Func Exponencial Feb 21 2012

8/15/2019 Func Exponencial Feb 21 2012

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ContenidoObjetivos

Funciones Exponenciales

Carlos A. Rivera-Morales

Prec álculo 2

Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Exponenciales

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ContenidoObjetivos

Tabla de Contenido

1 ObjetivosPropiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci ón exponencial naturalAplicaciones


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ContenidoObjetivos

Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones

Objetivos:

Discutiremos:propiedades de exponentes


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ContenidoObjetivos


Objetivos:

Discutiremos:propiedades de exponentesfunciones exponenciales


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ContenidoObjetivos


Objetivos:

Discutiremos:propiedades de exponentesfunciones exponencialesla función exponencial natural


P i d d d l E

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ContenidoObjetivos


Objetivos:

Discutiremos:propiedades de exponentesfunciones exponencialesla función exponencial naturalaplicaciones


P i d d d l E t

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ContenidoObjetivos


Objetivos:

Discutiremos:propiedades de exponentesfunciones exponencialesla función exponencial naturalaplicaciones


Propiedades de los Exponentes

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ContenidoObjetivos



Propiedades de ExponentesSean a, b números reales positivos y x, y números realescualesquiera. Entonces:

1 a x > 0, para toda x ∈ ; en particular a0 = 12 a x a y = ax + y

3 ax

a y = ax − y

4 (a x )y = axy

5

(a

b )x

= a x

bx6 ( ab )

− x = bx

a x

7 a x = ay si, y sólo si, x = y, siempre que a = 1 .



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ContenidoObjetivos



Ejercicios: Resuelva las siguientes ecuaciones.1 53 x +4 = 5 x +2

2 3 × 92 x = 3 x +1

3 9x − 2 = 3 3 x

4 a x − 3 = a4 x +4 ; suponga que a > 0, a = 1.



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ContenidoObjetivos



Funciones ExponencialesDenici´ on: Sea a∈ , a> 0, a = 1. Entonces, la exponencialcon base a , es la función denida por f (x ) = ax .



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ContenidoObjetivos

op edades de os po e tesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones


Funciones ExponencialesDenici´ on: Sea a∈ , a> 0, a = 1. Entonces, la exponencialcon base a , es la función denida por f (x ) = ax . El dominio def es = {n úmeros reales }. Su imagen o rango es

+ = (0 , + ∞ )



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ContenidoObjetivos

p pFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones



+ = (0 , + ∞ )

Notas:La restricci ón a > 0 es indispensable, porque si la base afuera cero o un n úmero negativo, se presentaŕıanexpresiones no denidas en , tales como 0 − 1 , (− 2) 12 .



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ContenidoObjetivos

Funciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalAplicaciones



+ = (0 , + ∞ )

Notas:La restricci ón a > 0 es indispensable, porque si la base afuera cero o un n úmero negativo, se presentaŕıanexpresiones no denidas en , tales como 0 − 1 , (− 2) 12 .El caso a = 1 se ha excluido porque en este caso se tendŕıa1x = 1, para cada x ∈ . Esto es, f (x ) = 1 x es una funci ónconstante.





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ContenidoObjetivos



Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = 2 x :


dPropiedades de los Exponentes

l

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ContenidoObjetivos




Figura: Gráca de f (x ) = 2 x


C t idPropiedades de los ExponentesF i E i l

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ContenidoObjetivos





Verif́ıquelo con la calculadora gr´ aca.Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Exponenciales

ContenidoPropiedades de los ExponentesFunciones Exponenciales

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ContenidoObjetivos



Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = ( 12 )x = 2 − x :



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ContenidoObjetivos







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ContenidoObjetivos







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ContenidoObjetivos



Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = 2 x , f (x ) = ( 12 )x = 2 − xen el mismo sistema cartesiano:



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Objetivosp

La funci´ on exponencial naturalAplicaciones



Figura: Grácas de f (x ) = 2 x , f (x ) = ( 12 )x = 2 − x



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Objetivosp

La funci´ on exponencial naturalAplicaciones



Figura: Grácas de f (x ) = 2 x , f (x ) = ( 12 )x = 2 − x



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Objetivos La funci´ on exponencial naturalAplicaciones


