TÉCNICAS SISTEMÁTICAS DE ANÁLISIS DE · PDF fileTÉCNICAS SISTEMÁTICAS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS 58 Análisis y síntesis de circuitos © F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica

© F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

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TEMA 4

TÉCNICAS SISTEMÁTICAS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS

Como es bien sabido el análisis de un circuito comporta formular por una parte lasecuaciones topológicas del circuito, que dependen únicamente de la forma en que se hallaninterconectados los elementos de circuito, y no de su naturaleza, por lo cual a efectos de latopología un circuito puede abstraerse en un grafo; y por otra parte de las ecuacionesconstitutivas de los elementos. Al comenzar este tema avanzado de técnicas sistemáticas deanálisis de circuitos supondremos conocidos todos los aspectos relativos a las distintasformulaciones de las leyes de Kirchoff (KVL y KCL) usando tanto la matriz de incidencia A, lamatriz de bucles fundamentales B, como la matriz de cortes Q, así como la formulación de lasecuaciones constitutivas de los distintos tipos de elementos.

Como recordatorio digamos que las ecuaciones topológicas son:

y las ecuaciones constitutivas en relación con la rama genérica mostrada en la Fig. 4.1 son:

KCL KVL

Aib 0=

Qib 0=

ib BTiL=

ib MTiM=

Bvb 0=

Mvb 0=

vb QTvT=

vb ATvn=


58 Análisis y síntesis de circuitos © F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

(4.1)

4.1 Formulación de ecuaciones basada en la matriz de impedancia

Supongamos que las relaciones constitutivas en (4.1) se pueden expresar de manera que:

(4.2)

Entonces:

(4.3)

Las implicaciones de esta suposición son:1) No se admiten fuentes de intensidad aisladas, que darían una fila de ceros en M.2) De las fuentes controladas sólo se admiten como entes aislados las de tensión

controladas por intensidad (CCVS). Para los demás tipos es necesario combinarcomponentes para lograr que sea M=−1.

4.1.1 Método directo

En este método se eliminan variables entre las ecuaciones constitutivas en (4.3) ya lasecuaciones topológicas:

(4.4)

para obtener un conjunto de B ecuaciones en las B intensidades de rama:

M V Vs–( ) N I Is–( )+ 0=

+

v

−

i

vs

is

Figura 4.1: Rama genérica (la fuente de intensidad también puede colocarse en paralelosólo del elemento de dos terminales).

M 1–= N Z s( )=

V Vs Z s( ) I Is–( )+=

AI 0= BV 0=

4.1 Formulación de ecuaciones basada en la matriz de impedancia

© F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 59

(4.5)

Debemos hacer las siguientes observaciones en esta formulación directa:1) Debe seleccionarse un árbol para escribir B.2) Las ecuaciones anteriores proporcionan I(s). Con éste puede obtenerse V(s) usando las

ecuaciones constitutivas.El problema principal es que la dimensión de las matrices implicadas es muy grande

debido a que se resuelve para todas las intensidades de rama. Normalmente, además, sólo unconjunto reducido de éstas serán de interés.

(hacer problema 26)

4.1.2 Análisis de bucles

En esta técnica se obtienen un conjunto reducido de variables auxiliares, las intensidadesde bucles, en función de las cuales se calculan las demás:

(4.6)

Aplicando KVL:

(4.7)

y eliminando V entre ambas ecuaciones:

(4.8)

La matriz

(4.9)

se conoce como matriz de impedancia de bucles y las intensidades de bucle quedan:

(4.10)

Podemos realizar las siguientes observaciones:1) Se requiere encontrar un árbol del grafo asociado.2) Puede ser de interés si el número de bucles fundamentales es pequeño (B−N<N)3) A partir de Il las restantes intensidades I pueden calcularse a través de:

(4.11)

mientras que las tensiones V pueden calcularse mediante las ecuaciones constitutivas.

BZ s( )A

I s( ) BZ s( )0

Is s( ) B0

Vs–=

I BTIl=

V ZI Vs ZIs–+=

BV 0=

BZBT( )Il BZIs BVs–=

ZL BZBT=

Il ZL1– BZIs BVs–( )=

I BTIl=



Para circuitos con grafos planares se puede considerar una variación del análisis debucles: análisis de mallas:

(4.12)

donde M es la matriz de mallas y las variables Im son las llamadas intensidades de malla.(hacer problema 27)

4.2 Formulación de ecuaciones basada en la matriz de admitancia

Supongamos que se pueden expresar las relaciones de componentes de manera que:

(4.13)

donde Y(s) es la matriz de admitancia de las ramas:

(4.14)

Las implicaciones de esta suposición son:1) No se admiten fuentes independientes de tensión aisladas, que darían lugar a una fila

de ceros en N.2) De las fuentes controladas sólo se admiten las de intensidad controladas por tensión

(VCCS). Cualquiera de las otras hace que se viole la hipótesis de N=−1.

