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Analisis III B - Turno manana - Transformada de Fourier 1

Transformada de Fourier

Definicion

Sea fL1(R), se define la Transformada de Fourier de fa la funcion

F[f](w) =

+

f(x) eiwx dx

Notacion

A veces se utiliza el smbolo en lugar de F, es decir,f(w) =F[f](w).Ftransforma una funcion fen una nueva funcion F[f]. Usaremos x como variablede f y w como variable de F[f].

Propiedades (Son todas ejercicios)

Linealidad: f, gL1(R) y , R

F[ f+ g](w) = F[f](w) +F[g](w) o

f+ g

(w) = f(w) +g(w)Corrimiento respecto a la variable x: Six0 es un numero real fijo

F[f(xx0)](w) = eiwx0 F[f](w) o f(xx0)(w) = e

iwx0f(w)Corrimiento respecto a la variable w: Si w0 es un numero real fijo

F[eiw0x f(x)] =F[f](ww0) o eiw0x f(x)(w) =f(ww0)Cambio de escala respecto a la variable x: Si a= 0

F[f(a x)](w) = 1

|a|F[f]

wa

o f(a x)(w) =

1

|a|fw

a

Cambio de escala respecto a la variable w: Si a= 0

F[f](a w) = 1|a|

Ffx

a

(w) o f(a w) = 1

|a|fx

a

(w)

Simetra:

F[F[f]](w) = 2 f(w) o f(w) = 2 f(w)

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2 Analisis III B - Turno manana - Transformada de Fourier

Modulacion: Si w0 es un numero real

F[f(x)cos(w0x)](w) =1

2

F[f](w+w0)+F[f](ww0)

o f(x)cos(w0x)(w) =

1

2

f(w+w0)+f(ww0)

F[f(x)sen(w0

x)](w) =1

2F[f](w+w0)F[f](ww0) o f(x)sen(w0x)(w) =1

2f(w+w0)f(ww0) Diferenciacion con respecto a la variable x:

Si fes derivable en Ry fL1(R)

F[f](w) = i w F[f](w) o f(w) = i wf(w)Si f es nveces derivable en R y f(n)L1(R)

F[f(n)](w) = (i w)nF[f](w) o f(n)(w) = (i w)nf(w)SifL1(R),fcontinua salvo en finitos puntos {x1,...,xM}que son discontinuidades

de salto, f continua a trozos

F[f](w) = i wF[f](w)Mj=1

f(x+j)f(x

j)

eixjw

Diferenciacion con respecto a la variable w:

fcontinua a trozos y xnfL1(R), nN

F[xnf(x)](w) = in dn

dwnF[f](w) o xnf(x)(w) = in

dn

dwn

f(w)

en particular

F[xf(x)](w) = i d

dwf(w)(w) y F[x2f(x)](w) = d2

dw2f(w)

Transformada de una integral:

gcontinua a trozos, gL1(R) y sup. queg(0)=0F

x

g() d

(w) = 1

iwg(w)

Convolucion en la variable x:

F[fg](w) =F[f](w) F[g](w) o fg(w) =f(w)g(w) Convolucion en la variable w:

F[f(t)g(t)](w) = 1

2(F[f]F[g]) (w) o f(t)g(t)(w) =

1

2

fg (w)

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Analisis III B - Turno manana - Transformada de Fourier 3

Definicion

Sea fL1(R), se define la Antitransformada de Fourier de fa la funcion

F1[f](x) =

1

2

+

f(w) eixw dw

Propiedad

Si fL1(R)L2(R), entonces la integral de Fourier de frepresenta a fen c.t.x, i.e.

f(x) = 1

2

+

f(w) eixw dwequivalentemente

f(x) = F1

F[f]

(x)

Transformadas de Fourier en senos y cosenos

Definicion

Sea fL1([0, +)), se definen la Transformada de Fourier en cosenos de f y laTransformada de Fourier en senos de f respectivamente, a las funciones

FC[f](w) =

+

0 f(x) cos(wx) dxy

FS[f](w) =

+0

f(x)sen(wx) dx

Notacion

Se puede utilizar el smbolo fC en vez de FC, y fS en vez de FS .Propiedades (Son todas ejercicios)

Linealidad: f, gL1

([0, +)) y , R

FC[ f+ g](w) = FC[f](w) +FC[g](w)

yFS[ f+ g](w) = FS[f](w) +FS[g](w)

Diferenciacion con respecto a la variable x:

f y f continuas, f continua a trozos, f, f y fL1([0, +))

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4 Analisis III B - Turno manana - Transformada de Fourier

FC[f](w) =w2FC[f](w)f

(0)

yFS[f

](w) =w2FS[f](w)wf(0)

Definicion

SeafL1([0, +)), se definen laAntitransformada de Fourier en cosenos de f y laAntitransformada de Fourier en senos de f respectivamente, a las funciones

F1C [f](x) =

2

+0

f(w) cos(xw) dw

y

F1S [f](x) =

2

+0

f(w)sen(xw) dw