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Universidad de Las Tunas Trabajo de Diploma
Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas.
UNIVERSIDAD DE LAS TUNAS
”VLADIMIR ILICH LENIN!”
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
TÍTULO:
FOLLETO DE EJERCICIOS DE PROBABILIDADES PARA LA CARRERA DE
CONTABILIDAD Y FINANZAS.
TESIS EN OPCIÓN AL TÍTULO DE
LICENCIADO EN CONTABILIDAD Y FINANZAS.
AUTOR: Rosa Julia Rodríguez Rodríguez
TUTOR: MSc. Arsenio Celorrio Sánchez (Profesor Auxiliar)
Las Tunas, febrero. 2010.
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas.
AGRADECIMIENTOS
A mis profesores y en especial a mi tutor por la dedicación con que me guió durante
la realización de este trabajo.
A mis compañeros de estudio y trabajo por su disposición de aclarar mis dudas a lo
largo de mi carrera.
A mi familia por brindarme siempre su apoyo para mi superación profesional.
A todos ellos
Muchas gracias.
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas.
RESUMEN
El presente trabajo tiende a resolver los problemas existentes en la bibliografía, para el
Plan de Estudio D en el tema de probabilidades de la asignatura de Estadística
Matemática, para la carrera de Conatbilidad y finanzas, por lo que su aporte en lo
fundamental esta dado en un folleto con aspectos teóricos, ejercicios resueltos y
propuestos del tema, en su elaboración, cada epígrafe particularmente presenta un orden
de prioridad de ideas, hasta culminar la presentación total del material. En cada aspecto
se numeran los contenidos, para expresar en forma clara, cada concepto y poder tener
puntos referenciales al realizar ejercicios prácticos del contenido, además se establecen
algoritmos de trabajo de suma importancia para los estudiantes.
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas.
ÍINDICE
INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 1
CAPÍTULO I FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
I.1. Tendencia histórica de la Estadística Matemática………………..………4
I.1.1. Etapa Comprendida desde 1900-1920……………………………….…...4
I.1.2. Etapa Comprendida desde 1920-1940……………………………………5
I.1.3. Etapa comprendida desde 1940-1980……………………………………7
I.1.4. Etapa comprendida desde 1980 + (Los efectos del computador)…..8
I.2. Concepciones teóricas para el desarrollo de la investigación………..9
I.3. Los medios de enseñanza……………………………………………………12
I.3.1 Clasificación de los medios de enseñanza……………………………..18
I.3.2. Función de los medios de enseñanzas………………………………….19
1.4 El Proceso de Enseñanza Aprendizaje Semipresencial……………….20
1.4.1: Recomendaciones Psicodidácticas para el desarrollo del
Proceso de Enseñanza-Aprendizaje Semipresencial:…………..…….20
I.4.2: Bases Teóricas del Proceso de Enseñanza – Aprendizaje
Semipresencial:……………………………………….…………….……….21
CAPÍTULO II. Resultado de la Investigación.................................................23
CONCLUSIONES……………………………………………………………………75
RECOMENDACIONES……………………………..………………………………76
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1
INTRODUCCIÓN
La relación entre el desarrollo de un país y el grado en que su sistema estadístico produce
estadísticas completas y fiables, porque esta información es necesaria para la toma de
decisiones acertadas de tipo económico, social y político. La educación estadística, no
sólo de los técnicos que producen estas estadísticas, sino de los profesionales y
ciudadanos que deben interpretarlas y tomar a su vez decisiones basadas en esta
información, así como de los que deben colaborar en la obtención de los datos requeridos
es, por tanto, un motor del desarrollo.
La educación estadística ha sido una preocupación crucial del Instituto Internacional de
Estadística (ISI) desde su fundación en 1885, y esta preocupación se concretó
oficialmente en 1948 en el establecimiento del Comité de Educación, encargado de
promover la formación estadística, colaborando, para este fin, con la UNESCO y otros
organismos internacionales, en un momento histórico en que era prioritario mejorar la
información estadística en los países en vías de desarrollo, lo que implicaba la necesidad
de preparar suficiente número de técnicos estadísticos en estos países. Las
responsabilidades del Comité de Educación incluyeron el desarrollo de diplomaturas y
licenciaturas en estadística en los que se formarían los profesores y técnicos estadísticos.
Una de las primeras actividades de este comité fue la creación de los Centros de
Internacionales de Educación Estadística (ISEC) en Calcuta y Beirut, para atender las
necesidades formativas de los países de su respectivo entorno geográfico.
En Cuba aunque no existe una especialidad específica para el estudio de la Estadística si
se imparte en varias carreras de ingeniería y de corte económico, tal es así la licenciatura
en Economía en la mayoría de las Universidades del país teniendo como papel
fundamental la formación del economista, en tanto contribuye a que el estudiante
desarrolle adecuadas habilidades y conocimientos indispensables mediante la apropiación
de conceptos y métodos de la Estadística y las Probabilidades. La asignatura contribuirá,
entre otros propósitos, a que el estudiante se apropie del herramental necesario para el
desarrollo de los métodos estadísticos y econométricos, manejando, entre otros los
conceptos de predicción y riesgo, inherentes prácticamente a cualquier área de
investigación económica. Permitiendo, que una vez graduado, utilice métodos estadísticos
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adecuados a distintos análisis, aplicando estos procedimientos a problemas específicos de
la economía o de otras ciencias.
Tomando como premisa un diagnóstico fáctico, del tutor y la valoración de la importancia
de los conocimientos de las probabilidades, para la asimilación con éxito de la Estadística
inferencial y la modelación de procesos Económicos para la toma de decisiones de un
profesional de las ciencias contables se ha podido apreciar.
1. Bajo conocimiento desde el punto de vista conceptual de los estudiantes
universitarios sobre probabilidades.
2. Insuficiente poder de interpretación de los fenómenos de la naturaleza y la sociedad
desde una posición no determinista.
3. No ven el nexo de la teoría de las probabilidades y la inferencia estadística.
4. No se enseñan las nociones probabilísticas mediante una metodología activa, a
través del planteamiento de problemas concretos y la realización de experimentos reales o
simulados.
5. Es pobre la forma de mostrarle a los estudiantes, cómo las probabilidades
proporcionan una excelente oportunidad para aplicar la matemática en la resolución de
problemas reales
De las apreciaciones fácticas anteriores, dadas por la experiencia y trabajos investigativos
realizados por el tutor y por consultas realizadas por la autora a especialistas, se pudieron
constatar las siguientes irregularidades de la bibliografía existente en la Universidad de las
Tunas:
1. No existencia de una guía de estudio para el desarrollo del tema.
2. La bibliografía existente sobre el tema no responde a las exigencias del nuevo plan
de estudio.
Por todo lo anteriormente expuesto es que el autor de este trabajo se plantea como
Problema científico: “las insuficiencias en la bibliografía del tema de probabilidades de la
asignatura de Estadística Matemática, limitan la efectividad del proceso de enseñanza
aprendizaje de la misma en la modalidad semipresencial, de una abstracción del problema
planteado se pressenta como objeto: el proceso de enseñanza aprendizaje de la
Estadística Matemática. Y como objetivo: “Elaborar un folleto sobre el tema de
probabilidades para la asignatura Estadística Matemática, que tenga en cuenta la
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modalidad semipresencial y el campo de acción: el proceso de enseñanza aprendizaje
de las probabilidades en la carrera de Contabilidad y Finanzas en condicones de
semipresencialidad, por lo que se tiene como hipótesis: si se cuenta con un folleto de
ejercicios de probabilidades, sobre la base de la modalidad semipresencial, entonces, se
contribuirá a mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje de la Estadística Matemática
en los estudiantes de la carrera de Contabilidad y Finanzas en la Universidad de Las
Tunas.
Tareas investigativas:
Para desarrollar el trabajo se proponen las siguientes tareas investigativas:
1. Establecer las tendencias históricas de la Estadística matemática
2. Fundamentar las concepciones teóricas para el desarrollo de la investigación.
3. Elaborar el folleto en el que se concibe una síntesis teórica de los aspectos
desarrollados, ejercicios resueltos y propuestos.
Para dar cumplimiento a las tareas formuladas en el desarrollo de la investigación se
utilizaron los siguientes métodos.
Histórico y Lógico: para analizar los antecedentes del compendio bibliográfico de
la asignatura y su surgimiento.
Análisis y Síntesis: como métodos generales se emplean durante toda la
investigación, especialmente al profundizar en el problema, al conformar la
hipótesis y en el estudio de las diferentes ideas deductivas.
Inducción – Deducción: como métodos generales se emplean durante toda la
investigación, especialmente al determinar la propuesta encaminada a fortalecer la
bibliografía existente en el tema para contribuir con esto a elevar la calidad de las
clases y el autoaprendizaje de los estudiantes.
Modelación: para conformar e ilustrar la validación de la estructura del folleto a
partir de algoritmos de trabajo para la realización de los ejercicios.
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CAPÍTULO I FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
I.1. Tendencia histórica de la Estadística Matemática.
El siglo XX se ha caracterizado por los avances de la tecnología; medicina y ciencia en
general; fin de la esclavitud (al menos nominalmente); liberación de la mujer en la mayor
parte de los países; pero también por crisis y despotismos humanos, que causaron efectos
tales como las Guerras Mundiales; el genocidio y el etnocidio, las políticas
de exclusión social y la generalización del desempleo y de la pobreza. Como
consecuencia, se profundizaron las inequidades en cuanto al desarrollo social, económico
y tecnológico y en cuanto a la distribución de la riqueza entre los países, y las grandes
diferencias en la calidad de vida de los habitantes de las distintas regiones del mundo. En
los últimos años del siglo, especialmente a partir de 1989-1991 con el derrumbe de los
regímenes colectivistas de Europa, comenzó el fenómeno llamado globalización o
mundialización.
Atendiendo a lo plateado anteriormente y según la literatura consultada el autor consideró
realizar el análisis tendencial del objeto de estudio de esta investigación, teniendo en
cuenta como indicadores fundamentalmente los siguientes: Los principales exponentes
que incidieron en el desarrollo de la Estadística, Los problemas fundamentales que se
resolvieron desde la aplicación de la Estadística en diferentes ramas del saber y las
instituciones y regiones que protagonizaron el desarrollo y consolidación de la Estadística
I.1.1. Etapa Comprendida desde 1900-1920
En los años de la gran Guerra (primera guerra mundial entre 1914 y 1918) la probabilidad
y la estadística se esparcieron por todos lados. Durante la guerra, la investigación en
probabilidad casi se detiene por causa de que la gente se enlistaba en los servicios
armados. Pearson, Lévy y Wiener trabajaron en balística, Jeffreys en meteorología
e Yule en administración.
En 1900 David Hilbert propuso un conjunto de problemas para el siglo 20. El sexto
problema fue, “tratar… por medio de axiomas, aquellas ciencias físicas en las cuales las
matemáticas juegan un papel importante; en primer lugar están la teoría de la probabilidad
y la mecánica.” La teoría de la medida, que jugaría un papel muy importante en la
axiomatización de la probabilidad, fue creada por Borel, Lebesgue entre otros.
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Desde diferentes campos surgieron contribuciones que eventualmente encontraron lugar
en la teoría de los procesos estocásticos. En física, Einstein y Smoluchovski trabajaron en
el movimiento Browniano. Bachelier desarrolló un modelo similar aplicado a la
especulación financiera; alternamente, el actuario Lundberg desarrolló una teoría de riesgo
colectivo. –la enfermedad de la malaria y la migración de los mosquitos fueron el foco
principal de la investigación de Pearson originado en el problema de la caminata aleatoria.
Ronald Ross y A. G.McKendrick, sin la referencia del anterior trabajo de Daniel Bernoulli,
crearon modelos matemáticos de epidemias.
Aunque Mendel no usó la probabilidad en su trabajo sobre genética (publicado en 1866),
sus ideas fueron probabilizadas cuando Pearson, Yule y Fisher investigaron si los
principios de la genética podrían racionalizar los hallazgos de los biometristas.
Charles Spearman (1863-1945) impulsó la correlación y esta empezó a ser parte
importante de la psicología. Entre las contribuciones a la estadística estuvieron la
correlación de rangos y el análisis factorial. Godfrey Thomson fue un crítico severo del
análisis factorial de la inteligencia basado en el trabajo de Spearman. En la década de
1930 Louis L. Thurstone desarrolló el análisis factorial múltiple.
En economía, especialmente en los Estados Unidos, los métodos cuantitativos empezaron
a ser más prominentes. Las figuras más importantes fueron Warren Persons, Irving
Fisher, Wesley Mitchell and H. L. Moore. La mayoría de su trabajo se clasificaría en el
análisis de series de tiempo.
