Antisismica Dinamica Estructural Ing Salinas

1UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVILFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

IngenierIngeniera Antisa Antissmicasmica

IntroducciIntroduccin a lan a laDinDinmica Estructuralmica Estructural

Ing. Rafael Salinas BasualdoIng. Rafael Salinas Basualdo

DINAMICA ESTRUCTURALDINAMICA ESTRUCTURAL

EstudioEstudio de de laslas caractercaractersticassticas y y comportamientocomportamiento de de laslas estructurasestructuras debidodebido a a cargascargas dindinmicasmicas ((varvaranan en el en el tiempotiempo).).-- SismosSismos-- VientoViento-- CimentaciCimentacinn de de mmquinasquinas-- VibracionesVibraciones-- PropagaciPropagacinn de de ondasondas-- EnsayosEnsayos no no destructivosdestructivos

2SISTEMAS DE UN GRADO SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTADDE LIBERTAD

Fuente: urban.arq.virginia.edu

DEFINICIONDEFINICION Un Un sistemasistema de un de un gradogrado de de libertadlibertad (1 GDL) se (1 GDL) se

define define comocomo aquelaquel queque solo solo eses posibleposible un un tipotipo de de movimientomovimiento, , eses decirdecir, la , la posiciposicinn del del sistemasistema en en cualquiercualquier instanteinstante puedepuede ser ser definidadefinida porpor la de la de unauna solasola coordenadacoordenada..

K(rigidez)

M(masa)

U (desp.)

3RIGIDEZRIGIDEZ CuandoCuando se se aplicaaplica unauna fuerzafuerza a a unauna estructuraestructura, , estaesta

se se desplazardesplazar en la en la direccidireccinn de la de la fuerzafuerza. La . La rigidezrigidezse define se define comocomo el el cocientecociente entreentre la la fuerzafuerza aplicadaaplicaday el y el desplazamientodesplazamiento producidoproducido..

SistemasSistemas rrgidosgidos tienentienen deformacionesdeformaciones pequepequeasas((grangran rigidezrigidez), y ), y sistemassistemas flexiblesflexibles tienentienendeformacionesdeformaciones grandesgrandes ((pocapoca rigidezrigidez).).

RIGIDEZ RIGIDEZ (LINEAL(LINEAL--ELASTICO)ELASTICO)

K

U

1

P

P = K U

4La rigidez elstica es determinada con frmulas de la Mecnica de Materiales:

RIGIDEZRIGIDEZ

K

U

1

PFluencia

InelsticoElstico

Carga

Desca

rga

Uy Um

Ductilidad

y

m

UU=

5Solamente un GDL queda si el prtico se supone como un piso(viga) rgido apoyadopor columnas con masa relativamentepequea.

1

2 65

4

3

1

2 3

Algunas estructuras pueden ser idealizadas como sistemas de 1 GDL,como el prtico de una cruja bajo la accin de una carga lateral:

En esttica, el prtico tiene 6 GDL activos.

Considerandodeformacionesaxiales nulas, 3 GDL desaparecen.

La masa de este sistema de 1 GDL es M, la masa del piso o techo.

1 mrigid beam

massless

M

1=u

k

1

3

12

L

EI2

6

L

EI

3

12

L

EI2

6

L

EI

La rigidez es determinada con frmulas de la Mecnica de Materiales:

324LEIK =

Considerando la flexibilidad de la viga, la rigidez lateral ser:

M

1 mrigid beam

massless

cvc

prtico kkhEIK /

646124

3 =

++=

+

=lh

lh

tEkmuro34

3

v

vv LIk =

c

cc LIk =

La rigidez lateral de un muro es, considerando deflexiones por flexin y corte:

hh

ttll

6SistemasSistemas de de MasaMasa DiscretaDiscreta y de y de MasaMasa DistribuidaDistribuida

SistemasSistemas DiscretosDiscretos

SistemasSistemas DistribuidosDistribuidos

NNmeromero de de frecuenciasfrecuenciasnaturalesnaturales igualigualal al nnmeromero de de GDLGDL

NNmeromero infinitoinfinitode de frecuenciasfrecuenciasnaturalesnaturales

Forma de Forma de modomodo = vector= vector

=31

21

11

1

Forma de Forma de modomodo = = funcifuncinn

=Lx x sinA)(1

Las Las formasformas de de modomodo quedanquedandefinidasdefinidas con con un factor un factor multiplicativomultiplicativo..

