Trabajo Final Matematica II Final Grupo 7 Wa

2013

0

APLICACIÓN DE INTEGRALES PARA EL CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN MÁNDRIL PARA UNA MAQUINA GENERADORA DE ENGRANAJES UTILIZANDO EL MÉTODO DEL DISCO CIRCULAR

PROFESOR

Ing. Luis Zúñiga

INGENIERIA INDUSTRIAL

GRUPO 07

CLASE 7520INTEGRANTESNOTA DE TRABAJO

NOTA DE EXPOSICIÓN

NOTA FINAL

CASTAÑEDA OBISPO, Alfredo Juan

COLLANTES NAVAS, Jorge Luis

GUTIERREZ TERRONES, Elmer Franklin

LUCANO CASTREJON, Ángel David

POMA ALEJOS, Silvia Julissa

OTOYA DURAND, Pedro Luis

http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=&source=images&cd=&cad=rja&docid=WpO2ULp7x2aQ3M&tbnid=VuXMUb53r-yKLM:&ved=0CAUQjRw&url=https://www.facebook.com/WorkingAdult.Upnorte?filter=2&ei=ga_DUdKQPNS-4APllICQAQ&bvm=bv.48293060,d.dmg&psig=AFQjCNGiPP5uAva_gEkYDyhzVp_fmsk1PA&ust=1371865317944285

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DEDICATORIA

Este trabajo está dedicado a todas aquellas personas que con su ayuda desinteresada nos brindaron información para realizar este trabajo.

A nuestras familias, que con su apoyo y nos brindaron la motivación necesaria para seguir adelante en nuestro camino hacia la realización profesional y personal.

INDICE

Dedicatoria

1. Introducción ……………………………………………………… 3

Problemática ………………………………………… …………… 4

Objetivos ……………………………………………………… 7

Justificación …………………………………………………….. 7

2. Fundamento Teórico ……………………………………………. 8

Funciones a Utilizar en el cálculo ………………………………. 11

Marco teórico ……………………………………………………………. 15

3. Planeamiento del problema…………………………………….. 17

4. Resolución del problema…………………………………………… 19

5. Conclusión………………………………………………………………… 41

6. Resumen…………………………………………………………………. 41

7. Bibliografía…………………………………………………………………. 42

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1. Introducción

En nuestra vida diaria, todos los acontecimientos tienen que ver con el uso de las

matemáticas; desde la economía de una familia, hasta las reservas económicas de un país.

Es en este contexto que las matemáticas lo aplicamos en gran porcentaje de nuestras

actividades diarias; desde una ama de casa que ve cuanto debe pagar, por adquirir productos

de primera necesidad, el mayorista que analiza cuanto es el costo que le será más rentable; el

jefe de producción que proyecta las cantidades que deben producir para llegar a una meta,

hasta los economistas que realizan sus operaciones para verificar el PBI.

Tal como lo expresado en líneas anteriores, el uso de las matemáticas es una de las

principales herramientas para desarrollar nuestras metas diarias; y como futuros ingenieros

industriales debemos estar preparados para saber cuándo, cómo y en donde aplicar los

conocimientos adquiridos en busca de soluciones a las actividades en la que nos

desempeñamos.

En este trabajo de investigación, tratamos el tema de “Cálculo de volumen de un

mándril para una máquina generadora de engranajes”, este es una pieza metálica que sirve

como eje para la rotación de cuchillas. En el mismo, deseamos saber cuánto es el volumen de

material a utilizar en la fabricación. Como es una pieza circular no uniforme, aplicamos el

método del cálculo circular utilizando Integrales; y siguiendo una serie de pasos obtenemos el

volumen total y, con ello, el material a utilizar. De esta manera, conoceremos el precio de

fabricación y así poder saber, si al mandarlo a fabricar, el pago por la pieza fabricada está

dentro de los costos promedios.