Las aplicaciones industriales en probabilidad empezaron con el trabajo de Erlang sobre
congestión de sistemas telefónicos, el ancestro de la teoría de colas.
Los desarrollos institucionales incluyen, en 1911 la creación del departamento de
estadísticas aplicadas en UCL encabezado por Pearson. Yule, podría ser llamado “el
primer estadístico moderno”.
I.1.2. Etapa Comprendida desde 1920-1940
La mayoría de las personas que dominaron la probabilidad y la estadística tuvieron un
impacto temprano. De ellos, el individuo que tuvo un mayor impacto fue Fisher en
estadística. El alemán era el idioma tradicional en la literatura científica de la época. Sin
embargo, Fisher escribía en inglés pues creía que la época de escritura alemana había
terminado con Gauss.
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Los avances en probabilidad incluyeron refinamientos del teorema central del
límite (Lindeberg hizo una muy importante contribución) y de la ley fuerte de los grandes
números y nuevos resultados incluían la ley del algoritmo dominado. Hubo contribuciones
de la mayoría de los países del continente europeo; por ejemplo, Mazurkiewicz de Polonia
y en 1935 Turing repitió el trabajo de Lindeberg sin saber de su publicación.
Los fundamentos de la probabilidad recibieron mucha atención y ciertas posiciones
encontraron expresiones clásicas: la interpretación lógica de la probabilidad (grado de
creencia razonable) fue propuesta por los filósofos de Cambridge, W. E. Johnson, J. M.
Keynes y C. D. Broad, y presentada a una audiencia científica por Jeffreys; el punto de
vista frecuentista fue desarrollado por von Mises.
En Estadística, R. A. Fisher generó nuevas ideas sobre estimación y juzgamiento
de hipótesis y su trabajo de diseño experimental movió este tópico desde los linderos
hasta el centro de la estadística. Sus Métodos estadísticos para investigadores (1925) fue
el libro más influyente del siglo 20.
W. A. Shewhart (ASQ) fue el pionero del control de calidad, el cual se convirtió en una
aplicación muy importante de la estadística en la industria.
En contra de una economía en recesión y de una política desastrosa, hubo importantes
desarrollos en probabilidad, teoría estadística y sus aplicaciones. En la Unión Soviética, a
los matemáticos les iba mejor que a los economistas o a los genetistas y pudieron salir de
su país y publicar en revistas internacionales; así Kolmogorov y Khinchin publicaron en
Alemania, donde precisamente los judíos fueron expulsados de la academia desde 1934.
En probabilidad, los principales desarrollos fueron la axiomatización de la probabilidad
por Kolmogorov y el desarrollo de la teoría de los procesos estocásticos por él y por
Khinchin. Su trabajo es usualmente visto como el comienzo de la probabilidad moderna.
En los fundamentos de la probabilidad, Bruno de Finetti y Frank Ramsey (1903-1930)
(St. Andrews, N.-E. Sahlin) trabajaron en la probabilidad subjetiva. Ramsey empezó con el
criticismo de la escuela de lógica de Cambridge, en particular Keynes. Una
superestructura estadística no se dio sino años después. Jeffreys dio un tratamiento
completo a la estadística fundamentado en su noción lógica de la probabilidad, aunque la
forma prevaleciente era la clásica.
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Biométrica detuvo la publicación de la investigación biológica y se enfocó en la
estadística teórica. El Instituto de Estadística Matemática fue fundado en 1930 y su
revista, The Annals of Mathematical Statistics apareció en 1933. El primer laboratorio de
estadística en los Estados Unidos fue creado en Iowa por Snedecor en
1933. Snedecor fue fuertemente influenciado por Fisher.
En el campo de la inferencia estadística, el mayor desarrollo fue la teoría del
juzgamiento de hipótesis de Neyman-Pearson. El análisis multivariado se convirtió en una
material identificable, formada por contribuciones como la distribución Wishart (1928), los
componentes principales de Harold Hotelling (1933) y la correlación canónica (1936) y el
análisis discriminante de Fisher (1936).
Las aplicaciones de las matemáticas y estadísticas a la economía se juntaron en el
movimiento econométrico. Entre los líderes de la década de 1930 estuvieron Jan
Tinbergen y Ragnar Frisch. Los econometristas que ganaron el premio Nobel en economía
son Engle, Granger, Haavelmo, Heckman, Klein, McFadden.
I.1.3. Etapa comprendida desde 1940-1980
Entre los millones de muertos de la Segunda Guerra Mundial se contaron algunos
matemáticos y estadísticos. Doeblin es el más famoso de los finados; uno de los libros de
Neyman está dedicado a la memoria de diez colegas y amigos. Esta guerra incentivó el
estudio de la probabilidad y la estadística. Al final de la Guerra, muchas personas se
encontraron trabajando como estadísticos, hubo nuevas aplicaciones y la importancia de
esta material fue más ampliamente reconocida.
Las persecuciones Nazis y la Segunda Guerra Mundial empujaron la migración de
muchos estadísticos a los Estados Unidos. Algunas de las más importantes figures de la
probabilidad en la postguerra en Estados Unidos son: Feller, M. Kac (MGP), Wald, G. E. P.
Box (MGP), W. G. Cochran (ASA) (MGP), W. Hoeffding (MGP), H. O. Hartley (MGP), F.
J.Anscombe (Obit. p. 17) (MGP), Z. W. Birnbaum (MGP) y O. Kempthorne (MGP).
Los métodos no-paramétricos empezaron a ser sistemáticamente estudiados, usando
técnicas de la teoría de la inferencia estadística; E. J. G. Pitman fue un pionero importante.
Las pruebas estadísticas para el juzgamiento de hipótesis vinieron de no-estadísticos
como Spearman (rangos) o Wilcoxon (prueba de Wilcoxon). El repertorio conocido de las
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pruebas del signo, pruebas de permutación y la prueba de Kolmogorov-Smirnov se
expandieron rápidamente en el medio.
El análisis moderno de series de tiempos vino de la unión de la teoría de los procesos
estocásticos, la teoría de la predicción y la teoría de la inferencia estadística. Uno de los
principales pioneros de esta década fue M. S. Bartlett. En la década de 1950 Tukey fue
una figura importante. En la década de 1960, Kalman (filtro de Kalman) y los sistemas de
ingeniería hicieron importantes contribuciones y en la década de 1970, los métodos de G.
E. P. Box y G. M. Jenkins (Box-Jenkins) fueron adoptados en la economía y los negocios.
Este es un periodo de expansión, más países, más gente, más departamentos, más
libros, más revistas. Los computadores empiezan a tener un gran impacto.
Los departamentos existentes de estadística se expanden. Nuevas instituciones son
creadas, entre ellas el Laboratorio estadístico en Cambridge en 1947 y el departamento
de estadística en Harvard en 1958.
El alcance de la teoría de la probabilidad se incrementa con el nacimiento de nuevos
subcampos como la teoría de colas y la teoría de la renovación. El libro de Feller
Introduction to Probability Theory hizo un impacto muy grande en el mundo de habla
inglesa pues promovió el estudio de tópicos más avanzados como las cadenas de Markov
En material estadística hubo un renacimiento Bayesiano. En Estados Unidos, la teoría
de decisión Bayesiana reflejó la influencia de la teoría de la decisión de Wald.
W. Edwards Deming continúo el trabajo de Shewhart en control de calidad y fue muy
efectivo a la hora de adoptar estos métodos en la industria.
Laplace y Quetelet vieron el trabajo de los censos como posibles aplicaciones de la
probabilidad pero el uso de la teoría estadística para recopilación de información oficial
llegó sólo después de las actividades de Morris Hansen (ver entrevista) en la oficina de
censos de Estados Unidos.
I.1.4. Etapa comprendida desde 1980 + (Los efectos del computador)
Este período describe el efecto impactante de los ordenadores en el desarrollo de
métodos estadísticos desde su advenimiento, en la década de 1950 y el dramático cambio
en la historia de la probabilidad y la estadística en las recientes décadas. Al final del siglo
XIX, las máquinas mecánicas calculadoras proveyeron el material para la investigación de
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Pearson y Fisher y la construcción de sus tablas estadísticas. Con la disponibilidad de los
computadores, las viejas actividades tomaron menos tiempo y nuevas actividades fueron
posibles.
Las tablas estadísticas de números aleatorios fueron mucho más fáciles de producir y
luego desaparecieron pues su función fue sometida a los paquetes estadísticos.
Una gran masa de datos, más grande que en épocas pasadas, puede ser analizada.
El Data mining exhaustivo es posible.
Modelos y métodos más complejos pueden ser usados. Los nuevos métodos se han
diseñado con idea de la implementación computacional. Por ejemplo, la familia de los
modelos lineales generalizados vinculada al programa GLIM (ver John Nelder FRS).
En el siglo XX cuando Student (1908) escribió sobre la media normal y Yule (1926)
escribió sobre las correlaciones sin sentido, ellos usaron experimentos basados en
muestras y en la década de 1920 valió la pena producir tablas de números aleatorios. Esto
cambió con la introducción de los métodos asistidos por el computador para la generación
de números pseudo-aleatorios, más aún los métodos de Monte-Carlo (introducidos por von
Neumann y Ulam) fueron posibles.
Desde 1980 los métodos de Monte Carlo han sido estudiados y usados directamente
en el análisis de datos. En la inferencia clásica, el bootstrap ha sido prominente.
I.2. Concepciones teóricas para el desarrollo de la investigación.
Una vez tratada la evolución por etapas de la estadística, teniendo presente el análisis
tendencial, seguiremos con un estudio de las principales teorías que se utilizarán en el
desarrollo de la investigación. La estadística, a pesar de contar con una axiomática
satisfactoria, es quizás la única rama de las matemáticas donde prosiguen hoy día las
discusiones sobre la interpretación de conceptos básicos.
Esta controversia no es de tipo técnico, ya que desde el punto de vista matemático,
cualquier concepto estadístico queda determinado por su definición. Por ejemplo, la
probabilidad sería cualquier función medible normada de un algebra de sucesos en el
intervalo [0, 1]. Los problemas filosóficos que la axiomatización no ha resuelto se refieren
a las posibilidades de aplicación de los conceptos estadísticos y la interpretación de los
mismos en diferentes circunstancias.
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Si el profesor no es consciente de esta problemática, difícilmente podrá comprender
algunas dificultades de sus estudiantes, quienes necesitan materializar en ejemplos
concretos los conceptos y modelos matemáticos. En el ejemplo dado, la definición no
resuelve el problema de asignar probabilidad a sucesos como “mañana lloverá” o “habrá 3
ganadores máximos en la próxima quiniela”.
En lo que sigue discutiremos algunos conceptos básicos, comenzando por la misma
noción de estadística, a partir de las reflexiones realizadas por estadísticos, filósofos,
psicólogos e investigadores en Didáctica de la Matemática preocupados por este
problema.
Estadística
Son muchas las definiciones posibles de estadística, y entre ellas hemos elegido la
siguiente que refleja bien nuestra concepción del tema:
"La estadística estudia el comportamiento de los fenómenos llamados de colectivo. Está
caracterizada por una información acerca de un colectivo o universo, lo que constituye su
objeto material; un modo propio de razonamiento, el método estadístico, lo que constituye
su objeto formal y unas previsiones de cara al futuro, lo que implica un ambiente de
incertidumbre, que constituyen su objeto o causa final." (Cabriá, 1994).
Los orígenes de la estadística son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebas de
recogida de datos sobre población, bienes y producción en las civilizaciones china
(aproximadamente 1000 años a. c.), sumeria y egipcia. Incluso en la Biblia, en el libro de
Números aparecen referencias al recuento de los israelitas en edad de servicio militar.
No olvidemos que precisamente fue un censo lo que motivó del viaje de José y María a
Belén, según el Evangelio. Los censos propiamente dichos eran ya una institución el siglo
IV a.C. en el imperio romano.
Sin embargo sólo muy recientemente la estadística ha adquirido la categoría de ciencia.
En el siglo XVII surge la aritmética política, desde la escuela alemana de Conring, quien
imparte un curso con este título en la universidad de Helmsted.
