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Matriz de m por nDefinimeros a una matriz A de orden m por n como un arreglode numeros de m filas y n columnas.
A =
a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n...
...... · · ·
...am1 am2 am3 · · · amn
m×n
Donde aij : es el elemento de la fila i y columna j .
Denotaremos a las matriz A de orden m por n como
A = (aij)m×n
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Ejemplos
1. A =
1 24 35 9
3×2
2. B =
(1 2 31 3 7
)2×3
Dondea11 = 1
a31 = 5
a21 = 4
a22 = 3
Donde
a11 = 1
a22 = 3
a23 = 7
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Ejemplo
Sea
A = (aij)3×3/aij =
i − j , i < j
2 , i = ji + j , i > j
Entonces
A =
2 1− 2 1− 32 + 1 2 2− 33 + 1 3 + 2 2
=
2 −1 −23 2 −14 5 2
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Igualdad
Sean A = (aij)m×n y B = (bij)m×n, diremos que son iguales A = Bsi sus elementos son iguales, es decir
aij = bij
. Ejemplo
A =
2 4 5 68 5 3 −89 7 −1 24 −1 2 9
4×4
y B =
2 4 5 68 5 3 −89 7 −1 24 −1 2 9
4×4
son iguales.
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Clases de Matrices: Matriz Nula
Cuando todos los elementos de la matriz son ceros, es decir
A = (aij)m×n es nula si aij = 0 ∀i , j .
Ejemplos
1. A =
0 00 00 0
3×2
2. B =
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
4×4
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Clases de Matrices: Matriz Rectangular
Si el numero de filas es distinto del numero de columnas
A = (aij)m×n es rectangular si m 6= n.
Ejemplos
1. A =
3 51 87 1−4 4
4×2
2. B =
(1 7 5 69 8 3 2
)2×4
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Clases de Matrices: Matriz CuadradaCuando el numero de filas es igual al numero de columnas
A = (aij)m×n es cuadrada si m = n.
Ejemplos
1. A =
(3 51 8
)2×2 2. B =
1 7 5 69 8 3 21 9 6 26 1 8 3
4×4
Nota: En una matriz cuadrada la diagonal principal es el conjuntode terminos aij tal que i = j , en el ejemplo 2 tenemos que ladiagonal principal es {1; 8; 6; 3}.
Nota: Llamaremos a una matriz de orden n por n, como matrizcuadrada de orden n..
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Clases de Matrices: Matriz diagonal
Una matriz cuadrada es diagonal si los elementos de distinto ındiceson ceros, es decir
A = (aij)n×n es diagonal si aij = 0 ∀i 6= j .
Ejemplos
1. A =
(3 00 8
)2×2 2. B =
1 0 0 00 0 0 00 0 7 00 0 0 1
4×4
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Clases de Matrices: Matriz identidadSi los elementos de la diagonal principal son 1 y los demas sonceros.
A = (aij)n×n es identidad si aij =
{1 , i = j0 , i 6= j
∀i 6= j .
Nota: Denotaremos a las matrices de orden n que sean identidadescomo In.
Ejemplos
1. I2 =
(1 00 1
)2×2 2. I4 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
4×4
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Clases de Matrices: Matriz Triangular Superior
Una matriz cuadrada es es triangular superior si todos loselementos que estan por debajo de la diagonal principal son ceros.
A = (aij)n×n es triangular superior si aij = 0 ∀i > j .
Ejemplos
1. A =
(1 30 2
)2×2 2. B =
1 3 5 60 8 2 40 0 9 50 0 0 7
4×4
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Clases de Matrices: Matriz Triangular Inferior
Una matriz cuadrada es es triangular inferior si todos los elementosque estan por encima de la diagonal principal son ceros.
A = (aij)n×n es triangular superior si aij = 0 ∀i < j .
Ejemplos
1. A =
(1 03 2
)2×2 2. B =
1 0 0 03 8 0 05 3 2 07 5 1 7
4×4
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Operaciones
Podemos definir la SUMA de matrices y el Producto porescalar.