Casos b ásicos de la funci ón exponencial:

Figura: Posibles gr ácas b ásicas de f (x ) = a x



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Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = 1 ,5x , f (x ) = 3 x ,f (x ) = 5 x en el mismo sistema cartesiano:


ContenidoObj i

Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesL f i´ i l l

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Figura: Grácas de f (x ) = 1 ,5x , f (x ) = 3 x , f (x ) = 5 x


ContenidoObj ti

Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesL f i´ i l t l

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Objetivos La funci on exponencial naturalAplicaciones



Figura: Grácas de f (x ) = 1 ,5x , f (x ) = 3 x , f (x ) = 5 x


ContenidoObjetivos

Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial natural

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Ejercicio: Graque las funciones f (x ) = ( 23 )x , f (x )( 13 )x = 3 − x ,f (x ) = ( 12 )

x = 0 ,5x en el mismo sistema cartesiano:


ContenidoObjetivos




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Figura: Grácas de f (x ) = ( 23 )x , f (x )( 13 )

x = 3 − x , f (x ) = ( 12 )x = 0 ,5x


ContenidoObjetivos




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Figura: Grácas de f (x ) = ( 23 )x , f (x )( 13 )

x = 3 − x , f (x ) = ( 12 )x = 0 ,5x


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j pAplicaciones


Algunas propiedades de las funciones exponenciales:

Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈


ContenidoObjetivos


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j pAplicaciones




2 f (0) = a0

= 1


ContenidoObjetivos


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Aplicaciones




2 f (0) = a0

= 13 f (1) = a1 = a


ContenidoObjetivos


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Aplicaciones




2 f (0) = a0

= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax < a y . Esto es, f es estrictamente

creciente en todo su dominio.


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Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalA li i

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Aplicaciones




2 f (0) = a0


creciente en todo su dominio.5

f es biyectiva. Por lo tanto, tiene funci´ on inversa f − 1

.


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Propiedades de los ExponentesFunciones ExponencialesLa funci´ on exponencial naturalA li i

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Aplicaciones




2 f (0) = a0




.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a + ∞ .


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Aplicaciones



Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2

f (0) = a0




.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a + ∞ .7 Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a 0.


ContenidoObjetivos


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Aplicaciones



Si f (x ) = ax con a > 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2

f (0) = a0




.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a + ∞ .7 Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a 0.8 El eje-X es una aśıntota horizontal de la gr´ aca de f .


ContenidoObjetivos


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Aplicaciones



Si f (x ) = ax con 0 < a < 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈


ContenidoObjetivos


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Aplicaciones



Si f (x ) = ax con 0 < a < 1:1 f (x ) > 0, para toda x ∈ 2

f (0) = a0

= 1


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p




f (0) = a0

= 13 f (1) = a1 = a


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f (0) = a0

= 13 f (1) = a1 = a4 Si x < y , entonces ax > a y . Esto es, f es estrictamente

decreciente en todo su dominio.


ContenidoObjetivos


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f (0) = a0


decreciente en todo su dominio.5


.


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f (0) = a0




.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a 0.


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f (0) = a0




.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a 0.7 Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a + ∞ .


ContenidoObjetivos


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f (0) = a0




.6 Si x tiende a + ∞ entonces ax tiende a 0.7 Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a + ∞ .8 El eje-X es una aśıntota horizontal de la gr´ aca de f .


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Funci ón Exponencial NaturalDenici´ on: La funci´on exponencial natural , es la funcióndenida por f (x ) = ex , donde e es la base natural.


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ContenidoObjetivos


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Nota: El número es un n úmero irracional y es usual denirlocomo el ĺımite cuando n tiende a innito de la sucesi´ on (1 + 1n )

n

.


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Nota: El número es un n úmero irracional y es usual denirlocomo el ĺımite cuando n tiende a innito de la sucesi´ on (1 + 1n )

n

.Esto es,

e = ĺımn →+ ∞ (1 + 1n )

n


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Figura: El número irracional e.


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Figura: El número irracional e.

