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Para el calculo de CD, se extrajo de la Ref.[1] el valorCD0 = 0.01523. Entonces,
CD = 0.01523 +1
AR eC2L
Suponiendo un valor tpico e = 0.8 se tiene k = 0.0531.
CD = 0.049
Para el calculo de h precisamos de Iy del avin. Debido a la dificultad que se tuvo de encontrardicho valor, se procedi a estimar a partir de una aeronave de similar apariencia en planta comoB747 cuyo Iy = 45 106 kg m2.
Se tiene que:
I =
V
r2dm =
V
r2dV
Suponiendo que la densidad del avin es similar entre el B747 y A380, se toma la inercia del B747y se lo multiplica por un factor = 5 donde es la relacin longitudinal entre ambas aeronaves. Sise toma la cuerda media, = 1.274. Si se toma la envergadura, = 1.298. En promedio, = 1.286.
Se estima queIy = 45 10
6 (1.286)
5= 158.43 106 kg m2
Se obtiene h,h = 0.0526
Para he no se cuenta con dato alguno. Se asume he 0 .
3. Derivativas
CL
Se calcula con el mtodo de Helmbold para alas trapezoidales,
CL = ClAR
2 +
4 + AR2
1 + tan2 25
CL = 4.3 1/rad
CD
CD = 2kCLCLCD = 0.364
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Cm
Se asumi CmCL fijo = 0.25, promedio para aviones grandes,
Cm =CmCL fijo
CL
Cm = 1.075
Cmd
Cmd = 1.1atVh1
lhc
at se calcula de manera similar a CL , Vh se calcula con los datos de la geometra dadas.
at = 3.71
/radVh = 0.726
Cmd = 0.0576
Cmd
Se ha supuesto una pendiente downwash = 0.4 y la relacin de presiones dinmicas = 0.95,
Cmd = atVhlhc
Cmd = 0.021
Cm
De las vistas, se ve que el elevador esta aprox. al 70 % del empenaje. Se estima que Se/Sh = 0.3con lo que = 0.5.
Cm = atVh
Cm = 1.064
Cmd
Del grfico (Ref.[2]), A = 1.2 y B = 0.3.
Cmd = 1
2(A + Bat) Vh
chc
Cmd = 0.0049
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Periodo t1/2Fugoide 75.6 s 528.8 s
Corto periodo 9.2 s 2.42 s
El mtodo aproximado de la fugoide da las siguientes races:
1,2 = CD
2
CD
2
2
C2L2
1,2 = 0.0245 0.564i
con un periodo de 71.6 s y t1/2 = 181.6 s. Hay una gran diferencia en el amortiguamiento con elmtodo aproximado.
Para el mtodo aproximado del corto periodo,
2
Cmd
h
CL2
+Cmd
h
Cm
h+
CL2
Cmd
h
= 0
3,4 = 1.822 4.414i
que es prcticamente igual.
4.2. Timn libre
Se arma la matriz timn libre,
Mlibre =
+ 0.049 0.217 0.399 00.798 + 2.15 0
0 0.021 1.075 0.05262 0.0576 0.004916 1.0640 0.126 0.00517 0.00526 0.64
Con MATLAB, las soluciones de detMlibre = 0 son:
1,2 = 0.0053 0.532i
3,4 = 1.7664 3.918i
5 = 121.74
Periodo t1/2Fugoide 75.8 s 842.8 s
Corto periodo 10.3 s 2.52 sFlameo de elevador - 0.037s
Se aprecia una disminucin en el amortiguamiento para ambos modos. La convergencia delelevador se debe a que se supuso he = 0.
Las races mediante el mtodo simplificado (despreciar la variacin en u) son muy similares,
3,4 = 1.7475 3.93i
5 = 121.73
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5. Control de altitud
Conversor Controlador Planta
Perturbaciones
vcontrol
Sensor
href vref ev hout
vsensor
Para el control de altitud, se va a asumir la super simplificada aproximacin h = Vtrim por loque en trminos de la transformada de Laplace, la altura esta dada por:
h(s) = Vtrim(s)
s
Las ecuaciones de movimiento donde la deflexin es un dato de entrada son:
CD + s 12 (CD CL) CL/2CL CL2 + s s
Cmu Cm + Cmd s Cmd s h2s2
u(s)(s)(s)(s)(s)(s)
=
00
(Cm + Cmd s)
Con la regla de Crammer se despejan las funciones de transferencia u(s)/(s), (s)/(s) y(s)/(s). Para el caso, se necesita ste ultimo. Reemplazando los valores correspondientes se ob-tiene:
(s)
(s)=
43.94s2 15.04s 0.2963
89.69s4 + 51.54s3 + 50.27s2 + 0.48s + 0.34
Se presenta en la Fig. 2 la respuesta de ante una entrada escaln. Tambin se presentan lasrespuestas de , u y .
