UNIVERSIDAD AUTO METROPOLITANA148.206.53.84/tesiuami/uam6982.pdf · Frecuentemente es conveniente expmsar la Ec. (1 .l-3) en forma exponencial, esto es, donde Y (1.1-5) ... (1.1-1)

I UNIVERSIDAD AUTO METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

ASESCM: DR. OCTAWO W. AsiiEEJI

SEPTIEMBRE 1994.

AGRADECIMIENTOS

El producto de esta investigación es fruto del esfuerzo de muchas personas.

En primer lugar agradezco a Dios que me dió vida y entusiasmo para poder llegar hasta el final.

Agradezco a mis padres el apoyo incondicional que siempre me brindaron, por su paciencia y comprensión en los momentos difíciles, los cuales no fueron pocos.

También agradezco a mi profesor y asesor, el Dr. Octavio por haberme permitido incorporar a su equipo de trabajo, por sus consejos, la orientacion y por el interbs que siempre mostró a lo largo de la investigación.

PREFACIO

El campo del procesamiento digital de imágenes está evolucionando continuamente. Durante los pasados cinco años, ha aumentado considerablemente el interés del estudio de imágenes morfalógicas, d e s nerviosas, procesamiento de coloración de imágenes, compresión de im&gensts, reconocimiento de patrones y conocimiento de imágenes basadas en sistemas de análisis.

El presente trabajo pretende mostrar la importancia que tiene en la actualidad el procesamiento digital de im ' así como los campos en los que éste puede ser aplicado. Además se pretende que sea de uülidsd en el estudio, diseño e implantación de programas de procesamiento digital de imwnass.

CONTENIDO.

I. AGRADECIMIENTOS 2 II. PREFACIO 3 111. COfqErdmo 4 IV. MTROWCCtON V. SECCION I TRANSFORMADA DE FOURIER 7

1.1 INTRODUCCION 8 1.2 LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER 11 1.3 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA

BlDlMENSlONAL DE FOURIER 14 1.3.1 PosMlidad de Separación 14 1.3.2 Traslación 15 1.3.3 Periodicidad y Simetría Conjugada 17 1.3.4 Rotación 18 1.3.5 Distributivided 18 1.3.6 Valor Promedio 19 1.3.7 Lapleciano 20

21 1.4.1 Algoritmo de FFT 22 1.4.2 Número de Operaciones 25 1.4.3 La FFT inversa 26 1.4.4 Implantación 27

1.4.3 La FFT inversa 26 SECClOPl II OTRAS TRANSFORMADAS

SEPARABLES 20 2.1 OTRAS TRANSFORMADAS SEPARABLES DE

I MAGEN ES 29 2.2 TRANSFORMADA DE WALSH 32 2.3 TRANSFORMADA DE HADAMARD 36 2.4 TRANSFORMADA DISCRETA DEL COSENO 42

VI. COMOOS FUENTE 43 VIL BIBt10GRBiFIA

1.4 LA TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER

I

INTRODUCCION

El interés en los métodos de procesamiento digital de imágenes se deriva de dos áreas principales de aplicación: mejoramiento de información gráfica para la interpretación humana, y procesamiento de modelos para una percepción autónoma por parte de la máquina. Una de las primeras aplicaciones de las técnicas de procesamiento de imágenes dentro de la primera categoría fue en el mejoramiento de fotografías enviadas por un cable submarino entre Londres y Nueva York. La introducción del sistema de cable para transmisión de fotografías en la década de los 20‘s redujo el tiempo requerido para transportar una fotografía a través del Atlántico de más de una semana a menos de tres horas. Un equipo especializado de impresión codificó las fotografías para la transmisión a traves del cable y en el punto de recepción estas fueron reconstruidas.

Algunos de los problemas iniciales en el mejoramiento de la calidad visual de éstas primeras fotografías digitalizadas estaban relacionados con la selección de procedimientos de impresión y el nivel de distribución de brillantez. El método usado anteriormente fue abandonado cerca del final de 1921 en favor de una técnica basada en la reproducción fotográfica hecha de cintas perforadas en la terminal telegráfica receptora.

Los antiguos sistemas Bartlane fueron capaces de codificar imágenes en 5 distintos niveles de brillo. Esta capacidad fue incrementada a 15 niveles en 1929.

Durante este período, la introducción de un sistema para el desarrollo de una película grabada por rayos de luz que fueron modulados por la fotografía codificada en la cinta mejoró considerablemente el proceso de reproducción.

El mejoramiento en métodos de procesamiento digital para las imágenes transmitidas continúo realizándose durante los siguientes 35 años. Sin embargo, este tomó la llegada combinada de las computadoras digitales de gran escala y el programa espacial para introducir de lleno el concepto potencial del procesamiento de imágenes. Usando las compubdoras para el mjommiento de las imágenes del espacio comenzó a probarse en el Jet Propulsion Laboratory (Pasadena, California) en 1964 cuando las fotografías de la luna transmitidas por el Rangger 7 fueron procesadas por una computadora para corregir varios tipos de distorsiones inherentes a la cámara de televisión a bordo. Estas ttbcnicas sirvieron como base para mejorar los métodos usados para expandir y restaurar imigenes enviadas desde el Surveyor en la luna, las series de los Manner en las misiones de vuelo a Marte, los vuelos tripulados del Apollo a la luna, y otros.

A partir de 1964 hasta hoy, el campo del procesamiento digital de imágenes ha crecido vigorosamente. Aunado a las aplicaciones en el programa espacial, las técnicas de procesamiento digital de imdgenes son ahora usadas para resolver una gran variedad de problemas. Aunque frecuentemente no están relacionados, estos problemas comunmente requieren métodos capaces de aumentar la información

pictórica para la interpretación y análisis humanos. En medicina, por ejemplo, los procedimientos computarizados aumentan el contraste o los niveles de intensidad de los colores para facilitar la interpretación de Rayos-X y otras imágenes biomédicas. Los geógrafos emplean la misma técnica o una muy similar para estudiar la contaminación de las imdgenes aéreas o de satélites. La expansión de imágenes y los procesos de restauración son usados para procesar imágenes dañadas de objetos irrecuperables o resultados experimentales demasiado caros para ser repetidos. En arqueología, los métodos de procesamiento han restaurado satisfactoriamente las pinturas manchadas que fueron los únicos registros disponibles de raros artefactos perdidos o dañados después de ser fotografiados. En física y campos relacionados, las técnicas de computaidoras expanden imágenes de experimentos tales como plasmas de alta energía y de microscopios electrónicos. Similarmente, pueden encontrarse aplicaciones exitosas del concepto de procesamiento de imágenes en astronomía, biología, medicina nudear, cumplimiento de la ley, defensa y aplicaciones industriales.

Estos ejemplos ilustran el resultado del procesamiento propuesto para una interpretación humana. La segunda área principal de aplicación de las técnicas de procesamiento digital de imhgenes mencionadas al comienzo esta en resolver problemas distribuyendo la imagen con la percepción de la máquina.

Nuestras aplicaciones esthn enfocadas a la primer área principal.

