Tema 15 Cinetica Del Punto

1 I.T.I. : MECANICA IDepartamento: INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES

TEMA N 15: DINMICA CINTICA DEL PUNTO

I.T.I 1: MECANICA IDepartamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

IndicePunto 15.1 Introduccin

Punto 15.2 Ecuaciones del movimiento15.2.1 Segunda Ley de Newton15.2.2 Ecuaciones del movimiento de un punto15.2.3 Ecuaciones del movimiento de un sistema de puntos

Punto 15.3 Movimiento rectilneoPuntos 13.3.1 a 13.3.6 Conocidas x(t), v(t), a(t), a(x), a(v) y a = cte13.3.7 Anlisis grfico

Punto 15.4 Movimiento curvilneoPunto 15.4.1 Movimiento curvilneo planoPunto 15.4.2 Movimiento curvilneo en el espacio


15.1 IntroduccinCuando la resultante del sistema de fuerzas que se ejerce sobre un cuerpo puntual es nula, el cuerpo est en equilibrio (reposo o velocidad constante). Cuando dicha resultante no es nula, el cuerpo se halla animado de movimiento acelerado.Las fuerzas no equilibradas y los movimientos que originan constituyen la cintica, tema a tratar en los dos captulos que quedan por impartir en este curso.El movimiento que experimenta un cuerpo cuando est sometido a un sistema de fuerzas no equilibrado se puede establecer utilizando tres mtodos diferentes:1.- Mtodo de fuerza, masa y aceleracin.2.- Mtodo de trabajo y energa.3.- Mtodo de impulso y cantidad de movimiento.El mtodo ms til para la resolucin de un problema particular depende de la naturaleza del sistema de fuerzas (constantes o variables) y de la informacin que se busca (reacciones, velocidades, aceleraciones, etc.).En este curso nicamente se va a desarrollar el primero de los tres mtodos, no porque no sean interesantes los otros dos, sino porque el primero de ellos es el ms utilizado y por la falta de tiempo para explicar adecuadamente todos ellos.


15.2 Ecuaciones del movimientoAntiguamente se crea que un cuerpo en reposo estaba en su estado natural, por lo que para mantenerlo en movimiento era necesaria una cierta fuerza. La gran contribucin de Newton a la Mecnica fue darse cuenta de que no era necesaria una fuerza para mantener en movimiento un cuerpo una vez que se hubiera puesto en movimiento y que el efecto de una fuerza es alterar una velocidad, no mantenerla.15.2.1 Segunda ley de NewtonLa primera ley de Newton atae a un punto material en reposo o que se mueva con velocidad constante y la tercera ley de Newton rige la accin y reaccin entre cuerpos que interactan. Ambas se han utilizado para desarrollar los conceptos de Esttica.La segunda ley de Newton para el movimiento, que relaciona el movimiento acelerado de un punto material con las fuerzas que originan el movimiento, constituye la base de los estudios de Dinmica.La primera ley de Newton constituye un caso particular de la segunda. Cuando la fuerza resultante es nula (R = 0), la aceleracin del punto es nula (a = 0); por lo que el punto estar en reposo o movindose con velocidad constante (EQUILIBRIO).


Si sobre una partcula se ejerce una fuerza exterior, aquella se acelerar en la direccin y sentido de la fuerza y el mdulo de la aceleracin ser directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa de la partcula.

Matemticamente:El enunciado moderno de 2 ley de Newton es:donde: a es la aceleracin de la partcula. F es la fuerza que se ejerce sobre la partcula. m es la masa de la partcula. k es una constante de proporcionalidad en funcin de las unidades (k = 1, si usamos las unidades del S.I.)Esta ecuacin, vlida tanto para fuerzas constantes como para fuerzas que varen con el tiempo (en mdulo o direccin), nos dice que los mdulos de F y a son proporcionales y que los vectores F y a tienen la misma direccin y sentido (ya que m es un escalar positivo). Un sistema para el cual k = 1 tendr unidades cinticas coherentes (Ej.- SI).La unidad de fuerza (Newton) es la fuerza que aplicada a una masa de 1 kg le comunica una aceleracin de 1 m/s2. En el sistema SI, el peso W de un cuerpo (fuerza de la gravedad) vale:


15.2.2 Ecuaciones del movimientode un puntoCuando sobre un punto material se ejerce un sistema de fuerzas F1, F2, F3, Fn, su resultante es una fuerza R cuya recta soporte pasa por el centro de masa del punto, ya que todo sistema de fuerzas que se ejerzan sobre un punto debe constituir un sistema de fuerzas concurrentes. El movimiento del punto material viene regido por la 2 ley de Newton as:En funcin de sus componentes cartesianas rectangulares:Cuando se utilice alguna de estas ecuaciones del movimiento de un punto, deber establecerse un convenio de signos.