ConvenciConvencinn::

ConvenciConvencinn::

111 =

1 =A

SISTEMAS EQUIVALENTES (SISTEMAS EQUIVALENTES (SerieSerie))

K1

U1

K2

U2

P Equilibrio P=F1=F2

Compatibilidad U=U1+U2

Constitutivas F1=K1 U1F2=K2 U2

SistemaEquivalente P=Ke U

21

111KKKe

+=

7SISTEMAS EQUIVALENTES (SISTEMAS EQUIVALENTES (ParaleloParalelo))

K1

U1

K2

U2

PEquilibrio P=F1+F2

Compatibilidad U=U1=U2

Constitutivas F1=K1 U1F2=K2 U2

SistemaEquivalente P=Ke U

21 KKKe +=

MODELOSMODELOS

K

M U

K MU

8ECUACION DE MOVIMIENTOECUACION DE MOVIMIENTO

NewtonNewton

DDAlembertAlembert

K M U

UMMaF &&==

0=F

F=Fo f(t)

DIAGRAMA DE CUERPO LIBREDIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

KUMU U

)(tFofFKUUM ==+&&

F=Fo f(t)

..

Ecuacion diferencial de movimiento (equilibrio dinmico)

9VIBRACION LIBREVIBRACION LIBRE

0=+ KUUM &&Solucin de la ecuacion diferencial de movimiento

K M U

U = UGU = UG = A sen(t) + B cos (t) = - 2 [A sen(t) + B cos (t)]

(- M 2 + ) (A sen(t) + B cos (t) ) = 0

PROPIEDADES DINAMICASPROPIEDADES DINAMICAS

MK=Frecuencia circular de vibracin

K M U

KMT

22 ==Periodo natural de vibracin

Tf 1=Frecuencia natural de vibracin (Hertz, Hz, 1/seg)

(seg)

(rad/seg)

10

PROPIEDADES DINAMICASPROPIEDADES DINAMICAS

Estructura RgidaPeriodo CortoFrecuencia Alta

Estructura FlexiblePeriodo LargoFrecuencia Baja

Fuente: urban.arq.virginia.edu

VIBRACION LIBREVIBRACION LIBRE

0=+ KUUM &&

K M U

U = A sen(t) + B cos (t)MK=

Condiciones iniciales:

t=0, desplazamiento inicial U(0) = Uo yvelocidad inicial U(0) = Uo

. .

U = Uo/ sen(t) + Uo cos (t).

11

VIBRACION LIBREVIBRACION LIBRE

.

t=0, U(0) = Uo y U(0) = Uo.

t=0, U(0) = Uo y U(0) = 0.

t=0, U(0) = 0 y U(0) = Uo.

Tiempo/T

Des

pl./A

mpl

itud

Tiempo/TD

espl

./Am

plitu

d

Tiempo/T

Des

pl./A

mpl

itud

VIBRACION LIBREVIBRACION LIBREU = A sen(t) + B cos (t)

MK=

U = Uo/ sen(t) + Uo cos (t).

U = C sen(t+)C es la amplitud es el ngulo de fase

2

2.

oo UUC +

=

/tan

0

.0

U

U=

Tiempo

Des

plaz

amie

nto

12

VIBRACION FORZADAVIBRACION FORZADAK M U

F=Fo f(t)

Solucin de la ecuacion diferencial de movimiento

U = UG + UP

)(tFofFKUUM ==+&&

CARGA SUBITACARGA SUBITA

UP = Fo/K FoKUUM =+&& t

F=Fo

U = A sen(t) + B cos (t) + Fo/K

t=0, U(0) = 0, B=-Fo/K.