.

SECCIQQII I

.--- I-

1 .I INTRODUCCION

Sea f(x) una función continua de una variable real x. La transformada de Fourier de f(x) denotada como 3{f(x)), esta definida por la ecuación

3 { f(x)}=F(u)=~(x)exp(-j2nux)dx (1.1-1)

donde j= fl.

Dada F(u), f(x) se puede obtener usando la transformada inversa de Fourier

(1.1-2) 51 F( u)} =F( u)=~(x)exp(j2xux)du -3,

Las ecmciones (1.1-1) y (l.l-2), llamadas par de transformadas de Fourier, existen si f(x) es continua e integrrrMe y F(u) es integrable. Estas condiciones casi siempre se satisfacen en la prbctica.

Nuestro principal intds es trabajar con funciones f(x) reales. La transformada de Fourier de una función reail, sin embargo, genenrmte es compleja, esto es,

r (1.1-3) F(u) = R(u) + jl(u)

donde R(u) e /(u) son los componentes real e imaginario de F(u), respectivamente. Frecuentemente es conveniente expmsar la Ec. (1 .l-3) en forma exponencial, esto es,

donde

Y

(1.1-5)

I F(uj =[Rz(u)+iz(u)]%

I

( I . 1-6) +(u) = tan-i[l(u)/R(u)].

La magnitud de la función F(u) es llamada espectro de Fourier de f(x) y +(u) ángulo de fase. El cuadrado del espectro,

(1.1-7) P(u)=l F(u) 1 = R(u)Z+i(u)*

es referido comunmente como la potencia del espectro de f(x). El término densidad espectral también es comunmente utilizado para denotar la potencia del espectro.

La variable u que aparem en la transformada de Fourier frecuentemente es llamada la Vaffabl8 de fmcmmia. Este nombre le viene de la expresión del término exponencial exp(j27arx) en la forma:

(1.1-8) exp[-j2lcux] = cos2xux -jsen2lcux.

interpretmido la i en la ec. (1.1-1) como un limite de sumas de términos discretos hacen evKicsrrk que F(u) está com de una suma infinita de senos y cosenos y que cada valor de u detnrmmí . a la frecuencia de su conespondiente par seno-coseno. -

La tmndomadr de Fcwter pude ser fcicilmsn€e ampliada a una función f(x,y) de dos vana6les. Si f(x,y) es continua e integrable y F(u,v) es integrable, el siguiente par de transformadas de Fowisr existe:

0 (1.1-9) 3 { f(xly)}=F(u,v)=~~f(x,y)exp[-j2x(ux+vy)]dxdy -aB

Y a0 (I . 1-1 O)

T1{ F(u,v)}=f(x,y)=~~F( -(ID u,v)exp[-j2~(ux+vy)]dudv

donde u y v son las variabies de frecuencia.

Como en el caso unidimensional (1-D), el espectro de Fourier, la fase y la potencia del espectro, resp.ctivmmnte, son:

(1 .l-11) I F(u,v) I =[R2(u,v)+12(u,v)lW

I

t$ (u, v) = t a n-’ [I (u, v)/R (u, v) ]

P(u,v)= I F(u,v) I 2=R2(u,v)+i2(u,v)

(1.1-12)

(1.1-13)

1.2 LA TRANSFORMADA WSCRETA DE FOURIER

Supongamos que una función continua f(x) está discretizada en una secuencia

{ ~(xo) , f (xo+Ax) ,f(xo+ 2 AX) , .. . , f @o+( N- 1 )AX) 1

tomando N muestras separadas por Ax unidades. Es conveniente usar en los siguientes desarrollos a x como una variable discreta o continua, dependiendo del contexto de discusión. Para hacerlo se requiere definir

(1.2-1) f(x) = f(xo+xAX)

donde x ahora asume los valores discretos Oll,2,...,N-7. En otras palabras, la secuencia {~(0),~(7~,~(2), . . . , ~ ( N - ~ ) ~ denota cualquier N uniformemente espaciada de una función continua.

Con esta notación en mente, el par de transformadas de Fourier esta dado por:

(1.2-2) F(u) = (l/N)~f(x)exp[-j2xux/N] XSt.

para u=0,1,2,...,íV-7, y

f(x)=yF(u)exp[j2xux/N] U.0

(1.2-3)

para x=O,1 ,2,...,N-7.

Los vdoms u=O,1,2, ..., N - 7 en la transformada discreta de Fourier (Ec. 1.2-2) comspomkn a la trrwnformaida continua con los valores O,Au,2Au, ....,(N -7)Au. En otras p a k h s , F(u) mprmsmta F(uAu). Esta notación es similar a aquella usada por la diseruta flx), ex qu8 las muestras de F(u) comienzan en el origen de los ejes de frecuenci.. Los t&m¡nos Au y Ax estbn relacionados por la expresión

(1.2-4) Au=(l/NAx)

En el ~ S Q de dos vanerbtgs el par de transformadas discretas de Fourier es

(1.2-5) F(u,v)=( l/MN)~f$(x,y)exp[-j2n(ux/M+vy/N)]

J-

para u=0,1,2 ,... JW-7, v=0,1,2 ,..., N-7, y

r( u-l f(x,y)=hF(u,v)exp[j27t(u~-M+vy/N)] - yso

(1.2-6)

para x=0,1,2 ,... ,M-7 yy=O,1,2, ..., N-7.

Supongamos ahora una función continua en 2-D, con divisiones Ax y Ay en los ejes x e y, respectivamente. Como en el caso 1-D, la función discreta f(xJy) representa muestras de la funcidn f(xo+xAxlyo+yAy) para x=O,1 ,2,...,M-7 y y=0,1,2, ..., N-7. De manera similar se aplican a F(u,v). Los incrementos en los dominios espacial y frecuencia1 están relacionados por

(1.2-7) Au = (l/MAx)

Y

(1.2-8) Av = (l/NAv)

Cuando las imágenes se encuentran en un arreglo cuadrado, M=N y

(1.2-9) F(u,v)=( 1 /N)~~(x,y)exp[-j2n(ux+vy)/N]

m y . 0

pur21 u,v=0,1,2 ,..., N-7, y

(1.2-10) f(x, y)=( 1 /N)!!%(u , v)exp[j2x( ux+vy)/N]

w

pura x,y=0,1,2, ..., N-7. Note la inclusión de un término 7AV en las ecuaciones (1.2-9) y (1.2-10). Debido a que F(uJv) y f(xJy) son un par de transformadas de Fourier, la appaaún de estas constantes muktplicativas es atbiino. En la prácttca, las imlganes wfl digitdizdus en arreglos cuadrados, de manera que las Ecs. (1.2-9) y (1.2-10) serán las utilizadas. La formulación en las Ecs. (1.2-5) y (1.2-6) es usada en pocas ocasiones cuando el tamaño de la imagen es importante.

El espectro de Fourier, la fase y el espectro de energía de las funciones discretas 1-D y 2-0 también están dados por las Ecs. (1.1-5) a (1.1-7) y las Ecs. (1.1- 11 ) a (1.1-13), respectivamente. La única diferencia es que las variables independientes son discretas.

