NSTOR GOODING GARAVITO

TRANSFERENCIA DE CALOR

GUA DE CLASE

TRANSFERENCIA DE CALOR

TRANSFERENCIA DE

CALOR

CONTIENE :

FUNDAMENTOS TEORICOS

94 PROBLEMAS RESUELTOS

271 PROBLEMAS PROPUESTOS

NESTOR GOODING GARAVITO

INGENIERO QUIMICO UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

PROFESOR ASOCIADO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

PROFESOR TITULAR

UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA

EDICIN 2015

TABLA DE CONTENIDO

CAPITULO 1 - INTRODUCCION 1

Conduccin Conveccin Radiacin Problemas resueltos Problemas Propuestos.

CAPITULO 2 - CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL 11

Ecuacin bsica de energa Placa plana Sistemas radiales Conduccin con conductividad trmica variable Condiciones de contorno con conveccin Coeficiente global de transferencia de calor Espesor crtico de aislamiento Sistemas con generacin de calor Transferencia de calor desde aletas Problemas resueltos Problemas propuestos.

CAPITULO 3 - CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL 43

Solucin analtica Solucin grfica Anlisis numrico Analoga elctrica para la conduccin bidimensional Problemas resueltos Problemas propuestos.

CAPITULO 4 - CONDUCCION NO ESTACIONARIA 69

Sistemas de capacidad trmica global Nmeros de Biot y Fourier Flujo de calor transitorio en un slido semi-infinito Condiciones de contorno convectivas Soluciones grficas (Diagramas de Heisler) Sistemas multidimensionales Anlisis numrico Problemas resueltos Problemas propuestos.

CAPITULO 5 - CONVECCION FORZADA 113

Capa lmite hidrodinmica Capa lmite hidrodinmica y laminar en una superficie plana isotrmica Capa lmite trmica Nmero de Nusselt y coeficiente de transferencia de calor Analoga entre la transferencia de calor y la friccin Transferencia de calor en una placa con conveccin forzada en rgimen turbulento Procedimiento de clculo en conveccin forzada para flujo sobre placas planas Flujo por el interior de tubos Flujo a travs de

conductos no circulares Flujo transversal a cilindros Flujo a travs de haces de tubos Relaciones empricas para conveccin forzada Problemas resueltos - Problemas propuestos.

CAPITULO 6 - CONVECCION NATURAL 158

Ecuaciones para la conveccin natural en una placa plana vertical Parmetros adimensionales Coeficiente local de transferencia de calor Coeficiente medio de transferencia de calor Relaciones empricas para conveccin natural Ecuaciones simplificadas para el aire Problemas resueltos Problemas propuestos.

CAPITULO 7 - CONDENSACION Y EBULLICION 179

Condensacin Tubos verticales Tubos horizontales Condensacin en pelcula turbulenta - Ebullicin Ebullicin en recipientes Relaciones simplificadas para el agua Problemas resueltos Problemas propuestos.

CAPITULO 8 - INTERCAMBIADORES DE CALOR 200

Tipos de intercambiadores de calor Coeficiente global de transferencia de calor Temperatura media logartmica Mtodo del NTURendimiento - Factor de suciedad Diseo de intercambiadores de doble tubo y tubo y coraza - Problemas resueltos Problemas propuestos.

CAPITULO 9 - RADIACION 245

Propiedades y definiciones Radiacin del cuerpo negro Superficies reales y cuerpo gris Intercambio de calor entre cuerpos negros (factor de forma) Intercambio de calor entre cuerpos grises Pantallas de radiacin Problemas resueltos Problemas propuestos.

TABLAS 285

BIBLIOGRAFIA

CAPITULO 1

INTRODUCCION

El rea de la ingeniera conocida como ciencia trmica incluye la termodinmica y la transferencia de calor. El papel de la transferencia de calor es complementar la termodinmica, la cual considera slo sistemas en equilibrio, con leyes adicionales que contemplan la rapidez con que se transfiere dicha energa.

Estas leyes estn basadas en las tres formas fundamentales de transferencia de calor, comunmente llamadas conduccin, conveccin y radiacin.

1.1 CONDUCCION

Un gradiente de temperaturas dentro de una sustancia homognea, da como resultado una transferencia de energa, que segn la termodinmica, debe efectuarse desde la regin de alta temperatura hasta la regin de baja temperatura. Se dice que la energa se ha transferido por conduccin y que el flujo de calor es proporcional al gradiente normal de temperatura. Dicho flujo de calor puede ser calculado por la expresin:

T q = - k A

x

donde q es el flujo de calor, (T/x) es el gradiente de temperaturas en la direccin normal al rea A. La constante positiva k se llama conductividad trmica del material y se coloca el signo menos para satisfacer el segundo principio de la termodinmica, es decir, que el calor debe fluir en el sentido de las temperaturas decrecientes. La ecuacin anterior se denomina ley de Fourier y las unidades de k son vatio por metro y por grado Celsius en un sistema de unidades en el que el flujo de calor se expresa en vatios.

Si el perfil de temperaturas dentro del medio es lineal (ver figura), es posible reemplazar el gradiente (derivada parcial) por:

2

T T2 T1 =

x x2 x1

La linealidad anterior siempre existe en un medio homogneo de conductividad trmica constante y con transferencia de calor en estado estacionario.

La transferencia de calor en estado estacionario ocurre cuando la temperatura de cada punto dentro del cuerpo, incluyendo las superficies, es independiente del tiempo. Si la temperatura cambia con el tiempo (), la energa se est almacenando o removiendo desde el cuerpo. Este flujo de energa es:

T qalmacenada = m cP

donde la masa m es el producto del volumen V y la densidad .

1.2 CONVECCION

Cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo slido y si las temperaturas del fluido y del slido son diferentes, habr transferencia de calor entre el fluido y la superficie slida debido al movimiento relativo entre el fluido y la superficie, a este mecanismo de transferencia de calor se le denomina

T

T1

T2

x x1 x2

3

conveccin. Se dice que existe conveccin forzada si el movimiento es inducido artificialmente, bomba o ventilador que impulse el fluido sobre la superficie. Se dice que existe conveccin libre (o natural) si el movimiento del fluido es ocasionado por fuerzas de empuje debidas a diferencias de densidad causadas por diferencias de temperatura en el fluido.

Si la temperatura del fluido es T y la temperatura de la superficie del slido es Ts el calor transferido por unidad de tiempo est dado por:

q = h A (Ts - T)

La ecuacin anterior es conocida como la ley de Newton del enfriamiento, donde A es el rea de la superficie y h se denomina coeficiente de transferencia de calor por conveccin. Las unidades de h son vatio por m2 y por grado Celsius, cuando el flujo de calor se expresa en vatios. La determinacin de este coeficiente se hace analticamente, pero en situaciones complejas debe hacerse experimentalmente.

Es importante notar que el intercambio fundamental de energa en el lmite slido-fluido es por conduccin y que dicha energa es llevada por conveccin a travs del fluido. Por comparacin de las ecuaciones para conduccin y conveccin puede obtenerse:

h A (Ts - T) = - k A (T/y) y=0

donde el sub-ndice en el gradiente de temperaturas indica su evaluacin para y=0.

1.3 RADIACION

La transferencia de calor por conduccin y por conveccin requieren de un medio material para la propagacin de la energa. Sin embargo, el calor puede propagarse en el vaco absoluto mediante el mecanismo de radiacin. A una temperatura dada, todos los cuerpos emiten radiacin en forma de energa electromagntica en diferentes longitudes de onda, siendo la radiacin dependiente de la temperatura absoluta del cuerpo y de sus caractersticas superficiales. Evidencias experimentales indican que la transferencia de calor por radiacin es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. La ley de Stefan-Boltzmann es:

4

q = A T4

donde T es la temperatura absoluta. La constante es independiente de la superficie, medio y temperatura, se denomina constante de Stefan-Boltzmann y su valor es 5,669 x 10-8 W/m2 K4.

El emisor ideal o cuerpo negro, es aquel cuya energa radiante est dada por la ecuacin anterior. Todas las dems superficies emiten algo menos de sta cantidad de energa y la emisin trmica de muchas superficies (cuerpos grises) puede representarse por:

q = A T4

donde es la emisividad de la superficie, que relaciona la radiacin de la superficie gris con la de la superficie ideal negra, su valor esta en un intervalo de 0 a 1.

La radiacin emitida por un cuerpo negro a una temperatura absoluta T1 hacia una envolvente a temperatura T2 que lo rodea completamente y la cual se comporta tambin como cuerpo negro, puede evaluarse mediante la expresin:

q = A1 (T14 T24)

Por otra parte, la radiacin emitida por un cuerpo gris a una temperatura T1 hacia la misma envolvente a temperatura T2, puede calcularse ahora mediante la expresin:

q = 1 A1 (T14 T24)

Si se considera la radiacin entre dos cuerpos grises a temperaturas absolutas T1 y T2 respectivamente, el flujo neto de energa radiante entre ellos puede calcularse mediante la expresin:

q = F A1 (T14 T24)

donde F es una funcin que depende de las emisividades de ambos cuerpos y de la fraccin de energa radiante emitida por el cuerpo 1 que es interceptada por el cuerpo 2.

5

PROBLEMAS RESUELTOS

1.1 Determinar el flujo de calor transferido por unidad de rea a travs de un bloque homogneo de 4 cm de espesor con sus dos caras mantenidas a temperaturas uniformes de 40C y 20C. La conductividad trmica del material es 0.1903 W/m oC.

q T2 T1 W (20 40) oC W = - k = - 0.1903 x = 95.15

A x2 x1 m oC 0.04 m2

1.2 Una cara de una placa de cobre ( k = 370 W/m oC ) de 3 cm de espesor se mantiene a 450C y la otra cara se mantiene a 80C. Qu cantidad de calor se transfiere a travs de la placa?

q T (80 450) MW = -k = - 370 = 4.56

A x 0.03 m2

1.3 El coeficiente de transferencia de calor por conveccin forzada para un fluido caliente que circula sobre una superficie fra es 226.8 W/m2 oC. La temperatura del fluido es 120C y la superficie est a 10C. Determinar el flujo de calor transferido por unidad de rea desde el fluido hasta la superficie.

q W W = h (T - Ts) = 226.8 x (120 10) oC = 24948

A m2 oC m2

1.4 Sobre una placa caliente de 60 x 90 cm que se mantiene a 280C pasa aire a 18C. El coeficiente de transferencia de calor por conveccin es 25 W/m2 oC. Calcular el flujo de calor transferido.

q = h A (Ts - T) = 25 W/m2 oC x (0.6 x 0.9) m2 x (280 18) oC = 3.537 kW

1.5 Una corriente elctrica pasa por un hilo de 1 mm de dimetro y 15 cm de largo. El hilo se encuentra sumergido en agua lquida a la presin atmosfrica y se incrementa la corriente interior hasta que el agua hierve. Si h = 5000 W/m2 oC y la temperatura del agua es 100C. Cunta potencia elctrica se debe suministrar al hilo para mantener su superficie a 118C?