Si el sistema parte del reposo

t=0, U(0) = 0, A=0U = Fo/K (1- cos (t) ) = Uest (1- cos (t) )

13

CARGA SUBITACARGA SUBITA

U = Fo/K (1- cos (t) ) = Uest (1- cos (t) )

Respuesta a carga subita

00.5

1

1.52

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Tiempo/T

U/U

est

U = Uest FADFAD = (1- cos (t) ) FAD, Factor de Amplificacin Dinmica

CARGA PULSOCARGA PULSO

0 < t

14

CARGA PULSOCARGA PULSO

FAD = cos ((t-td)) - cos (t)

Tramo 2,

t= td, U(td) = Fo/K (1- cos (td) ).t= td, U(td) = Fo/K ( sen (td) )

U = A2 sen((t -td)) + B2cos ( (t -td))

U = Fo/K (sen(td) sen((t -td)) + (1- cos(td)) cos((t -td)) )

U = Fo/K (cos((t -td)) - cos(t) )

CARGA PULSOCARGA PULSORespuesta a carga pulso

-2

-1

0

1

2

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Tiempo/td

FAD

td/T=1/6td/T=5/4

15

CARGA RAMPACARGA RAMPA

0 < t

16

CARGA RAMPACARGA RAMPARespuesta a carga rampa

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4Tiempo/td

FAD

td/T=1/4td/T=10/3

Respuesta a carga rampa

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4td/T

FAD

EXCITACION ARBITRARIAEXCITACION ARBITRARIA

,t

F()

Cuando to=

Solucin para duo=0 y duo0

dF()

dudm

ddvmumamF 00)(

&&& ====

mdFud )(0 =&Velocidad inicial

.

ttsen

mdF )()(

17

EXCITACION ARBITRARIAEXCITACION ARBITRARIALa respuesta total es la suma de la respuesta a cada impulso:

= t dtsenFmtU 0 )()(1)( Es la llamada Integral de Duhamel, cuya solucin completa es:

++= t dtsenFmtUtsenwUtU 000 )()(1)cos()()( &

EXCITACION SISMICAEXCITACION SISMICA

K

M Y

G

UGUG, desplazamiento de la base( terreno)

G, aceleracin de la base( terreno)

Y, desplazamiento relativo de lamasa con respecto a la base

=+GU=Y+UG

, aceleracin relativa de lamasa con respecto a la base

U, desplazamiento absoluto

, aceleracin absoluta

MOVIMIENTO DE LA BASEMOVIMIENTO DE LA BASE

18


Y

KY

M

0=+ KYUM &&

GUMKYYM &&&& =+GKUKUUM =+&&

)(02 tfUUYY GG &&&&&& ==+

AmortiguamientoAmortiguamiento El El amortiguamientoamortiguamiento estructuralestructural no no eses viscosoviscoso.. El El amortiguamientoamortiguamiento se se debedebe a:a: AmortiguamientoAmortiguamiento en en elementoselementos estructuralesestructurales y juntas.y juntas. AmortiguamientoAmortiguamiento histerhisterticotico porpor laslas caractercaractersticassticas de de

la la fuerzafuerza restauradorarestauradora elastoelasto--plplsticastica.. En En elementoselementos no no estructuralesestructurales.. PorPor disipacidisipacinn de de energenergaa en el en el terrenoterreno..

Los Los mecanismosmecanismos no no estestnn bienbien entendidosentendidos.. DificultadDificultad parapara incluirloincluirlo exactamenteexactamente en en laslas

ecuacionesecuaciones de de movimientomovimiento.. DificultadDificultad computacionalcomputacional en la en la solucisolucinn.. SusSus efectosefectos usualmenteusualmente son son aproximadosaproximados

mediantemediante un un amortiguadoramortiguador viscosoviscoso..

19

ModelosModelos de de AmortiguamientoAmortiguamiento

MMtodostodos fenomenolfenomenolgicosgicos ((modelamodela loslosmecanismosmecanismos realesreales de de disipacidisipacinn))HistHistresisresis ElastoElasto--PlPlsticostico..FricciFriccinn en en laslas unionesuniones estructuralesestructurales..MicrofisurasMicrofisuras en el material.en el material.