A diferencia del caso continuo, la existencia de la transformeda discreta de Fourier no es de interés, pues F(u) y F(u,v) siempre existen. En el caso 1-D, por

ejemplo, este puede obtenerse por sustitución directa de la Ec. (1.2-3) en la Ec. (1.2- 2):

F(u)=( 1 lN)%[!?F(r)expJj2xndN]]exp[-j2xux/N 11- -a J

=( 1 /N$F(r) ro [~exp[j2xrxlN]exp[-jZxux/N]] m

La identidad (1.2-1 1) se sigue de la condición de ortogonalidad

N si ~u Cexplj2lcrx/N]exp[-j2xux/N]=

(1 2-1 1)

(1.2-1 2)

Note que cambiando la variable desde u hasta r en la Ec. (1.2-3) se aclara la notación.

La sustitución de la Ec. (1.2-2) en la Ec. (1.2-3) tambien produciría una identidsd en f(x) indicando que el par de transformadas de Fourier dados por estas ecu.cionscl siempre existe. Se tiene un argumento similar para el caw discreto, 2-D del par de transformadais de Fourier.

I . .~ ....

1.3 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TMNSFORMADA BIDIMEWSIOMAL DE FOURIER

Ahora fijaremos nuestra atención en las propiedades de la transformada de Fourier que serán de interés en las siguientes discusiones. Aunque inicialmente estábamos interesados en el caso 2-0, tanto las transformadas discretas y los conceptos fundamentales de estas propiedades son mucho más comprensibles cuando son presentados en su forma continua en 1-D.

1.3.1 Posibilidad de Separación

El par de transformadas discretas de Fourier en las Ecs. (1.2-9) y (1.2-10) pueden ser expresadas en forma separada

(1.3-1) u7

F(u, v)=( 1 k-* /N)~exp[-j2nux/N]!??f(xly)exp[-j2nvylN] jw

para u,v=0,1,2, ..., N-7, y

u- 1

f (x, y)=( 1 /N)%xp[j2nux/N]r;f(u ,v)exp~lnry/N] w *ro

para x,y=0,1,2 , . . . I A/ -7 .

(1.3-2)

La principal ventaja de la propiedad de separación es que F(u,v) o f(x,y) puede ser obtenida en dos pasos por aplicaciones sucesivas de la transformada de Fourier o su inversa. Esta ventaja se hace evidente si la Ec. (1.3-1) es ewrssada en la forma

u-\

XW F(u ,v)=( 1 /N)~F(x,v)exp[-j2nux/N]

(1 .3-3)

donde

(1.3-4) hJ -1

JW F(x,v)=N[( 1 /N)Cf(x,y)exp[-j2xvy/N]]

Para cada valor de x, la expresión dentro los corchetes en la ec. (1.3-4) es una transformada 1-D, con valores de frecuencia v=0,1,2, ..., N-7. Por lo tanto, la función F(x,v) bidimensional es obtenida al tomar una transformada a lo largo de cada renglón de f(x,y) y multiplicando el resultado por N. El resultado deseado, F(u,v), es entonces obtenido al tomar una transformada a lo largo de cada columna de F(x,v), como se indica en la Ec. (1.3-4). El mismo resultado puede ser obtenido al tomar primero la transformada a lo largo de las columnas de f(x,y) y después a lo largo de los renglones. Esto es fácilmente verificado al invertir el orden de las sumas de la Ec. (1.3- 2). El mismo comentario se aplica a la implantación de la Ec. (1.3-3).

1.3.2 Tmslrición

Las propiedades de traslación del par de transformadas de Fourier son

f(x, y)exp[j2x( uox+voy)/N]eF( u-uo, v-vo)

Y

f (x-xo, y-yo)aF( u , v)exp[-j2x( uxo+vyo)/N]

(1 .3-5)

(1 .3-6)

donde la dobie flecha indica la correspondencia entre una función y su transformada de Fourier (y viceversa), como en las Ecs. (1.1-9) y (1.1-10) o Ecs. (1.2-9) y (1.2-10).

La ecuación (1.3-6) muestra que multiplicando f(x,y) por el t6rmino exponencial indimdo y tomando la transformada del producto, resulta un cambio del origen de la frecuencia del plano hacia el punto (uo,vo). Similarmente, multiplicando F(u,v) por el thnino exponencia1 mostrado y tomando la transformada inversa traslada el origen del plano a (XOJO).

Consideremos el uso de la Ec. (1.3-5) con uo=vo=Ni2, o

exp[jZx( uox+voy)/N] =exp(jx(x+ y)= (- 1 )y’y

(1.3-7)

Y

f (x, y)( - 1 )X+y e F ( u-N/2 , v-N/2)

I

Así, el origen de la transformada de f(xly) puede ser trasladado hacia el centro de su correspondiente frecuencia NxN, simplemente al multiplicar f(x,y) por (-7)x+y. En el caso de una variable este cambio se reduce a la multiplicación de f(x) por el término (-I)*.

Note de la Ec. (1.3-7) que un cambio en f(x,y) no afecta la magnitud de su transformada de Fourier, como

(1.3-8) IF( u ,v)exp[-j2n( uxo+vyo)/N] I=IF( u ,v)l

Es importante tener esto en mente, porque el exámen visual de la transformada usualmente es limitada a una determinada exhibición de su magnitud.

1.3.3 Periodicidad y Simetría Conjugada

La transformada discreta de Fourier y su inversa son periódicas con período N; esto es:

(1.3-9 F(u,v)=F(u+N ,v)=F(u,v+N)=F(u+N,v+N)

La validez de esta propiedad puede ser demostrada por sustitución directa de las variables (u+N) y (v+N) en la Ec. (1.2-9). Aunque la Ec. (1.3-9) indica que F(u,v) se repite infinitamente para muchos valores de u y v, sólo los N valores de cada variable en cualquier período se requieren para obtener f(x,y) a partir de F(u,v). En otras palabras, sólo un periodo de la transformada es necesario para especificar completamente F(u, v) en el dominio frecuencial. Comentarios similares se aplican a f(x,y) en el dominio espacial.

Si f(x,y) es real, la transformada de Fourier también muestra simetría conjugada:

(1.3-1 O) F(u,v)=F*(-u,-v)

o de manera mas internsante,

(1.3-1 1) Jv) \=IF"(-' I

donde F*(u,v) es el complejo conjugdo de F(u,v). Como mencionamos anteriormente, frecuentemente es de inter& mabar la magnitud de la transformada de Fourier para propósitos interpretativos. Exominas las implicaciones de las Ecs. (1.3-9) y (1.3-11) mostrando la magnitud de la tmnsfomtrde, nos m i t e considstar primero el caso de una variable, donde

F(u)=F(u+N) y

La propiedad de periodicidad indica que F(u) tiene un periodo de longitud N, y la propiedad de simetría muestra que la magnitud de la transformada está centrada en el origen y el comentario precedente demuestra que las magnitudes de los valores de la transformada desde (NR)+l a (N-I) son reflexiones de los valores en la mitad del período hacia la izquierda del origan. Ya que la transformada discreta de Fourier ha sido formulada para vabms de u en el intervalo [O,N-I], el resultado de esta formulación produce dos períodos medios en este intervalo. Para desplegar un período completo, todo lo anterior es necesario para mover el origen de la transformada hacia

el punto u=N-2. Para hacerlo así, simplemente multiplicamos f(x) por (-7)x antes de tomar la transformada como ya se indicó .

