205176452 Transferencia de Calor Segunda Edicion Manrique

Segunda edicin

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Transferencia de calor

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Segunda edicin

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0233002790 TRANSFERENCIA DE CALOR.

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TRANSFERENCIA DE CALOR

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Impreso en Mxico P.;mera reimpresin: octubre de 2005

Esta obra se lemlin de imprimir en OClubre de 2005 en J mpresos 2000, S. A. de C. v.,

Callejn de San Amonio Nm, 69, Col. Trnsito, Mxico, D.F., sobre papel Bond Editor Alta Opacidad de 75 g.

Elliraje fue de 2 000 ejemplares.

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ndice de contenido

Prlogo ................................................. ix

1. Introduccin 1 1.1. Conduccin .... ......... ........ .. .. .. .. .... ... ... . 2 1.2. Conveccin ... . ... ...... ...... ....... ........ .. ... . 7 1.3. Radiacin .. . .. .... ..... .... ..... .. ... .... .. . ... .. .. 10 1.4. Transferencia simultnea de calor. ... ...... ........... . .. 12 1.5. Resumen . .. ....... .. .............. ... ......... .. .. 15

Problemas ......................................... 15 Bibliografa ........................................ 22

2. Conduccin unidimensional en estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Placa .................... ... ..... ..... ... . . . .... .. 23 2.2. Cilindro hueco .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Radio crtico . . . .... ......... .. .......... .... ....... 37 2.4. Esfera .... . .... .. ......... .... . .... ............... 40 2.5. Placa con generacin uniforme de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6. Cilindro CaD generacin uniforme de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7. Superficies extendidas . .. . .. ... ... ... ........ . ........ 54

2.7.1. Ecuacin general para una superficie extendida ... . . . .. 55 2.7.2. Superficies extendidas de seccin transversal constante .. 56 2.7.3. Aletas circulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.7.4. Aletas rectangulares de perfil triangular . . . . . . . . . . . . . . 65 2.7.5. Eficiencia de las aletas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Problemas ..................... .. ...... .... .... . ... 69 Bibliografa ........ .. ....... . . ................ .. ... 77

3. Conduccin de calor en estado estable, varias dimensiones. . . . . . 79 3.1 . Mtodo analtico .. ............... .... ........... . ... 79 3.2. Diferencias finitas ............ ... . .. .. ............... 86


vi ndice de contenido

3.3. Mtodo de relajacin . ... .. ..... . .......... . .......... 90 3.4. Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.5. Formulacin en diferencias finitas para problemas

unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.6. Mtodo grfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.7 . Mtodo analgico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Problemas . . .............. .. ...... :..... . .......... 105 Bibliografa ... .. . . ........ ... ........... ... ....... . 114

4. Conduccin de calor en estado transitorio ................... 115

4.1. Anlisis de parmetros concentrados . ...... .. .... . ....... 115 4.2. Placa infinita .. .. ........ . .. . ....................... 126 4.3. Cilindro infinito y esfera ... . .. .. ........ .. . .. ....... . . 139 4.4. Slido semiinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.5. Conduccin transitoria en ms de una dimensin . . . . . . . . . . . . 150 4.6. Diferencias finitas. Mtodo explcito ...... . ..... . . . ...... 157 4.7. Mtodo grfico de Schmidt . . .. . ............. . ......... 163

Problemas .................. . ...................... 164 . Bibliografa .. . . . ............. . . . .... .. .. ... ....... . 169

5. Fundamentos de conveccin forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.1. Transferencia de calor en una placa plana con conveccin forzada en rgimen laminar ................. . ........ 171

5.2. Analoga entre la transferencia de calor y la friccin . ........ 187 S3. Transferencia de calor en una placa con conveccin

. forzada en rgimen turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.4 . Transferencia de calor en un ducto circular con rgimen laminar

donde la densidad de calor es constante. ...... . . . ....... 193 5.5 Frmulas empricas para conveccin forzada en tubos ...... . . 200 5.6 Frmulas empricas para conveccin forzada sobre tubos. . . . . . 203

Problemas .. ... .... . . ... .. . ... . ..... ... .... . . ... . . . 205 Bibliografa . . . .. .. .. ..... .. .... .. .. . ............ ... 206

6. Conveccin natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.1 Parmetros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.2. Frmulas para la transferencia de calor por conveccin natural

en una placa vertical. ...... . ... .. ............ . ..... . 213 6.3. Frmulas para conveccin natural en otras geometras. ...... . 214

Problemas ..... .. ............ . ........ .. .. . ....... . 217 Bibliografa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217


ndice de contenido V

7. Transferencia de calor con cambio de fase ................... 219

7.1. Condensacin...... ....... .......... .. ... .. ... . . .... 219 7.2. Condensacin en fonna de pelcula sobre cilindros hOlizontales 225 7.3. Ebullicin .. .... ......... .... ............... ... .... 225

Problemas ..... ..... ............ ... ..... .. ......... 230 Bibliografa . . . .. .. . . ... .. .......................... 230

8. Intercambiadores de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8.1. La diferencia media logartmica de temperaturas ............ 232 8.2. El mtodo efectividad-nmero de unidades de transferencia. . . . 242 8.3. Diseo o seleccin de un intercambiador de calor ........... 250

Problemas ......... ... ............. .. ......... .. ... 251 Bibliografa ........................................ 252

9. Principios de radiacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.1. Radiacin de un cuerpo negro ... .... ... . ........ .. .. . .. 253 9.2. Intensidad de la radiacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 9.3. Emitancia y absortancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 9.4. Reflactancia y transmitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 9.5. El factor de fonna para radiacin. ........... . .... ... .... 270 9.6. Intercambio de calor por radiacin entre cuerpos negros ..... . 277 9.7. Intercambio de radiacin entre cuerpos grises .. .. . .. ... . .. . 280 9.8. Radiacin solar .......... .. ......... .. .. . ..... . .... . 284

Problemas . .... ................. . ...... ......... .. . 285 Bibliografa ... ... ... .... ... . ...... . .. .......... . ... 286

Apndice Tabla A.l . Propiedades de algunos fluidos en estado saturado . . . . . . 287 Tabla A 2. Propiedades de gases a presin atmosfrica . .......... 290 Tabla A3. Propiedades de algunos metales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Tabla A.4. Propiedades de los no metales ..................... 296 Tabla A.5 . Vapor de agua saturado ... .... ..... ... ........ .. . 297 Tabla A6. Vapor de agua saturado ........... .. .. .... ....... 298 Tabla A7. Vapor de agua sobrecalentado ..................... 299 Figura Al. Conductividad trmica del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Figura A2. Nmero de Prandtl del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

ndice analtico ...................................... . .... 305


.,.. '

... .

Prlogo

Las tcnicas para la solucin de problemas de transferencia de calor han experi-mentado un desarrollo sorprendente durante los ltimos aos y por ello su conocimiento es imprescindible en la actuacin profesional del ingeniero.

En este texto se presentan en forma elemental los principios bsicos de trans-ferencia de calor, los cuales se complementan con numerosos ejercicios resueltos que adoptan el Sistema Internacional de unidades en toda la obra. Cada captulo termina con una seccin de problemas a fin de que el estudiante pueda comprobar los conocimientos adquiridos.

Los principales temas de la materia pueden estudiarse en un curso semestral con duracin de tres sesiones de una hora por semana. Los temas cubiertos en la obra estn destinados a estudiantes de ingeniera de licenciatura y de pos grado du-rante los primeros semestres. Desde luego, es recomendable que posean ciertos conocimientos sobre termodinmica, mecnica de fluidos y ecuaciones diferencia-les ordinarias y parciales para entender mejor la materia.

El autor ha tenido el privilegio de ensear el material de este texto a sus estu-diantes de ingeniera del Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey durante varios aos, y su paciencia, sugerencias y comentarios han contribuido de manera especial y significativa a la presentacin del material, por lo que espera que la obra refleje sus inquietudes y estimule an ms su inters por la disciplina.

Muchas personas han sido muy generosas con sus comentarios, sugerencias y estmulo, por lo que el autor desea hacer patente su agradecimiento a todas ellas .

Tambin quiere dejar constancia de su agradecimiento a Karla Luca Salinas, quien con todo esmero particip en la realizacin del manuscrito de la obra . Finalmente, tambin desea reconocer la importante cooperacin y apoyo recibidos de los editores de Oxford University Press.

Jos A. Manrique


-


, .



1. Introduccin Participar en la construccin y mejoramiento de la Patria: he ah la tarea ms noble de

un ciudadano. CARLOS PRIETO

La alimentacin, la salud y la generacin de potencia han sido una preocupacin vital de la humanidad a lo largo de la historia. El progreso en estas reas ha lleva-do al desarrollo conjunto de la transferencia de calor como una ciencia, por lo que su estudio es de capital importancia para el ingeniero.

Esta disciplina de transporte tiene aplicaciones de suma relevancia en casi cualquier campo de la ingeniera. As, se utiliza prcticamente en todos los proce-sos de la industria del vidrio; interviene en el diseo de los hornos, los regenera-dores de calor, el enfriamiento de los moldes, el templado de los cristales, el flo-tado de los vidrios, etc. En el rea del acondicionamiento del aire ambiental es imprescindible para evaluar con precisin las cargas trmicas de enfriamiento y calefaccin que tiene un edificio. Tambin forma parte del diseo de ciertos com-ponentes de un sistema de refrigeracin, como el evaporador, el condensador y las lneas de transmisin de agua helada, entre otros.

En el mbito de los combustibles fsiles se requiere un anlisis de la transfe-rencia de calor en presencia de reacciones qumicas para mejorar la eficiencia de la combustin en hornos y calderas.

La investigacin de la energa solar en los ltimos aos ha aportado conoci-mientos muy promisorios para el acondicionamiento del aire para edificios me-diante sistemas de absorcin. Cabe mencionar que en varios pases el aire acondi-cionado precisa una fraccin significativa de la produccin primaria de energa, por lo que el uso de la energa solar en este campo podra tener repercusiones sig-nificativas. El diseo de esos sistemas supone un amplio conocimiento de la trans-ferencia de calor.

Casi todos los alimentos en el curso de su preservacin y preparacin requie-ren tratamientos en los que la transferencia de calor juega tambin un papel impor-tante. Debido a las condiciones adversas en algunas regiones agrcolas del mundo se pierden considerables cantidades de grano por falta de secado inmediato despus de la cosecha; por ello, el uso de la energa solar u otros mecanismos de secado

1


2 1. Introduccin

apropiados podran ser ventajosos. El congelamiento, la deshidratacin y la coc-cin de alimentos exigen asimismo un conocimiento cabal de esta materia.