4.2.1 Método directo

Se basa en eliminar variables entre las ecuaciones constitutivas en (4.14) y las relacionestopológicas:

(4.15)

para obtener un conjunto de B ecuaciones en las B tensiones de rama:

(4.16)

Debemos hacer las siguientes observaciones en esta formulación directa:1) Debe seleccionarse un árbol para escribir B.2) Calculado V(s) de las ecuaciones anteriores, I(s) puede calcularse mediante las

relaciones constitutivas.El problema principal es que para calcular V(s) hay que invertir una matriz BxB.

Normalmente, además, sólo se requiere un conjunto reducido de tensiones en las ramas.(hacer problema 28)

MZMT( )Im MZIs MVs–=

N 1–= M Y s( )=

I Is Y s( ) V Vs–( )+=

AI 0= BV 0=

AYB

V s( )AY0

Vs s( )A0

Is s( )–=

4.2 Formulación de ecuaciones basada en la matriz de admitancia


4.2.2 Método de análisis nodal

Como todas las tensiones de rama se pueden obtener a partir de las de nudo es interesanteresolver para el conjunto de tensiones de nudo:

(4.17)

Aplicando KCL:

(4.18)

y eliminando I entre ambas ecuaciones:

(4.19)

La matriz:

(4.20)

se conoce como matriz de admitancia nodal y el vector de tensiones en los nudos viene dado por:

(4.21)

Es interesante hacer las siguientes observaciones:1) Esta técnica no requiere encontrar un árbol por lo que es computacionalmente más

fácil.2) Es de interés si el número de nudos es menor que el de bucles fundamentales (N<B−

N) lo cual ocurre normalmente.3) Conocida Vn se pueden calcular las restantes tensiones e intensidades.

(hacer problema 29)

4.2.3 Método de análisis de cortes

Es similar al método de análisis nodal pero se basa en la matriz de cortes fundamentales.Las variables auxiliares de este método son las tensiones en los ramales:

(4.22)

De estas ecuaciones se obtiene:

V ATVn=

I Is Y s( ) V Vs–( )+=

AI 0=

AYAT( )Vn AYVs AIs–=

Yn AYAT=

Vn Yn1– AYVs AIs–( )=

V QTVr=

I Is Y s( ) V Vs–( )+=

QI 0=



(4.23)

Resolviendo esta ecuación obtenemos Vr, el vector de tensiones en los ramales. Conocido éstese puede calcular cualquier otra tensión o intensidad en el circuito.

A diferencia del método nodal, en el de cortes se necesita encontrar un árbol del grafo. Poruna parte, esto significa mayor complejidad de cómputo. Por otra, da mayor flexibilidad debidoa la posibilidad de encontrar muchos árboles distintos en el mismo grafo.

4.3 Tratamiento de las fuentes controladas

Tratamos aquí con más detalle la manipulación de fuentes controladas en relación con lasdistintas técnicas de análisis.

4.3.1 Técnicas basadas en hacer N=-1

Las únicas fuentes permitidas son las VCCS como la que se muestra en la Fig. 4.2.

La fila p-ésima de las relaciones constitutivas en (4.14) es:

(4.24)

y la fila k-ésima:

(4.25)

Los restantes tipos deben ser previamente transformados. Consideraremos separadamente lapuerta controlada y la de control.

Transformación de la puerta controladaSi la puerta controlada es una fuente de tensión debe combinarse en serie con una

resistencia, condensador o bobina y aplicar Thevenin-Norton, tal como se ilustra en la Fig. 4.3.

QYQT( )Vr QY s( )Vs QIs–=

+

−

Ip Ik

VkVp μVp

+

−

Figura 4.2: VCCS.

1Ip 0Vp+– 0=

1Ik– μVp+ 0=



Transformación de la puerta de controlSi el control es por intensidad, la intensidad de control deberá expresarse en función de

tensiones de rama y/o fuentes independientes, tal como se ilustra en la Fig. 4.4.

La intensidad:

(4.26)

De este modo la puerta controlada queda como una rama compuesta del tipo de la Fig. 4.5, conla siguiente ecuación constitutiva:

(4.27)

μVp

Y

μYVp

Y

Figura 4.3: Ilustrando la transformación de la puerta controlada.

