Tesis7 Introduccion Dinamica Estructural 1

5/26/2018 Tesis7 Introduccion Dinamica Estructural 1

1/123

www.construaprende.comIngeniera Civil y Arquitectura

1

INTRODUCCIN A LA DINMICA ESTRUCTURAL

CARLOS ARNOLDO CASTRILLN ACEVEDO

CORPORACIN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

FACULTAD DE INGENIERA

INGENIERA CIVIL

BOGOTA

2007


2/123


2

INTRODUCCIN A LA DINMICA ESTRUCTURAL

CARLOS ARNOLDO CASTRILLN ACEVEDO

Proyecto de Grado

AsesorAlejandro Ulloa

Ingeniero Civil

CORPORACIN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

FACULTAD DE INGENIERA

INGENIERA CIVIL

BOGOTA

2007


3/123


3

A mi esposa y a mi familia

Quienes con sus sacrificios,

tolerancia y apoyo

me permitieron llegar a este momento


4/123


4

CONTENIDO

Pg.

INTRODUCCIN 9

1. PROYECTO DE GRADO 10

1.1TITULO 10

1.2DESCRIPCIN 10

1.3ANTECEDENTES 10

1.4JUSTIFICACIN 10

1.5BENEFICIARIOS 11

1.5.1 Beneficiarios directos 11

1.5.2 Beneficiarios indirectos 11

1.6OBJETIVO GENERAL 11

1.7OBJETIVOS ESPECFICOS 11

1.8MARCO CONCEPTUAL 12

1.9MARCO METODOLGICO 12

2. DESCRIPCIN EL CURSO VIRTUAL 13

3. FUNDAMENTOS 15

3.1CONVENCIONES Y UNIDADES 15

3.2ANLISIS DE ESTRUCTURAS 16

3.2.1 Tipos de anlisis 16

3.2.2 Elementos estructurales 16

3.2.3 Fuerzas que actan sobre una estructura 16

3.3MODELO MATEMTICO 16


5/123


5

3.4APOYOS Y RESTRICCIONES 17

3.5ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 17

3.6RIGIDEZ 18

3.6.1 Elasticidad 18

3.6.2 Rigidez 19

3.6.3 Momento de Inercia 20

3.7MODELO ESTRUCTURAL 20

4. ANLISIS MATRICIAL 23

4.1OPERACIONES MATRICIALES 23

4.2SISTEMA DE COORDENADAS 24

4.2.1 Coordenadas globales 24

4.2.2 Coordenadas locales 25

4.2.3 Transformacin de coordenadas 26

4.3GRADOS DE LIBERTAD 27

4.4MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO 28

4.4.1 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales 30

4.4.2 Ejemplos matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales 32

4.4.3 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales 35

4.4.4 Ejemplos matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales 37

4.5ENSAMBLAJE DE UN PRTICO PLANO 43

4.5.1 Numeracin de nodos 43

4.5.2 Numeracin de elementos 43

4.5.3 Ensamblaje de la matriz de rigidez 43

4.5.4 Apoyos en la estructura 44

4.5.5 Ejemplo ensamblaje de un prtico plano 45


6/123


6

4.6ANLISIS ESTTICO (MTODO DE LA RIGIDEZ) 56

4.7 IGUALACIN Y REDUCCIN GRADOS DE LIBERTAD 56

4.7.1 Ejemplo igualacin y reduccin grados de libertad 58

4.8DIAFRAGMA RGIDO 70

4.9MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA 70

4.9.1 Ejemplo matriz de rigidez de toda la estructura 72

5. SSMICA 77

5.1TECTNICA 77

5.2FALLAS GEOLGICAS 78

5.2.1 Desplazamiento horizontal 78

5.2.2 Desplazamiento vertical 78

5.3SISMOS 78

5.4ONDAS SSMICAS 79

5.5SISMOGRAMAS Y ACELEROGRAMAS 79

5.6MAGNITUD DE UN SISMO 80

5.7 INTENSIDAD DE UN SISMO 80

6. ANLISIS DINMICO 81

6.1LEYES DE NEWTON 81

6.2MASA Y PESO 82

6.2.1 Masa de la estructura 82

6.2.2 Ejemplo matriz de masa de la estructura 83

6.3VIBRACIN Y AMORTIGUAMIENTO 85

6.3.1 Frecuencia y perodo 85

6.3.2 Vibracin libre no amortiguada 85

6.3.3 Vibracin libre amortiguada 86


7/123


7

6.4EXCITACIN EN LA BASE 89

6.5RESPUESTA ESPECTRAL 89

6.6ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINMICO 91

6.6.1 Ejemplo ecuaciones de equilibrio dinmico 91

6.7ANLISIS MODAL ESPECTRAL 94

6.7.1 Ejemplo espectro de desplazamientos 95

6.7.2 Ejemplo anlisis modal espectral 97

6.8COMBINACIN DE LA RESPUESTA MODAL 109

7. FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE 110

7.1CONFIGURACIN DE LA ESTRUCTURA 110

7.2CONSIDERACIONES SSMICAS 111

7.2.1 Zona de amenaza ssmica 111

7.2.2 Coeficiente de aceleracin Aa 111

7.2.3 Efectos locales 112

7.2.4 Coeficiente de importancia 113

7.2.5 Espectro de diseo 113

7.3CONSIDERACIONES DE ANLISIS 114

7.3.1 Periodo fundamental 114

7.3.2 Cortante basal 114

7.3.3 Fuerzas ssmicas 114

7.3.4 Torsin accidental 115

7.3.5 Limites de la derivas 115

7.4 EJEMPLO ANLISIS POR MEDIO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE 115

CONCLUSIONES 123

BIBLIOGRAFA 124


8/123


8

INTRODUCCIN

El presente documento, se plantea, con la voluntad de que sea una herramienta til para los

compaeros universitarios, e interesados en el tema, el objetivo, es transmitir los conceptos de

anlisis matricial y dinmica de estructuras en una forma menos rgida y matemtica, pero con el

desarrollo del tema he comprendido que se hace necesario el entendimiento matemtico.

El curso se desarrolla desde el planteamiento bsico de una estructura, pasando por el desarrollo del

un modelo estructural, hasta encontrar las derivas del modelo estructural con lo cual finaliza este

documento; Es un ejemplo prctico desarrollado paso a paso, con la ayuda de herramientas

especificas para cada caso, planteando dentro del ejercicio actividades que debe desarrollar el

alumno, que hacen parte del ejemplo y que son necesarias en pasos posteriores.

No pretende ser un manual, o un recetario, pretende crear el inters, y permitir a los estudiantes

herramientas a las que puedan acceder fcilmente, sin tener que pasar por una serie de

demostraciones, que los desalientan y nos les permite alcanzar sus objetivos.


9/123


9

1. PROYECTO DE GRADO

Este proyecto de grado consiste en la elaboracin de un software multimedia, a travs del cual

se desarrolla un modelo estructural, iniciando con una descripcin de la estructura, y

finalizando con la obtencin de las derivas del modelo estructural por el mtodo de la fuerza

horizontal equivalente.

1.1TITULO

Curso virtual de introduccin a la dinmica estructural.

1.2DESCRIPCIN

Elaboracin de un curso virtual interactivo didctico multimedia como complemento para el

aprendizaje de Anlisis matricial y Dinmica estructural. Orientado a describir de forma grfica

el comportamiento de una estructura.

1.3ANTECEDENTES

Dada la limitacin en cuanto a tiempo para un curso de anlisis matricial y la implementacin

de Dinmica de estructuras dentro del plan de estudio. Se hace necesario implementar

herramientas de estudio orientadas a motivar en los estudiantes el gusto por estos temas.

Herramientas que vayan de acuerdo con las nuevas tecnologas y tendencias educacionales, que

para el caso especifico de anlisis de estructuras por mtodos matriciales y comportamiento

dinmico de estructuras no existen.

1.4JUSTIFICACIN

En la actualidad es de vital importancia para un ingeniero civil comprender los conceptos de

dinmica estructural, pero para poder entender esta se deben tener claros conocimientos de


10/123


10

anlisis matricial de estructuras, siendo de mayor difusin y recordacin los elementos

multimedia.

1.5BENEFICIARIOS

1.5.1 Beneficiarios directos: Los beneficiarios directos son los estudiantes de ingeniera civil

de la Corporacin universitaria Minuto de Dios.

1.5.2 Beneficiarios indirectos: beneficiarios indirectos son los docentes de la misma

institucin, puesto que tendrn un material de apoyo.

1.6OBJETIVO GENERAL

Transmitir los conceptos bsicos del anlisis matricial de estructuras enfocado al anlisis

dinmico de estructuras; por medio un curso virtual didctico multimedia interactivo.

1.7OBJETIVOS ESPECFICOS

Desarrollar un curso virtual interactivo didctico multimedia por medio del cual se induzca de

manera grfica y entretenida los conceptos de anlisis matricial y comportamiento dinmico de

estructuras, realizando un ejemplo prctico.

Realizar paso a paso, y de forma didctica el desarrollo de un modelo de anlisis dinmico,

partiendo desde el planteamiento matricial de la estructura, incluyendo una anlisis modal

espectral, y finalizando con la determinacin de las derivas por medio del mtodo de la fuerza

horizontal equivalente.

Exponer el procedimiento adecuado, que permita a un estudiante desarrollar completamente un

modelo estructural aplicando los conceptos de anlisis matricial y dinmica de estructuras.


11/123


11

1.8MARCO CONCEPTUAL

Dado que la multimedia es sistema de informacin que involucra varios medios de

comunicacin (texto, imagen, animacin, sonido,.. etc.) permite una mejor atencin,compresin y por ende aprendizaje de los temas tratados.