En el diseo actual de edificios se requiere cada vez ms un anlisis de la transferencia de calor a fin de promover el ahorro de energa.

A medida que surgen ideas novedosas y cada vez ms refinadas en la tecnolo-ga moderna, la teora de la transferencia de calor debe resolver problemas nuevos y cada vez ms complejos. As, desempea igualmente un papel de gran relevancia en el enfriamiento de equipo elctrico y electrnico; por ejemplo, en motores y ge-neradores elctricos, transformadores, transistores y conductores, entre otros.

Con la termodinmica se predice el intercambio de calor en un sistema al rea-lizar un proceso, pero no puede preverse el tipo de mecanismo por el cual se lle-va a cabo tal transferencia. As, al aplicar la primera y la segunda leyes de la ter-modinmica en un intercambiador de calor se obtiene informacin relacionada con el flujo de calor que debe transferirse del fluido caliente al fro. No obstante, la ter-modinmica no suministra datos con respecto al dimetro, longitud, material o arreglo geomtrico de los tubos que deben emplearse. Estas caractersticas de di-seo se obtienen mediante un anlisis detallado de la transferencia de calor.

De manera anloga, el estudio termodinmico de un motor de combustin in-terna brinda informacin relativa a sus requisitos de enfriamiento. Sin embargo, la transferencia de calor contempla la posibilidad de enfriarlo con aire o con agua, as como las dimensiones fsicas que deben tener los conductos por donde circula el agua en caso de emplearla como refrigerante, o bien, las dimensiones de las ale-tas de enfriamiento para lograr la refrigeracin con aire.

De lo anterior se desprende que la termodinmica y la transferencia de calor son dos ciencias afines que se complementan. La primera predice los requisitos de trans-ferencia de calor de un sistema; la segunda, cmo se lleva a cabo tal transferencia.

A fin de que el lector tenga un panorama general de las distintas formas bsi-cas de transferencia de calor, en este captulo se describen en forma sucinta y cua-litativa sus tres mecanismos bsicos: conduccin o conveccin radiacin En los captulos siguientes nos ocuparemos detenidamente de cada uno de estos me-canismos.

1.1. Conduccin El fenmeno de transferencia de calor por conduccin constituye un proceso de propagacin de energa en un medio slido, lquido o gaseoso mediante la comu-nicacin molecular directa cuando existe un gradiente de temperatura.


1.1. Conduccin 3

En el caso de lquidos y gases, tal transferencia es importante siempre que se tomen las precauciones debidas para eliminar las corrientes naturales del flujo que pueden presentarse como consecuencia de las diferencias de densidad que presen-tan ambos fluidos. De aqu que la transferencia de calor por conduccin sea de particular importancia en slidos sujetos a una variacin de temperaturas.

Al haber un gradiente de temperatura en el medio, la segunda ley de la termo-dinmica establece que la transferencia de calor se lleva a cabo de la regin de ma-yor temperatura a la de menor, como s~ muestra en la figura 1.1.

En tales circunstancias, se dice que el flujo de calor por unidad de rea es pro-porcional al gradiente de temperatura. Es decir,

q" = -k dT dX ( 1.1)

donde q" denota el flujo de calor por unidad de rea o densidad de calor en la di-reccin x, y k es la conductividad trmica del material. Sus unidades son W/mK (watt por metro kelvin) en el Sistema Internacional (SI) de unidades. Tambin se emplean de manera indistinta las unidades W/mC. A la ecuacin 1.1 se le agrega un signo negativo para que cumpla la segunda ley de la termodinmica, es decir, que el calor debe fluir de mayor a menor temperatura. Esta ecuacin se conoce como la ley de Fourier y --cabe destacar- define la conductividad trmica k. Aun cuan-do esta propiedad de transporte vara con la temperatura, en numerosas aplicacio-nes puede suponerse constante. En la tabla 1.1 se presentan algunos valores de la conductividad trmica, y en la figura 1.2, la variacin con respecto a la tempera-tura de la conductividad trmica de algunos slidos, lquidos y gases.

T

Perfil de temperatura

x

Figura 1.1. Temperatura como funcin de la distancia.

* Cuando la transferencia de calor se Ueve a cabo en ms de una direccin, la ley de Fourier puede escribirse como q"=-k"lT

donde q" es el vector correspondiente a la densidad de calor y "lT el gradiente de temperatura con direccin opuesta.


4 l. Introduccin

Tabla 1.1. Conductividad trmica de algunos materiales o sustancias a 300 K.

Material k, W/moC

Poliestireno rgido 0.027 Fibra de vidrio 0.036 Aire 0.0263 Agua 0.613 Ladrillo comn 0.72 Refractario 1.0 Acero AISI 302 15.1 Acero AISI 1010 63.9 Aluminio puro 237 Cobre puro 401

Fuente: F. P. Incropera y D. P. De Witt, Introduction lO Heal Transfer, 3a. ed., Jolm Wiley, 1996.

Cuando los materiales tienen una alta conductividad trmica se denominan con-ductores; los que la tienen baja se llaman aislantes. Cabe agregar que las conduc-tividades trmica y elctrica de los metales puros estn relacionadas entre s. Sin embargo, a temperaturas muy bajas los metales se toman superconductores de la electricidad, pero no del calor. En los datos de la tabla 1.1 puede observarse que los aislantes tienen una conductividad trmica entre 0.03 y 0.04 W/moC; en tanto, la del cobre es del orden de 400 W /moC. En esa tabla tambin se aprecia que el aire tiene una conductividad trmica muy baja, como la de los aislantes. No obs-tante, es difcil tener conduccin solamente por l, ya que hay gradientes de den-sidad y, por tanto, movimiento en presencia de un campo gravitacional cuando el aire est expuesto a una diferencia de temperaturas. Para que se comporte como un verdadero aislante debe encontrarse esttico aun en presencia de un gradiente de temperaturas. Hay algunas aplicaciones de aislantes donde el aire prcticamen-te est esttico y se comporta como aislante; por ejemplo, el aire atrapado en un aislante de fibra de vidrio o en las pequeas burbujas del material plstico que se utiliza para los empaques.

Con la ecuacin 1.1 puede determinarse la transferencia de calor por conduc-cin en un sistema siempre que se conozcan la conductividad trmica y el gradien-te de temperatura. En la circunstancia de que el flujo de calor sea constante puede determinarse mediante una integracin directa de la ley de Fourier. As, si se con-sidera una pared de espesor L cuyas superficies estn expuestas a dos temperatu-ras constantes TI y Tb como se muestra en la figura 1.3, y se supone adems que la conducti vidad trmica k es constante,


1.1. COMuccin

1000

500

200

100

50

20

\1- 10 ID '6.

5

6

" I

Ejemplo 1.1.

l. Introduccin

k = constante

T,

A

L

Figura 1.3. Pared de espesor L con conduccin de calor en estado estable.

En la tabla 1.2 se muestran algunos factores de conversin para la conductividad trmica expresada en otras unidades.

Tabla 1.2. Factores de conversin para la conductividad trmica k. 1 cal/s cmoC 1 BTU/h 1 BTU/h 1 W/cmK

pieoF pie2F/pu1g 1 cal/s cmoC 241.9 2903 4.186 1 BTU/h pieoF 4.134 x 10-3 1 12 0.0173 1 BTU/h pie2F/pu1g 3.445 x 10-4 0.08333 1 1.442 x 10-3 1 W/cmK 0.2389 57.793 693.5 1

Fuente: W. M. Rohsenow y J. P. Hartnett, Handbook of Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1973.

Considrese una pared plana con una conductividad trmica k constante. En la figura E.1.1 se observa la distribucin de temperatura en cierto instante. Indi-que si la pared opera en condiciones de estado estable, si est enfrindose o ca-lentndose.

-L-

k = constante

Temperatura como funcin de la distancia

Figura E.l.1.


1.2. Conveccin 7

Solucin Con base en el diagrama, el calor que entra en la superficie del lado izquierdo es

-kAfJTj fJxt=o el calor que sale por la superficie del lado derecho es

-kAfJTj fJxt=L Con el anlisis de los gradientes de temperatura en x = y en x = L se observa que entra ms calor que el que sale. Si recurrimos ahora a la primera ley de la termodinmica, qneto ' = dU/dT > 0, por lo que se deduce que la pared est ca-lentndose.

1.2. Conveccin El fenmeno de transferencia de calor por conveccin es un proceso de transpor-te de energa que se lleva a cabo como consecuencia del movimiento de un fluido (lquido o gas) en la vecindad de una superficie, y est ntimamente relacionado con su movimiento. Para explicar esto, considrese una placa cuya superficie se mantiene a una temperatura Ts (fig. 1.4) Y que disipa el calor hacia un fluido cuya temperatura es T=. La experiencia indica que el siste1na disipa ms calor cuando se le hace pasar aire proveniente de un ventilador que cuando slo est expues-to al aire ambiente; de ello se desprende que la velocidad del fluido tiene un efec-to importante sobre la transferencia de calor a lo largo de la superficie. De mane-ra similar, la experiencia indica que el flujo de calor e~ diferente si la placa se enfra en agua o en aceite en vez de aire. De aqu que las propiedades del fluido deben tener tambin una influencia importante en la transferencia de calor.

Puesto que la velocidad relativa del fluido con respecto a la placa es, en gene-ral, igual a cero en la interfase slido-fluido (y = 0),* el calor se transfiere total-mente por conduccin slo en este plano del fluido. Sin embargo,

8

K L

Perfil de velocidad

Figura 1.4. Placa expuesta a enfriamiento convectivo.

~erl;lde temperatura

I

)1

l. Introduccin

donde h es el coeficiente local de transferencia de calor o coeficiente de pelcula. Sus unidades en el SI son W/m2K (watt por metro cuadrado kelvin). Tambin se emplean de manera indistinta las unidades W/m2C. La ecuacin 1.2 se conoce co-mo la ley de Newton de enfriamiento. Cabe precisar que esta expresin, ms que una ley fenomenolgica, define el coeficiente local de transferencia de calor 11. Como su nombre lo indica, vara a lo largo de toda la superficie.

En la figura 1.5 se muestra la variacin del coeficiente local de transferencia de calor a lo largo del eje x .

I(

h

Perfil de velocidad

~Perl"de ~mperatura I

L --------------~)I

hl----------~~-------------------

x

Figura 1.5. Variacin del coeficiente local de transferencia de calor a lo largo de la coordenada x.