I1 Y1 Vs1

Is1

Ic

Im Ym

Ism

Vsm

μIc

Ik

Vk

+

−

Figura 4.4: Ilustrando la transformación de la puerta de control.

Ic Ip

p 1=

m

∑ Isp YpVsp–( )

p 1=

m

∑ YpVp

p 1=

m

∑+= =

1 Ik Isk–( )– μYpVp

p 1=

m

∑+ 0=



4.3.2 Técnicas basadas en hacer M=-1

Las únicas fuentes permitidas son las CCVS como la que se muestra en la Fig. 4.6.

La fila p-ésima de las relaciones constitutivas en (4.3) es:

(4.28)

y la fila k-ésima:

(4.29)

Los restantes tipos deben ser previamente transformados. Consideraremos separadamente lapuerta controlada y la de control.

Transformación de la puerta controladaSi la puerta controlada es una fuente de intensidad debe combinarse en paralelo con una

resistencia, condensador o bobina y aplicar Norton-Thevenin, tal como se ilustra en la Fig. 4.7.

Ik

+

−

Vkμ YpVp

p 1=

m

∑μ Isp YpVsp–( )

p 1=

m

∑ Isk≡

Figura 4.5: Puerta controlada resultante de la transformación de la puerta de control.

+

−

Ip Ik

VkVp μIp

+

−

Figura 4.6: CCVS.

1Vp 0Ip+– 0=

1Vk– μIp+ 0=



Transformación de la puerta de controlSi el control es por tensión, la tensión de control deberá expresarse en función de

intensidades de rama y/o fuentes independientes, tal como se ilustra en la Fig. 4.8.

La tensión:

(4.30)

De este modo la puerta controlada queda como una rama compuesta del tipo de la Fig. 4.9, conla siguiente ecuación constitutiva:

(4.31)

(hacer problema 30)

μΖIp

Z

μIp

Z

Figura 4.7: Ilustrando la transformación de la puerta controlada.

I1Z1Vs1

Is1

μVc

Ik

Vk

+

−

Figura 4.8: Ilustrando la transformación de la puerta de control.

Im Zm Vsm

Ism

Vc

+

−Vm+

−

V1

+−

Vc Vp

p 1=

m

∑ Vsp ZpIsp–( )

p 1=

m

∑ ZpIp

p 1=

m

∑+= =

1 Vk Vsk–( )– μZpIp

p 1=

m

∑+ 0=



4.4 Formulación por inspección del análisis nodal y de mallas

Aquí veremos cómo formular por inspección del circuito (sin cálculos matriciales) lasecuaciones nodales y de malla. Aunque para las de bucle y corte también se puede derivar unprocedimiento de este tipo, puede resultar de aplicación compleja en un caso genérico.

4.4.1 Formulación nodal por inspección

Las ecuaciones nodales se pueden expresar como:

(4.32)

Cada componente de Js resume la influencia de las fuentes independientes en cada nudo:

(4.33)

Supongamos que sólo se admiten:a) Fuentes independientes (tensión o intensidad).b) Resistencias, condensadores y bobinas.c) VCCS.

Las contribuciones de estas entidades a las matrices Yn y Js se pueden escribir directamente porinspección. Para las fuentes independientes, resistencias, condensadores y bobinas, cuya ramagenérica se muestra en la Fig. 4.10 tendremos las siguientes contribuciones:

Ik

+

−

Vkμ ZpIp

p 1=

m

∑μ Vsp ZpIsp–( )

p 1=

m

∑ Vsk≡

Figura 4.9: Puerta controlada resultante de la transformación de la puerta de control.

YnVn Js=

Js AYVs AIs–=

4.4 Formulación por inspección del análisis nodal y de mallas


(4.34)

Para la VCCS que se muestra en la Fig. 4.11, tendremos la contribución:

(4.35)

Las distintas contribuciones individuales se suman sobre las matrices. Nótese que la suma defilas o columnas es nula.

(hacer problema 31)Nótese que el método de escritura por inspección se puede extender a un elemento

bipuerta genérico, o a uno de tres terminales, con tal que se disponga de una representación de

Yn;

j k

jk

y y–y– y

Js;jk

yVs Is–y– Vs Is+

Figura 4.10:Rama genérica.

j k

Vs

Is

y

Yn

jj'kk'

j j' k k'

0 0 0 00 0 0 0g– g 0 0g g– 0 0

+

−

Vj−Vj‘

Figura 4.11:VCCS.

g(Vj−Vj‘)

kj

j‘ k‘



admitancia para los mismos. Así, para una bipuerta como la de la Fig. 4.12, con la descripciónde admitancia que se muestra la formulación por inspección de la matriz nodal es:

(4.36)

Suponiendo que los nudos j’ y k’ coinciden tenemos un elemento de tres terminales. Lacorrespondiente matriz nodal de admitancias se obtiene sumando primero las columnas j’ y k’y después las filas j’ y k’.