6

El rea superficial del hilo ser:

A = pi D L = pi (0.001) (0.15) = 4.71 x 10-4 m2

q = h A (Ts - T) = 5000 W/m2 oC x 4.71 x 10-4 m2 x (118 100) oC = 42.39 W

1.6 Luego de una puesta del sol, la energa radiante puede ser percibida por una persona parada cerca de una pared de ladrillo. Tales paredes con frecuencia tienen una temperatura en su superficie de 44C y el valor de la emisividad del ladrillo es del orden de 0.92. Cul podra ser el flujo de radiacin trmica por m2 desde la pared de ladrillo?

q W W = T4 = 0.92 x 5,669 x 10-8 x (44+273)4 k4 = 526.6

A m2 k4 m2

1.7 Dos placas infinitas a 800oC y 300oC intercambian calor por radiacin. Calcular el calor transferido por unidad de rea.

q W kW = (T14 T24) = 5,669 x 10-8 x (10734 5734) k4 = 69.03

A m2 K4 m2

1.8 Un termopar de 0.8 mm de dimetro se emplea para medir la temperatura del aire en un horno elctrico. La lectura del termopar es de 150C. Se sabe, sin embargo, que el flujo de calor por radiacin que recibe el termopar de la pared del horno es igual a 0.001 W/cm de longitud. El coeficiente de transferencia de calor en el termopar es igual a 5 W/m2 oC. Estimar la temperatura correcta del aire en el horno.

q W W = h pi D (Ts - T) = 0.001 = 0.1

L cm m

7

q / L 0.1 W/m T = Taire = Ts - = 150C -

pi D h pi (0.8/1000) m x 5 W/m2

T = 150 7.95 = 142oC

1.9 En el problema 1.4, si la placa tiene 3 cm de espesor y una conductividad trmica de 40 W/m oC y suponiendo que se pierden por radiacin desde la placa 300 W, calcular la temperatura interior de la placa.

qconduccin = qconveccin + qradiacin

T - k A = 3.537 + 0.3 = 3.837 kW

x

3.837 X 3.837 X 0.03 T = = = - 5.33 oC

- k A - 40 x (0.6 x 0.9)

La temperatura en el interior de la placa ser: 280 + 5.33 = 285.33 oC

1.10 Una tubera horizontal de acero que tiene un dimetro de 5 cm se mantiene a una temperatura de 60C en un saln grande donde el aire y las paredes estn a 20C. La emisividad de la superficie de la tubera de acero puede tomarse como 0.8. El coeficiente de transferencia de calor, en conveccin natural puede tomarse como h = 6.5 W/m2 oC. Calcular la prdida de calor de la tubera por unidad de longitud.

Por metro de longitud de tubera:

A = pi D L = pi x 0.05 x 1 = 0.157 m2

qconv = h A (Ts - T) = 6.5 W/m2 oC x 0.157 m2 x (60 20) oC = 40.82 W

El calor transferido por radiacin ser:

qrad = 1 A1 (T14 T24) = 0.8 x 0.157 m2 x 5,669 x 10-8 W/m2 k4 x (3334 2934)

8

qrad = 35.07 W

La prdida total de calor por metro de longitud ser:

qtotal = qconv + qrad = 40.82 + 35.07 = 75.89 W

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.11 Una pared plana de 15 cm de espesor, hecha de material homogneo con k = 0.4325 W/m oC tiene temperaturas estables y uniformes de 71C y 21C. Determinar el flujo de calor transferido por m2 de rea superficial.

1.12 Si por conduccin se transfieren 3 kW a travs de un material aislante de 1 m2 de seccin recta, 2.5 cm de espesor y cuya conductividad trmica puede tomarse igual a 0.2 W/m oC, calcular la diferencia de temperaturas entre las caras del material.

1.13 En una capa de fibra de vidrio de 13 cm de espesor se impone una diferencia de temperaturas de 85C. La conductividad trmica de la fibra de vidrio es 0.035 W/m oC. Calcular el calor transferido a travs del material por hora y por unidad de rea.

1.14 Un cilindro de 30 cm de alto est hecho de aluminio. El dimetro es 7.5 cm. La superficie inferior se mantiene a 90C y la superior a 540C. La superficie lateral est aislada. Cul es el flujo de calor en vatios? La conductividad trmica del aluminio puede suponerse 215 W/m oC.

1.15 Las temperaturas de las caras de una pared plana de 15 cm de espesor son 370C y 93C. La pared est construida de vidrio con una conductividad trmica de 0.78 W/m oC. Cul es el flujo de calor a travs de la pared?

1.16 Un material superaislante cuya conductividad trmica es 2 x 10-4 W/m oC se utiliza para aislar un depsito de nitrgeno lquido que se mantiene a menos 196C; para evaporar 1 kg de nitrgeno a esa temperatura se necesitan 199 kJ. Suponiendo que el depsito es una esfera que tiene un dimetro interior de 0.61 m, estimar la cantidad de nitrgeno evaporado por da para un espesor de aislante de 2.5 cm y una temperatura

9

ambiente de 21C. Suponer que la temperatura exterior del aislante es 21C.

1.17 Una capa de 5 cm de asbesto, poco compacta, est colocada entre dos placas a 100C y 200C. Calcular el calor transferido a travs de la capa. La conductividad trmica del asbesto es 0.149 W/m oC.

1.18 Un aislante tiene una conductividad trmica de 10 W/m oC. Qu espesor ser necesario para que haya una cada de temperatura de 500C para un flujo de calor de 400 W/m2?

1.19 Considere el crter de un automvil. Este tiene aproximadamente 75 cm de longitud, 30 cm de ancho y 10 cm de profundidad. Suponiendo que la temperatura de la superficie del crter es de 80C cuando el vehculo se desplaza a 100 km/h y que el coeficiente de transferencia de calor es igual a 82 W/m2 oC, determine el calor disipado. Desprecie la radiacin y use para las superficies del frente y de atrs el mismo coeficiente de transferencia de calor que para el fondo y los lados. La temperatura del aire ambiente es 30C.

1.20 Un oleoducto de 50 cm de dimetro transporta, en el rtico, petrleo a 30C y est expuesto a una temperatura ambiente de 20C. Un aislante especial de polvo de 5 cm de espesor y de conductividad trmica 7 mW/m oC cubre la superficie del oleoducto. El coeficiente de conveccin en el exterior del oleoducto es 12 W/m2 oC. Calcular la prdida de energa del oleoducto por unidad de longitud.

1.21 Aire es forzado a fluir a travs de un intercambiador de calor convectivo. El coeficiente de transferencia de calor es 1134 W/m2 oC. La temperatura de la superficie del intercambiador puede considerarse constante a 65oC y la del aire es 18oC. Determinar el rea superficial del intercambiador para un flujo de calor de 8.78 kW.

1.22 Una tubera desnuda que transporta vapor hmedo a una presin absoluta de 1 MPa se localiza en una habitacin cuya temperatura ambiente es 20C. Si el coeficiente de transferencia de calor entre el tubo y el ambiente es de 10 W/m2 oC, calcular las prdidas de calor por metro de longitud. El dimetro es igual a 10 cm.

1.23 Una placa cuadrada vertical de 30 x 30 cm que est fra se expone al vapor de agua a una presin de 1 atm de modo que se condensan 3.78 kg/h. Calcular la temperatura de la placa. Se pueden consultar las tablas de vapor de agua para las propiedades que se requieran.

10

1.24 Una de las caras de una pared plana se mantiene a 100C mientras que la otra se expone al ambiente que est a 10C, siendo h = 10 W/m2 oC el coeficiente de conveccin. La pared tiene una conductividad trmica k= 1.6 W/m oC y un espesor de 40 cm. Calcular el flujo de calor a travs de la pared.

1.25 Dos superficies perfectamente negras estn dispuestas de tal manera que toda la energa radiante que sale de una de ellas, que se encuentra a 800C, es interceptada por la otra. La temperatura de esta ultima superficie se mantiene a 250C. Calcular la transferencia de calor entre las superficies, por hora y por unidad de rea de la superficie que se mantiene a 800C.

1.26 Dos planos paralelos y muy grandes, cuyas condiciones superficiales se aproximan a las de un cuerpo negro, se mantienen a 1100oC y 425C, respectivamente. Calcular el calor transferido entre los planos por unidad de tiempo y por unidad de rea.

1.27 Un pequeo calentador radiante tiene tiras de metal de 6 mm de ancho con una longitud total de 3 m. La emisividad de la superficie de las tiras es 0.85.A qu temperatura habr que calentar las tiras si tienen que disipar 1600 W de calor a una habitacin a 25C?

1.28 Calcular la energa emitida por un cuerpo negro a 1000C.

1.29 Si el flujo radiante del sol es 350 W/m2, cul sera su temperatura equivalente de cuerpo negro?

2.30 Una esfera de 4 cm de dimetro se calienta hasta una temperatura de 150C y se coloca en una habitacin muy grande que se encuentra a 20C. Calcular la prdida de calor por radiacin si la emisividad de la superficie de la esfera es 0.65.

2.31 Dos planos paralelos y muy grandes, cuyas condiciones superficiales se aproximan a las de un cuerpo negro, se mantienen a 1100oC y 425oC, respectivamente. Calcular el calor transferido entre los dos planos por unidad de tiempo y por unidada de rea.