Las mismas observaciones se tienen para la magnitud de la transformada bidimensional de Fourier, con la excepción de que los resultados son considerablemente más difíciles de interpretar si el origen de la transformada no está cambiado al punto frecuencia1 (N/2,N/2).

1.3.4 Rotación

Si introducimos las coordenadas polares

x=rcose y=rsene u=wcos+ v=wsen+

entonces f(x,y) y F(u,v) se convierten en f(r,9 y F(w,#), respectivamente. La sustitución directa en cualquier transformada de Fourier, continua o discreta, produce

(1.3-1 2) f(r,++eo)eF(w,++e0)

En otras palabras, la rotación f(x,y) por un ángulo 6b rota a F(u,v) el mismo ángulo. De manera simiiar, rotando F(u,v) rotamos f(x,y) el mismo ángulo.

1.3.5 DistributibMad

De la definicion del par de transformadas discreta o continua,

(I. 3-1 3)

y en general,

(1.3-14) ~{fl(XlY)*f2(XIY)}#~{fl(X,Y)}*~ {f2(X9Y)}

En otras palabras, la transformada de Fourier y su inversa son distributivas para la suma, pero no para la multiplicación.

Para dos escalares a y b

Y

1.3.6 Valor Promedio

(1.3-1 5)

(1.3-16) f (ax, by)- 1 /(ab I F( u/a , v/b)

Una definición ampliamente usada del valor promedio de una función discreta 2-D es la expresión

Substituyendo U=FO en Ir Ec. (1.2-9) produce

(1.3-1 7)

(1.3-18)

Por lo tanto f(x,y) est& rdrcionada con la transformada de Fourier de f(x,y) por

1.3.7 Laplaciano

El Laplaciano de una función de dos variables f(x,y) está definido como

(1.3-20) V2f(x,y)=a2f/aX2+a2flay2

De la definición de la transformada de Fourier 2-D,

(1.3-21) 3 { V2f (x, y) 1 --(in)’( U2+v2) F (U, V)

El operador Lapleiciano es utilizado para marcar el contorno de una imagen, como se verá después.

1.4 LA TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER

El número de multiplicaciones complejas y sumas requeridas para implantar la Ec. (1.2-2) es proporcional a N’. Esto es, para cada uno de los N valores de u, la expansión de las sumas requieren N multiplicaciones complejas de f(x) por exp(-j27t udn) y N - 7 sumas. Los t6rminos de exp(-j2lcuxJl) pueden ser computados una vez y almacenados en una tabla para todas las aplicaciones subsecuentes. Por esta razón, la multiplicación de u por x en éstos términos usualmente no es considerada una parte directa de la implantación.

La propiedad de descomposición de la Ec. (1.2-2) puede hacer el número de sumas y multiplicaciones proporcional a N/og,N. El procedimiento de descomposición es llamado algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT). La reducción en proporcionalidad de operaciones de Nz a N/og,N representa un significativo ahorro de trabajo computacional, tal como se muestra en la Tabla 1.1. Obviamente, la FFT ofrece una ventaja computacional considerable sobre la implantación directa de la transformada de Fourier, particularmente cuando N es relativamente grande. Por ejemplo, supongamos que la FFT de un arreglo de 8192 puntos requiere de 5 seg. tiempo maquina. La misma mdquina podría tardar aproximadamente 60 veces más (50 mins) para procesar la transformada de Fourier del mismo arreglo usando la Ec. (1.2-

N N2 (FT Nlog2N Ventaja dimctíu) (FFT) Computeicional

* (NAog2N) 2 4 2 2.00 4 16 8 2.00 8 64 24 2.67

16 256 64 4.00 32 1024 160 6.40 64 4096 684 10.67

128 16384 896 18.29 256 65536 2048 32.00 512 262 1 44 4608 56.89

1024 1 O48576 10240 102.40 2048 41 94304 22528 186.18 4096 16777216 A91 52 341.33 8192 67108864 106496 630.15

2).

Toma 1.1 Una eomp.t.c)ón de N2 versus NLog,N para varios valores de N.

i

!

1.4.1 Algoritmo

El aigoritmc método doble suce

donde

y N se supone es c

donde n es un entt

donde All es tambii nos da

F(u

De la Ec. (1

pafa u=0,1,2, ..., M-

le FFT

je FFT desarrollado en esta sección esta basado en el llamado vo. Por conveniencia, expresamos la Ec. (1.2-2) en la forma

F(U)=( 1/N$f(X)WNUx 1 3

(1.4-1)

(1.4-2)

la forma

(1.4-3) N=2n

5 positivo. A partir de ahora N puede ser expresada corno

un entero positivo. La sustitución de la Ec. (1.4-4) en la Ec. ('l.4-1) P

(1.4-5) 81 /2M%(x)W,=í/2( 1 /MFf(2x)Wi:k L -3 1 /M&f(2x+ =.o l)W;J*'

AZO

I-2) W z W , l a Ec. (1.4-5) puede ser expresada en la forma

(1.4-6) F(u)=l/2(( 1 /M)2(2x)W:+( 1 IM)%(2x+ %W 1 )V$)N;J

IW

(1.4-7)

(1.4-8) Fimpr(u)=l /M?f(2x+ 1 )W,"

W

para UZO, 1,2,. . . ,M-1 , reducen la Ec. (1.4-6) a

(1 .4-9) F(u)=%[ Fpar(U)+Firnpar(U) W&]

También, desde y M = w y W,'M=-W& las Ecs. (1.4-7) a (1.4-9) dan

(1.4- I O) F(u+M)=%[ Fpar(U)-Firnpar( U) W;M]

Un cuidadoso análisis de las Ecs. (1.4-7) a (1.4-1 O) revela algunas propiedades interesantes de estas expresiones. Una transformada de N-puntos puede ser procesada dividiendo la expresión original en dos partes, como se indica en las Ecs. (1.4-9) y (1.4-10). El procesamiento de la primera mitad de F(u) requiere evaluación de los dos (N/2) puntos transformados, dados en las Ecs. (1.4-7) y (1.4-8). Los valores resultantus de F d u ) y Fwr(u) son entonces sustituidos en la Ec. (1.4-9) para obtener F(u) para u=0,1,2, ...,( N/2-1). La otra mitad entonces se sigue directamente de la Ec. (1.4-10) sin evaluaciones adicionales de la transformada.