4.4.2 Formulación de mallas por inspección

Recordemos que la formulación de mallas se aplica sólo a grafos planares:

(4.37)

Para las fuentes independientes, resistencias, condensadores y bobinas, cuya rama genérica semuestra en la Fig. 4.13 tendremos las siguientes contribuciones:

(4.38)

Para la CCVS que se muestra en la Fig. 4.14, tendremos la contribución:

Yn

jj′kk′

j j′ k k′

y11 y11– y12 y12–y11– y11 y12– y12

y21 y21– y22 y22–y21– y21 y22– y22

kj

j‘ k‘

I1 I2

V1 V2

+

−

+

−

I1

I2

y11 y12

y21 y22

V1

V2

=

Figura 4.12: Bipuerta con descripción de admitancia.

ZmIm MZMT( )Im MZIs MVs– Es= = =

Zm;

j k

jk

z z–z– z

Es;jk

zIs Vs–z– Is Vs+

4.5 Formulación tableau


(4.39)

Las distintas contribuciones individuales se suman sobre las matrices.

4.5 Formulación tableau

Los métodos anteriores son eficientes y se han utilizado en muchas aplicaciones pero nopueden manejar todos los elementos ideales debido a la necesidad de escribir las ecuacionesconstitutivas de forma restringida, en uno de los siguientes tipos:

(4.40)

Si no se impone dicha restricción las ecuaciones constitutivas se escriben en la forma:

Figura 4.13: Rama genérica.

z

Is

Vs

j

k

Zm

jj'kk'

j j' k k'

0 0 0 00 0 0 0r r– 0 0r– r 0 0

Figura 4.14: CCVS.

r(Imj−Imj‘)

j j’

Ic=Imj−Imj’

Ick’k

I Is Y s( ) V Vs–( )+= V Vs Z s( ) I Is–( )+=



(4.41)

lo que significa que en la correspondiente formulación no resulta posible eliminar V o I. Lasformulaciones anteriores son casos particulares de una formulación general denominadatableau. En esta formulación, todas las ecuaciones que describen el circuito: constitutivas, KVLy KCL se combinan en una gran ecuación matricial sin eliminar variables.

Por ejemplo, una posible formulación desde esta perspectiva sería:

(4.42)

En esta formulación se ha utilizado la matriz B. En otras puede utilizarse la matriz Q. Sinembargo, estas dos matrices, que sabemos que están relacionadas, requieren un esfuerzoimportante para calcularlas: selección de un árbol y transformación adecuada de las matrices.Resulta mucho más fácil trabajar con la matriz de incidencia por lo que la formulación tableaula utiliza. De esta forma la formulación KCL utilizada en la formulación tableau es:

(4.43)

y las ecuaciones KVL:

(4.44)

Las formulación de las ecuaciones constitutivas se verá detalladamente en la Sección 4.6.Únicamente hacer notar que los condensadores se introducen en forma de admitancia y losinductores en forma de impedancia para mantener la variable s en el numerador.

La formulación tableau resulta de combinar estas ecuaciones:

(4.45)

Puede observarse que la formulación es muy general, en el sentido de que todo está disponibledespués de resolver las ecuaciones, aunque las matrices resultantes son de gran tamaño.

M V Vs–( ) N I Is–( )+ 0=

0 AB 0M N

VI

00E

=

AI 0=

V ATVn=

0 A 0

1 0 AT–M N 0

VI

Vn

00E

=

4.6 Análisis nodal modificado



En el método de análisis nodal modificado se usan las siguientes variables:Vn: vector de tensiones en los nudosIaux: vector de intensidades auxiliares

donde en Iaux se enbloba a:a) Intensidades en elementos sin descripción de admitancia. A veces se incluyen aquí las

intensidades en las bobinas ya que para las bobinas suele usarse la representación deimpedancia.

b) Intensidades requeridas como salidas para elementos con descripción de admitancia.

Relaciones topológicas para MNA

(4.46)

(4.47)

donde se distinguen tres grupos de ramas:(V1,I1) ramas con descripción de admitancia cuyas intensidades no se pidan como salida(V2,I2) ramas auxiliares (I2=Iaux)(V3,I3) ramas de fuentes independientes de intensidad

Relaciones constitutivas para MNAPara la escritura de estas ecuaciones supondremos que:a) Cada elemento de dos terminales se asocia a una rama. No se usan ramas compuestas.b) En el caso más general, a cada bipuerta se le asocian dos ramas del grafo, una por puerta.