15.2.3 Ecuaciones del movimientode un sistema de puntosLas ecuaciones del movimiento de un sistema de puntos materiales se pueden obtener aplicando la 2 ley de Newton a cada uno de los puntos pertenecientes al sistema.Ejemplo.- consideremos el conjunto de n partculas representado en la figura. La partcula i-sima tiene una masa mi y su situacin se especifica respecto a un sistema de ejes de referencia adecuado utilizando el vector de posicin ri. Cada partcula del sistema puede estar sometida a un sistema de fuerzas exteriores de resultante Ri y a un sistema de fuerzas interiores fi1, fi2, fi3, fin,. Las fuerzas interiores se deben a las interacciones elsticas entre partculas y a efectos elctricos o magnticos. La fuerza interior ejercida por la partcula pj sobre la partcula pi se representa por fij. Aplicando la 2 ley de Newton a la partcula i-sima se tiene:


En la suma de fuerzas interiores, fii es nula porque la partcula pi no se ejerce fuerza sobre s misma.

Si una partcula pj ejerce una fuerza fij sobre la partcula pi, la 3 ley de Newton nos dice que la partcula pi ejercer sobre la pj una fuerza fji de igual recta soporte y mdulo que fij pero de sentido opuesto.

Sumando las ecuaciones del movimiento correspondiente a las n partculas del sistema se obtiene una ecuacin del movimiento para el sistema. As pues,Esta ecuacin nos indica que la resultante R del sistema exterior de fuerzas aplicadas que se ejercen sobre el sistema de partculas es igual a la resultante de los vectores de inercia m.a (denominados a veces fuerzas de inercia) de las partculas del sistema.(1)Aplicando 2 ley de Newton a la partcula i-sima


Si consideramos el CDM del sistema de puntos materiales se puede escribir la ecuacin anterior de otra forma.El CDM del sistema es el punto G definido por el vector de posicin rG que satisfaceDerivando respecto al tiempo la ecuacin anterior tenemosCombinando las ecuaciones (1) y (2) tenemos:(2)Estas ecuaciones constituyen el principio del movimiento del centro de masa de un sistema de puntos materiales. Como estas expresiones son formalmente iguales a las obtenidas para un punto material nico, un sistema de puntos materiales se puede tratar como un punto material nico, situado en el CDM G, si se supone que se aplica una fuerza igual a la resultante R soportada por una recta que pase por G. De hecho, todo cuerpo puede ser considerado como punto material al aplicar la ecuacin anterior.


15.3 Movimiento rectilneoEn el tema 13 se describi la Cinemtica del punto material animado de movimiento rectilneo. Si orientamos el eje x de manera que coincida con la trayectoria del movimiento tendremos que :En el caso del movimiento rectilneo a lo largo del eje x, las ecuaciones de la Cintica se reducen a: En este tipo de movimiento, podemos prescindir de la notacin vectorial y utilizar el signo de una magnitud para indicar si el sentido de una magnitud vectorial es el del semieje positivo o el del negativo del eje x.

Existen 4 tipos de problemas referentes al movimiento rectilneo:F = constante.F = funcin del tiempo.F = funcin de la posicin.F = funcin de la velocidad.


Primer caso: F = constante. La 2 ley da:

Integrando 2 veces respecto al tiempo se tiene:

Las dos C se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del problema.

Segundo caso: F = funcin del tiempo. La 2 ley da:Se puede integrar 2 veces respecto al tiempo la ecuacin anterior para obtener las expresiones de la velocidad y de la posicin.

Las dos constantes que aparecen se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del problema.