A dems la multimedia posee una gran aceptacin y capacidad de distribucin dentro de los

estudiantes (beneficiarios directos).

1.9MARCO METODOLGICO

Para llevar acabo este proyecto se realizaran una serie de animaciones y grficas querepresenten los procesos que se deben seguir para realizar un anlisis matricial y dinmico, de

forma tal que se involucren todos los factores pertinentes para cada proceso, siguiendo el

programa acadmico adecuado para cada materia.

Como complemento y durante el desarrollo del proyecto se elabora una gua en la cual se

indique el funcionamiento del Curso virtual y la respectiva sustentacin matemtica para cada

proceso.


12/123


12

2. DESCRIPCIN DEL CURSO VIRTUAL

Se trata de una aplicacin multimedia elaborada con el programa Macromedia Authorware 6

versin educacional.

En la ventana principal del curso se puede observar el titulo del curso INTRODUCCIN A

LA DINMICA ESTRUCTURAL, y 15 botones nombrados: Estructura, Globales, Locales,

Matricial, Rigidez, Prtico, Grados L, Rig. Estr., Ssmica, Masa, Dinmica, Espectro, Modal,

Fuerza Horizontal Equivalente, y Salir; Cada botn contiene informacin de manera secuencial

para la realizacin del curso.

Figura No.1 Venta principal curso virtual


13/123


13

Modelo Estructural : Contiene la descripcin del modelo estructural

Coordenadas Globales : Explicacin del sistema de coordenadas globales

Coordenadas Locales : Explicacin del sistema de coordenadas locales

Anlisis Matricial : Introduccin a anlisis matricial

Matriz de Rigidez : Explicacin de la rigidez de los elementos estructurales encoordenadas globales

Ensamblaje Prtico Plano : Explicacin del ensamblaje de un prtico plano

Grados de Libertad : Explicacin de grados de libertad

Rigidez de la Estructura : Explicacin del ensamblaje de la estructura espacial

Ssmica : Infografa sobre terremotos

Masa de la estructura : Explicacin matriz de masa de la estructura

Anlisis Dinmico : Introduccin al anlisis dinmico

Espectro Desplazamientos : Explicacin espectro de desplazamientos

Anlisis Modal Espectral : Explicacin anlisis modal

Fuerza Horizontal Equivalente : Explicacin procedimiento para hallar las derivas de laestructura por medio del mtodo fuerzo horizontal

equivalente

Salir : Sale del curso

Es un curso bsico que trata sobre la solucin de una estructura en concreto por medios

matriciales, incluyendo los efectos de un sismo, y el cual finaliza hallando las derivas del

estructura utilizando el mtodo de la fuerza horizontal equivalente.

En cada mdulo de este curso virtual se realiza un ejemplo detallado de cada proceso necesariopara la solucin de la estructura, cubriendo as todos los pasos que se requieren para hallar las

derivas de la estructura.


14/123


14

3. FUNDAMENTOS

El presente es un curso virtual multimedia de aprendizaje, por medio del cual y de forma interactiva

se conocern los conceptos bsicos del comportamiento dinmico de estructuras. El contenido se

encuentra divido en 14 mdulos, a travs de los cuales y de forma progresiva se ira introduciendo al

alumno por medio de explicaciones y ejemplos en los temas bsicos del anlisis dinmico de

estructuras.

Se desarrollara un ejemplo completo del anlisis de una estructura por el mtodo de la fuerza

horizontal equivalente, siguiendo los conceptos vistos en este curso virtual, prestando especial

atencin en la aplicacin de la Norma Colombiana de Construccin y Diseo Sismo Resistentes

(NSR98).

3.1 CONVENCIONES Y UNIDADES

Durante el desarrollo del presente curso virtual trabajaremos con el sistema internacional de

medidas (SI):

Unidades bsicas:Distancia : el metro (m)

Masa : el kilogramo (kg)

Tiempo : el segundo (s)

Unidades complementarias:

ngulo plano : el radian (rad)

Unidades derivadas:

Frecuencia : el hertz (Hz) 1Hz = 1s-1

Fuerza : el newton (N) 1N = 1kg*m/s2

Esfuerzo : el pascal (Pa) 1Pa = 1N/m2

Energa, trabajo: el julio (J) 1J = 1N*m


15/123


15

3.2 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

El anlisis de estructuras consiste en predecir el comportamiento de una estructura dada, es decir

hallar las deformaciones, fuerzas internas (axial, cortante, torsin y flexin) y reacciones en losapoyos para un conjunto de cargas (viva, muerta, sismo, viento, etc.) aplicadas.

3.2.1 Tipos de anlisis: Los tipos de anlisis de una estructura dependen del tipo de cargas que se

apliquen a est. Hablaremos de anlisis esttico cuando las cargas aplicadas sean de este carcter

(carga muerta, peso propio, cargas gravitacionales, carga viva, etc.). En el caso de aplicar cargas o

excitaciones de carcter dinmico (sismo, viento, etc.) las cuales provocan vibracin en la estructura

nos referiremos al anlisis dinmico.

3.2.2 Elementos estructurales: Para el presente curso consideraremos nicamente una estructura

tipo prtico, la cual consiste en vigas y columnas rgidas unidas por nudos indeformables y apoyos

completamente empotrados.

3.2.3 Fuerzas que actan sobre una estructura: Por razones prcticas y con el nimo de

introducir al estudiante en el mtodo mas usual de diseo se aplicaran las cargas de acuerdo con el

mtodo de la resistencia ltima segn el Capitulo B (cargas) de la Norma Colombiana de

Construccin y Diseo Sismo Resistentes (NSR98).

3.3 MODELO MATEMTICO

Un modelo matemtico es la representacin idealizada (numrica y aproximada) de una estructura

dada, en cual se involucran todos los factores que afectan a la misma (cargas, materiales,

dimensiones, forma, etc.).

Por medio de un modelo matemtico se puede realizar el estudio o anlisis de fenmenoscuantificables; Para realizar un modelo matemtico confiable es necesario reunir previamente toda

la informacin real que este disponible sobre el fenmeno a estudiar.


16/123


16

Durante el desarrollo del curso se construir el modelo matemtico de una estructura, iniciando por

un prtico plano, he involucrando todo los factores que se requieren para realizar en principio un

anlisis esttico y posteriormente un anlisis dinmico.

3.4 APOYOS Y RESTRICCIONES

Los apoyos representan las condiciones de borde de una estructura, esto es las restricciones a las

que esta sometido un nodo el cual es apoyo de la estructura.

Se dice que el apoyo es simple cuando este representa la restriccin a un desplazamiento en el

sentido contrario al elemento que apoya, generalmente se representa por un crculo en el caso de un

prtico plano, y una esfera en el caso de una estructura tridimensional. Un apoyo de segundo gradorepresenta la restriccin a movimientos tanto en el sentido contrario del elemento que apoya como

en el sentido perpendicular a el elemento, este tipo de apoyo se representa por un triangulo en el

caso de un prtico plano y por una pirmide en el caso de un estructura tridimensional. Un apoyo

fijo representa la restriccin total del nodo, es decir este no tiene la posibilidad de moverse en

ninguna direccin adems de restringir la posibilidad de que el elemento gire alrededor del nodo,

este es representado por una T invertida en el caso de un prtico plano y por una cruz en el caso de

una estructura tridimensional.

3.5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

Al aplicar una fuerza cualquiera sobre un elemento con un rea dada, podemos establecer una

relacin entre la fuerza y el rea del elemento, esta relacin por lo general esta dada por las fuerzas

internas de un elemento y el rea del plano sobre el cual acta la fuerza en el elemento, Este

cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano especific

(rea) que pasa por un punto1; Con base a esto podemos definir:

A

F (1) (Esfuerzo es igual a fuerza sobre rea)

1HIBBELER, R. C. Mecnica de materiales 3 Ed. Mxico : Pearson, 1998. p.22.


17/123


17

Donde representa el esfuerzo al que esta sometido el elemento en Pascales (Pa), Fes la fuerza

aplicada en Newtons (N), y Aes el rea del plano donde se aplica la fuerza en metros cuadrados

(m2).

Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo. sta tiende a cambiar la forma y tamao del cuerpo2, es

decir el cuerpo se deforma, o sufre una deformacin, la cual va en funcin al material de que esta

hecho el cuerpo, esta deformacin se puede medir y dado esto podemos definir la deformacin

promedio como:

L

Lp

(2) (Deformacin es igual al cambio de longitud sobre longitud inicial)

Donde pes la deformacin promedio de un elemento (adimensional), Les el cambio de longitud

del elemento medido en metros (m) y Les la longitud inicial del elemento dada en metros (m).

Ahora podemos concluir que una fuerza aplicada sobre un elemento causa esfuerzos y

deformaciones, las cuales podremos determinar realizando un anlisis estructural por medio de un

modelo matemtico, lo cual aprenderemos en este curso.

3.6 RIGIDEZ

Toda estructura al ser expuesta a una accin externa, bien sea esttica o dinmica, se deforma. La

relacin entre estas acciones externas y las deformaciones que se producen en la estructura se define

como rigidez3. En otras palabras La rigidez se refiere a la capacidad de una estructura para resistir

cambios de forma (por ejemplo, para resistir alargamiento, flexin o torsin)4.