2.32 Dos placas infinitas y negras a 500 y 100oC intercambian calor por radiacin. Calcular el flujo de calor por unidad de rea. Si otra placa perfectamente negra se coloca entre las dos primera, en qu cantidad se reduce el flujo de calor? Cul ser la temperatura de la placa del centro?

CAPITULO 2

CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL

2.1 ECUACION BASICA DE ENERGIA

La ecuacin bsica para un sistema tridimensional con generacin interna de energa y variacin de la temperatura con el tiempo es:

2T 2T 2T q* 1 T + + + =

x2 y2 z2 k

donde:

= difusividad trmica = k / c

q* = energa generada por unidad de volumen y por unidad de tiempo

= tiempo

= densidad

c = calor especfico del material

Para flujo unidimensional, estacionario y sin generacin interna de calor se tiene:

(2T/y2) = 0 ; (2T/z2) = 0 : (T/) = 0 ; (q*/k) = 0

luego: (d2T/dx2) = 0 que es la misma ecuacin de Fourier cuando q es constante.

12

2.2 PLACA PLANA

El problema ms simple de transferencia de calor es la conduccin unidimensional en estado estacionario a travs de una placa plana de material homogneo, cuya conductividad trmica es constante y cuyas temperaturas en ambas caras son uniformes. Ver figura.

A partir de la ley de Fourier:

T2 T1 k A q = - k A = (T1 T2)

x2 x1 x

o tambin:

T1 T2 diferencia de potencial trmico q = =

x / kA resistencia trmica

Ntese que la resistencia al flujo de calor es directamente proporcional al espesor del material, inversamente proporcional a la conductividad trmica del

T1

T2

q /A

x x1 x2

13

material e inversamente proporcional al rea normal a la direccin de la transferencia de calor.

Estos conceptos pueden extenderse al caso de una pared plana compuesta como se aprecia en la siguiente figura:

En estado estacionario el flujo de calor transferido que entra por la cara izquierda es el mismo que sale por la cara derecha, por tanto:

T1 T2 T2 T3 q = y q =

xa/kaA xb/kbA

T1 T3 q =

(xa/kaA) + (xb/kbA)

Las ecuaciones anteriores ilustran la analoga entre la transferencia de calor por conduccin y el flujo de corriente elctrica o de manera similar entre la ley de Fourier y la ley de Ohm. Puede ser conveniente expresar la ley de Fourier as:

diferencia global de temperaturas flujo de calor por conduccin =

suma de las resistencias trmicas

a

b

1 2 3

q

14

La extensin de las ecuaciones anteriores para tres o ms paredes es obvia.

2.3 SISTEMAS RADIALES

La siguiente figura muestra un cilindro hueco de una sola capa compuesta de un material homogneo de conductividad trmica constante y temperaturas uniformes interna y externa. Para un radio dado (r) el rea normal para un flujo de calor radial por conduccin es 2pirL, donde L es la longitud del cilindro. Sustituyendo lo anterior en la ecuacin de Fourier e integrando para q constante:

q r2 T2 T1 = - ln

2pik L r1

o tambin,

2pikL (T1 T2) q =

ln (r2/r1)

T1

T2

r1

r2

T1

T2

T3 a

b

r1 r2

r3

15

A partir de la ecuacin anterior, la resistencia trmica de una capa cilndrica simple es [ln(r2/r1)] /2pikL. Para un cilindro con dos capas (ver figura) el flujo de calor transferido est dado por:

2piL (T1 T3) q =

1 r2 1 r3 ln + ln ka r1 kb r2

La ecuacin anterior puede extenderse a tres o ms capas.

Para transferencia de calor por conduccin radial en una pared esfrica el rea para un radio (r) est dada por 4pir2. Sustituyendo en la ley de Fourier e integrando con q constante:

4pik (T1 T2) q =

1 1 -

r1 r2

A partir de la ecuacin anterior, la resistencia trmica de una capa esfrica simple es [(1/r1) (1/r2)] / 4pik. Para un sistema multicapas esfricas la resistencia total es la suma de las resistencias individuales de cada capa.

2.4 CONDUCCION CON CONDUCTIVIDAD TERMICA VARIABLE

La conductividad trmica de un metal puede representarse generalmente en un amplio intervalo de temperaturas por:

k = ko (1 + b + c2)

donde = T Tref y ko es la conductividad a la temperatura de referencia Tref.

16

Para la mayora de las aplicaciones en ingeniera el intervalo de temperaturas es relativamente pequeo y la conductividad puede tomarse como:

k = ko ( 1 + b)

Se demuestra que las ecuaciones de transferencia de calor para placas planas y sistemas radiales son: T1 T2

q = x / km A

2pikm L (T1 T2) q =

ln (r2/r1)

donde km es la conductividad trmica evaluada a la temperatura media de la pared.

2.5 CONDICIONES DE CONTORNO CON CONVECCION

Para la transferencia de calor por conveccin:

(Ts - T) qconv = h A (Ts - T) =

1/ h A

donde el trmino 1/hA es la resistencia a la transferencia de calor por conveccin.

17

2.6 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Para la pared plana de la figura en contacto con un fluido caliente A por una cara y con un fluido ms fro B por la otra cara. La transferencia de calor se expresa por:

kA q = h1A(TA T1) = (T1 T2) = h2A(T2 TB)

x

La transferencia de calor global se calcula como el cociente entre la diferencia total de temperaturas y la suma de las resistencias trmicas.

TA TB q =

(1/h1A) + (x/kA) + (1/h2A)

La transferencia de calor global que combina la conduccin y la conveccin se expresa con frecuencia en funcin de un coeficiente global U, definido por la relacin:

TA

T1 T2

TB

q

h1

h2 Fluido A

Fluido B

18

q = U A Tglobal

luego el coeficiente global ser:

1 U =

(1/h1) + (x/k) + (1/h2)

Para el esquema de un cilindro hueco con contorno convectivo:

TA TB q =

1 ln(re/ri) 1 + + hiAi 2pik L heAe

Los trminos Ai y Ae representan las reas de las caras interna y externa del tubo interior.

2.7 ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO

Considerando una capa de aislamiento instalada alrededor de una tubera circular:

Fluido B

Fluido A

1 2

19

La temperatura interna del aislante es Ti y la temperatura externa est expuesta a un entorno T . La transferencia de calor ser:

2piL (Ti - T) q =

ln(re/ri) 1 + k reh

Para determinar el radio exterior de aislamiento re que hace mxima la transferencia de calor se debe cumplir que (dq/dre) = 0 , lo que conduce a la relacin: re = k/h. Si el radio exterior es menor que el valor dado por esta relacin, la transferencia de calor aumentar al aadir ms aislante.

2.8 SISTEMAS CON GENERACION DE CALOR

Tienen aplicacin en conductores elctricos para calentamiento, generacin de calor en reactores nucleares y en sistemas qumicamente reactivos.

Ti T

ri

re

h

20

PAREDES PLANAS

Se considera la pared plana con generacin interna de calor mostrada en la figura:

Suponiendo conductividad trmica constante y dimensiones muy grandes en las direcciones y, x, el gradiente de temperatura es slo significativo en la direccin x, y el flujo puede considerarse unidimensional. La ecuacin del balance de energa es:

d2T q* + = 0

dx2 k

Para la figura (a) se fijan las siguientes condiciones de contorno:

T = T1 para x = 0 y T = T2 para x = 2L

Integrando doblemente la ecuacin anterior respecto a x se tiene:

q* T = - x2 + C1 x + C2

2k

(a) (b)

21

Utilizando las condiciones de contorno dadas:

T2 T1 q* L C2 = T1 C1 = +

2L k

Reemplazando los valores de las constantes en la ecuacin integrada:

( ) 112 TxxL2k2*q

L2TTT +

+

=

el flujo de calor depender de la localizacin de x. Para el caso ms sencillo como el de la figura (b),

x = L y T1 = T2 = Ts

Se tiene:

s

2

o Tk2L*qT +=

Ts = temperatura en la superficie ; To = temperatura en el centro de la pared

Diferenciando la ecuacin anterior respecto a L,

dT q* L =

dx k

Introduciendo la expresin anterior en la ley de Fourier

q = - q* A L

El signo menos indica que el calor se transfiere en sentido contrario a la coordenada x, para x = 2L sera el mismo valor pero positivo. El producto AL es la mitad del volumen de la placa.

CILINDRO

La ecuacin del balance de energa ser ahora:

22

d2T q* + = 0

dr2 k

Considerando como condiciones de contorno:

T = Ts para r = R y dT/dx = 0 para r = 0

Se demuestra que

=

22

s Rr1

k4*qRTT

k4R*qTT

2

so +=

To = temperatura para r = 0 (centro del cilindro)

Un cable elctrico puede considerarse como un cilindro cuya generacin de calor es:

q = I2 R

q = energa generada en la unidad de tiempo en vatios. I = intensidad de la corriente en amperios.

R = resistencia elctrica en ohmios =

$/

DGUHVLVWLYLG= L = longitud del cable A = rea de la seccin del cable

Tambin pueden la ley de Ohm:

E = I R

E = diferencia de potencial en voltios

2.9 TRANSFERENCIA DE CALOR DESDE ALETAS

Las superficies extendidas o aletas son utilizadas para incrementar la efectividad del rea superficial en la transferencia de calor por conduccin-conveccin en intercambiadores de calor, mquinas de combustin interna, equipo electrnico, etc.

23

ALETAS RECTANGULARES

Haciendo referencia a la figura, se realiza un balance de energa en un elemento de espesor dx de aleta, as:

= +

El anterior balance de energa conduce a la siguiente ecuacin:

d2 - m2 = 0

dx2

Donde: h = coeficiente de conveccin, = T - T , m = kA/hP

La solucin general de la ecuacin diferencial anterior es:

(x) = C1 e mx + C2 e -mx

Energa que entra por la cara izquierda

Energa que sale por la cara derecha

Energa perdida por conveccin

A

Z

L

x

q1 q2 x

qconv

t

24

Una condicin de contorno es:

x = 0 , (x) = 0 = T0 - T = C1 + C2

Una segunda condicin de contorno:

x = , () = C1 () + (C2/) C1 = 0 C2 = 0

Reemplazando en la ecuacin general:

[ (x) / 0 ] = e - mx

Esta ecuacin indica la distribucin de temperaturas en la aleta.

