ONDAS ELECTROMAGNETICAS

C.O. Dib∗, apuntes para la asignatura FIS-140, UTFSMDepto de Fısica, Universidad Tecnica Federico Santa Marıa, Valparaıso, Chile

(Dated: September 9, 2012)

Este artıculo introduce los temas de: (i) ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo; (ii) ondaselectromagneticas; (iii) ondas armonicas; (iv) polarizacion; (v) frentes de onda planos y esfericos;(v) energıa en la onda e.m. Esta es una version preliminar, de modo que leala en forma crıtica. Sitiene comentarios o correcciones, informe a su profesor[1].

I. ECUACIONES DE MAXWELL

A. Cargas y Corrientes

La ley clasica del electromagnetismo se describe mediantecargas y campos. Las cargas electricas pueden consider-arse “puntuales” si su distribucion espacial esta concen-trada en espacios mucho mas pequenos que cualquier otradistancia asociada al problema. De otro modo, hay queconsiderar la carga como algo distribuido en forma “con-tinua” en el espacio, y medirla mediante una funcion de“densidad” de carga (cantidad de carga por unidad devolumen) ρ(~r). Ası, la carga que hay en un volumen Vdel espacio es la integral de ρ(~r) en ese volumen:

Qdentro de V =

∫∫∫V

ρ(~r)dV (1)

EJERCICIO: Considere una esfera con una densidad decarga esfericamente simetrica ρ(r) = ρ0e

−r/r0, donde ρ0y r0 son constantes. Calcule la carga total. Calcule elvalor promedio del radio de carga (piense como definir elradio promedio de la carga).

Ademas de la densidad de carga, otro concepto impor-tante asociado a la carga electrica es la corriente y ladensidad de corriente. En un sistema en el que las car-gas electricas esten en movimiento, se define la corrienteelectrica (o flujo de carga electrica), I, como la cantidadde carga que cruza una superficie dada del espacio, enuna unidad de tiempo.

EJERCICIO: Por el cable que alimenta un foco de au-tomovil pasa una corriente de 10 Ampere (=Coulomb/s).Siendo la carga del electron igual a e = −1.6 × 10−19

Coulomb, calcule cuantos electrones cruzan una secciondel cable en cada segundo.

Ahora bien, el flujo de carga que cruza una cierta super-ficie no tiene por que ser igual en todas partes: puedeser mas intenso en una zona y mas debil en otra. Para

∗Derechos reservados. Reproduccion total o parcial del materialrequiere permiso del autor.

caracterizar esta variacion espacial, se define una densi-dad de corriente (o densidad de flujo de carga), como lacantidad de corriente que pasa por cada unidad de area,~J(~r), de modo que la integral de la componente normal

de ~J(~r) sobre una superficie dada S es la corriente netaque cruza esa superficie:

Ique atraviesa S =

∫∫S

~J(~r) · d~S (2)

EJERCICIO: Considere un canal recto de seccion rect-angular, por el que pasa agua. Considere que el canaltiene ancho a, el agua en el canal tiene una profundidadh, y la densidad de flujo de agua (litros de agua por cadacm2 por cada segundo) es una funcion dependiente de laaltura y, medida desde el fondo:

J(y) = J0y

h, (3)

donde J0 es una constante (igual a la densidad de flujo enla superficie). La densidad de flujo es cero en el fondo yaumenta linealmente con la altura, probablemente debidoal roce en el fondo del canal. Calcule el caudal en elcanal (cantidad de litros que cruzan la seccıon completadel canal cada segundo).

B. Campos

En Fısica, se denomina Campo a una cantidad fısica dis-tribuida continuamente por el espacio y que, en general,depende del tiempo. La temperatura en la atmosfera, lapresion y la gravedad son ejemplos de campos:

T (~r, t), p(~r, t), ~g(~r). (4)

Los dos primeros son campos escalares (su valor no de-pende de la orientacion de los ejes de coordenadas), y elultimo es un campo vectorial (su valor esta dado por trescomponentes, que sı dependen de la direccion de los ejescoordenados). La interaccion electromagnetica es uno delos tipos fundamentales de interaccion, y ocurre entrepartıculas elementales que tengan carga electrica. Las

2

otras interacciones fundamentales son la Gravitacion, laInteraccion Fuerte (que mantiene unidos a los nucleosatomicos) y la Interaccion Debil (que permite la trans-mutacion de la materia, como en el decaimiento beta nu-clear).

La interaccion electromagnetica se puede describir me-diante un par de campos vectoriales: el campo electrico~E(~r, t) y el campo magnetico ~B(~r, t). Aunque en generalestos campos no son independientes, apareciendo ambosen la mayorıa de las situaciones, hay casos en los queaparece un puro campo electrico (cuando solo hay car-gas estaticas), o un puro campo magnetico (cuando solohay corrientes estaticas). En otros casos, ambos camposaparecen.

C. Ecuaciones de Maxwell

Los campos electricos y magneticos pueden tener una in-finidad de formas en el espacio, pero no cualquier forma:en cada punto del espacio deben obedecer las Ecuacionesde Maxwell. Estas son ecuaciones diferenciales que de-finen la dinamica de los campos (la forma como evolu-cionan en el tiempo) y su distribucion en el espacio. Lasecuaciones de Maxwell son completamente restrictivas,en el sentido de que si uno conoce la distribucion de car-gas y corrientes en el espacio (y condiciones de borde siel espacio considerado no es infinito), los campos quedandeterminandos en forma unica.

James Clerck Maxwell (1831-1879) no establecio todasestas ecuaciones, sino solo arreglo la ultima de ellas paraque el conjunto fuera consistente y completo. Las ecua-ciones, en su forma integral, son:

∮S0

~E · d~S =Qint

ε0(Gauss),∮

S0

~B · d~S = 0 (sin nombre),∮C0

~E · d~ = −dΦmag

dt(Faraday),∮

C0

~B · d~ = µ0I + µ0ε0dΦE

dt(Ampere−Maxwell)

La ley de Gauss dice que el flujo electrico (“numero delıneas de campo electrico”) neto saliente de una superfi-cie cerrada S0 es proporcional a la carga electrica en elvolumen interior a la superficie. Dado que S0 es com-pletamente arbitraria, en cualquier vecindad donde nohaya carga neta, las lıneas de campo electrico deben sercontinuas.

La segunda expresion dice algo similar a la ley de Gauss,pero para el campo magnetico, en cuyo caso las lıneas

de ~B siempre son continuas, pues no existen “cargas”magneticas.

FIG. 1: Flujo neto cero saliendo de superficie cerrada.