1.2. Conveccin 9

Ms importante que el coeficiente local es el coeficiente promedio -ambos- de transferencia de calor, o simplemente coeficiente de transferencia de calor. Si se com-binan las ecuaciones 1.1 y 1.2, tal coeficiente puede determinarse con la expresin

r _k aT ) dx _ o ay -o h = y -(r, - Too )

(1 .3)

As, con esta definicin nueva,

(l A) donde A es el rea de transferencia de calor por conveccin.

El fenmeno de transferencia de calor por conveccin suele clasificarse en dos categoras:. conveccin forzada y conveccin libre o natural. En la primera se ha-ce pasar el fluido por el sistema mediante la accin de algn agente externo, diga-mos un ventilador, una bomba o agentes meteorolgicos. Por su pru;te, en el segun-do caso el movimiento del fluido es resultado de los gradientes en densidad que experimenta ste, al estar en contacto con una superficie a mayor temperatura y en presencia de un campo gravitacional (o centrfugo).

Un caso tpico de conveccin forzada es el radiador en el sistema de enfda-miento del motor de un automvil u otro intercambiador de calor. De igual mane-ra, ejemplos clsicos de conveccin libre son el calentamiento de agua en un reci-piente antes de sufrir ebullicin o el enfriamiento de equipo elctrico (algunos transformadores, transistores, etctera).

El coeficiente de transferencia de calor en algunas geometras sencillas puede determinarse con la ecuacin 1.3 , la cual presupone que se conoce el perfil de la temperatura en el fluido, que puede obtenerse analticamente mediante la aplica-cin de las ecuaciones de cambio, esto es, continuidad, movimiento y energa. En el caso de geometras ms complejas, el coeficiente de transferencia de calor pue-de evaluarse mediante correlaciones empdcas o recurriendo a la expedmentacin.

El coeficiente de transferencia de calor (de aqu en adelante se le designar con la letra h, a menos que se especifique lo contrario) para la conveccin forza-da depende de vados parmetros; por ejemplo,

h = h(L, k, uoo, 11, p, cp ' ... ) (l .5)

y, para el caso de conveccin natural,

h = h[L, k, p, g, f3 (Ts - Too), 11, cp ' ... ] (1.6) donde L es una dimensin caracterstica del sistema; por ejemplo, L es la longitud en la placa de la figura lA, k la conductividad trmica del fluido, Uoo la velocidad


10

~ . ,

l. Introduccin

con la que se aproxima el fluido al sistema, J.L la viscosidad del fluido, p la densidad del fluido, cp el calor especfico a presin constante del fluido, f3 el coeficiente de expansin volumtrica del fluido y g la aceleracin de la gravedad u otra acelera-cin externa. Todas estas variables pueden reducirse a dos grandes parmetros: la geometra del sistema y las propiedades fsicas y caractersticas del flujo de fluido.

De lo anterior se desprende que incluso cuando la apariencia de la ecuacin 1.4 es muy sencilla, el proceso de transferencia de calor por conveccin es muy complejo. En la tabla 1.3 se muestran algunos valores del orden de magnitud del coeficiente de transferencia de calor h, y en la 1.4 algunos factores de conversin para las unidades empleadas con ms frecuencia.

Tabla 1.3. Valores tpicos del coeficiente de transferencia de calor h.

Proceso h, W/m2K

Conveccin libre Gases 2-25 Lquidos 50-1000

Conveccin forzada Gases 25-250 Lquidos 50-20000

Conveccin con cambio de fase Ebullicin o condensacin 2500-100 000

Fuenle: F. P. IncTopera y D. P. DeWitt, lntroduc tion lo Heat Transfer, 3a. ed. , John Wiley, 1996.

Tabla 1.4. Factores de conversin para el coeficiente de transferencia de calor h.

caUs cm20C 1 BTU/h pie2F 1 kcaUh m20C 1 W/cm2K

1 caUs cm2C 7376 36000 4.186 1 BTU/h pie2F 1.356 x 10-4 1 4.8826 5.6785 x 10-4 1 kcaUh m2C 2.778 x 10-5 0.20489 1 1.163 x 10-4 1 W/cm2K 0.2391 1761 8600 1

Fuente: W. M. Rohsenow y J. P. Hartnett, Handbook of Heal Transf er, McGraw-Hill, Nueva York, 1973.

1.3. Radiacin Tanto los mecanismos de transferencia de calor por conduccin como por convec-cin requieren un medio para propagar la energa. Sin embargo, el calor puede


1.3. Radiacin 11

tambin propagarse en el vaCo absoluto mediante radiacin. A una temperatura dada todos los cuerpos emiten radiacin en diferentes longitudes de onda, pero la magnitud de sta depende de la temperatura absoluta y de las caractersticas su-perficiales de dichos cuerpos.

Por otra parte, slo se considera radicacin trmica la que se ubica en el ran- . go de longitudes de onda entre 0.1 y 100 micrones, aproximadamente. Dentro de ese intervalo del espectro electromagntico se ubican el rango ultravioleta, el in-frarrojo y el visible. Este ltimo comprende nada ms entre 0.38 y 0.78 micrones.

Un radiador perfecto o cuerpo negro es el que emite la mxima cantidad de energa radiante desde su supeIficie a una razn proporcional a su temperatura ab-soluta elevada a la cuarta potencia, es decir,

(1.7)

Esta ecuacin se conoce como ley de Stefan-Boltzmann, donde (Y es una constan-te que adquiere un valor igual a 5.67 x 10-8 W/m2K4 en el SI y que recibe el nombre de constante de Stefan-Boltzmann. De la ecuacin 1.7 se deduce que la superfi-cie de todo cuerpo negro emite radiacin si se encuentra a una temperatura diferen-te del cero absoluto, independientemente de las condiciones de los alrededores.

Por otra parte, un cuerpo real no satisface las caractersticas de un cuerpo ne-gro, ya que emite una menor cantidad de radiacin. AS, el flujo de calor por uni-dad de rea que emite una superficie real est dado por la expresin

(1.8)

donde E es una propiedad de la superficie y se denomina emisividad; numrica-mente es igual al cociente de la emisin de radiacin del cuerpo en estudio con respecto a la de uno negro. Esta propiedad superficial adquiere valores entre cero y la unidad,-y constituye una medida para evaluar cun efectivamente emite radia-cin un cuerpo real con respecto a uno negro.

El calor por radiacin neto intercambiado por un cuerpo negro a una tempera-tura absoluta T, como se muestra en el esquema de la figura 1.6, hacia una envol-vente a una temperatura T2 que lo rodea por completo y que se comporta tambin como cuerpo negro puede evaluarse con la expresin

q = (YA (Ti - Ti) (1.9) Por otra parte, la radiacin emitida por un cuerpo real a una temperatura absoluta TI hacia una envolvente de rea A2 A I Y a temperatura Tb puede calcularse aho-ra con la expresin

(1.1 O)


12

.1

.'

;i

l. Introduccin

Figura 1.6. Intercambio de calor por radiacin entre dos cuerpos negros.

Esta ecuacin se conoce como ley de Prevost. Si se consideran ahora dos cuerpos reales a temperaturas absolutas TI y T2,

respectivamente, como se muestra en la figura 1.7, el flujo neto de energa radian-te entre ellos puede calcularse con

(1.11 )

donde F es una funcin que no slo depende de las caractersticas superficiales de ambos cuerpos, sino tambin del arreglo geomtrico que guardan entre s. En otras palabras, la funcin F depende de las emisividades de ambos cuerpos y de la frac-cin de energa radiante emitida por el cuerpo 1 que intercepta el cuerpo 2.

1.4. Transferencia simultnea de calor Hasta ahora hemos visto en forma independiente los tres principales mecanismos de transferencia de calor; no obstante, en la mayora de las aplicaciones de inters para los ingenieros se presentan en forma simultnea, aunque tambin puede su-ceder que uno o ms de ellos sean prcticamente insignificantes con relacin a los dems. A continuacin se describen distintas situaciones que muestran lo anterior.

Considrese el intercambiador de calor de doble tubo que se observa en la fi-gura 1.8. En este caso el calor se transfiere por conveccin del fluido caliente a la

Figura 1.7. Transferencia de calor por radiacin entre dos cuerpos.


1.4. Transferencia simultnea de calor 13

Ejemplo 1.2.

I Fluido caliente

Ir Fluido fro

Figura 1.8. Esquema de un intercambiador de calor de doble tubo.

superficie interior del tubo; luego pasa por conduccin a travs de su pared y por ltimo se transfiere por conveccin de la pared del tubo al fluido fro.

En el cilindro de un motor de combustin interna como el del esquema de la figura 1.9, el calor se transfiere de forma simultnea por radiacin y conveccin de los gases de combustin al cilindro, atraviesa sus paredes por conduccin y al final llega al agua de enfriamiento por conveccin.

Si por ltimo pensamos en un con vector para la calefaccin donde el fluido caliente es vapor hmedo, la transferencia de calor desde el con vector al ambien-te ocurre, en esencia, por conveccin libre.

o

--Figura 1.9. Esquema de un cilindro de un motor de combustin interna.

Considrese un recipiente aislado trmicamente que contiene una pequea can-tidad de agua. Si la superficie libre de lquido queda expuesta al aire libre du-rante la noche (fig. E.1.2.) Y la temperatura ambiente es de 40 oC, calcule la temperatura de equilibrio que alcanza el agua en el recipiente. Supngase que el coeficiente de transferencia de calor en la superficie del agua es de 5 W/m2K, que la temperatura efectiva del firmamento es del rango de O K Y que tanto el agua como el firmamento se comportan como cuerpos negros.


14

Ejemplo 1.3.

l. Introduccin

Solucin Mediante un balance de energa, el calor por conveccin que se transfiere del aire ambiente al agua debe ser igual en magnitud al calor por radiacin emitido por sta hacia el firmamento en condiciones de equilibrio. Es decir,

Sustituyendo valores,

h( T= - ~gua ) = 0"( ~:ua - Tr:!m )

Agua

Figura E.l.2.

5( 313 - ~gua) = 5.67 X 10-8 ~:ua 1565 - 5~gua = 5.67 X 10-8 ~:ua

Al resolver la expresin se obtiene

~gua = 260 K = -13 oC

Si bien esta solucin slo representa una primera aproximacin al problema, los resultados anteriores indican que es posible congelar agua en condiciones de tiempo clido si se expone al firmamento despejado.