La transferencia de calor a travs de la aleta puede ahora calcularse tomando el flujo de calor por conduccin que llega a la base de la aleta:

q = - kA (dT/dx)x=0 = - kA (d/dx)x=0

Para el caso presente de una aleta rectangular de longitud infinita se tiene:

q = k A m 0

Dos casos que pueden presentarse son tambin los siguientes:

Aleta de longitud finita con extremo aislado.

cosh [m (L x) ] Distribucin de temperaturas: /0 = cosh mL

25

Calor transferido: q = k A m 0 [tanh (mL)]

Aleta de longitud finita con prdida de calor por conveccin en el extremo.

Distribucin de temperaturas:

cosh [m (L x) + (h/mk) senh [m (L x)] /0 =

cosh mL + (h/mk) senh mL

Calor transferido:

senh mL + (h/mk) cosh mL q = k A m 0

cosh mL + (h/mk) senh mL

EFICIENCIA DE ALETAS

El propsito fundamental de las aletas es incrementar la efectividad del rea superficial de transferencia de calor que est expuesta a un fluido en un intercambiador. El comportamiento de las aletas se expresa en trminos de su eficiencia a que no es otra cosa que la razn entre la transferencia de calor de aleta a la transferencia de calor que existira sin la aleta o:

calor real transferido a =

calor transferido si toda la aleta est a la temperatura base

Como ejemplo para una aleta de seccin transversal uniforme y extremo aislado la eficiencia sera:

hPkA 0 tanh mL tanh mL a = =

hPL0 mL

26

Grfica 2-1 EFICIENCIA DE ALETAS RECTAS DE PERFILES RECTANGULAR, TRIANGULAR Y PARABLICO

Grfica 2-2 EFICIENCIA DE ALETAS CIRCULARES DE ESPESOR CONSTANTE

27

EFICIENCIA DE FORMAS COMUNES DE ALETAS

28

PROBLEMAS RESUELTOS

2.1 Un horno industrial est construido de un ladrillo refractario de 20 cm de espesor con k = 1.038 W/m oC. El horno est recubierto de una superficie externa de 3 cm de espesor de material aislante con k = 0.07 W/m oC. La superficie interior est a 980C y la superficie exterior est a 38C. Calcular el calor transferido por m2 de superficie.

Considerando las dos capas como a y b:

q T1 -T3 980 38 W = = = 1516

A xa xb 0.20 0.03 m2 + + ka kb 1.038 0.07

2.2 Con frecuencia en ingeniera el problema es la determinacin del espesor de un aislamiento que se necesita para un flujo especificado de calor. Si en el problema 2.1 el mximo flujo de calor se establece en 1000 W/m2, la pared de ladrillo se mantiene y se utiliza el mismo material aislante, cul debe ser el espesor de este material?

q T1 T3 980 38 = = = 1000

A xa xb 0.20 xb + + ka kb 1.038 0.07

Resolviendo: xb = 0.052 m = 5.2 cm

2.3 Una pared est formada por tres capas as: 0.5 cm de placa de aluminio, 0.25 cm de una capa de asbesto y 2 cm de un material aislante. El asbesto es la capa central. La superficie externa de aluminio est a 500C y el material interno aislante est a 50C. Determinar el flujo de calor por unidad de rea. Las conductividades trmicas son: kAl = 268.08 W/m oC, kasb = 0.166 W/m oC, kaisl = 0.0548 W/m oC.

29

q 500 50 = = 1184 W/m2

A 0.005 0.025 0.02 + + 268.08 0.166 0.0548

2.4 Una pared exterior de una casa se puede aproximar a una capa de 10.16 cm de ladrillo corriente (k = 0.7 W/m oC) seguida de una capa de 3.81 cm de yeso (k = 0.48 W/m oC). Qu espesor aislante de lana de roca (k = 0.065 W/moC) debera aadirse para reducir en un 80% la prdida de calor a travs de la pared?

Sin aislamiento:

q T =

A xL xy + kL ky

Con aislamiento:

q T =

A xL xy xaisl + + kL ky kaisl

(q/A)sin a. (q/A)con a. = 0.8

(q/A)sin a.

(q/A)con a. 1 - = 0.8

(q/A)sin a.

(q/A)con a. = 0.2

(q/A)sin a.

30

(0.1016/0.7) + (0.0381/0.48) 0.2 =

(0.1016/0.7) + (0.0381/0.45) + (xaisl/0.065)

xaisl = 0.058 = 5.8 cm

2.5 Un tubo de paredes gruesas de acero inoxidable (k = 19 W/m oC) de 2 cm de dimetro interior (Di) y 4 cm de dimetro exterior (DE), se cubre con una capa de 3 cm de aislante de asbesto (k = 0.2 W/m oC). Si la temperatura de la pared interna del conducto se mantiene a 600 oC, calcular la prdida de calor por metro de longitud. La temperatura exterior es 100C. Calcular tambin la temperatura de la interfaz tubo-aislante.

q 2pi (T1 T3) 2pi (600 100) = = = 680 W/m

L ln(r2/r1) ln(r3/r2) ln(2) ln(5/2) + + kaisl ka 19 0.2

Utilizando este flujo de calor, se calcula la temperatura de la interfaz entre la pared del tubo y el aislante.

q 2pi (T2 T3) = = 680 W/m

L ln(r3/r2)/k

T2 = 595.8 oC

2.6 Una pared de cobre (k = 375 W/m oC) de 1 cm de espesor, la cual est expuesta por una de sus superficies a vapor de agua condensndose (h = 10000 W/m2 oC) a una temperatura de 200C. La otra superficie est en contacto con aire ambiente (h = 5 W/m2 oC) a una temperatura de 25C. Calcular el calor transferido por unidad de rea a travs de la placa, y las temperaturas de ambas superficies.

q T1 T2 200 25 = = = 874.45 W/m2

A 1 x 1 1 0.01 1 + + + + h1 k h2 10000 375 5

31

Puesto que el calor transferido por conveccin del vapor a la placa es igual al calor por conduccin a travs de sta y a su vez al calor por conveccin de la placa al aire.

(q/A) = h1(T - T1) T1 = T - (q/A)/h1

T1 = 200 - (874.45/10000) = 199.91oC

(q/A) = h2(T2 - T) T2 = T + (q/A)/h2

T2 = 25 + (874.45/5) = 199.89oC

2.7 Una pared de ladrillo de 30 cm de espesor se utiliza en un edificio. En un da de invierno las siguientes temperaturas fueron medidas: temperatura interior del aire, Ti = 21C; temperatura exterior del aire, To = - 10C; temperatura de la superficie interna, T1 = 13C; temperatura de la superficie externa, T2 = - 7C. Utilizando k = 1.31 W/m oC, determinar los valores promedio de los coeficientes de transferencia de calor hi y ho.

Para la pared de ladrillo:

(q/A) = - k(T/x) = - 1.31 (- 7 13)/0.3 = 87.23 W/m2

(q/A) = 87.33 = h1(21 13) hi = 10.91 W/m2 oC

(q/A) = 87.33 = ho[ - 7 (- 10)] ho = 29.11 W/m2 oC

2.8 Por el interior de un tubo de 2.5 cm de dimetro interior circula agua a 50C de modo que hi = 3500 W/m2 oC. El tubo tiene una pared de 0.8 mm de espesor, con una conductividad trmica de 16 W/m oC. El exterior del tubo pierde calor por conveccin natural con h = 7.6 W/m2 oC. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor y la prdida de calor por unidad de longitud hacia el aire circundante, que est a 20C.

Se calculan las correspondientes resistencias trmicas.

1 1 = = 0.00364 oC/W

hi Ai (3500) (pi) (0.025) (1)

32

ln(Do/Di) ln (0.0266/0.025) = = 0.00062 oC/W

2pikL 2pi(16)(1)

1 1 = = 1.575 oC/W

ho Ao (7.6) (pi) (0.0266) (1)

La resistencia exterior a la transferencia de calor por conveccin es la mayor y en consecuencia controla la transferencia total de calor. El coeficiente global de transferencia de calor se basar en el rea exterior del tubo y por lo tanto:

q = (T/R) = U Ao T

1 1 Uo = =

Ao (R) [(pi) (0.0266) (1)] [(0.003364) + (0.00062) + (1.575)]

Uo = 7.577 W/m2 oC

Observar que el valor es muy prximo al valor de ho = 7.6

q = U Ao T = (7.577) (pi) (0.0266) (1) (50 20) = 19 W (por m de longitud)

2.9 Calcular el espesor crtico de aislamiento para el asbesto (k = 0.17 W/moC) que rodea a una tubera y se halla expuesto al aire de una habitacin a 20C con h = 3 W/m2 oC. Calcular la prdida de calor desde una tubera a 200C, de 5 cm de dimetro, cuando se cubre de aislante con el radio crtico y sin aislamiento.

re = (k/h) = 0.17/3 = 0.0567 m = 5.67 cm

El radio interior del aislamiento es 5/2 = 2.5 cm

2piL (Ti - T) 2pi (200 20) q = = = 105.77 W/m

ln(ro/ri) 1 ln(5.67/2.5) 1 + + k reh 0.17 (0.0567) (3)

33

Sin aislamiento, la conveccin desde la superficie exterior de la tubera es:

(q/L) = (h) (2pi) r (Ti To) = (3) (2pi)(Ti To) = (3) (2pi) (0.025) (200 20)

(q/L) = 84.8 W/m

Luego la adicin de 3.17 cm de aislamiento, lo que est haciendo es aumentar la transferencia de calor en 105.73 84.8 = 20.93 W/m

2.10 Para una placa plana con generacin uniforme de calor se tiene los siguientes datos: k = 200 W/m oC, q* = 40 MW/m3, T1 = 160C (x=0) , T2 = 100C (x=2L), espesor de la placa 2 cm. Determinar: (a) T como una funcin de x. (b) q/A en la cara izquierda. (c) q/A en la cara derecha. (d) q/A en el centro de la placa.

a) ( ) 112 TxxL2k2

*qL2

TTT +

+

=

2537

x10x10160160x)200(2)x02.0()10x4(

02.0160100T =+

+

=

T en oC y x en m

b) Se calcula dT/dx en x = 0 y se reemplaza en la ecuacin de Fourier.