La ley de Faraday dice que la circulacion del campo

electrico (integral de la componente de ~E a lo largo de

un camino cerrado, o algo ası como el “trabajo” de ~Een un camino cerrado) es igual a la tasa de cambio deflujo magnetico abrazado por la curva. El signo “menos”no significa algo “negativo” u “opuesto”, sino algo masbien geometrico: el sentido en el que se mide el flujo re-specto a la orientacion en que se recorre la curva cerradaes opuesto al indicado por la regla de la mano derecha(para toda superficie infinitesimal, uno define un vectornormal a la superficie y una direccion de circulacion porel borde de la misma de modo tal que cuando los dedoscurvados de la mano derecha se orientan segun la circu-lacion, el pulgar debe indicar el sentido del vector normalal area).

C0

n

FIG. 2: Referencias para la ley de Faraday: si la curva C deintegracion de ~E es recorrida en la direccion de la flecha, elarea por donde pasa el flujo magnetico es medida en direcciondel vector n. El signo “menos” en la ley de Faraday significaque el flujo magnetico cambia en sentido opuesto a n.

La ley de Ampere-Maxwell es la extension que hizoMaxwell a la ley de Ampere (A.M. Ampere, 1775-1836):∮

C0

~B · d~= µ0I.

La ley de Ampere establece que la circulacion (integral enun camino cerrado) del campo magnetico es proporcionala la corriente electrica neta encerrada por la trayectoria.

Esto, noto Maxwell, es inconsistente con la conservacionde la carga electrica. Veremos eso mas abajo.

3

C0

n

FIG. 3: Referencias para la ley de Ampere: si la curva C deintegracion de ~B es recorrida en la direccion de la flecha, lacorriente encerrada es medida en direccion del vector n.

Las mismas ecuaciones en forma diferencial son:

∇ · ~E =ρ

ε0(Gauss),

∇ · ~B = 0 (sin nombre),

∇× ~E = −∂~B

∂t(Faraday),

∇× ~B = µ0~J + µ0ε0

∂ ~E

∂t(Ampere−Maxwell).

Veamos ahora el trabajo de Maxwell. Considere unacurva cerrada y una superficie cuyo borde sea esa curva.La validez de la Ley de Ampere no depende de la formade la superficie, de modo que podemos escoger una su-perficie con forma de globo. Aplicando la ley de Am-pere al caso en el que la curva se reduzca a un punto,

C0 → 0, claramente la integral de circulacion de ~B seanula, quedando la relacion:∮

C0→0

~B · d~ = µ0Isaliente

0 = µ0Isaliente. (5)

I

C0→ 0

Q

FIG. 4: Al reducir la curva C a un punto, la superficie porla que pasa la corriente I queda cerrada. En esa situacion, lacorriente neta saliente no puede ser siempre cero (como afir-marıa la ley de Ampere), sino igual a la tasa de disminucionde la carga encerrada en el interior, −dQ/dt.

Esto dice que la corriente neta que sale de cualquier su-perficie cerrada es cero. Esto es falso en general, pues

implicarıa que ninguna carga jamas podrıa moverse: con-sidere una superficie cerrada y una carga en su interiorque se esta moviendo. Como la carga se esta moviendo,en algun momento va a tener que salir, cruzando la su-perficie. En ese instante, la corriente neta saliendo de lasuperficie no es cero!.

D. La ecuacion de continuidad

La carga electrica es una cantidad conservada (de hecho,es una de las pocas cantidades fısicas que se conservansiempre y en todo proceso). La carga no puede simple-mente desaparecer en un lugar y aparecer en otro, sinoque debe fluir de un lugar a otro. Considere una super-ficie cerrada, que encierra cierto volumen interior, en elcual se encuentra una cierta cantidad de carga. La cargainterior solo puede disminuir si esta logra salir cruzandola superficie. Siendo Qint la carga interior, la tasa dedisminucion de la carga serıa −dQint/dt. En tal caso,la corriente Isale que atraviesa la superficie hacia afueradebe ser igual a esa cantidad:

Isale = −dQint

dt.

Esto significa que toda la carga que desaparecio del inte-rior debio haber salido a traves de la superficie; no puedehaber carga que simplemente se haya “esfumado”.

La relacion anterior se puede escribir en terminos de ladensidad de carga interior ρ(~r) y de la densidad de cor-

riente ~J en la superficie:

∮S0

~J · d~S = − d

dt

∫V

ρ(~r)dV.

Podemos escribir esto en forma diferencial si tomamoscomo V un cubito infinitesimal, de volumen dV . En talcaso, el flujo de corriente saliente del cubo es simplemente

∇· ~J dV . Por otro lado, la tasa de cambio de carga interiores −∂ρ/∂t dV . Ası, la relacion de conservacion en formadiferencial queda:

∂ρ

∂t+∇ · ~J = 0

A este tipo de relacion (entre la densidad volumetrica

ρ y la densidad de flujo ~J de una cantidad conservada)se le llama Ecuacion de Continuidad, porque expresa elhecho de que la cantidad conservada, para cambiar en uncierto lugar, debe hacerlo “fluyendo” continuamente porel espacio hacia otro lugar.

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E. El trabajo de Maxwell

Para arreglar el problema de la Ec. 5, Maxwell reemplazala corriente en el lado derecho por un autentico cero,escrito en terminos de la corriente (nada malo con eso!):

∮C0→0

~B · d~→ 0 = µ0

(Isaliente +

dQint

dt

)Ahora expresamos el lado derecho en forma de integralessobre la superficie (cerrada, en este caso):∮

C0→0

~B · d~→ 0 = µ0

(∮S0

~J · d~S +d

dt

∫V

ρdV

).

Note que la integral de la izquierda es de un caminode largo nulo, la segunda integral es sobre la superfi-cie (cerrada) y la tercera es en el volumen interno a lasuperficie cerrada. Por supuesto, esto no es otra cosaque la ecuacion de continuidad. El problema es que laley de Ampere no se refiere a un camino nulo ni a unasuperficie cerrada, sino a un camino cerrado, borde deuna superficie abierta. Pero en la expresion anterior nopodemos abrir la superficie, porque entonces la integralsobre el “volumen interior” carece de sentido. El ingeniode Maxwell esta primeramente en escribir la integral devolumen como una integral de superficie, usando la leyde Gauss:

∮C0→0

~B · d~→ 0 = µ0

(∮S0

~J · d~S +d

dt

∮S0

ε0 ~E · d~S).

El segundo punto genial es un salto al agua: suponerque esta relacion (que hasta aquı no es otra cosa que laecuacion de continuidad) sigue siendo valida para unasuperficie abierta, donde la integral de camino sea sobreel borde (curva cerrada) de la superficie:

∮C0

~B · d~= µ0

(∫S

~J · d~S +d

dt

∫S

ε0 ~E · d~S).