MMtodostodos simplificadossimplificadosIntroducciIntroduccinn de de amortiguadoramortiguador viscosoviscoso..Se Se cuentacuenta con con unauna fraccifraccinn del del

amortiguamientoamortiguamiento crcrticotico..

El El amortiguamientoamortiguamiento crcrticotico marcamarca la la transicitransicinnentreentre unauna respuestarespuesta oscilatoriaoscilatoria y y unauna respuestarespuestano no oscilatoriaoscilatoria de de unauna estructuraestructura..

AmortiguamientoAmortiguamiento CrCrticotico

= = FracciFraccinn de de amortiguamientoamortiguamiento crcrticotico.. = 1 = 1 amortiguamientoamortiguamiento crcrticotico..

20

ValoresValores UsualesUsuales de de

El valor real a El valor real a adoptaradoptar dependedepende del del nivelnivel de de esfuerzosesfuerzos

Nivel de esfuerzo Tipo y condiciones de la estructuraPorcentaje de

amortiguamientocrtico

Tuberas vitales 1 a 2Acero soldado, concreto pretensado,concreto armado levemente fisurado 2 a 3Concreto armado altamente agrietado

3 a 5

Esfuerzo de trabajo,no mayor de lamitad del punto defluencia,aproximadamente. Acero remachado o empernado,

estructuras de madera clavadas oempernadas

5 a 7

Tubera de servicio pblico 2 a 3Acero soldado, concreto pretensado conprdida parcial del pretensado 5 a 7Concreto pretensado con prdidacompleta del pretensado 7 a 10

Concreto armado 7 a 10Acero remachado y empernado,estructuras de madera empernadas 10 a 15

Justamente debajo oen el punto defluencia.

Estructuras de madera clavadas 15 a 20

VIBRACION AMORTIGUADAVIBRACION AMORTIGUADAK M U

Solucion de la ecuacion diferencial de movimientocon amortiguamiento viscoso

0. =++ KUUCUM &&

C

U = e(-t) (A sen(Dt) + B cos (Dt))

MK= 21 = wD KM

C21=

21

AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSOK M U

Cuando >1, sistema sobreamortiguado, no hay vibracion

C

U = e(-t) (A senh(Dt) + B cosh(Dt))12 = wD

Cuando =1, sistema con amortiguamiento critico, no hay vibracionU = e(-t) (A + B t)

AMORTIGUAMIENTO VISCOSOAMORTIGUAMIENTO VISCOSOK M U

Cuando

22

DECREMENTO LOGARITMICO (DL)DECREMENTO LOGARITMICO (DL)Logaritmo neperiano de la relacin entredos amplitudes (desplazamientosmximos) sucesivas

K M U

C

Y e(-t)

Y

TDAi

Ai+1

U

t

=

+1ii

AAlnDL

DT

)Tt(

t

Telne

elnDL DD

==

= +

212DL

=

2D

D122Tcomo

==

=

23

VIBRACIONES ARMONICASVIBRACIONES ARMONICAS

2

22

2

2

2

2

2

41

)cos(2)(1)(

+

=ttsen

KFotUp

Ug = e(-t) (A sen(Dt) + B cos (Dt))Respuesta transitoria

Respuesta permanente, parte forzada

2

22

2

2

2MAX

41

1FAD

+

=

Cuando = , fenmeno de resonancia

Factor de Amplificacin Dinmica Mxima, respuesta permanente:

RESONANCIARESONANCIA

FAD

FAD

24

FAD FAD mmximoximo vs. vs. relacirelacinn de de frecuenciasfrecuencias

FAD

/rigido flexible

RESONANCIARESONANCIA

FAD en resonancia

Am

ortig

uam

ient

ocr

itico

,

25

EXCITACION SISMICAEXCITACION SISMICAMOVIMIENTO DE LA BASEMOVIMIENTO DE LA BASE

K

M Y

G

UG

CUG, desplazamiento de la base( terreno)

G, aceleracion de la base( terreno)

Y, desplazamiento relativo de lamasa con respecto a la base

=+GU=Y+UG

, aceleracion relativa de lamasa con respecto a la base

U, desplazamiento absoluto

, aceleracion absoluta


Y

KY

MU

0=++ KYYCUM &&&

CY.