Posteriormente su discípulo Achenwall orienta su trabajo a la recogida y análisis de datos
numéricos, con fines específicos y en base a los cuales se hacen estimaciones y
conjeturas, es decir se observa ya los elementos básicos del método estadístico. Para los
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aritméticos políticos de los siglos XVII y XVIII la estadística era el arte de gobernar; su
función era la de servir de ojos y oídos al gobierno.
La proliferación de tablas numéricas permitió observar la frecuencia de distintos sucesos y
el descubrimiento de leyes estadísticas. Son ejemplos notables los estudios de Graunt
sobre tablas de mortalidad y esperanza de vida a partir de los registros estadísticos de
Londres desde 1592 a 1603 o los de Halley entre 1687 y 1691, para resolver el problema
de las rentas vitalicias en las compañías de seguros. En el siglo XIX aparecen las leyes de
los grandes números con Bernouilli y Poisson.
Otro problema que recibe gran interés por parte de los matemáticos de su tiempo, como
Euler, Simpson, Lagrange, Laplace, Legendre y Gauss es el del ajuste de curvas a los
datos. La estadística logra con estos descubrimientos una relevancia científica creciente,
siendo reconocida por la British Association for the Advancement of Science, como una
sección en 1834, naciendo así la Royal Statistical Society. En el momento de su fundación
se definió la estadística como "conjunto de hechos, en relación con el hombre,
susceptibles de ser expresados en números, y lo suficiente numerosos para ser
representados por leyes".
Se crearon poco a poco sociedades estadísticas y oficinas estadísticas para organizar la
recogida de datos estadísticos; la primera de ellas en Francia en 1800.
Como consecuencia, fue posible comparar las estadísticas de cada país en relación con
los demás, para determinar los factores determinantes del crecimiento económico y
comenzaron los congresos internacionales, con el fin de homogeneizar los métodos
usados. El primero de ellos fue organizado por Quetelet en Bruselas en 1853.
Posteriormente, se decidió crear una sociedad estadística internacional, naciendo en 1885
el Instituto Internacional de Estadística (ISI) que, desde entonces celebra reuniones
bianuales. Su finalidad específica es conseguir uniformidad en los métodos de recopilación
y abstracción de resultados e invitar a los gobiernos al uso correcto de la estadística en la
solución de los problemas políticos y sociales. En la actualidad el ISI cuenta con 5
secciones, una de las cuales, la IASE, fundada en 1991, se dedica a la promoción de la
Educación Estadística.
Aunque es difícil dividir la estadística en partes separadas, una división clásica hasta hace
unos 30 años ha sido entre estadística descriptiva y estadística inferencial.
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La estadística descriptiva tiene como fin presentar resúmenes de un conjunto de datos y
poner de manifiesto sus características, mediante representaciones gráficas. Los datos se
usan para fines comparativos, y no se usan principios de probabilidad. El interés se centra
en describir el conjunto dado de datos y no se plantea el extender las conclusiones a otros
datos diferentes o a una población.
La inferencia estadística, por el contrario, estudia los resúmenes de datos con referencia a
un modelo de distribución probabilística o una familia de modelos, determinando márgenes
de incertidumbre en la estimación de los parámetros desconocidos del mismo. Se supone
que el conjunto de datos analizados es una muestra de una población y el interés principal
es predecir el comportamiento de la población, a partir de los resultados en la muestra.
I.3. Los medios de enseñanza.
Los medios se justifican al entender que el proceso de conocimiento humano sigue una
trayectoria que va, de la imagen concreto-sensible al pensamiento abstracto y de ahí a la
imagen más profunda e íntegra y multilateral del objeto, como imagen pensada. Por otra
parte, los medios permiten materializar el objeto del conocimiento actuando sobre el
sistema censo-racional del sujeto que aprende, mediando el proceso ascendente del
conocimiento en el aprendizaje, en este caso, dirigido por la labor orientadora del docente.
Los medios facilitan el vínculo entre lo sensorial y lo racional, entre la imagen inicial y
difusa y la imagen concreta pensada. Los medios pueden favorecer la actividad sujeto-
objeto y la interacción sujeto-sujeto, cuando representan un enlace entre el acervo cultural
con el que el proceso de enseñanza-aprendizaje ha de pertrechar a los estudiantes.
Los medios resultan importantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje porque
contribuyen a la motivación, la esfera emocional, en la retención de la información, la
concentración de la atención, la relajación; contribuyen a fomentar un clima favorable para
el aprendizaje. En la medida en que los medios apoyen la efectividad de la comunicación
contribuyen a la eficacia del proceso de enseñanza-aprendizaje.
En el ámbito del saber pedagógico, los medios encuentran sustento en la necesidad de
desarrollar un proceso de formación humanista, desarrollador, que potencie la
socialización del sujeto a través de la individualidad, el desarrollo de la personalidad del
estudiante en un contexto social determinado.
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Algunos especialistas conciben al medio como un elemento mediador entre el profesor y el
alumno; plantean que los medios de enseñanza devienen simplemente en canales que
portan información docente a los estudiantes y que todo recurso que se trae al aula para la
ejecución de un método es considerado en este momento un medio de enseñanza.
Por ejemplo, Rossi y Biddle (1970) definen el medio de enseñanza como "cualquier
dispositivo o equipo que se utiliza para transmitir información entre las personas" (citados
por Gerlarch y Ely, 1979, p.18). Sin embargo, otros autores consideran que la definición
debe ser mucho más abarcadora, que involucre al estudiante, al profesor y al propio
proceso, por lo que definen los medios de enseñanza como las herramientas mediadoras
del proceso de enseñanza-aprendizaje, utilizadas por profesores y estudiantes, que
contribuyen a la participación activa, tanto individual como colectiva, sobre el objeto de
conocimiento.
Según el criterio de la Dr. Berta Fernández Rodríguez, se entiende como medios de
enseñanza al portador de contenido que materializa las acciones del maestro y del alumno
para el logro de los objetivos.
Desde el punto de vista de la teoría de la comunicación, los medios de enseñanza son el
canal a través del cual se transmiten los mensajes docentes. Son el sustento material de
los mensajes en el contexto de la clase.
Existen diversos criterios para definir los medios de enseñanza. Los pedagogos han
definido los medios de enseñanza de diversas maneras, en ocasiones teniendo en cuenta
sus funciones pedagógicas, otros por su naturaleza física y otros con apreciaciones de
muy diversa índole. Se pueden encontrar definiciones muy sencillas como la que es “todo
recurso que se trae al aula como soporte para la ejecución de un método así como otras
mucho más abarcadoras que plantean que “son las herramientas mediadoras del proceso
de enseñanza aprendizaje, utilizadas por profesores y estudiantes que contribuyen a la
participación activa, tanto individual como colectiva, sobre el objeto del conocimiento. Así
mismo en el Cuarto Seminario Nacional para dirigentes, metodólogos e inspectores del
Ministerio de Educación se precisó que “los medios de enseñanza son distintas imágenes
y representaciones de objetos y fenómenos que se confeccionan especialmente para la
docencia. También objetos naturales e industriales […] que contienen información y se
utilizan como fuentes del conocimiento definición esta bastante estrecha.
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14
El pedagogo alemán Lothar Klingberg define los medios de enseñanza como “todos los
medios materiales necesitados por el maestro o el alumno para una estructuración y
conducción efectiva y racional del proceso de instrucción y educación a todos los niveles,
en todas las esferas de nuestro sistema educacional y para todas las asignaturas, para
satisfacer la exigencia del plan de enseñanza.
En este trabajo se asume la definición dada por Vicente González Castro (1979), y
retomada por Rosa Antich de León (1986), en la que se considera que los medios de
enseñanza son imágenes y representaciones de objetos y fenómenos que se
confeccionan especialmente para la docencia; pueden ser también objetos naturales e
industriales, tanto en su forma normal como preparada, que contienen información y se
utilizan como fuentes de conocimientos. Como componentes del proceso docente-
educativo, no pueden separarse los métodos y los medios de enseñanza, los que están
determinados por el objetivo y el contenido de la educación.
Por su parte Vicente González Castro los define como “todos los componentes del
proceso docente educativo que actúan como soporte material de los métodos (instructivos
o educativos) con el propósito de lograr los objetivos planteado donde queda bien claro su
carácter de componente y no de simples elementos auxiliares del proceso, al mismo
tiempo que reconoce como medio de enseñanza también a aquellos elementos que
aunque no fueron concebidos con un fin docente son utilizados por el maestro con una
función didáctica; criterio este que también abraza el autor del presente trabajo.
Los medios de enseñanza permiten crear condiciones materiales favorables para cumplir
con las exigencias científicas del mundo contemporáneo durante el proceso de enseñanza
aprendizaje, permiten ser más objetivos los contenidos de cada materia de estudio, por
tanto logran mayor eficiencia en el proceso de asimilación del conocimiento por los
alumnos creando las condiciones para el desarrollo de capacidades, habilidades y la
formación de convicciones. Los medios de enseñanza cuando son empleados en forma
eficiente, posibilitan un mayor aprovechamiento de nuestros órganos sensoriales; se crean
las condiciones para una mayor permanencia en la memoria de los conocimientos
adquiridos; se pueden transmitir mayor cantidad de información en menor tiempo.
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15
El medio de enseñanza, como componente del proceso de enseñanza aprendizaje, debe
verse como un recurso didáctico que está en función de un proceso comunicativo en el
cual está inmerso.
Se debe pensar en el medio como la unión de una serie de componentes capaces de
provocar aprendizajes generales y específicos. Los medios por sí sólo no provocan
cambios significativos ni en la educación en general, ni en los procesos de enseñanza-
aprendizaje en particular si no están íntimamente relacionados y sistematizados a través
de su uso como sistema.
Los medios de enseñanza ofrecen grandes posibilidades de estandarización y adecuación
de los contenidos de enseñanza del estudiante a las necesidades individuales y del
proceso enseñanza-aprendizaje; es una clara alternativa a la descentralización de la
formación de modo que información, profesor y estudiante no tienen porque coincidir en el
mismo lugar permitiendo así reducir el tiempo y el costo de la formación, esto conlleva a
las universidades y a los profesionales de la educación a considerar que el conocimiento y
el uso adecuado de estos medios sea un contenido educativo con una gran relevancia
social pues con el advenimiento de la era actual, las interacciones sociales han sido
modificadas por la incorporación masiva de nuevas tecnologías que alteran radicalmente
el modo de registrar, integrar, globalizar y relacionar las actividades de los seres humanos.
Fundamentación filosófica
La fundamentación filosófica de los medios de enseñanza se basa en la teoría marxista
leninista del conocimiento, que se apoya en el materialismo dialéctico, base metodológica
de todas las ciencias, y se puede resumir en la definición que da Lenin sobre el camino
que sigue el conocimiento “de la contemplación viva al pensamiento abstracto y de este a
la práctica, tal es al camino dialéctico del conocimiento y de la realidad objetiva. Los
medios de enseñanza constituyen el vehículo que facilitan el acercamiento a esa práctica,
a la observación viva, que es la base del desarrollo posterior del pensamiento abstracto,
son elementos poderosos en el trabajo. Mediante su empleo el maestro estimula la
formación de convicciones políticas, morales y normas de conductas, que permiten
planificar y ejecutar su clase con carácter científico y partidista.
Según Vicente González Castro la teoría del conocimiento plantea que el conocimiento “no
es más que el reflejo de la realidad objetiva en la conciencia del hombre” y que ese reflejo
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16
“se produce en función de la práctica en su más amplio sentido. García Galló por su parte,
citado por Vicente González plantea que “lo sensorial puede quedarse en lo
fenomenológico si no se concreta con los procesos de abstracción que nos da la esencia
de los entes y procesos del mundo. En fin, los medios de enseñanza permiten el paso de
lo concreto a lo abstracto y de lo abstracto a lo concreto.
Fundamentación fisiológica
Según la teoría de Pavlov sobre los analizadores el nexo recíproco entre la imagen y la
palabra desempeña un papel muy importante en el desarrollo de pensamiento humano, lo
cual constituye la argumentación fisiológica del conocimiento visual en el proceso de
enseñanza aprendizaje. La palabra debe ser apoyada y reforzada por imágenes para
evitar que el reflejo de la realidad objetiva resulte pobre y tergiversado. La calidad de la
enseñanza depende, según lo expresan numerosos pedagogos (Klingberg, Danilov,
Skathin, Lerner. C. Alvarez de Sayas, G. Labarrer, Neuner, entre otros) del nexo recíproco
entre la palabra, la imagen y la correlación armoniosa de los sistemas de señalización.