En orden para examinar las implicaciones computacionales de este procedimiento, sean m(n) y a(n) el número de multiplicaciones y sumas complejas, respedwwnmte, mquendas para su implantación. Como antes, el número de mli.dns es 2", donde n es un entero positivo. Supongamos primero que n=l. Una ttwisfomi.ck de dos puntos requiere la evaluación de F d O ) y FimPsr(0). En este caso, Mrl y las Ecs. (1.4-7) y (1.4-8) son transformadas de un punto. Debido a que la tmnefomud. de Fourier de.un sólo punto es la misma, sin embargo, no se requieren muiúplicQIciones o sums pana obtener Fper(0) y FiWr(0). Una multiplicación de FiWr(0) por W, y una suma producen F(0) de la Ec. (1.4-9). Entonces F(7) se sigue de la Ec. (1.410) con una suma más (la resta se considera como una suma también). Como Fkrp.r(O)W ya ha sido computada, el número total de operaciones requeridas para una tnansfmach de do6 puntos consiste de m(l)=l multiplicaciones y a(l)=2 sumas.

El siguiente valor permitido para n es 2. De acuerdo con el desarrollo anterior, una transformada de cuatro puntos pude ser dividida en dos partes. La primera de F(u), requiere evaluaciones de dos transformadas de dos puntos, como en las Ecs. (1.4-7) y (1.4-8) para W 2 . Una transformada de dos puntos requiere m(1) multipl¡&ones y e(1) sumas, así, la evaluación de estas dos ecuaciones requieren un total de 2m(l) muttiplicerciones y 2a(l) sumas. Son necesarias dos multiplicaciones y sumas adicionales para obtener F(0) y F(7) de la Ec. (1.4-9). Como F~&u)Wya había sido computada pera u={O,I}, dos sumas más dan F(2) y F(3). El total es entonces m(2)=2m(1)+2 y s(2)=2a(1)+4.

Cuando n es igual a 3, se consideran dos transformadas de cuatro puntos en la Ec. de F d u ) y Fbnpsr(u). Ellas requieren 2m(2) multiplicaciones y 2a(2) sumas. Cuatro multiplicaciones y ocho sumas más dan la transformada completa. El total es entonces m(3)=2m(2)+4 y a(3)=2a(2)+8.

Continuando con este argumento para cualquier valor entero positivo de n, llegamos a la expresión recurciva para el número de multiplicaciones y sumas requeridas para implantar la FFT

(1.4-1 1) m(n)=2m(n-1)+2”-1 n 2 1

(1.4-12) a(n)=Za(n- 1)+2” n 2 l

donde rn(O)=O y a(O)=O porque la transformada de un sólo punto no requiere ninguna suma o multiplicación.

La implantación de leis Ecs. (1.4-7) a (1.4-10) constituyen el algoritmo doble sucesivo de FFT. Este nombre le viene del método de procesar una transformada de dos puntos en dos transformadas de un punto, una transformada de cuatro puntos en dos de dos puntos, y así para cualquier N potencia de 2.

1.4.2 Número de Operaciones

Por inducción, el número de multiplicaciones y sumas complejas requeridas para implantar el algoritmo de la FFT es:

(1.4- 1 3) m(n)=Yi2nlogZ2n

=WNlog,N =WNn n 2 1

Y

a(n)=2nlog22" =Nlog,N

=Nn n r l

respectivamente.

(1.4-14)

La demostración por inducción comienza mostrando que las Ecs. (1.4-13) y (1.4-14) son válidas para n=l . Recuerde que

m(1)=%(2)(1)=1 y a( 1)=(2)(1)=2.

Ahora supongamos que la expresión es válida para n. Entonces es necesario demostrar que también se cumple para n+l.

De la Ec. (1.4-ll),

Sustituyendo la Ec. (1.4.13) para m(n) y suponiendo que es vdlida para n, obtenemos

m(n+ l)=%Nn+2" =2 (%2n)+2n =2"(n+l) =1/2(2"+1)(n+ 1)

La Ec. (1.4-1 3) es por lo tanto válida para todo valor entero positivo de n.

De la Ec. (1.4-12),

a(n+ 1)=2a(n)+2"+'

. -- __.I IUI

Sustituyendo la Ec. (1.4-14) para a(n) obtenemos

a(n+ 1)=2Nn+2"+' =2(2nn)+2n+l =2n+l (n+ 1 )

lo cual completa la demostración.

1.4.3 La FFT inversa

Hasta ahora, hemos hablado poco de la transformada inversa de Fourier. La razón es que cualquier algoritmo para la implantación de la transformada directa tambih puede ser usado (con una pequeña modificación) para procesar la inversa. Pana demostrarlo, regresemos a las Ecs. (1.2-2) y (1.2-3), repitiéndolas como

(1.4-15) F(u)= 1 /N%'r(x)exp[-j2xux/N] x a

Y

(1.4-16) f(x)=%k(u)exp[j2nux/N]. w

Tomando el complejo conjugado de la Ec. (1.4-16) y dividiendo ambos lados entre NI tenemos

(1.4-17) (l/n)f"(x)=( l/N@(u)exp[-j2xux/N].

Comparando este resuitdo con la Ec. (1.4-1 5) muestra que el lado derecho de la Ec. (1 4-17) está en la forma de la transformada directa de Fourier. Así introduciendo F*(u) al algoritmo diseñado para procesar la transformada directa obtenemos la cantidad P(x)AV. Tomando el complejo conjugado y multiplicando por N, obtenemos la inversa ckmada f(x).

Para arreglos cuadrados 2-0 tomamos el complejo Conjugado de la Ec. (1.2- lo), que es,

(1.4-18) P(x, y)= 1 /N !%?* (u , v)exp[ -j2 pi( ux+vy)/N] --

el cual este en la f6rma de la transformada directa 2-D de la Ec. (1.2-9). Por lo tanto, introduciemdo F*(u,v) en el algoritmo diseñado para procesar la transformada directa, obtenemos f*(x,y). Tomando el complejo conjugado de este resultado obtenemos f(x, y).

Cuando f(x) Ó f(x,y) es real, la operación del complejo conjugado es innecesaria, pues f(x)=f'(x) y f(x,y)=f'(x,y) para funciones reales.

El procesamiento de las transformadas 2-D por pasos sucesivos de la transformada 1-D es una fuente frecuente de confusión cuando la técnica precedente es usada para obtener la inversa. En otras palabras, cuando un algoritmo 1-D es usado para procesar la inversa 2-0, no procesamos el complejo conjugado después procesando cada renglón o columna. En cambio, la función F*(u,v) es tratada como si fuera f(x,y), en la transformada directa. El complejo conjugado del resultado (si es necesario) de la propia inversa f(x,y).