En forma diferencial, esto significa:

∇× ~B = µ0~J + µ0ε0

∂ ~E

∂t. (6)

Por supuesto, no hay como demostrar la validez fısica deesta expresion sin hacer experimentos que la comprueben(el hecho de que la expresion sea matematicamente con-sistente, no quiere decir que corresponda en verdad a unaley del mundo fısico), de modo que atreverse a aseveraresto es un golpe de intuicion...que experimentalmente re-sulta ser correcto!

Al termino ε0∂ ~E/∂t se le denomina “corriente de des-plazamiento”.

II. ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Considerando las ecuaciones de Maxwell en el vacıo (es

decir, ρ = 0 y ~J = 0), se nota una clara simetrıa:

∇ · ~E = 0, ∇× ~E = −∂~B

∂t,

∇ · ~B = 0, ∇× ~B = µ0ε0∂ ~E

∂t.

Las dos ecuaciones de la izquierda dicen que las lıneas delos campos son continuas. Esto es una restriccion casi pu-ramente geometrica. Las dos ecuaciones de la derecha, encambio, expresan la dinamica: la evolucion de los camposen el tiempo depende de su forma en el espacio.

Por supuesto, sin especificar nada mas, hay infinitas for-mas de campos que satisfacen estas ecuaciones. Algunoscasos especiales son, por ejemplo, los campos estaticos(sin dependencia en t). En tales casos, las derivadas tem-porales son cero. En particular, el campo electrostatico

satisface entonces: ∇× ~E = 0, que implica que el campoes conservativo (la integral sobre un camino cerrado escero) y permite entonces definir en todo el espacio unafuncion de potencial electrico.

Pero en nuestro caso, queremos ver otra cosa: estas ecua-ciones implican que los campos electrico-magneticos sepueden propagar en el espacio como ondas! Veamos:

Tomamos el rotacional de la ecuacion de Faraday, luegotomamos la derivada temporal de la ecuacion de Ampere-Maxwell, y finalmente igualamos las expresiones, obte-niendo:

∇×(∇× ~E

)= −µ0ε0

∂2 ~E

∂t2. (7)

No es muy difıcil probar que:

∇×(∇× ~E

)≡ ∇

(∇ · ~E

)−∇2 ~E, (8)

y segun la ley de Gauss, el primer termino de la derechaes cero, de modo que la ecuacion anterior queda:

∇2 ~E = µ0ε0∂2

∂t2~E. (9)

Esto es la ecuacion de onda!

EJERCICIO: Se puede probar de manera similar que elcampo magnetico satisface la misma ecuacion de onda;hagalo!.

El operador diferencial ∇2 se llama Laplaciano, y en co-ordenadas cartesianas tiene una forma muy simple:

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2. (10)

5

A. Ondas en Una Dimension Espacial

Queremos estudiar ondas que avancen solo en direcciondel eje z. Para ello, supongamos un caso simple en el

que los campos ~E(x, y, z, t) y ~B(x, y, z, t) no dependande x ni de y, sino solo de z (y por supuesto de t). Deinmediato, la ecuacion de onda se reduce a:

∂2

∂z2~E(z, t) = µ0ε0

∂2

∂t2~E(z, t). (11)

Pero eso no es todo: debemos ademas satisfacer la ley de

Gauss (condicion geometrica) ∇· ~E = 0, que en este casoqueda:

∂

∂zEz(z, t) = 0, (12)

es decir, la componente z del campo es uniforme en elespacio (no depende de z, ni tampoco de x ni de y, deacuerdo a lo supuesto). Al no tener variacion en z, Ezno entra en el lado izquierdo de la ecuacion de onda (quesolo tiene derivada en z). Por lo tanto, vamos a descartaresta componente: supongamos que Ez = 0.

Ası, el campo electrico solo puede tener componentes xe y. Ademas, solo puede depender espacialmente de z(lo cual es automaticamente consistente con la ley deGauss). Supongamos que el campo apunta en direccionx. La ecuacion de onda queda:

∂2

∂z2Ex(z, t) = µ0ε0

∂2

∂t2Ex(z, t). (13)

Cualquier funcion de la forma E(z, t) = E(z − c t) au-tomaticamente satisface la ecuacion de onda, con tal que:

c2 =1

µ0ε0. (14)

Note que si E(z) como funcion de z tiene cierta formagrafica, como por ejemplo, en la figura,

entonces E(z− c t), para t > 0, tiene la misma forma quepara t = 0, pero desplazada hacia los z positivos en unadistancia c t. En otras palabras, la forma de la onda semantiene, pero se va desplazando continuamente hacia laderecha a una velocidad igual a c.

EJERCICIO: Usando las ecuaciones de Maxwell, de-muestre que para una onda electromagnetica que sepropaga en direccion +z y en la que el campo electricoapunta en direccion x, entonces el campo magneticoapunta en direccion y, y es proporcional al campoelectrico: By(z, t) = Ex(z, t)/c.

z

E

ct

E( z ) E( z – ct )

FIG. 5: Valor del campo electrico como funcion del espacio(coordenada z), en un instante t = 0 fijo, y en un instante tfijo, pero posterior.

B. Polarizacion

En una onda electromagnetica, los campos que ondulanson vectoriales, es decir, apuntan en alguna direccion es-pacial. Como vimos, los campos en la onda siempre sontransversales, es decir, apuntan en direccion perpendic-ular a la direccion de propagacion. A su vez, los cam-pos electrico y magnetico son perpendiculares entre sı,en cada punto del espacio.

Si conocemos la direccion de propagacion de la onda,sabemos entonces que el campo electrico debe apuntaren alguna direccion perpendicular a la propagacion. Lla-mamos polarizacion a esa direccion. Claramente, la di-reccion de polarizacion yace entonces en el plano perpen-dicular a la direccion de propagacion.

1. Polarizacion lineal

Se habla de polarizacion lineal cuando el campo electrico,en cualquier punto dado del espacio, oscila en una soladireccion.

Supongamos una onda armonica, de frecuencia ω ynumero de onda k, que se propaga en direccion z. Comoel campo electrico es transversal, su direccion (es decir,la polarizacion) debe ser perpendicular al eje Z.

Si esta onda tiene polarizacion lineal en direccion X, en-tonces la expresion para el campo electrico debe ser:

6

~E(z, t) = ı E0ei(kz−ωt). (15)

EJERCICIO: En este ejemplo, cual es la expresion parael campo magnetico? Cual serıa la expresion para loscampos electrico y magnetico en una onda linealmentepolarizada en direccion del eje Y?

Y

E

�

B

�

Z

X

FIG. 6: Onda e.m. que se propaga en direccion Z, polarizadalinealmente en direccion X. La figura muestra algunas lıneasde campo electrico (en direccion X) y de campo magnetico(en direccion Y), pero es importante entender que los camposno existen solo en el plano donde se dibujan, sino en todo elvolumen del espacio.