(dT/dx) = - 103 (2) (105) x

(dT/dx) x=0 = - 103

(q/A) = - k (dT/dx) = - (200) (-103) = + 200 kW/m2

El signo + significa que el calor fluye hacia el interior de la cara izquierda.

c) Se calcula dT/dx en x = 2L y se reemplaza en la ecuacin de Fourier

(dT/dx)2L = - 103 2 (105) (0.02) = - 5 (103)

(q/A)2L = - k (dT/dx) = - (200) (- 5 x 103) = 1 MW

34

El balance de energa en la placa es

(q/A)x=2L = (q/A)x=0 + (q* x volumen /A)

el cual puede ser utilizado para chequear los resultados.

d)

(dT/dx)x=L = - 103 2 (105) (0.01) = - 3 x 103

(q/A)x=L = - (200 (- 3 x 103) = + 600 kW/m2

2.11 Una corriente de 200 amperios pasa a travs de un hilo de acero inoxidable (k = 19 W/m oC) de 3 mm de dimetro. La resistividad del acero puede tomarse como 70 .cm y la longitud del hilo es 1 m. Se sumerge el hilo en un lquido a 110C siendo el coeficiente de transferencia de calor por conveccin de 4 kW/m2 oC. Calcular la temperatura en el centro del hilo y el calor generado por unidad de volumen.

La potencia generada en el interior del hilo se disipa por conveccin hacia el lquido.

P = I2R = q = hA(Ts - T)

La resistencia del hilo es:

R = (L/A) = 70 x 10-6 [100/(pi) (0.15)2] = 0.099

donde es la resistividad del hilo.

El rea superficial del hilo es piDL, luego:

(200)2(0.099) = (4000) (pi) (0.003) (1) (TP 110) = 3960 W

TP = 215oC

El calor generado por unidad de volumen ser:

35

P 3960 q* = = = 560.2 MW/m3

pir2L (pi) (0.015)2(1)

La temperatura en el centro del hilo ser:

q* ro2 (5.602 x 108) (0.015)2 To = + TP = + 215 = 231.6 oC

4k (4) (19)

2.12 Una superficie extendida de seccin transversal rectangular tiene las siguientes dimensiones: longitud 3.5 cm, ancho 3.0 cm y espesor 0.2 cm. Si la aleta es de aluminio (k = 205 W/m oC), el coeficiente promedio de transferencia de calor es 600 W/m2 oC, la temperatura en la base es igual a 135C y la temperatura del aire ambiente es 40C, calcular el calor disipado por la aleta. Considere longitud finita y desprecie el flujo de calor en el extremo de la aleta.

q = hPkA (To - T) Tanh mL

A = (0.03) (0.002) = 6 x 10-5 m2

(2) (A) (2 ) (6 x 10-5) m2 (P/A) (2/t) P = = = 0.06 m

t 0.002 m

m = kt/h2 = )002.0)(205/()600)(2( = 54.1 m-1

L = 0.035

Reemplazando:

q = 510x6)(205)(06.0)(600( (135 40) [tanh (54.1 x 0.035)]

q = 60.21 W

2.13 En un sistema de calefaccin, el vapor de agua fluye por tubos cuyo dimetro exterior e D1 = 3 cm y cuyas paredes se mantienen a una

36

temperatura de 120C. Se sujetan al tubo aletas circulares de aluminio (k = 180 W/m oC) con dimetro exterior D2 = 6 cm y espesor constante t = 2 mm, como se muestra en la figura. El espacio entre las aletas es de 3 mm y, de este modo, se tienen 200 aletas por metro de longitud del tubo. El calor se transfiere al aire circundante que est a t = 25C, con un coeficiente de transferencia de calor h = 60 W/m2 oC. Determine el incremento en la transferencia de calor por metro de longitud, como resultado de la adicin de las aletas.

En el caso de que no se tengan aletas, el calor transferido por metro de longitud es:

A sin aletas = pi D1 L = pi(0.03 m)(1 m) = 0.0942 m2

q sin aletas = h A sin aletas (tb - t) = (60) ( 0.0942) (120 25) = 537 W

En la grfica para eficiencia de aletas circulares sujetas a un tubo circular:

L = 0.5 (D2 D1) = 0.5 (0.06 0.03) = 0.015 m

r2C = r2 + t/2 = 0.03 + 0.002/2 = 0.031 m

LC = L + t/2 = 0.015 + 0.002/2 = 0.016 m

Ap = LC t = (0.016) (0.002) = 3.2 x 10-5 m2

(r2C /r1) = (0.031/0.015) = 2.07

(LC)3/2 (h/kAp)0.5 = (0.016)3/2 [ (60) / (180 x 3.2 x 10-5) ] 0.5 = 0.207

aleta = 0.96

A aleta = 2 pi [(r2C)2 (r1)2] = 2 pi [ (0.031)2 (0.015)2 ] = 0.004624 m2

q aleta = aleta q aleta max = aleta h A aleta ( tb - t) = (0.96) (60) (0.004624) (120 25)

37

q aleta = 25.3 W

La transferencia de calor desde la parte libre de aletas del tubo es:

A libre de aletas = pi D1 S = pi (0.03) (0.003) = 0.000283 m2

q libre de aletas = h A libre de aletas (tb t ) = (60) (0.000283) (120 25) = 1.6 W

Puesto que se tienen 200 aletas y, por tanto 200 espaciamientos entre ellas por metro de longitud del tubo, la transferencia de calor del tubo con aletas es:

q total de la aleta = n ( q aleta + q libre de aleta ) = 200 ( 25.3 + 1.6 ) = 5380 W

En consecuencia, el incremento en la transferencia de calor del tubo por metro de longitud, como resultado de la adicin de las aletas, es:

q = 5380 537 = 4843 W/m

La efectividad del tubo con aletas ser:

= (5380 / 537) = 10

PROBLEMAS PROPUESTOS

2.14 Una pared de concreto (k = 1 W/m oC) de 10 cm de espesor tiene sus superficies a 80oC y 20C, respectivamente. Calcular el flujo de calor por unidad de rea a travs de la pared.

2.15 Se va a construir una pared de 2 cm de espesor con un material que tiene una conductividad trmica media de 1.3 W/m oC. Se aisla la pared con un material que tiene una conductividad trmica media de 0.35 W/m oC de modo que la prdida de calor por m2 no supere los 1830 W. Suponiendo que las temperaturas de las superficies interna y externa de la pared aislada son 1300C y 30C, calcular el espesor de aislante necesario.

2.16 Una pared compuesta est formada por una placa de cobre de 2.5 cm, una capa de asbesto de 3.2 mm y una capa de 5 cm de fibra de vidrio. La pared est sometida a una diferencia de temperaturas total de 560C. Calcular el flujo de calor por unidad de rea a travs de la estructura compuesta.

2.17 Encontrar la transferencia de calor por unidad de rea, a travs de la pared compuesta esquematizada. Suponer flujo unidimensional.

38

Se tienen adems los siguientes datos: kA = 150 W/m oC, kB = 30, kC = 50, kD = 70, AB = AD , AC = 0.1 m2.

2.18 Una cara de un bloque de 5 cm de espesor se mantiene a 260C. La otra cara est cubierta con una capa de fibra de vidrio de 2.5 cm de espesor. El exterior de la fibra de vidrio se mantiene a 38C, y el flujo total de calor a travs del conjunto cobre-fibra de vidrio es 44 kW. Cul es el rea del bloque?

2.19 Una pared exterior de un edificio consiste en una capa de 10 cm de ladrillo corriente y una capa de 2.5 cm de fibra de vidrio (k = 0.05 W/m oC). Calcular el flujo de calor a travs de la pared para una diferencia de temperaturas de 45C.

2.20 Una cara de un bloque de cobre de 4 cm de espesor se mantiene a 175C. La otra cara est cubierta con una capa de fibra de vidrio de 1.5 cm de espesor. El exterior de la fibra de vidrio se mantiene a 80C, y el flujo total de calor a travs del bloque compuesto es 300 kW. Cul es el rea del bloque?

2.21 Un material determinado tiene un espesor de 30 cm y una conductividad trmica de 0.04 W/m oC. En un instante dado la distribucin de temperaturas en funcin de x, distancia desde la cara izquierda, es T = 150 x2 30 x, donde x est en metros. Calcular el flujo de calor por unidad de rea en x=0 y x=30 cm. Se est enfriando o calentando el slido?

2.22 Una pared est construida con 2 cm de cobre, 3 mm de lmina de asbesto (k = 0.166 W/m oC) y 6 cm de fibra de vidrio. Calcular el flujo de calor por unidad de rea para una diferencia de temperaturas total de 500C.

A

B

C D T1 = 370oC T2 = 66oC

2.5 cm 7.5 cm 5.0 cm

39

2.23 Una pared est construida con una chapa de 4 mm de espesor de acero inoxidable (k = 16 W/m oC) con capas plsticas idnticas a ambos lados del acero. El coeficiente de transferencia de calor global, considerando conveccin a ambos lados del plstico es 120 W/m2 oC. Si la diferencia total de temperaturas a travs del conjunto es 60C, calcular la diferencia de temperaturas a travs del acero inoxidable.

2.24 Un depsito esfrico, de 1 m de dimetro, se mantiene a una temperatura de 120C y est expuesto a un ambiente convectivo con h=25 W/m2 oC y T = 15C, qu espesor de espuma de Styrofoam habra que aadir para asegurarse que la temperatura externa del aislante no sobrepase los 40C? Qu tanto por ciento de reduccin de prdida de calor se obtiene al instalar este aislante?

2.25 Una pared de concreto de 15 cm de espesor, tiene una conductividad trmica k = 0.865 W/m oC y est expuesta al aire a 20C por una cara y a aire a 7C por la cara opuesta. Los coeficientes de transferencia de calor son hI = 11.34 w/m2 oC sobre la cara de 20C y ho = 56.7 W/m2 oC sobre la cara de 7C. Determinar el flujo de calor transferido y la temperatura superficial de las dos caras.