3.6.1 Elasticidad:Cuando se realiza una ensayo de tensin sobre un materia (acero de refuerzo

normalmente), este tiene un comportamiento el cual se puede representar a travs de un diagrama

esfuerzo deformacin, en este diagrama se puede observar claramente dos comportamientos tpicos

2Ibid., p. 70.3MALDONADO, Esperanza. Y CHIO CHO, Gustavo. Anlisis Ssmico de Edificaciones. Bucaramanga :Ediciones U.I.S., 2004. p.8.4TIMOSHENCO, Stephen y GERE, James. Mecnica de materiales 4a Ed. Mxico : Thompson, 1998. p.43


18/123


18

en el material, el primero hace referencia al comportamiento elstico y el segundo al

comportamiento plstico del material. El comportamiento elstico se refiere a la capacidad del

material de retornar a su forma inicial despus de aplicada un fuerza (por ejemplo una banda de

caucho la cual se estira hasta el mximo y luego retorna a su forma inicial), el comportamientoplstico hace referencia a la deformacin permanente del material (por ejemplo al estirar un barra de

plastilina esta quedara deformada permanentemente).

La propiedad elstica de un material es la que nos interesa para nuestro curso, pues las teoras

tratadas a lo largo de este curso se basan en el rango elstico de los materiales, es decir solo se

consideran las relaciones lineales de los materiales. Aclarado esto aplicaremos la Ley de Hooke:

E (3) (El esfuerzo es proporcional al modulo de elasticidad por la deformacin)

Donde Ees el mdulo de elasticidad o mdulo de Young en Mega Pascales (Mpa), el cual solo es

aplicable cuando un material se mantiene en su rango elstico y sus deformaciones son lineales

(Comportamiento elstico-lineal).

3.6.2 Rigidez:Hace referencia a la relacin entre una fuerza externa aplicada sobre un elemento

elstico y el desplazamiento (deformacin lineal) causada por esta:

u

Fk (4) (La rigidez es igual a la fuerza aplicada sobre el desplazamiento causado por esta)

Donde k es la rigidez del elemento en Newton sobre metros (N/m), y u corresponde al

desplazamiento ocasionado por la fuerza en direccin de la misma medido en metros (m), este

desplazamiento use relaciona con el cambio de longitud Lde la ecuacin (2) as:

L = u u = L (5) (El desplazamiento es proporcional a la deformacin por la longitud)

Donde corresponde a la deformacin unitaria del elemento.


19/123


19

La rigidez puede tambin definirse como la fuerza que debe aplicarse al sistema para obtener una

deformacin unitaria en la misma direccin y sentido de la carga5.

3.6.3 Momento de Inercia: Es una propiedad geomtrica de un rea, tambin conocida comosegundo momento de un rea. Se recomienda hacer un repaso sobre los conceptos de propiedades

geomtricas de reas. Temas que se pueden consultar en cualquier libro de Mecnica Vectorial

(esttica) y resistencia de materiales.

Para el caso del presente curso utilizaremos el momento de inercia de un elemento de rea

rectangular:

3

121 BHI (6) (Inercia es igual a un doceavo de la base por la altura al cubo)

Donde Ies el momento de inercia del rea en metros a la cuatro (m4), Bes la base del y Hsu altura

ambas dimensiones en metros (m). Se ha debe tener en cuenta que tanto B como H se localizan

segn las coordenadas locales del elemento (tema que trataremos ms adelante).

3.7 MODELO ESTRUCTURAL

Se tiene una estructura en concreto reforzado de tres niveles, compuesta por cuatro prticos

numricos y tres prticos literales, la cual ocupa un rea de 128 m2. El primer nivel tiene una altura

de 3.00m y los dos restantes tienen una altura de 2.60m cada uno. Las columnas tienen una seccin

cuadrada de 30cm por 30cm (30 x 30) en concreto de 28Mpa, las vigas tienen una seccin

rectangular de 30cm de ancho por 40cm de altura (30 x 40), los entrepisos y la cubierta consisten en

una placa maciza de 20cm de espesor, tanto las vigas como las placas son en concreto de 21Mpa.

5GARCA REYES, Lus Enrique. Dinmica Estructural Aplicada al Diseo Ssmico. Bogot : Universidad delos Andes, 1998. p.9


20/123


20

Figura No.2 Planta estructural

Figura No.3 Prtico literal


21/123


21

Figura No.4 Prtico Numeral

Figura No.5 Modelo estructural


22/123


22

4. ANLISIS MATRICIAL

El anlisis matricial consiste en realizar un modelo matemtico de una estructura espacial (en tres

dimensiones) o un prtico plano, por medio de matrices de rigidez y flexibilidad, debido a que este

modelo matemtico se basa en la rigidez solo es aplicable a estructuras de un material el cual tenga

un comportamiento elstico y lineal.

Bsicamente los mtodos matriciales consisten en remplazar la estructura continua real por un

modelo matemtico de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en

forma matricial6.

4.1 OPERACIONES MATRICIALES

En el desarrollo de este modulo se requiere que el alumno entienda y domine el algebra matricial

tema que se podr consultar en cualquier libro de algebra lineal y anlisis estructural.

Para el presente mdulo y por razones prcticas las operaciones matemticas y matriciales se

realizaran por medio de software de distribucin gratuita:

1. Scilab version 4.0 for Windows (98/2000/XP) ( http://www.scilab.org) modelos matemticos

2. Calc 3D Pro for Windows version 2.1.5 ( http://www.calc3d.com) operaciones bsicas

Este software y sus manuales se incluidos dentro del modulo RECURSOS del presente curso, se

recomienda instalarlos y familiarizarse con su manejo. Este software no es exclusivo, el alumno esta

en libertad de realizar las operaciones matriciales y matemticas en un software de su preferencia

(hoja de calcul, mathlab u otros).

6URIBE ESCAMILLA, Jairo. Anlisis de estructuras 2 ed. Bogot : Editorial Escuela Colombiana deingeniera, 2002. p.414


23/123


23

4.2 SISTEMA DE COORDENADAS

Para una estructura y los elementos de que la componen, as como las fuerzas externas aplicadas

sobre ella, las fuerzas internas, deformaciones y dems propiedades y comportamientos; Se definendos sistemas de coordenadas.

4.2.1 Coordenadas globales:Contempla un sistema de coordenadas nico para la localizacin de

la totalidad la estructura: La ubicacin de los elementos dentro de ella (nodos y barras), la

localizacin de los puntos de aplicacin de las fuerzas externas y la localizacin de los puntos de

apoyo o restricciones de la estructura.

Figura No.6 Coordenadas globales

Cuando se habla de una estructura espacial, se considera que esta cualquiera que sea su

conformacin se puede localizar por medio de tres coordenadas (X,Y,Z), siendo (X,Y) el plano

sobre el cual se apoya la estructura y Z la variable que representa la altura sobre el plano (X,Y) de

cualquier punto de la estructura.


24/123


24

Cuando tratamos de un prtico plano se hace referencia uno de los planos: (X,Z) o (Y,Z).

Dependiendo como se encuentre orientado dentro de la estructura, continuando con filosofa de

mantener los ejes X e Y como los ejes sobre el cual se apoya el prtico, y Z la cota que

representa la altura de un punto con respecto al plano de apoyo.

4.2.2 Coordenadas locales:Dado de que una estructura esta compuesta bsicamente por un sistema

de nodos unidos por medio de barras, cuando extraemos o aislamos una barra de la estructura,

tenemos que en ese momento podemos expresar cualquier punto sobre la barra de manera local con

respecto a ella misma.

Figura No.7 Coordenadas locales

De esta forma podremos referirnos a las coordenadas locales como aquellas por medio de las cuales

expresaremos las propiedades y el comportamiento de un elemento de dentro de una estructura

(dimensiones, orientacin, fuerzas internas, desplazamientos, deformaciones, etc.).

Todo elemento dentro de una estructura esta de limitado por dos nodos, uno de salida o inicial que

llamaremos a y el otro de llagada o final que llamaremos b, todo elemento siempre estar

orientado longitudinalmente con los puntos a y b condicin de define la direccin del elemento;


25/123


25

Al trazar un recta de a a b por el centroide del elemento, encontraremos el eje principal del

elemento que llamaremos 1, sobre este eje podemos medir la fuerza axial del elemento. Al trazar

una perpendicular de ngulo positivo al eje 1, encontraremos el eje 2 sobre el cual es posible

medir fuerza cortante y deflexiones. El punto de interseccin de los ejes 1 y 2, es el punto departida del eje 3, el cual forma un sistema ortogonal con los ejes 1 y 2, en torno al eje 3 se

observan los momentos de flexin del elemento.

4.2.3 Transformacin de coordenadas:Teniendo en cuenta la configuracin geomtrica de una

estructura cualquiera, en esta tendremos elementos en diferentes direcciones y posiciones, ya sean

verticales, horizontales o inclinados.

Al realizar el modelo matemtico de dicha estructura, se hace necesario expresar estos elementos encualquiera de los sistemas de coordenadas, en principio expresaremos un elemento en sus

coordenadas locales para expresar sus propiedades geomtricas y mecnicas, pero al integrar este a

la estructura, existe la necesidad de expresar este elemento en coordenadas globales.

Partiendo del principio bsico que una estructura esta localizada por medio de un sistema de

coordenadas globales, es necesario transformar las coordenadas locales de los elementos, para

poderlos expresar en coordenadas globales cuando estos se ensamblan para conformar la estructura.

Tomando un elemento cualquiera el cual se encuentra inclinado con respecto al sistema de

coordenadas global un ngulo , es decir el eje local 1 del elemento forma un ngulo de valor

con respecto al eje global X, y el eje local 2 forma un ngulo de valor con el eje global

Y, y el eje local 3 tiene el mismo sentido que el eje global Z; y el cual se encuentra sometido

sometidos a fuerzas f en sus extremos las cuales coinciden con los ejes locales del elemento, y

considerando los desplazamientos u que causan las fuerzas.