Las reproducciones visuales, auditivas, táctiles expresadas en dibujos, fotos, películas y
videos son importantes en los procesos de comunicación del hombre, en la expresión de
sus ideas, conocimientos y conceptos.
El adecuado equilibrio entre la palabra y las imágenes facilitan los procesos del desarrollo
del pensamiento en general. Por esto es importante que siempre que sea posible la
palabra viva se una a las representaciones visuales. Dentro del aprendizaje la mayor
interrelación con el mundo exterior se da a través del órgano visual. El resultado de
numerosas investigaciones puede resumirse de la forma siguiente: vista 83 %, oído 11 %,
olfato 3.5 %, tacto 1.5 %, Gusto 10 %.
Fundamentación psicológica
El uso de los medios de enseñanza, como un componente más del proceso de enseñanza
aprendizaje, permite:
• Una mayor retención en la memoria de los conocimientos: Según los resultados de una
investigación de González Castro que muestra que chequea un conocimiento al cabo de
tres días de impartido se comprueba que se retuvo: el 10% de lo que se leyó, 20% de lo
que escuchó, 30% de lo que observó, 50% de lo que observó y escuchó, 70% de lo que
discutió y 90% de lo que se explicó y llevó a la práctica.
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17
• Incremento de la motivación por la enseñanza y el aprendizaje en general y en la
asignatura en particular: Se logra mediante la presentación de estímulos vivos que faciliten
la autoactivación de los alumnos.
• Un aumento en la concentración de la atención.
• La reafirmación personal a aprender en el estudiante y la creación de incentivos que
activen el aprendizaje, contribuyendo a su seguridad personal.
• Contribuir al factor emocional en la adquisición de los conocimientos. Cuando, con el uso
de los medios de enseñanza, el estudiante “descubre” un nuevo conocimiento, puede
llegar a sentir la emoción de dicho acto.
Fundamentación pedagógica
Mediante la utilización de los medios de enseñanza se logra que los estudiantes aprendan
más, memoricen mejor y se racionalice el tiempo necesario para el aprendizaje, por lo que
permiten intensificar el proceso de enseñanza aprendizaje, racionalizar los esfuerzos del
profesor y los alumnos, y contribuir a la formación de hábitos y habilidades que serán de
utilidad a los alumnos en su vida laboral y profesional.
Los medios de enseñanza optimizan el proceso de enseñanza aprendizaje debido a que:
1. Permiten elevar la efectividad del sistema escolar.
2. Motivan al aprendizaje, pues estimulan a los alumnos desde el punto de vista psíquico y
práctico si se usan adecuadamente.
3. Cuando se usan para estudiar un concepto, forman parte de la envoltura material de
este.
4. Activan las acciones intelectuales para la adquisición de conocimientos.
5. Se trasmite mayor cantidad de información en menos tiempo y se eleva por tanto, el
aprendizaje.
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18
I.3.1 Clasificación de los medios de enseñanza.
En relación a la clasificación de los medios de enseñanza se pueden encontrar diversos
criterios. Algunas clasificaciones son realizadas de acuerdo con su nivel de relación con la
realidad, otras las agrupan en etapas generacionales, según fueron apareciendo en el
contexto docente, también se ha tenido en cuenta su carácter abstracto o concreto o
según criterios didácticos. El polaco Víctor Fleming, por ejemplo, hace una clasificación
según la teoría del conocimiento, “o sea, el grado que los medios de enseñanza permiten
establecer el reflejo del mundo material. Existen incluso clasificaciones que se basan en la
relación que guarda el medio con el libro de texto, considerándose este último el medio de
enseñanza fundamental.
Manuel Área Moreira clasifica los medios de enseñanza de la siguiente manera:
1. Medios manipulativos: Objetos y recursos reales (materiales del entorno, minerales,
animales, plantas, etc), materiales para la psicomotricidad (aros, pelotas, cuerdas), medios
manipulativos simbólicos (bloques lógicos, regletas, figuras geométricas), juegos y
juguetes.
2. Medios textuales e impresos: Material orientado al profesor (guías del profesor o
didácticas, guías curriculares, otros materiales de apoyo curricular), materiales orientados
al alumno (libro de texto, material de lecto- escritura, el cartel, comic), otros materiales
textuales.
3. Medios audiovisuales: Medios de imagen fija (retroproyector de transparencias,
proyector de diapositivas, episcopio), medios de imagen en movimiento (proyector de
películas, televisión, video).
4. Medios auditivos: El casete, el tocadiscos, la radio.
5. Medios Informáticos: ordenador, CD- ROM, Telemática.
En el VI Seminario Nacional a dirigentes metodólogos e inspectores (2003) se clasifican
los medios de enseñanza en cuatro subgrupos:
• Objetos naturales e industriales.
• Materiales para la enseñanza programada y de control.
• Medios sonoros y de proyección.
• Objetos impresos y estampados.
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19
De todas estas clasificaciones el autor prefirió, al igual que lo hace Vicente González
Castro, “por ser más amplia y operativa y que permite analizar un mismo medio según
diferentes funciones la propuesta por P.F. Jamov quien los clasifica según sus funciones
didácticas. Esta es:
1. Medios de transmisión de información.
2. Medios de experimentación escolar.
3. Medios de control del aprendizaje.
4. Medios de autoaprendizaje y programación.
5. Medios de entrenamiento.
I.3.2. Función de los medios de enseñanzas.
Los medios de enseñanza cumplen con funciones instructivas, cibernéticas, formativas y
recreativas, González (1989), a las cuales se les suman las funciones:
Motivadora-innovadora-creadora.
Lúdica- recreativa
Desarrolladora y de control.
Ya que su uso de manera científica favorece el desarrollo de la personalidad de los
estudiante.
Función Instructiva: Promueve la apropiación de los conocimientos y el desarrollo de
habilidades, permiten estudiar los objetos, fenómenos o procesos de la manera más
objetiva posible.
Función Cibernética: Influyen en le estudiante y este llega a ofrecer respuestas, las que
provocan un cierto mecanismo de reflujo, que contribuye a regular el proceso de
enseñanza – aprendizaje, al permitir conocer las preferencias del estudiante, sus
motivaciones o maneras de actuar.
Función formativa: Influyen en la educación del estudiante, en la formación de sus
convicciones y valores, a la vez que favorece la elevación de su cultura e instrucción,
enriqueciendo su visión del mundo y de sí mismo
.Función lúdica recreativa: Favorecen la distracción y el entretenimiento, a la par que se
instruye y educa, permiten cambios de actividad y en determinados tipos un descanso
físico y mental. En la educación básica favorece la utilización de juegos.
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20
Función desarrolladora y de control: Favorecen el desarrollo integral de la personalidad
del estudiante, a la vez que propician el control, autocontrol y valoración del aprendizaje.
Función motivadora, innovadora y creadora: Correctamente utilizados son poderosos
elementos que motivan a los estudiantes a aprender, los entusiasma por apropiarse del
contenido, crean intereses e inclinaciones por la necesidad de crear.
1.4 El Proceso de Enseñanza Aprendizaje Semipresencial
1.4.1: Recomendaciones Psicodidácticas para el desarrollo del Proceso de
Enseñanza-Aprendizaje Semipresencial:
Preparación didáctica previa de los profesores en cuanto a las peculiaridades de
este tipo de enseñanza y el uso de los medios de enseñanza disponibles.
Alfabetización informática de los estudiantes para que desarrollen habilidades
necesarias que les permitan explotar con eficacia las TIC.
Priorizar por el profesor la orientación del contenido y está complementada de
precisiones sobre como asimilarlo y delimitando las acciones a realizar en el trabajo
independiente, como vía de estimular en los estudiantes el aprender a aprender.
Combinar continuamente actividades presenciales con tareas docentes para
cumplir a distancia y que permitan el vínculo de la teoría con la práctica.
Contribuir a la formación integral de los estudiantes haciendo que el aprendizaje no
solo estimule el desarrollo intelectual, sino también el resto de los fenómenos y procesos
de la personalidad.
La evaluación del aprendizaje debe propiciar diferentes alternativas, donde el
estudiante se entrene en la coevaluación y la autoevaluación, para que sea mínima la
heteroevaluación por parte del profesor.
Los métodos de enseñanza deben provocar un aprendizaje independiente y
creador.
Los medios a utilizar, apoyados en las TIC, deberán considerar junto con el
contenido, la orientación para el estudio individual, así como tareas que promuevan su
aplicación.
Estimular la reflexión individual de cada estudiante antes de promover la reflexión
colectiva, donde el aprendizaje se potencie a través de las discusiones grupales y la
realización en equipos de estudio, tareas y trabajos investigativos.
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21
I.4.2: Bases Teóricas del Proceso de Enseñanza – Aprendizaje Semipresencial:
a) Teoría de la independencia: Centrada en la independencia en el estudio por
correspondencia no solo con respecto al espacio y el tiempo, sino también en las
potencialidades de independencia en la dirección y control del aprendizaje. Se defiende la
autonomía del que aprende como la característica de este proceso educativo y en el cual
hay una distancia transaccional con dos dimensiones: la cantidad y calidad del diálogo
profesor – estudiante y la estructura en el diseño del curso. (Wedemeyer, C. A. 1971,1981;
Moore, M. G., 1977)
b) Teoría de la conversación didáctica guiada: Enfatiza en la interacción y la
comunicación docentes – estudiantes, apoyada por una comunicación simulada de los
estudiantes con los materiales de estudio y una comunicación real a través de la
interacción escrita y la telefónica. Esto se aborda fundamentalmente en la educación a
distancia. (Holmberg, B., 1985; Báát, J. A., 1985).
c) La comunicación bidireccional: En la transacción educacional se introduce el control
como centro de dicha transacción, reemplazando el rasgo de estudio independiente,
autoestudio, frecuentemente como elemento central en la educación a distancia. El control
se define como la oportunidad y capacidad de influir en la transacción. (Garrison, D. R. y
Shale, D., 1987; Peters, O., 1971,1993).
d) Teoría integradora o del diálogo didáctico mediado: Permite clarificar las relaciones
entre las realizaciones prácticas y los supuestos teóricos, siendo una aportación
coherente, articulada y flexible. Este aprendizaje permite al estudiante ser protagonista en
cuanto al tiempo, espacio y ritmo de aprendizaje, es decir, el proceso de orientación
propicia el aprendizaje flexible, lo cual se logra a través de la comunicación o diálogo
didáctico mediado entre la institución y el estudiante. Asume elementos de las teorías
anteriores; esto es:
De a) el valor de independencia en lo relativo a tiempo y espacio, así como en el propio
control y dirección del aprendizaje; también la autonomía del estudiante, la importancia del
diálogo y el grado de estructura de los diseños y producción de materiales.
De b) el término control, que esta teoría destaca en la necesidad de evaluar controlar
todas y cada una de las fases y resultados de la propuesta y desarrollo de un programa de
estudios a distancia, así como la influencia del tutor en el proceso de aprendizaje.
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22
Retoma la importancia de planificar cuidadosamente todo el proceso de diseño,
producción y distribución de materiales.
e) Enfoque Histórico – Cultural (Vigotsky): Se sustenta en la ley genética fundamental
del desarrollo psíquico, la ley de la dinámica del desarrollo psíquico y la ley de mediación
del desarrollo psíquico, a partir de considerar que el hombre es un ser social por
naturaleza, un sujeto de las relaciones sociales, un producto de la sociedad. Las funciones
psíquicas superiores nacen de la interacción en el proceso de comunicación entre las
personas, por lo que estas tienen un origen social.
f) Teorías de los procesos conscientes (C. Álvarez de Zayas): Se sustenta en que el
proceso de enseñanza – aprendizaje es consciente, en tanto ocurre en actividad
sistematizada e interrelacionada, cuya esencia es social y lo fenomenológico se manifiesta
en la propia actividad. Las relaciones entre las categorías del proceso manifiestan las
leyes de la escuela en la vida (problema-objeto-objetivo) y educación a través de la
instrucción (objetivo-contenido-método, medio, forma); entraña comunicación que permite
el desarrollo de capacidades mediante un sistema de tareas.
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23
CAPÍTULO II RESULTADO DE LA INVESTIGACIÓN
En el presente capítulo se presenta el folleto en el que están contemplados los siguientes
aspectos:
1. Definiciones y conceptos de la teoría de las probabilidades ajustados al contenido
de la materia del tema de probabilidades de la asignatura Estadística Matemática de la
carrera de Contabilidad y Finanzas.