Si, en cambio, la polarizacion estuviera en el plano XYpero en el eje que esta a 45o del eje X, la expresion parael campo electrico serıa:

~E(z, t) =ı + √

2E0e

i(kz−ωt), (16)

donde el factor 1/√

2 asegura la norma unitaria del vectorde direccion.

Note entonces que una onda polarizada en direccion de45o en el plano XY se puede ver como una superposicionde dos ondas en fase y linealmente polarizadas, una endireccion X y la otra en direccion Y.

2. Polarizacion circular

Se habla de polarizacion circular cuando el campoelectrico, en cualquier punto dado del espacio, en vez deoscilar en una direccion del plano transversal, mantienesu modulo pero gira en dicho plano.

Una onda armonica con polarizacion circular se puederepresentar como la suma de dos ondas armonicas de

Polarización lineal Polarización circular

FIG. 7: Representacion grafica de dos ondas, una con polar-izacion lineal y la otra con polarizacion circular. Se muestraun plano transversal, en el que se indica la direccion que tieneel campo en distintos instantes (lınea punteada). Se mues-tran ademas las direcciones del campo electrico en el espacioanterior al area transversal.

igual frecuencia, polarizadas linealmente en direccionestransversales perpendiculares entre sı (ej. para una ondaque se propaga en direccion Z, polarizaciones en X y enY), y desfasadas en un cuarto de ciclo (π/4 radianes):

~E(z, t) = ı E0cos(kz − ωt) + E0sin(kz − ωt). (17)

la direccion del campo de esta onda sigue una especie dehelice en el espacio. Hay dos posibilidades de giro es-pacial, o quiralidad (del griego ”xiros”= mano): dere-cho o izquierdo (segun sigan la regla de la mano derechao izquierda: cuando los cuatro dedos se enroscan en ladireccion de giro, el pulgar de la correspondiente manodeberıa apuntar en la direccion de propagacion).

Giro derecho

FIG. 8: Giro derecho: la flecha curva (dedos) indica el sentidode giro del campo en el espacio al avanzar en la direccion depropagacion (pulgar).

Veamos la quiralidad en la Ec. 17: como queremos verel campo en el espacio en un instante t dado, tomemost = 0. El campo en z = 0 apunta en direccion +x; al des-plazarnos en la direccion de propagacion en un pequenoz, vemos que la componente x decrece (de cos0 = 1 a

7

coskz < 1) mientras que la componente y empieza aaparecer (de 0 a sinkz > 0). Eso claramente significaque el vector de campo electrico gira desde X a Y alavanzar en Z: eso es quiralidad derecha. Compruebelo.

EJERCICIO: Demuestre que la onda siguiente tienequiralidad izquierda:

~E(z, t) = ı E0cos(kz − ωt)− E0sin(kz − ωt). (18)

3. Polarizadores

Un vidrio, plastico o cristal polarizado es un mate-rial transparente que deja pasar solo la componente delcampo en una cierta direccion, absorbiendo la compo-nente perpendicular a la anterior. Lea sobre esto. Usual-mente se llama eje optico a la direccion en la cual elpolarizador es transparente.

EJEMPLO: Suponga que la onda e.m. dada en la Ec. 17incide sobre un vidrio polarizador, orientado en el planoXY . Suponga que el eje optico del polarizador tiene ladireccion del eje X. Entonces la onda a la salida delpolarizador tiene la expresion:

~E(z, t) = ı E0cos(kz − ωt). (19)

Note que aquı la onda incidente tiene polarizacion circu-lar. A la salida del polarizador, en cambio, la onda estalinealmente polarizada en la direccion del eje optico.

Existen materiales en los que la componente de la luz conpolarizacion en una cierta direccion viaja a una veloci-dad, y la componente polarizada en la direccion perpen-dicular viaja a otra velocidad. Estos materiales se lla-man birrefringentes (se llaman ası porque tienen dosındices de refraccion distintos). Uno de estos materialeses la Calcita (cristal de carbonato de calcio, CaCO3).

Lea sobre una placa de cuarto de onda, que es un dis-positivo optico para transformar una onda de cualquierpolarizacion en una onda de polarizacion circular.

EJERCICIO: Ası como la Ec. 17 muestra una onda depolarizacion circular expresada como una superposicionde dos ondas linealmente polarizadas (polarizadas en di-recciones mutuamente perpendiculares), ası tambien unopuede escribir una onda linealmente polarizada como lasuma de dos ondas de polarizacıon circular (polarizadascon quiralidad opuesta). Escriba una expresion para estoultimo.

C. La velocidad de la Onda Electromagnetica

Numericamente: µ0 = 4π × 10−7 T ·m/A y ε0 ≈ 8, 84 ×10−12 F/m, de lo cual se obtiene que c ≈ 2, 99× 108 m/s.Esta es la conocida velocidad de la luz. Si esto no leparece impresionante, note lo siguiente:

• Las leyes del electromagnetismo implican la exis-tencia de ondas electromaneticas que se muevenprecisamente a la velocidad de la luz...sera entoncesla luz visible una onda electromagnetica? (tenemosuna evidencia de la naturaleza de la luz!).

• Hemos deducido el valor de c a partir de µ0 y ε0, doscantidades que se miden en condiciones completa-mente estaticas y distintas: una se mide mediantela fuerza entre corrientes continuas y la otra entrecargas electrostaticas...sera entonces que la elect-ricidad y el magnetismo no son dos sino solo unamisma cosa a nivel fundamental?

Toda la evidencia posterior nos ha indicado que estasdos conjeturas son correctas: la luz es un fenomeno deondas electromagneticas y el electromagnetismo es unainteraccion unificada a nivel fundamental.

III. ONDAS ARMONICAS

A una onda en el vacıo o en un medio uniforme se le llamaonda armonica si en cada punto del espacio, su depen-dencia en el tiempo es sinusoidal (de una sola frecuencia).Por ejemplo, una onda armonica que se propaga en di-reccion +z y polarizada en direccion x se puede escribircomo sigue:

Ex(z, t) = E0 cos (k(z − ct)) ; Ey = Ez = 0

By(z, t) = B0 cos (k(z − ct)) ; Bx = Bz = 0

donde E0 = cB0 y k es una constante.

A. Fase, Frecuencia y Numero de Onda

Como en toda oscilacion, llamamos fase al argumentode la funcion sinusoidal, es decir, a lo que va dentro delparentesis en cos(...), o sin(...). La fase se mide en ra-dianes. A medida que avanza el tiempo t, la fase vacambiando. Cada vez que la fase cambia en 2π, el valordel campo completa un ciclo de oscilacion.