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Problemática

La empresa J.C Engranajes, es una empresa dedicada a la fabricación de equipos para

la industria pesquera y en la búsqueda de mejoras de fabricación, la empresa ha adquirido

nuevas máquinas generadoras de engranajes, la que nos permita innovar y diseñar nuevos

engranaje con mayor potencia de arrastre y más rapidez en las operaciones de trabajo, de

esta forma nuestros clientes del sector pesquero puedan aumentar su producción y cubrir sus

exigencias. Esta nueva innovación permitiría a nuestra empresa ser más competitiva en el

mercado, buscando nuevas alternativas de desarrollo para nuestros clientes, siendo nosotros

sus proveedores estratégicos.

Para lo cual se necesita cotizar 10 mandriles de acero bonificado (1045) con las

medidas de las nuevas máquinas y de las nuevas cuchillas adquiridas. Por esto, hemos

tomado las medidas de un mándril, que nos servirá de modelo, el cual lo hemos dibujado en

Autocad y en la búsqueda de un mejor estudio se ha dividido la pieza del mándril en 6 partes

para un mejor análisis, debido a que este accesorio presenta un cuerpo no uniforme (forma

cónica en los extremos, cilíndrica en la parte central y con una parte sobresalida para encajar

en un eje)

Bajo esta problemática, damos inicio a nuestro proyecto para conocer el cálculo del volumen

de un mándril para una maquina generadores de engranajes de acuerdo al plano realizado

por el área de diseño.

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5

6

Objetivos

Objetivo General

Conocer de manera veraz la cantidad de material a utilizarse en la fabricación de los

mandriles que se requiere para el uso de las nuevas maquinarias adquiridas; y con ella

conocer el costo de fabricación.

Evidenciar la relación que existe entre las matemáticas y los procesos que hay dentro

de un entorno laboral y de producción.

Objetivo Especifico

Encontrar una función matemática que nos brinde los datos para hallar y realizar el

cálculo del volumen de un mándril, para así tener las consideraciones al momento de

realizar una negociación de fabricación.

En forma particular, usar el método de integración, para determinar el volumen de

sólido del mándril.

Calcular el material a utilizarse por el proveedor de los mandriles a fabricar. De esta manera saber cuánto será el costo de la materia prima a utilizar

Justificación

La importancia del presente trabajo es concientizar a los participantes y personas en general del estrecho vínculo que hay entre las aplicaciones de las matemáticas y el diseño, fabricación y producción de los elementos de una industria, en este caso en particular el mándril generador, ya que comúnmente pasa por alto en su mayoría de casos.

Las mejoras en el diseño, y fabricación actualmente se realizan con software y maquinas modernas, pero antes de llegar a ese punto, tienen que ser validadas por una persona que aplicará y expondrá los puntos que se exponen en este trabajo.

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2. Fundamento teórico

Concepto y definiciones básicas

Funciones

Introducción

Si una cantidad “Y” depende de otra cantidad “X”, podemos decir que “Y” está en función de “X” (esta es una función)

Ejemplo: Un hotel alquila una habitación a una persona a una tarifa de 80 soles la primera noche y 70 soles por cada noche adicional. Hallar una función que exprese el costo “y” en soles del alquiler de la habitación por “x” noches.

Solución: 1era noche (x = 1): y = 80

2da noche (x = 2): y = 80 + 1(70)

3era noche (x = 3): y = 80 + 2(70)

4ta noche (x = 4): y = 80 + 3(70)

“x” noches: y = 80 + (x – 1)(70)

Reduciendo: y = 70x + 10

En esta expresión, la variable “y” (costo en soles), depende de la variable “x” (número de noches de alquiler).

Los elementos de esta función están formados por todos los pares ordenados (x; y) tales que: y = f(x) =

70x + 10, es decir:

Por conocimiento:

8

Los elementos de la función son:

f = { (1; 80), (2; 150), (3; 220), (4; 290), (5; 360), … }

Entendemos que:

f(1) = 80

f(2) = 150

f(3) = 220

f(4) = 290 etc.

Nº noches

X

Costo

y = 70x + 10

1 80

2 150

3 220

4 290

5 360

Par ordenado: son dos números encerrados entre paréntesis y separados por un punto y coma

Ejemplo: (4;9)

Producto Cartesiano: Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano de A X B es el

conjunto de pares ordenados (a; b) tales que a A y b B.