Calcule el flujo neto de calor por unidad de rea y por radiacin entre dos pla-cas paralelas e infinitamente grandes, con un espacio muy pequeo entre ellas. Ambas se comportan corno cuerpos negros y se mantienen a 1000 K Y 500 K, respectivamente.

Solucin Segn la ecuacin 1.9,

q" = 0"( Ti - Ti) = 5.67 X 10-8 (10004 - 5004 ) q" = 53 156 W/m2


1.5. Resumen 15

1.5. Resumen El fenmeno de transferencia de calor por conduccin es un proceso de propaga-cin de energa en un medio por difusin o comunicacin molecular directa como consecuencia de un gradiente de temperatura.

La ley de Fourier establece que el flujo de calor por unidad de rea es propor-cional al gradiente de temperatura, es decir,

q" = -k dT dX

La transferencia de calor por conveccin es un proceso de transpOlte de energa que resulta del movimiento de un fluido .

La ley de Newton del enfriamiento establece que el flujo de calor por unidad de rea es proporcional a la diferencia total de temperaturas entre la de la superfi-cie del sistema y la del fluido, esto es,

Todos los cuerpos emiten radiacin en forma de energa electromagntica con dife-rentes longitudes de onda de acuerdo con su temperatura y sus caractersticas super-ficiales. Un emisor de radiacin perfecto, o cuerpo negro, es el que emite energa radiante de su superficie a una razn proporcional a su temperatura absoluta ele-vada a la cualta potencia, o sea,

q" = ar4

Esta relacin se conoce como ley de Stefan-Boltvnann, donde (J es la constante de Stefan-Boltzmann, la cual adquiere un valor de 5.67 x 10-8 W/m2K4 en el SI.

Problemas 1. Considrese una pared de espesor L cuyas superficies se mantienen a tempe-

raturas TI y Tb respectivamente. Si el material de la pared tiene una conduc-tividad trmica k constante y el rea perpendicular al flujo de calor es A, calcu-le el flujo de calor mediante la integracin directa de la ley de Fourier.

2. Cuando la transferencia de calor se lleva a cabo en ms de una direccin, la ley de Fourier puede escribirse como

q" = -k'lT


16 l . Introduccin

Con los vectores unitarios i, j Y k, escriba la ley de Fourier en coordenadas cartesianas.

11 k( aT. aT. aT k) Respuesta: q =- -I+-J+-ax ay ax 3. Imagine una esfera de 1 cm de dimetro a una temperatura de 1000 K Y ence-

rrada en otra esfera de 10 cm de dimetro a una temperatura de 400 K. Calcu-le el flujo neto de calor por radiacin que va de la esfera pequea a la grande. Supngase que ambas esferas se comportan como cuerpos negros.

Respuesta: 17.36 W

4. Un tubo desnudo que transporta,.vapor hmedo a una presin absoluta de 10 bar se encuentra en una habitacin cuya temperatura ambiente es de 20 oc. Si el coeficiente de transferencia de calor entre el tubo y el ambiente es de 10 W/m2K, calcule las prdidas de calor por metro de longitud. El dimetro exterior del tubo es igual a 10 cm.

Respuesta: 502.37 W/m

5. Considrese un cuerpo negro de masa m, calor especfico e y rea A a una tem-peratura uniforme To, que se deja caer en un recipiente muy grande cuyas pa-redes se encuentran a una temperatura de O K. Si el recipiente est al vaco, determine la temperatura del cuerpo como funcin del tiempo. Establezca cla-ramente las suposiciones necesarias.

Respuesta: T = Tome 3 ( 3 )1/3

me + 30'ATot

6. El coeficiente de transferencia de calor en conveccin libre depende, entre otras propiedades, del coeficiente de expansin volumtrica del fluido, defi-nido como

Demuestre que el coeficiente de expansin volumtrica de un gas ideal es di-rectamente proporcional al recproco de la temperatura.

7. Por qu los metales cambian de color mientras cambia su temperatura? 8. Piense en una placa de espesor L cuyas superficies estn sujetas a las tempera-

turas T y T2 , respectivamente. Si la conductividad trmica del material vara


Problemas 17

con la temperatura de acuerdo con la relacin k = kO + aT), donde k Y a son constantes, determine el flujo de calor por unidad de rea a travs de la placa.

9. Un cono truncado de aluminio mide 2 cm de dimetro en su parte ms peque-a, 3 cm en su parte ms ancha y 10 cm de altura. Si la superficie lateral se encuentra aislada, la temperatura en el dimetro menor es igual a 300 oC y la del mayor a 100 oc. Calcule el calor que se transfiere por conduccin a tra-vs del cono. Supngase que la conductividad trmica del aluminio es igual a 215 W/mK.

10. Indique los principales mecanismos de transferencia de calor en una aleta de enfriamiento como las empleadas en un motor de combustin interna.

11. Imagine un tubo de cobre desnudo de 70 mm de dimetro exterior que trans-porta vapor. Su superficie se encuentra a 200 oC y tiene una emisividad igual a 0.8 . El aire y las paredes del CUalto en donde se encuentra el tubo estn a 25 oc. Se estima que el coeftciente de transferencia de calor por conveccin natural es igual a 15 W/m2K. Calcule el calor disipado por unidad de longitud.

12. Un flujo de aire circula por la superficie de una pared. Para el instante que se muestra abajo (fig. P.l.12) indique las respuestas: a) Es T ambiente o = T2? Explique su respuesta. b) Qu condicin de frontera empleara para la transferencia de calor en

x = O?

h

Tambienle

L I )1 X I

O

Figura P.l.12.

13. Considrese una esfera de 1 cm de dimetro que se mantiene a 60 oc. Se en-cuentra en un cuarto cuyas paredes se hallan a 35 oc. El aire que rodea la esfe-ra est a 40 oC y el coeficiente de transferencia de calor es igual a 11 W/m2oC. Calcule las prdidas de calor que experimenta la esfera si su emisividad es igual a 0.85.


18 1. Introduccin

14. El techo horizontal de una casa est cubierto con un asfalto cuya emisividad es igual a 0.94. En una noche de cielo nublado puede decirse que la tempera-tura efectiva del firmamento es igual a -10 oC y la del aire ambiente a 5 oc. El coeficiente de transferencia de calor entre el techo y el aire ambiente es igual a 4 W/m20C. Detennine la temperatura de la superficie del techo en condicio-nes de estado estable. Supngase que la superficie del techo que da hacia el interior de la casa se encuentra perfectamente aislada.

15. Imagine una placa negra muy delgada de 20 x 20 cm de rea sobre la que se hace pasar aire a una temperatura de O oC y una velocidad de 2 mis, lo cual da por resultado un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m20C. La pla-ca est aislada por uno de sus dos lados y se halla en un cuarto cuyas paredes se mantienen a 30 oC. Supngase que la emisividad de la placa es igual a 1.0; calcule su temperatura.

16. El elemento trmico en un calefactor elctrico consiste en una tira metlica de un espesor muy delgado, de 6 mm de ancho y 3 m de largo. La emisividad del material es igual a 1.0 y opera a una temperatura de 800 K. El coeficiente de transferencia de calor alrededor de la tira puede estimarse en 10 W/m20C. Si la temperatura del ambiente y los alrededores es de 25 oC, calcule el calor di-sipado por el elemento tnnico.

17. Clasifique los materiales siguientes de acuerdo con su capacidad para condu-cir el calor: aluminio, cobre, acero inoxidable, poliestireno, acero al carbn, ladrillo comn.

18. Considrese un horno hemisfrico de 5 m de dimetro (fig. P.1.18). El domo se comporta como cuerpo negro, mientras que la base tiene una emisividad igual a 0.7. La base y el domo se encuentran a 400 y 1000 K, respectivamen-te. Determine el flujo neto de calor por radiacin entre ambos elementos.

II+E --5 m--~)I Figura P.I .1S.

19. A juzgar por las unidades de W/moC, podra definirse la conductividad tr-mica de un material como el flujo de calor a travs del material, por unidad de espesor y por unidad de diferencia de temperaturas? Justifique plenamente su respuesta.

20. Imagine dos paredes de una casa habitacin idnticas en todo, excepto que una es de madera (k = 0.12 W/mK) y tiene un espesor de 10 cm, en tanto que la


Problemas 19

otra es de ladrillo (k = 0.72 W/mK) y tiene un espesor de 25 cm. Mediante cul pared perder ms calor la casa?

21. Piense en una pared que opera en estado estable y sin generacin de calor en su interior. En la figura P.1.21 se muestra la distribucin de temperatura como funcin de la distancia. Indique si la conductividad trmica del material es constante, si aumenta o disminuye con la temperatura. Explique su respuesta.

lE- L-~ Figura P.l .21.

22. Algunas secciones de una tubena que transporta combustleo estn soportadas por barras de acero (k = 61 W/mC) de 0.005 m2 de seccin transversal (fig. P.1.22) . En general, la distribucin de temperatura a lo largo de las barras es de la forma:

T(x) = 100 - 150x + lOx2

donde T est en grados Celsius y x en metros. Calcule el calor que pierde la tubena a travs de cada barra.

Respuesta: 45.75 W

Tubera

x

Suelo =====-======~ Figura P.1.22.


1 : I ! j ! f i

I

l '

20 l. Introduccin

23. Imagine un calefactor de gas. Indique los mecanismos por los que disipa calor. 24. Se utiliza un termmetro de mercurio para medir la temperatura del aire en un

recipiente metlico muy grande. Se registra una temperatura de 20 oC (fig. P.1.24). Se sabe que las paredes del recipiente se encuentran a 5 oC, el coefi-ciente de transferencia de calor entre el termmetro y el aire es de 8.3 W/m2oC y la emisividad del termmetro es igual a 0.9. Calcule la temperatura efectiva del aire en el recipiente.

Respuesta: Tambiente = 28.6 oC

Tambren!e

T. -5 0C 11 ~aredes - U TI = 20 oC

Figura P.l.24.

25. Una superficie de 0.5 m2, con emisividad de 0.8 y a una temperatura de 150 oC, se coloca en una cmara al vaco muy grande, cuyas paredes se encuentran a 25 oc. Calcule el calor neto entre la superficie y las paredes de la cmara.

26. Un gabinete de aluminio anodizado se enfra mediante conveccin natural y radiacin. El rea de la superficie del gabinete mide 0.368 m2, la temperatura del aire y alrededores que lo rodean es de 25 oC y el coeficiente de transferen-cia de calor por conveccin se estima en 6.8 W/m2K. La temperatura en la su-perficie del gabinete es igual a 125 oc.

a) Obtenga el flujo de calor disipado por el gabinete suponiendo que se com-pOlta como cuerpo negro.

b) Si el gabinete se enfra forzando aire con un coeficiente de transferencia de calor por conveccin igual a 150 W /m2K, calcule la temperatura de la su-perficie si la disipacin de energa se mantiene constante. Es importante la radiacin en este ltimo caso?