2. Ejemplos, ejercicios resueltos y propuestos.
Todo el contenido desarrollado conjuntamente con los ejemplos, ejercicios resueltos y
propuestos, presentan un lenguaje ameno y preciso, de modo que contribuirán en gran
medida, a que los estudiantes se apropien de los mismo con facilidad y sean capaces por
si mismo de desarrollar habilidades en este tema.
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24
Folleto
Ejercicios Resueltos y Propuestos de
Estadística Matemática:
Cálculo de Probabilidades
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25
Definición de probabilidad:
La teoría de las probabilidades surge en los siglos XVI-XVIII relacionada con problemas producto de los juegos de azar, entre los principales precursores de esta Teoría se encuentra, entre otros, el matemático Pascal. La probabilidad es una medida cuantitativa de que las posibilidades pueden llegar a ser realidades. La Teoría de las probabilidades es la base de la inferencia estadística, de ahí la necesidad de su estudio, de modo que se puedan realizar medidas descriptivas, para hacer inferencias de la población. Para desarrollar las Teorías de las probabilidades es necesario definir algunos, conceptos.
Definición clásica de probabilidad.
La definición clásica de probabilidad se formula por Laplace en el siglo XIX, concretamente
en el año 1812 y descansa en la equiprobabilidad. Y en la misma se plantea:
Si S, es un espacio muestral finito y equiprobable entonces la probabilidad de ocurrencia
de cualquier suceso A definido en S estará dado por la relación:
P(A) = N(A)/N(S)
dónde N(A)= casos favorables al suceso A y N(S)= casos totales posibles.
Experimentos deterministas
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Ejemplo 1
Si dejamos caer una pelota desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la pelota
bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo
de tiempo; pero después bajará.
Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplo 2
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible
resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos
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26
resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos
algunas definiciones:
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Al lanzar una moneda salga cara.
Al lanzar una dado se obtenga 4.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo
representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Espacio muestral de una moneda:
XCE , .
Espacio muestral de un dado:
6,5,4,3,2,1E .
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y
otro, sacar 5.
Ejemplo 3
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.
Calcular:
1. El espacio muestral.
n)n, (n, b),,n (n, n),b,(n, n),n,(b, b),b,(n, b),n,(b, n),b,(b, b),b,(b,E
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
n)n, (n, b),b,(b,B
3. El suceso A = {extraer al menos una bola blanca}.
b),n (n, n),b,(n, n),n,(b, b),b,(n, b),n,(b, n),b,(b, b),b,(b,B
4. El suceso A = {extraer una sola bola negra}.
b)b,(n, b),n,(b, n),b,(b,A
TIPOS DE SUCESOS
Suceso elemental
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27
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.
Suceso compuesto
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el
espacio muestral).
Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.
Suceso imposible
Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.
Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son
compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son
incompatibles.
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve
afectada porque haya sucedido o no B.
Al lazar dos dados los resultados son independientes.
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve
afectada porque haya sucedido o no B.
Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.
Suceso contrario
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28
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota
por .
Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.
Espacio de sucesos
Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios.
Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por:
XCXCS ,,,
Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso
seguro.
Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de E es
2n .
Una moneda XCE ,
Número de sucesos = 22 =4
Dos monedas .XX, ,CX, ,XC, ,CC, E
Número de sucesos = 24 =16
Un dado 6,5,4,3,2,1E .
Número de sucesos = 26 = 64
Unión de sucesos
La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.
A B se lee como "A o B".
Ejemplo 4
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B =
"sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
6,4,2A
6,3B
6,4,3,2BA
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29
Propiedades de la unión de sucesos
Conmutativa
ABBA
Asociativa
CBACBA
Idempotente
AAA
Simplificación
ABAA
Distributiva
CABACBA
Elemento neutro
AA
Absorción
EEA
Intersección de sucesos
La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que
son, a la vez, de A y B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
A B se lee como "A y B".
Ejemplo 5
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B =
"sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
6,4,2A
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30
6,3B
3BA
Propiedades de la intersección de sucesos
Conmutativa
ABBA
Asociativa
CCACBA
Idempotente
AAA
Simplificación
ABAA
Distributiva
CABACBA
Elemento neutro
AEA
Absorción
A
Diferencia de sucesos
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que
no son de B.
Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.
A − B se lee como "A menos B".
Ejemplo 6
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31
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B =
"sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.
6,4,2A
6,3B
4,2 BA
Propiedad
BABA
Propiedades de la probabilidad
Axiomas de la probabilidad
1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.
10 Ap
2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
1Ep
3.Si A y B son incompatibles, es decir BA entonces:
BpApBAp
Propiedades de la probabilidad
1 La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la
probabilidad del suceso contrario es:
ApAp 1
2 Probabilidad del suceso imposible es cero.
0p
3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole
la probabilidad de su intersección.
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32
BApBPApBAp
4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste
Si BA , entonces BPAP
5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
KK APApApAAAp ....... 2121
6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:
nXpXpXpSp ...21
Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:
321 PPPparP
Regla de Laplace
Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos
igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de
que ocurra el suceso A es:
posiblescasosdenúmero
AafavorablescasosdenúmeroAP
Ejemplo 7
Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.
Casos posibles: {cc, cx, xc, xx} .
Casos favorables: 1.
4
12 carasP
En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas).
Casos posibles: 40.
Casos favorables de ases: 4.
10
1asP
Casos favorables de copas: 10.
4
1
40
10copasP
Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
1 Un número par.
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33
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Casos favorables: {2, 4, 6}.
2
1
6
3parP
2 Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
3
1
6
23 P
3 Mayor que 4.
Casos favorables: {5, 6}.
3
1
6
24 P
Combinatoria y probabilidad
La combinatoria nos puede ser muy útil para calcular los sucesos posibles y
favorables, al aplicar la regla de Laplace. Especialmente si hay un gran número de
sucesos.
Ejemplo 8
1 Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro
veces.
Casos posibles:
Tenemos dos elementos, cara y cruz, y los tomamos de cuatro en cuatro, importando el
orden.
16244
2 VR
Casos favorables:
Tenemos 4 monedas y las tomamos de 2 en 2, sin importar el orden.
62
3.4
2
42
4
CR
16
62
4
2
2
4 VR
CRCrucesP
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas
34
2 Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos
personas fijadas de antemano se sienten juntas?
Casos posibles:
!1010 P
Casos favorables:
Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habrá 9!;
pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derecha, por
tanto se tiene 2 · 9!.
!10
!9.2AP
3Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:
4 ases.
54145
1.4
5
52
1
48
4
4 C
CCasesP
4 ases y un rey.
649740
1.4
5
52
1
4
4
4 C
CCreyunyasesP
3 cincos y 2 sotas.
180290
1.cos3
5
52
2
4
3
4 C
CCsotasdosycinP
Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.
162435
64....5
52
2
4
2
4
2
4
2
4
1
4 C
CCCCCescaleraP
3 de un palo cualquiera y 2 de otro.
Hay cuatro formas de elegir el primer palo y tres formas de elegir al segundo palo.
4165
429.3..443
5
52
2
13
3
13 C
CCyP
Al menos un as.
54145
356735
52
5
48 C
CasningúnP
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas
35
54145
18472
54145
3567311 asmenosalP
Probabilidad de la unión de sucesos
Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles
BA
BpApBAp
Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.
3
1
6
2
6
1
6
152 P
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
BA
BApBpApBAp
CBApCBpCApBApCpBpApCBAp
Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.
2
1
6
3
6
1
6
1
6
362 P
Probabilidad condicionada
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por ABP / a la
probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.
AP
BAPABP
/
Ejemplo 9
Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido
3
1
6
36
1
/6 parP
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes si
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas
36
BPABP /
Sucesos dependientes
Dos sucesos A y B son dependientes si
BPABP /
Probabilidad compuesta o de la intersección de sucesos
Probabilidad de la intersección de sucesos independientes
BPAPBAP
Ejemplo 10
Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la
probabilidad de extraer dos ases?
100
1
40
4
40
421 APAPBAP
Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes
ABPAPBAP /
Ejemplo 11
Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de
extraer dos ases?
130
1
39
3
40
4/ 121 AAPAPBAP
Probabilidad de la diferencia de sucesos
BAPAPBAPBAP
Tablas de contingencia
Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas
de contingencia.
Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos
determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.
Ejemplo 12
Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles.
De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:
1¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas
37
2 Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una
mujer?
Diagramas de árbol
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada
una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas
ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible
final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha
de dar 1.
Ejemplo 13
Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la
probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
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38
2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
1 Seleccionar tres niñas.
Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:
Tres caras.
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39
Experimentos compuestos
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios
simples.
Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si
realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos
realizando un experimento compuesto.
En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol
para hacerse una idea global de todos ellos.
Teorema de la probabilidad total
Si A 1, A 2 ,... , A n son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral EAAA n ....21 .
Y B es otro suceso.
Resulta que:
nn ABPAPABPAPABPAPBP /...// 2211
Ejemplo 14
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40
Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales a
y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la
tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de
que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
Probabilidad
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible
resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos
resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo
representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
TIPOS DE SUCESOS
Suceso elemental
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41
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Suceso aleatorio
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el
espacio muestral).
Suceso imposible
Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.
Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve
afectada porque haya sucedido o no B.
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve
afectada porque haya sucedido o no B.
Suceso contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota
por A .
Unión de sucesos
La unión de sucesos, BA es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Intersección de sucesos
La intersección de sucesos, BA es el suceso formado por todos los elementos que
son, a la vez, de A y B.
Diferencia de sucesos
La diferencia de sucesos, BA es el suceso formado por todos los elementos de A que
no son de B.
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42
BABA
Sucesos contrarios
El suceso AEA se llama suceso contrario o complementario de A.
Axiomas de la probabilidad
10.1 Ap
1.2 Ep
BpApBAp .3
Propiedades de la probabilidad
1 APAP 1
2 0P
3 BAPBPAPBAP
4 BPAPentoncesBASi ,
5 Si A1, A2,..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
kk APAPAPAAAP 2121
6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:
kXPXPXPSP 21
Ley de Laplace
Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles
BA
BPAPBAP
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
BA
BAPBPAPBAP
Probabilidad condicionada
AP
BAPABP
/
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43
Probabilidad de la intersección de sucesos independientes
BPAPBAP
Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes
ABPAPBAP /
Teorema de la probabilidad total
Si A 1, A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral
(A 1 A 2 ... A n = E) y B es otro suceso, resulta que::
nn ABPAPABPAPABPAPBP /// 2211
Teorema de Bayes
Si A 1, A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral
(A 1 A 2 ... A n = E) y B es otro suceso, resulta que::
nn
ii
iABpApABpApABpAp
BApApBAp
///
//
2211
Esquema de probabilidad
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44
Ejercicios resueltos.
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45
1. Se lanzan 20 monedas en las que la probabilidad de cara es de 0,6. Calcular cual
es el número más probable de caras y qué probabilidad hay de que salga dicho
número.
SOLUCIÓN:
El número de caras obtenido al lanzar 20 monedas es una variable aleatoria con
distribución binomial de parámetros .6,0;20B El número más probable de caras es
.6,126,116,06,0204,06,020 mm Luego el número mas probable de caras es
12, y la probabilidad de 12 caras es:
0202,00007,00022,0!8!12
!204,06,0
12
2012 812
XP
2- Sabiendo que 6,0BAP y que la de la 2,0BAP , se pide calcular la
probabilidad de A.
SOLUCIÓN:
8,02,06,0 BAPBAPBABAPAP
3. Supongamos que las cotizaciones de las acciones de Telefónica y Sniace son
variables aleatorias independientes, y que la probabilidad de que un día cualquiera
suban es del
70% para ambas. ¿Cuál es la probabilidad de que un día suba sólo una de ellas?
SOLUCIÓN:
Sea p1 la probabilidad de que suba Telefónica y p2 la de que suba Sniace. La probabilidad
de que solo suba una de ellas será:
42,021,021,07,03,03,07,0211211 pppp
4. Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que
la de A;
que la probabilidad de su unión es doble que la de su intersección; y que la
probabilidad de su intersección es de 0,1. Se pide:
1) Calcular la probabilidad de A.
2) ¿Qué suceso es mas probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro?.