Una aproximaci´on usual de e es e = 2 ,71828.Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Exponenciales

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Ejercicio: Graque las funci ón f (x ) = ex

:


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:

Figura: Gráca de f (x ) = e x .


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l

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:

Figura: Gráca de f (x ) = e x .


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F i E i l

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Ejercicio: Use la calculadora gr´aca para trazar la gr´ aca delas siguientes funciones exponenciales. Para cada funci´ on,indique la ecuaci ón de cualquier aśıntota de la gr´ aca.

1 y = 3 − x2

2 y = 5 x +2−

13 y = − 2−| x |

4 y = e− 0 ,5 x

5 y = 3 + ex − 2


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F i E i l

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Aplicaci´ on: Crecimiento bacterial

Las funciones exponenciales resultan ´ utiles para describir elcrecimiento de ciertas poblaciones.


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F i E i l

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Las funciones exponenciales resultan ´ utiles para describir elcrecimiento de ciertas poblaciones. El principio b´ asico quegobierna el crecimiento poblacional es el siguiente: mientrasmayor sea la poblaci´on, mayor es el n úmero de descendientes,que, a su vez, contribuyen al crecimiento poblacional.


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F nciones E ponenciales

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Las funciones exponenciales resultan ´ utiles para describir elcrecimiento de ciertas poblaciones. El principio b´ asico quegobierna el crecimiento poblacional es el siguiente: mientrasmayor sea la poblaci´on, mayor es el n úmero de descendientes,que, a su vez, contribuyen al crecimiento poblacional. A manerade ejemplo, supongamos que a nivel experimental se observaque el número de bacterias en un cultivo se duplica cada d́ıa. Sihay 1000 ejemplares al comienzo, se obtiene la tabla siguiente,donde t es el tiempo en d́ıas y f (t ) es el conteo de bacterias enel tiempo t.


ContenidoObjetivos



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Las funciones exponenciales resultan ´ utiles para describir elcrecimiento de ciertas poblaciones. El principio b´ asico quegobierna el crecimiento poblacional es el siguiente: mientrasmayor sea la poblaci´on, mayor es el n úmero de descendientes,que, a su vez, contribuyen al crecimiento poblacional. A manerade ejemplo, supongamos que a nivel experimental se observaque el número de bacterias en un cultivo se duplica cada d́ıa. Sihay 1000 ejemplares al comienzo, se obtiene la tabla siguiente,donde t es el tiempo en d́ıas y f (t ) es el conteo de bacterias enel tiempo t.


ContenidoObjetivos



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Podemos modelar ese crecimiento bacterial de la formaf (t ) = (1000)2 t . Con esta f órmula se puede predecir la cantidadde bacterias en cualquier momento t.


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Podemos modelar ese crecimiento bacterial de la formaf (t ) = (1000)2 t . Con esta f órmula se puede predecir la cantidadde bacterias en cualquier momento t. La gráca de f se muestra

a continuaci´on.


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Ejercicio: Crecimiento loǵıstico Las poblaciones animalesno pueden crecer sin restricci´ on debido a la limitaci´on dehábitat y suministros de alimentos.


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Ejercicio: Crecimiento loǵıstico Las poblaciones animalesno pueden crecer sin restricci´ on debido a la limitaci´on dehábitat y suministros de alimentos. En tales condiciones lapoblaci ón sigue un modelo de crecimiento loǵıstico

P (t ) = a1+ be− rt ,


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P (t ) = a1+ be− rt ,

donde a, b y r son constantes positivas.


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P (t ) = a1+ be− rt ,

donde a, b y r son constantes positivas.

Para cierta poblaci´ on de peces, en un peque ño estanquea = 1200, b = 11, r = 0 ,2 y t se mide en años. Los peces seintrodujeron en el estanque en el tiempo t = 0.


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Ejercicio: Crecimiento loǵıstico (Continuaci´ on)1 ¿Cu ántos peces se introdujeron en el estanque?2 Calcule la población luego de 10, 20 y 30 años.3 Eval úe P (t ) para valores grandes de t.4 ¿A qué valor tiende la poblaci´ on según t tiende a + ∞ ?5 Graque la función usando 80 como valor máximo de x y

1300 como valor máximo de y; use 0 como valor mı́nimopara cada variable.