GUMKYYCYM &&&&& =++GG UCKUKUUCUM &&&& +=++

)(2 02 tfUUYYY GG &&&&&&& ==++

26

ESPECTRO DE RESPUESTAESPECTRO DE RESPUESTA)(2 0

2 tfUUYYY GG &&&&&&& ==++ Si, =0, sin amortiguamiento

+ 2Y = -G + G = 2Y

= 2YAceleracion absoluta es proporcional al desplazamientorelativo (por el cuadrado de la frecuencia circular)

Definiendo:Sd = max |Y| (,) Espectro de desplazamientos relativosSa = max || (,) Espectro de aceleraciones absolutas

Sa = 2 SdSv= Sd Espectro de pseudovelocidades

ESPECTRO DE RESPUESTAESPECTRO DE RESPUESTA

)(2 02 tfUUYYY GG &&&&&&& ==++

con amortiguamiento

+ 2Y + 2Y = -G + G = 2Y - 2 Y

= 2Y - 2 Y

Sigue siendo vlida esta expresin en sistemas amortiguados?

Sa = max || (,) Espectro de pseudoaceleraciones absolutas

Sa = 2 Sd..

.

En la literatura se menciona que ya no es vlida y se cambia la definicin a:

Sin embargo, la expresion sigue siendo vlida, ya que para valores mximos del desplazamiento la velocidad es cero, entonces no se debera cambiar la definicin.

27

Espectro de aceleraciones absolutas

0

100200

300

400

500600

700

0 0.5 1 1.5 2Periodo (seg)

Ace

lera

cion

(gal

s)

-80.0-60.0-40.0-20.0

0.020.040.060.080.0

100.0

- 5.0 10.0 15.0 20.0

-200.0

-150.0

-100.0

-50.0

0.0

50.0

100.0

150.0

- 5.0 10.0 15.0 20.0

-600.0

-400.0

-200.0

0.0

200.0

400.0

600.0

- 5.0 10.0 15.0 20.0


T=0.2 seg

T=0.8 seg

T=1.5 seg

Sa=-592 gals

Sa=-151 gals

Sa=74 gals

-300.0

-200.0

-100.0

0.0

100.0

200.0

300.0

- 5.0 10.0 15.0 20.0

Tiempo (seg)

Ace

lera

cion

(gal

s)

ESPECTRO DE RESPUESTAESPECTRO DE RESPUESTAEspectrosEspectros de de aceleracionesaceleraciones absolutasabsolutas

Espectro de Respuesta Sismo Lima Oct 66 N08E

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00Periodo (seg)

Ace

lera

cion

(g)

b=5%b=10%

28

ESPECTRO DE RESPUESTAESPECTRO DE RESPUESTAEspectrosEspectros de de desplazamientosdesplazamientos relativosrelativos

Espectro de Respuesta Sismo Lima Oct 66 N08E

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0.00 1.00 2.00 3.00Periodo (seg)

Des

plaz

amie

nto

Rel

ativ

o (c

m)

b=5%b=10%

ESPECTRO DE RESPUESTAESPECTRO DE RESPUESTAEspectroEspectro TripartitoTripartito

Espectro de Respuesta

0.01

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100

Periodo (seg)

Pseu

dove

loci

dad

rela

tiva

(cm

/seg

)

Aceleracion absoluta - g Desplazamiento relativo (cm)

1.0

0.1

0.01

0.001

100.

10

1.0

0.1

0.001

=0%

=5%

29

ESPECTRO DE RESPUESTAESPECTRO DE RESPUESTAEspectros, suelo firme

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00Periodo

Ace

lera

cion

(g)

Espectros, suelo flexible

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00Periodo

Acel

erac

ion


Espectros normalizados

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00Periodo

Ace

lera

cion

(g)/A

o

30

ESPECTRO DE DISEESPECTRO DE DISEOO

Espectro de Respuesta E030Zona3, Colegio, Suelo S2

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0 0.5 1 1.5 2

Periodo (segundos)

Ace

lera

cion

- g

- Medida de la capacidad de un material de deformarse

en estado inelstico antes de su fractura.