5.1. Conversor y sensor
Para la conversin, se va a suponer 1 V por cada 50 m. El sensor tendr un retardo, se asumecon la siguiente forma:
Sensor =1
50
1
0.1s + 1
5.2. Planta
La planta consiste en el actuador del elevador, la estabilidad virtual y la dinmica del sistema.
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0 5 10 15 20 25 305
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
u
0 100 200 300 400 500 600 700 8006
4
2
0
2
4
6
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
Figura 2: Respuestas ante entrada escaln
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A G Vtrim/s hout
E
vcontrol vdamp +
vsas
Planta
Se asume un actuador de 1 de deflexin por volt y con retardo:
A =1
0.1s + 1
El sistema de estabilidad virtual en general tiene como retroalimentacin la actitud y lavelocidad de cabeceo . Se asume la siguiente retroalimentacin:
E = 1 + 0.5s
En la Figura 3 se comparan las respuestas de con y sin estabilidad artificial.La funcin de transferencia por se calcul anteriormente:
G =(s)
(s)=
43.94s2 15.04s 0.2963
89.69s4 + 51.54s3 + 50.27s2 + 0.48s + 0.34
La funcin de transferencia de la planta G = hout(s)vcontrol(s) resulta:
G = hout(s)
vcontrol(s)= G
A1 + GAE
Vtrim 1
s
G =6943s2 2376s 46.82
8.97s6 + 94.85s5 + 78.54s4 + 101.8s3 + 15.7s2 + 0.64s
5.3. Diagrama de bloques
0.02 C 6943s22376s46.82
8.97s6+94.85s5+78.54s4+101.8s3+15.7s2+0.64s
vcontrol
0.02 10.1s+1
href vref ev hout
vsensor
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5.4. Control
Utilizamos SISOTOOL de MATLAB para probar diferentes opciones del bloque C.
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
0 50 100 150 200 2500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
System: Closed Loop r to yI/O: r to ySettling time (seconds): 108
Control proporcional C = 0.06ts = 108 s Mp = 0 %
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
0 50 100 150 200 250 3000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 System: Closed Loop r to yI/O: r to yPeak amplitude: 1.13Overshoot (%): 12.9At time (seconds): 25.1 System: Closed Loop r to y
I/O: r to y
Settling time (seconds): 142
Control proporcional-integral C = 0.00131+31ssts = 142s Mp = 12.9 %
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Step Response
Time (seconds)
Amplitude
0 100 200 300 400 500 600 7000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 System: Closed Loop r to yI/O: r to yPeak amplitude: 1.12Overshoot (%): 12At time (seconds): 40.5 System: Closed Loop r to y
I/O: r to ySettling time (seconds): 353
Control proporcional-integral-derivativo (PID) C = 0.0002 (1+4s)(1+160s)s(1+16s)ts = 353 s Mp = 12 %
Casualmente, la ley de control proporcional C = 0.06 resulta dar los mejores resultados. Conla misma no se tiene sobrepasamiento, y el avin se establece en 108s dentro del 2 % de la altituddeseada.
6. Conclusin
Se realiza una comparacin de las derivativas calculadas con las del B747 a las mismas condi-
ciones de vuelo (M = 0.5, 20000 ft),
CL CD CL CD Cm Cmd Cmd Cmd CmA380-800 0.798 0.049 4.3 0.364 -1.075 -0.021 -0.058 -0.005 -1.064
B747 0.68 0.0393 4.67 0.366 -1.146 -0.016 -0.1 - -1.43
Ch Chd Ch ChdA380-800 -0.126 -0.0052 -0.64 -0.0053
B747 - - - -
Los modos timn libre:
1,2 =
0.0053
0.532i3,4 = 1.7664 3.918i
5 = 121.74
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TIMN LIBRE Periodo t1/2Fugoide 75.8 s 842.8 s
Corto periodo 10.3 s 2.52 sFlameo de elevador - 0.037s
Los modos timn fijo:
1,2 = 0.0084 0.5342i
3,4 = 1.8379 4.4067i
TIMN FIJO Periodo t1/2Fugoide 75.6 s 528.8 s
Corto periodo 9.2 s 2.42 s
Sistema de control de altitud:
0.02 C 10.1s+1 Gvcontrol
158/s
1 + 0.5s
0.02 10.1s+1
href vref ev houtvdamp
+
vsas
vsensor
donde
G =(s)
(s)=
43.94s2 15.04s 0.2963
89.69s4 + 51.54s3 + 50.27s2 + 0.48s + 0.34
y C = 0.06. El tiempo de asentamiento son 108s, sin sobrepasamiento.
Referencias
[1] http://www.dept.aoe.vt.edu/~mason/Mason_f/A380Roedts.pdf
[2] Gustavo Scarpin, "Mecnica del Vuelo II - Apunte terico".
[3] Perkins and Hage, "Airplane Performance Stability and Control".
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