Para este elemento es posible expresar las fuerzas f, como componentes de fuerzas F encoordenadas globales, con base a esto podemos expresar:

Fx = f1cos+ f2sen (7) (Fx es igual a la suma de las componentes de las fuerzas locales)

Fy = -f1sen+ f2cos (8) (Fy es igual a la suma de las componentes de las fuerzas locales)

Fz = f3 (9) (Fz es igual a la fuerza local f3)


26/123


26

Estas ecuaciones de transformacin las podemos representar matricialmente por medio de la matriz

[], en la cual consideraremos las ecuaciones de transformacin en ambos sentidos del elemento:

[] =

cos sen 0 0 0 0

-sen cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos sen 0

0 0 0 -sen cos 0

0 0 0 0 0 1

M1 matriz de transformacin de coordenadas

Donde es el ngulo recorrido desde eje local del elemento a el eje global, por lo general se toma

como el ngulo recorrido desde el eje local 1 hasta el eje global X.

4.3 GRADOS DE LIBERTAD

Cuando hablamos de grado de libertad, nos referimos a los posibilidad de moviendo que posee un

nodo asociado a un elemento; Este nodo referenciado a un sistema de coordenadas locales tienes

seis grados de libertad, la posibilidad de desplazamiento a lo largo de los ejes locales 1, 2 y 3y la

posibilidad de giro alrededor de los mismos ejes locales.


27/123


27

Figura No.8 Grados de libertad

Al referirnos a un prtico plano, asociamos los grados de libertad con relacin a las coordenadas

globales, para este caso solo existen tres grados de libertad, los desplazamientos sobre el plano de

referencia (x,z) o (y,z), y lo giros alrededor del eje perpendicular al plano sobre el cual nos estemos

refiriendo.

En el caso de un prtico espacial o tridimensional, se consideran seis grados de libertad, los

desplazamientos en cada uno de los ejes (x,y,z), y los giros sobre cada uno de los planos que

conforman estos ejes. Pero por razones practicas solo se considera el giro alrededor del eje z sobre

el plano (x,y).

4.4 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO

Con base a las deformaciones que sufre un elemento, sometido a diferentes tipos de esfuerzo y

teniendo en cuenta la rigidez solicitada segn cada deformacin es posible establecer una matriz de

rigidez del elemento.


28/123


28

Una matriz de rigidez es de orden 6x6 (seis filas por seis columnas), la cual esta compuesta por 4

sub-matrices de 3x3 (tres filas por tres columnas); Cada sub-matriz representa la rigidez del

elemento con respectos a sus extremos o nodos.

Figura No.9 Matriz de rigidez de un elemento

Si consideramos un elemento de longitud L, seccin A, momento de inercia I, de un material

con mdulo de elasticidad E, el cual inicia en el nodo i, y finaliza en nodo j (del nodo i al

j), podemos considerar que su matriz de rigidez [ke] de 6x6, esta conformada por cuatro matrices

[kn] de 3x3.

[ke] =[kii] [kij]

[kji] [kjj]

M2 matriz de rigidez de un elemento

[ke] : Matriz de rigidez del elemento de 6x6

[kii] : Sub-matriz de 3x3 que representa la rigidez del elemento con respecto al nodo de inicio i.

Posicin (1,1) (fila 1, columna 1)


29/123


29

[kij] : Sub-matriz de 3x3 que representa la rigidez del elemento del nudo i al nodo j. Posicin

(1,2) (fila 1, columna 2)

[kji] : Sub-matriz de 3x3 que representa la rigidez del elemento del nudo j al nodo i. Posicin(2,1) (fila 2, columna 1)

[kjj] : Sub-matriz de 3x3 que representa la rigidez del elemento con respecto al nodo final j.

Posicin (2,2) (fila 2, columna 2)

4.4.1 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales: Para poder lograr la elaboracin

de un matriz de rigidez de un elemento, es necesario establecer vnculos entre las fuerzas aplicadas

en los extremos del elemento y los desplazamientos que estas causan, este vnculo es posiblelograrlo asumiendo desplazamientos unitarios en una direccin y restringiendo los desplazamientos

en las otras direcciones, y de esta forma hallar cada uno de los trminos que van a constituir nuestra

matriz de rigidez.

Mediante esta metodologa y aplicando el mtodo ngulos de giro y deflexin es posible hallar

todos los trminos de la matriz de rigidez de un elemento, (Se recomienda consultar el Captulo 8

del libro Dinmica Estructural Aplicada al diseo ssmico, de Lus Enrique Garca Reyes) donde se

detalla este procedimiento. Como resultado tendremos la siguiente matriz de rigidez de un elementoen coordenadas locales:

[ke]=

AEL

0 0-AEL

0 0

012EI

L3

6EIL

2

0-12EI

L3

6EIL

2

06EIL

2

4EIL

0-6EIL

2

2EIL

-AEL

0 0AE

L0 0

0

-12EI

L3

-6EI

L2 0

12EI

L3

-6EI

L2

06EIL

2

2EIL

0-6EIL

2

4EIL

M3 matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales

Ahora si expresamos la ecuacin (4) en trminos matriciales para un elemento tenemos:


30/123


30

{f}=[ke]*{u} (10) (El vector de fuerzas es igual a la matriz de rigidez por el vector de desplazamientos)

Donde {F} corresponde al vector de fuerzas aplicadas el cual es de orden 6x1 (Seis filas por unacolumna) y {u} es el vector de desplazamientos de orden 6x1 causados por las fuerzas. Esta

ecuacin representa un sistema de ecuaciones simultneas, el cual tiene la siguiente solucin para

hallar los desplazamientos:

{u}=[ke]-1 * {f} (11) (El vector de desplazamientos es igual a la matriz inversa de rigidez por el vector de fuerzas)

En los problemas tpicos de estructuras tenemos conocimiento de las cargas aplicadas y las

propiedades de los elementos, solo nos resta aplicar la ecuacin (8) para hallar los desplazamientos.

Pero esta solucin solo es validad para condiciones de cargas estticas.

Ahora podremos representar el sistema matricial de un elemento en coordenadas locales asociado a

las fuerzas aplicadas y los desplazamientos causados:

fi1

=

AE

L 0 0

-AE

L 0 0

*

ui1

fi2 012EI

L3

6EIL

2

0-12EI

L3

6EIL

2

ui2

fi3 06EIL

2

4EIL

0-6EIL

2

2EIL

ui3

fj1-AEL

0 0AE

L0 0 uj1

fj2 0-12EI

L3

-6EIL

2

012EI

L3

-6EIL

2

uj2

fj3 06EIL

2

2EIL

0-6EIL

2

4EIL

uj3

S1 sistema matricial para anlisis esttico de un elemento en coordenadas globales

El subndice i corresponde al nodo inicial del elemento, el subndice j corresponde al nodo final

del elemento, estos dos nodos definen el sentido del elemento y por tanto la direccin de los ejes

locales 1, 2 Y 3


31/123


31

4.4.2 Ejemplos matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales:

Del modelo estructural tenemos dos elementos tipo columnas (0.30 x 030 x 3.00) y (0.30 x 0.30 x

2.60). Y tres elementos tipo viga (0.30 x 0.40 x 4.00), (0.30 x 0.40 x 5.00) y (0.30 x 0.40 x 6.00)

Ejemplo 01: Desarrollamos paso a paso el procedimiento para hallar la matriz de rigidez [ke] en

coordenadas locales del elemento tipo columna (0.30 x 0.30 x 3.00) del modelo estructural:

Como se trata de la matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales, no nos interesa la

ubicacin del elemento dentro de la estructura, ni tampoco el sentido del elemento.

Primero definimos las propiedades del elemento

b = 0.30m, h = 0.30m, L = 3.00m, fc = 28Mpa

A = b * h A = 0.30m * 0.30m = 0.09m2

3

12

1bhI 3)30.0(*)30.0(

12

1mmI = 0.000675m4

cfE '3900 283900E = 20636.86Mpa

Segundo hallamos los valores de cada casilla de la matriz M3, de la forma k(fila)(columna)

Primera fila:

m

MPam

L

AEk

00.3

86.20636*09.0 211 619.11Mpa*m = 619.11MN/m

(Sabiendo que 1Pa = 1 N/m21Mpa = 1MN/m21Mpa*m = 1(MN/m2)*m = 1MN/m)

k12y k13= 0

k14= -k11= -619.11MN/m

k15y k16= 0

Segunda fila:

k21=0

3

4

322 )00.3(

0.000675m*86.20636*1212

m

MPa

L

EIk 6.19Mpa*m = 6.19MN/m


32/123


32

2

4

223 )00.3(

0.000675m*86.20636*66

m

MPa

L

EIk 9.29Mpa*m2= 9.29MN/m2

k24= 0

k25= -k22= -6.19MN/mk26= k23= 9.29MN/m

2

Tercera fila:

k31= 0

k32= k23= 9.29MN/m2

m

MPa

L

EIk

00.3

0.000675m*86.20636*44 433 18.57Mpa*m

3 = 111.44MN/m3

k34= 0k35= -k32= -9.29MN/m

2

m

MPa

L

EIk

00.3

0.00405m*86.20636*22 436 9.29Mpa*m

3= 55.72MN/m3

Cuarta fila

k41= -k11= -619.11MN/m

k42y k43= 0

k44= k11= 619.11MN/mk45y k46= 0

Quinta fila

k51= 0

k52= -k22= -6.19MN/m

k53= -k23= -9.29MN/m2

k54= 0

k55= k22= 6.19MN/mk56= k53= -9.29MN/m

2

Sexta fila

k61= 0


33/123


33

k62= k32= 9.29MN/m2

k63= k36= 9.29MN/m3

k64= 0

k65= k35= -9.29MN/m2

k66= k33= 18.57MN/m

3

Una vez hallados los trminos los ubicamos en su respectiva posicin en la matriz de rigidez del

elemento:

[ke]=

619.11 0 0 -619.11 0 0 MN/m0 6.19 9.29 0 -6.19 9.29 MN/m0 9.29 18.57 0 -9.29 9.29 MN*m/rad

-619.11 0 0 619.11 0 0 MN/m0 -6.19 -9.29 0 6.19 -9.29 MN/m0 9.29 9.29 0 -9.29 18.57 MN*m/rad

Ejemplo 02: Desarrollamos paso a paso el procedimiento por medio de la aplicacin scilab para

hallar la matriz de rigidez [ke] en coordenadas locales del elemento tipo viga (0.30 x 0.40 x 6.00)

del modelo estructural:

//Viga (0.30x0.40x6.00)

// Propiedadesb=0.30h=0.40A=b*hI=(1/12)*b*(h^3)fc=21E=3900*sqrt(fc)L=6.00//Primera filak11=(A*E)/Lk12=0k13=0k14=-(A*E)/L

k15=0k16=0//Segunda filak21=0k22=(12*E*I)/(L^3)k23=(6*E*I)/(L^2)k24=0k25=-(12*E*I)/(L^3)k26=(6*E*I)/(L^2)


34/123


34

//Tercera filak31=0k32=(6*E*I)/(L^2)k33=(4*E*I)/Lk34=0

k35=-(6*E*I)/(L^2)k36=(2*E*I)/L//Cuarta filak41=-(A*E)/Lk42=0k43=0k44=(A*E)/Lk45=0k46=0//Quinta filak51=0k52=-(12*E*I)/(L^3)k53=-(6*E*I)/(L^2)k54=0k55=(12*E*I)/(L^3)k56=-(6*E*I)/(L^2)//Sexta filak61=0k62=(6*E*I)/(L^2)k63=(2*E*I)/Lk64=0k65=-(6*E*I)/(L^2)k66=(4*E*I)/L//Matriz de rigidezke=[k11 k12 k13 k14 k15 k16k21 k22 k23 k24 k25 k26k31 k32 k33 k34 k35 k36

k41 k42 k43 k44 k45 k46k51 k52 k53 k54 k55 k56k61 k62 k63 k64 k65 k66]

Al ejecutar el programa hallamos la matriz de rigidez:

[ke]=

357.44 0 0 -357.44 0 0 MN/m0 1.59 4.77 0 -1.59 4.77 MN/m0 4.77 19.06 0 -4.77 9.53 MN*m/rad

-357.44 0 0 357.44 0 0 MN/m0 -1.59 -4.77 0 1.59 -4.77 MN/m

0 4.77 9.53 0 -4.77 19.06 MN*m/rad

Actividad 01: Hallar la matriz de rigidez en coordenadas locales de los elementos restantes.

4.4.3 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales: Los elementos de una

estructura se deben referir a un mismo sistema de coordenadas para sus correcto anlisis, pues en


35/123


35

una estructura hay tantos ejes locales como elementos, estos elementos que para una estructura

normal tienden a ser tpicos (un elemento se repite varias veces dentro de la misma estructura) tanto

para representar vigas como para representar columnas. Por esta y otras razones prcticas es

conveniente expresar todos los elementos de una estructura en coordenadas globales, adems que eneste sistema de coordenadas se encuentran las cargas que aplicaremos a la estructura.

Con esto presente debemos establecer un sistema de fuerzas F, rigidez K y desplazamientos

U, todos en coordenadas globales, para llegar a este sistema seguiremos unas operaciones

matriciales adecuadas:

{F} = [] {f} (12) (El vector de fuerzas en coordenadas globales es igual a la matriz de

transformacin por el vector de fuerzas en coordenadas locales)

[K] = [] [ke] []T (13) (La matriz de rigidez en coordenadas globales es igual a la matriz de

transformacin por la matriz de rigidez en coordenadas locales, por la transpuesta

de la matriz de transformacin)

{F} = [K] {U} (14) (Sistema de rigidez anlogo a la ecuacin (10), pero en coordenadas globales)

De esta forma llegamos a la matriz de rigidez para un elemento en coordenadas globales:

[K]=

c +12s sc(12-) 6Ls -c -12s sc(-12) 6Lssc(12-) s +12c 6Lc sc(-12) -s -12c 6Lc

6Ls 6Lc 4L -6Ls -6Lc 2L

-c -12s sc(-12) -6Ls c +12s sc(12-) -6Ls sc(-12) -s -12c -6Lc sc(12-) s +12c -6Lc 6Ls 6Lc 2L -6Ls -6Lc 4L

M4 matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales

Donde:

3LEI (15) (El factor es igual al del mdulo de elasticidad por la inercia sobre la longitud del

elemento al cubo)


36/123


36

I

AL2

(16) (El factor es igual al rea por la longitud del elemento al cuadrado sobre la inercia)

s = sen, c = cos

es el Angulo del eje local 1 a el eje global X

4.4.4 Ejemplos matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales:

Ejemplo 03: Realizamos los pasos necesario para hallar la matriz de rigidez [Ke] en coordenadas

globales del elemento tipo columna (0.30 x 0.30 x 3.00) del modelo estructural.

Antes de realizar la matriz de un elemento en coordenadas globales, debemos definir la direccin

del eje local del elemento y la posicin de este con respecto al sistema de coordenadas global, de

forma tal que podamos definir el ngulo entre el eje local del elemento y el eje global

correspondiente.

Figura No.10 Ejes locales


37/123


37

En la figura No.10 se definen los ejes locales 1 de los elementos y su sentido, los cuales estn

contenidos en el plano XZ.

Figura No.11 ngulos ejes locales

Es buena prctica orientar los ejes locales de los elementos de izquierda a derecha, y de arriba a

bajo, el ngulo siempre se mide del eje local al eje global como se muestra en figura No.11.

Luego de definir la orientacin de los ejes locales y hallar los ngulos, procedemos a hallar las

propiedades del elemento.

= 90, b = 0.30m, h = 0.30m, L = 3.00m, fc = 28Mpa

A = b * h A = 0.30m * 0.30m = 0.09m2

3

12

1

bhI 3

)30.0(*)30.0(12

1

mmI = 0.000675m4

cfE '3900 283900E = 20636.86Mpa

Halladas las propiedades del elemento, calculamos las variables de la matriz:


38/123


38

34

3 00.3

000675.0*86.20636

m

mMPa

L

EI =0.52Mpa*m = 0.52MN/m

4

222

000675.

00.3*09.0

m

mm

I

AL 1200

s = seno() = seno(90) = 1

c = coseno() = coseno(90) = 0

Luego hallamos los valores de cada casilla de la matriz M4, de la forma k(fila)(columna)

k11= c2+ 12s2 = 12.00

k12= sc(12 ) = 0.00

k13= 6Ls = 18.00

k14= -c2 12s2 = -12.00

k15= sc( 12) = 0.00

k16= k13 = 18.00

k21= k12 = 0.00

k22= s2+ 12c2 = 1200

k23= 6Lc = 0.00

k24= k15 = 0.00k25= -s2 12c2 = -1200

k26= k23 = 0.00

k31= k13 = 18.00

k32= k23 = 0.00

k33= 4L2 = 36.00

k34= -6Ls = -18.00

k35= -6Lc = 0.00k36= 2L

2 = 18.00

k41= k14 = -12.00

k42= k15 = 0.00


39/123


39

k43= k34 = -18.00

k44= k11 = 12.00

k45= k12 = 0.00

k46= k43 = -18.00

k51= k15 = 0.00

k52= k25 = -12.00

k53= k35 = 0.00

k54= k12 = 0.00

k55= k22 = 12.00

k56= k53 = 0.00

k61= k13 = 18.00

k62= k23 = 0.00

k63= k36 = 18.00

k64= k34 = -18.00

k65= k35 = 0.00

k66= k33 = 36.00

[Ke]= 0.52

12 0 18 -12 0 18 MN/m0 1200 0 0 -1200 0 MN/m18 0 36 -18 0 18 MN*m/rad

-12 0 -18 12 0 -18 MN/m0 -1200 0 0 1200 0 MN/m18 0 18 -18 0 36 MN*m/rad

Al comparar la matriz del ejemplo 01, vemos que es diferente a la matriz del ejemplo 03, teniendo

en cuenta que se trata del mismo elemento.

Ejemplo 04: Desarrollamos paso a pso el procedimiento por medio de la aplicacin scilab para

hallar la matriz de rigidez [Ke] en coordenadas globales del elemento tipo viga (0.30 x 0.40 x 6.00)

del modelo estructural:


40/123


40

//Viga tipo 3 Coordenadas globales

// Propiedades

alfa=0

b=0.30

h=0.40

A=b*h

I=(1/12)*b*(h^3)

fc=21

E=3900*sqrt(fc)

L=6.00

ro=(E*I)/(L^3)

bta=(A*(L^2))/I

s=0

c=1

//Primera fila

k11=(bta*(c^2))+(12*(s^2))

k12=s*c*(12-bta)

k13=6*L*s

k14=-(bta*(c^2))-(12*(s^2))

k15=s*c*(bta-12)

k16=6*L*s

//Segunda filak21=s*c*(12-bta)

k22=(bta*(s^2))+(12*(c^2))

k23=6*L*c

k24=s*c*(bta-12)

k25=-(bta*(s^2))-(12*(c^2))

k26=6*L*c

//Tercera fila

k31=6*L*s

k32=6*L*ck33=4*(L^2)

k34=-6*L*s

k35=-6*L*c

k36=2*(L^2)

//Cuarta fila


41/123


41

k41=-(bta*(c^2))-(12*(s^2))

k42=s*c*(bta-12)

k43=-6*L*s

k44=(bta*(c^2))+(12*(s^2))

k45=s*c*(12-bta)

k46=-6*L*s

//Quinta fila

k51=s*c*(bta-12)

k52=-(bta*(s^2))-(12*(c^2))

k53=-6*L*c

k54=s*c*(12-bta)

k55=(bta*(s^2))+(12*(c^2))

k56=-6*L*c

//Sexta fila

k61=6*L*s

k62=6*L*c

k63=2*(L^2)

k64=-6*L*s

k65=-6*L*c

k66=4*(L^2)

//Matriz de rigidez

Ke=[k11 k12 k13 k14 k15 k16k21 k22 k23 k24 k25 k26

k31 k32 k33 k34 k35 k36

k41 k42 k43 k44 k45 k46

k51 k52 k53 k54 k55 k56

k61 k62 k63 k64 k65 k66]

[Ke]= 0.13

2700 0 0 -2700 0 0 MN/m0 12 36 0 -12 36 MN/m0 36 144 0 -36 72 MN*m/rad

-2700 0 -0 2700 0 0 MN/m0 -12 -36 0 12 -36 MN/m0 36 72 0 -36 144 MN*m/rad

Actividad 02: Hallar la matriz de rigidez en coordenadas globales de los elementos restantes.


