1. :;!:.* FENMENOS DE TRANSPORTE

2. -- - -, r --~- -- --,: :: ;,. j J:; 3. R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LI TFOOTDepartamento de Ingeniera la _ . Universidad de. . . .. .. . ..-DE TRANSPORTEUN ESTUDIO SISTEMTKO DE LOS FUNDAMENTOS DEL TRANSPORTE DEMATERIA, ENERGA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTOediciones REPLA, s. a. 4. deNo.Titulo de la obra origine1TRANSPORT PHENOMENAEditada porJohn Wiley Et Sons, Inc., Nueva Yorkuf#fERSIDAl.l DE GUADALAIARAVersidn espatYola por elProf. Dr. Fidel MatoCatedrtico de Qumica Tcnicade la Universidad de SalamancaU~DAD DE BIBLIOTECAS--Y . 21836 .No. ADQUISICION -..-.- -..--CLASIFICAClON __ . . ..__..... . . . . . . -. . . . . . . . . -. ---.-.---?,CTURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .~~.*.......--..---....--~Propiedad de:EDITORIAL REVERT. S. A.Encarnacin, 86. .Barcelona (24)WI-IA .................................... ............-....- -, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v. . . . . . . . . . . . . ...-.....e...... -Reservados todos los derechos. Nipauna parte del material cubierto por este titulo de pro-piedadliteraria puede ser reproducida, almacenada en un sistema de nformCltca o transmitidade cualquier forma o por cualquier medio electrnico, mec&nico, fotocopia, grabacin u otrosmtodos sin el previo y expreso permiso por escrito del editor.Derechos reservados:0 1992 Editorial Revert, S.A., Barcelona, Espafia.0 1987 Ediciones Repla, S.A.General Francisco Murgua 706170 Mxico, D.F.ISBN 969-616502-9ISBN 84-291-7060-2 (Editorial Rever-t, S.A.)Impreso en Mxico Printed in Mexico 5. PR6LOGOEn este libro se intenta presentar una introduccin al tema de los fenmenosde transporte para estudiantes de ingeniera y ciencia aplicada, mediante el estudiodel transporte de cantidad de movimiento (flujo viscoso), transporte de energa(conduccin del calor, conveccin y radiacin), y transporte de materia (difusin). Seconsidera siempre que los medios en los que tienen lugar los fenmenos de trans-porteson continuos, y apenas si se hace referencia a la explicacin molecular delos procesos. Tal tratamiento a base de un medio continuo presenta un intersms inmediato para los estudiantes de ingeniera, pero es preciso tener en cuenta,sin embargo, que ambos puntos de vista (continuo y molecular) son necesariospara adquirir un completo dominio del tema.Es evidente que se haca notar la necesidad de un libro de este tipo, puesto queen la enseanza ingenieril existe un inters creciente por el c,onocimiento de los prin-cipiosfsicos fundamentales, e.*, vez de la utilizacin de un ciego empirismo. Laihateha objeto de estudio es sin iuda lo suficientemente bsica como para abarcardiversas disciplinas clsicas. Indudablemente nos ha guiado en nuestro propsitoel convencimiento de que el tema de los fenmenos de transporte, al igual que latermodinmica, la mecnica y el electromagnetismo, constituyen una de las clavesde las ciencias ingenieriles. Bien sabido es que el conocimiento de las leyes b-sicasdel transporte de cantidad de movimiento, energa y materia, es importante,si no indispensable, en el anlisis ingenieril; por otra parte, el contenido de estelibro puede resultar tambin interesante para los que se dedican a qumica fsica,fsica del suelo, meteorologa y biologa.Reconociendo que el tema de los fenmenos de transporte no ha sido conside-radohasta ahora como una materia con personalidad propia, nos ha parecidooportuno informar al lector acerca de la forma en que se ha organizado el material.Optamos, despus de estudiar diversos mtodos de clasificacin en colaboracincon nuestros colegas de departamento, por seguir el esquema que se indica en laTabla 1. En dicha tabla se puede apreciar que a cada tema se le ha asignado unacasilla, siguiendo una ordenacin bidimensional, con el fin de hacer resaltar larelacin con los dems temas pertenecientes a la misma fila o columna. Segn esto,la divisin del material en columnas, tituladas transporte de cantidad de movi-miento,energa y materia, da lugar a un mtodo de clasificacin basado en el enteque se transporta. Tambin es posible adoptar otra forma de clasificacin, siguiendolas distintas filas, basada en el tipo de transporte que tiene lugar. A la vista de este 6. [ esquema reat$a evideateque se puede organizar un curso de fenmenos de trans-; porte en cuaJquiera de stas dos formas: siguiendo las columnas (Captulos 1, 2, 3,: ; 4, 5, etc.), o las filas (CapItulos 1, 8, 16, 2, 9, 17, 3, etc.). De hecho, el material dellibro esti ordenado de tal forma que puede utilizarse uno u otro metodo. El me-todode las ~~~olumna;3 es probablemente ms conveniente para principiantes,mientras -que para .studiantes adelantados resulta ms adecuado el de las filas.Dentro de icada captulo se presentan algunos ejemplos que sirven para ilustrarla utilizacin de diversas tcnicas o proceder a una ampliacin del texto. Inmedia-tamentedespus de cada captulo se propone una serie de cuestiones para discutir,cuyo objeto es considerar el tema desde distintos puntos de vista; los problemas queaparecen al final de los captulos se han agrupado en cuatro clases (representadasmediante un subndice colocado a continuacin del numero del problema):Clase 1: Problemas consistentes en una aplicacin numrica directa defrmulas del texto.Clase 2: Problemas que requieren un anlisis elemental de las situacionesfsicas, basado en la materia expuesta en el captulo considerado.Clase 3: Problemas que requieren un anlisis algo ms elaborado, siendoa veces preciso utilizar informacin procedente de varios captulos, o materia queno se trata especficamente en el texto.Clase 4: Problemas que requieren un anlisis matemtico en el que intervienenfunciones de Bessel, ecuaciones entre derivadas parciales, transformaciones deLaplace, variable compleja y anlisis tensorial.Ciertamente que en ninguno de los problemas de las tres primeras clases espreciso un conocimiento matemtico ms all de las ecuaciones diferenciales ordi-nariasy resultan adecuados para un curso de iniciacin. Aun para un curso deeste tipo es evidente que se puede utilizar ms material del libro. De acuerdo conesto y en un intento de servir de gua a los profesores de fenmenos de transporte,se sealan con un asterisco (*) aquellas secciones que resultan adecuadas paraexponer en un curso dedicado a estudiantes no graduados. Otras cuestiones quese abordan en el libro resultarn tiles a los estudiantes adelantados y servirn,adems, para indicar a los no graduados que los lmites del curso no coincidencon los lmites del tema.A lo largo del texto se sigue una notacin uniforme y al final se incluye unatabla de la misma. Ocurre, sin embargo, que desgraciadamente no es posible adoptaruna notacin que est de acuerdo con la que utilizan todos los lectores, ya que eltema comprende diversos campos que se han desarrollado independientemente.A este respecto conviene aclarar que nuestra notacin representa un trmino medioentre la utilizada por los fsicos y los ingenieros.Ha sido en 1957 cuando, despus de una meditada deliberacin, el Departa-mentode Ingeniera Qumica de la Universidad de Wisconsin decidi inaugurar uncucso semestral sobre fenbsnenos de transporte. Ocurri entonces que, al no dis- 7. TABLA 1. DIAGRAMA ESQUEMhCO DE LA ORGANIZACIdNDE LOS FENMENOS DE TRANSPORTEEnte transportado -+ripo de transporte1Cantidad de movimiento/Energia MaterianUNSPORTB 1 . vIscoslDAo p 8 . coNDucrtvrDAn 16.DEBIDO kbtcwIMtttNm LezdydNewton de la visco- Ley de. Fourier d e l a con- ley de Fick de la difusinbtOLEC!ULAR ducclbn del calorVariacMn de I< con la tem- Variacin de k con la tem- Variacin degA# conla (cm,peraruta, pnsibn y can- peratura, pmi6n y com- peratura, presin y com-posicin.posici6n. posicin.Teorla cintica de fi Taorla cm?tica de k Teorla cinCica d o BA,rMNnPoRnl 2. DE 9. DB BALANCES DEEN 0 APLICADOS UNA UNANAEN UNA PerAles de velocidad Perhles de temperatura Perfiles de conccntraci6nVelocidad media Temperatura media Concentracin mediaDensidad de $j,o de canti- Densidad de Rujo de .ener- Densidad de Sujo de mate-pkttovlmtentoen su- pla cn superf~cie. ria eo supe&ies.TMNSPClltTE 3. ECUACIONES DE VARIA - 10. ECUACIONES DEM ED I O (NOCONTINUOEcuaci6n de continuidad EzuacMn de continuidad Ecuaci6n de continuidadpara cada especieEcuacin de movimiento Ecuacin de ~ovii$ento EcuacMn de movimiento;;aadcyveccm hbre y para convecci6n librey forzadaEcuaci6n de cnergia Ecuaci6n de eneraa Ecuacin de cnergia(isot6rmica) (no isottmica) (varios componentes)TMNSFORTE 4. MNSPOttTB DE CANTI- ll. TRANSFORTI D E ENER- 19. TRANSFORTS DE MATE-ENFL,0 L,MtNAR 0 DAD DE MOVtMtENTO CON CON DOS CON DOS VARIABLESINDEPENDIENTES I N D E P E N D I E N T E SCON DO.9 D I E N T E SFlujo viscoso en estado no Conducci6n del calor en &- Difusin en estado no es-estacionariotado no estacionario tacionarioFlujo viscoso bidimensional Cqnduccin del calor en Bu- Difusi6n en flujo ~iscos0.Flojo bidimensional ideal C~~d~$%~ bidimensional Dif$do, bidimensional endel calor en sblidosTransporte de cantidaddemo- Transporte de cnergla de ca- Transporte de materia devimiC.nQ de capa limite pa limite capa limiteTRANSPORlT 12 TRANSPORTE TURBULENTO 20. TRANSPORTEFLUJO D I D E MATERIAAjuste de tiempo de las ecua- Ajuste de tiempo de las ecua- Ajuste de ticmpo,de,hs ecoa-ciottesd e variaci6n ciones de variacin ciones d e vanacr6nViscosidad de remolino Co;z;th;dad calorifica de Difuwidad de remolinoPc$I;I, turbulentos de velo- Perfiles turbulentos de tem- Perfiles turbulentos de con--.peratura oentracdn6 . TMNSPORTE DO CANTI- 13. -,kM,SFOttTE DE ENEIb 21. TRANSPORTE DE MAtE-ItNTIBDDaDAD DE DE INTERFASEFactor de fricci6n f Co&&ote de transmisidn Coeficiente de transferenciade cal?r h d e mamria k+,C;;~laciones adimensiona- Correlaciones .adir?ensiona- CO~~WXXWS .adlFosiooa-, ;~d~yrweccdn libre y for- les (convcccdn hbre y for-zada)TRANSPORTB 14. DEL.a,y$ Planck do la radia-Los se refieren 0 losEste libro se puede rstudiarcapitulos del libro Ley d; Stefan-Boltzmann siguiendo las cobmna~wProblemas geombtricos 0 las J?lasP Radiaci6n a travs de mediosabsorbentesTRANSPORTE 7. 