Relación binaria: Una relación binaria de A en B es cualquier subconjunto del producto

cartesiano A X B, establecido por medio de una regla de correspondencia.

Dominio de una relación: Es el conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados de

la relación.

Rango de una relación: Es el conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados de la

relación.

FUNCIÓN

Definición

Una relación de A en B es una función si y sólo si para cada x A, existe un único elemento

y B a través de una regla de correspondencia de la forma. Esto significa que ningún par

ordenado debe tener el primer elemento repetido.

NOTACIÓN DE FUNCIÓN

Una función de A en B se denota: y por definición:

Donde A : Conjunto de partida

B : Conjunto de llegada

“x” : Variable independiente

“y” : Variable dependiente

y = f(x) : Regla de correspondencia (se lee: “y es igual a f de x”)

La regla de correspondencia nos permite asociar un elemento xA con un elemento y B que

verifique y = f(x).

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

9

Y

X0

6

1

321

2

3

1

Una función puede representarse mediante dos tipos de diagramas: Sagital y Cartesiano. Por

ejemplo para la función f = { (1; 2), (0; 3), (1; 2), (2; 1), (3; 6) } sus representaciones

gráficas son:

DIAGRAMA SAGITAL DIAGRAMA CARTESIANO

f A B

1 3

0 2

1 1

2 6

3

Conjunto Conjunto de partida de llegada

OBSERVACIONES:

En el diagrama sagital de una función, dos flechas no deben tener el mismo origen. Si

esto ocurriese, los puntos de llegada deben representar el mismo valor.

En el diagrama cartesiano dos puntos no deben estar ubicados en la misma línea

vertical.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Una función se llama real de variable real o simplemente función real cuando el

conjunto de partida y de llegada son subconjuntos de R

El dominio de una función real f es el conjunto de todos los números reales que

puede tomar la variable x, para los cuales el valor de f ( x ) está definido, es decir, también es

un número real. Para ello se siguen los siguientes criterios:

1. Si la función es polinomial, no hay restricciones, es decir D f=R

10

2. Si la función tiene una raíz de índice par, la restricción es: Radicando ≥ 0

3. Si la función tiene denominador, la restricción es: Denominador ≠ 0

FUNCIONES A UTILIZAR EN NUESTRO CALCULO DE VOLUMEN

Función lineal: Es una función cuya regla de correspondencia es de la forma:

y=f (x )=mx+b. El dominio y rango de esta función son todos los números reales.

La gráfica es una línea recta que intercepta al eje “Y” en un punto de ordenada “b”.

Y

y = mx + b

D f = R

(0; b)

X Rf = R

Nota: para graficar la función lineal, bastará ubicar dos puntos cualesquiera de la función.

Función constante: Ocurre cuando m = 0, su regla de correspondencia es de la forma:

y = f(x) = b ; donde “b” es un número real. La función lineal nos dice que todos sus pares ordenados tienen como segundo elemento el número “b”, por tanto el dominio de esta función son todos los números reales y su rango tiene un único elemento, que es precisamente el número ”b”.

La gráfica es una línea recta paralela al eje X.

11

Y

b y = b Df = R

Rf = b

La Integral Indefinida

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca

aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo

las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas

en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por

∫ f(x) dx.

Se lee:

Integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

F(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

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C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta, basta con derivar.

La Integral Definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas

limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos

x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida

de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la

función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es

menor que cero, su integral es negativa.

La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por

separado.

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la

integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

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Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

MARCO TEÓRICO

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o Concepto de un mándril para generadora de engranajes

Los mandriles para generadoras de engranajes son piezas cilíndricas de la máquina en la que se aseguran la cuchilla.

El mándril, es uno de los elementos esenciales de la máquina, puesto que es el que sirve de soporte a la herramienta, en este caso las cuchillas que pueden ser diamantadas, de carbono o de acero rápido, las mismas que tendrán un sistema de rotación según convenga. El mándril recibe el movimiento a través de la caja de velocidades, que a su vez es movido por el motor. Esto merece revoluciones que serán dadas según el material a trabajar, considerando diversas condiciones que merece la pieza a transformar, en este caso engranajes.