42/123


42

4.5 ENSAMBLAJE DE UN PRTICO PLANO

Un prtico plano esta compuesto por una serie de elementos (vigas y columnas) unidos en sus

extremos por nodos en comn segn la disposicin del prtico. El ensamblaje consiste en tomar lamatriz de rigidez en coordenadas globales, y ubicar cada una de sus sub-matrices en le nodo

correspondiente a la matriz de rigidez total del prtico.

4.5.1 Numeracin de nodos:Los nodos son los puntos en donde inician y/o finalizan elementos,

tambin sobre estos se representan las condiciones de borde de la estructura (restricciones). Una

metodologa sencilla con el fin de simplificar el proceso de ensamblado del prtico es numerar los

puntos en un orden especfico, de tal forma sean fcilmente identificables los grados de libertad.

Esta numeracin es recomendable realizarla en sentido izquierda a derecha y de arriba abajo,empezando por el nodo superior izquierdo.

4.5.2 Numeracin de elementos:Los elementos del tipo de prtico que estamos considerando para

este curso son vigas y columnas, entendiendo las vigas como elementos horizontales y las columnas

como elementos verticales.

Siendo consecuentes con la metodologa para numeracin de nodos, seguiremos el mismo

procedimiento para el numerado de los elementos, iniciando por las vigas desde la superiorizquierda, hasta la inferior derecha, y luego seguimos numerando las columnas de forma

consecutiva y bajo los mismos criterios.

4.5.3 Ensamblaje de la matriz de rigidez: Despus de realizar la numeracin de los elementos

podremos identificar dentro del prtico cualquier elemento de nombre n, el cual inicia en el nodo

i y finaliza en el nodo j.

Como paso siguiente se debe elaborar una matriz cuadrada, cuyo orden lo dicta la cantidad de nodosdel prtico, en otras palabras si hay m nodos, se debe realizar un matriz de orden (m * m), donde las

columnas de izquierda a derecha representan los nodos del 1 al m, los cuales tambin estn

representados en la filas de arriba abajo.


43/123


43

Ahora debemos identificar en nuestra matriz de rigidez en coordenadas globales de cada elemento

cual de sus sub-matrices aporta su rigidez a que nodo; En los nodos donde inician y/o terminan

varios elementos se debe sumar la rigidez que aporta cada sub-matriz de cada elemento.

Figura No.12 Ensamblaje prtico

Aplicados correcta y ordenadamente estos procedimientos hallaremos la matriz de rigidez de un

prtico plano:

1 2 .. .. .. m

[Kp] =

.. .. .. .. .. .. 1

.. [Kaaa] .. [K

abb] .. .. 2

.. .. .. .. .. .. ..

.. [Kaba] .. [K

abb] .. .. ..

.. .. .. .. [Kbaa]+ [K

cbb] .. ..

.. .. .. .. .. .. m

M5 ensamblaje matriz de rigidez de un prtico plano

4.5.4 Apoyos en la estructura: Para la matriz M5 se deben definir las restricciones de los apoyos.

Debemos tener en cuenta que cada nodo de un prtico plano tiene tres grados de libertad, esto

indica que para la matriz M5, cada columna y cada fila representa tres grados de libertad.


44/123


44

Considerando el prtico empotrado, es evidente que cada apoyo tiene tres restricciones; Por lo tanto

para introducir las restricciones de los apoyos debemos eliminar de la matriz M5 las filas y

columnas correspondientes a los nodos empotrados.

4.5.5 Ejemplo ensamblaje de un prtico plano

Ejemplo 05: Realizar el ensamblaje del prtico plano:

Copia Figura No.13 Prtico Numeral

Este prtico esta compuesto por dos luces de 4.00m, con vigas de (30 x 40) en concreto de 21Mpa.

Y tres niveles, la altura del primer nivel es de 3.00m y los otros dos son de 2.60m de altura, todas

las columnas son de (30 x 30) en concreto de 28Mpa.

1. Elementos: Como primer paso debemos realizar la matriz de rigidez en coordenadas globales de

todos los elementos, identificando en cada matriz la submatrices que reflejan el comportamiento de

cada elemento con respecto a sus extremos.

Para este prtico tenemos vigas tipo de (0.30 x 0.40 x 4.00) cuya matriz de rigidez llamaremos Kv4,

tambin tenemos columnas tipo de (0.30 x 0.30 x 3.00) cuya matriz de rigidez llamaremos Kc3, y


45/123


45

por ltimo tememos columnas tipo de (0.30 x 0.30 x 2.60) cuya matriz de rigidez llamaremos Kc2.

Con procedimientos seguidos en el ejemplo 04 tenemos:

[kv4aa] [kv4ab]

[Kv4]=

536.16 0 0 -536.16 0 0 MN/m0 5.36 10.72 0 -5.36 10.72 MN/m0 10.72 28.60 0 -10.72 14.30 MN*m/rad

-536.16 0 0 536.16 0 0 MN/m0 -5.36 -10.72 0 5.36 -10.72 MN/m0 10.72 14.30 0 -10.72 28.60 MN*m/rad

[kv4ba] [kv4bb]

[kc3ii] [kc3ij]

[Kc3]=

6.19 0 9.29 -6.19 0 9.29 MN/m0 619.11 0 0 -619.11 0 MN/m

9.29 0 18.57 -9.29 0 9 .29 MN*m/rad-6.19 0 -9.29 6.19 0 -9.29 MN/m

0 -619.11 0 0 619.11 0 MN/m9.29 0 9.29 -9.29 0 18.57 MN*m/rad

[kc3ji] [kc3jj]

Kc2aa] [kc2ab]

[Kc2]=

9.51 0 12.36 -9.51 0 12.36 MN/m0 714.35 0 0 -714.35 0 MN/m

12.36 0 21.43 -12.36 0 10.72 MN*m/rad

-9.51 0 -12.36 9.51 0 -12.36 MN/m0 -714.35 0 0 714.35 0 MN/m

12.36 0 10.72 -12.36 0 21.43 MN*m/rad

[kc2ba] [kc2bb]


46/123


46

2. Numeracin de nodos y elementos

Figura No.14 Numeracin de nodos y elementos

Numerados los nodos observamos que en total son 12 nodos para este prtico, tambin observamos

que los elementos tipo viga numerados del 1 al 6 su rigidez est representada por la matriz Kv4, los

elementos del 7 al 12 su rigidez se representa por medio de la matriz Kc2 y los elementos

numerados del 13 al 15 su rigidez esta representada por la matriz kc3. Debemos prestar especial

atencin a los nudos 10, 11 y 12, pues estos representan las apoyos del prtico. No sobra anotar que

cada elemento tiene un nodo inicial y un nodo final, y debido al sentido como se numero cada

elemento va del nodo menor al mayor ( i j)

3. Ensamblaje del prtico: Debemos realizar una matriz cuadrada cuyo orden corresponde al

nmero de nodos del prtico, y sobre esta matriz ubicamos las submatrices correspondientes a cada

nodo.

Observando la figura No.7 podemos ver que en el nudo (1) empieza el elemento [1] y [7], por lo

tanto a la casilla [1,1] le corresponde la suma de las submatrices [Kv4aa]+[Kc2aa], tambin se puede

observar que elemento [1] se dirige del nodo (1) a el nodo (2) razn por la cual a la casilla [1,2]

lleva la submatriz [Kv4ab], y como el elemento [7] inicia en el nodo (1) y finaliza en el nodo (4) la


47/123


47

casilla [1,4] contiene la submatriz [Kc2ab]. Las dems casillas de la fila 1 no tienen valores

asociados debido a que no hay ms elementos que inicien o finalicen en el nodo (1).

De forma similar llenamos las casillas de la fila 2, por comodidad empecemos con la casilla [2,2],del nodo dos salen los elementos [2] [Kv4aa] y [8] [Kc2aa] y llega el elemento [1] [Kv4bb] por lo

tanto en esta casilla esta compuesta por [Kv4aa]+[Kc2aa]+[Kv4bb]. Ahora observemos que el nodo

(2) esta asociado con el nodo (1) por medio del elemento [1] por lo que en la casilla [2,1] contiene

[Kv4ba]. Bajo el mismo concepto tenemos en la casilla [2,3] [Kv4ab], en la casilla [2,5] [Kc2ab].

Este proceso se repite en todos los nodos bajo el mismo concepto hasta completar el ensamblaje de

la matriz de rigidez del prtico.

Una vez ensamblado el prtico debemos incluir en esta matriz las restricciones por los apoyos,

debido a que los apoyos del este prtico son totalmente empotrados, basta con eliminar las filas y

columnas correspondientes a los nodos de los apoyos, es decir eliminar las filas y columnas 10, 11 y

12.