En el ejemplo anterior, si tomamos punto fijo en el espa-cio (z fijo), los campos oscilan periodicamente, con fre-cuencia angular ω = kc. La frecuencia angular es unconcepto asociado a oscilaciones: es el cambio que sufrela fase por cada unidad de tiempo. Se mide en unidadescomo rad/s. Note que si se trata de una onda, para des-cribir la oscilacion debemos escoger un punto fijo en elespacio, y observar el cambio de la fase en funcion deltiempo.

Si en vez de fijar z y observar la dependencia en t, fijamosel instante t y estudiamos la dependencia en z, notaremosque los campos tambien son periodicos en el espacio: ası

8

como ω es la frecuencia angular en el tiempo, asimismok es una “frecuencia” angular en el espacio: es la can-tidad de radianes que cambia la fase por cada metro dedistancia medida en la direccion de propagacion de laonda, en un instante fijo. Se le llama a k el numero deonda. Mutatis mutandis, para describir la ondulacion enel espacio, hay que escoger un instante dado en el tiempoy observar la onda en todo el espacio, simultaneamente(un, dos, tres, MOMIA ES!).

B. Perıodo y Longitud de Onda

Ası como el perıodo de una oscilacion es el tiempo re-querido para que la fase cambie en 2π (completando unciclo de oscilacion en el tiempo), asimismo, en una ondala longitud de onda es la distancia entre dos puntosen el espacio, medida a lo largo de la direccion de propa-gacion, entre los cuales la onda tiene una diferencia defase 2π.

Matematicamente, la fase de una onda que se propaga endireccion +z es de la forma:

φ(z, t) = k z − ω t. (20)

Podemos determinar el perıodo, fijando z = z0 y viendoel intervalo de tiempo ∆t que debe transcurrir en eselugar para que el cambio de fase, ∆φ, sea igual a 2π (nonos preocupemos del signo de la fase):

En general, si z= fijo, ∆φ = ω∆t.

Entonces, cuando ∆φ = 2π,

∆t ≡ T (periodo) =2π

ω.

Del mismo modo, podemos determinar la longitud deonda, fijando un instante t = t0 y viendo la distancia∆z que hay que desplazarse (en ese instante fijo) paraque el cambio de fase, ∆φ, sea igual a 2π:

En general, si t= fijo, ∆φ = k∆z.

Entonces, cuando ∆φ = 2π,

∆z ≡ λ (longitud de onda) =2π

k.

IV. NOTACION COMPLEJA

En general, el trabajo matematico se hace mucho massimple (aunque un poco mas abstracto) si usamosnumeros complejos para describir los campos oscilatorios.La razon de esto es la famosa relacion de Euler:

eiθ = cos θ + i sin θ. (21)

Esta relacion es facil de demostrar si uno usa i2 = −1 yla expansion en serie de potencias de las funciones expo-nencial y sinusoidales:

ex = 1 + x+1

2!x2 +

1

3!x3 +

1

4!x4 + . . .

cosx = 1− 1

2!x2 +

1

4!x4 + . . .

sinx = x− 1

3!x3 +

1

5!x5 − . . .

En notacion compleja, la idea es que cada vez que nosencontramos con superposiciones lineales de funciones si-nusoidales, las convertimos a una superposicion de expo-nenciales complejas. Por ejemplo, cuando aparezca uncoseno:

cos(kz − ωt) = <ei(kz−ωt).

Del mismo modo, cuando aparezca un seno, primero loescribimos como coseno usando sinx = cos(x− π/2):

sin(kz − ωt) = cos(kz − ωt− π/2)

= <ei(kz−ωt−π/2).

Al final, en esta convencion, las cantidades fısicas corre-sponden a la parte Real de la expresion compleja.

Las expresiones con exponenciales permiten extraer fac-tores comunes y hacer sumas, que en termino de sinu-soidales requerirıa conocer y usar un monton de identi-dades trigonometricas.

Por ejemplo, suponga que tenemos: cos kz+sin kz. Pode-mos usar una identidad trigonometrica para hacer estasuma (hagalo!), pero no es facil acordarse de detalles (sig-nos, etc) en estas identidades . Si lo escribimos como:

cos kz + sin kz →eikz + ei(kz−π/2) = (1 + e−iπ/2)eikz

= (1− i)eikz

=√

2e−iπ/4eikz

=√

2ei(kz−π/4).

Por lo tanto,

cos kz + sin kz =√

2 cos(kz − π/4).

Tal vez esto no le parezca muy impresionante, pero noteque solo usamos manipulaciones algebraicas, salvo la sim-ple propiedad de la exponencial: ea eb = e(a+b), algo bienconocido. Si aun no esta impresionado, note la siguientesuma:

eiωt + ei(ωt−α) + ei(ωt−2α)

+ . . .+ ei(ωt−(N−1)α)

= eiωt(

1 + e−iα + e−i 2α

+ . . .+ e−i (N−1)α)

= eiωt(

1− e−iNα

1− e−iα

),

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donde hemos usado el resultado de una suma geometricaen el ultimo paso. Ahora podemos factorizar las exponen-ciales para encontrar la magnitud y fase de la expresion:

eiωt(

1− e−iNα

1− e−iα

)= eiωt

e−iNα/2

e−iα/2

(eiNα/2 − e−iNα/2

eiα/2 − e−iα/2

)(22)

= ei(ωt−(N−1)α/2)sin(Nα/2)

sin(α/2).

Tomando la parte real de esta expresion , llegamos a unresultado que no habrıa sido facil deducir usando identi-dades trigonometricas:

cos(ωt) + cos(ωt− α) + cos(ωt− 2α)

+ . . .+ cos(ωt− (N − 1)α)

=sin(Nα/2)

sin(α/2)cos (ωt− (N − 1)α/2) .

V. FORMAS DE ONDA

En general, las ondas no son armonicas puras (de unasola frecuencia), sino de formas de onda diversas. Sin em-bargo, toda forma de onda se puede descomponer comouna superposicon lineal (suma) de ondas armonicas. Esoes lo que se llama descomposicion de Fourier. Si la formade onda es periodica, la suma es sobre un conjunto dis-creto de frecuencias (serie de Fourier).

A. Series de Fourier

Supongamos una funcion f de una variable real continuat, es decir

f : t −→ f(t), t ∈ R (23)

Para empezar a imaginar el ejemplo, podemos suponerque t es el tiempo, pero lo que vamos a decir valematematicamente en forma abstracta para cualquierfuncion f de una variable continua t. Supongamos quef(t) es periodica en t, con perıodo T . Esto significa que:

f(t+ T ) = f(t), para todo t. (24)

Entonces, la funcion f puede descomponerse como sumainfinita (una serie) de funciones sinusoidales de frecuen-cias multiplos de ω0 = 2π/T :

f(t) =

∞∑n=−∞

fn ein ω0 t,

con fn =1

T

∫ T/2

−T/2f(t) e−in ω0 t dt ; ω0 = 2π/T.

