Suponhamos que o evento E tenha ocorrido. Queremos atribuir no-vas probabilidades ( | )i P E aos eventos{ }1 , , r que reitam estainformao. Claramente, se i E , razovel atribuir ( | ) 0i P E = .Alm disso, na ausncia de informao, razovel assumir que as probabilidades para i em E deveriam ter a mesma magnitude relativa


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que estas probabilidades tinham antes de sabermos que E ocorrera.Para isso, exigimos que

( | ) ( )i i P E cP =

para todo i E , com c uma constante positiva. Por outro lado,devemos ter

: :

1 ( | ) ( ) ( )i i

i ii E i E

P E c P cP E

= = = .Segue que

:

1 1( ) ( )

i

ii E

c P P E

= = .

Observe que precisamos exigir que( ) 0 P E > . Assim denimos:

( )( | ) ,

( )i

i

P P E

P E

=

para todo i E nas condies ( ) 0 P E > .

Esta nova distribuio de probabilidades chamamos de probabilida-de condicional dado E . Para um evento qualquer F dene-se:

: :

( ) ( )( | ) ( | )

( ) ( )i i

ii

i E F i E F

P P F E P F E P E

P E P E

= = = .

Chamamos ( | ) P F E de probabilidade condicional de F dado que E ocorreu, e calcula-se pela frmula:

( )( | )

( ) P F E

P F E P E

= .

De outra maneira podemos denir:Denio 4.3. Dados dois eventos, A e B, a probabilidade condicional de Bdado A o nmero ( ) / ( ) P A B P A que se denota por

( )( | )

( ) P A B

P B A P A

= .

Este nmero s est denido quando ( ) 0 P A > .


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Exemplo 4.16. Retornemos ao exemplo do lanamento de um dado(ex. 4.13). Lembre-se que F corresponde ao evento 6 X = , e que E o evento 4 X > . Observe que F E o evento F . Logo a frmulaacima nos d

( ) 1/ 6 1( | )

( ) 1/ 3 2 P F E

P F E P E

= = = ,

em concordncia com nossos clculos anteriores.

Exemplo 4.17. Encontre a probabilidade de se tirar um 4 de um ba-ralho de 52 cartas, dado que dele j tiramos um 7.

Soluo. Dado que um 7 j foi retirado, temos agora apenas 51 cartasdisponveis. Portanto, a probabilidade de tirar um 4 agora

4(4 |7) 51 P = . Se usarmos a frmula, temos:4 4

(4 7) 452 51(4 |7)4(7) 51

52

P P

P

= = = .

Exemplo 4.18. Uma moeda lanada 3 vezes sucessivas. Calcule aprobabilidade do evento A ocorrer dado que o evento B ocorreu,quando os eventos A e B so denidos por:

{ }mais caras que coroas aparecem A = , { }a primeira cara B = .Soluo. O espao amostral consiste nas 8 seqncias:

{ }, , , , , , , , HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT =que assumimos serem igualmente provveis. O evento B consiste dequatro elementos, , , , HHH HHT HTH HTT , e, portanto, sua proba-bilidade

4( )

8 P B = .

O evento A B consiste em trs resultados possveis,, , HHH HHT HTH , logo sua probabilidade

( ) 3 / 8 3( | ) .

( ) 4 / 8 4 P A B

P A B P B

= = =

Exemplo 4.19. Uma famlia tem dois lhos. Qual a probabilidadecondicional de que ambos os lhos sejam meninos, dado que pelo


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menos um deles um menino? Assuma que o espao amostralS dado por ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , ,o o o a a o a aS m m m m m m m m= e que todos osresultados so igualmente provveis. [( ),o am m indica que o maisvelho um menino e que o mais novo uma menina.]

Soluo. Seja E o evento em que ambos os lhos so meninos, e F o evento em que pelo menos um dos lhos um menino. Ento, aprobabilidade procurada dada por

( ){ }( )( ) ( ) ( ){ }( )

1,( ) 14( | )

3( ) 3, , , , ,4

o o

o o o a a o

P m m P E F P E F

P F P m m m m m m

= = = = .

Os prximos lemas resumem as propriedades bsicas da noo deprobabilidade condicional.

Lema 4.1. Seja A tal que ( ) 0 P A > . Ento

a) ( | ) 0, ( | ) 1, ( | ) 1 P A P S A P B A = = .

b) ( )( ) | ( | ) ( | ), se P B C B P B A P C A B C = + =.Em outras palavras, xado A, a probabilidade condicional umaprobabilidade (outra) sobre o espao amostral S.