22.EN (N OD E Balance de materia Balance de materia B a l a n c e tk matcha paracada especieBalancc de cantidad de mo- Balance de cantidad de mo- Ba;;;znf; cantidad deme-vimientovimientoBalance de energa mechica Ba;;zae energia mecnica Ba;;zaF eoM#a me&h(ecuacidn de Bernoulli) 8. VIIIponer de texto, se prepararon unas notas a multicopista para los estudiantes, y enel otoo de 1958 se publicaron bajo el ttulo de Notes on Transport Phenomena.Utilizadas tambin estas notas por otras universidades, nos hemos beneficiadoenormemente de los comentarios que nos han enviado estudiantes y profesores.Genricamente, este libro es el resultado de una revisin exhaustiva de las Noteson Transport Phenomena. El texto se ha redactado de nuevo, se han reorganizadototalmente algunos captulos y se han aadido muchos problemas y ejemplos.Numerosos han sido los cambios introducidos, la mayor parte de los cuales obe-decena un intento de proporcionar un texto ms asequible a los estudiantes noiniciados.Madison, Wisconsin R. BYRON BIRDWARREN E. STEWARTEDWIN N. LIGHTIOOT 9. AGRADECIMIENTOSA la realizacin de este libro han contribuido directa o indirectamente muchaspersonas, algunas de tas cuales queremos mencionar especialmente:Nuestro agradecimiento al Profesor 0. A. Hougen y al Decano W. R. Marshall,Jr., de la Universidad de Wisconsin, por su perseverante inters en el campo delos fenmenos de transporte y su entusiasmo por incrementar la enseanza de estamateria.El Profesor R. A. Ragatz, Chairman del Departamento de Ingeniera Qumicade la Universidad de Wisconsin, nos ha ayudado en la resolucin de los problemasadministrativos inherentes a la introduccin de este curso1 en el nuevo plan de es-tudiosde ingeniera qumica, y nos ha permitido disponer de algn tiempo adi-cionalpara la preparacin del manuscrito.Nuestros colegas, los Profesores R. J. Altpeter, C. C. Watson, W. K. Neill yE. J. Crosby, que han colaborado con nosotros en el desarrollo, del curso sobrefenmenos de transporte para estudiantes no graduados, nos han proporcionadosugerencias muy valiosas.El Profesor J. E. Powers y sus alumnos de la Universidad de Oklahoma, ascomo el Profesor J. Dranoff y sus alumnos de la Northwestern University nos hanenviado detalladas revisiones de las Notes Transport Phenomena.El Profesor Eric Weger (Johns Hopkins University) y el Profesor K. M. Watson(Illinois Institute of Technology) nos han brindado tambin sus comentarios acercade su experiencia en la enseanza con las Notes Transport Phenomena.Muchos de nuestros estudiantes han ledo ciertos captulos del manuscrito deeste libro y han contribuido a la exactitud del texto final: Donald R. Woods, AllynJ. Ziegenhageh, David 0. Edwards, Paul F. Korbach, Donald W. McEachern, Ro-sendoJ. Snchez Palma, James P. Hutchins, Raffi M. Turian, Davis W. Hubbard,Boudewijn van Nederveen, Willam A. Hunt, John P. Lawler. Por otra parte, los si-guientesestudiantes han comprobado los enunciados y soluciones de todos los pro-blemasde las Clases 1 y 2: Vipin D. Shah, Thomas J. Sadowski, Richard H. Weaver,Gary F. Kuether.Los Profesores J. 0. Hirschfelder y C. F. Curtiss de la Universidad de Wiscon-sin,con quienes hemos mantenido una agradable relacin durante muchos aos,han orientado nuestro departamento de ingeniera qumica hacia el tema de losfenmenos de transporte, con la introduccin hace unos diez aos de un cursode fenmenos de transporte para estudiantes graduados. En cierto modo, elcurso actual desciende directamente del suyo. 10. El Profesor H. Kramers (Technische Hogeschool. Delft, Holanda), prepar en1956 unas notas de clase tituladas Pltysisclle T~nn.~l>o,t,v~sclt~jttselen, que representanel primer intento que conocemos acerca de la enseanza de fenmenos de transportea estudiantes de ingeniera. Uno de nosotros (R. B. Bird) ha tenido el placer depasar un semestre en el laboratorio del Profesor Kramers como Fulbright Lecturery Guggenheim Fellow, durante el cual se ha beneficiado mucho de las discusionessobre la enseanza de los fenmenos de transporte.La seorita Jeanne 0. Lippert merece nuestro mejor agradecimiento por habermecanografiado la mayor parte del manuscrito y algunas de sus partes varias veces.Tambin estamos en deuda con Mr. Stuart E. Schreiber por su incansable esfuerzoen la copia y disposicin del conjunto original de notas. Finalmente, deseamos agra-decera la seorita Ellen Gunderson la asistencia que nos ha prestado en la prepa-racindel manuscrito.K. B. B.W. E. S.E. N. L. 11. fNDICE GENERALPRIMERA PARTE. TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOcaptulo 1.*g1.1.*51.2.*g1.3.51.4.g1.5.Captulo 2.$2.1.* 52.2.* 82.3.* 42.4..$2.5.* $2.6.Viscosidad y mecanismo del transporte de cantidad de movimiento.. . .Ley de Newton de la viscosidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 1 .l- 1. Clculo de la densidad de flujo de cantidad de movimiento,1-7Fluidos no-newtonianos . . . . . . . . . . ..*...*...................*......Influencia de la presih y la temperatura sobre la viscosidad.. . . . . . . . . . .*Ejemplo 1.3-1. Estimacin de la vkcosidad a partir de Is propiedadescrticas, 1 - 19*Ejemplo 1.3-2. Efecto de la presin sobre la viscosidad de los gases, 1-19Teora de la viscosidad de los gases a baja densidad. . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 1.4-1. Clculo de la viscosidad de un gas a baja densidad, 1-25Ejemplo 1.4-2. Prediccin de la viscosidad de una mezclagaseosa a bajadensidad, 1-26Teora de la viscosidad de los lquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 1.5-1. Estimacin de la viscosidad de un liquido puro, 1-30Distribuciones de velocidad en flujo laminar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Balances envolventes de cantidad de movimiento: condiciones limite..Flujo de una pelcula descendente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 2.2-1. Cdlculo de la velocidad de pelicula, 2-8Ejemplo 2.2-2. Pelicula descendente con viscosidad variable, 2-9Flujo, a travks de un tubo circular.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . .*Ejemplo 2.3-1. Determinacin de la viscosidad a partir de datos de flujoen un capilar, 2-15Ejemplo 2.3-2. Flujo de Bingham en un tubo capilar, 2-16Flujo a travks de una seccin de corona circular.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Flujo reptante alrededor de una esfera slida. . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*EjempI 2.6-1. Determinacin de la viscosidad a partir de la velocidadjinal de caida de una esfera, 2-28Captulo 3. Las de para sistemas . . . . . . . . . . . . . . .*93.1. La ecuacin de continuidad.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*$3.2. La ecuacin de movimiento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93.3. La ecuacih de energa mecnica.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .* $3.4. Las ecuaciones de variacin en coordenadas curvilneas.. . . . . . . . . . . . .1-31-3I1-101-161-201-272-12-22-42-102-182-222-253-1::53-123-13 12. XII iNDICE GENERAL*3.5. Utilizacin de las ecuaciones de variacin para el planteamiento de pro-blemasde flujo estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-23*Ejemplo 3.5-1. Flujo tangericial de un jluido newtoniano en tubos con-chtricos,3-25*Ejemplo 3.5-2. Forma de la superficie de un lquido que gira, 3-28Ejemplo 3.5-3. Relaciones del par y distribucin de velocidad en el viscos-metrode plato y cono, 3-3083.6. Las ecuaciones de variacin para flujo no-newtoniano incompresible . . 3-33Ejemplo 3.6-1. Flujo tangencial de un plstico de Bingham en rubos con-cntricos,3-35Ejemplo 3.6-2. Componentes del tensor de densidad de,j?njo de cantirlodde movimiento, para el flujo radial no-newtoniano entre! dos discos para-lelos,3-38*83.7. Anlisis dimensional de las ecuaciones de variacin.. . . . . . . . . . . . . . . . . 3-38*Ejemplo 3.7-1. Prediccidn de la profundidod del vdrtice en un tanqueagitado, 3-40Captulo 4. de velocidad coa de variable . . . . . . . . 4-1*#4.1. Flujo viscoso no estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1*Ejemplo 4.1-1. Flujo en las proximidades de una pared que se pone sbita-menteen movimiento, 4-2Ejemplo 4.1-2. Flujo laminar no estacionario, en un tubo circular, 4-4$4.2. Flujo viscoso estacionario con dos componentes de la velocidad que nodesaparecen: la funcin de corriente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-8Ejemplo 4.2-1. Flujo reptante alrededor de una edfera, 4- 10$54.3. Flujo potencial bidimensional en estado estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . 4-12Ejemplo 4.3-1. Flujo alrededor de un cilindro, 4-14Ejemplo 4.3-2. Flujo en un canal rectangular, 4-16$4.4. Teora de la capa lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-19Ejemplo 4.4-1. Flujo en las proximidades de una pared que se pone brus-camenteen movimiento, 4-19Ejemplo 4.4-2. Flujo en las inmediaciones del borde dc ataque de unaldmina plana, 4-215. de velocidad ea flujo turbulento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*#Ll. Fluctuaciones y magnitudes de tiempo ajustado.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2*05.2. Ajuste de tiempo de las ecuaciones de variacin para un fluido incom:presible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*$5.3. Expresiones semfempricas para los esfuerzos de Reynolds.. . . . . . . . . . . ::*Ejemplo 5.3-1. Deduccidn de la ley de distribucin logaritmica para elflujo en un tubo (lejos de la pared), 5-10*Ejemplo 5.3-2. Distribucidn de velocidad para el flujo en un tubo (cercade la pared), S-II*Ejemplo 5.3-3. Valor relativo de la viscosidad molecular y la viscosidadde remolino, 5-13$5.4. El tensor de correlaci6n de segundo orden y su propagacin (la ecuacinde von Karmn-Howarth) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-14Ejemplo 5.4-1. Calda de turbulencia detrs de una rejilla, 5-2iCapitulo 6. de interfase en sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1Definicin de factores de friccin . . . . . . . . . . . . . . . . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2 13. $6 . 4 .Captulo 7.*57.1.$7.2.INDFCE GENERALFactores de fricci6n para el flujo en tubos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 6.2-1. Diferencia de presidn necesaria para una determinadavelocidad de flujo, 6-9*Ejemplo 6:2-2. Velocidad de flujo para una determinada diferencia depresin, 6-10Factores de fricci6n para el flujo alrededor de esferas.. . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 6.3-1. Determinacin del didmetro de una esfera descendente,6-16Factores de friccin para columnas de relleno.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Balance macrosc6pico de miiteria.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Balance macroscbpico de cantidad de movimiento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Balance macrosc6pico de energa mecinica (ecuacin de Bernoulli). . . .Ejemplo 7.3-1. Deduccidn del balance de energa mecnica para flujo es-tacionarioincompresible, 7-6Estimacin de las prdidas por friccih.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 7.4-1. Potencia necesaria para el&o en urw conduccidn. 7-11Utilizacin de los balances macroscpicos para el planteamiento de pro-blemasde flujo estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 7.5-1. Aumento de presidn y perdidas por friccidn en un ensan-chamientobrusco, 7-12*Ejemplo 7.5-2. Eficacia de un eyector liquido-liquido, 7-14*Ejemplo 7.5-3. Fuerza que actua sobre la curvatura de una tuberta, 7-16Ejemplo 75-4. Flujo isotermico de un liquido a travis de un orificio, 7-18Ijtiliacih de los balances macro&picos para plantear problemas deflujo no estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 7.6-1. Tiempo de vertido para el flujo en un embudo, 7-20Ejemplo 7.6-2. Oscilaciones de un mamimetro amortiguado, 7-23SEGUNDA PARTE. TRANSPORTE DECaptulo 8. Conductividad calorfica y del transporte de , . . . . . . . .*5811. Ley de Fourier de la conduccin del calor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 8.1-1. Medida de la conductividad calorijka. 