La suma infinita que representa a f(t) se llama serie deFourier.

Note que usamos exponenciales imaginarias en vez desinusoidales reales. Si f(t) es real, es facil demostrar quef∗n = f−n, con lo cual se puede convertir la suma a senosy cosenos con n ≥ 0. Haga el ejercicio si lo desea.

EJERCICIO: Considere la funcion periodica, de perıodoT , tal que f(t) = −A para t ∈ (−T/2, 0) y f(t) = A parat ∈ (0, T/2).

• Haga un grafico de la funcion f(t en el intervalot ∈ (−T,+T ). Note la simetrıa de la funcion entorno al origen t = 0.

• Calcule fn para todo n. Note los valores de n paralos cuales fn 6= 0.

• Convierta la suma de f(t) en sinusoidales reales.Deberıan aparecer solo senos, no cosenos, debido ala antisimetrıa de la funcion en torno a t = 0.

• Use un programa como Mathematica o Maple paragraficar la serie de f(t), truncada al tercer o cuartotermino. Note la convergencia de la serie; noteque la convergencia no es muy buena en los pun-tos de discontinuidad (eso es de esperar, porque es-tamos tratando de reproducir una funcion discon-tinua sumando funciones sinusoidales, que son con-tinuas), pero converge bastante bien en las zonascontinuas.

B. Transformada de Fourier

Las funciones que no son periodicas tambien se puedendescomponer en funciones armonicas, pero esta vez elperıodo es “infinito”. En tal caso, la suma se convierteen una integral (suma de Riemann) sobre una variable ω(= ω0n) continua:

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

f(ω) eiω tdω,

con f(ω) =

∫ ∞−∞

f(t) e−iω t dt.

A la expresion de f(t) como integral sobre ω se le llama

integral de Fourier y a la funcion f(ω) se le llama trans-formada de Fourier de la funcion f(t). Si f(t) es unafuncion real, entonces se puede demostrar facilmente quef(ω)∗ = f(−ω). Ademas, en el caso de que f(−t) = f(t)

(funcion simetrica respecto al origen t = 0), f(ω) resultaser real (y por lo anterior, tambien simetrica).

EJERCICIO: Considere una funcion f de la variable t talque f(t) = A para t ∈ (−T/2,+T/2), y es cero fuera deese intervalo.

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• Encuentre la transformada de Fourier. Compruebeque efectivamente f(ω) es real y simetrica, debidoa que f(t) lo es.

• Grafique f(t) y f(ω). Compruebe que mientrasmas “ancha” sea f(t) (mayor sea T ), mas angosta

resulta ser f(ω) y viceversa.

C. Descomposicion de Fourier de una Onda

Consideremos una onda ψ(x, t) que se propaga en di-reccion +x. Supongamos que en el instante t = 0, laforma de la onda en el espacio corresponde a una ciertafuncion f(x) (es decir, ψ(x, 0) = f(x)). En general pode-mos descomponer la funcion f(x) como una integral deFourier:

ψ(x, 0) = f(x) =1

2π

∫ ∞−∞

f(k) eik x, (25)

con f(k) =

∫ ∞−∞

f(x) e−ik x dx.

Note que en este caso no tenemos una funcion del tiempo,sino del espacio, pues nuestra variable abstracta t aquı sellama x y representa una posicion espacial. Del mismomodo nuestra variable transformada ω aquı se llama ky corresponde al numero de onda (algo analogo a la fre-cuencia, pero en el espacio, no en el tiempo). Aparte deesa analogıa, la matematica es la misma que antes.

Pensemos ahora que pasa cuando agregamos la depen-dencia del tiempo de esta onda.

En el caso de una onda armonica que se propague ha-cia los x positivos, sabemos que la funcion espacialexp(ikx) cambia su fase con el tiempo, de acuerdo aexp (i(kx− ωt)), donde ω ≡ ck.

Del mismo modo, la dependencia temporal de la ondano-armonica aparece al cambiar la fase de cada ondaarmonica con el tiempo:

ψ(x, t) =1

2π

∫ ∞−∞

f(k) ei(k x−ωkt) dk. (26)

Lo importante de notar aquı es que f(k) es la mismaexpresion que encontramos en t = 0; el tiempo solo afectaa la fase compleja.

Sin embargo, hay una sutileza: la frecuencia ωk en gene-ral puede depender de k. Esto ocurre cuando la velocidadde la onda en el medio depende de k. En tal caso, se diceque el medio es dispersivo.

Dicho medio se llama dispersivo, puesto que un pulso queviaje por ese medio no mantendra su forma, sino que seira “dispersando” (algunas componentes armonicas via-jaran mas lento y otras mas rapido).

Note que si el medio no es dispersivo, el pulso no se de-forma al propagarse. Repitamos el procedimiento:

En t = 0 el pulso tiene la forma f(x), segun Ec. 25. Alpasar el tiempo, cada funcion armonica adquiere una fase−ωkt, de modo que la onda en tiempos posteriores a t = 0queda segun Ec. 26. Si el medio no es dispersivo, entoncesω = c k, donde c es independiente de k. Por lo tanto, loanterior queda:

ψ(x, t) =1

2π

∫ ∞−∞

f(k) ei(k(x−ct)) dk. (27)

Si comparamos con Ec. 25, vemos que esto no es otra cosaque el mismo pulso, pero desplazado hacia adelante en c t(es simplemente reemplazar x por (x− ct)):

ψ(x, 0) = f(x) ; ψ(x, t) = f(x− ct).

Sin embargo, si c depende de k, el paso que nos lleva aEc. 27 no se puede hacer y el pulso se deformara.

VI. ENERGIA EN LAS ONDASELECTROMAGNETICAS

A. Energıa electrica

En los cursos de electricidad y magnetismo se ha vistoque para cargar un condensador de capacitancia C desdecarga cero hasta un valor Q, se requiere hacer un tra-bajo electrico U = Q2/2C. Dicho trabajo se convierte enenergıa almacenada en el condensador, que puede pos-teriormente usarse. Esta energıa se puede reexpresar enterminos del campo electrico E entre las placas como:

U =Q2

2C=

1

2ε0E

2 ×Vol. (28)

donde Vol. es el volumen del espacio entre placas, en elque existe campo electrico. Ası, podemos atribuir la ener-gıa U al campo electrico mismo: es la energıa necesariapara “construir” ese campo. De este modo,

uE =1

2ε0E

2 (29)

es la densidad de energıa (energıa por unidad de volu-men) asociada al campo electrico, localmente en cadapunto del espacio donde el campo tenga un valor E.