27. Un lado de una lmina muy delgada se expone al Sol y el otro est aislado tr-micamente. La lmina absorbe la energa solar a razn de 500 W/m2 . El aire ambiente que la rodea se encuentra a 27 oC, mientras que la temperatura efec-tiva del firmamento es de 7 oc. El coeficiente de transferencia de calor por con-veccin es igual a 20 W/m2C, y la emisividad de la superficie expuesta al Sol es de 0.9. Calcule la temperatura de equilibrio de la lmina.

28. El operador de mquinas en un taller se queja de que el sistema de calefaccin no mantiene la temperatura del aire a un valor mnimo de 20 oC, como debiera.


Problemas

"

, ~

21

Para fundamentar su queja, demuestra que un termmetro de mercurio muy preciso suspendido en el aire ambiente registra slo 17 oc. Cuando coloca el termmetro contra las paredes registra 5 oc. El techo y las paredes del taller son de lmina acanalada. Se sabe adems que la emisividad del termmetro es igual a 0.8.

Est en 10 conecto el operador? Justifique su respuesta estableciendo con claridad sus suposiciones.

29. Imagine la pared de un horno construida con ladrillo refractario (k = 1.2 W/mK) de 20 cm de espesor. La superficie exterior del horno se encuentra a 300 oC y tiene una emisividad de 0.9. El coeficiente de transferencia de calor por conveccin natural es igual a 8 W/m2K. La temperatura del aire ambien-te, as como la de los alrededores, es igual a 25 oc. Calcule la temperatura de la superficie interior.

Respuesta: T = 1516.4 oC

30. Ciertas pruebas experimentales en el labe de una turbina de gas indican que ste toma 95 kW/m2 de calor cuando su superficie est a 800 oC, la tempera-tura del aire que 10 rodea es de 1150 oC y la velocidad es de 160 mis. La super-ficie del labe se mantiene a temperatura constante durante los experimentos mediante enfriamiento interno. Calcule el flujo de calor que tomar al labe si su temperatura se reduce a 700 oC, y no se alteran en 10 absoluto las condicio-nes del aire que se hace pasar a travs de l. Supngase que las propiedades del aire tambin permanecen constantes.

Respuesta: q" = 122.14 kW

31. Una bana cilndrica de 3 cm de dimetro contiene un calentador elctrico de resistencia. Al pasar agua sobre el calentador a una temperatura de 25 OC Y una velocidad de 1 mis, disipa 6.3 kW/m. En estas condiciones la temperatura en su superficie es de 90 oc. Cuando se hace circular aire a una temperatura de 25 OC Y una velocidad de 10 mis, el calentador slo disipa 570 W/m. Calcule y compare los coeficientes de transferencia de calor en ambas situaciones.

32. Se desea enfriar el agua de refrigeracin de un motor de combustin interna de 150 kW de potencia al freno de 90 a 80 oC en un radiador que est por eva-luarse. El flujo de masa de agua que circula por el motor es de 3.6 kg/s. El ra-diador que se propone colocar al motor para enfriarlo tiene un rea total de transferencia de calor igual a 0.8 m2. Puede suponerse que la temperatura pro-medio del aire ambiente que se hara circular con el abanico a travs del ra-diador se encuentra a 40 oC, y el calor especfico del agua es de 4186 J/kg0c. Indique si es posible o no enfriar el agua del motor con el radiador propuesto.


22

..........

"l .

l. Introduccin

Bibliografa Incropera, F. P. Y D. P. DeWitt, Tntroduction to Heat Transfer, 3a. ed., John Wiley, 1996. Ozisik, M. N., Basic Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1977. Rohsenow, W. M. y J. P. Hartnett, Handbook of Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York,

1973.


2. Conduccin unidimensional e es ad estable

La senda de la virtud es muy estrecha y el camino

del vicio, ancho y espacioso. CERVANTES

La conduccin unidimensional en estado estable encuentra mltiples aplicaciones en sistemas de inters para el ingeniero: paredes de hornos, aislamiento de ductos para transportar vapor, aislamiento de conductores elctricos, aletas de enfria-miento, etctera. En ciertas aplicaciones, los efectos de la transferencia de calor en ms de una direccin son tan pequeos que pueden despreciarse sin sacrificar la exactitud de los resultados.

En este captulo se describen algunas de esas aplicaciones; por supuesto, no se pretende cubrir de manera exhaustiva todas las aplicaciones de la conduccin unidi-mensional en estado estable. Nuestro propsito slo consiste en ilustrar el mtodo o la tcnica de anlisis para resolver los diferentes problemas que se le presentan al in-geniero.

2.1. Placa Considrese una placa plana de espesor L cuya conductividad trmica k es cons-tante. Supngase que sus dos superficies se mantienen a temperaturas TI y T2, res-pectivamente, como se muestra en la figura 2.1.

Si se analiza un volumen de control de espesor Llx dentro del material, la pri-mera ley de la termodinmica establece que el calor que entra en el sistema por conduccin es igual al que sale de l. Analticamente,

q" A Ix - q" A Ix + tu = O (2.1 ) Al notar que el rea A perpendicular al flujo de calor es constante en la placa, la expresin anterior puede dividirse entre ALlx, esto es,

"1 "1 q x+tu - q x = O Llx

(2.2)

23


24 2. Conduccin wlidimensional en estado estable

TI

q"Alx q"Alx+dX

o L x

Figura 2.1. Placa plana y volumen de control.

En el lmite, cuando & -7 O se obtiene, por el teorema del valor medio,

d " .-!L = O dx

(2.3)

Al integrar esta expresin con respecto a x se obtiene

q" = el (2.4) donde el es una constante de integracin. Esta expresin ratifica analticamente que el flujo de calor por unidad de rea en la placa es constante. Sustituyendo la ley de Fourier en la ecuacin 2.4 se tiene

o

dT =_ el dx k

(2.5)

Sise supone que la conductividad trmica del material es constante, una integra-cin de la ecuacin anteIior da como resultado

e T= __ l x+e2 k

(2.6)

por lo que se concluye que el perfil de temperatura a travs de la placa es lineal. Lo anteIior es cierto siempre que --como se supuso con anteIiOlidad- la conductivi-


2.1. Placa 25

dad trmica del material sea constante. Las constantes de integracin Cl y C2 pueden evaluarse mediante dos condiciones de frontera que correspondan a la situacin fsi-ca del problema y que pueden determinarse recurriendo a las temperaturas en ambas superficies de la placa, es decir,

T= TI en x = O

y

T= T2 en x = L

Sustituyendo estas condiciones de frontera en la distribucin de temperatura (ecua-cin 2.6) se obtiene

y

Por consiguiente,

(2.7)

El esquema de la figura 2.2 muestra la variacin de la temperatura en la placa co-mo funcin de la distancia. Cabe observar de nuevo que esta distribucin es lineal slo cuando la conductividad trmica del material es constante.

T

T,

~ L-__________ ~ __ __

o L x

Figura 2.2. Distribucin de temperatura en una placa con conductividad trmica constante.


26 2. Conduccin unidimensional en estado estable

A menudo conviene normalizar o adimensionar los resultados de la transfe-rencia de calor para que sean generales e independientes de las dimensiones fsi-cas del sistema. La normalizacin reduce el nmero de parmetros, por lo que la grfica e interpretacin de stos es an ms sencilla. En ciertas circunstancias, una mera normalizacin podr sugerir las aproximaciones necesarias para simplificar un problema concreto. La ecuacin 2.7 puede normalizarse definiendo una tempe-ratura y una distancia adimensionales como

y

T* = T- Ti T -T2

* x x =-

L

Al introducir estas variables adimensionales en la distribucin de temperatura de la ecuacin 2.7 se tiene

T* = 1 - x* (2.8)

obtenindose as una lnea nica cuya pendiente es de 135 para todas las placas. Una vez que se calcula la distribucin de temperatura en la placa, el flujo de

calor que se transfiere a travs de ella puede evaluarse con facilidad, una vez ms, mediante la ley de Fourier. Ya que sta es constante,

Por tanto,

dT q=-kA-=AC dx

(2.9)

Esta ecuacin indica que el flujo de calor es proporcional al rea, a la conductivi-dad trmica del material y a la diferencia de temperaturas. Por otra parte, el flujo de calor es inversamente proporcional al espesor de la placaJ

La forma de la ecuacin 2.9 sugiere una analoga elctrica con la ley de Ohm de circuitos elctricos: si el flujo de calor se visualiza como una corriente y la di-

'" Si la conductividad trmica del material vara con la temperatura de acuerdo con una relacin de la forma k = "00 + an, donde "o y a son constantes, el flujo de calor a travs de la placa puede calcularse con la ecua-cin 2.9, siempre que la conductividad trmica se calcule a la temperatura promedio (TI + T2)/2. La demos-tracin se deja al lector como ejercicio.


2.1. Placa 27

ferencia de temperaturas como una diferencia de potenciales elctricos, el equiva-lente de la resistencia elctrica es una resistencia trmica definida como

R=~ kA

(2. 10)

El uso de esta ecuacin permite evaluar sin mayor problema el flujo de calor en paredes de distintos materiales en contacto ntimo, como se ilustra en la figura 2.3 con slo dos.

En estas condiciones,

(2. 11)

La expresin 2.11 indica que el flujo de calor a travs de la pared compuesta por dos materiales es igual a la diferencia total de temperaturas entre la suma de las dos resistencias trmicas en serie.

La analoga elctrica antes descrita tambin puede emplearse con eficacia pa-ra resolver problemas ms complejos relacionados con resistencias en serie y en paralelo. En la figura 2.4 se muestra un problema tpico y su correspondiente cir-cuito trmico. Cabe notar, sin embargo, que las conductividades trmicas de los materiales en paralelo no deben ser sustancialmente distintas, de lo contrario ha-bra una transferencia de calor bidimensional.

Hasta ahora se ha supuesto que se conocen las temperaturas en las superficies exteriores de la pared. No obstante, por lo general se encuentran en medios lqui-dos o gaseosos a diferentes temperaturas, y la transferencia de calor con los fluidos

Ti

LA LB

Figura 2.30 Pared compuesta por dos materiales y su correspondiente circuito trmico.