- A nivel de un material, se cuantifica mediante el valor

de la deformacin en el punto de fractura entre la

deformacin en el punto de fluencia.

- Ejemplos:

Acero con contenido bajo de carbono

Aluminio

DUCTILIDADDUCTILIDAD

31

Lo Lo contrariocontrario de la de la ductilidadductilidad eses la la fragilidadfragilidad..

- La fragilidad es una medida de la incapacidad de un material de deformarse antes de su fractura.- Ejemplos: vidrio, acero con alto contenido de carbono, concreto simple, cermicos

Dctil

Frgil

Esfu

erzo

Deformacin

A A nivelnivel de un de un elementoelemento estructuralestructural, , eses unaunamedidamedida del del gradogrado de de deformacideformacinn plplsticastica quequepuedepuede soportarsoportar antes de la antes de la fallafalla..

ImportanciaImportancia:: IndicaIndica el el gradogrado al al cualcual unauna estructuraestructura se se

deformardeformar plplsticamentesticamente antes de la antes de la fallafalla.. Los Los reglamentosreglamentos de D.S.R. de D.S.R. admitenadmiten queque laslas

estructurasestructuras incursionenincursionen en en zonaszonas de de comportamientocomportamiento inelinelsticostico durantedurante laslas cualescuales se se disipedisipe grangran parteparte de la de la energenergaa introducidaintroducida porpor el el sismosismo..

DUCTILIDADDUCTILIDAD

32

FACTOR DE DUCTILIDADFACTOR DE DUCTILIDAD

Desplazamiento, U

Res

iste

ncia

, R

LLmitemite elelsticosticoefectivoefectivo

InelsticoElstico

Uy Um

Factor de Factor de DuctilidadDuctilidad

y

m

UU=

Ry PuntoPunto real real de de fluenciafluencia

CURVA CURVA REALREAL

CURVA CURVA EFECTIVAEFECTIVA


Desplazamiento, U

Res

iste

ncia

, R

Inelstico

Elstico

Uy Um


inelsticamax

elsticamax

y

m

y

m

RR

RR

UU

===

Un Un mmtodotodo consisteconsiste en en suponersuponer quequeel el desplazamientodesplazamiento producidoproducido porpor un un sismosismo eses esencialmenteesencialmente el el mismomismo, , yayasea sea queque la la estructuraestructura respondarespondaelelsticastica o o inelinelsticamentesticamente

RRmm((elelsticostico))

RRyy(no lineal)(no lineal)

33


Desplazamiento, U

Res

iste

ncia

, R

Inelstico

Elstico

Uy Um


y

m

y

m

RR

UU =

OtroOtro mmtodotodo consisteconsiste en en suponersuponerqueque la la energenergaa disipadadisipada durantedurante un un sismosismo eses esencialmenteesencialmente la la mismamisma, , yaya sea sea queque la la estructuraestructura respondarespondaelelsticastica o o inelinelsticamentesticamente..

RRmm((elelsticostico))

RRyy(no lineal)(no lineal)

US

( )ymyyySm UURURUR += 2121

12 = y

m

RR

Ductilidad y Demanda SDuctilidad y Demanda Ssmica en Estructurassmica en Estructuras

Estructuras dEstructuras dctilesctiles

Estructuras frEstructuras frgilesgiles

-6

-4

-2

0

2

4

6

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

Desplazamiento (mm)

Car

ga (t

n)

Es importante conocer el Es importante conocer el comportamiento de las estructuras comportamiento de las estructuras

ante cargas cante cargas cclicas, pues es el tipo de clicas, pues es el tipo de solicitacisolicitacin que impondrn que impondr el sismo.el sismo.

Curva Curva HisterHisterticatica

Las estructuras Las estructuras deben ser deben ser

capaces de capaces de desarrollar lazos desarrollar lazos de histde histresis con resis con reas grandes, y reas grandes, y ser estables en ser estables en

ciclos sucesivos.ciclos sucesivos.

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