2.26 La pared de un horno de una estufa est constituida por dos placas de acero delgadas, con aislante de fibra de vidrio (k = 0.035 W/m oC) en el interior de ellas. La temperatura mxima de operacin del horno puede suponerse 250C, mientras la temperatura ambiente de la cocina es 35C. Calcular el espesor de aislante que deben tener las paredes para evitar que la temperatura en la superficie exterior no exceda de 60C. El coeficiente de transferencia de calor para conveccin en ambas superficies puede suponerse 10 W/m2 oC.

2.27 La pared de una casa se puede aproximar a dos capas de 1.2 cm de plancha de fibra aislante, una capa de 8 cm de asbesto poco compacta, y una capa de 10 cm de ladrillo corriente. Suponiendo coeficientes de transferencia de calor por conveccin de 15 W/m2 oC en ambas caras de la pared, calcular el coeficiente global de transferencia de calor de este conjunto.

2.28 Una tubera de acero de 7.62 cm de dimetro exterior est recubierta con una capa de asbesto de 1.25 cm, la cual a su vez est recubierta con 5 cm de lana de vidrio. Determinar: a) El flujo de calor por metro de longitud. b) La temperatura de la interfaz entre el asbesto y la lana de vidrio, si la temperatura exterior de la tubera es 205C y la temperatura exterior de la lana de vidrio es 35C.

40

2.29 Una tubera de acero de 5 cm de dimetro exterior (DE) est recubierta por un aislamiento de 6.4 mm de asbesto (k = 0.166 W/m oC), seguido de una capa de 2.5 cm de fibra de vidrio (k = 0.048 W/m oC). La temperatura de la pared de la tubera es 315C, y la temperatura del exterior del aislamiento es 38C. Calcular la temperatura de la interfaz entre el asbesto y la fibra de vidrio.

2.30 Una tubera de vapor caliente con una temperatura superficial interna de 250C tiene un dimetro interior de 8 cm y un espesor de pared de 5.5 mm. sta est recubierta de una capa de 9 cm de un aislante que tiene k = 0.5 W/m oC, seguida de una capa de 4 cm de aislante que tiene k = 0.25 W/m oC. La temperatura exterior del aislamiento es 20C. Calcular la prdida de calor por metro longitudinal. Suponer k = 47 W/m oC para la tubera.

2.31 Una tubera est recubierta con asbesto (k = 0.208 W/m oC). El coeficiente externo de transferencia de calor es 8.5 W/m2 oC. Si Ti = 120C y To = 20C, construya un grfico de (q/L) W/m en funcin del radio ri haciendo variar ri desde 1.25 cm hasta 3.8 cm. Analizar el grfico respecto al radio crtico de aislamiento.

2.32 Una pared plana de 6 cm de espesor genera internamente un calor de 0.3 MW/m3. Una cara de la pared est aislada, y la otra cara est expuesta a un entorno a 93C. El coeficiente de transferencia de calor por conveccin entre la pared y el entorno es 570 W/m2 oC. La conductividad trmica de la pared es 21 W/m oC. Calcular la temperatura mxima de la pared.

2.33 En una varilla cuadrada de cobre de 2.5 cm, se genera un calor de 35.3 MW/m3. La varilla est expuesta a un entorno convectivo a 20C, y el coeficiente de transferencia de calor es 4000 W/m2 oC. Calcular la temperatura superficial de la varilla.

2.34 Una placa de 3 cm de espesor genera uniformemente un calor de 5 x 105 W/m3. Una cara de la placa se mantiene a 200C y la otra cara a 50C. Calcular la temperatura en el centro de la placa para k = 20 W/m oC.

2.35 En una placa de acero inoxidable cuyo k = 20 W/m oC, se genera calor de manera uniforme. El espesor de la placa es 1 cm y la generacin de calor es 500 MW/m3. Si las dos caras de la placa se mantienen a 100C y 200C, respectivamente, calcular la temperatura en el centro de la placa.

2.36 En una pared slida de 8 cm de espesor y k = 2.5 W/m oC, se instalan hilos de calefaccin elctrica. La cara derecha est expuesta a un entorno con h = 50 W/m2 oC y T= 30oC, mientras que la cara izquierda

41

est expuesta a h = 75 W/m2 oC t T= 50oC. Cul es la generacin de calor por unidad de volumen mxima que puede permitirse para que la temperatura mxima en el slido no exceda de 300oC.

2.37 Una resistencia elctrica de alambre de 2 kW y 6 m de largo est hecha de acero inoxidable de 0.2 cm de dimetro (k = 15.1 W/m oC). La resistencia del alambre opera en un medio ambiente a 20oC con un coeficiente de transferencia de calor de 175 W/m2 oC en la superficia exterior. Determinar la temperatura superficial del alambre.

2.38 Una placa con un espesor de 4 mm tiene una generacin interna de calor de 200 MW/m3 y una conductividad trmica de 25 W/m oC. Una cara de la placa est aislada y la otra cara se mantiene a 100C. Calcular la temperatura mxima de la placa.

2.39 El alambre de un calentador de resistencia elctrica tiene un dimetro de 2.03 mm. La resistividad elctrica es 80 x 10-6 .cm y la conductividad trmica es 19.03 W/m oC. Para una corriente elctrica de 150 amperios que pasa por el alambre, determinar la elevacin de temperatura desde la superficie del alambre hasta su centro.

2.40 Un cable de 30 cm de largo de acero inoxidable y 3.2 mm de dimetro, se somete a un voltaje de 10 voltios. La temperatura de la cara externa del cable se mantiene a 93C. Calcular la temperatura del centro del cable. Tomar la resistividad del cable como 70 .cm y la conductividad trmica como 22.5 W/m oC.

2.41 Un cable elctrico de una aleacin de aluminio tiene k = 190 W/m oC, un dimetro de 30 mm, y transporta una corriente elctrica de 230 amperios. La resistividad del cable es 2.9 .cm, y la temperatura de la superficie exterior del cable es 180C. Calcular la temperatura mxima dentro del cable si el aire ambiente est a 15C.

2.42 El exterior de un hilo de cobre de 2 mm de dimetro est expuesto a un entorno convectivo con h = 5000 W/m2 oC y T = 100C. Qu corriente debe pasar a travs del hilo para que la temperatura en el centro sea de 150C? La resistividad del cobre es 1.67 .cm.

2.43 Un tubo hueco que tiene 2.5 cm de dimetro interior y una pared de 0.4 mm de espesor est expuesto a un entorno con h = 100 W/m2 oC y T = 40C. Qu generacin de calor por unidad de volumen dentro del tubo originar una temperatura mxima del tubo de 250C para k = 24 W/m oC?

42

2.44 Por el interior de una tubera de aluminio de 2.5 cm de dimetro interior (DI) circula agua. El espesor de la pared es 2 mm, y el coeficiente de conveccin en el interior es 500 W/m2 oC. El coeficiente de conveccin en el exterior es 12 W/m2oC. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor.

2.45 Una esfera de acero inoxidable (k = 16 W/m oC) que tiene un dimetro de 4 cm est expuesta a un ambiente convectivo a 20C, h = 15 W/m2 oC. Dentro de la esfera se genera un calor uniforme de 1.0 MW/m3. Calcular la temperatura en el centro de la esfera.

2.46 Una aleta recta rectangular de 2 cm de espesor y 14 cm de longitud est fabricada en acero y colocada en el exterior de una pared mantenida a 200C. La temperatura del ambiente es de 15C, y el coeficiente de transferencia de calor por conveccin es 20 W/m2 oC. Calcular el calor perdido por la aleta por unidad de anchura.

2.47 Una aleta recta rectangular tiene una longitud de 2 cm y un espesor de 1.5 mm. La conductividad trmica es 55 W/m oC, y est expuesta a un ambiente convectivo a 20C y h = 500 W/m2 oC. Calcular la prdida de calor mxima posible para una temperatura de la base de 150C. Cul es la prdida real de calor para esta temperatura de la base?

2.48 Una aleta anular de perfil rectangular rodea un tubo de 2.5 cm de dimetro. La longitud de la aleta es 6.4 mm, y el espesor es de 3.2 mm. La aleta est fabricada con acero templado. Si se sopla aire sobre la aleta de modo que se alcance un coeficiente de transferencia de calor de 28 W/m2 oC, y las temperaturas de la base y el aire son 260 y 93o, respectivamente, calcular la transferencia de calor desde la aleta.

2.49 Una aleta de aluminio de 1.6 mm de espesor rodea un tubo de 2.5 cm de dimetro. La longitud de la aleta es 12.5 mm. La temperatura de la pared del tubo es 200C y la temperatura ambiente es 20C. El coeficiente de transferencia de calor es 60 W/m2 oCCul es el calor perdido por la aleta?

2.50 Un tubo de 2.5 cm de dimetro tiene aletas anulares de perfil rectangular, longitudinalmente espaciadas en incrementos de 9.5 mm. Las aletas son de aluminio, de 0.8 mm de espesor y 12.5 mm de longitud. La temperatura de la pared del tubo se mantiene a 200C, y la temperatura ambiente es 93C. El coeficiente de transferencia de calor es 110 W/m2 oC. Calcular la prdida de calor del tubo por metro de longitud.

CAPITULO 3

CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL

La ecuacin de Laplace aplicable a un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional y suponiendo conductividad trmica constante sin generacin de calor es:

2T 2T 2T + + = 0

x2 y2 z2

El objetivo fundamental es con frecuencia determinar el flujo de calor o la temperatura resultante de un flujo de calor.

Teniendo en cuenta que la principal aplicacin de la ecuacin anterior se har slo en las dimensiones x, y (flujo bidimensional) la ecuacin ser:

2T 2T + = 0

x2 y2

La solucin de la ecuacin anterior proporciona la temperatura en un cuerpo bidimensional como funcin de x e y. El flujo de calor puede calcularse despus a partir de las ecuaciones de Fourier:

qx = - kA (T/x) y qy = - kA (T/y)

Estos flujos de calor se dirigen en la direccin x o y. El flujo total de calor en cualquier punto del material es el resultado de qx y qy en este punto. El vector flujo total de calor es entonces perpendicular a las lneas de temperatura constante en el material (ver figura).