8-8$8.2. Variacin de la conductividad calorfica de gases y lquidos con la tempe-raturay la presin . . . * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 8.2-1. @cto de la presion sobre la conductividad calorfica, 8-12$8.3. Teora de la conductividad cal6rifica de los gases a baja densidad. . . . . . .Ejemplo 8.3-1. Cdlculo de la conductividad ca!ori$ca de un gas mono-atomicoa baja densidad, 8-19Ejemplo 8.3-2. Estinwcidn de la conductivi&d calorifica de un gas poli-atomicoa baja densidad, 8-20Ejemplo 8.3-3. Prediccidn de la conductividad calorfica a?s una mezclagaseosa a baja densidad, 8-20$8.4. Teora de la conductividad calorfica de lquidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 8.4-1. Prediccidn de la conductividad calorifica de un lquido,8-23XIII6-36-116-177-17-27-37-47-77-127-208-38-38-108-14Conductividad calortica de slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-23 14. XIV tNbICE GENERALCaptulo 9.*gs.i.* 59.2.de temperatura en slidos y en el flujo laminar. . . . . . . . . . . . . .Balance de energa aplicado a una envoltura: condiciones lmite.. . . . .Conduccin del calor con un manantial calorfico de origen elctrico..*Ejemplo 9.2-1. Voltuje necesario para producir un determinado aumentode temperatura en un alambre calentado por una corriente electrica, 9-7Ejemplo 9.2-2. Calentamiento electrice de un alambre en el que varianlas conductividades calorifca y elertrira con la temperatura, 9-8Conduccin del calor con un manantial calorfico de origen nuclear.. .Conduccin del calor con un manantial calorfico de origen viscoso.. . . .Conduccin del calor con manantial calorfico de origen qumico.. . . .Conduccin del calor a travh de paredes compuestas: suma de resistencias*I$emplo 9.6-1. Paredes cilindricas compuestas, 9-24Conduccin de calor en una aleta de enfriamiento.. . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 9.7-1. Error en la medida de un termopar, 9-29Conveccin foBada...............................................Conveccibn libre.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$9.3.* 59.4.$9.5.* 59.6.09.7.* $9.8.+g9.9.captulo 10. 010.1.*g10.2.010.3.*910.4. 910.5.*510.6.Captulo l l .*g11.1.$11.2.Las ecuaciones de variacin sistemas no sot&micos~ . . . . . . . . . . . . .Las ecuaciones de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .La ecuacin de energa en coordenadas curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Las ecuaciones de movimiento para conveccin forzada y conveccinlibte en el flujo no isotkrmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Resumen de las kuaciones de variacin.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Uso de las ecuaciones de variacibn en los problemas de transmisi6n decalor en estado estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 10.5-1. Flujo tangencial en tubos concntricos con generacinde calor de origen viscoso. 10-17*Ejemplo 10.5-2. Flujo estacionurio de una pelcula no isatrmica, 10-19*Ejemplo 10.5-3. Enfriamiento por transpiracion, 10-20Ejemplo 10.5-4. Transmisin de calor -por conveccidn libre desde unaldmina vertical, lo-23Ejemvlo IO.S-S. Fluio comvresible unidimensional: gradientes de velo-- cidad, temperatura-y preshk en una onda de choqueestacionaria, 10-26*Ejemplo 10.5-6. Procesos adiabdticos sin friccin para un gas ideal, lo-30ArkliSis dimensional de las ecuaciones d variackn.. . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 10.6-1. Transmisin de calor por conveccin forzada en un tan-queagitado, 10-32*Ejemplo 10.6-2. Temperatura de la superfcie de una espiral de calenta-mientoelctrico, lo-34Distribuciones de temperatura con de una variable . . .Conduccin no estacionaria del calor en slidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 1 I.i-i. Calentamiento de una lmina semiin$nita, ll-2*Ejemplo II. 1-2. Calentamiento de una lmina finita, ll-3 ~Ejemplo 11.1-3. Enfriamiento de una esfera qe est en contacto con unfluido fuertemente agitado, ll-7Conduccibn del calor en estado estacionario para el flujo laminar de unfluido viscoso........................................,.........Ejemplo 11.2-1. Flujo laminar en un tubo con densidad de flujo de calorconstante en la pared, 1 l-l 1Ejemplo 11.2-2. Flujo laminar en un tubo ron densidad de flujo de calorconstante en la pared: Solucidn asinttica para distanciaspequehas, ll-129 - 19-29-39-109-149-169-219-269-319-3610-210-910-9lo-1310-13lo-31ll-lIll-10 15. 811.4.captulo 12.*412.1.$12.2.*$12.3.$12.4.Captulo 13.1813.1.* $13.2.1913.3.813.4.*s13.5.captulo 14.*s14.1.*14.2.*14.3.; *14.4.14.5.fNDICE GENERALFlujo potencial bidimensional estacionario de calor en sblidos.. . . . . . . .Ejemplo 11.3-1. Distribucin de temperatura en la pared, 1 l-l 5Teora de la capa lmite.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 11.4-1. Transmisin de calor por conveccin forzaada en el flujolaminar a lo largo a!e una Idmina plana calentada, ll-16Distribuciones de temperatura en flujo turbulento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Fluctuaciones de temperatura y temperatura de tiempo ajustado.. . . . .Ajuste de tiempo de; la ecuacin de energa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Expresiones semiempuicas para la.densidad de flujo turbulento de energa,*EjempIo 12.3-1. Perfiles de temperatura para el flujo turbulento estacio-narioen tubos circulares lisos, 12-6La doble correlacibn de temperatura y su propagacin: ecuacin de Corr-sin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 12.4-1. Ecuacin de decaimiento para la doble correlacin detemperatura, 12-13Transporte de interfase en sistemas no , . . . . . . . . , . . . , . . . . . .Definicin del coeficiente de transmisin de calor.. . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 13.1-1. Cdlculo de coeficientes de transmisidn de calor a partirde datos experimentales, 13-6Coeficientes de transmisin de calor para conveccin forzada en tubos. .*Ejemplo 13.2-1. Diseo de un calentador tubular, 13-18Coeficiente de transmisin de calor oara convecci6nforzada alrededor de6bjetos sumergidos.. . . . . . . . . .: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Coeficientes de transmisin de calor para conveccin forzada a trav6s delechos de relteno...............................................Coeficientes de transmisin de calor para conveccibn libre.. . . . . . . . . . .*Ejemplo 13.5-1. Prdida de calor por conveccin libre desde una tuberahorizontal. 13-28Coeficientes de transmisibn de calor para condensacin de vapores purossobre superficies slidas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&j;;io li3jd;l. Condensacin de vapor de agua sobre una superficie ver-, -Transporte de por radiacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .El espectro de radiaci6n electromagnetica.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Absorcin y emisin en superficies slidas.. . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . .Eey de distribucibn de Planck. ley de desplazamiento de Wien, y la ley deStefan-Bohzmann.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 14.3-1. Temperatura y emisin de energia radiante delSol, 14-12Radiacin directa entre cuerpos negros en el vaco que estan a diferentetemperatura...................................................*Ejemplo 14.4-1. Estimacin de la constante solar, 14-19*Ejemplo. 14.4-2. Transmisin de energa radiante entre discos, 14-19Radiacin entre cuerpos no negros que estn a distinta temperatura . .*Ejemplo 14.5-1. Escudos de radiacidn, 14-22*Ejemplo 14.5-2. Prdidas de calor por radiacin y conveccidn libre en unatuberia horizontal, 14-24Ejemplo 14.5-3. Conveccin y rudiacin combinudas, 14-24X Vll-14ll-1612-112-312-512-111 3 -11 3 - 213-813-2013-24.13-2513-2914-2,14414-814-131 4 -2 0 16. XVI INDICE GENERALTransporte de en&a iadiante en medios absorbentes.. . . . . . . . . _. . . _.Ejemplo 14.6-1. Absorcin de un rayo de radkxidn monocromdtica, 14-27$14.6.$15.1.*815.2.*&Y5.3.+g15.4.515.5.El balance macroscbpico de ene&. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : 15-2El balance macrosc6pico de energa mechica (Ecuacin de Bernoulli).Resumen de los balances macroscpicos para fluidos puros.. . . . . . . . . .:5$Utilizacin de los balances macroschpicos para la resolucin de problanasde estado estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . 15-8*Ejemplo 15.4-1. Enfriamiento de un gas ideal, 15-8*Ejemplo 15.4-2. Cambhores de calor de corrientes parakhs y eatracorriente, 15-11*Ejemplo 15.4-3. Potencia necesaria para bombear un parido wmpresibka travs & una tube& de gramfes dimensiones, 15-13Ejemplo 15.4-4. Mezclo de ah corrientes a gases ideales, 15-15*Ejemplo 15.4-5. Flujo tle jIuihs compresibles a travs I ori#icios, 15-17Utilizacin de los balancea macro.&picos para la resolucin de proble-masde estado no estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-19Ejemplo 15.5-1. Cakntamiento de un Ilquido en WI ta-nquc agItaa& 15-19Ejempb 15.5-2. Operacidn ak un sistema sencillo dc & tempe-ratura,15-22Ejemplo 15.5-3. Expansidn libre de una carga de un pwdo wmpresib&,1 5 -2 6y m-0s del transporte de matera.. . . . . . . . . . . . . . . . . .*016.1. Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de ma-te r i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Ejemplo 16.1-1. Relaciones entre las ah~.~Iazas ak flujo mokues, 16-9*#16.2. Ley de Fick de la difusin.. . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-10*$16.3. Variacibn de la difusividad con la presih y la temperatura.. . . . . . . . . 1 6 -1 3*Ejemplo 16.3-1. Estimacidn de ka difwividad a baja ahsidad, 16-15*Eiemolo 16.3-2. .&timaci&n de h difmividad a alta &nsi&d, 16-16$16.4. Te& de la difusin ordinaria en ghes a baja densidad.. . . . . . . . . . . . 1616Ejemplo 16.4-1. C&lculo de ha &fhsivi&d a baja &nshaad, 16-21016.5. Teora de la difusin ordinaria en lquidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-22Q;~wI~~I~~~~ Estimacidn de ( difusividad para YM mezcla liquida>y*017.1. Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones lmite.. . . . . 17-3 $17.2. Difusibn a travs de una pelcula gaseosa estancada. . . . . . . . . . . . . . . . . 71-4*Ejemplo 17.2-1. Determinacidn ak In difusivihd, 17-8Ejemplo 17.2-2. Difmidn a travs a una pelkth esfrica no isotrmica,1 7 -9*$17.3. Difusin con reaccin qumica heteroghea.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-11 l$jemplo 17.3-1. Difusidn con reacci&n heteroghea hta, 17-13 17. ,iL017.4.*917.5.017.6.Captulo 18.*#18.1.+018.2.$18.3.018.4.$18.5.*018.6.captuIo 19.519.1.019.2.519-3.captulo 20.*g20.1.+ 020.2.020.3.cf 1DICE GENERALDifusibn con reaccin qumica homogkra.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*E&mplo 17.Cf. Absorcidn dc un gascon reaccih quimica en un tasqueagitado, 17-16.Difusi6n en una pelcula lquida descendente: transferencia de materia porconvecci&n forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . .*Ejemplo I7.H. Absorcidn ak barbujas ascendentes de un,gas, 17-24Difusi6n y reaccin quhnica en el interior de un catalizador poroso: Elfactor de eficacia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . .:. . . . . . . . . . .Las eeuaeones de varaebh para dstenkas de varIas eomponamee . . . . . . .Las ecuaciones de continuidad para una .mezcla binaria.. . . . . . >. . . . . .La ecuacin de continuidad de A en coordenadas curvilneas.. . . . . . . .Las ecuaciones de variacibn para sistemas de varios componentes en fun-cinde las densidades de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-.Las densidades de flujo para sistemas de varios componentes en funci6nde las propiedades de transporte................................Utilizacin de las ecuaciones de variacin para el planteamiento de pro-blemasde difusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4emplo 18.5-1. Transferencia simultdnea de calor y materia, 18-20Ejemplo 18.5-2. Difusidn thmica. 18-22Ejemplo. 18.5-3. Difusin dr presidn, 18-24EjempIo 18.54. Difudn /orza&, 18-25Ejemplo 18.5-5. Difruidn ordinaria en un sistema de tres componentescon reaccidn qumica heterognea, 18-27Analisis dimensional de las ecuaciones de variacibn para una mezcla iso-trmicade dos fluidos.. . . . . . . . . . . . . . . :. . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . , . . .*EJempI 18.6-1. Mezcla de j%ddos miscibles, HI-30Distrlbuclonea de eonumlrac6n con mis de una variable btdepmdkate..Difusin en eatado no estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 19.1-1. Evaporacin en estado no estacionario, 19-3Ejemplo 19.1-2. Difwidn en estado no estacionario con yeaccin ak pri-meroran, 19-7Ejemplo 19.1-3. Absorcidn gaseosa con reaccidn qumica rdpti, 19-8,Teoria de la capa limite: m6todo aproximado de von KBrmkn. . . . . . .Ejemplo 19.2-1. Evaporacidn en estado no estacionario en el seno ak unamezcka dt varios componentes, 19-11&jemph 19.2-2. Difusidn y reaccidn qumica en el flujo laminar isoth-micoa lo kwgode una l&mitm phma soluble, 19-15Teorla de Ia capa lmite: soluciones exactas para transferencia simultaneade calor, materia y cantidad de movimiento.. . . . . . . . . . . . . . . . , . . . .I$et$ooJ9.3-1. Cdlculo de *k veloci&ad dc transferencia dc materia,Dm de ceneea- ea flujo twbuknto.. . . .r &. En realidad, antes dela transicin, el flujo laminar estable presenta un movimiento sinuos&.6 2.5 FLUJO ADYACENTE DE DOS FLUIDOS INMISCIBLESr-Hasta aqu hemos considerado casos de flujo con superficks de separacin slido-fluidoy lquido-gas. Vamos a ver ahora un ejemplo de flujo con superhcie de sepa-racinlquido-lquido. (Vase Fig. 2.5- 1.)- - - - -zcortante o densidad deflujo de cant idadFig. 2.5-1. Flujo de dos fluidos inmisciblea entre dos Uminas planas paralelas debido a ungradiente de presin.Dos fluidos inmiscibles e incompresibles circulan, debido a un gradiente depresin, en la direccin z de una estrecha rendija horizontal de longitud L y an-churaW. Las velocidades de los fluidos estn ajustadas de tal forma que una mitad& la rendija esta llena del fluido I (la fase ,@s densa), y la otra mitad est ocupadapor el fluigo II (la fase menos densa). Se de- analizar la distribucin de velocidady de densidad de 5ujo de cantidad de movimiento en este sistema.Un balance diferencial de cantidad de movimiento conduce a la siguienteecuacin :*R. S. PRENGLE y R. R. ROTHEUS, Ind. Eng. Chcm., 47, 379-386 (1955).1 El flujo adyacente de una capa hminar y otra turbulenta ha sido estudiado por T. J. HAI+RAITY y J. M. ENGEN, A. 1. Ch. E. Journal, 3,399-304 (1957). El flujo anular gas-lquido en tubosha sido tratado por. A. D. K. LAIRD, Trans. ASME, 76, 1005-1010 (1954). y S. CALVERT y B. WWLIAbIS, A. I. Ch. E. Journal, 1, 78-86 (1955). 75. .DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2.23d-Tzi= PO'- PLdx L(2.5-1)Esta ecuacin se obtiene tanto para la fase 1 como para la fase II. Integrando iaEc. 2.5-1 para las dos regiones, resulta1 72; =P-opL x + c,*L( )II=TzrPo - PLL( 12 + c,*'(2.5-2)(2.5-3)Se utiliza la condicih lmite de que el transporte ye cantidad de movimiento escontinuo a travs de la interfase de los dos fluidos:C.L. 1 : para x f 0 I I(2.5-4)Lo que nos indica que CI = Clu, y, por tanto, le llamaremos simplemente constatitede integracin CI.Si se substituye la ley de Newton de la viscosidad en las Ecs. 2.5-2 y 2.5~3,se llega aLa integracin de estas ecuaciones da= - (Po-PLV Cl2pL---p+c~EL%11 = - (Po - PL)zt-+ + ,;12pL p(2.5-5)(2.5-6)(2.5-7)(2.5-8)Para determinar las tres constantes de integrach, se utiliin estas tres condicioneslmite adicionalesC.L. 2 : para x = 0,C.L. 3 : para x = - 6,(2.5-9)YI* = o (2.5- 10)C.L. 4 : para x = + b, vI=O (2.5+j 76. .2-24 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOAl establecer matematicamente estas condiciones lmite se obtieneB.C. 2:B.C. 3:B.C. 4:c,3 cz0 = -(Po - PLW + Clb +0 = _(2.G 12)(2.5-13)(2.5- 14)De estas ecuaciones se deduce queCl = - (2.5-15)c2I= + (2.5-16)Por lo tanto, los perfiles de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velo-cidadson:w-19)Estas distribuciones se indican en la Fig. 2.5- 1. Observese que si $ = pn, ambasdistribuciones son iguales, y los resultados se transforman en el perfil parabblicode velocidad para el flujo laminar de un fluido puro en una rendija.La velocidad media en cada capa puede calcularse de esta forma:(~3 = i sob,,1 dx = (po1-2p IpIL3ba(p$I ++ pWIII) (2.5-20)(2.5-21)A partir de las distribuciones de la densidad de flujo de cantidad de movimientoy de la velocidad, que hemos obtenido anteriormente, se puede adems calcularla velocidad maxima, la velocidad en la interfase, el plano de esfuerzo cortanterero y la friccin en las paredes de la rendija. 77. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN 2-25 ~0 2.6 FLUJO REPTANTE ALREDEDOR DE UNA ESFERA SCjLIDAI?En las secciones anteriores hemos resuelto algunos problemas elementales deflujo viscoso, mediante. la aplicacin de balances diferenciales de cantidad de movi-miento.En la seccin inicial de este captulo se insisti en que este mtodo de an-lisisest restringido a los sistemas con lneas de corriente rectas. Puesto que elproblema del flujo alrededor de una esfera implica lneas de corriente curvas, nopuede resolverse por las tcnicas que hemos visto en este captulo. Sin embargo, lotrataremos aqu brevemente debido a la importancia que tiene en ingenieria el flujoalrededor de objetos sumergidos. No se pretenden deducir las expresiones para lasdistribuciones de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, de la presin y dela velocidad, sino que enunciaremos estos resultados y los utilizaremos despubpara deducir algunas relaciones importantes que sern necesarias en posteriorestratamientos.Consideremos el flujo muy lento de un fluido incompresible alrededor de unaesfera slida, tal como se indica en la Fig. 2.6-1. La esfera es de radio R y di&metro D. El fluido tiene una viscosidad ~1 y una densidad p, y asciende verticalmentehacia la esfera con una velocidad uniforme V, a lo largo del eje z negativo. Analfticwmente se ha encontrado que para un flujo [muy lento, la distribucin de la densidadde flujo de cantidad de movimiento, la distribucin de presin, y los componen-tesde la velocidad, expresados en coordenadas esfricas, son:(2.64)(2.6-2)(2.6-3)w-4)En la Ec. 2.6-2, p. es la presin en el plano z = 0 alejado de la esfera, - pge es lacontribucin del peso del fluido (efecto hidrosttico), y el termino que contiene V,1 V&~st C. 0. STOKES, Traes. Cambridge Phil. Soc., 9, 8 (1850). Vtase cambien H. LAMB, Hy-drodynundcs,Dover, Nueva York (1945), primera edicin americana, &! 338, pp. 602 y SS.; V. L.STREETER, Fkrid Dynamics. McGraw-Hill, Nueva York (1948). pp. 235-240. Un tratamiento masmmucioso puede verse en H. VILLAT, Lecons sur lesfhddes visqueux, Gauthier-Villars, Pars (1943).capitulo 7, en el que se considera el movimiento no estacionario de una esfera.2 El flujo no-newtoniano alrededor de una esfera ha sido estudiado por J. C. SLATTERY, tesisdxtoral, Universidad de Wisconsin (1959).. 78. /,2-26 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOtlMlENTO*resulta como consecuencia del flujo del fluido alrededor de la esfera. Estas ecua-cionesson solamente vlid.as para flujo reptante, que para este sistema tiene lugarcuando el numero de Reynolds J&p/~ es inferior a aproximadamente 0,l.. Estaregin se caracteriza por la virtual ausencia de remolinos aguas abajo de la esfera.Obsrvese que la distribucin de velocidad cumple la condicin de que V, = ie = 0en la superficie de la esfera. Adems, puede demostrarse que v, tiende hacia v, parapuntos alejados de la esfera. Por otra parte, se ve claramente que, lejos de la super-ficieesfrica, la distribucin de presin se transforma en la ecuacin hidrostticap = p. - pgz. Por lo tanto, las ecuaciones deben de satisfacer las condiciones lmiteparar=Ryr= co.Calculamos ahora la fuerza neta que el fluido ejerce sobre la esfera. Esta fuerza secalcula integrando la fuerza normal y la fuerza tangencial sobre la superficie de laesfera.Radio de lo esfera = RCn coda punm existen fuerzas depresin y friccin que actansobre la rupaficiede lo esferaEl fluido asciende conuno vslocidod u,,lPig. 2.6-1. Sistema coordenado utilizado para describir el flujo de un fluido alrededor deuna esfera rgida.de la fuerza normalEn cada punto de la superficie esfrica existe una presin sobre el slido quew. 79. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR . 2-21acttia perpendicularmente a la superficie. El componente z de esta presin es - .pcos 8. Esta presibn local se multiplica por el rea de la superficie sobre la que acta,sen 8 d0 d#, y se integra sobre la superficie esfrica para obtener la fuerza resul-tante,en la direccin z:=fS sen 0La distribucin de presin en la superficie de la esfera es(2.6-5)=2 Rw-4Esta expresin se substituye en la integral de la Ec. 2.6-5. La integral que contienese anula, la de - cos 8 da la fuerza de flotacin del fluido sobre el slido,y la integral en que interviene la velocidad da la resistencia de forma. Por lo tanto,queda finalmente .I= + (2.6-7)Integracin de la fuerzaEn cada punto de la superficie existe tambin un esfuerzo cortante que actatangencialmente. Este esfuerzo, - tre es la fuerza que acta en la direccin t9 sobrela unidad de rea de la superficie esfrica. El componente z de esta fuerza, por uni-dadde rea, es (- t,& (- sen 0). Multiplicando por sen 8 de e integrandosobre la superficie de la esfera, se obtiene la fuerza resultante en la direccin z:=SS (+T,.&~ sen sen 80 0(2.643)La distribucin del esfuerzo cortante en la superficie de la esfera, de acuerdo con laEc. 2.6-1, esT+I,=~ = - 22 sen2 RSubstituyendo esta expresin en la integral de la Ec. 2.6-8, se obtiene la wesis-tenciade friccin= (2.610)Por lo tanto, la fuerza total F del fluido sobre la esfera, viene dada por la suma delas Ecs. 2.6-7 y 2.6-10:. 80. 