1.4.4 Implantación

Una implantación del algoritmo de la FFT en la computadora, desarrollado en el Apartado 1.4.1 es sencilla. El punto principal a tener en mente es que los datos de entrada deben estar arreglados en el orden requerido para sucesivas aplicaciones de las Ecs. (1.4-7) y (1.4-8). El procedimiento de ordenación puede ser ilustrado a través de un ejemplo simple. Supongamos que queremos usar sucesivamente el algoritmo para procesar la FFT de una función de ocho puntos { f ( O ) , f ( ~ ~ , ..., f(7)]. La Ec. (1.4-7) emplea las muestras con argumentos pares, {f(O),f(2),f(4),f(~~}, y la Ec. (1.4-8) utiliza los argumentos impares, {f(l),f(3),f(§),f(l)}. Sin embargo, cada transformada de cuatro puntos es computada como dos transformadas de dos puntos, las cuales requieren el uso de las Ecs. (1.4-7) y (1.4-6). Así para procesar la FFT del primer conjunto, debemos dividirlo en sus partes pares (f(O),f(4) } y partes impares {f(2),f(6)}. De manera similar, el segundo subconjunto es subdividido en {f(I),f(5)} para la Ec. (1 -4-7) y {f(3),f(7)} para la Ec. (1.4-8). No se requiere un nuevo arreglo, porque cada conjunto de dos elementos es considerado que tiene un elemento par y otro impar. Combinando estos resultados necesitamos que el arreglo de entrada sea expresado en la forma { f(O),f(4),f(2),f(6),f(l),f(5),f(3),f(7)). En el primer nivel de procesamiento están involucrados cuatro transformadas de dos puntos { f(O),f(4)} , { f(2),f(6)}, { f(l),f(5)} y { f(3),f(7)}. El siguiente nivel utiliza estos resultados para formar dos transformadas de cuatro puntos, y el Último nivel emplea estos dos resultados para producir la transformada deseada.

Otras T r a m - dl)

-

2.1 OTRAS TRANSFORMADAS SEPARABLES DE IMAGENES

La transformada discreta 1-D de Fourier es de una clase importante de transformadas que pueden ser expresadas en términos de la relación general

(2.1-1) T(u)=Z(x)g(x,u)

donde l(u) es la transformada de f(x), y g(x,u) es el kernel de la transformación, y u tiene valores en el rango 0,l ,21...,N-1. Similarmente, la transformada inversa es la relación

(2.1-2) f(x)=?T(u)h(x,u) -0

donde h(x,u) es el kernel de la transformada inversa y x tiene valores en el rango O, 1,2,. , . ,MI. Las propiedades de su kernel de transformación determinan la naturaleza de la transformada.

Para un arreglo cuadrado 2-0, las transformadas directa e inversa son

Y

(2.1-3)

(2.1-4)

donde otra vez g(x,y,u,v) y h(x,y,u,v) son llamados kernels de transformación directo e inverso respectivamente. Los k e d s sólo dependen de los índices x, y, u y v, no de los valores de f(x,y) o T(u,v), así g(x,y,u,v) y h(x,y,u,v) pueden ser visualizados como las funciones base de una expansión en sene vía la Ec. (2.1-3) o (2.1-4).

El kernel directo se dice sepambki si

En suma, el kernel es simétrico si g, es funcionalmente igual a g2. En este caso, la Ec. (2.1-5) puede ser expresada en la forma

,

... . . .

Comentarios similares se aplican al kernel inverso si g(x,y,u, v) es reemplazado por h(x,y,u,v) en las Ecs. (2.1-5) y (2.1-6).

La transformada 2-D de Fourier es un caso especial de la Ec. (2.1-3). Esta tiene el kernel

g(x,y,u,v)=l/N exp[-2jn(ux+vy)/N ]

la cual es separable y simétrica porque

(2.1-7) gO(1Y I u,v)=g, (XI u)g, (Y IV)

= 1/.IÑ exp[-2jlrux/N] 1 /dÑ exp[-2jrcvy/N].

El kernel de la inversa de Fourier también es simétrico y separable.

Una transformada con un kernel separable puede ser computada en dos pasos, cada uno de los cuales requiere una transformada 1-D. Primero, tomando la transformada 1-D a lo l8rgO de cada renglón de f(x,y), del que obtenemos

(2.1-8)

para x,v=O,1,2, ..., N-1. El siqubnte, tomando la transformada 1-D a lo largo de cada columna de T(x,v) resuha en la expresión

(2.1.9)

para ulv=Oll12 ,...,Ml. Este procedimiento admite el método dado en el Apartado de la Propiedad de Sepamcbh p m la transformada de Fourier. Los mismos resultados finales se obtienen tomando la transformada primero a lo largo de cada columna de f(x,y) para obtener T(y,u) y despu6s a lo largo de cada renglón de la última función para obtener T(u,v). C m h M s similares se aplican a la transformada inversa si h(x,y,u,v) es separable.

Si el kernel g(x,y,u,v) es separable y simétrico, la Ec. (2.1-3) también puede ser expresada en la forma de la matriz:

(2.1 - 1 O) T=AFA

donde F es la matriz imagen de NxN, A es una transformada simétrica de una matriz de M con elementos aii=g,(iJI y T es el resultado de la transformada de NxN para

valores de u y v en el rango 0,1,2 ,..., Ai-1

Para obtener la transformada inversa, multiplicamos antes y después la Ec. (2.1-10) por una transformada inversa B:

(2.1-1 1) BTEhB AF AB

Si B=A-’

(2.1-12) F=BTB

indicando que la imagen digital F puede ser recuperada completamente de su transformada. Si EI no es igual a A-’, el uso de la Ec. (2.1-11) produce una aproximación a F:

(2.1 - 1 3) F a A F A 6 .

Vanas tmnrfomi.acis (induyendo las transformadas de Fourier, Walsh, Hadamrrd, C O S ~ W ~ ~ &6cmto, Ham y Slant) pueden ser expresadas en la forma de las ecuaciomM (2.1-10) y (2.1-12). Una propiedad importante del resultado de la transformacicín de Irw matrices es que etlas pueden ser descompuestas en productos de matricas con menos entradas diferentes de cero que la matriz original. Este resuitado, primero formulado por Gcrod (1958) para la transformada de Fourier, reduce la redundancia y consecueFds~e, el número de operaciones requeridas para implanfar una transformada 2-D. El grado de reducción es equivalente al conseguido por el aigoritmo de FFT: en el orden de N/og,M para cada renglón o columna de una imagen M.

2.2 TRANSFORMADA DE WALSH

Cuando N=2", la transformada discreta de Walsh de una función f(x), denotada como W(u), se obtiene sustituyendo el kernel

en la Ec. (2.1-1). En otras palabras

(2.2-1)

(2.2-2)

donde bk(z) es el k-ésimo bit en la representación binana de z. Por ejemplo, si n=3 y z=6 (1 10) en binario), bo@), bl(z) y bn(z)=l.

Los valores de g(x,u), excluyendo el término constante 1/N, se encuentran listados en la Tabla 2.1 para N=8. El arreglo formado por el kernel de la transformada de Walsh es una matriz sim4trica. Estas propiedades generales conducen a un kernel inverso idéntico al kernel directo, excepto por un factor multiplicativo constante de 1/N; esto es

Así, la transformada inversa de Walsh es

(2.2-4)

De m a m difarente a la transformada de Fourier, la cual est% basada en términos trigonoMeos, la transformada de Walsh consiste de una expansión en serie de las bases de la función cuyos valores son +1 o -1.