28

1"

B

-T1

A O

e

2. Conduccin unidimensional en estado estable

La ka Aa

Tl--,\/\/,-Il ... T2

~Lf~:~ kAAA Le koAo

kcAc

Figura 2.4. Pared compuesta por distlntos materiales.

se lleva a cabo por conveccin. El uso de la resistencia trmica puede extenderse tambin a la ley de Newton de enfriamiento. Al analizar esta ley se deduce que la resistencia trmica para conveccin, o resistencia de pelcula, est dada por la ex-presin

R =_1 I hA (2.1 2)

Si se considera ahora la misma pared construida con dos materiales, pero en con-tacto con dos fluidos como se muestra en el esquema de la figura 2.5, la transfe-rencia de calor puede evaluarse con la expresin 2.13.

(2.13)

A La

Figura 2.5. Pared compuesta por dos materiales expuesta a conveccin por ambos lados.


2.1. Placa

Ejemplo 2.1.

29

En esta expresin se observan las diferentes resistencias trmicas implicadas. En ca-so de que uno de los fluidos sea, digamos, agua y el otro aire, la resistencia de pe-lcula ms grande se encuentra en el lado del aire. En estas circunstancias, la transferencia de calor puede incrementarse o la resistencia disminuirse mediante aletas de enfriamiento o superficies extendidas en el lado del aire a fin de aumen-tar el rea.

Otro caso que puede interesar a los ingenieros es cuando la pared que se anali-z est constituida por un material aislante. Entonces se define el valor R del aislan-te como la resistencia trmica del material por unidad de rea, es decir, R = L/k, donde L es el espesor y k la conductividad trmica. Obsrvese que al duplicar el espesor L tambin se duplica el valor R del aislante. En Estados Unidos de Amri-ca los valores de R se expresan sin unidades; por ejemplo, R-20, R-30. Estos valores se obtienen dividiendo el espesor del material dado en pies entre su conductividad trmica en BTU/h pieop, de tal forma que las urdades de R estn en h pie2op/ BTU. As, 6 pulgadas de aislante de fibra de vidrio (k = 0.025 BTUIh pieF) tienen un valor igual a R-20, esto es, R = 0.5/0.026 = 20 h pie2PIBTU (en el SI 1 m2C/W = 5.678 h pie2PIBTU).

Este concepto de resistencia por unidad de rea R tambin se emplea cuando la pared se compone de materiales heterogneos, como los bloques de concreto. De este modo se dice que un bloque de concreto con dos cavidades tiene una re-sistencia trmica por unidad de rea R igual a 0.37 m2C/W. La resistencia R = l/h a la conveccin para una pared expuesta a un viento de 24 km/h es igual a 0.03 m2C/W. Algunos valores de la resistencia trmica R se indican en J 997 ASHRAE Fundamentals Handbook (American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning Engineers, Inc., 1977).

Imagine una pared constituida por los elementos siguientes:

Concepto

Resistencia exterior a la conveccin (viento a 24 km/h) Bloque de concreto de 20 cm de espesor 90 mm de aislante de fibra mineral 13 mm de yeso Resistencia interior a la conveccin (aire esttico)

0.03 0.37 2.3 0.08 0.12

El aire ambiente que rodea la pared se encuentra a 40 oC en el exterior y 22 en el interior. Si la pared mide 5 m de largo por 2.5 m de altura, calcule el calor transferido.


,

l '

.,

I

, ,.

30

Ejemplo 2.2.


Solucin Sumando todas las resistencias trITcas,

40 - 22 "

q = 0.03 + 0.37 + 2.3 + 0.08 + 0.12

q" = 6.21 W/m2

En consecuencia,

q = (12.5)(6.21) = 77.6 W

Considrese una pared de cobre (k = 375 W/mK) de 1 cm de espesor de la que una de sus superficies est expuesta a vapor de agua condensndose (h = 10 000 W/m2K) a una temperatura de 200 oc. La otra superficie est en contacto con aire ambiente (h = 5 W/m2K) a una temperatra de 25 oc. a) Calcule el calor por unidad de rea transferido a travs de la placa. b) Determine las temperaturas en ambas superficies de la pared.

Solucin a) Segn la ecuacin 2.13,

200 - 25 175 = 1 0.20

874.45 W/m2 q" 1 0.01 --- +--+ 10000 375 5

b) Puesto que el calor transferido por conveccin del vapor a la placa es igual al calor por conduccin que pasa a travs de ella y, al ITsmo tiempo, igual al calor por conveccin de la placa al aire,

874.45 = 10000(200 - TI)

TI = 199.91 oC

y

874.45 = 5(T2 - 25)

T2 = 199.89 oC


2.1. Placa

Ejemplo 2.3.

31

Obsrvese que la mayor cada de temperatura ocurre a travs de la interfase co-bre-aire. Esto es, -'

Considrese la pared de un horno de estufa formada por dos placas delgadas de acero, con aislante de fibra de vidrio (k = 0.035 W/mC) en el interior de ellas. La temperatura mxima de operacin del horno puede suponerse en 250 oC, mien-tras la temperatura ambiente en la cocina puede variar entre 20 y 35 oc. Calcule el espesor de aislante que deben tener las paredes para eyitaJ:" que la temperatu-ra en la superficie exterior exceda 60 oc. El coeficief!.te de transferencia de ca-lor para conveccin en ambas superficies puede suponerse igual a 10 W/m20C.

Solucin Como la conductividad trmica del acero es mucho mayor que la de la fibra de vidrio, el efecto de las lminas en las paredes puede despreciarse sin perder exactitud en los clculos. El calor disipado hacia el ambiente puede evaluarse con la expresin

q" = h2(T2 - T2=) q" = 10(60 - 35) q" = 250W/m2

Este flujo de calor debe ser igual al transferido por conveccin del aire en el horno hacia la pared y al que se transfiere por conduccin a travs de ella. Por tanto,

de donde

L = 0.035( 250 - 60 -~) = 0.023 m = 2.31 cm 250 10

En ciertas circunstancias, la superficie de una pared no slo disipa calor por con-veccin hacia el aire ambiente que la rodea, sino tambin a los alrededores. En ta-


32

Ejemplo 2.4.


les condiciones, el calor por unidad de rea que disipa una pared puede calcularse fcilmente con la expresin conocida como ecuacin de Langmuir:

"=0.548E[(~)4 -(~)4l+1.957(T.-T. )5/4 !196.85V+68.9 (2. 14) q 55.55 55.55 s = ~ 68.9

donde q" es el calor por unidad de rea en W/m2, Ts la temperatura en la superfi-cie de la pared, en K; Ta la temperatura de los alrededores, en K; Too la temperatu-ra del aire ambiente que rodea la pared, en K, y V la velocidad del aire en mis, que est en movimiento en la vecindad de la superficie.

Obsrvese que el primer trmino del miembro derecho de la expresin con-templa la radiacin, en tanto que el segundo contiene las aportaciones de la convec-cin natural y forzada. El trmino de radiacin no es ms que CJE(Ts 4 - Ta 4). Si la velocidad Ves igual a cero, de la ecuacin de Langmuir se precisa que, para una pared, h = 1.958(Ts - Too )1/4.

Considrese una pared vertical de 3 m de altura por 10 de largo con un espesor de 0.20 m (fig. E.2.4). La conductividad trmica del refractario es de 1.1 W/mK. Una de las superficies de la pared, la exterior, se encuentra a 300 oC y tiene una emisividad igual a 0.8. Esa superficie est expuesta al aire ambiente y alrededores a 27 oC. Calcule la temperatura de la otra superficie de la pared -la interior.

T 3m

300 oC 1 27 oC 20 cm

v Figura E.2.4.


2.2. Cilindro hueco 33

Solucin Con la ecuacin de Langmuir se tiene

"=(0.548)(0.8)[( 573 )4 _( 300 )4]+1.957(300-27)5/4 q 55.55 55.55

q" = 4590.17 + 2171.67 = 6761.84 W/m2

Por tanto,

T . = 300 (6761.84)(0.20) = 1529 43 e interIor + 0.1 .

2.2. Cilindro hueco Imaginemos ahora un cilindro hueco de radio exterior R2, radio interior R y un material cuya conductividad trrrtica k es constante, como se muestra en la figura 2.6. Supngase que la superficie interior se mantiene a una temperatura T, mien-tras que la exterior se mantiene a una temperatura T2 y que el flujo de calor es con-ducido en la direccin radial solamente, esto es, L> > R o R2 .

Mediante un balance de energa en el volumen de control mostrado se obtiene

q"2nr&1 r - q"2nr&1 r+ I'1r = O

Al dividir entre 2nl1r& y hacer que I1r tienda a O se obtiene, por el teorema del valor medio,

~(rq") = O dr

Integrando esta expresin con respecto al radio,

rq" = e

(2.15)

(2.16)

donde el es una constante de integracin. Al aplicar la ley de Fourier de conduc-cin de calor se obtiene

(2.17)



I

I ! I IR, r L ~

1 I l1z

T, T2 M q"2n:rl1z I r+ M

+---> r

Figura 2.6. Cilindro hueco.

Integrando de nuevo esta expresin

C T=-_1Inr+C2 k (2.1 8)

Las constantes de integracin C 1 y C2 pueden determinarse mediante condiciones de frontera apropiadas. En este caso,

T=T en r=R

y

T= T2 en r = R2

Sustituyendo estas condiciones de frontera en la ecuacin 2.18 se obtienen las constantes de integracin C 1 y C2 Esto es,

y


2.2. Cilindro hueco 35

Por consiguiente,

T = T2

- Ji - T2 In ~ In R2 R2

(2. 19) R

En la figura 2.7 se muestra de manera esquemtica la distribucin de la tempera-tura en el material del cilindro. Obsrvese que, en contraste con el perfil lineal de una placa, el de la temperatura en un cilindro es logartmico aun cuando la con-ductividad trmica es constante en ambos casos.

Ahora puede calcularse el flujo de calor mediante la ley de Fourier. Debido a que el flujo es constante en cualquier seccin del cilindro,

dT q = -k(2rcrL) -dr

q = -k(2rcrL{ - ~~ ) (2.20)

Ntese que la ecuacin 2.20 tambin tiene la forma de la ley de Ohm. Por consi-guiente, en este caso la resistencia trmica a la conduccin puede expresarse como:

(2.21)

Figura 2.7. Distribucin de temperatura en un cilindro hueco.


36

Ejemplo 2.5.