Demonstrao. a) Temos( ) ( )

( | ) 0( ) ( )

P A P P A

P A P A

= = =

e( ) ( )

( | ) 1( ) ( )

P S A P A P S A

P A P A= = = .

Como0 ( ) ( ) P A B P A , ento ( )0 1( )

P A B P A

e, portanto,

0 ( | ) 1 P B A .

b)Sabemos que(( ) ) (( ) ( ))

(( ) | )( ) ( )

P B C A P B A C A P B C A

P A P A

= =

( ) ( )( | ) ( | )

( ) ( ) P B A P C A

P B A P C A P A P A

= + = + .


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122

Lema 4.2. Se 1 2( )n P A A A , ento,

1 2( )n P A A A =

1 2 1 3 1 2 1 2 1( ) ( | ) ( | ( ) ( | )n n P A P A A P A A A P A A A A .Lema 4.3 (Lei de Bayes). Seja { }1 2, , , n A A A= uma partio do espa-o de probabilidadeS . Ento se E um evento com ( ) 0 P E > , v+ale

1

( ) ( | )( | ) .

( ) ( | )

j j j n

i ii

P A P E A P A E

P A P E A=

=

Exemplo 4.20. Numa prova h 7 perguntas do tipo verdadeiro-falso.Calcular a probabilidade de acertarmos todas as 7 se:

escolhermos aleatoriamente as 7 respostas,a)

escolhermos aleatoriamente as respostas, mas sabendo que h b)mais respostas verdadeiras do que falsas.

Soluo.

a)H 72 128= possibilidades e, portanto,

[ ] 1acertar os 7 testes .128

P =

b) Seja A o conjunto de todos os pontos com mais respostas V doque F. Temos

# 7,4 7,5 7,6 7,7 35 21 7 1 64 A C C C C = + + + = + + + = .

E, portanto, a probabilidade buscada igual a164

.

Exemplo 4.21. Uma moeda jogada 6 vezes. Sabendo-se que no pri-meiro lanamento ocorreu coroa, calcular a probabilidade condicio-nal de que o nmero de caras nos seis lanamentos supere o nmerode coroas.

Soluo. Nos 5 lanamentos seguintes devemos ter 4 ou 5 caras. A

probabilidade de ter 5 caras 5

1 12 32 =

e a probabilidade de ter 4

caras (e 1 coroa) 5

1 55

2 32 =

, porque a probabilidade de ter 4 ca

ras e 1 coroa na ordem cara-cara-cara-cara-coroa 5

1 12 32 =

, e h


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123

5 ordens possveis. A resposta 1 5 3

32 32 16+ = .

Exemplo 4.22. Considere duas urnas. A primeira contm duas bolas brancas e sete pretas, e a segunda contm cinco bolas brancas e seispretas. Lanamos uma moeda, e se sair cara retiramos uma bola daprimeira urna, caso contrrio, retiramos uma bola da segunda urna.Qual a probabilidade condicional de ter sado cara, dado que uma bola branca foi selecionada?

Soluo. SejaW o evento em que uma bola branca foi retirada e H o evento em que a moeda deu cara. A probabilidade procurada podeser calculada como segue:

( ) ( | ) ( )( | )

( ) ( )

( | ) ( )( | ) ( ) ( | ) ( )

2 1229 2

2 1 5 1 679 2 11 2

c c

P H W P W H P H P H W

P W P W

P W H P H P W H P H P W H P H

= = =

= =+

= =+

Exemplo 4.23. Uma moeda equilibrada jogada duas vezes. Sejame A B os eventos:

A: cara na primeira jogada;

B: cara na segunda jogada.

Verique se e A B so independentes.

Soluo . 1( ) ( )2

P A P B= = , pois em cada lanamento h dois resulta-

dos possveis que so igualmente provveis (cara e coroa), e em cada

lanamento h apenas um resultado favorvel (cara).

1( )

4 P A B = ,

pois para os dois lanamentos h quatro resultados possveis que soigualmente provveis (cara-cara, cara-coroa, coroa-cara e coroa-coroa),

e apenas um favorvel (cara-cara). Como( ) ( ) ( ) P A B P A P B = , oseventos e A Bso independentes.

.


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124

Exemplo 4.24. Suponhamos que haja um teste para diagnosticar ocncer que d positivo em95% dos casos quando se aplica s pes-soas que possuem a enfermidade, e d negativo em95% dos casosquando se aplica s pessoas que no a possuem. Se a probabilidadede que uma pessoa tenha realmente cncer 0,005 , qual a probabilidade de que uma pessoa tenha realmente cncer quando o testetiver dado positivo?