Como resultado tendremos una matriz de (9x9) correspondiente al ensamblaje del prtico, pero se

debe tener en cuenta que cada sub-matriz que aporta su rigidez al nudo es de (3x3), esto quiere decir

que al realizar las operaciones matriciales del prtico ensamblado con su valores correspondientesllegaremos a una matriz de (27x27).


48/123


48

1 2 3 4 5 6 7 8 9

[Kv4ii]+[Kc2ii] [Kv4ij] [Kc2ij]

[Kv4ji][Kv4ii]+[Kc2ii]

+[Kv4jj][Kv4ij] [Kc2ij]

[Kv4ji] [Kv4jj]+[Kc2ii] [Kc2ij]

[Kc2ji][Kc2jj]+[Kv4ii]

+[Kc2ii][Kv4ij] [Kc2ij]

[Kc2ji] [Kv4ji]

[Kc2jj]+[Kv4jj]

+[Kv4ii]

+[Kc2ii]

[Kv4ij] [Kc2ij]

[Kc2ji] [Kv4ji][Kc2jj]+[Kv4jj]

+[Kc2ii][Kc2ij]

[Kc2ji][Kc2jj]+[Kv4ii]

+[Kc3ii][Kv4ij]

[Kc2ji] [Kv4ji]

[Kc2jj]+[Kv4jj]

+[Kv4ii]

+[Kc3ii]

[Kv4ij]

[Kc2ji] [Kv4ji][Kc2jj]+[Kv4jj]

+[Kc3ii]

[Kc3ji]

[Kc3ji]

[Kc3ji]

Matriz de ensamblaje del prtico.


49/123


49

1 2 3 4 5 6 7

[Kv4ii]+[Kc2ii] [Kv4ij] [Kc2ij]

[Kv4ji] [Kv4ii]+[Kc2ii]+[Kv4jj] [Kv4ij] [Kc2ij]

[Kv4ji] [Kv4jj]+[Kc2ii] [Kc2ij]

[Kc2ji] [Kc2jj]+[Kv4ii]+[Kc2ii] [Kv4ij] [Kc2ij]

[Kc2ji] [Kv4ji][Kc2jj]+[Kv4jj]+[Kv4ii]

+[Kc2ii][Kv4ij]

[Kc2ji] [Kv4ji] [Kc2jj]+[Kv4jj]+[Kc2ii]

[Kc2ji] [Kc2jj]+[Kv4ii]+[Kc3ii]

[Kc2ji] [Kv4ji][Kc

[Kc2ji]

Matriz de ensamblaje del prtico incluyendo restriccin de los apoyos.


50/123


50

1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

545.67 0.00 12.36 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 10.00 719.71 10.72 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35

12.36 10.72 50.03 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 1

-536.16 0.00 0.00 1081.83 0.00 12.36 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 -5.36 -10.72 0.00 725.08 0.00 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00

0.00 10.72 14.30 12.36 0.00 78.62 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 545.67 0.00 12.36 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 719.71 -10.72 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 12.36 -10.72 50.03 0.00 0.00

-9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 555.18 0.00

0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1434.07 1

12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 7

0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -1

0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 1

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.72 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -1

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 1

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Matriz prtico ensamblado incluyendo restriccin de los apoyos (parcial).


51/123


51

6 7 8 9

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

-9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

-12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

-536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 0.00 0.0

0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.0

0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 0.00 0.0

555.18 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.0

0.00 1434.07 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.3

0.00 -10.72 71.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.0

0.00 0.00 0.00 551.86 0.00 -3.08 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 1338.82 10.72 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 -3.08 10.72 68.60 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 1088.02 0.00 -3.08 -536.16 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 1344.18 0.00 0.00 -5.3

0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 -3.08 0.00 97.19 0.00 -10.7

-9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 551.86 0.0

0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 1338.8

12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 -3.08 -10.7

viene

Matriz prtico ensamblado incluyendo restriccin de los apoyos (parcial).


52/123


52

Para llegar a la matriz anterior se introdujo en la aplicacin scilab:

//Ensamblaje prtico

//fila 1

kp11=kv4ii+kc2ii

kp12=kv4ij

kp13=zeros(3,3)

kp14=kc2ij

kp15=zeros(3,3)

kp16=zeros(3,3)

kp17=zeros(3,3)

kp18=zeros(3,3)

kp19=zeros(3,3)

//fila 2kp21=kv4ji

kp22=kv4ii+kc2ii+kv4jj

kp23=kv4ij

kp24=zeros(3,3)

kp25=kc2ij

kp26=zeros(3,3)

kp27=zeros(3,3)

kp28=zeros(3,3)

kp29=zeros(3,3)//fila 3

kp31=zeros(3,3)

kp32=kv4ji

kp33=kv4jj+kc2ii

kp34=zeros(3,3)

kp35=zeros(3,3)

kp36=kc2ij

kp37=zeros(3,3)

kp38=zeros(3,3)kp39=zeros(3,3)

//fila 4

kp41=kc2ji

kp42=zeros(3,3)

kp43=zeros(3,3)


53/123


53

kp44=kc2jj+kv4ii+kc2ii

kp45=kv4ij

kp46=zeros(3,3)

kp47=kc2ij

kp48=zeros(3,3)

kp49=zeros(3,3)

//fila 5

kp51=zeros(3,3)

kp52=kc2ji

kp53=zeros(3,3)

kp54=kv4ji

kp55=kc2jj+kv4jj+kv4ii+kc2ii

kp56=kv4ij

kp57=zeros(3,3)

kp58=kc2ij

kp59=zeros(3,3)

//fila 6

kp61=zeros(3,3)

kp62=zeros(3,3)

kp63=kc2ji

kp64=zeros(3,3)

kp65=kv4jikp66=kc2jj+kv4jj+kc2ii

kp67=zeros(3,3)

kp68=zeros(3,3)

kp69=kc2ij

//fila 7

kp71=zeros(3,3)

kp72=zeros(3,3)

kp73=zeros(3,3)

kp74=kc2jikp75=zeros(3,3)

kp76=zeros(3,3)

kp77=kc2jj+kv4ii+kc3ii

kp78=kv4ij

kp79=zeros(3,3)


54/123


54

//fila 8

kp81=zeros(3,3)

kp82=zeros(3,3)

kp83=zeros(3,3)

kp84=zeros(3,3)

kp85=kc2ji

kp86=zeros(3,3)

kp87=kv4ji

kp88=kc2jj+kv4jj+kv4ii+kc3ii

kp89=kv4ij

//fila 9

kp91=zeros(3,3)

kp92=zeros(3,3)

kp93=zeros(3,3)

kp94=zeros(3,3)

kp95=zeros(3,3)

kp96=kc2ji

kp97=zeros(3,3)

kp98=kv4ji

kp99=kc2jj+kv4jj+kc3ii

//matriz rigidez portico

KPN=[kp11 kp12 kp13 kp14 kp15 kp16 kp17 kp18 kp19kp21 kp22 kp23 kp24 kp25 kp26 kp27 kp28 kp29

kp31 kp32 kp33 kp34 kp35 kp36 kp37 kp38 kp39






kp91 kp92 kp93 kp94 kp95 kp96 kp97 kp98 kp99]

Actividad 03: Realizar el ensamblaje del prtico literal, teniendo en cuenta las restricciones de

los apoyos.


55/123


55

4.6 ANLISIS ESTTICO (MTODO DE LA RIGIDEZ)

Expresando matricialmente la ecuacin (14) {F} = [K] {U}, pero entendiendo que adecuada para el

prtico:

{Fp} = [Kp] {Up} (17) (Sistema de ecuaciones mltiples de un prtico plano)

Donde{Fp} es el vector de fuerzas estticas aplicadas en los nodos, [Kp] el la matriz de rigidez del

prtico plano y {Up} es el vector de desplazamientos causados por las fuerzas. Una vez hallados los

desplazamientos solucionando el sistema lineal, es posible hallar las reacciones de la estructura y las

fuerzas en los elementos.

Se debe tener en cuenta que para los nodos correspondientes a los apoyos de la estructura, los

desplazamientos son nulos (iguales a cero), razn por la cual las filas en el vector {Fp}

correspondientes a los apoyos de la estructura en la matriz M5 representan las reacciones en los

apoyos por lo tanto:

{Rp} = [KRp] {Up} (18) (Sistema de ecuaciones mltiples para los apoyos de un prtico plano)

Donde{Rp} es el vector que representa las reacciones en los apoyos, [KRp] el la matriz de rigidez de

los nodos que representan los apoyos.

Con los desplazamientos {Up}, encontrados como solucin para la ecuacin (18) es posible hallar

las fuerzas en los elementos aplicando la ecuacin (14).

4.7 IGUALACIN Y REDUCCIN DE GRADOS DE LIBERTAD

La igualacin de grados de libertad corresponde al proceso en el cual se realiza un anlisis de

evaluacin de la estructura; por ejemplo si pensamos en el concepto de prtico, es fcil asociar que

dos o ms nodos de un mismo nivel, sobre el mismo grado de libertad tendrn el mismo

desplazamiento, por lo tanto es correcto y adecuado expresar todos estos nodos en funcin de un

solo grado de libertad. Al considerar que el nodo inicial y final de un elemento tienen el mismo

desplazamiento, estamos asumiendo el elemento como infinitamente rgido axialmente, esto quiere


56/123


56

decir que las deformaciones axiales del elemento son tan pequeas en relacin a su longitud, que se

pueden despreciar.