El anlisis de cilindros constndos con distintos materiales en contacto ntimo y cilindros con condiciones de frontera convectivas, o ambos casos, puede hacerse con facilidad mediante un circuito trmico. Para ilustrarlo, imagine un tubo cu-bierto con un aislante y con conveccin, tanto por el interior como por el exterior. En la figura 2.8 se muestra un esquema de esta situacin. El flujo de calor en ta-les circunstancias queda determinado mediante la relacin

(2.22)

donde kr es la conductividad trmica del tubo y ka la del aislante.

Un tubo de cobre BWG 16 (k = 379 W/mC) transporta vapor hmedo a 100 oC y tiene un dimetro exterior de 5.08 cm, mientras que el dimetro interior es de 4.75 cm. El tubo se encuentra en un cuarto cuya temperatura ambiente es de 25 oc. Para disminuir las prdidas de calor en 60%, se desea aislar el tubo con fibra de vidrio (k = 0.04 W/mC). Calcule el espesor de aislante que se requiere, supo-niendo que los coeficientes de transferencia de calor interior y exterior son iguales a 5600 y 5 W/m2C, respectivamente.

I

h, i i , R, ~ R2 !T

Ra I ,-j T,

L

! T2

i TJ

2.3. Radio crtico 37

Solucin Primero se calcular el calor disipado por unidad de longitud cuando el tubo se encuentra desnudo. Segn la ecuacin 2.22,

100-25 q' 1 ln(5.08/4.75) 1

------+ + - - ---n(0.0475)(5600) 2n(379) n(0.0508)(5)

75 75 q'= :--1.20 x 10-3 + 2.82 X 10-5 + 1.25 1.25

q' = 60 W/m

Ntese que las cadas de temperatura en la interfase vapor-tubo de cobre y en el material del tubo mismo son insignificantes. Por tanto, se supondr que la temperatura en la superficie exterior del tubo es igual a 100 oc. Si las prdidas de calor se reducen en 60%,

q' = 0.4(60) = 24 W/m

Teniendo en cuenta nicamente las resistencias trmicas del aislante y de la pe-lcula exterior,

24 = 100-25 ln(Da / 5.08) 1 -'---'------'- + ----:---~-

2n(0.04) n(Da /100)(5) Resolviendo la expresin anterior,

Da = 9.4 cm

En consecuencia, el espesor de aislante requerido es 2.2 cm

2.3. Radio crtico En apariencia, agregar material aislante a un cilindro o tubo siempre reduce las prdidas de calor que experimenta. Sin embargo, al analizar de manera detallada la ecuacin 2.22 se observa que el efecto del material aislante sobre la transferen-cia de calor en el cilindro es doble. Dicho de otro modo, aadir material aislante de baja conductividad trmica a un cilindro incrementa la resistencia a la conduc-cin, pero tambin el rea convectiva de transferencia de calor, con lo cual se re-


38

Ejemplo 2.6.


duce la resistencia exterior de la pelcula. Con este doble efecto en mente, a con-tinuacin se analizan las consecuencias sobre la transferencia de calor al variar el radio exterior del aislante.

Si se supone que la temperatura en la superficie exterior del cilindro desnudo es en esencia igual a la temperatura del fluido en el interior, o que h1 y kl tienen valores relativamente altos,

(2.23)

Diferenciando esta expresin con respecto a Ra e igualando a cero se obtiene _ _ ka

Ra - Rcrtico - ~ (2.24)

donde Rcrtico se denomina radio crtico de aislamiento. La expresin anterior in-dica que en Ra = Rcrftico el flujo de calor es mximo o la resistencia trmica al flu-jo de calor es mnima.

La diferencia Rcrtico - R 2 recibe el nombre de espesor crtico de aislamiento, ya que el flujo de calor se incrementa al aadir material aislante cuando R2 es me-nor que Rcrtico' En la figura 2.9 se muestra en forma esquemtica la variacin de las resistencias de conduccin y conveccin en un cilindro.

Para un aislante tpico (k "" 0.03 W/mC) en condiciones de conveccin natu-ral (h "" 1 O W /m20C) se obtiene que Rcrtico "" 0.003 m = 3 mm. A primera vista es-te resultado podra indicar que el radio crtico de aislamiento no tiene relevancia en las aplicaciones ingenieriles por su valor tan pequeo -para los valores aqu asignados de ka y h3' Sin embargo, este resultado es muy importante en el anlisis y diseo de conductores elctricos, pues la disipacin de calor aumenta al aadir un aislante a un alambre que transporta cierta corriente elctrica. Por otra parte, si el radio crtico de aislamiento, Rcrtico, es de menor magnitud que R 2, cualquier cantidad de aislante disminuir las prdidas de calor. Este hecho es de suma rele-vancia en tuberas que transportan agua caliente o helada y donde se desea dismi-nuir la transferencia de calor desde o hacia la tubera en un cilindro.

Considrese una resistencia elctrica de grafito de 1 W, 2 Mn, 2 mm de dime-tro y 3 cm de longitud. Se desea aislar elctricamente la resistencia con micanita (k = 0.1 W/mK). Se supone que 40% del calor generado se disipa por convec-cin al medio ambiente, cuya temperatura es de 40 oC, y el resto se conduce por las terminales de la resistencia hacia otros componentes del circuito.


2.3. Radio crtico

Ejemplo 2.7.

Resistencia trmica Resistencia total I

Espesor crtico de aislamiento

Resistencia de conveccin

Figura 2.9. Variacin de las resistencias de conduccin y conveccin en un tubo.

39

Calcule el espesor de aislante elctrico necesario para tener una disipacin de calor mxima, as como la temperatura en el interior del aislante.

Solucin Con la ecuacin 2.24,

Rcrtico = ka = 0.1 = 0.0067 m = 6.7 mm ~ 15

En consecuencia, el espesor de aislante es igual 6.7 - 1 = 5.7 mm. Por otra parte,

-40+( In6.70 + 1 ) 2n(0.1)(0.03) 2n(0.0067)(0.03)(15)

= 40 + 0.4 (100.91 + 52.79)

Por otra parte, si la resistencia no se aislara,

q O

0.4 T. = T. + = 4 + = 181.47 oC 2 2~ 2nR2L~ 2n(0.001)(0.03)(15)

Un alambre de cobre (k = 401 W/mC) de 2 mm de dimetro y 10 m de longitud est forrado con una cubierta de plstico (k = 0.15 W/mC) de 1 mm de espe-sor. Algunas mediciones elctricas indican que una corriente elctrica directa



de lOA causa una cada de voltaje igual a 8 V. Todo el conductor est expues-to al aire ambiente cuya temperatura es de 30 oC a travs de un coeficiente de transferencia de calor igual a 18 W/m2K.

a) Determine la temperatura de la interfase entre el alambre y el plstico. b) Si se duplica el espesor de la cubierta de plstico, indique si la temperatu-

ra en la interfase aumenta, disminuye o pelmanece constante.

Solucin a) El calor que disipa el conductor puede calcularse con la expresin

q = VI = (8)(10) = 80 W

Por otra parte,

T2 -30 80=--I-n(~4-/2~)~-----1-------'---'--,--'--+-----,-----2n(0.15)(10) 18n(0.004)(19)

Por tanto, T2 = 71.25 oC

b) El radio crtico de aislamiento es

T2 - 30 _ T2 - 30 0.0l35 + 0.44 0.52

Rcrtico = 0.15 = 0.00833 m = 8.33 mm 18

En consecuencia, al duplicar el espesor de la cubierta de plstico disminuye la temperatura.

2.4. Esfera El anlisis de esferas es de gran trascendencia por las aplicaciones que stas tienen en distintos procesos, como el caso de recipientes esfricos para almacenar flui-dos a bajas temperaturas. Considrese una esfera hueca de radio interior R 1, radio exterior R2 y cuya conductividad tlmica es constante. Supngase que las tempe-raturas en sus superficies interior y exterior son TI y T2, respectivamente.

Despus de seleccionar un cascarn esfrico de espesor I1r dentro del material y hacer un balance de energa se obtiene

q"( 4n r 2 )1 - q"( 4n r 2 )1 = O r r+r

(2.25)


2.4. Esfera 41

Al dividir entre 4n~r y hacer que ~r tienda a cero se obtiene, por el teorema del valor medio,

Integrando esta expresin con respecto al radio se tiene que

o

"_ el q-z r

(2.26)

donde el es una constante de integracin. Si introducimos la ley de Fourier de conduccin de calor,

dT el = dr - kr2

Al integrar de nuevo con respecto al radio tenemos

e T=_l +e2 kr

(2.27)

(2.28)

Las constantes de integracin el y e2 pueden obtenerse a travs de las condicio-nes de frontera siguientes:

T= TI en r = Rl

y

Si sustituimos estas condiciones en la ecuacin 2.28,

y



Por tanto,

T = T2 _ R (T - 12 ) (1 _ R2 ) R2 - R r (2.29) El flujo de calor transferido a travs del cascarn puede calcularse con la ley de Fourier. Como es constante,

q = -k( 4nr2) dT = -k( 4nr2 )(_ C~) dr kr

(2.30)

Si comparamos esta ecuacin con la ley de Ohm vemos que la resistencia trmica a la conduccin est dada por la expresin

R = R2 -R I 4nkRR2 (2.31)

Obsrvese que en el lmite, cuando R2 tiende a infinito, la ecuacin 2.30 se trans-forma en

Con esta expresin puede calcularse el calor por conduccin que disipa o absorbe una pequea partcula esfrica o gota de lquido dentro de un fluido esttico. As, si comparamos esta expresin con la ley de Newton de enfriamiento

se obtiene que, para estas condiciones en particular,

o

donde D = 2R.

hD =2.0 k

El anlisis de una esfera construida con distintos materiales en contacto direc-to y con resistencias de pelcula puede hacerse con facilidad mediante un circuito


2.4. Esfera

Ejemplo 2.8.

43

tnnico. En la figura 2.10 se muestra un esquema que ilustra el caso de una esfe-ra cubierta con material aislante y dos resistencias de conveccin. En tales cir-cunstancias,

(2.32)

A semejanza del radio crtico que se calcul para el cilindro, el radio crtico en una esfera resulta ser el doble, es decir,

(2.33)

La superficie interior de una bomba calorimtrica en forma de esfera est ex-puesta a un flujo de calor q" s resultante de una reaccin qumica exotnnica. Los radios interior y exterior del calormetro son R y R2> respectivamente. El coeficiente exterior de transferencia de calor es h, la conductividad tnnica del material es k y la temperatura ambiente es TOO'

a) Determine la temperatura en la superficie interior del calormetro. b) Calcule la temperatura en la superficie exterior. Es posible disminuir esa

temperatura sin alterar q" s' R , R2, k o Too?