La validez de la Ec. (2.2-4) se establece fácilmente por sustitución de la Ec. (2.2-2) para W(u) y haciendo uso de la condición de ortogonalidad mencionada pmviamta. Nota en las Ecs. (2.2-2) y (2.2-4) las transformadas de Walsh directa e inversa difieren sóio por el término 1/N. Así cualquier algoritmo para procesar la tmnsformada directa puede ser usado para obtener la transformada inversa simplemente ail mulbplicsr el resultado del algoritmo por N.

Los kemefsl dimeto e inverso 2-D de Walsh están dados por la relación

. . . .. . .. .~

x O 1 2 3 4 5 6 7

O + + + + + + + + I + + + + - - - - 2 + + - - + + - - 3 + + - - - - + + 4 + - + - + - + - 5 + - + - - + - + 6 + - - + + - - + 7 + - - + - + + -

TaMa 2.1 Valores del Kernel de Transformación de Walsh con N b

Y

(2.2-6) h(x, yI u,v)= 1 /NE(- 1 )[a(x)ml-i(u)+bi(~)bl-i(v)]

c- 3

Aunque agrupar el tdmino 1/N en g(x,y,u,v) Ó h(x,y,u,v) es válido, la forma de las Ecs. (2.2-5) y (2.2-6) son preferibles en las aplicaciones de procesamiento de irn&mes, dond6existe el mismo interés en tomar la transformada directa e inversa. Así como la fomiulsción de estas ecuaciones produce kernels idénticos a los de las Em. (2.1-3) y (2.1-4), también conducen a las transformadas de Walsh directa e inversa; @sto es

(2.2-7)

Y

(2.2-8) f ( x , y ) = l / N ~ ~ ( u , ~ ) ~ ( - I ) ~ b ( ~ ) ~ ~ ~ ( ~ > + b ( Y > ~ ~ - i ( ~ ) ~

‘-p. o

Así cualquier algoritmo usado para procesar la transformada 2-0 directa de Waloh pweda t a M n ser usado sin modificación para procesar la transformada inversa.

Los kernels de la transformada de Walsh son separables y simétricos, porque

(2.2-9) g(x,y,u,v)=g1(x,u)gl (YlV)

=hl(x,u)hl(y,v) =[1/~~(-1)bi(x)bhl.¡(u)][l/JÑrrnr(_l)~(Y)bhl~(v)]

L- ¿rú

Desde ahora W(u,v) y su inversa pueden ser procesados por aplicaciones sucesivas de la transformada 1-D de Walsh en la Ec. (2.2-2). El procedimiento seguido en el procesamiento es el mismo que en el Apartado 1.3.1.

La transformada de Walsh puede ser procesada por un algoritmo rápido casi idéntico al metodo sucesivo doble del Apartado 3.4.1 para la FFT. La Única diferencia es que todos los Mrminos exponenciales WN son iguales a 1 en el caso de la transformada rápida de Walsh (FWT). Las Ecs. (1.4-9) y (1.4-10) conducen a la FFT, y tenemos

(2.2- 1 O)

Y

(2.2-1 1)

domk MrNL?, u=O,l,Z, ..., Ad-1 y W(u) denota la transformada 1-D de Walsh.

Como mencionamos anteriormente, un algoritmo usado para procesar la FFT por el método dobk sucesivo puede ser modificado fácilmente para procesar una tmmformada rápida de Walsh simplemente agrupando todos los términos tngonornéttkos iguu4?$ a 1. La transformada de Walsh es real, así que requeriremos m o r cantdad * de m o r i a que para un problema de la transformada de Fourier, la cud gewlemlm es cxmplsja.

Como se indicó en conexión con las Ecs. (2.1-3) y ( 2 . 1 4 una transformada y su inversa pueden sew expresadas en términos de series de expansión dentro de los k d t apmp¡lidos. Los kernels dependen sólo de los índices u, v, x, y y, de manera que los kernels sirven como un conjunto de funciones base, las cuales naturalmente 88th completamente dentro de las dimensiones que han sido fijadas por la imagen. Cada bioque cornspond8 a la variación de x y y desde O hasta 3 (esto es, O a N-l), mientras mantenernos u y v fijos en los valores correspondientes a ése bloque. Así cada bioque consiste de un arreglo binano de 4x4 elementos. En el bloque para

. u=v=O, todos los valores del kernel son 1. Para usar las funciones base del pmcewmhto de la transformada de Walsh de una imagen de tamaño 4x4 simplemente necesitamos obtener W(O,O) multiplicando el arreglo de la imagen punto por punto con el bloque base de 4x4 correspondiente a u=v=O, añadiendo los resultados, y dividiendo entre 4. Para obtener W(O,7) se requiere usar el bloque

correspondiente a u=O y v=1, y así para cada uno de los 16 bloques. Ya que el kernel de la transformada inversa de Walsh es idéntico al kernel directo, estas funciones también se aplican a la transformada inversa, excepto que ahora x y y son fijas para cada bloque, y u y v varían desde O hasta N-I dentro de ese bloque.

2.3 TRANSFORMADA DE HADAMARD

Una formulación conocida para la transforrrtada 1-D de Hadamard es la relación

donde la sumatoria en el exponente es realizada en módulo 2 y, como en la Ec. (2.2- l), b@) es el k-ésimo bit en la representación binaria de z. Sustituyendo la Ec. (2.3-1) en la Ec. (2.1-1) obtenemos la siguiente expresión para la transformada 1-D de Hadamard:

donde N=2", y u tiene valores en el rango 0,112,...l/V-l

Como en el caso de la transformada de Walsh, el kernel de la transformada de Hadamard forma una matriz con renglones y las columnas ortogonales. Esta condición una vez más conduce a un kernel inverso, excepto por el término 1/N quees igual al kernel de la transformada directa de Hadamard; esto es

La sustitución de este kernel en la Ec. (2.1-2) produce la siguiente expresión para la transformada inversa de Hadamard:

(2.3-4)

para x=O, 1,2,. .. , N-1 .

Similarmente, los kernels 2-0 están dados por las relaciones

Y

(2.3-5)

( 2 . W

donde la sumatoria en le exponente una vez mas es expresada en módulo aritmético 2. Como en el caso de la transformada de Walsh, los kernels 2-0 de la transformada de Hadamard son idénticos.

La sustitución de las Ecs. (2.3-5) y (2.3-6) en las Ecs. (2.1-3) y (2.1-4) producen el siguiente par de transformadas 2-D de Hadamard:

Y

(2.3-7)

Debido a que las transformadas directa e inversa son idénticas, un algoritmo utilizado para computar H(u,v) puede ser usado sin modificaciones para obtener f(x,y), y viceversa. Teniendo en mente que la sumatoria es en módulo 2, puede demostrarse que los kernels de la transformada de Hadamard son separables y simétricos. Por lo tanto

(2.3-9)

Con excepción del térrmino 1/dN, g, y h, son identicas a la Ec. (2.3-1). Más aún, como los kernels de Hadamaird son separables, el par de transformadas 2-0 puede ser obtenido por aplicaciones sucesivas del algoritmo de la transformada I-D de Hadamard.