2 - 2 8o bienTRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOF = + + Rv, (2.6-11)(fuerza detlotacih) (resistencia de fortyfa) (resistencia de frkcibn)F = + (2.6-12)iEl primer trmino del segundo miembro de la Ec. 2.6-12 representa el empujey el segundo resulta como consecuencia del movimiento del fluido alrededor de laesfera. Para posteriores consideraciones, es conveniente designar estos dos tr-minospor (la fuerza que se ejerce aunque el fluido est en reposo) y (la fuerzaque resulta del movimiento del fluido, o sea, la contribucin cintica); en elcaso que estamos considerando, estas fue&& son= (2.6-13)= (2.6-14)La Ec. 2.6- 14 es la conocida lev de Stokes. Se aplica en el movimiento de partculascoloidales por efecto de un campo elctrico, en la teora de sedimentacin, y en elestudio del movimiento de partculas de aerosoles. Tngase en cuenta que la leyde Stokes es vlida para nmeros de Reynolds (basados en el dimetro de la esfera)inferiores a aproximadamente 0,l; para Re = 1, la ley de Stokes-predice una fuerzaresistente que es un 10 por ciento menor. El comportamiento de este mismo sis-temapara nmeros de Reynolds ms elevados se estudia en el Captulo 6. Esteproblema indica que cuando las lneas de corriente son curvas es preciso desarrollaruna formulacin ms general de la mecnica de fluidos, tal como se presenta enel Captulo 3.Ejemplo 2.6-1. Determinacin de viscosidad a partir de lade cada de una esferaDeducir una relacin que permita obtener la viscosidad de un fluido mediante la velo-cidadde cada en estado estacionario de una esfera en el seno de un fluido.Solucin. Si una esfera, inicialmente en reposo, se deja caer en un fluido viscoso,a adquiere un movimiento acelerado hasta que alcanza una velocidad constante (final).Cuando se alcanza este estado, la suma de todas las fuerzas que actan sobre la esfera escero. La fuerza de gravedad acta sobre el slido en la direccin de la cada, y el empujey la fuerza debida al movimiento actan en sentido contrario:En esta expresin, R es el radio de la esfera, la densidad de la esfera, p la densidad delfluido, y v1 la velocidad finah. Despejando ,u de la Ec. 2.6-15, se obtieneP = 2R2b3, - &/% (2.646)Este resultado es vlido solamente cuando Dutp/p es menor que aproximadamente 0,l..u::.: , 81. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-29CUESTIONES PARA DISCUTIR1. iCul es la detinici6n de derivada primera y c6mo se utiliza esta definicin en relacin conlos balances aplicados a una envoltura?2. Comparar la variacin de T,, con r para el flujo laminar de un fluido en un tubo y en tubosconc6ntrico.s.3. ~Cual es la ley de Hagen-Poiseuille y a qu se debe su importancia? Comprobar su con-sistenciadimensional.4. ~,Que es el nmero de Reynolds? iCuales son sus dimensiones?5. Para el flujo en tubos con&tricos, ~cul de las dos paredes, interior o,exterior, esta masprbxima a la superficie donde la densidad de flujo de cantidad de movimiznto es cero?6. Qu6 limitaciones se han hecho en la deduccin de la fbrmula que da el espesor de una pe-lculadescendente?7. CuBl es el significado fsico de las cuatro condiciones limite que son necesarias para de-terminarlas cuatro constantes de integraci6n en 0 2.5?8. CuBl es el intervalo de validez de la ley de Stokes?9. iEs de esperar que la ley de Stokes sea valida para el descenso de las gotitas de un lquidoA en el seno de un medio liquido inmiscible B?10. iSe cumplira la ley de Stokes para el descenso de diminutas particulas en aire, si el di&metro de las partculas es del orden del recorrido libre medio de las mokculas del aire?ll. En g 2.6, Fs y Fk deberian en realidad de tratarse como magnitudes vectoriales. iCmose ,modificaria la Ec. 2.6- 1 2 s i l a direcci6n de flujo del fluido no fuese exactamente contraria ala aceleracin de la gravedad?12. iCmo se elige la forma y la orientacin del elemento de volumen utilizado para aplicarun balance de envoltura?13. i En qu6 lugar de la deduccin efectuada en 8 2.3 habra que comenzar a introducir modi-ficaciones.si (u) el coeficiente de viscosidad fuese una funci6n de r (debido a condiciones noisotermicas. por ejemplo); (b), el fluido fuese no-newtoniano?14. Disctitanse las dificultades de medida implcitas en la determinacibn de viscosidades ab-solutasmediante la f6rmula de Hagen-Poiseuille. Estdiense los efectos relativos que sobre el re-sultadoejerce un error de un 1 por ciento en las distintas medidas.15. Dos liquidos inmiscibles A y B fluyen con movimiento laminar entre dos laminas planasparalela.s~~Seria posibk que los perfiles de velocidad fuesen de la siguiente forma? (Explquensebrevemente las razones de la respuesta.)16. lCu&l es la velocidad final en un campo eltctrico de intensidad 6, de una partlcula co-lo i d a l esftrica que posee una carga r? (Admtase que se cumple Ia ley de Stokes.&.. 82. 2-30 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOPROBLEMASradio de capilar deUno de los mtodos para determinar el radio de un tubo capilar consiste en medir la velo-cidadde Rujo de un fluido viscoso a travs del tubo. Hallar el radio de un capilar a partir de lossiguientes datos:Longitud del capilar = cmViscosidad cinemtica del fluido = 4,03 x lo-5 mg seg-tDensidad del fluido = 0.9552 x 103 kg m-3Cada de presin a trav6s deltubo capilar (horizontal) = 4,829 x 10s newtons m-z= 4,766 atm.Velocidad de flujo de masa atrav&s del tubo = 2,997 x kgiCual es el principal inconveniente de este metodo? Sugieranse algunos otros metodos de deter-minacindel radio de tubos capilares.Respuesta: 0.7512 mm.Velocidad volumtrica de flujo de anilloUn anillo circlar horizontal tiene una longitud de 8.23 m. El radio externo del cilindro inte-riores de 1,257 cm y el radio interno del cilindro exterior es de 2,794 cm. Mediante una bombase hace circular a trav6s del conducto anular una solucion acuosa de sacarosa (Ct2H2a0t1) al 60por ciento a 20 C. La densidad del fluido es de 1,286 g cm-3 y su viscosidad 56,5 cp. iCual es lavelocidad volumetrica de flujo cuando se le comunica una diferencia d presin de 0.379 kg cm-z?Respuesta: 3.06 xde en un gas de escapea. Determinar el dimetro mximo de las partculas de un catalizador constituido por micro-*esferas. que pueden perderse en el gas que va a la chimenea en una unidad de cracking de un flui-do,en las siguientes condiciones:Velocidad del gas en el eje de la chimenea = 395 cm seg-t (verticalmente hacia arriba)Viscosidad del gas = 0,026 cpDensidad del gas = 7,21 x 10-4 g cm-3Densidad de una partcula delcatalizador = 1,2 g cm-3Expresar el resultado en micrones (1 micrn = 10-6 cm)6. Se puede utilizar la ley de Stokes en el caso (a)?Respuesfa: Dmix = 110 micrones; Re = 0,93.Flujo de pelcula Otrasa. Deducir el perfil de velocidad y lavelocidad media, situando el origen de coordenadas deforma que X se mida a partir de la pared (es decir. X = 0 corresponde a la pared y Y = 6 a la su-perficielibre de la pelcula). Demostrar que la distribuci6n de velocidad viene dada por= -y que la velocidad media es la que se expresa en la Ec. 2.2-18. Demostrar como se puede llegara la distribuci6n de velocidad de la Ec. 2.D- 1 a partir de la Ec. 2.2-16.b. En los problemas de este captulo sc ha seguido el procedimiento siguiente: (i) deduch unaecuacin diferencial de primer orden para la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ( i) 83. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-31integrar esta ecuacin. (iii) introducir en este resultado la ley de Newton con el fin de obtener unaecuaci6n diferencial de primer orden para la velocidad, (iv) integrarla para obtener la distribu-cibnde velocidad. Otro procedimiento consiste en, (i) deducir una ecuacin -diferencial de primerorden para la densidad de flujo de cantidad de movimiento. (ii) substituir la ley de ,Newton enesta ecuacin con el fin de obtener una ecuacin diferencial de segundo orden para la velocidad,(iii) integrar esta ecuacin con el fin de obtener la distribucin de velocidad. Aplicar este proce-dimiento,substituyendo la Ec. 2.2-12 en la Ec. 2.2-8, y continuar en la forma que se ha indica-do.hasta obtener Ir distribuci6n de velocidad.Entrada ,Solido de fluidoFig. Z.E. Flujo a trav&s de una rendija.Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planasseparadas una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obte-nerlas expresiones para las distribuciones de densidad de f lujo de cantidad de movimiento y develocidad (vtasc Fig. 2.E):(2.51)1 p-a 84. 2-32 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOen las que B= p + pgh = p - pgz ~Cual es la relacin de la velocidad media a la mzixima en larendija? Obtener la ecuacin anloga a la de Hagen-Poiseuille para la rendija.Respuesto: (u,) = %v.B,,;r ; Q = i (90 -py wdevelocidadInterior del tubol de cantidadde en loL da espesordevelocidad laexteriorolidal oespesorAr2rArLFig. 2.C. Distribuciones de velocidad y balance de cantidad de movimiento, para una peliculaque asciende por el exterior de un tubo circular. 85. I~IS7RIBUCIONE.S DE YELO,CIIM Ll EN FLUJO LAMINAR 2-332.Fz Relacin entre las frmulas de la rendija y del anillo circularCuando un anillo es muy delgado puede considerarse. muy aproximadamente, como una ren-dijaestrecha. Por consiguiente, se pueden aplicar los resultados del problema 2.E. Por ejemplo,a partir del problema 2.E. es posible cbtener la velocidad volumtrica de flujo en un anillo cuyoradio de la pared externa es R y el de la interna (1 - e) R, biendo Q pequeno. tomando 28 iguala ER y W igual a 2.-rR, con lo que.(2.F-1)Demostrar que se obtiene el mismo resultado a partir de la Ec. 2.4-16, tomando para K el valorI - y desarrollando la expresin de Q en potencias de c. Esta operacin requiere el uso de laserie de Taylor,In (1 - e) = -e - & - fc - fc - . . . (2.F-2)y efectuar despus una divisin. (Nora: Utilizar en la deduccin los cuatro primeros trminos dela serie de Taylor de la Ec. 2.F-2.)2.Gz Flujo laminar en un pelcula que desciende por el exterior de un tubo circularEn una experiencia de absorcin de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pe-quenotubo circular, para descender despues por la parte exterior del mismo. (Vease Fig. 2.G.)Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de pelcula de espesor -Ir. tal comose indica en la figura. Observese que las flechas de entrada de cantidad de movimiento y sa-lidade cantidad de movimiento se toman siempre en la direccion r positiva al efectuar el ba-lance,aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la direccin r ne-gativa.a. Demostrar que la distribucin de velocidad en la pelcula descendente (despreciando losefectos finales) es(2.G-1)b. Obtener una expresin de la velocidad volumetrica de flujo en la pelcula.c. Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la Ec. 2.2 - 19 si el espesor de la pel-culaes muy pequeI0.2.H2 Flujo no-newtoniano en un tubou. Deducir la frmula anloga a la de Hagen-Poiseuille para el modelo de Ostwald-de Waele(ley de la potencia). Al hacer la deduccin debe de eliminarse primeramente el signo del valor ab-soluto.Como para el flujo en un tubo dc,/dr es siempre negativo, la ley de la potencia se transfor-maen este caso enExplicar cuidadosamente las transform,aciones de la Ec. 2.H-1b. Deducir una expresin de la velocidad volumtrica para el flujo en un tubo de un fluidode Ellis (vease Ec. 1.2-5):(2.H-2) 86. 2-34 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO2.1, de un fluido de Bingham en un tuboUn tubo vertical est lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el extremo inferior median-teuna lmina. Al separar la lmina, el fluido puede salir o no del tubo por gravedad. (VeaseFig. 