Figura No.15 Elementos infinitamente rgidos

Cuando consideramos las columnas infinitamente rgidas axialmente y las relacionamos con la

restriccin en el apoyo de las columnas, advertiremos que estos miembros no tienen

desplazamientos axiales, por tanto sus grados de libertad pueden ser excluidos.

Con relacin a las fuerzas externas de la estructuras, tenemos que estas no son aplicadas en la

totalidad de los nodos, pero estas si causan algn tipo de comportamiento en la totalidad de los

nodos, debido a este fenmeno se puede realizar la condensacin de grados de libertad, la cual

consiste en reducir la matriz a los grados de libertad donde hay fuerzas aplicadas y por endedesplazamientos.

La aplicacin sucesiva del procedimiento de igualacin de grados de libertad, ms el de

condensacin, nos ha llevado a un sistema con seis grados de libertad. El modelo matemtico

resultante, no tiene la posibilidad de deformaciones axiales en sus elementos, y adems est

limitado al empleo de fuerzas horizontales.7

Para realizar la igualacin de grados de libertad primero de sebe reordenar la matriz [Kp] de formatal que las filas y columnas de los grados de libertad horizontales sean las primeras dentro de la

matriz, le siguen los grados de libertad verticales y por ltimo los grados de libertad rotacionales,

7GARCA REYES, Lus Enrique. Dinmica Estructural Aplicada al Diseo Ssmico. Bogot : Universidad delos Andes, 1998. p.282


57/123


57

una vez reordenada la matriz [Kp], procedemos realizar la igualacin de grados de libertad

horizontales sumando las filas y columnas correspondientes a los grados de libertad horizontales a

un mismo nivel, luego procedemos a dividir la matriz resultante en cuatro submatrices dejando en

la primer matriz los grados de libertad horizontales y en la ltima los grados de libertad quequeremos condensar:

[Kp] =[Kp0] [Kp1]

[Kp2] [Kp3]

M6 matriz de condensacin

Donde [Kp] corresponde a la matriz de rigidez de un prtico plano incluidas la restricciones por los

apoyos, al submatriz [Kp0] corresponde a la matriz de los grados de libertad a los que queremos

reducir la matriz, las submatrices [Kp1] y [Kp2] corresponden a matrices sobre las cuales se pivoteapara realizar la condensacin y la matriz [Kp3] corresponde a la matriz de grados de libertad a

condensar. Esta condensacin es posible realizando las siguientes operaciones matriciales:

[Kpc]=[ [Kp0]- [Kp1] [Kp3]-1[Kp2]]

4.7.1 Ejemplo igualacin y reduccin grados de libertad

EJEMPLO 06: Realizar la igualacin y condensacin de los grados de libertad de la matrizensamblada en el ejemplo anterior, hasta llegar un grado de libertad horizontal por piso.

Para este tipo de ejercicios lo recomendable es primero identificar en la matriz de rigidez del prtico

los grados de libertad (horizontales, verticales y rotacionales).

Una vez identificados los grados de libertad reordenamos la matriz de forma tal que las primeras

filas y columnas correspondan a los grados de libertad horizontales, despus los grados de libertad

verticales y por ltimo los grados de libertad rotacionales.

Ordenada la matriz procedemos a igualar los grados de libertad horizontales, basta con sumar las

filas y columnas correspondientes , es decir sumamos los grados de libertad horizontales

correspondientes a los nodos (1), (2) y (3), los nodos (4), (5) y (6), y los nodos (7), (8) y (9).


58/123


58

Ya con los grados de libertad horizontales igualados procedemos a condensar los grados verticales y

rotacionales, por lo tanto dividimos la matriz de tal forma que todos los grados de libertad verticales

y rotacionales queden incluidos en la matriz [Kp3] y los grados de libertad igualados queden en lamatriz [Kp1].

Con las submatrices desarrollamos la operacin matricial:

[Kpc]=[ [Kp0]- [Kp1] [Kp3]-1[Kp2]]

Con lo cual reducimos la matriz de rigidez del prtico solamente a un grado de libertad por piso, el

cual esta representado por los nodos donde se aplicaran las cargas.

No olvidar que esta reduccin solo es factible para la aplicacin de cargas horizontales.


59/123


59

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

1h 1v 1r 2h 2v 2r 3h 3v 3r 4h 4v 4r 5h 5v 5r 6h 6v 6r 7h 7v 7r 8h 8v

KPN11 KPN12 KPN13 KPN14 KPN15 KPN16 KPN17 KPN18









Matriz de identificacin de grados de libertad

Donde nh es el grado de libertad horizontal para el nodo n, nv es el grado de libertad vertical para e

libertad rotacional para el nodo n.


60/123


60

1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

1h 1v 1r 2h 2v 2r 3h 3v 3r 4h 4v 4545.67 0.00 12.36 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12

0.00 719.71 10.72 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0

12.36 10.72 50.03 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10

-536.16 0.00 0.00 1081.83 0.00 12.36 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0

0.00 -5.36 -10.72 0.00 725.08 0.00 0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0

0.00 10.72 14.30 12.36 0.00 78.62 0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0

0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 545.67 0.00 12.36 0.00 0.00 0

0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 719.71 -10.72 0.00 0.00 0

0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 12.36 -10.72 50.03 0.00 0.00 0

-9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 555.18 0.00 0

0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1434.07 10

12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 71

0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0

0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10

0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -12

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 10

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 00.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0

Matriz prtico ensamblado identificando los grados de libertad (parcial).


61/123


61

6 7 8 9

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

6h 6v 6r 7h 7v 7r 8h 8v 8r 9h 9v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00

-536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 12.36 0.00

0.00 -5.36 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00

0.00 -10.72 14.30 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 10.72 0.00

555.18 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51

0.00 1434.07 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714

0.00 -10.72 71.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36

0.00 0.00 0.00 551.86 0.00 -3.08 -536.16 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 1338.82 10.72 0.00 -5.36 10.72 0.00

0.00 0.00 0.00 -3.08 10.72 68.60 0.00 -10.72 14.30 0.00

0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 1088.02 0.00 -3.08 -536.16

0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 1344.18 0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 -3.08 0.00 97.19 0.00 -1

-9.51 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 -536.16 0.00 0.00 551.86

0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 -10.72 0.00 133

12.36 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 14.30 -3.08 -1

viene

Matriz prtico ensamblado identificando los grados de libertad (parcial).


62/123


62

1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 1v 2v 3v 4v 5v

545.67 -536.16 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

-536.16 1081.83 -536.16 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 -536.16 545.67 0.00 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

-9.51 0.00 0.00 555.18 -536.16 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 -9.51 0.00 -536.16 1091.34 -536.16 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 -9.51 0.00 -536.16 555.18 0.00 0.00 -9.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 0.00 551.86 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -536.16 1088.02 -536.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9.51 0.00 -536.16 551.86 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 719.71 -5.36 0.00 -714.35 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 725.08 -5.36 0.00 -714.3

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 719.71 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 1434.07 -5.3

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1439.4

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.3

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.3

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

12.36 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.0

0.00 12.36 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.0

0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.0

12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.7

0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.0

0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 10.7

0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

Matriz de rigidez reordenada por grados libertad (parcial).


63/123


63

1r 2r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r

12.36 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1h

0.00 12.36 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 2h

0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 12.36 0.00 0.00 0.00 3h

-12.36 0.00 0.00 0.00 0 .00 0.00 12.36 0.00 0.00 4h

0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 0.00 5h

0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 6h

0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 -3.08 0.00 0.00 7h

0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 -3.08 0.00 8h

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 0.00 0.00 -3.08 9h

10.72 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1v

-10.72 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2v

0.00 -10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3v

0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 4v

0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 5v

0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 6v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00 7v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72 8v

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72 9v

50.03 14.30 0.00 10.72 0.00 0 .00 0.00 0.00 0.00 1r

14.30 78.62 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 2r

0.00 14.30 50.03 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00 0.00 3r

10.72 0.00 0.00 71.46 14.30 0.00 10.72 0.00 0.00 4r

0.00 10.72 0.00 14.30 100.05 14.30 0.00 10.72 0.00 5r

0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 71.46 0.00 0.00 10.72 6r

0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00 68.60 14.30 0.00 7r

0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 97.19 14.30 8r

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 14.30 68.60 9r

viene

Matriz de rigidez reordenada por grados libertad (parcial).


64/123


64

1h+2h+3h 4h+5h+6h 7h+8h+9h 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 1r 2r 3r

28.53 -28.53 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.36 12.36 12.36

-28.53 57.06 -28.53 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -12.36 -12.36 -12.36

0.00 -28.53 47.11 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 719.71 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 10.72 0.00

0.00 0.00 0.00 -5.36 725.08 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 0.00 10.72

0.00 0.00 0.00 0.00 -5.36 719.71 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.72 -10.72

0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 1434.07 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1439.43 -5.36 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1434.07 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 0.00 1338.82 -5.36 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1344.18 -5.36 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -714.35 0.00 -5.36 1338.82 0.00 0.00 0.00

12.36 -12.36 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 50.03 14.30 0.00

12.36 -12.36 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.30 78.62 14.30

12.36 -12.36 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.30 50.03

12.36 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 0.00

12.36 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00

12.36 0.00 -12.36 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72

0.00 12.36 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 12.36 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 0.00 -10.72 0.00 0.00 0.00

0.00 12.36 -3.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.72 -10.72 0.00 0.00 0.00

Matriz de rigidez con igualacin de grados libertad horizontales.


65/123


65

1h+2h+3h 4h+5h+6h 7h+8h+9h 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 1r 2r 3r 4r 5r

[Kp0] [Kp1]

[Kp2] [Kp3]

Submatrices para realizar la condensacin de grados de libertad verticales y rotacionales.


66/123


66

Con la anterior divisin de l

Documents

Tesis7 Introduccion Dinamica Estructural 1