La tabla 2.2 muestra la matriz de valores producidos por el kernel de la transformada 1-D de Hádamard en la Ec. (2.3-1) para N=8, donde el término constante 1/N ha sido omitido por simplicidad. Aunque las entradas son las mismas como para la transformacia de Wash, el orden de los renglones y columnas es diferente. De hecho, cuando W2”, esta es la Única diferencia entre estas dos transformadas. Cuando N no es igual a una potencia de 2, la diferencia es msis importante. La transformada de Walsh puede ser formulada para cualquier valor entero positivo de N, pero la existencia de la transformada de Hadamard para otros valores de N diferentes de potencias de 2 han sido hallados sólo hasta k200 .

I

\ 1

hXo1 2 O 1 2 3 4 5

~6 I 7

+ + + + - + + + - + - - + + + + - + + + - + - -

. - T I 3 4 5 6 7

- + - + - - + + - - + + - - + + - - - - - - + - + - - - + + + - + + - I

~~ ~

Tabla 2.2 Val- del Kernel de Transformación de Hadamard con N=8

Debido a que muchas de las aplicaciones de transformadas en procesamiento de imágenes están basadas en muestras de N=2" renglones Ó columnas, el uso (y la terminología) de las transformadas de Walsh y Hadamard es intermedio en la literatura de prmesmi«ito de imágenes. El término transformada de Walsh-Hadamard frecucbmnte es usado para denotar cualquiera de las dos transformadas.

Existen dos importantes aspectos que podrían influenciar en la elección de una de estas t renf i rmes . Como se indicó en el Apartado 1.5.2, una ventaja de la formulación en la Ec. (2.2-2) es que puede ser expresada directamente en un formato sucesivo daMe. Esta propiedad pennite el procesamiento de la FWT a través de una modificación dimcta del algoritmo de FFT desarrollado en el Apartado 1.4.1. Algunas modificaciones extras de este algoritmo podrían ser necesarias para obtener la transformada &pida de Hadmard (FHT). Una altemativa aproximada es usar el algoritmo de la F W y reordenar los resultados para obtener la transformada de Hadamard.

Aunque la ordenación de la transformada de Hadamard tiene desventajas en términos cia una repetición sucesiva, esta conduce a una relación simple recursiva para la genm&n de las matrices de transformación necesarias para implantar las Ecs. (2.1-10) y (2.1-12). La matriz de Hsdamard de orden pequeño ( k 2 ) es

(2.3- 1 O)

"*= [ : I, j Entonces, permitiendo HN represente la matriz de orden Ai, la relación recursiva está dada por la expresión

( HN HN 1 (2.3-1 1)

donde H ~ N es la matriz de Hadamard de orden 2N suponiendo N=2".

La matriz de transformación usada en la Ec. (2.1-10) se obtiene normalizando la correspondiente matriz de Hadamard entre la raíz cuadrada del orden de la matriz. Así en el caso NxN, estas dos matrices están relacionadas por

" -

(2.3-12) A=(I /~Ñ)H~

Las expresiones para la matriz inversa de Hadamard son idénticas a las Ecs. (2.3-10)- (2.3-1 2).

El número de signos que cambia a lo largo de una columna de la matriz de Hadamard es llamado secuencia de la columna. Como los valores de esta son derivados del kernel, el concepto de secuencia se aplica a la expansión de g(x,u) para x,u=0,1,2,...,N-1. Por ejemplo, las secuencias de las ocho columnas de Hr y la Tabla 1.4 ron 0,7,3,4,1,6,2 y 5.

Si expresamos los kernels de Hadamard de manera que la secuencia aum A t e como una función de u, éste es antilogo a la transformada de Fourier, cuya frecuencia también aumenta corno una función de u. El kernel de la transformada 1-D de Hadmard que realiza ésta ordenación particular es la relación

donde

(2.3- 1 4)

Como antes, las sumatorias en las Ecs. (2.3-13) y (2.3-14) están redizadas en módulo 2. Lei expmsiún de Is Ec. (2.3-13) se muestra en la Tabta 1.5 p m N=8, donde el t&m¡no muttipttcativo constante ha sido omitido por simplicidad y las entradas + y - indica +1 y -1, respectivamente. Las columnas y, por simetría, los renglones están en

O 1 2 3 4 5 6 7

1 + + + + - - - - 2 + + - - - - + + 3 + + - - + + - - 4 + - - + + - - + 5 + - - + - + + - 6 + - + - - + - +

b& + + + + +

~7 + - + - + - + -

Tabla 2.3 Valores del Kernel de Hadamard Ordenada con N d

El kernel de la inversa ordenada de Hadamard es

donda p,(u) es plocewdo usando la Ec. (2.3-14). Sustituyendo los kernels directo e invsno on las €Cs. (2.1-1) y (2.1-2) prducen el siguiente par ordenado de la ttenrformrda de H.d.merrd:

(2.3- 16)

Y

(2.3-17) f(x)=yH(u) (- 1 )Xk(x)p(u)

Corno en el caso no ordenado, los kernels 2-D son separables e idénticos:

-0

(2.3- 1 8)

La sustitución de estos kernels en las Ecc. (2.1-3) y (2.1-4) producen el siguiente par oráenado de tmnsfomsdas 2-D de Hedamard:

(2.3- 1 9)

I

Y

(2.3-20

2.4 TRANSFORMADA DISCRETA DEL COSENO

La transformada discreta 1-D del coseno (DTC) está definida como

C( u)=a( U)%(X)COS[ ((2x+ 1) ux)/2 NI LW

para u=0,1,2, ...,Al- 1. Similarmente, la inversa DCT esta definida como

(2.4-1)

~ (2.4-2) f(x)~~u(u)C(u)~0~[((2x+ uso l)ux)/2N]

para x=0,1,2,...,N-1. En las Ecs. (3.5-45) y (3.5-46), a es

m p a r a U=O

parra u=l ,2,...,N-l i a(u)=

El par correspondiente 2-D de DCT es

(2.4-3)

(2.4-4) w w

C(u ,v)=a(u)u(v)ZZf(x,y)~0~[((2x+ 1 )un)2N] cos[((2y+ l)vñ)2N] -p0

. para u,v=O,l ,2,...,N-l , y

(2.4-5) f(x, y)=%!u(u)a(v)C(u,v)~~[ ((2x+ 1 ) ~ ~ ) ~ N ] c o s [ ((2y+ I)vx)2N]

yloY.0

para x,y=0,1,2, ..., N-1, donde a esta dado en la Ec. (2.4-3).

En años recientes la transformada discreta del coseno se ha convertido en el metodo de elección para compresión de datos.

CODIGOS FUENTE

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UNIVERSIDAD AUTO METROPOLITANA148.206.53.84/tesiuami/uam6982.pdf · Frecuentemente es conveniente expmsar la Ec. (1 .l-3) en forma exponencial, esto es, donde Y (1.1-5) ... (1.1-1)