2.1.) Explquese este hecho y establzcase un criterio de flujo para este experimento.Fig. 2.L Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circularFlujo en tubos concntricos con movimiento axial del cilindro interiorConsiderar el sistema representado en la Fig. 2.J, en el que la varilla cilndrica se mueve conuna velocidad V. La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribucin de velocidad en es-I Cilindro de rodio ,-Fluido o la preidn pO i n t e r i o r R Fluido o l o presin pe---4 ,-Ique re mueve con velocidad v IFig. 2.J. Flujo en tubos concntricos con movimiento axial del cilindro interiortado estacionario y la velocidad volumtrica de flujo. Este tipo de problemas se presentan en elrecubrimiento de alambres con barnizz.R e s p u e s t a : ; =In (r/R)--ir;Flujo no-newtoniano de una pelculaDeducir una frmula para el espesor de una pelcula de un fluido de Bingham descendiendopor una pared plana vertical con una velocidad Z(g seg--t por unidad de anchura de pared),Anlisis de un medidor de flujo capilarDeterminar la velocidad de flujo (en kg hr-t) en el tisedidorde flujo capilar de la Fig. 2.L. Elfluido que circula por el tubo capilar es agua a 20C y como fluido manom&rico s e u t i l i z a t a1 Sugerido por el Prof. H. Kramers, Technische Hogeschool (Delft).2 J, B. PATON, P. H. SQUIRES, W. H. DARNELL, F. M. CASH y J. F. CARLEY, Processing of Ther-=noplastic Materials, E. C. Bernhardt (Ed.), Reinhold, Nueva York (1959) capitulo 4. pp. 209-301. 87. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-35tracloruro de carbono (Cr&), cuya densidad es de 1,594 g cm-J. El dimetro del capilar es0,025 cm. (Obsrvese que para calcular la velocidad de flujo basta medir H y L; es decir que nohace falta medir 9. iPor que?)Fg. 2.L. Medidor de flujo capilar. 2.M3 Separador electrosttico de polvoUn separador de polvo consiste en dos lminas de cargas opuestas entre las cuales fluyengases conteniendo el polvo (vase Fig. 2.M). Se desea establecer un criterio de la longitud mx = +BY.- - - - -2det9Fig. 2.M. Trayectoria de una partcula en un colector el&trico de polvo. 88. 2-36 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOma de separador en funcin de la carga de la partcula e. la intensidad del campo el&ctrico &,tadiferencia de presin (p,, - p, la masa de la partcula tu y la viscosidad del gas 1. Es decir, iparaque longitud L habr alcanzado la partcula ms pequena (masa nt) la lmina inferior, exacta-menteantes de que pueda ser arrastrada fuera del canal? Supngase que el flujo es laminar en;re . las dos placas, de forma que la Ec. 2.E-2 describe la distribucin de velocidad. Supngase tambinque la velocidad de la partcula en la direccin z es la misma que la del fluido en esa direccion.Admtase finalmente que tanto la resistencia de Stokes sobre la esfera, como la fuerza de gravedadque acta sobre la partcula, que es acelerada en la direccin -x, pueden despreciarse.Respuesta: L,,,I,, = [64(p0 -- p,,)aB5m/22Sp2eE]1~42.N3 Flujo en un tobo con deslizamiento en la paredObtener una modificacin de la ley de Hagen-Poiseuille suponiendo que hay deslizamientodel fluido en la pared del cilindro. Es decir, que en vez de admitir que vz = 0 para r = R, utilizarla condicin lmite de quepr, = -/, 2 atr=Ren la que /3 es el coeficiente de friccin deslizante. (iCutI1 es el significado fisicoEn la mayor parte de los problemas de flujo de fluidos el deslizamiento carece de iSin embargo, se ha utilizado la solucion obtenida para el flujocon deslizamiento* aB&edor deesferas, en las teoras hidrodinmicas de difusins. Por otra parte, d deslizamientoes impor-tanteen algunos problemas de flujo no-newtonianoe. r.r*.2.04 Deduccin de la ecuaci6n de Rabinowitsch f ,g- .,Mediante la ecuacin de Rabinowitsch 7.8, puede obtenerse una representacin gr&a de ladensidad de flujo de cantidad de movimiento frente al gradiente de velocidad (vease Fig. 1.2-1)para cualquier fluido, a partir de datos experimentales de la perdida de presi6n pra diversas ve-locidadesde flujo, en el flujo laminar isotermico de un fluido a trav&s de tubos circulares. Lasnicas suposiciones que es preciso hacer consisten en que- el fluido es totalmente homogeneo yque no existe deslixamiento en la pared.a. Demostrar que la integral correspondiente a la velocidad volumtrica de flujo puede inte-grarsepor partes para obtenerR duQ = -Ro $ rt dr. , (2.0-1)s6. Efectuar el siguiente cambio de variable r/R = z,JrR (siendo Q = (Pa - ?F,)R/2L ladensidad de flujo de cantidad de movimiento en la pared, r = R), y escribir de nuevo la integraldel apartado (a) en funcin de la variable de integracin rrr.3 H. Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1945), p. 576.4 Ibid., pp. 601 y SS.5 R. B. Theory of Diffusiomp. En Advances in Chemical Engineering. T. B. Drew y J.W. Hoopes, Jr. (Eds.), Academic Press, Nueva York (1956), vol. 1, pp. 1951%.J. Non-Newtonian Flow of Liquids and Solidsx. En Rheology. F. R. Eirich(Ed.), Academic Press, Nueva York (1956). vol. 1, pp. 663-664.B. Z. physik. Chemie, Al45 1-26 (1929).* J. G. OLDROYD, Op. cit. cap. 16, vol. 1, pp. 662-666. 89. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR 2-37c. Diferenciar la integral del apartado (b) con respecto a TK para obtener la ecuaeidn de Ztobi-nowitsch,9CiU,- - 1 Jd r r=iz = w z (2.0-2)( 1Explquese cmo puede utilizarse esta ecuacin paraobtener la curva de T,* frente a (-dv,/dr)2.Pd RelacKm mutua entre los perfiles de velocidad en una rendija y en tubos can&ttricoaDemostrar que la distribucin de velocidad en tubos concntricos, Ec. 2.4-13, es la mismaque en una rendija (vase Ec. 2.E-2) cuando K se mantiene constante y R se hace muy grande.2.Q, Flujo no-newtoniano en tubos conckntricosDeducir la ecuacin de la velocidad volum&rica de flujo para un fluido de Bingham quecircula en un espacio anular, utilizando la notacin que se ha introducido en 0 2.4 y en el ejem-plo2.3-2. Utilizar los siguientes nmeros adimensionales:T = Zr,,L/(b,, - :*)R = densidad de flujo de cantidad de movimiento adimensionalT,, = Zr,L/(-U, - tiL)R = parametro reolgico adimensional4 = moL/v@ - tiL)R*)u, = velocidad adimensional, E = r]R = coordenada radial adimensionalDemostrar que la distribucion de densidad de flujo de cantidad de movimiento y la ley reologi-ca,pueden expresarse de esta formaT I E - E- w2-11d4 T = T , - -&Demostrar que los lmites d+ y d- de la regin de flujo de tapn vienen dados por(2.~2)y que 1 es justamente la media geometrica de + y L. Obtener la distribucin de velocidad paralos tres intervalos:4- para el intervalo K < $ < L4s para el intervalo - t< +4+ para el intervalo A+ < 5 < 1x,Integrando despus sobre la distribucin de velocidad, se obtiene la velocidad volumttrica deflujo*@9 Utilizar la f&mula de Leibnitzx para la diferenciacibn de una integral:10 A. G. FREDRICKSON y R. B. BIRD, Znd. Eng. Chen?., SO, 347-352 (1958); en este articulo sepresenta tambien una solucin para el modelo de la potencia:;,.5,: 90. 2-38 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO&Cmo se deterinina ? La distribucin de densidad de flujo de cantidad de movimiento en tu-bosconcntricos , ies igual para el flujo no-newtoniano que para el newtoniano?2.h Escurrimiento de lquidos 1Se desea conocer la cantidad de lquido que quedk retenido sobre la superficie intema$e unvaso grande cuando se vacia. En la Fig. 2.R se indica lo que ocurre en las proximidades de k pa-reddel vaso. El espesor-local de la pelcula es una funcin de z y f.Fig. 2.R. Adherencia de un liquido viscoso a las paredes de un vaso durante el vaciado.n. Aplicar un balance no estacionario de materia a un elemento de pelcula comprendido en-trez y-z + AZ, y demostrar que(2.R-1)b. Utilizar la Ec. 2.2-18 con el fin de obtener la siguiente ecuaci6n diferencial parcial de pri-merorden para 6(z,f):(2.R-2)11 Para un tratamiento ms amplio de este problema, dase 1. J. VAN RCS.WM, Appl. Sci. Rq-seurch,A7, 121-144 (1958). . 91. DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINARsuposiciones son inherentes a lac. Demos-e resolviendo la se obtiene2-396 J PE= rn;deben ponerse a resultado?Flujo de grasas deSe ha supuesto el siguiente modelo para el estudio del flujo de grasas no-newtonianas en tuboscirculare&:=,+ AZ AY(PW,~, - ~wAs+~.3 (3.2-2)De igual forma, la.velocidad con la que elcomponente x de la cantidad d movi-mientoentra por transporte molecular por la cara situada en x es r,,I,dydz, y lacon la que sale por x + dx es t,,lx+dx d yAZ. La velocidad con que entra por yes tXY&lxdz; para las otras tres caras se pueden obtener expresiones similares (vaseFig, 3.2- 1). Tngase en cuenta que tvx es la densidad de flujo de cantidad de movi-mientox a travs de una cara perpendicular al eje y. Sumando estas seis contribu-ciones,se obtiene 1AY A+q& - ++ AzAti~.sls - (3.2-3)Obshvese que, de igual forma que antes, estas densidades de flujo de cantidad demovimiento pueden considerarse como esfuerzos. Por lo tanto, tzz es el esfuerzonormal que acta sobre la cara x, y tvr es el esfuerzo tangencial (0 cortante) que actasobre la cara y en la direccin x, y que resulta como consecuencia de las fuerzasviscosas.En la mayor m de las casos, las nicas fuerzas importantes sern las proce- 100. 3-8 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOdentes de la presin del fluido p y la fuerza gravitacional por unidad de masag.La resultante de estas fuerzas en la direccibn x ser, evidentementeAY + (3.2-4)La presin de un fluido en movimiento est definida por la ecuacibn de estado p=p(p, T), y es una magnitud escalar.Finalmente, la velocidad de acumulacin de cantidad de movimiento x en elelemento es dx&lz(~pv,~~t). Substituimos ahora las anteriores expresiones en laEc. 3.2- 1. Dividiendo toda la ecuacin que resulta por dxdydz, y tomando ellimite cuando dx, dy e dz, tienden acero, se obtiene el componente X de la ecuacinde movimiento:(3.24)Los componentes y y z, que pueden obtenerse de una forma analoga, son&pu.- - (; PVWVW + zaYPWV + ; PVV)ap- y + Pa (3.2-6); PU = -fx PVWV, + 2 PV, + g P%V,(aY )a a a- 7, + - TV + - 7.1ap-ax ag a2- s + Pg, (3.2-7)Las magnitudes pvw, pvv, pu, son los componentes del vector velocidad msica po;de igual forma, gX, g,,, g,, son los componentes de la aceleracin gravitacional g.Por otra parte, dplax, ap/Yy, api&, son los componentes de un vector Vp, denomi-nadogradiente de p)~ (a veces se escribe grad p). Los trminos pvgw, pv,gv, pvwv,,pv,v,, etc., son los nueve componentes de la densidad de flujo convectivo de can-tidadde movimiento ptw, que es el producto didico* de po y o. Analogamente,= 119 Gy, xx,9 xv,, etc., son los nueve componentes de T, que es el tensor esfuerzo.Como las Ecs. 3.2-5, 6, 7 ocupan mucho espacio, es conveniente combinarlas conel fin de obtener la sencilla ecuacin vectorial:- -* Se da el nombre de productos di&dkos o simplemente diadas, a los tensores que esultan demultiplicar entre si dos vectores. (N. del T.) 101. ECUACIONES DE VARIAC16N PARA SISTEMAS ISOTERMICOS 3-9;pu =velocidad ded edaddcpor unidad dovolumen puu]velocidad dede cantidad deporpor unidad devolumen- Pdvelocidad de& cantidad demiento porporvolumen-VPfuerza doque sobre elpordad de volumen+ Pgde gravita-qu epor(3.24)Es preciso advertir al lector que[V poo] y [v T] no son divergencias simples, debidoa la naturaleza tensorial de puu y T. Sin embargoi la interpretacibn fsica es anlogaa la de ( pu) en Q 3.1; mientras que ( pu) representa la velocidad de pbrdida demateria (un escalar) por unidad de volumen debida al flujo del fluido, la magnitud[V * puu] representa la velocidad de phdida de cantidad de movimiento (un vector)por unidad de volumen debido al flujo del Huido. La Ec. 3,.2-5 puede reordenarse,con ayuda de la ecuacin de continuidad, para obtener!