Los mandriles para generadoras de engranajes son ejes cilíndricos de acero con conicidad en sus extremos, los conos se ajustan en los conos de alojamiento que llevan los mandriles porta–fresa. Un perno de apriete, lleva a la herramientas de sujeción al cono interior de la máquina sujetándola e impidiendo un afloramiento no previsto. La posición del creador o fresa madre, respecto a la pieza a trabajar se obtiene mediante anillos intermedios.

El mándril debe estar templado y rectificado, la presa madre o creador se ajusta en el mándril con una tuerca de rosca fina para que no se afloje y nos da más seguridad de arrastre y arranque de viruta.

o Utilidad del mándril

El mándril es una herramienta que sirve de ejecución de la cuchilla de corte o fresa-madre.

Son accesorios de la generadora que se usan para sujetar la cuchilla o fresa madre y a la vez para transmitirle movimiento que recibe del husillo.

El mándril se apoya en un contra soporte, para absorber la fuerza de corte y para evitar la flexión que daría origen a vibraciones, dando un mal acabado. La exactitud y la calidad de trabajo del fresado, así como la vida de la cuchilla (creador), depende en gran suma del impecable estado del mándril, el mándril debe ajustar de forma segura la cuchilla.

Hay que tener en cuenta lo siguiente:

El mándril hay que mantenerlo bien ajustado y tan corto como sea posible, porque de lo contrario da origen a vibraciones obteniendo un mal acabado.

Deben limpiarse cuidadosamente el alojamiento cónico, el mándril y los anillos intermedios.

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Es conveniente engrasar un poco el cono del mándril antes de colocarlo en su alojamiento, porque de este modo podrá retirarse más fácilmente.

o Fabricación de un mándril

El mándril se fabrica de la siguiente manera:

1.- Adquirir el material indicado que disminuya la vibración en el trabajo.

2.- Pasa por un proceso de torneado para dar las medidas deseadas.

3.- Luego se dirige al tratamiento térmico en el cual se le quita las tensiones.

4.- Rectificar las medidas finales de acuerdo a las medidas de las nuevas máquina.

3 . Planteamiento del problema

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La empresa J.C Engranajes, es una empresa dedicada a la fabricación de

equipos para la industria pesquera, y como gestor principal en el mercado de

generador de piezas importantes en el sector pesquero, es necesario que se haga una

buena gestión de los recursos empleados por la empresa para generar sus propias

herramientas, esperando que las materias empleadas se ajusten a los volúmenes y

pesos que nuestras máquinas que en la actualidad se han comprado y que al final

nos sea rentable.

A la compra de las 10 nuevas máquinas de generadoras de engranaje, se necesita

también la fabricación 10 mándriles, que son los ejes principales para la fabricación

de engranajes, ya que dichos ejes son parte importante, pero no vienen con la

maquinaria.

Por lo tanto para dicha adquisición se ha planificado realizarlo de la siguiente forma:

a) Para esto se han tomado las medidas de acuerdo a plano de fabricación del

mándril. Pero antes se han partido el sólido en seis piezas importantes, para

luego hallar de forma matemática su volumen de cada pieza y el total del

sólido.

b) Los datos obtenidos de las mediciones de un inicio, se han ingresado a un

software (Autocad), para captar los detalles en un plano de tres dimensiones.

De aquí también se pueden calcular los valores de los volúmenes de cada

pieza.

c) Este dato también se puede calcular, mediante el método disco circular.

d) Usando las definiciones antes mencionadas en el fundamento teórico. Se ha

obtenido los datos de los volúmenes a través de la aplicación de cálculo por

Integrales definidas, con las medidas obtenidas inicialmente.

e) Es también necesario el apoyo de otros software para desarrollar los cálculos

y ratificarlos, como es el caso de los equipos de cálculo, como : Casio Fx 9860

and The Class Pad.