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46
SOLUCIÓN:
1) Sea XAP ; entonces: XBP 2 . Además 1,02,0 BAPyBAP
1,031,02 XXXBAPBPAPBAP
BAP = 1,03 X =0,2 .despejando 1X
Por tanto .2,01,0 BPAP
3) Las probabilidades condicionadas serían:
11,0
1,0/;5,0
2,0
1,0/
Ap
BAPBAP
Bp
BAPBAP
Por tanto lo más probable que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A, que, que ocurra A
sabiendo que ha ocurrido B.
5. La probabilidad de cara de dos monedas son 0,4 y 0,7. Calcular la probabilidad de
que al lanzar las dos monedas salga sólo una cara. Repetir el ejercicio considerando
que las monedas están bien construidas.
SOLUCIÓN:
Para que salga solo una cara ha de ocurrir una de las dos cosas siguientes: que la primera
moneda saque cara y la segunda cruz o viceversa:
54,042,012,07,06,03,04,0 CXXCP
Si las monedas están bien construidas las probabilidades de cara o cruz son iguales a 0,5;
por tanto: 5,05,05,05,05,0 CXXCP
6. Dos máquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe
que A
Produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:
1) Probabilidad de que sea defectuosa.
2) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.
SOLUCIÓN:
Indiquemos por: AmáquinaladeprocedepiezalaM A
BmáquinaladeprocedepiezalaM B
Entonces BA MMpiezas 300
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47
3
2
3
1 BA MPMP
1) Sea defectuosapiezalaD
0567,03
206,0
3
105,0// BBAA MPMDPMPMDPDP
Es la probabilidad de AM condicionada a la presencia de D
2941,0
0567,0
3
105,0
//
//.2
BBAA
AAA
MPMDPMPMDP
MPMDPDMP
7. Sea la urna U (2B, 3N, 4R). Extraemos tres bolas, una a continuación de la otra.
La primera es negra, la segunda no se mira y la tercera es blanca. Hallar la
probabilidad de que la segunda sea roja.
SOLUCIÓN:
Una vez es extraída la primera bola que es negra, la urna es U(2B, 2N, 4R). Al extraer la
segunda, pueden ocurrir tres casos: que sea blanca, negra o roja, obteniéndose
tres urnas distintas, con probabilidad 1/4, 1/4 y 1/2 respectivamente. La tercera bola
procede de una de estas tres posibles urnas.
RNBU 4,2,11
U RNBU 4,1,22 321 UUU
RNBU 3,2,23
Sabiendo que la tercera bola es blanca, la probabilidad de que la segunda bola haya sido
roja , equivale a la probabilidad de que la tercera bola provenga de U3.
7
4
2
1
7
2
4
1
7
2
4
1
7
12
1
7
2
/
//
3
1
33
3
i
I
i UPUBP
UPUBPBUP
2/8 B
2/8 N
4/8 R
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas
48
8. El portero titular de un equipo de fútbol para 8 de cada 10 penaltis, mientras que
el suplente solo para 5. el portero suplente juega, por término medio, 15 minutos
en cada partido (90 minutos).
a) Si en un partido se lanzan tres penaltis contra este equipo, ¿cuál es la
probabilidad de que se paren los tres?
b) Si se lanza un penalti y no se para ¿cuál es la probabilidad de que estuviera
jugando el portero titular?
SOLUCIÓN:
Se consideran los sucesos:
P= el portero para un penalti
T= juega el portero titular
S= juega el portero suplente (S=Tc)
Con probabilidades:
6
5
6
111,
6
1
90
15 SPTPSP
5
1
5
41/,
5
4
10
8/ TPPTPP C
2
1
2
11/,
2
1
10
5/ SPPSPP C
a) la probabilidad de que se pare un penalti cualquiera es, utilizando el teorema de
la probabilidad total, con los sucesos T y S como sistema completo de sucesos:
75,04
3
60
45
60
540
6
1
2
1
56
45//
SPSPPTPTPPPP
Si se lanzan tres penaltis, se consideran los sucesos:
iP = El portero para el penalti i-ésimo
Mutuamente independientes, con probabilidades 3,2,1,75,0 iPP i . La probabilidad de
que se paren los tres es:
4219.075.0 3
321321 PPPPPPPPPP
Para calcular CPTP / se aplica el teorema de Bayes, con los sucesos T y S como
sistema completo de sucesos:
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas
49
6667.03
2
15
10
510
10
61
21
65
51
65
51
//
//
SPSPPTPTPP
TPTPPPTP
CC
CC
9. En un colegio hay dos grupos de 25 alumnos de quinto curso y dos grupos de 20
alumnos de sexto curso. El 50 % de los alumnos de quinto no tienen faltas de
ortografía, porcentaje que sube a 70% en los alumnos de sexto. En un concurso de
redacción entre alumnos de quinto y sexto se elige una redacción al azar.
a) ¿Qué probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto?
b) Si tiene faltas de ortografía, ¿qué probabilidad hay de que sea de un alumno
de quinto?
SOLUCIÓN:
Se consideran los sucesos:
A= la redacción es de un alumno de quinto
B= la redacción es de un alumno de sexto (B=Ac)
F= la redacción tiene faltas de ortografía
Con probabilidades:
9
4
90
40,
9
5
90
50 BPAP
5.05.01/1/,5.0/ AFPAFPAFP CC
3.07.01/1/,7.0/ BFPBFPBFP CC
a) 5556.09
5AP
b) Para calcular FAP / se aplica el teorema de Bayes, con los recursos A y B como
sistema completo de sucesos.
6768.0
37
25
7.3
5.2
2.15.2
5.2
9
43.0
9
55.0
9
55.0
//
//
BPBFPAPAFP
APAFPFAP
10. Dado los sucesos A y B tales que 00
A
BPyAP , demuéstrese que:
AP
BP
A
BP
1 .
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50
SOLUCIÓN:
Por definición de probabilidad condicional,
AP
ABPP
A
BP
(1)
Vamos a demostrar que BPAPABP 1 :
BAPBPAPBAPBPAPBAP 11 ;
BAPBPAPBAP 1
BPAPABPtoloporBAP 1,tan;0
BPAPBAPBPAPBPAP ;1 (2)
Sustituyendo (2) en (1),
AP
BP
AP
BPAP
AP
BAP
A
BP
1
11. En un dado bien construido consideramos los sucesos A y B, tales que A es la
obtención de una puntuación mayor o igual que 4 y B la de 3 o 6. Utilizando los
teoremas del cálculo de probabilidades, determínese si:
(a) Los sucesos de A y B son disjuntos.
(b) Los sucesos de A y B son independientes.
SOLUCIÓN:
(a) Los sucesos de A y B son disjuntos.
Si los sucesos de A y B son disjuntos, se verificara que; 0BAP .
Obtendremos el suceso intercepción BA :
66,36,5,4 BA ;
06/16 PBAP .
Por tanto A y B no son disjuntos.
(b) Los sucesos de A y B son independientes.
Si A y B son independientes, BPAPBAP
;6
3AP
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas
51
;6
2bP
.6
1
6
2
3
2BAPBPAP
Luego los sucesos A y B son independientes.
12. Consideremos una moneda truncada de tal forma que la probabilidad de cara =
P(C)
=0.3. Si se arroja la moneda 5 veces, calcúlense las probabilidades de los
siguientes sucesos:
(a) Cinco caras.
(b) Dos cruces.
(c) En las dos primeras tiradas han de salir cruces y en las restantes caras.
(d) Al menos tres caras.
(e) Más de una cara y menos de cuatro.
SOLUCIÓN:
(a) Probabilidad de 5 caras = CCCCCP
El suceso que al arrojar la moneda cinco veces salga cinco caras es un suceso compuesto
por la intersección de cinco sucesos: CCCCC . Los sucesos son independientes,
ya que el que haya salido cara en una tirada no influye en que salga cara en la siguiente.
Al ser independientes, se verifica que
01681.07.0 5 CPCPCPCPCPCCCCCP
Probabilidad de dos cruces.
El suceso de dos cruces aparece cuando al arrojar la moneda salen dos cruces y tres
caras: ccCCC. Como en el caso anterior, es un suceso compuesto por la intersección de
cinco sucesos independientes:
32 7.03.0 CPCPCPcPcPCCCccP
En este suceso no se fija el orden en el que han de salir los resultados, por lo cual serán
equivalentes a él todas las tiradas cuyo resultado dos cruces y tres caras, sin importar el
orden de salida, es decir,
ccCCCccCCCccCCCccCCCccCCCccCCC
ccCCCccCCCccCCCccCCCccCCCcarastresycrucesdos
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas
52
En general, el número de sucesos que equivalen al del primer miembro podemos
obtenerlo teniendo en cuenta que son las permutaciones con repetición de cinco
elementos, C y c, de los cuales el primero se repite tres veces y el segundo dos; este
numero es igual a:
10!3!2
!53,25
P
La probabilidad buscada es igual a la probabilidad de la unión de diez sucesos disjuntos,
igual a la suma de las probabilidades.
3087.07.03.010 32 crucesdosdeadprobabilid
(b) Probabilidad de que en las dos primeras tiradas aparezcan dos cruces y en las
restantes, caras = ccCCCP .
La situación es análoga a la anterior, excepto en que se fija el orden en que han de
aparecer las distintas posibilidades de la moneda; por lo tanto,
0309.07.03.0 32 CPCPCPcPcPCCCccP
(c) Probabilidad de que aparezcan al menos tres caras.
El suceso al menos tres caras se verifica si salen tres caras o cuatro o cinco, es decir,
(al _ menos _ tres _ caras) = (tres _ caras) U (cuatro _ caras) U (cinco _ caras)
Los tres sucesos del segundo miembro dos disjuntos:
3087.03.07.0103.07.0_ 23233,2
5 PcarastresP
3602.03.07.0103.07.0_ 441,4
5 PcarascuatroP
1681.07.0_ 5 carascincoP
8370.01681.03602.03087.0___ carastresmenosalP
(d) Probabilidad de mas de una cara y menos de cuatro.
El suceso mas de una cara y menos de cuatro es igual al suceso dos o mas caras y tres o
menos.
carastrescarasdosCC __3241
1323.03.07.0103.07.0_ 32323,2
5 PcarasdosP
3087.03.07.0103.07.0_ 23233,2
5 PcarastresP
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53
4410.03087.01323.0_______ cuatrodenenosycaraunademasP
13. Calcúlense, en el juego del poker, las probabilidades siguientes:
(a) De póker.
(b) De full.
(c) De color: 1. Sin excluir las escaleras de color; 2. Excluyendo las escaleras de
color.
(Se supondrá una baraja de cuarenta cartas.)
SOLUCIÓN:
(a) Probabilidad de póker.
Para obtener póker se necesitan cuatro cartas del mismo punto. Como hay 10 puntos, se
tendrán
10 pókeres básicos. La quinta carta será cualquiera de las 36 restantes; por consiguiente,
habrá10 36 pókeres. El número total de manos es igual a 540 grupos distintos de 5
cartas.
La probabilidad de póker es
000547.0658008
3603610ker
40
5
PóP .
(b) Probabilidad de full.
El full se compone de una pareja y un trío. Cada punto esta repetido cuatro veces (uno por
cada palo), por lo que se pueden formar 24 parejas del mismo punto y, como hay 10
puntos, 24 10 parejas.
Cada pareja debe ir acompañada por un trío. Cada punto está repetido cuatro veces (uno
por cada palo), por lo cual se deben formar 34 10 tríos, pero, una vez fijada una pareja
una pareja, no puede haber un trío de la misma puntuación, teniendo, por tanto, 34 9 tríos
disponibles por pareja y, en total, 24 10 3
4 9 fulles.
La probabilidad de full es:
003283.0
91040
5
4
2
4
2
fullP
(c) Probabilidad de color.
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54
1. Cada palo consta de 10 puntos, y el color se compone de 5 cartas del mismo palo,
habiendo 510 jugadas de color por palo y, en total, 5
10 4 colores.
2. El número de escalera de color de cada palo es de 6 y, como hay 4 palos, 24; por tanto,
el número de manos de color sin escaleras será
244510
Y la probabilidad,
00347.0405
244105
ColorP .
14. En unos almacenes hay 500 clientes: 130 hombres y 370 mujeres.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga a la calle un hombre (H) y luego una mujer
(M) si no sabemos que el primero ha vuelto a entrar antes de la salida de la mujer?
(b) ¿y si salen dos hombres?
SOLUCIÓN:
(a) El suceso HM puede darse de dos formas: o bien el hombre sale y no entra, o bien
sale y entra. El suceso HM es la unión de dos sucesos disjuntos
saleMentranoysaleH
saleMentraysaleH
saleMentranoysaleH ___
saleMentraysaleH __
Por tanto,
MesHMenosHPMesHMenosHPHMP ......