Soluo. SejaC o evento no qual uma pessoa examinada tenha cn-cer e A o evento no Qual o resultado do teste seja positivo para ocncer. Apliquemos a lei de Bayes:

( | ) ( )( | )

( | ) ( ) ( | ) ( )c c P A C P C

P C A P A C P C P A C P C

= +

(0,95)(0,005)0,087

(0,95)(0,005) (0,05)(0,995)= =

+.

Exemplo 4.25. Das 28 peas de um domin, escolhem-se duas alea-toriamente. Ache a probabilidade de que com elas se possa formaruma cadeia compatvel s regras do jogo.

Soluo.a a(cadeia compatvel) (2 pea encaixe| 1 dupla) (1 dupla)a P P P =

a a+ (2 pea encaixe| 1 no dupla) (1 no dupla)a P P

7 6 21 12 7.

28 27 28 27 18= + =

Exemplo 4.26. Retiram-se, sucessivamente e sem reposio, duascartas de um baralho comum (52 cartas). Calcule a probabilidade dea 1a carta ser uma dama e a2 a carta ser de copas.

Soluo. H dois casos a considerar:

a)Se a primeira carta a dama de copas, a probabilidade 1 1252 51

.

b) Se a primeira carta uma dama no de copas, a probabilidade 3 13

.52 51A resposta 1 12 3 13 1 .

52 51 52 51 52 P = + =


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Exemplo 4.27. Determine a probabilidade de obter:

Ao menos um 6 em quatro lanamentos de um dado.a)

Ao menos um duplo 6 em 24 lanamentos de um par de dados. b)Soluo. A probabilidade de nenhum seis em quatro lanamen-

tos 4

50,4823.

6 =

A probabilidade de pelo menos 1 seis

45

1 1 0, 4823 0,51776 = =

, o que responde a letra a.

A probabilidade de nenhum duplo seis em 24 lanamentos de um

par de dados

2435

0,5086.36

= Logo, a probabilidade de pelo me-nos 1 duplo seis

2435

1 1 0,5086 0, 4914.36 = =

Exemplo 4.28. Marina quer enviar uma carta a Vernica. A proba-

bilidade de que Marina escreva a carta de810

. A probabilidade de

que o correio no a perca de910

. A probabilidade de que o carteiro

a entregue de 910

. Dado que Vernica no recebeu a carta, qual a

probabilidade condicional de que Marina no a tenha escrito?

Soluo. Vamos usar aqui na soluo um diagrama de rvore.

No escreve

Perde

Escreve

No entrega

No perde Entrega

2/10

8/10

1/10

9/10

1/10

9/10

Figura 4.3

(no escreve)

(no escreve| no recebe)(no recebe)

P P

P = =

2 2510

2 8 1 8 9 1 4410 10 10 10 1010

=+ +

.


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126

Lista de Exerccios

Trs urnas I, II e III contm respectivamente 1 bola branca e 21) pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna es-colhida ao acaso e dela retirada uma bola que branca. Qual a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II?

Uma moeda jogada 4 vezes. Sabendo que o primeiro resulta-2)do foi cara, calcular a probabilidade condicional de obter pelomenos 2 caras.

A probabilidade de um homem ser canhoto 3)1

10 .Qual a probabilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menosum canhoto?

Durante o ms de agosto a probabilidade de chuva em um4) dia

determinado de 410

. O Fluminense ganha um jogo em um

dia com chuva com probabilidade610

e em um dia sem chuva

com probabilidade de410

. Sabendo-se que o Fluminense ga-

nhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de

que choveu neste dia?

Num exame h trs respostas para cada pergunta e apenas5)uma delas certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno temprobabilidade de 1/3 de escolher a resposta certa se ele estadivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30%das respostas do exame. Se ele deu a resposta correta a uma

das perguntas, qual a probabilidade de que a adivinhou?Treze cartas so escolhidas de um baralho comum de 52 car-6)tas. Seja A o evento o s de copas est entre as 13 cartas e B o evento as 13 copas so do mesmo naipe. Provar que A e B so independentes.


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127

Joguei um dado duas vezes. Calcule a probabilidade condicio-7)nal de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dosresultados foi 7.

Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilida-8)de 1/3. Suponha que A faz uma armao e que D diz queC diz que B diz que A falou a verdade. Qual a probabilidade de A ter falado a verdade?