&?* Dt( 3 . 2 - 9 )Para los componentes y y z pueden obtenerse expresiones anhiogas. Sumando vec-torialmentelos tres componentes, se llega ti:Du 1Pz= -VP -P*4 +pgmasa por unidad de viscosa fuerza (3.2- 10)do sobre al elemento sobre el ele-porp o r por por unidadvolumenLa ecuacin de movimiento, expresada en esta forma, establece c#e un pequefioelemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las fuerzas queactan sobre kl. En otras palabras, es una expresin de la segunda ley de Newton,segn la cual, masa x aceleracin = suma de fuerzas. Vemos, por lo tanto, que elbalance de cantidad de movimiento es totalmente equivalente a la segunda ley deNewton del movimiento. Obsrvese que las dos formas de la ecuacin de movimientoque se dan en las Ecs. 3.2-8 y 3.2-10, corresponden a las dos formas de la ecua-cinde continuidad de las Ecs. 3.1-4 y 3.1-6. En cada caso, la primera forma re-presentaun balance aplicado a un elemento de volumen fijo en el espacio, y la s-gundaes una descripcin de las variaciones que tienen lugar en un elemento quesigue el movimiento del fluido. Es necesario tener en cuenta que las Ecs. 3.2-5.a 10son vlidas para cualquier medio continuo. 102. 3-10 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOCon e! fin de utilizar estas ecuaciones para determinar las distribuciones de ve-locidad,hay que expresar los distintos esfuerzos en funcin de los gradientes develocidad y las propiedades del fluido. Para fluidos newtonianos, estas expresionesson1 :722 = + iQ4v .u) (3.2-11)Tlw = -2JJ + (3.2-12):721 = 4pav. + (3.2-13)Tzr = Tvs = -#u (3.2-14).Tvs = -TS = -p (3.2-15)7 LZ = Tzr = -Cr (3.2-16)Las Ecs. 3.2- 11 a 16 se han expuesto aqu sin demostracin, debido a que es dema-siadolarga*. Estas ecuaciones, que constituyen un planteamiento ms general dela ley de Newton de la viscosidad, correspondiente a la Ec. 1.1-2, se aplican a loscasos complejos de flujo, en los que el fluido circuia en todas las direcciones. Cuandoel fluido circula en la direccin X, entre dos hminas perpendiculares a Ia direc&n y(tal como se ha representado en la Fig. 1.1- l), de forma que V, es una funcinexclusiva de y, de esta serie de seis ecuaciones se obtiene rxx = zW = T,, = Ti, =7 ?%* = 0 y TV% = - ,~(rivJd$X que es idntica a la Ec. 1.1-2. Por consiguiente, ladefinicin de viscosidad que se ha dado en el Captulo 1 est de acuerdo con estadefinicin ms general.Substituyendo las Ecs. 3.2- 11 a 16 en la Ec. 3.2-9 y las ecuaciones correspon-1 En realidad. los esfuerzos normales. deberan contener un tkmino adicional; por ejemplo,la Ek. 3.2-11 debiera ser7rr = -FZ + (3.2-1 la)en la que K es la viscosidad de conjunto. La viscosidad de conjunto es cero para los gases mono-atomicosa baja densidad y probablemente no es demasiado importante para los gases densosy los lquidos. Formulas para estimar el valor de K se pueden encontrar en J. 0. HIIWHFELDER,C. F. CURTISS y R. B. BIRD. 2% molecular Tkeory ofguses and Liquidr, Wiley. Nueva York (1954).p. 503 (gases poliatmicos diluidos) p. 647 (gases densos). Las medidas experimentales han sidotrat.adas por S. M. KARIM y L. ROSENHEAD. Revs. Mod. fhys.. 24, 108-116 (1952).2 H. LAMB, Hydrodynamics. Dover, Nueva York (1945). Sexta edicin. pp. 571-575; vease tam-bienE. U. CONDON, Handbook of Physics, E. U. Condon y H. Gdishaw (Edts.), McGraw-Hill,Nueva York (1958), pp. 3-10 a 3-13. 103. ECUACIONES DE VARIACI&N PARA SISTEMAS 3-11dientes para y y 2, se obtienen las ecuaciones generales de movimiento para un fluidonewtoniano que presenta variacin de la densidad y la viscosidad: D** - _ ap Dt z2- &c45 M4+ ;[p(? + 2)] + E[p(% + $)] + pg, (3.2-17)Do,= 8P D t-;+$JA($+$+)] +&[2p!pp(v.v)](3.2-18)(3.2-19)Estas ecuaciones, juntamente con la ecuacin de continuidad, la ecuacin deestado p = p(p), la variacin de la viscosidad con la densidad p = p(p) y las con:diciones iniciales y lmite, determinan completamente la presin, densidad y loscomponentes de la velocidad, para el flujo isotrmico de un fluido.Rara vez se utilizan estas ecuaciones en su forma completa para el planteamientode problemas de flujo, sino que generalmente resulta ms conveniente emplear for-masrestringidas de las mismas.(i) Para e constante y p constante, las Ecs. 3.2- 17, 18 y 19, Queden simplificarsemediante la ecuacin de continuidad [(V * v) = 0] para obtenei-:DoPE= + + Pl! (3.2-20)Los componentes cartesianos de esta ecuacin vienen dados por las Ecs. (D), (E)y (F) de la Tabla 34-2. La Ec. 3.2-20 es la conocida ecuacin de Navier-Stokm.obtenida inicialmente por Navier en Francia, en 1822, mediante cocsideracionesmoleculares.(ii) Pura 71 = 0, la Ec. 3.2-10 se reduce aDvPiji= -vp + Pii (3.2-21)3 El operador = + + se denomina laplaciana (para ms detallesvase (5 A.3).4 Para un tratamiento interesante sobre la historia de esta y otras famosas relaciones de me-cnicade fluidos, vase H. Rousa y S. INCE, Hisrory ojHydruu/icr, Iowa Institute of Hydraulics,Iowa City (1959). 104. 3-12 TRANSPORTE. ,DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOwLa Ec. 3.2-21 es la famosa ecuacin de Euler,5 deducida por primera vezen 1775, y que ha sido muy utilizada para describir sistemas de fiujo en los que losefectos viscosos son relativamente poco importantes.$ 3.3 LA ECUACIGN DE ENERGfA MECNICAEn esta seccin vamos a demostrar cmo se puede utilizar la ecuacin de movi-mientopara obtener una descripcin de las interconversiones de energa mecnica-quetienen lugar en un fluido en movimiento. Se comienza por formar el productoescalar de la velocidad o con la ecuacin de movimiento correspondiente a laEc. 3.2~ 10:p & (iv21 = + (3.3-1)Esta ecuacin escalar describe la velocidad de variacin de la energa cintica porunidad de masa ($24 para un elemento de fluido que se mueve con la corriente.Para el tratamiento que se hace a continuacin, resulta ms conveniente escribiresta ecuacin en funcin de d/dt, utilizando la ecuacin de continuidad; separaremostambin en dos trminos cada una de las contribuciones viscosa y de presin. Lostrminos de la ecuacin que resulta pueden interpretarse en ,funcin de un elementoestacionario de volumen a travs del que circula el fluido.velocidad de in-wemcntode encr-giacin&ica po*unidad de volu-malvelocidad neta de en-tradade encrgla chStica debida PI flujoglobal PU)velocidad de trebejoproducido por la pre-si6nde los elrededo-rossobre el elementode volumenvelocided de trabajoproducido por lesfuerzas viscosas queactiran sobre e l e l e -mento de volumenvelocidad de trebejoproducido por la fuer-zade pravedad queactha sobre el elemon-fode volumen- p(-Veu)velocided do con-voni6nrcvrrsibken energh interne- (4 : Vo)velocidad de con-vcnihNrewrri-blcen encrgle in-terne(3.3-2)5 Pronnciese Oilenh 105. ECUACIONES DE VARIACldN PARA SISTEMAS LSOT$RMICOS 3-13En este momento no se ve con claridad la razn de haber atribuido el mencio-nadosignificado fsico a los trminosp(V * o) y(~ : Vu);dicho significado no puedeapreciarse de una forma adecuada mientras no se estudie el balance de energia delCaptulo 10, en el que puede observarse que estos dos mismos terminos, cambiadosde signo, entran a formar parte de la ecuacin correspondiente a la energia interna.Es preciso hacer notar que para fluidos newtonianos(--r : Vo)es siempre positi-vo,ya que puede expresarse como una sum 4 de trminos elevada al cuadrado:en la que i y j afectan a los valores de x, y, z, siendo dii = 1 para i = j, y 8ij = 0para i# j. (En la Tabla 3.4-8 se expresa Gv para diversos sistemas coordenados).Esto indica que en todos los sistemas de flujo existe una degradacin de energamecanica a energa calorfica, y que, por lo tanto, los procesos reales no son rever-sibles.En ausencia del trmino (7 : Vu) todas las formas de energla comprendidasen la Ec. 3.3-2 (cintica, interna y potencial) seran completamente converti-blesentre s.Debido a los trminos p(V * u) ~(7 : Vtt),el fluido puede calentarse (o enfriarse)internamente. Por lo tanto, cuando se habla de un sistema isotrmico, en realidadnos referimos a un sistema en el que el calor generado (ocabsorbido) no da lugara una variacin apreciable de temperatura. La variacin de temperatura debido alt&minop(V o)es considerable en el caso de gases que sufren una expansion o com-presinbrusca, como en compresores, turbinas, etc. La variacin de temperaturaque se produce a causa del trmino(le : Vu)slo puede apreciarse en sistemas conelevada velocidad de flujo, en los que los gradientes de veiocidad son grandes, comoocurre en el vuelo a alta velocidad, extrusin rpida y lubrificacin. En $ 9.4 sepresenta una ihrstracin sobre este tipo de calentamiento.La Ec. 3.3-2 se utiliza en el Captulo 7 como punto de partida para la deduccindel balance de energa mecnica o ecuacin de Bernoulli.0 3.4 LAS ECUACIONES DE VARIACIN EN COORDENADASCURVILfNEASComo puede observarse, todas las anteriores deducciones se han efectuado paramayor sencillez, en coordenadas rectangulares. Sin embargo, no siempre las coor-denadasrectangulares son las ms convenientes para la resolucion de problemas,sino que ya en el Captulo 2 hemos visto que a veces resultan ms adecuadas lascoordenadas curvilneas. Por ejemplo, se ha visto que en el problema de Hagen-Poiseuille la velocidad axial z, es una funcin exclusiva de la nica variable r, cuandose utilizan coordenadas cilndricas. Si se hubiesen utilizado en cambio coordenadasrectangulares, zr, sera una funcin de las dos variables x e y. AnBlogament, eCplanteamiento de la condicin lmite para la pared del tubo sera ms difcil. El uso 106. 3-14 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOde coordenadas esfericas en el anlisis del flujo alrededor de una esfera, permitedescribir la velocidad en funcin de los dos componentes V, y ve en vez de v,, uY y v,,dando lugar tambin a una simplificacin de las condiciones lmite. Anlogas ven-tajaspueden obtenerse para las coordenadas curvilneas en el planteamiento de pro-blemasde flujo, debido a la simplificacin de las ecuaciones de. variacin.TABLA 1LA ECUACIN DE CONTINUIDAD EN DISTINTOS SISTEMAS COORDENADOSCoordenadas rectangulares (x, y, 2):Coordenadas eilindricas (r, 8, z):Coorahadm esfdricas (r, 0, 95):Las ecuaciones de continuidad y movimiento, tal. como se han obtenido cn5 5 3.1 y 3.2, estn, expresadas en funci6n de las coordenadas x, y, z, los componentesde la velocidad v,, v,,, II, y los componentes del esfuerzo cortante, T,, 7%,,, etc. Paraexpresar estas ecuaciones en coordenadas esfricas es preciso conocer: (u) las rela-cionesentre x, y, z y r, 6, # (vkase Fig. A..6-1); (6) 1aS relaciones entre v,, v,,, ul ylos correspondientes componentes u,, ve, v+; y (c) las relaciones entre T,,, T,,,, etc., T,~z,+ , etc. (En 6 A.6 se resumen las relaciones entre los componentes vectoriales y ten-sorials).El paso de coordenadas rectangulares a esfricas puede obtenerse medianteun procedimiento directo, pero resulta muy engorroso. No es preciso que el lectorsiga los detalles de este proceso, ya que en las Tablas 3.4-1, 2, 3 y 4 (y en otraspartes del libro) se tabulan importantes ecuaciones expresadas en coordenadasrectangulares, cilndricas y esfricas.A este respecto es conveniente advertir al principiante que, as como la ecuacinde continuidad puede obtenerse fcilmente en coordenadas curvilneas medianteun balance aplicado a una envoltura, no ocurre lo mismo con la ecuacin de mo-vimiento.En general, este m&odo es muy difcil de aplicar a sistemas con lneasde corriente curvas, y no es recomendable en tales casos. En vez de esto, se parti-rsiempre de las ecuaciones generales que se indican en 8 3.5. 