En el primer caso, la probabilidad de salida de la segunda persona (M) se ve afectada
por la salida de la primera, puesto que no vuelve a entrar, y el colectivo se modifica, lo que
nos indica que no son independientes. En el segundo caso no sucede esto, ya que el
hombre vuelve a entrar y el colectivo no sufre variación.
Por tanto.
00383.04
40
5
10
5
fullP
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55
385.0500
130
500
130
499
370
500
130
HHP
H
MPHPHMP
b) Mediante un razonamiento análogo,
135.0500
130
500
130
499
129
500
130
HHP
H
MPHPHMP
15. Tenemos cien urnas de tres tipos. El primer tipo contiene 8 bolas blancas y 2
negras; el segundo, 4 blancas y 6 negras y el tercero, 1 blanca y 9 negras.
Se elige una urna al azar y se extrae de ella una bola, que resulta blanca. Se
devuelve la bola a la urna y se repite el proceso, siendo ahora la bola extraída negra.
Si sabemos que 16/39 es la posibilidad de que , siendo la bola blanca, proceda del
primer tipo de urna y que 30/61 es la posibilidad de que, siendo la bola negra,
proceda del segundo tipo de urna, calcúlese el número de urnas de cada tipo.
SOLUCIÓN:
Sean x, y y z el número de urnas de cada tipo y su composición,
nbznbnbx 9,1,6,4,2,8
Sabemos que x+y+z=100
Aplicando el teorema de Bayes en cada extracción tenemos:
39
16
10037
8
48
8
48
8
10
1
10010
4
10010
8
100
10
8
100
33
22
11
11
1
yx
x
yxzyx
x
zyx
x
zyx
x
bPP
bPP
bPP
bPP
bP
61
30
90037
6
962
6
33
22
11
22
2
yx
y
zyx
y
nPP
nPP
nPP
nPP
nP
De las ecuaciones anteriores con incógnitas, x e y:
39
16
10037
8
yx
x
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56
61
30
90037
6
yx
y
50;20 yx
Recordando que 30,100 zzyx
Hay 20 urnas del primer tipo, 50 del segundo y 30 del tercero.
16. Una empresa que debe decidir si adquiere un determinado paquete de acciones,
solicita un informe a tres asesores financieros para que se pronuncien de forma
favorable o desfavorable a la compra. Por experiencias anteriores en operaciones
similares, se sabe que los tres asesores tienen actitudes ante el riesgo diferente
e independiente. Esta situación se refleja en las probabilidades de aconsejar a
compra de este tipo de operaciones que son respectivamente 0.8, 0.5 y 0.3
Con esta información a priori calcule:
a) La probabilidad de que al menos uno de ellos aconseje la compra.
b) La probabilidad de que ninguno de ellos aconseje adquirir el paquete de
acciones.
SOLUCIÓN:
Se definen los siguientes sucesos:
A = “El asesor A aconseja la compra”
B = “El asesor B aconseja la compra”
C = “El asesor C aconseja la compra”
Cuyas probabilidades son:
3.05.08.0 CPBPAP
a) Con las definiciones anteriores, CBA UU representa el suceso al menos ”al menos
uno de los tres aconseja la compra ”, cuya probabilidad se calcula utilizando:
CBAPCBPCAPABPCPBPAPCBAP IIIIUU
Como los sucesos son mutantemente independientes, estas probabilidades son:
4.0 BPAPBAP
24.0 CPAPCAP
15.0 CPBPCBP
12.0 CPBPAPCBAP
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57
Sustituyendo estas cantidades, tenemos:
93.012.015.024.04.03.05.008.0 CBAP UU
b)En este caso debemos calcular:
07.093.011 CBAPCBAPCBAP
17. Un mayorista tiene 200 clientes clasificados en la siguiente tabla según si
realizan pedidos regularmente o de forma esporádica y según si efectúan el pago al
contado o a través de créditos:
Forma de pago
Tipo de pedido Al contado Crédito
Regular 10 15
Esporádico 20 155
En el marco de una campaña publicitaria, el mayorista decide sortear un viaje entre
sus clientes eligiendo uno de ellos al azar.
a)¿Cuál es la probabilidad de que el cliente elegido al azar realice pedidos de forma
regular o bien utilice créditos para efectuar sus pagos?
b)Calcule la probabilidad de que el cliente afortunando con el viaje realice
pedidos regularmente si sabemos que el elegido efectúa sus pagos mediante
créditos.
c)Calcule la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice los
pagos mediante crédito si sabemos que realiza pedidos regularmente.
d)¿Son independientes los sucesos “comprar a crédito” y “comprar regularmente”?
SOLUCIÓN:
Forma de pago
Tipo de
pedido
Al contado Crédito
Regular 10 15 25
Esporádico 20 155 175
30 170 200
Definimos los siguientes sucesos
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58
R=”un cliente realiza pedidos regularmente“
C= “un cliente efectúa los pagos mediante créditos”
a) CRPRPRPCRP
Como todos los clientes tienen las mismas posibilidades de ser elegidos en este sorteo,
utilizando la definición clásica de probabilidades de o regla de Laplace, tendremos:
125,0200
25
200
1510
RP
85,0200
170CP
075,0200
15CRP
Por tanto, 0.125+0.85+0.075=0.9
088,085.0
075.0/
CP
CRPCRP
O bien, de la tabla tenemos
088,0170
15/ CRP
c)
06,0125.0
075.0/
RP
CRPCRP
No son independientes estos sucesos pues 088.0/125.0 CRPRP
18. Una empresa de trabajo temporal ha realizado un amplio estudio sobre los tipos
de empleo solicitados por los estudiantes de Bachiller, Formación Profesional y
Universitarios. El informe clasifica estos solicitantes de empleo como cualificados o
no para los trabajos que solicitan, y de los datos que contiene se desprende que
sólo el 25% estaban cualificados para el trabajo que solicitaban, de los cuales, un
20% eran estudiantes universitarios, un 30% estudiaban Formación Profesional y un
50% Bachillerato. La situación entre los no cualificados es diferente: un 40% de
ellos era estudiante universitario, otro 40% estudiaban Formación Profesional y sólo
un 20% se encontraba en Bachillerato.
a) ¿Qué porcentaje de estos estudiantes se encontraban en Bachillerato y
estaban cualificados para los empleos que solicitaban?
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59
b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos estudiantes que solicitaba
empleo estudiara Formación Profesional?
c) Entre los estudiantes universitarios que solicitaron empleo, ¿qué porcentaje
no estaba cualificado para los puestos de trabajo que solicitaban?
SOLUCIÓN:
Definimos los siguientes sucesos:
C=”Uno de estos estudiantes está cualificado para los trabajos que solicita”
U=”Uno de estos estudiantes es universitario”
F=”Uno de estos estudiantes es de Formación Profesional”
B=”Uno de estos estudiantes es de Bachillerato”
a) %5.12125.005.025.0/ CBPCPCBP
b) 375,075,04,025,03,0// CPCFPCPCFPFP
c)
%7,85857,0
75,04,025,02,0
75,04,0
//
//
CPCUPCPCUP
CPCUPUCP
19. En un sistema de alarma, la probabilidad de que esta funcione habiendo peligro
es 0.95 y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de
haber peligro es 0.1:
a) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya
peligro.
b) Hallar la probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione.
c) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione?
SOLUCIÓN:
……………. Definimos los sucesos:
A =”Hay situación de peligro”
F =”La alarma funciona”
Entonces,
9,01,011,0;3,0/;95,0/ APAPAFPAFP
a)
2213,0
09,003,01,095,0
09,003,0
//
//
APAFPAPAFP
APAFPFAP
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60
luego , el porcentaje es 22,13%
b) 1,005,0/ APAFPFAP 0,005
c)
00569476,0
9,097,01,005,0
1,005,0
//
//
APAFPAPAFP
APAFPFAP
d) 122,009,003,01,095,0// APAFPAPAFPFP
20. Una empresa multinacional desea elegir un candidato para ocupar la plaza de
director técnico de la delegación que va a abrir en España. Tras las tres primeras
pruebas de selección de los 100 candidatos iniciales, tres han quedado para la
cuarta y última prueba que consistirá en una entrevista personal. A la vista de los
currículums presentados y de las puntuaciones obtenidas en las pruebas anteriores,
se cuenta con probabilidades 0.3, 0.5, y 0.2 de elegir para el puesto a los candidatos
1º, 2º, y 3º respectivamente. Se estima en un 80% las posibilidades de incrementar
las ventas en el próximo año en la multinacional, si se elige al primer candidato.
Para los otros dos: 2º y 3º, respectivamente se estiman el 10% y el 40% de
posibilidades. El tercer candidato está seguro de conseguir dicho puesto en la
multinacional.
A la vista de la información anterior, ¿es acertado el pensamiento de este candidato
o por el contrario existe un porcentaje de error? En caso de existir expresar ese
error en términos de probabilidad.
SOLUCIÓN:
2,03,5,02,3,01 000
PPP
Sea el suceso A =”incremento de venta”
4,03/,1,02/,38,01/ 000
APAPAP
Aplicando el teorema de Bayes
2162,037
8
2,04,05,01,03,08,0
2.04.0
33/22/11/
33//3
000000
000
PAPPAPPAP
PAPAP
queyaacertadoesnoLuegoerrorP ;7838,02162,01
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas
61
1351,037,0
05,0/26486,0
37,0
24,0/1 ** APYAP
El razonamiento sería correcto para el 1er candidato.
21. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes
experimentos aleatorios:
1. Lanzar tres monedas.
2. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
3. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres
negras.
4. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
SOLUCIÓN:
1. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente
espacio muestral:
,,,,,,,, XXXXXCXCXCXXXCCCXCCCXCCCE
2. 18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3E
3. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra , tenemos:
NNBNBBE ,,
4. Si llamamos L al día lluvioso y n al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene
el siguiente espacio muestral:
,,,,,,,, NNNNNLNLNLNNNLLLNLLLNLLLE
22. Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el
hijo mayor es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones.
¿Cuáles son los elementos de A y B?
SOLUCIÓN:
Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está formado por los
sucesos elementales:
,,,,,,,, HHHHHVHVHVHHHVVVHVVVHVVVE
Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos
elementales:
HVVHVHHHVHHHA ,,,
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62
HVVVVVB ,
23. En una bolsa hay cinco bolas, blancas o negras. Se extrae una bola y es blanca.
Hállese la probabilidad de que en la bolsa haya dos blancas y tres negras si para
formar la urna se tiraron cinco monedas y se metieron tantas blancas como caras
resultaron y tantas negras como cruces.
SOLUCIÓN:
Representemos un suceso elemental como:
6;5;4;3;2;1 wwwwwwW
Donde w1; w2; w3; w4 y w5 representan los resultados de los lanzamientos de la moneda,
y por tanto también la composición de la urna. Adicionalmente, w6 representa el color de
la bola extraída de la urna. Denotemos por Ci (i = 0; 1; 2; 3; 4; 5) el suceso de obtener i
caras en los 5 lanzamientos de la moneda, es decir, que la urna contenga i bolas blancas
y 5 bolas negras, y sea B el suceso “extraer una bola blanca de la urna”.
Entonces el problema se resuelve mediante los siguientes cálculos:
4
1
11
4
4
4
1
40
1
4
2
15
5
2
1
2
5
5
2
/
//
45
0
5
0
55
0
5
5
0
2222
ii
ii
ii
i
iiCPiCBP
CPCBP
BP
BCPBCP
24. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuántos
modos puede hacerse si:
1. los premios son diferentes;
2. los premios son iguales.
SOLUCIÓN:
Hay dos puestos posibles:
-si una misma persona no puede recibir más de un premio:
1. hay 1206
89103,10 V maneras.
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63
-si una misma persona puede recibir un premio.
1. se pueden distribuir los premios, si estos son iguales.
2. hay 2203,10 CR maneras de distribuir los premios si estos son iguales.
25. Una urna contiene 8 bolas blancas y 4 bolas negras. Se sacan dos bolas una a
una con reemplazamiento. Sea A el suceso: “la primera bola extraída es blanca”; y B
el suceso: “al menos una de las dos bolas extraídas es blanca”.