Um urna contm 3 bolas vermelhas e 7 brancas.9) A e B sacamalternadamente, sem reposio, bolas dessa urna at que uma bola vermelha seja retirada. A saca a1a bola. Qual a probabi-lidade de A sacar a bola vermelha?

Considere 4 urnas, cada uma delas contendo 10 bolas nume-10)radas de 1 a 10. Extrai-se uma bola de cada urna. Calcular aprobabilidade de que as 4 bolas somem 20.

Ao responder uma questo de um teste de mltipla escolha11)um estudante ou sabe a resposta ou a chuta. Seja p a probabi-lidade de que ele saiba resposta e1 p a probabilidade de queele chute. Suponha que o estudante quando chuta tem proba-

bilidade de

1

m de acertar, ondem o nmero de alternativasdas questes. Qual a probabilidade condicional de que o es-tudante sabia a resposta da questo dado que ele respondeuacertadamente?

Ns sabemos que uma determinada carta igualmente prov-12)vel de estar em um de trs escaninhos. Seja1 a a probabilidadede que ns a vamos encontrar depois de um exame supercialno escaninhoi se a carta estiver de fato no escaninhoi , para

1,2,3i = . (Podemos ter 1i a < .) Suponhamos que examinemos o escaninho e no encontremos a carta. Qual a probabilidadeda carta estar de fato no escaninho 1?


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128

Resposta dos exercciosCAPTULO 1

Lista 1

1) a) 43

1) b) 35

2) a) n + 2

2) b) ( 2)( 1)nn

++

3) a) n = 9

3) b) n = 5

4) a) x = 6

4) b) x = 4

Lista 2

a)1) 42

2) a) 5

1(2 1)

ii

=

b)2)6

2

1( 1) i

ii

=

a)3) 13 16 19 22 ....

3) b) 3159

a)4)5

1

(2 1)i

i=

4) b)

0

( )n

i

p i=

+

CAPTULO 2

Lista 1

a)1) 7

1) b) 11

a)2) x = 1 ou x = 4

2) b) x = 1 ou x = 7

a)3) n = 3

3) b) n = 10

a)4) x = 4

4) b) x = 5

Lista 2

1) 6

2) 4( 3)

xn

=

3) x = 9 ou x = 1

4) x = 6 e y = 7Lista 3

2) 12 ( 2)n n +

3) a) 145180

3) b) ( 1)(4 5)6

n n n+ +


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129

Lista 3

2) 12 ( 2)n n +

3) a) 145180

3) b) ( 1)(4 5)6

n n n+ +

Lista 4

a)1) 20

1) b) 112081

3) 6924 x

CAPTULO 3

Lista 1

1) 40

2) 7200

3) 56

4) 600

5) 4096

6) 1.048.576

7) 125

8) 9.000.000

Lista 2

1) 15.600

2) 9.765.625

3) 132

4) 60

5) a) 3864

5) b) 1567

5) c) 560

6) 4464

7) 461

8) 48

9) 4320010) 18


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130

Lista 31) a) 11520

1) b) 720

1) c) 4320

1) d) 1152

1) e) 720

1) f) 9360

1) g) 13080

2) a) 81

2) b) 46721

2) c) 1

2) d) 5.333.280

3) 3600

4) 8640

5) 604.800

6) a) 462

6) b) 5775

6) c) 792

6) d) 10395

6) e) 51975

7) 564.480

8) 720

9) 8192

10)2880

Lista 4

1) a) 560

1) b) 4342) 6300

3) 40

4) 267.148

5) 12.960

6) 138.378.240

CAPTULO 4

1) 512

2) 78

3) 0,6513

4) 12

5) 716

7) 16

8) 1341

9) 712


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RefernciasHAZZAN, S.Fundamentos de Matemtica Elementar 5 : Combina-

tria e Probabilidade. Atual: So Paulo, 1977.NETTO, F.A.L.Lies de Anlise Combinatria . Livraria Nobel:So Paulo, 1967.

MORGADO, A.C.O.; CARVALO, J.B.P.; CARVALHO, P.C.P.; FERA-NANDEZ, P.Anlise Combinatria e Probabilidade . (Coleo Pro-fessor de Matemtica) SBM: Rio de Janeiro, 2004.

SANTOS, J.P.O.; MELLO, M.P.; MURARI, I.T.C.Introduo Anli-se Combinatria . Ed. Unicamp: Campinas, 1995.

HOEL, P.G.; PORT, S.C. ; STONE, C.J. Introduo Teoria da Proba-bilidade . Intercincia: Rio de Janeiro, 1978.

Documents

Fundamentos de Matemática II