Tipos de problemas (movimiento rectilneo):**


Si observamos que:

Con lo quede donde sacamos integrando, en funcin de

Como podemos volver a integrar para obtener una relacin entre x y t.

Las dos constantes que aparecen se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del problema.

Cuarto caso: F = funcin de la velocidad. La 2 ley da:

Las dos constantes que aparecen se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del problema.Tercer caso: F = funcin de la posicin. La 2 ley da:**


PROBLEMA 15.2Dos cuerpos A y B de masas mA = 50 kg y mB = 60 kg estn unidos mediante una cuerda que pasa por una polea. Se suponen despreciables las masas de polea y cuerda y que la longitud de sta se mantiene constante. El coeficiente de rozamiento cintico entre el bloque A y el plano inclinado vale 0,25. Determinar la tensin de la cuerda y la aceleracin del bloque A cuando se hayan soltado los bloques partiendo del reposo.


PROBLEMA 15.4El trineo se utiliza para el ensayo de pequeos cohetes propulsores de combustible slido. La masa combinada de trineo y cohete es de 1000 kg. El empuje que proporciona el cohete durante el movimiento del trineo puede expresarse en la forma F = a + bt + ct2 (F en N y t en s). Si el trineo parte del reposo cuando el empuje del cohete es de 10 kN, recorre 700 m y alcanza una velocidad de 150 m/s durante un recorrido de prueba de 10 s, determinar:a) los valores de a, b y c.b) Las aceleraciones mxima y mnima del trineo en el ensayo.Despreciar la friccin del trineo y los rales y la reduccin de masa del combustible durante la prueba.


15.4 Movimiento curvilneoSu descripcin exigir utilizar dos coordenadas y elegir uno de los tres sistemas de coordenadas planos (cartesianas rectangulares, polares o normal/tangencial).

Coordenadas cartesianas rectangulares: la posicin de un punto se describe con sus distancias a dos ejes de referencia (x-y). Las ecuaciones de posicin, v y a son:15.4.1 Movimiento curvilneo plano Movimiento curvilneo plano.- Cuando exista un sistema de coordenadas para el cual las componentes z de la posicin, velocidad y aceleracin sean nulas en todo instante. Movimiento curvilneo en el espacio.- Cuando no sea posible encontrar un sistema de coordenadas cartesianas en el cual sea nula, en todo instante, al menos una componente de la posicin, velocidad y aceleracin.2 LeySuperposicin de dos movimientos rectilneos segn los ejes x e y.


Coordenadas polares: la posicin de un punto se describe utilizando una distancia r a un punto fijo y un desplazamiento angular relativo a una recta fija.

Los vectores unitarios er y e estn dirigidos el primero radialmente y en sentido de alejamiento del punto fijo y el segundo perpendicular al primero y en el sentido de los ngulos crecientes.Las ecuaciones para la posicin, velocidad y aceleracin son:2 LeyEcuaciones escalares


15.4.2 Movimiento curvilneo en el espacio Su descripcin exigir utilizar tres coordenadas y elegir uno de los tres sistemas de coordenadas espaciales (cartesianas rectangulares, cilndricas o esfricas).

Coordenadas cartesianas rectangulares: este sistema es una extensin directa del sistema rectangular empleado en los problemas planos. Las ecuaciones de posicin, velocidad y aceleracin son:2 LeyEcuaciones escalares


Este sistema es una extensin directa del sistema de coordenadas polares empleado en los problemas planos. Las ecuaciones de posicin, velocidad y aceleracin son:2 LeyEcuaciones escalaresCoordenadas cilndricas:


PROBLEMA 15.7Se dispara horizontalmente un proyectil de peso 150 N con una velocidad inicial de 225 m/s desde la cumbre de un ribazo situada 150 m por encima de la zona circundante. Determinar el alcance horizontal R del proyectil y el tiempo que tarda en llegar al suelo. Desprciese la resistencia del aire.


PROBLEMA 15.8Una esfera de masa m est unida en el extremo superior de una varilla vertical de masa despreciable. Al dar un pequeo desplazamiento a la esfera, se inicia la rotacin del sistema en torno al pasador situado en O. Determinar la velocidad lineal v de la esfera y la fuerza P en la varilla cuando sta est en posicin horizontal, si m = 5 kg y R = 2 m.

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