107. ECUACIONES DE VARIACldN PARA SISTEMAS ISOTRMICOS 3-15TABLA 3.4-2LA ECUACIN DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS RECTAN,GULARES(xg,z)En funcin de T:componente xconipottettle ycomponente zEn funcin de los gradientes de velocidad para un fluido newtoni?no de p y p !constantes:componennte~ xcontponenre y@3++p ( azpJ$$ +Jg)(E).avcottfpoftenle z p ~+v.2+vy$+v.~( .)=-maP1 108. TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOTABLA 3.4-3-LA- ECUAkN DE MOVLMIENTO EN COORDENADAS ClLfNDRICAS (r, 0, z)E n funcih d e 7:componentecomponenlecomponente z,P (;+u,z+Tg+En funci6n de los gradientes d.: v:locidad para un fluido newtoniano de p y /L consqntes:componentecomponentecomponente zJao, 3% P (WI9 auatar +T +y++v,, = -;-&gp El tkmino es la fuerza Corresponde a la fuerza efectiva en la dkecci6n rque resulta del movimiento del fluido en la direccin 0. Este tkmino aparece automticamenteen la transformach de coordenadas rectangulares a cilndricas. En los ejemplos 3.5 - 1 y 3.5 -2se estudian dos problemas en los que interviene este trmino.b El trmino es la fuerza de Coriolis. Esluna fuerza efectiva en la direccin B cuandoexiste flujo en ambas direcciones r y 8. Este trmino aparece tambin automhicamente en la trans-formacincoordenada. La fuerza de Coriolis interviene en el problema del flujo en las inmedia-cionesdeun disco que gira. (Vease, por ejemplo. H. Bounary-Layer Theory, McGraw-HiU, Nueva York (1955), Captulo 5, 8 10.) 109. ECUACIONES DE VARIACldN PARA SISTEMAS ISOTl?RMICOS 3-17TABLA 3.4-4LA ECUACIN DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFRICAS (r. 0, 4).-. - -En funcin de r:componenle rI--awPf $ VT,,) + k. $ (~~0 =n 0)ar (1+aTrb 700 + 744- - - - rscn0 * r >+pg,componente 0(v4 ave +-i v+cote,;+,;+g!$+-- - -rsen 0 a+ r r 1*r4 2cote+-Y-+ -7r04)+ P84(4(BI 110. 3-18 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOTABLA (continuackh)En funcin de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de p y p constant&:componente r~+v,~+;+-- vg cot e0 avo 4 ao componente B p (rsen0 &p+y--r 11 aP 1 2 av,=r2sen2 0 ,r2sen20 * >63componente 4 p(0 8s%+v,>+T+u+ au+ udh v0v4- - + - +-cotersenO* r .r >- -1 a-P ( VZ,v+2rsene *-- +resene 8 r2senOa++ -r2sen2 - &j >+a En estas ecuaciones : 111. ECUACIONES DE VARIACIN PARA SISTEMAS ISOTI?RMICOS 3-19TABLA 3.4-5COM.PONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN COORDENADAS RECTANCU-LARES(xx, y, z)r+z = - 3(v * 4 1av, au, al,(v-u)=- +- +- a53 rn~ at 112. 3-20 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOTABLA 3.4-6COMPONENTES ESFUERZO EN COORDENADASfar,Trr = -p Zar - %cv * 4 1 (4[I a(v*o) = --1 ar, au,r ar CrL.r) + ; ae + xW(G) 113. ECUACIONES nE .VA RIACIC)N PARA SISTEMAS ISOTERMICOS 3-11:.TABLA 3.4-7COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN COORDENADAS ESFRICAS(r. 0. -c. A partir de la Ec. E de la Tabla 3.4-7 se obtiene la relacin entre T& y el gradientede vJr. Introduciendo esta expresin en la Ec. 3.5-32 se obtiene la siguiente ecuacindiferencial ordinaria para la velocidad angular local uJr:3s= 2&enso (3.5-33)Separando variables ektegrando, se obtiene la distribucin de velocidad angular:T =& [cotO+$ (ln~O)senO]+Ca (3.5-34)La constante de integracin, C, es cero, puesto que vb = 0 para 8 = ~12.d. Podemos escribir ahora la PC. 3.5-34 para el caso especial de que I3 = Ot =n/2 - Oey q = Rr sen Ot ., TiA =r 0 para i(%.:$ = VO/C; D = 4R,; Rh == c/a; -a = a, (1 - ), y, finalmente, Dp = 6/a,. Esto conduce a los siguientesresultados := fjfo . $ . ; p,a - -1E (6.4-11)P 2Los datos experimentales indican que 6fo = 3,50, con lo que se obtiene9-9L=,,, 11 2l-rL *jy-,Pop (6.4-12) 229. 6-22 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOque es la. ecuacin de Burke-Plummer, vlida para (1 -c)>-l > 1000. Esteresultado corresponde a un factor de friccin que viene dado porf = 0,875 9 (6.4-13)Obsrvese que la dependencia de E es diferente que para el flujo laminar.Sumando la ecuacin de Blake-Kozeny para el flujo laminar y la de Burke-Plummer para el turbulento, se obtienePo- pi2 _ 15OPUo (1 - eI2L+ 1,75pu,2(l - ) D,,3 --(6.4-14)Esta ecuacin puede expresarse en funcin de grupos adimensionales+(go ;Fp) (2) (&) = 150 ,;) + 1,75 (6.4-15)sta es la ecuacin de que se ha utilizado con xito para gases, tomandopara la densidad del gas la media artimtica de los valores a las presiones extremas.Sin embargo, para grandes cadas de presin es ms lgico utilizar la Ec. 6.4-14con el gradiente de presin en forma diferencial. Obsrvese que Ge es una constantepara todo el lecho, mientras que para un fluido compresible va vara a travs dellecho. El dimetro que se utiliza en esta ecuacin es el que se ha definido en la Ec.6.4-6.Obsrvese que para elevadas velocidades de flujo el primer trmino del segundomiembro desaparece y la ecuacin se transforma en la de Burke-Plummer. A bajasvelocidades de flujo, el que desaparece, en cambio, es el segundo trmino, y se ob-tienela ecuacin de Blake-Kozeny. En la Fig. 6.4-1 se representa grficamenteel comportamiento general de estas ecuaciones. Indicaremos, sin embargo, que laecuacin de Ergun es una de las muchas que se han propuesto para describir lacada de presin a travs de columnas de relleno.CUESTIONES PARA DISCUTIR1. Cmo se definira el factor de friccin para el flujo a travbs de un anillo y para el flujotransversal alrededor de un cilindro?2. Utilizar la Ec. 6.1-7 con el fin de obtener expresiones para la velocidad lmite de cadade una esfera, para las tres regiones que se consideran en 5 6.3.3. Es preciso modificar la Ec. 6.1-7 para esferas que son ms ligeras que el fluido y por con-siguientepara ascenso en vez de cada? En caso afirmativo, jcul ser la modificacin?4. C&t6 precaucin hay que tomar al utilizar las frmulas con factores de friccin tomadosde libros de consulta o trabajos originales?5. iCmo est relacionada la ley de Hagen-Poiseuille con la Fig. 6.2-2?6 S. ERGUN, Chem. Eng. Progr., 48, 89-94 (1952). 230. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTERMICOS 6-236. Comprobar las Ecs. 6.2-13 y 15 efectuando las operaciones que se omiten.7. Comparar los mtodos de calculo a seguir cuando se desea utilizar la Fig. 6.2-2 para hallar(a) la cada de presin, (b) la velocidad media, (c) el dimetro del tubo para una velocidad e Apdeterminadas, (d) el diametro del tubo para una velocidad volumetrica de flujo e Ap determina-das.Debe de evitarse el tanteo.8. Cmo se tienen en cuenta las condiciones lmite en las aplicaciones del andlisis dimensio-nalde las secciones 88 6.2 y 6.3?9. Contrastar las formas de las curvas de f frente a Re para tubos y esferas. Cual es la varia-cinaproximada de f con el Re en las distintas r;giones de estas grficas?10. Describir los argumentos fisicos que condl cen al establecimiento de la forma de la ecua-cinde Ergun (Ec. 6.4-15).ll. ~Por qu6 la curva de la Fig. 6.2-2, corrapondiente a la zona turbulenta, est situadapor encima y no por debajo de la prolongacin de la curva f = 16/Re?12. ~Que relacin existe entre la ecuacion de Blake-Kozeny (Ec. 6.4-9) y la ley de Darcy?(Wase problema 4.J).13. icmo se comportara el factor de friccin para el flujo no estacionario en un tubo? (Vea-seejemplo 4.1-2.) ~Serian aplicables las Ecs. 6.1-3 y 4?14. Discutir la utilidad de la relacin aproximada f =v24 24Re Re + 4.5 para el flujo alre- 1dedor de esferas.15. Demostrar, a partir de la Ec. 6.2-3, que f Re/2 puede interpretarse como el valor mediosuperficial del gradiente adimensional de velocidad en la pared de! t u b o .16. Estudiar el flujo de agua en una manguera de caucho de 1,2 cm de dimetro que esta cO-nectadaa un grifo cuya presin manometrica es de 5 atm.17. Comprobar que los segundos miembros de las Ecs. 6.1-4 y 6.1-7 son adimensionales.18. Un anuncio de baseball dice, Debido a la eleva& humedad del da de hoy, la pelota nopuede llegar tan lejos a trav6s del aire hmedo como lo hara con aire seco. Comentar crticamentela lgica de este anuncio.PROBLEMASDiferencia de presin necesaria para obtener una determinada velocidad de flujo con accesoriosHallar la diferencia de presin necesaria para bombear agua a 20C a trav6s de una tuberade 25 cm de dimetro y 1234 m de longitud con una velocidad de 1,97 m3 seg-1. La tubera eshorizontal y contiene cuatro codos normales de 90 y dos codos de 45. (Un codo normal de 90 es aproximadamente equivalente a la resistencia que ofrece una tubera de 32 di&netros; el de45 equivale a 15 dimetros.)t Respuesta: 315 atm.6.B1 Diferencia de para determinada velocidad de flujo con varia-cindePor una tubera normal de 3 pulgadas (dimetro interno 7,79 cm) y 29 m de longitud se bombaagua a 20 C hasta un deposito elevado, tal como se indica en la Fig. 6.B. (a) i Que presi6n es pre-cisocomunicar al agua a la salida de la bomba para elevarla al deposito con una velocidad de4,09 m3]h. (A 20 C la viscosidad del agua es de 1,002 cp y su densidad 0,9982 g ml-1.) (b) iQutanto por ciento de la caida de presin se necesita para vencer la friccin de la tubera?Respuesta: a. 1,03 atm.1 En 8 7.4 se indica otro metodo para el calculo de perdidas de carga en accesorios. 231. 6-24 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOFig. Flujo en una tubera.6.Cr Velocidad de flujo para una determinada dei, Cuntos m3/ hr de agua a 20 C circularan a trav6.s de una tubera lisa de 15, 2 cmde dimetro interno y 402 m de longitud, bajo una diferencia de presin de 0,017 atm? (u) Hallarla solucin por el mtodo A del ejemplo 6.2-2; (b) Utilizar el mtodo B del ejemplo 6.2-2. (c)Comparar el valor de que se. obtiene aqu con el del apartado e del problema 5.B. Supngaseque la tubera es hidr&ulicamente lisa.Respuesta: a y b: 15,4 m3 hr-1.Movimiento de esfera en liquidoUna esfera hueca de acero de 5,00 mm de dimetro y 0,050O g de masa, se deja caer en unacolumna de lquido y alcanza una velocidad lmite de 0,500 cm seg-1. La densidad del lquido es0,900 g cm-3 y la aceleracin local de la gravedad 980,7 cm seg-2. La esfera est suficientementealejada de las paredes del recipiente, de forma que su efecto es despreciable.u. Calcular la fuerza de resistencia en dinas.b. Calcular el coeficiente de resistencia (factor de friccin).c. Determinar la viscosidad del lquido en centipoises.Respuesta: a. 8,7 dinasb. f = 396c. p = 37ocp.de resistencia cuando no se conoce el de lau. iCmo se efectan los clculos de resistencia, utilizando la Fig. 6.3-1, cuando no se co-noceel dimetro de la esfera? Indicar como se puede evitar una solucin por tanteo.b. Rehacer el problema 2.C utilizando la Fig. 6.3-1.c. Rehacer el apartado (b) para una velo