44

Existen diferentes mtodos para resolver la ecuacin de Laplace, entre los cuales estn: tcnicas analticas, grficas, numricas y anlogas.

3.1 SOLUCION ANALITICA

Considerando la placa rectangular del diagrama, como caso particular y ms sencillo y resolviendo la ecuacin de Laplace por el mtodo de separacin de variables y con una distribucin sinusoidal de temperaturas se tiene:

Para las siguientes condiciones de contorno:

T = T1 en y = 0 ; T = T1 en X = 0 ; T = T1 en x = W ; T = T2 en y = H

qx

qy q = qx + qy

Y

X

H

W

T1 T1

T1

T = f(x)

45

T T1 2 ( - 1)n+1 + 1 npix senh (npiy/W) = sen x

T2 T1 pi n W senh (npiH/W)

3.2 SOLUCION GRAFICA

La figura representa una tubera con una capa de material aislante. La superficie interior est a T1 mientras que la superficie exterior se encuentra a T2 y existe un flujo de calor en la direccin T1> T2.

Como se ve en la figura, las isotermas y las lneas de flujo de calor forman grupos de figuras (elementos) curvilneas.

El flujo de calor por unidad de profundidad para cada elemento ser:

(q/L) = - k x (T / y)

Cada seccin perpendicular a la lnea isotrmica puede llamarse un ducto de flujo de calor y el nmero de stos correspondiente a un rea determinada ser M. Si en cada elemento x y se tiene:

(q/L) = k T T debe tomarse positivo

=1n

isotermas tpicas

T1 > T2

T2

x

y

46

Como el flujo de calor es proporcional a T a travs de cada elemento debe ser el mismo dentro de cada ducto de flujo de calor, por lo tanto:

T = Tglobal / N = (T1 T2) / N N = nmero de elementos por ducto

Luego el flujo de calor a travs de los M ductos de calor ser:

q (T1 T2) = k x M

L N

Para el ejemplo de la figura, en cada cuadrante: M = 4 y N = 4. Luego (M/N) = 1.

La relacin (M/N) se denomina factor de forma conductivo y se representa por la letra S.

En un sistema bidimensional en el que slo hay involucradas dos temperaturas lmite el flujo de calor por unidad de profundidad ser:

q/L = k S Tglobal = k S (T1 T2)

Valores de S se han calculado para diversas geometras y se pueden consultar en la siguiente tabla:

Tabla 3-1

Factores de Forma Conductivos

Nota: Para objetos inmersos, la diferencia de temperaturas es T = Tobjeto Tcampo lejano . La temperatura del campo lejano se toma igual a la temperatura de la superficie isoterma para un medio semi-infinito.

Sistema Fsico Esquema Factor de forma Restricciones Cilindro isotermo de radio r inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma.

Isoterma

2piL

cosh-1 (D/r)

2pi L

ln (D/r)

L>>r

L>>r D>3r

47

Esfera isoterma de radio r inmersa en un medio infinito

4pi r

Esfera isoterma de radio r inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma T = Tsup Tcampo lejano

Isoterma

4 pi r

1 r/2D

Conduccin entre dos cilindros isotermos de longitud L inmersos en un medio infinito.

2 pi L

D2 r12 r22 cosh-1 () 2r1r2

L>>r L>>D

Cubo inmerso en un medio infinito, lado L

8.24 L

Cilindro isotermo de radio r situado en un medio semi-infinito como se muestra.

2 pi L

ln (2L/r)

L>>2r

Paraleleppedo rectangular isotermo inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma.

b 1.685 L [log (1 + )-0.59 a

b x ( )-0.078 c

48

Pared plana

A/L

Flujo de calor unidimensio-nal

Cilindro hueco, longitud L.

2 pi L

ln(re/ri)

L>>r

Esfera hueca

4 pi reri

re - ri

Disco delgado horizontal inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma

Isoterma

4r 8r

4pi r

(pi/2) tan-1(r/2D)

D = 0 D >>2

(D/2r)>1

tan-1(r/2D) en radianes

Semiesfera inmersa en un medio semi-infinito T = Tesfera Tcampo lejano

2pi r

Esfera isoterma inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie est aislada.

4pi r

1 + (r/2D)

Dos esferas isotermas inmersas en un medio infinito

4pi r2

r2 (r1/D)4 2r2 [1- ] - r1 1 (r2/D)2 D

D>5rmx

49

Placa rectangular delgada de longitud L, inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma.

pi W

ln(4W/L)

2pi W

ln(4W/L)

2pi W

ln(2piD/L)

D = 0 W>L

D>>W W>L

W>>L D>W

Discos paralelos inmersos en un medio infinito.

4pi r

pi [ - tan-1(r/D)] 2

D>5r

tan-1(r/D) en radianes

Cilindros excntricos de longitud L

2 pi L

r12 + r2

2 - D2

cosh-1 () 2r1r2

L>>r2

Cilindro centrado en un prisma cuadrado de longitud L

2pi L

ln(0.54W/r)

L>>W

Cilindro horizontal de longitud L centrado en una placa infinita.

2pi L

ln(4D/r)

Disco delgado horizontal inmerso en un medio semi infinito cuya superficie es adiabtica.

4pi r

(pi/2) + tan-1(r/2D)

(D/2r) >1

tan-1 (r/D) en radianes

Para facilitar los clculos: cosh-1 x = ln (x 1x2 )

50

Un caso particular como la pared tridimensional de un horno, se utilizan por separado factores de forma para calcular el flujo de calor a travs de las secciones de las aristas y de las esquinas.

Si todas las dimensiones interiores son mayores que un quinto del espesor de la pared:

Spared = (A/L) ; Sarista = 0.54 D ; Sesquina = 0.15 L

A = rea de la pared L = espesor de la pared D = longitud de la arista

3.3 ANALISIS NUMERICO

Consideramos el cuerpo bidimensional de la figura. El cuerpo tiene un espesor uniforme L en la direccin z y no hay gradiente de temperaturas en esta direccin. Considerando incrementos x y y apropiados, el cuerpo se divide en un gran nmero de rectngulos, donde cada uno tiene un punto nodal o nodo en su centro.

51

Un balance de energa al interior de un punto nodal, en estado estacionario es:

q 1 n + q 2 n + q 3 n + q 4 n = 0

Utilizando la ecuacin de Fourier:

(T1 Tn) (T2 Tn) (T3 Tn) (T4 Tn) kL(y) + kL(x) + kL(y) + kL(x) = 0

x y x y

Si x = y

T1 + T2 + T3 + T4 4 Tn = 0

Para aplicar el mtodo numrico debe escribirse la ecuacin anterior para cada nodo dentro del material y resolver el sistema de ecuaciones resultante para las temperaturas de los nodos.

La solucin del sistema de ecuaciones puede hacerse empleando matrices, regla de Cramer, mtodo de eliminacin de variables de Gauss, mtodo de relajacin o utilizando el mtodo iterativo de Gauss-Seidel.

Para ilustrar la aplicacin del mtodo anterior consideramos el ejemplo mostrado en la figura:

52

Las cuatro ecuaciones para los nodos 1,2,3 y 4 son:

100 + 500 + T2 + T3 4 T1 = 0

T1 + 500 + 100 + T4 4 T2 = 0

100 + T1 + T4 + 100 4 T3 = 0

T3 + T2 + 100 + 100 4 T4 = 0

La solucin a este sistema es:

T1 = T2 = 250C y T3 = T4 = 150oC

Por la simetra del material se puede deducir que T1 = T2 y T3 = T4.

El calor puede calcularse ahora a partir de:

q = k x (T / y)

donde T se toma en los contornos.

El flujo de calor sobre la cara de 500C o sobre las tres caras de 100C ser:

Sobre la cara de 500C y considerando que x = y:

q = - k [ (250 500) + (250 500)] = 500 k

53

Sobre las tres caras de 100C:

q = - k [(250 100) + (150 100) + (150 100) + (150 100) + (150 100) + (250 100)]

q = - 500 k

Nodo exterior con contorno convectivo

Con frecuencia las temperaturas de los nodos exteriores no se conocen y deben ser calculadas como se muestra en el siguiente ejemplo:

El balance de energa en estado estacionario alrededor del nodo n es:

(y) T1 Tn T2 Tn (y) T3 - Tn kL ( ) + kL(x) ( ) + kL ( )

2 x y 2 x

+ hL(x)(T - Tn) = 0

La ecuacin anterior se simplifica hasta

( ) 0T)2k

xh()T(k

xhTT2T21

n321 =+

+++

Las ecuaciones nodales para otras geometras se dan en la siguiente tabla:

T

54

Tabla 3.2

Ecuaciones nodales para clculos de diferencias finitas

Configuracin fsica Ecuacin nodal para incrementos iguales de x e y

Esquina exterior con contorno convectivo

1 hx hx ( T1 + T2) + (T) ( + 1 ) Tn = 0 2 k k

Esquina interior con contorno convectivo

1 hx hx T1 + T4 + (T2 + T3) + (T) ( + 3 ) Tn = 0 2 k k

Contorno aislado

1 (T1 + T2) + T3 2Tn = 0 2

Nodo interior cercano a un contorno curvo

T1 T2 T3 T4 1 1 + + + + ( + ) Tn = 0 a(a+1) b+1 a+1 b(b+1) a b

h, T

h, T

55

PROBLEMAS RESUELTOS

3.1 Para el plato mostrado en la figura, determine la temperatura en el centro del plato. W = H = 2 m., T1 = 280 K, T = f(x) = 320 K.