B. Energıa magnetica

En forma similar, se puede asociar energıa a la “cons-truccion” de un campo magnetico, mediante el trabajoque se requiere para hacer pasar una corriente I por un

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solenoide, partiendo desde una corriente cero. Para unsolenoide de inductancia L, dicho trabajo es U = LI2/2.Igual que en el caso electrico, esta energıa se puede ex-presar en terminos del campo magnetico B que apareceen el espacio interior del solenoide:

U =1

2LI2 =

1

2µ0B2 ×Vol. (30)

Nuevamente, Vol. es el volumen del espacio interior delsolenoide, en el que existe el campo magnetico, y ası,podemos definir la densidad de energıa asociada al campomagnetico,

uB =1

2µ0B2, (31)

cantidad definida localmente en cada punto del espacioen el que el campo magnetico tenga el valor B.

EJERCICIO: Determine la relacion entre la densidadde energıa electrica y magnetica en una onda electro-magnetica.

Solucion:

Sabemos que en una onda, E y B estan relacionados porE = cB, donde c = 1/

√µ0ε0 es la velocidad de la luz.

De esto se deduce que:

uB =1

2µ0B2 =

1

2µ0

E2

c2=

1

2ε0E

2 = uE . (32)

Por lo tanto, en la onda electromagnetica, las densidadesde energıa eletrica y magnetica son iguales entre sı, local-mente en cada punto del espacio, y en cada instante detiempo (cuando una es maxima, la otra tambien; cuandouna es cero, la otra tambien).

C. Intensidad y Vector de Poynting

A medida que la onda avanza por el espacio, la energıase transporta con esta: la onda viajera conlleva un flujode energıa.

Se define la intensidad en la onda como la densidad deflujo de energıa (la cantidad de energıa que cruza unaseccion transversal unitaria por unidad de tiempo). Esto

es analogo a la densidad de corriente ~J , en el caso de flujode carga (salvo que aquı no es carga sino energıa lo quefluye).

Siendo uem = ε0E2 la densidad de energıa (energıa por

unidad de volumen), y siendo c la velocidad del flujo,entonces la Intensidad es:

I = uemc. (33)

El vector Intensidad (densidad de flujo), cuya magnitudes I, se llama usualmente el vector de Poynting, y sepuede expresar como:

~S = ε0c2 ~E × ~B. (34)

EJERCICIO: Compruebe que el modulo del vector dePoynting es efectivamente la intensidad uemc.

EJERCICIO: La radiacion solar en la superficie de laTierra tiene una intensidad de aprox. 1,5 kWatt/m2.

• Estime el valor R.M.S. del campo electrico (la raızcuadrada del valor promedio de E2).

• Determine la potencia solar total recibida por lasuperficie de la Tierra en cada instante. (Cuidado:lo que interesa es el area transversal al flujo, no lasuperficie de la esfera terrestre).

• siendo que cada litro de bencina libera en la com-bustion aprox. 10 MegaJoule de energıa, y que elprecio del litro es aprox. 1 dolar, estime a cuantosdolares por cada segundo equivale la potencia totalque recibe la Tierra desde el Sol.

VII. ONDAS PLANAS Y ESFERICAS

A diferencia de las ondas en una cuerda u otro medio deuna sola dimension espacial, las ondas electromagneticasse propagan en el espacio tridimensional. Esta diferenciaes simple pero muy importante de comprender: los cam-pos electromagneticos no se propagan a lo largo de unalınea, sino por el volumen del espacio. Esto nos obliga aestudiar un poco de geometrıa.

A. Fase y Frentes de Onda

En una onda armonica que se propaga por el espacio,en cada punto del espacio los campos oscilan sinusoidal-mente. Esto significa que en cada punto del espacio yen cada instante dado, la onda tiene una cierta fase deoscilacion (matematicamente, la fase es el argumento dela funcion sinusoidal) .

Al tratarse de una oscilacion armonica, en cada punto delespacio la fase cambia continuamente (de hecho lineal-mente) con el tiempo, en la forma φ(t) = ωt.

Pero eso no es todo: tratandose de una onda viajera (quese propaga por el espacio), si vemos a la onda en el espacioen un instante dado, veremos que la fase tambien cambiacontinuamente en el espacio. Entre dos puntos infinite-simalmente cercanos, la diferencia de fase tambien es in-finitesimalmente pequena. Podemos entonces describir la

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fase de la onda en el espacio y tiempo como una funcioncontinua

φ(~r, t). (35)

Ahora recordemos un poco de geometrıa y funciones enel espacio. Consideremos un instante fijo tF . La funcioncontinua φ(~r, tF ) define el valor de la fase en cada puntodel espacio. El valor de la fase va cambiando continua-mente de un punto a otro. Sin embargo, hay muchospuntos donde la fase tiene un mismo valor. La ecuacion:

φ(~r, tF ) = φ0 (36)

define todos los puntos ~r del espacio para los cuales lafase tiene un mismo valor, φ0. Estos puntos forman unasuperficie, pues de las tres coordenadas de ~r, solo dosquedan independientes.

Si tomamos un valor de fase levemente diferente, φ0+∆φ,la superficie definida estara levemente desplazada de laanterior, de modo tal que en ningun punto puede tocarsecon la superficie anterior (la funcion no podrıa tener, enel mismo punto ~r, dos valores distintos a la vez, φ0 yφ0 + ∆φ).

fase φ+2π

fase φ+2π

FIG. 9: Dos frentes de onda consecutivos (se muestra solo untrozo de cada superficie). Se indica la fase de la onda en cadauno de los frentes.

Estas superficies de igual fase se llaman frentes deonda.

Si dibujamos la superficie donde la fase es un valor φ0dado, y todas las demas superficies donde la fase sea estemismo valor mas un multiplo de 2π, nos quedara unafigura como de capas de cebolla, donde la separacion en-tre capas sera justamente la longitud de onda λ. Piensepor que.

Note que estamos en el espacio tridimensional. Si es-tuvieramos en una cuerda, al avanzar una distancia λ lafase cambiarıa en 2π. Sin embargo, en el espacio tridi-mensional, el cambio de fase no depende solo de la dis-tancia desplazada, sino tambien de la direccion. Veamoseso.

FIG. 10: Frentes de onda (se muestra solo un trozo de cadasuperficie), o superficies en las cuales la fase de la onda tieneun valor dado, mas un multiplo entero de 2π. El vector indicala direccion de propagacion de la onda en esa zona del espacio.

Si estoy en un frente de onda y avanzo una distancia λsobre la misma superficie, la fase no cambia. Si avanzoen alguna direccion cualquiera, la fase tampoco cambiaraen 2π, sino en general en un valor menor. Solo hay unadireccion en la cual la fase cambiara en 2π: la direccion demaximo cambio es perpendicular a la superficie. Esta esla direccion del gradiente. Una buena forma de entenderesto es darse cuenta de lo siguiente:

• Como la funcion φ(~r) es suave, la superficie φ(~r) =φ0 tambien lo es. Por lo tanto si uno toma untrozo suficientemente pequeno de la superficie, eltrozo sera muy parecido a un plano.