Sean A = (aij)m×n , B = (bij)m×n y λ ∈ R definimos
1. A + B = (aij + bij)m×n
2. λA = (λ · aij)m×n
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
EjemploSean
A =
5 3 62 7 −33 2 −2
3×3
y B =
1 3 54 8 37 9 2
3×3
Entonces
A + B =
5 + 1 3 + 3 6 + 52 + 4 7 + 8 −3 + 33 + 7 2 + 9 −2 + 2
3×3
=
6 6 116 15 0
10 11 0
3×3
5A =
5 · 5 5 · 3 5 · 65 · 2 5 · 7 5 · −35 · 3 5 · 2 5 · −2
3×3
=
25 15 3010 35 −1515 10 −10
3×3
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Propiedades
Sean A = (aij)m×n , B = (bij)m×n, � = (0)m×n y λ ∈ R secumple
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C )
3. A + � = A
4. A + (−A) = �
5. (α + β)A = αA + βA
6. (αβ)A = α(βA)
7. α(A + B) = αA + αB
8. 1 · A = A
9. 0 · A = �
10. λA = � entonces A = � ∨ λ = 0
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Multiplicacion-Previo
Las matrices de una sola fila son llamadas matrices filas,analogamente las matrices de una sola columna son llamadasmatrices columnas por ejemplo
A =(
1 2 3 4 6)
B =
2−2
4−1
5
A es una matriz fila y B es una matriz columna.
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Sean las matrices fila y columna
A =(a1 a2 a3 · · · an
)y B =
b1
b2
b3...
bn
El producto de estas matrices es AB = c =
∑nk=1 akbk .
Por ejemplo:
A =(
2 4 6 8)
y B =
1321
=⇒ AB = 2 · 1 + 4 · 3 + 6 · 2 + 8 · 1 = 36
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Multiplicacion
El producto de las matrices A = (aij)m×p , B = (bij)p×n esdefinido como la matriz C = (cij)m×n donde cij es el producto dela i-esima fila de A y j-esima columna de B.
Es decir :AB = C = (cij)m×n
donde cij =∑p
k=1 aikbkj .
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Ejemplo
C =
(2 1 34 5 0
)2×3
3 1−1 5
4 2
3×2
=
(c11 c12
c21 c22
)2×2
Entonces
c11 =(
2 1 3) 3
−14
= 17 , c12 =(
2 1 3) 1
52
= 7
c21 =(
4 5 0) 3
−14
= 29 , c22 =(
4 5 0) 1
52
= 17
Por lo tanto
C =
(17 13
7 29
)2×2
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Ejemplo
C =
(1 23 4
)2× 2
(3 1 2
−1 4 1
)2 ×3
=
(c11 c12 c13
c21 c22 c23
)2×3
Entonces
c11 =(
1 2)( 3
−1
)= 1 , c12 =
(1 3
)( 14
)= 9
c13 =(
1 2)( 2
1
)= 4 , c21 =
(3 4
)( 3−1
)= 5
c22 =(
3 4)( 1
4
)= 15 , c11 =
(3 4
)( 21
)= 10
Por lo tanto
C =
(1 9 45 15 10
)2×3
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Importante
Sean las matrices
A =
(0 10 0
)2×2
y
B =
(1 00 0
)2×2
Tenemos
AB =
(0 10 0
)2×2
(1 00 0
)2×2
=
(0 00 0
)2×2
BA =
(1 00 0
)2×2
(0 10 0
)2×2
=
(0 10 0
)2×2
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Propiedades
Sea cumple
1. A(BC ) = (AB)C
2. InA = InA = A
3. NO siempre AB = BA
4. AB = � no implica A = � ∨ B = �
5. AB = AC no implica B = C
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Transpuesta
Si A = (aij)m×n, At = (atij)n×m es la matriz obtenida alintercambiar las filas por columnas de la matriz A, es decir:
atij = aji
Ejemplos
1. A =
1 03 21 7
3×2
=⇒ At =
(1 3 10 2 7
)2×3
2. B =
1 4 73 8 95 3 2
3×3
=⇒ Bt =
1 3 54 8 37 9 2
3×3
Nota:Si la matriz A es de orden m por n la matriz At es de orden npor m.