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u c o es po e c a es

Aplicaci´ on: Desintegraci´ on o decaimiento radiactivo

Determinadas cantidades f́ısicas decrecen o decaen en formaexponencial.


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p

Aplicaci´ on: Desintegraci´ on o decaimiento radiactivoDeterminadas cantidades f́ısicas decrecen o decaen en formaexponencial. En tales casos, si a es la base de un modeloexponencial de decaimiento, entonces 0 < a < 1. Uno de los

ejemplos m ás comunes de decaimiento exponencial es ladesintegraci´on de una sustancia radiactiva o is´ otopo.


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p


ejemplos m ás comunes de decaimiento exponencial es ladesintegraci´on de una sustancia radiactiva o is´ otopo. La vidamedia o periodo radiactivo de un isótopo es el tiempo que serequiere para que la mitad de la cantidad original de unamuestra se desintegre.


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p


ejemplos m ás comunes de decaimiento exponencial es ladesintegraci´on de una sustancia radiactiva o is´ otopo. La vidamedia o periodo radiactivo de un isótopo es el tiempo que serequiere para que la mitad de la cantidad original de unamuestra se desintegre. La vida media es la principalcaracteŕıstica que distingue una sustancia radiactiva de otra.


ContenidoObjetivos




http://goforward/http://find/http://goback/


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ejemplos m ás comunes de decaimiento exponencial es ladesintegraci´on de una sustancia radiactiva o is´ otopo. La vidamedia o periodo radiactivo de un isótopo es el tiempo que serequiere para que la mitad de la cantidad original de unamuestra se desintegre. La vida media es la principalcaracteŕıstica que distingue una sustancia radiactiva de otra. Elisótopo del polonio 210 P 0 tiene una vida media de alrededor de140 d́ıas; esto es, dada cualquier cantidad de esa sustancia, lamitad se desintegrar´ a en 140 d́ıas.


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Aplicaci´ on: Desintegraci´ on radiactivaSi inicialmente hab́ıa 20 miligramos de 210 P 0 , la tabla siguienteindica la cantidad restante después de varios intervalos detiempo.

Ejercicio: Determine una funci´on exponencial para modelarmatem´aticamente la situaci´ on anterior.


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Aplicaci´ on: Desintegraci´ on radiactivaLa gráca siguiente muestra la naturaleza exponencial de ladesintegraci´on.


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Ejercicio: Decaimiento radiactivo Suponga que la funci ón f

mide la masa presente de carbono 14 (14C) (en gramos). Suvida media es 5715. La cantidad de carbono 14 presente despuésde t años est á dada por f (t ) = 10( 12 )

t5715 .

1 Determine la cantidad inicial.2 Determine la cantidad presente luego de 2000 a˜ nos.3 Trace la gr áca de esta funci ón en el intervalo desde t = 0

hasta t = 10000.


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Aplicaci´ on: F´ormulas del interés compuestoSuponga que se invierte una cantidad de dinero P , conocidocomo principal , a una tasa de interés anual r compuesta nveces en un año; el interés i por periodo es i = rn . Después de t

años, el monto de dinero acumulado A está dado por lasfórmula siguientes:

1 Para n incrementos por a˜no: A = P (1 + rn )nt


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Aplicaci´ on: F´ormulas del interés compuestoSuponga que se invierte una cantidad de dinero P , conocidocomo principal , a una tasa de interés anual r compuesta nveces en un año; el interés i por periodo es i = rn . Después de t

años, el monto de dinero acumulado A está dado por lasfórmula siguientes:

1 Para n incrementos por a˜no: A = P (1 + rn )nt

2

Para interés compuesto continuo: A = P ert


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Ejercicio: Interés compuesto Si se invierten 3000 d ólares a

una tasa de interés de 3.5 % por a˜ no, determine la cantidad dela inversi ón nal de 5 años para los siguientes métodos decapitalizaci´on.

1 Anual2 Semianual3 Mensual4 Semanal5 Por dı́a6 Por hora7 De manera continua.


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