• Al incrementar la constante φ0 en un pequeno valorφ0 +ε, el trocito de superficie sera otro trozo plano,aproximadamente paralelo al anterior.

Ası, si partimos de un punto en el primer plano y avan-zamos una pequena distancia recta hasta llegar al se-gundo plano, la distancia mas corta ocurre en la direccionperpendicular al plano: esa es la direccion de gradiente(maxima razon de cambio de la funcion ante desplaza-mientos en el espacio).

B. Vector Numero de Onda

Hemos definido los frentes de onda como aquellas super-ficies donde la fase tiene un valor fijo, o bien ese valorfijo, mas un multiplo de 2π.

Complementariamente, definimos el vector numero de

onda en cada punto del espacio, a un vector ~k normal alfrente de onda en ese punto y de magnitud igual a 2π/λ:

|~k| ≡ k =2π

λ(37)

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La direccion de ~k es aquella en la que la fase cambia masrapido ante desplazamientos. (direccion del gradiente dela fase).

(agregar figura)

Para una onda en una cuerda definida a lo largo del ejeX, al desplazarse a lo largo de la cuerda en una cantidad∆x, la fase cambia en k∆x.

Para una onda en el espacio, en cambio, debemos con-siderar un desplazamiento vectorial ∆r. Dicho desplaza-miento partira desde un frente de onda y llegara a otro.Si ∆r es suficientemente pequeno, en ese entorno los dosfrentes de onda seran aproximadamente planos parale-los. Como en cada plano la fase es igual, la diferencia defase ante el desplazamiento ∆r no depende de los puntosespecıficos donde empieza o termina en vector desplaza-miento, sino solo de la proyeccion perpendicular a losplanos:

∆φ = ~k ·∆r. (38)

C. Ondas Planas y Esfericas

Debido a la expresion anterior, que indica como cambia lafase en el espacio, en un instante dado, podemos contruirla expresion general para una onda armonica:

E(~r, t) = E0(~r)ei(~k·~r−ωt). (39)

Debemos hacer notar que, en general, el vector ~k es unafuncion del espacio, al igual que la amplitud E0. Aunqueesto parece razonable, en rigor, hay que demostrar que laexpresion sea efectivamente una solucion de la ecuacionde onda. No haremos aquı ese desarrollo. Sin embargoexisten configuraciones de ondas que se pueden obtenerfacilmente usando argumentos de energıa, sin recurrir ala ecuacion de onda: estos son los casos de las ondasplanas y esfericas, que describimos a continuacion.

Cuando los frentes de onda son planos (paralelos, porcierto, porque no pueden tocarse nunca, y separados con-secutivamente en λ), se habla de una onda plana.

Similarmente, se habla de una onda esferica cuandolos frentes de onda son casquetes esfericos concentricos(separados radialmente, por supuesto, cada λ).

Una onda esferica es lo que se produce cuando la fuentede emision es puntual y emite igual en todas direcciones.

Una onda plana es una buena aproximacion a la forma dela onda a una distancia muy grande de la fuente emisora(muy grande en comparacion con el tamano de la zonade interes).

Un ejemplo de onda plana es una onda que dependesolo de una coordenada cartesiana espacial (la fase nodepende de las otras dos coordenadas espaciales). Porejemplo, una onda armonica que se desplaza en el espa-cio en direccion Z es:

E(~r, t) = E0ei(kz−ωt), para todo x, y. (40)

Claramente, como la fase de la onda no depende de x nide y, los frentes de onda son planos paralelos al planoXY (perpendiculares al eje Z) en todo el espacio.

Note que la amplitud de la onda es una cosntante, inde-pendiente del punto del espacio. Esto es consistente conla conservacion de la energıa: el flujo de energıa ocurreuniformemente en direccion Z, sin acumularse ni despar-ramarse, por lo cual la densidad de energıa (promedio enun ciclo temporal) debe ser uniforme.

En una onda esferica, en cambio, la fase solo dependede la distancia a la fuente puntual. Usando coordenadasesfericas, esto significa que la fase depende de la coor-denada radial r, pero no de los angulos θ o φ. Por lo

mismo, el vector ~k apunta radialmente hacia afuera, ypor lo tanto no tiene la misma direccion en todo el espa-cio, a diferencia de una onda plana.

Adicionalmente, debido a la conservacion de la energıa, laamplitud de la oscilacion en cada punto tambien dependede la distancia radial:

E(~r, t) = A(r)ei(kr−ωt), para todo θ, φ. (41)

En rigor, la onda esferica es una solucion de la ecuacionde onda, de modo que la amplitud A(r) aparece au-tomaticamente cuando uno soluciona la ecuacion usan-do coordenadas esfericas y condiciones de contorno desimetrıa esferica.

Sin embargo, el argumento de energıa es simple y ele-gante: al propagarse la onda radialmente hacia afuera,en estado estacionario (promediando sobre el perıodo deoscilacion) no hay una tasa de acumulacion de energıaen ninguna parte, de modo que la potencia promedioque cruza un casquete esferico de radio dado, mas tardecruzara otro de radio mayor. Como la potencia es el pro-ducto de la intensidad por el area transversal (en estecaso, el area de un casquete esferico de radio r), tenemosque:

Potencia = I × (4πr2). (42)

Como hemos dicho, esta potencia no depende de r, por locual la intensidad I debe depender de r en forma inversaa la dependencia del area 4πr2, es decir,

I(r) =Const.

r2. (43)

Como la intensidad solo depende del campo, y en laforma I ∼ E2, entonces la amplitud del campo en la

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onda esferica debe depender de r en la forma:

A(r) =Const.

r. (44)

La onda esferica, por lo tanto, obedece la expresion:

E(~r, t) =A0

rei(kr−ωt), para todo θ, φ, (45)

donde A0 es una constante, con unidades de campoelectrico por distancia, es decir, V olt u otra unidadequivalente.

[1] Se agradece revision del texto a Andres Ulloa (estudianteIng.C. Electronica).

[2] Paul Tipler, Physics for Scientists and Engineers, thirded., extended, Worth Publishers, 1991. Capıtulo 33: In-terference and Diffraction.

[3] Paul Tipler, Fısica para la Ciencia y la Tecnologıa, cuarta

ed., editorial Reverte, 2001. Capıtulo 35: Interferencia yDifraccion.

[4] D. Halliday, R. Resnick and K. Krane, Physics, fourth ed.,John Wiley & Sons, Inc., 1992. Capıtulo 45: Interference;capıtulo 46: Diffraction; capıtulo 47: Gratings and Spec-tra.