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Propiedades
Sea A,B dos matrices de orden m por n y λ ∈ R, se cumple:
1. (A + B)t = At + Bt
2. (λA)t = λAt
3. (AB)t = BtAt
4. (At)t = A
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Matriz simetrica y antisimetrica
Sea A = (aij)m×n diremos
1. A es simetrica si At = A
2. A es antisimetrica si At = −APor ejemplo
Sea A =
1 3 33 2 43 4 5
es una matriz simetrica.
Sea B =
0 3 7−3 0 1−7 −1 0
es una matriz antisimetrica.
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Propiedades
Sean A,B matrices simetricas, C ,D matrices antisimetricas yλ ∈ R, se cumple
1. (A + B) es simetrica.
2. (C + D) es antisimetrica.
3. λA es simetrica.
4. λC es antisimetrica.
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Propiedades
Sea A una matriz, se cumple
1. A + At es una matriz simetrica.
2. A− At es una matriz antisimetrica.
3. Toda matriz se puede expresar como suma de una matrizsimetrica y antisimetrica.
4. La matriz que es simetrica y antisimetrica a la vez es la matriznula.
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Traza
Se define la traza de una matriz cuadrada como la suma de loselementos aii y lo denotaremos como tr(A) es decir
tr(A) =n∑
i=1
aii
Ejemplo
A =
(3 12 1
)2×2
=⇒ tr(A) = 3 + 1 = 4
B =
3 1 22 2 17 1 9
3×3
=⇒ tr(B) = 3 + 2 + 9 = 14
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Propiedades
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n y λ ∈ R, se cumple
1. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
2. tr(λA) = λA
3. tr(AB) = tr(BA)
4. tr(At) = tr(A)
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Matriz invertible
Sea A una matriz cuadrada de orden n, es invertible si existe unamatriz B de orden n tal que
AB = BA = In
Denotaremos a la matriz B como A−1. Con esta notacion tenemos
A−1A = AA−1 = In
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
EjemploSea
A =
(2 71 4
)2×2
la inversa de A es
A−1 =
(4 −7−1 2
)2×2
Ya que (2 71 4
)2×2
(4 −7−1 2
)2×2
=
(1 00 1
)2×2(
4 −7−1 2
)2×2
(2 71 4
)2×2
=
(1 00 1
)2×2
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Como encontrar la inversa
Sea
A =
(a bc d
)2×2
La inversa de A es
A−1 =1
ad − bc
(d −b−c a
)2×2
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Ejemplo
Sea
A =
(2 3−1 4
)2×2
Entonces
A−1 =1
8− (−3)
(4 1−3 2
)2×2
=
4
11
1
11
−3
11
2
11
2×2
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Propiedades
Sean A,B matrices invertibles y λ ∈ R\{0}, se cumple:
1. (AB)−1 = B−1A−1
2. (λA)−1 = λ−1A−1
3. (At)−1 = (A−1)t
4. (An)−1 = (A−1)n
5. No se siempre (A + B) es invertible.
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Determinantes 2× 2
Sea
A =
(a11 a12
a21 a22
)Definimos el determinante de A como
det(a) = a11 · a22 − a21 · a12
Notacion:
|A| = det(A) =
∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣Ejemplo ∣∣∣∣ 2 3
4 5
∣∣∣∣ = 2 · 5− 4 · 3 = −2
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Determinantes 3× 3Sea
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Definimos el determinante de A como
det(a) = a11
∣∣∣∣ a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣ a11 a13
a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices
Propiedades
Sea A,B una matrices cuadradas de orden n y λ ∈ R se cumple
1. det(In) = 1.
2. det(At) = det(A).
3. det(AB) = det(A)det(B).
4. det(A−1) =1
det(A).
5. det(λA) = λndet(A).
6. A es invertible si y solo si det(A) 6= 0.
Si una matriz es invertible la llamaremos no singular, casocontrario se llamara singular.
Julio Yarasca
Teorıa de Matrices