17

18

4. Resolución del problema

PIEZA N° 1

FUNCION LINEAL ⇒ f ( x ) = m x + b

x y y =f ( x )

0 13 f ( x ) = m . x + b y = 13 ⇒ x = 0

106 16 13 = m (o ) +b

f ( x ) = m . x + b y = 16 ⇒ x = 106

16 = m (1 o 6 ) +13

3106

= m

19

13 = b

Reemplazando

f ( x ) = m . x + b

V = π ∫a

b

f ( x )2 dx

V = π ∫

o

106

( 3106

x + 13)2

dx

V = π ∫o

106 [( 3 x106 )

2

+2 ( 3 x106 ) (13 ) + 132] dx

V = π ∫o

106

( 9 x2

11236+ 39 x

53+ 169) dx

∫∫

106

0

106

0

2 16953

39

11236

9dxxdxdxxV

V = π [ 911236 ( x3

3 ) + 3953 ( x2

2 ) + 169 x ] |106

0

V = π [( 911236 (1063

3 ) +3953 (1062

2 ) + 169(106 )) − ( 911236 ( 03

3 ) +3953 ( 02

2 ) + 169 (0))]V = π (22366 )

20

f ( x )= 3106

x + 13

V = 70264 , 86129 mm3

DATOS OBTENIDOS DEL EQUIOO CLASS PAD MANAGER (CASIO)

DATOS OBTENIDOS DEL EQUIOO FX 9860 (CASIO

21

DATOS OBTENIDOS DEL AUTOCAD

22

PIEZA N° 2

FUNCIÓN CONSTANTE yxf )(

Hallando el Volumen por medio de INTEGRALES

V = π ∫a

b

f ( x )2 dx

V = π ∫o

10

(20)2 dx

V = π ∫o

o

400 dx

V = π [ 400 x ] |0

10

V = π [ 400(10 ) − 400 (0) ] V = π ( 4000)

23

V = 12566 ,37061 mm3



24


25

PIEZA N° 3

FUNCIÓN CONSTANTE ⇒ f ( x ) = y


∫b

a

dxxfV 2)(

V = π ∫a

140

f (11)2 dx

V = π ∫a

140

121 dx

V = π [121 x ] |0

140

V = π [121 (140 )− 121(0 )] V = π [16940 ]

V = 53218 ,57955 mm3

26




27

28

PIEZA N° 4

FUNCIÓN LINEAL ⇒ f ( x ) = m x + b

x y y =f ( x )

0 7,5 05,7.)( xybxmxf

85 4 7,5 = m (o ) +b

f ( x ) = m . x + b y = 4 ⇒ x = 85

4 = m (85 ) +7,5

−3,5 = m (85)

29

7,5 = b

− 7170

= m

Reemplazando f ( x ) = m . x + b

f ( x ) =− 7170

x + 7,5


V = π ∫a

b

f ( x )2 dx

V = π ∫

o

85

(− 7170

x + 7,5)2

dx

V = π ∫o

85 [(− 7 x170 )

2

+2 (− 7170 ) (7,5 ) + 7,52] dx

∫

85 2

4

225

34

21

23900

49

o

dxxx

V

V = π [ 4928900

∫0

85

x2 dx −2134

∫0

85

xdx + 225 dx ]V = π [(49

28900 ) ( x3

3 ) − (2134 ) ( x2

2 ) + 225 x4 ] |

0

85

V = π [(4928900 (853

3 ) −2134 (852

2 ) +225

4(85 )) − (49

28900 ( 03

3 ) −2134 ( 02

2 ) +225

4(0))]

V = π (3476512 )

30

V = 9101 ,455717 mm3



31


32

PIEZA N° 5



V = π ∫

a

b

f ( x )2 dx

V = π ∫a

39

(8)2 dx

V = π ∫a

39

64 dx

V = π [64 x ] |0

39

V = π [64 (39 )− 64( 0)] V = π ( 2496 )

33

V = 7841 ,415263 mm3



34


35

PIEZA N° 6

DETALLE N° 1



∫b

a

dxxfV 21 )(

V 1 = π ∫a

3

(5,5)2 dx

V 1 = π ∫a

3

30. ,25 dx

V 1 = π [ 30 , .25 x ] |0

3

V 1 = π [30 ,25 (3 )− 30 ,25(0 )]

V 1 = π ( 90 ,75 )