La temperatura en el centro del plato corresponde a x=1 , y=1

Se construye la siguiente tabla:

n (-1)n+1 +1

n

npix sen W

npiy senh W

npiH senh W

1 2 1 2.3013 11.5487 3 0.666 -1 55.6544 6195.82 5 0.4 1 1287.98 3.31 x 106

Reemplazando en la ecuacin:

T T1 2 ( - 1)n+1 + 1 npix senh (npiy/W) = sen x

T2 T1 pi n W senh (npiH/W)

T T1 2 pi senh (pi/2) 3pi senh (3pi/2) = [ (2) ( sen ) ( ) + (0.666) ( sen ) ( ) T2 T1 pi 2 senh pi 2 senh 3pi

Y

X

H

W

T1 T1

T1

T = f(x)

=1n

56

5pi senh (5pi/2) + (0.4) ( sen ) ( ) 2 senh 5pi

T T1 = (2/pi) (0.398538 0.005988 + 0.000155 ....) = 0.25

T2 T1

T = (T2 T1) + T1 = (320 280) (0.25) + 280 = 290 K

3.2 Una tubera horizontal de 15 cm de dimetro y 4 m de longitud est enterrada a una profundidad de 20 cm. La temperatura de la pared de la tubera es de 75C y la temperatura de la superficie de la tierra es de 5C. Suponiendo que la conductividad trmica de la tierra es 0.8 W/m oC, calcular el calor perdido por la tubera.

El factor de forma tomado de la tabla 3-1, y teniendo en cuenta que L >>r

2piL 2pi (4) S = = = 15.35 m

cosh-1 (D/r) cosh-1 (20/7.5)

El flujo de calor ser:

q = kS T = (0.8) (15.35) (75 5) = 859.6 W

3.3 Un pequeo horno cbico de dimensiones interiores 50 x 50 x 50 cm y 10 cm de espesor est construdo de ladrillo refractario (k=1.04 W/m oC). El interior del horno se mantiene a 500C y el exterior se mantiene a 50C. Calcular el calor perdido a travs de las paredes.

El factor de forma se calcula sumando los factores de forma de las paredes aristas y esquinas.:

Paredes: S = (A/L) = (0.5) (0.5) / 0.1 = 2.5 m

Aristas : S = 0.54 D = (0.54) (0.5) = 0.27 m

Esquinas: S = 0.15 L = (0.15) (0.1) = 0.015 m

57

Hay seis secciones de pared, doce aristas y ocho esquinas, de modo que el factor de forma total es

S = (6) (2.5) + (12) (0.27) + (8) (0.015) = 18.36 m

y el flujo de calor ser:

q = kS T = (1.04) (18.36) (500 50) = 8.592 kW

3.4 Un disco de 30 cm de dimetro que se mantiene a una temperatura de 95C est enterrado a una profundidad de 1 m en un medio semi-infinito cuya superficie, que es isoterma, est a 20C y cuya conductividad trmica es 2.1 W/m oC. Calcular el calor perdido por el disco.

A partir de la tabla 3-1, el factor de forma seleccionado es aquel para el cual (D/2r) = (1/0.3) =3.33 > 1

4pir S =

(pi/2) tan-1 (r/2D)

4pi (0.15) 4pi (0.15) S = = = 1.26 m

(pi/2) tan-1 (0.15/2) [ (pi/2) 0.07486]

Para objetos enterrados, el factor de forma est basado en que T = Tobjeto Tcampo lejano . La temperatura del campo lejano se toma como la temperatura de la superficie isoterma, y el calor perdido por el disco es:

q= kS T = (2.1) (1.26) (95 20) = 198.45 W

3.5 Dos discos paralelos de 50 cm de dimetro estn separados 1.5 m en un medio infinito de k = 2.3 W/m oC. Un disco se mantiene a 80C y el otro a 20C. Calcular el calor transferido entre los discos.

De la tabla 3-1 como D>5r el factor de forma ser:

4pir 4pi (0.25) S = = = 2.235 m

(pi/2) tan-1 (r/D) (pi/2) tan-1 (0.25/1.5)

58

q = kS T = (2.3) (2.235) ( 80 20) = 308.4 W

3.6 El diagrama muestra la seccin de una chimenea. Suponiendo que el material tiene una conductividad trmica uniforme, la temperatura interna es 150C y la temperatura exterior es 40C, Calcular las temperaturas correspondientes a los nodos a, b, c, d, y e.

Por simetra del diagrama: Tb = Td ; Ta = Te ; Tb = Tf

Las ecuaciones nodales sern:

Nodo c: Tb + Td + 40 + 40 4Tc = 0

Nodo d: Tc + Te + 150 + 40 4Td = 0

Nodo e: Td + Tf + 150 + 40 4Te = 0

Ordenando y simplificando:

2Tc Td + 0 = 40

- Tc + 4Td Te = 190

0 Td + 2Te = 95

a b c

d

e 40oC

150oC

f

59

Resolviendo por la regla de Cramer:

Tc = 62.9oC

Td = 85.8oC

Te = 90.4oC

3.7 Con referencia al cuadrado de la figura, calcular la temperatura de los nodos indicados y el flujo de calor en los contornos. El lado es 1 metro.

La conductividad trmica del material es k = 10 W/m oC y el coeficiente h = 10 W/m2 oC.

Para los nodos 1, 2, 4 y 5 las ecuaciones son:

Nodo 1: 100 + 500 + T2 + T4 4T1 = 0

Nodo 2: 500 + T3 + T1 + T5 4T2 = 0

Nodo 4: 100 + T7 + T1 + T5 4T4 = 0

Nodo 5: T6 + T8 + T2 + T4 4T5 = 0

Para los nodos 3, 6, 7 y 8, se aplica la ecuacin de un nodo exterior con contorno convectivo (ver teora), las ecuaciones son:

Nodo 3: 2T2 + T6 + 567 4.67 T3 = 0

Nodo 6: 2T5 + T3 + T9 + 67 4.67 T6 = 0

1 2 3

4 5 6

7 8 9

T = 100oC T = 100oC

T = 500oC

T = 100oC

60

Nodo 7: 2T4 + T8 + 167 4.67T7 = 0

Nodo 8: 2T5 + T7 + T9 + 67 4.67T8 = 0

Para el nodo 9, es una esquina exterior con contorno convectivo, se aplica la ecuacin de la tabla 3-2:

Nodo 9: T6 + T8 + 67 2.67T9 = 0

Las nueve ecuaciones con nueve temperaturas se resuelven por un mtodo numrico y los resultados finales son:

Nodo T (oC) 1 280.67 2 330.3 3 309.38 4 192.38 5 231.15 6 217.19 7 157.70 8 184.71 9 175.62

Los flujos de calor en los contornos se calculan de dos modos: como flujos conductivos para las caras a 100C y 500C y como flujos convectivos en las otras dos caras.

Para la cara de 500C el flujo que entra es:

q= kx (T/y) = (10) [500 280.67 + 500 330.3 + (500 309.38)(1/2))]

q = 4843.4 W/m

El flujo que sale de la cara de 100C es:

q = (10) [280.67 100 + 192.38 100 + (157.7 100) (1/2)] = 3019 W/m

El flujo que sale de la cara derecha viene dado por la relacin de conveccin:

61

q = hy(T - T)

q = (10) (1/3) [309.38 100 + 217.19 100 + (175.62 100) (1/2)]

q = 1214.6 W/m

Finalmente, el flujo que sale de la cara inferior es:

q = hy(T - T)

q = (10)(1/3)[(100100)(1/2)+157.7100+184.71100 + (175.62100)(1/2)]

q = 600.7 W/m

El flujo total de calor que sale es:

qsale = 3019 + 1214.6 + 600.7 = 4834.3 W/m

Resultado que es igual al calor que entra por la cara superior.

PROBLEMAS PROPUESTOS

3.8 En la barra de seccin transversal cuadrada que se muestra en la figura, determinar la temperatura en el punto x = 0.2 m , y = 0.2 m.

0oC 0oC

100oC

0oC 0.3 m

62

3.9 Determine la temperatura en el centro de la figura.

3.10 Encontrar la temperatura en el centro del plato rectangular de la figura.

3.11 Una tubera de 6 cm de dimetro cuya superficie se mantiene a 210C pasa por el centro de una losa de hormign de 45 cm de espesor. Las temperaturas exteriores de la losa se mantienen a 15C. Utilizando la tabla 3.1, calcular las prdidas de calor por unidad de longitud en la tubera.

3.12 Un cubo de 35 cm de lado exterior est construido de ladrillo refractario. El espesor de la pared es 5 cm. La temperatura de la superficie interior es

Y

X

100oC

50oC

50oC

200oC

Y

X

80oC

0oC

0oC

0oC

2

1

63

500C y la temperatura de la superficie exterior es 80C. Calcular el flujo de calor en vatios.

3.13 Dos cilindros largos de 8 y 3 cm de dimetro estn completamente rodeados por un medio de k = 1.4 W/m oC. La distancia entre los centros es 10 cm y los cilindros se mantienen a 200oC y 35oC. Calcular el calor transferido por unidad de longitud.

3.14 Una esfera de 1 m de dimetro que se mantiene a 30C est enterrada en un lugar donde k = 1.7 W/m oC. La profundidad del centro es 2.4 m y la temperatura de la superficie de la tierra es 0oC. Calcular el calor perdido por la esfera.

3.15 Un gran tanque esfrico de almacenaje de 2 m de dimetro, est enterrado en la tierra en un lugar donde la conductividad trmica es 1.5 W/m oC. El tanque se utiliza para almacenar agua y hielo a 0oC, y la temperatura del ambiente de la tierra es 20C. Calcular la prdida de calor del tanque.

3.16 Dos largos cilindros excntricos de 15 y 4 cm de dimetro respectivamente se mantienen a 100C y 20C separados por un material de k = 3 W/m oC. La distancia entre centros es 4.5 cm. Calcular el calor transferido por unidad de longitud entre los cilindros.

3.17 Dos tuberas enterradas se mantienen a las temperaturas de 300C y 125C. Sus dimetros son 8 y 16 cm y la distancia entre centros es 40 cm. Calcular el flujo de calor por unidad de longitud si la conductividad trmica de la tierra en ese lugar es k = 0.7 W/m oC.

3.18 Una esfera caliente de 1.5 m de dimetro se mantiene a 300C inmersa en un material de k = 1.2 W/m oC cuya superficie exterior est a 30C. La profundidad del centro de la esfera es 3.75 m. Calcular la prdida de calor.

3.19 Dos