Calcular BAPBAPBAPBAP ,,, y la probabilidades condicionadas
.//,/,/ AByPABPBAPBAP
SOLUCIÓN:
Un espacio muestral para este problema es ,2,1,,:; 2;1 inbwwww i donde cada
iw representa el color de la bola extraída en i =1,2, siendo igual a d si la bola es blanca y n
si la bola es negra. Este espacio no es equiprobable, ya que, por ejemplo:
212/8; bbP ; pero .12/412/8; nbP Se tiene que:
nnABA
bnBAOBA
nbbbABA
,
,,,
,,,,
Por lo tanto, se calculan las probabilidades condicionadas, y resulta:
.9
1
,9
2,
,0
,3
2
3
1
3
2
3
2,,
2
BAP
bnBAP
BAP
bnPbbPBAP
Una vez visto esto, las probabilidades condicionadas son:
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64
.3
2/
,1/
,0/
4
3
1
//
AP
BAPABP
AP
BAPABP
BP
BAPBAP
BP
BAP
BP
BAPBAP
26. Cuatro tiradores disparan independientemente sobre cuatro objetivos, cada uno
sobre uno. Cada tirador dispone de seis balas. La probabilidad de acertar en el
objetivo con cada tiro es de 0.8. Un tirador deja de disparar al alcanzar el blanco.
1. Probabilidad de que alguno de los tiradores consuma toda su munición.
2. Calcular la probabilidad de que sobren dos balas en total.
SOLUCIÓN:
Un espacio muestral es: ;2;1:4;3;2;1 WiWiWiWWWWW donde cada wi1
representa el número de balas que le sobran al tirador i tras acertar en el objetivo, y wi2 es
el resultado que ha obtenido, que será a si acierta y f si falla, para todo i = 1; 2; 3; 4.
Nótese que si a un tirador le sobra alguna bala, significa que ha acertado. Sin embargo, si
no le sobra ninguna, puede que haya acertado al disparar la última bala o bien que éste
tiro también lo haya fallado. Nótese también que desde que un jugador falle los 5 primeros
tiros, ya no le sobrará ninguna bala, sea cual sea el resultado para esta última.
1. Sea el suceso “Alguno de los tiradores consume toda su munición”. Definamos también
los sucesos ijA =”Al tirador i le sobran j balas” , para i =1;2;3;4 y j =0;1;2;3;4;4;5. por lo
tanto:
I4
11011
i
CAPAPAP
2. Nótese que para que entre los cuatro tiradores sobren dos balas tiene que suceder que,
o bien ambas le sobran al mismo tirador o bien a dos tiradores diferentes. Todos los
tiradores tienen la misma probabilidad de acertar, por lo que si vemos estos dos casos
para dos tiradores concretos, podemos luego extenderlo a todos. Por lo tanto, y teniendo
en cuenta, como siempre, que disparan de forma independiente, se tiene que:
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65
27. A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2
matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas formas podrá hacerse si:
1. Todos son elegibles;
2. Un físico particular ha de estar en esa comisión
3. Dos matemáticos concretos no pueden estar junto
SOLUCIÓN:
1. Puesto que todos son elegibles, existen 102,5 C grupos de 2 matemáticos, y 353,7 C
grupos de 3 físicos. Luego hay un total de 3503510 comisiones posibles.
2. Se fija uno de los físicos, luego existen 102,5 C grupos de 2 matemáticos, y 152,6 C
grupos de 3 físicos. Luego hay un total de 1501510 comisiones.
3. Se excluye la única posibilidad de que el subgrupo de dos matemáticos lo constituyan
los dos que no pueden estar juntos, por lo que hay 912,5 C grupos de 2 matemático
cumpliendo la condición. Además hay
3523
5673,7
C grupos de físicos, por lo que el
total de comisiones que pueden formarse es 9.35=315.
28. Sea
PA,, un ejercicio de probabilidad. Se pide:
a) Demostrar que si
A C B, A, son sucesos mutuamente independientes, entonces
los sucesos CyBA son también independientes.
b) Calcular la probabilidad condicionada
BABA
CC
P / en función de
.00,, BPyAPconBAPBPAP
SOLUCIÓN:
a) Por la definición de probabilidad condicionada:
dqcBAPBAPBPAP
BPAPBPAP
CPCPBPAPCPCPBPCPCPAP
CPCBAPCBPCAP
CPCBCAPCPCBAPCBAP
..
///
/
//
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66
b) de igual modo que en el caso anterior, y aplicando las leyes de Morgan y la
definición de probabilidad condicionada, tenemos:
Que es la relación pedida.
29. Se dan tres sucesos aleatorios A, B y C, independientes dos a dos, los cuales,
sin embargo, no pueden ocurrir simultáneamente. Suponiendo que todos ellos
tienen igual probabilidad p, calcular el valor de p que hace máxima la probabilidad
de ocurrencia de al menos uno de los sucesos.
SOLUCIÓN:
Por la hipótesis de partida, sabemos que:
0
2
2
2
CBAPiv
pCPBPCBPiii
pCPAPCAPii
pBPAPBAPi
En consecuencia utilizando la fórmula de la suma generalizada:
pppp
CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP
1333 2
Si denotamos por 2
10'13 ppFpppF (máximo)
Luego: 4/32/1 CBAPyp
30. Se tienen n+1 cajas idénticas con n bolas cada caja. En la primera caja hay n
bolas negras; en la segunda n–1 negras y 1 blanca, en la tercera n–2 negras y 2
blancas, y así sucesivamente, de manera que en la última caja hay n bolas blancas.
Se toma una caja al azar y de ella se extraen tres bolas de una vez.
a) Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean blancas.
BAPBAPBPAP
BAPBAPBAPBAP
BAPBABAP
BAPBABAPBABAP
ccc
cc
cccc
1/1
/1/
/
///
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67
b) Supuesto la extracción de que las tres bolas sean blancas, calcular el número de
cajas que tiene que haber para que la probabilidad de que provengan las tres bolas
blancas de las dos últimas cajas sea 2/3
SOLUCIÓN:
a) Sean los sucesos:
1 kn Negras
kcajaCk 1,...,3,2,1 nk
1 n Blancas
:3B Bolas blancas
Al no especificar ninguna ley a priori, tomemos kNCP K 1
1 (ignorancia a priori).
Comencemos por calcular las verosimilitudes asociadas. Para ello, es fácil observar,
aplicando la teoría elemental de combinatoria, que:
331
301
31
3 /// nknknk
kCBP
Luego la probabilidad pedida es:
4/1/1/1
/1/1/
341*
31,131,13
nn
knhastakkknhastak
n
CBPnCPCBPBP
b) De igual modo, aplicando la fórmula de Bayes:
k
nK
kkkkk pnCPCBPBPCPCBPBCP 33
1*
3333 /41/1/4///
Sustituyendo tenemos:
Si 1/41 1 npnk n
Si 1/34 nnnpnk n
Pero como 018113/2 2 nnpp nn , ecuación con raíces 29 21 nyn
(Solución no válida). En consecuencia, la solución es que deben existir 10 cajas.
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68
Ejercicios propuestos.
1. Sean A y B dos sucesos aleatorios con 4/1,3/1,2/1 BAPBPAp .
Determinar:
a) BAP /
b) ABP /
c) BAP
d BAP /
f ABP
2. Sean A y B dos sucesos aleatorios con 5/1,4/1,3/1 BAPBPAp .
Determinar:
a) BAP /
b) ABP /
c) BAP
d) BAP /
e) BAP /
f) ABP /
3. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua
extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia
inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que
estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que sea chica?
4. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la
probabilidad de que:
a) Las dos sean copas.
b) Al menos una sea copas.
c) Una sea copa y la otra espada.
5. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas
correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos
temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del
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69
mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de
los temas estudiados.
6. Una clase está formada por 10 niños y 10 niñas; la mitad de las niñas y la mitad de
los niños han elegido francés como asignatura optativa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea niño o estudie
francés?
b)¿Y la probabilidad de que sea niña y no estudie francés?
7. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con
problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de
chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y
uno con problemas de chapa.
a) Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
b) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
c) Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
d) Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la
mañana.
8. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar,
hallar la probabilidad de:
a) Seleccionar tres niños.
b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
c) Seleccionar por lo menos un niño.
d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
9. Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y
la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se
selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga
cara.
10. Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza
por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola.
Se pide:
a) Probabilidad de que la segunda bola sea verde.
b) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
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11. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos
juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además a y un
60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un
alumno de la clase:
a) Juegue sólo al fútbol.
b) Juegue sólo al baloncesto.
c) Practique uno solo de los deportes.
d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
12. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos
castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:
a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos
castaños?
b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
13. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15
son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?
b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que
sea hombre?
14. Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la
urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un
número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos
a la urna B. A continuación extraemos una bola.
Se pide:
a) Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.
b) Probabilidad de que la bola sea blanca.
15. Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual
consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad
de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
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a) Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
b) Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
16. En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un
libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro
libro al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
b) Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado
por A sea de poesía?
17. Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas.
Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la
probabilidad de encontrarnos:
a) Con una persona sin gafas.
b) Con una mujer con gafas.
18. En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo
con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta
del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se
pide:
a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
c) Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al
primer llavero A?
19. Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
4
1
2
1
8
3 BAPBPAP
Hallar:
a) BAP
b) AP
c) BP
d) BAP
e) BAP
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f) BAP
g) ABP
20. Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
4
1
4
3
3
2 BAPBAPAP
Hallar:
a) AP
b) BP
c) BAP
d) ABP
21. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja,
otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:
a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
b) La primera bola no se devuelve
22. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar
de que:
a) Sea roja.
b) Sea verde.
c) Sea amarilla.
d) No sea roja.
e) No sea amarilla.
23. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar.
Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:
a) Con reemplazamiento.
b) Sin reemplazamiento.
24. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras,
¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad
de que no sea blanca?
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25. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10
morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno
que falta:
a) Sea hombre.
b) Sea mujer morena.
c) Sea hombre o mujer.
26 .Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas
caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:
a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
27. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos.
Se pide:
a) La probabilidad de que salga el 7.
b) La probabilidad de que el número obtenido sea par.
c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
28. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
a) Salga 6 en todos.
b) Los puntos obtenidos sumen 7.
29. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un
número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
30. Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
a) Un número par.
b) Un múltiplo de tres.
c) Mayor que cuatro.
31. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:
a) Dos caras.
b) Dos cruces.
c) Una cara y una cruz.
32. En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son
blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un
coche:
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a) Si se saca una papeleta.
b) Si se extraen dos papeletas.
c) Si se extraen tres papeletas.
33. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de
suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen.
34. Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5
disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo
tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?
35. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la
mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que
una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
36. La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva
20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:
a) De que ambos vivan 20 años.
b) De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
c) De que ambos mueran antes de los 20 años.
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CONCLUSIONES
Con este trabajo se pone en manos de estudiantes y profesores, y en general en todo
profesional interesado en aplicar herramientas estadísticas:
Un material bibliográfico de consulta diseñado para proporcionar los elementos
necesarios, para analizar y resolver problemas inherentes a la Estadística Matemática,
como base de la Estadística Inferencial.
Un folleto con un enfoque claro y un lenguaje sencillo, donde se han desarrollado
los aspectos fundamentales del tema de probabilidades de la asignatura de Estadística
Matemática teniendo en cuenta las exigencias de la modalidad semipresencial.
Se proponen acciones para la activación del proceso Enseñanza-Aprendizaje;
donde se tiene en cuenta el desarrollo de habilidades de los estudiantes que
favorezcan su formación profesional a partir del dominio del aparato conceptual,
ejemplos, ejercicios resueltos y propuestos del tema de probabilidades de la asignatura
Estadística Matemática de la carrera de Contabilidad y Finanzas.
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RECOMENDACIONES
Que se utilice por parte de profesores y estudiantes el folleto, en el desarrollo del
tema de probabilidades de la asignatura Estadística Matemática en la carrera de
Contabilidad y Finanzas , en la Universidad de las Tunas .
Que forme parte de la bibliografía para la superación metodológica del claustro en
dicha disciplina.
Que se extienda el folleto a las demás Universidades del país para su utilización.
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Folleto de ejercicios de probabilidades para la Carrera de Contabilidad y Finanzas.
BIBLIOGRAFÍA
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concepción desarrolladora._ La Habana: Ed. Pueblo y Educación
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modalidad semipresencial documento de trabajo (versión: 25.09.06)
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=PA1&dq=essai+laplace#PPP3,M1 (dirección exacta del libro) (Visitada 18 de Junio de
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