36V 1 = 285 , 0995333 mm3

DETALLE N° 2

DETALLE N° 1

DETALLE N° 2



∫b

a

dxxfV 22 )(

V 2 = π ∫a

5

(8)2 dx

V 2 = π ∫a

5

64 dx

V 2 = π [64 x ] |0

5

V 2 = π [64 (5 )− 64( 0)]

V 2 = π ( 320 )

Volumen Total

VT = V 1 + V 2

VT = 285 ,0995333+ 1005 ,309649

VT = 1290 , 409182 mm3

37

V 1 = 1005 , 309649 mm3



38


39

Volumen Total del Mándril Generador

VOLUMEN TOTAL

PIEZA N° 1 ⇒ Volumen 1 = 70264,86129 mm3






PIEZA TOTAL = VOLUMEN TOTAL = 154283.0916129921 mm3


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5. Conclusión

Despues del cálculo matemático, con el respaldo de software, se concluye lo siguiente:

Pieza 1 tiene un volumen 70264,86129 mm3Pieza 2 tiene un volumen 12566,37061 mm3Pieza 3 tiene un volumen 53218,57955 mm3Pieza 4 tiene un volumen 9101,455717 mm3Pieza 5 tiene un volumen 7841,415263 mm3Pieza 6 tiene un volumen 1290,409182 mm3

Por lo tanto el eje mándril tiene un volumen de 154283.0916129921 mm3Entonces la empresa fabricará 10 mandriles con un volumen total de 1542830.916 mm3

6. Resumen

La empresa JC. Engranajes, es una empresa dedicada a la fabricación de equipos industriales para el sector

pesquero. Por otra parte el departamento de diseño, realiza un plano de fabricación del eje mándril de los

equipos a suministrar. Para ello se necesita calcular el volumen de 10 mandriles de acero bonificado (1045).

Conociendo la problemática, el eje mándril se dividió en 6 partes para un mejor análisis, debido a que este

accesorio presenta un cuerpo no uniforme (forma cónica en los extremos, cilíndrica en la parte central y con una

parte sobresalida para encajar en un eje), se realizó la resolución del problema, calculando el volumen de las

piezas aplicando integrales por el método circular. Con apoyo de programas como Casio Class Pad, Casio Fx

9860G. y Autocad, se han verificado el cálculo matemático.

Por lo tanto el volumen de un eje mándril 154283.0916129921 mm3. Dando un total de 1542830.916 mm3 para los 10 mándriles a fabricar.

Luego de realizado las operaciones plasmadas en nuestro fundamento teórico, queda demostrado la importancia del uso de las matemáticas, pues la misma es una herramienta principal en todos los procesos de trabajo, ya que nos permite tener un conocimiento exacto de la cantidad de material, así como saber el costo de fabricación del mándril que requerimos para el trabajo de la empresa JC.

Nosotros, como futuros ingenieros, estamos en el deber de estar siempre a la vanguardia en el uso de los software y herramientas necesarias para los trabajos asignados; como hemos podido detallar el uso de estos implementos nos permite realizar las comparaciones respectivas para así poder tomar la mejor decisión a la hora de ejecutar una labor.

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7. Bibliografía

Manual de máquinas y herramientas Volumen 4Autor: Richard R KibeJohn E, Neely (Revisión Héctor Smith McDonald Pinedo 1990)

Cálculo I, de una variable, Bruce H. Edwards, Ron Larson, (pág. 458 al 468) Biblioteca UPN.Volumen: El Método del disco circular

Cálculo 8va. Edición, Aplicaciones Integrales, Bruce H . Edwards, Ron Larson, Rorbert P.Hostetler (pág. 456 al 458) Biblioteca UPN.Aplicaciones Integrales: Volúmenes: Métodos del disco.

Análisis Matemático II, Eduardo Espinoza Ramos (pág. 449 al 452) Biblioteca UPNMétodo de disco circular.

Ing. Héctor Ortiz (clase funciones – matemática I) UPN.

Video: http://youtu.be/aymUiQYVZt8Fresado de engranajes.

42

http://youtu.be/aymUiQYVZt8

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Trabajo Final Matematica II Final Grupo 7 Wa