Figura 2.10. Esfera cubierta con material aislante.



Solucin a) Mediante un balance de energa en el material del calormetro se obtiene

que, segn la ecuacin 2.28,

Ahora las constantes e y e2 pueden determinarse con las condiciones de fron-tera apropiadas para el problema. En este caso,

y

-k dT = q" en r = R dr s

Sustituyendo estas condiciones de frontera en la distribucin de temperatura se obtiene

y

Por tanto,

e "R2 = qs

e = q;'Ri (~-l)+T 2 kR hR 00 2 2

T=Too +~+~ ---1 "R2 "R2 ( k ) kr kR2 hR2

(a)

La temperatura en la superficie interior puede calcularse ahora sustituyendo r = R en la expresin anterior, es decir,

T. = T + q;'R + q;'R~ (~-1) 00 k kR hR 2 2

b) La temperatura en la superficie exterior puede calcularse sustituyendo r = R2 en la ecuacin (a), esto es,

T = T + q;'(!l)2 2 00 h R

2


2.5. Placa con generacin unifonne de calor 45

La expresin anterior ratifica que el calor liberado por la reaccin exotrmica debe disiparse por conveccin hacia los alrededores, esto es,

De la expresin para la temperatura en la superficie exterior se observa que s-ta puede disminuirse incrementando el coeficiente de transferencia de calor h.

2.5. Placa con generacin uniforme de calor Hay una gran variedad de problemas en los que existe generacin de calor: calen-tadores de resistencia, conductores elctricos, nodos, ctodos, elementos com-bustibles en reactores nucleares, etctera.

Imagine ahora una placa de espesor 2L en la que OCUlTe una generacin uni-forme y constante de calor por unidad de volumen q''', W/m3, como se muestra en la figura 2.11. Supngase que la placa se halla expuesta por ambos lados a un flui-do cuya temperatura es T= y el coeficiente de transferencia de calor por ambos lados es h.

Para determinar la distribucin de la temperatura en la placa, considrese un volumen de control de dimensiones L1xL1y& dentro del material. Un mero balance de energa indica que

(2.34)

Al dividir esta expresin entre L1xL1y& y hacer que L1x tienda a cero se obtiene, por el teorema del valor medio,

d " ~=q'" dx

(2.35)

Integrando esta expresin con respecto a la distancia x,

q" = q'''x + el

donde el es una constante de integracin. Si introducimos la ley de Fourier de conduccin de calor,

dT 111 e _~ __ l dx k k

(2.36)



h

Too

x

Figura 2.11. Placa con generacin de calor.

Al integrar de nuevo, y suponiendo que la conductividad tnnica del material es constante,

(2.37)

Las constantes de integracin el y e2 pueden evaluarse con dos condiciones de frontera. Dada la simetra del problema, el flujo de calor es igual a cero en el pla-no central de la placa, esto es,

dT =0 dx

en x= O

De manera anloga, el calor transfelido por conduccin es igual al de conveccin en la interfase slido-fluido, esto es,

dT -k dx =h(T-Too ) en x=L

Con estas dos condiciones de frontera se obtiene

y

el =0

"'L "'L2 e =T +-q- +-q-2 00 h 2k


2.5. Placa con generacin unifonne de calor 47

Ejemplo 2.9.

En consecuencia,

T= T +_q_+CL __ 1- ~ "'L "'/3 [ ( )2] ~ h 2k L (2.38)

La expresin anterior permite calcular la temperatura en cualquier posicin x de la placa. Por tanto, la temperatura en las superficies de sta puede calcularse con fa-cilidad al sustituir x = L en la expresin anterior. As,

q"'L ~up =T~ + - h- (2.39)

Obsrvese que la ecuacin indica que todo el calor generado se disipa por convec-cin hacia el fluido.

Como la temperatura mxima ocurre en el centro de la placa, puede calcu-larse sustituyendo x = O en la ecuacin 2.38, es decir,

_ q"'/3 Tmx - ~up +2k (2.40)

La distribucin de la temperatura dada por la ecuacin 2.38 puede normalizarse si se define una temperatura y una distancia adimensionales como

y

* T- ~up T = ----;,.....,-"-q'" /3 /2k

x x =-

L

Con estas variables el perfil de temperatura queda expresado como

T* = 1-x*2 (2.41 )

Una placa de espesor L separa dos fluidos cuyas temperaturas son Tl~ y T2~, respectivamente. Se desea eliminar por completo las prdidas de calor del flui-do que tiene mayor temperatura, es decir, Tl~, mediante una generacin de ca-lor q'" en la placa. Determine la generacin de calor necesaria.

Solucin Aun cuando las prdidas de calor pueden disminuirse agregando aislante trmi-co a una o a las dos superficies de la placa, no pueden eliminarse en su totali-


48 2. Conducci6n unidimensional en estado estable

dad. Por otra parte, como se muestra en la figura E.2.9, las prdidas de calor pueden eliminarse en absoluto mediante una generacin de calor apropiada; por ejemplo, una coniente elctrica. De acuerdo con la ecuacin 2.38, la cual supo-ne que el flujo de calor es igual a cero en x = 0,

_ _ q"'L q"'L2 Tmx - 'T oo - T200 + - - + - -h 2K

Por tanto,

q'" Ca)

En caso de emplear una corriente elctrica,

.2R 'I! l e q =-

LA

donde Re se refiere a la resistencia elctrica. As,

ff'" . q l= - -Re y q'" puede sustituirse con la ecuacin Ca).

T, _ ----r~

L

h Figura E.2.9.


2.6. Cilindro con generacin uniforme de calor 49

2.6. Cilindro con generacin uniforme de calor Considrese ahora un cilindro slido de radio R, con una generacin uniforme de calor q/", como se muestra en la figura 2.12. Supngase que la conductividad tr-mica del material es constante y que la longitud del cilindro es muy grande con respecto a su radio, de manera que la transferencia de calor se lleva a cabo slo en la direccin radial. Un balance de energa en un volumen de control en forma de arandela de espesor !1r y altura Llz indica que

q"2nrLlz I r - q"2nrLlz I r + 6..r + q"/2nr!1rLlz = O (2.42)

Al dividir la ecuacin entre 2n!1rLlz y hacer que !1r tienda a cero se obtiene

~ (rq/l) = q'" r dr

Integrando esta expresin con respecto al radio,

/1 q"'r el q = - +-

2 r

(2.43)

(2.44)

donde el es una constante de integracin. Puesto que el flujo de calor debe ser una cantidad finita en todo el cilindro, incluido r = O, de la ecuacin 2.44 se despren-de que el debe ser igual a cero. As,

'" /1 q r q = -2

Si sustituimos la ley de Fourier en la expresin anterior se obtiene

dT = _ q"'r dr 2k

Al integrar de nuevo esta expresin,

q'" r2 T=---+e2 4k

(2.44a)

(2.45)

(2.46)

La constante de integracin e2 puede evaluarse a partir de un balance de energa en la superficie, es decir,



T~

R

~r Figura 2.12. Cilindro slido con generacin unifonne de calor.

Con esta expresin se obtiene

111 R 111 R2 e =T. +-q- +-q-

2 00 2h 4k

Por tanto,

T=T. +- - +-- 1- -q"'R q1llR2[ (r)2] 00 2h 4k R

(2.47)

Del mismo modo,

T = T. + -q-- 1- !..-IIIR2[ ( )2] sup 4k R (2.47a)

donde Tsup es la temperatura en la superficie del cilindro. Esta distribucin de la temperatura puede normalizarse al definir las variables

" T - :Z;up T =-----;~-qlll R2/2k

y

* r r =

R


2.6. Cilindro con generacin uniforme de calor 51

As, la ecuacin 2.47a se transforma en ,.

,

(2.48)

Ntese que la expresin anterior es en esencia igual a la distribucin adimensio-nal de temperatura para una placa con generacin de calor, excepto por el coefi-ciente (1/2) en la ecuacin 2.48. En la figura 2.13 se muestra un esquema de la dis-tribucin adimensional de la temperatura en una placa plana y en un cilindro con generacin uniforme de calor.

Determine una expresin para calcular la diferencia entre la temperatura mxi-ma y la temperatura ambiente como funcin de la corriente elctrica en un con-ductor de cobre calibre 14 (1.626 mm de dimetro). Supngase que la resistivi-dad elctrica del cobre es de 1.73 x 10-8 nm, la conductividad trmica de 380 W/mK y el coeficiente de transferencia de calor igual a 10 W/m20C.

Solucin Segn la ecuacin 2.47,

pero

donde Pe es la resistividad elctrica, nm, y Re la resistencia elctrica, n.

T'

1.0 Placa

0.5 Cilindro

o-;------------~--1.0 x*, r'"

o

Figura 2.13. Distribucin adimensional de la temperatura en una placa plana y en un ci-lindro con generacin uniforme de calor.


S2

Ejemplo 2.11.


Con estas expresiones se obtiene

i2

Pe ( 2k) Tmx - T~ = !1T = 2 2 1 +-4n- R k hR Sustituyendo valores

!1T = 0.163 i2

En la figura E.2.1O se presenta en forma cualitativa la variacin de !1T como funcin de i.

tlT

36.68 oC r---~

15 A

Figura E.2.10.

Supngase que el conductor desnudo del ejemplo anterior se asla con hule (k = 0.15 W/mC).

a) Calcule el espesor ctico de aislamiento. b) Para las mismas condiciones ambientales, y suponiendo que se emplean

2 mm de aislante, determine una nueva expresin para calcular la diferen-cia entre la temperatura mxima y la temperatura ambiente como funcin de la corriente elctrica.

Solucin a) Segn la ecuacin 2.24,

ka 0.15 00 R crrico = - = - - = . 15m = 15mm

h:3 10


2.6. Cilindro en generacin uniforme de calor 53

b) Por otra parte,

donde 2

'T' T l Pe 12 = mx - 2 2 4n R2 k

y Ra se refiere al radio exterior del conductor aislado, R2 es el radio exterior del conductor desnudo y h) el coeficiente de transferencia de calor.

Ordenando la expresin anterior,

Sustituyendo valores se obtiene

!1T= 0.058 P

Obsrvese que el incremento de temperatura es menor que cuando el conductor se encontraba desnudo. En este caso, Ra < R crtico'

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205176452 Transferencia de Calor Segunda Edicion Manrique