Estos dos casos se ilustran en la Fig. 4.15.Con esto las ecuaciones constitutivas para los distintos grupos de ramas quedan como:

(4.48)

KCL A1 A2 A3

I1

I2

I3

0=

KVLV1

V2

V3

A1T

A2T

A3T

Vn=

GRUPO 1: I1 Y1V1=

GRUPO 2: Y2V2 Z2I2+ Vs=

GRUPO 3: I3 Is=



La Fig. 4.16 muestra las ecuaciones constitutivas para los elementos básicos del grupo 1mientras que la Fig. 4.17 muestra las ecuaciones constitutivas para los elementos básicos delgrupo 2. La escritura de ecuaciones para los elementos del grupo 3 es inmediata.

Formulación de las ecuaciones MNACombinando las ecuaciones topológicas y constitutivas se obtiene:

(4.49)

donde:

j

k

k’

j

k j’

j

k’

k

j’

j k

Figura 4.15: Ramas del grafo correspondientes a elementos de dos terminales ybipuertas.

+

−

V

I

y

I1I2

V1V2

gV1+

+

−

−

I yV=

I1

I2

0 0g 0

V1

V2

=

Figura 4.16: Ecuaciones constitutivas para elementos básicos del grupo 1.

Yn1 A2

Y2A2T Z2

Vn

Iaux

Js

Vs

=



+

−

I1 I2

V1V2

+

−

V

I

z

+

−

V

I+

−

Vs

+

−

I1I2

V1 V2

μI1+

−

+

−

I1I2

V1V2

μV1+

−

μI1

+

−−

+V1

V2

I1I2

0I 1V+ Vs=

1V– zI+ 0=

0 0μ 1–

V1

V2

1 00 0

I1

I2

+ 00

=

1 00 1–

V1

V2

0 0μ 0

I1

I2

+ 00

=

1 00 0

V1

V2

0 0μ 1–

I1

I2

+ 00

=

1 00 0

V1

V2

0 01 0

I1

I2

+ 00

=

Figura 4.17: Ecuaciones constitutivas para elementos básicos del grupo 2.



(4.50)

El primer grupo de filas en (4.49) da cuenta del balance de intensidades en cada nudo. Elsegundo grupo de filas son las ecuaciones constitutivas de los elementos del grupo 2.

Una vez resueltas las ecuaciones anteriores el resto de variables se puede obtener como:

(4.51)

Conviene hacer notar que tanto Yn1 como Js pueden escribirse por inspección según latécnica explicada en la Sección 4.4.1.

4.6.1 Escritura por inspección de las ecuaciones MNA

La derivación de las ecuaciones MNA usando grafos da lugar a información redundanteasociada a las VCVS, CCCS, etc.

La escritura por inspección permite: (a) eliminar la información redundante y (b)simplificar la escritura.

Veamos ahora la metodología de escritura. Se pretende rellenar la siguiente matriz:

(4.52)

que se puede notar de forma general como:

(4.53)

La submatriz NxN T11 se rellena con los elementos del grupo 1, usando las técnicas vistasen relación con el análisis nodal. De modo análogo se rellena el vector Js. Lo anterior define elnúcleo inicial de T y de Ks. Además el núcleo inicial de X está formado por Vn:

(4.54)

Ahora se insertan uno a uno los elementos del grupo 2: cada nuevo elemento amplía en 1 o 2filas y columnas la matriz T, en 1 0 2 filas el vector Ks, e introduce 1 0 2 intensidades auxiliaresen X. El contenido de las filas y columnas introducidas en T y en Ks constituye el llamado"stamp" del elemento en cuestión. La Fig. 4.18 muestra los "stamps" de elementos para MNA.

Yn1 A1Y1A1T=

Js A3Is–=

V1 A1TVn=

V2 A2TVn=

I1 Y1V1=

T11 T12

T21 T22

Vn

Iaux

Js

Vs

=

TX Ks=

T11 Vn Js=



Ip I2

Ip

z

Ip

E

Ip

μVc

μIp

+

Ip

Vc

gVc

−

jj′

FILA

j j′ COL

11–

1 1– z–

jj′

FILA

j j′ COL

11–

1 1– E

jj′kk′

j j′ k k′

11–

g g– 1–

k’

j’

j

k

j’

j

j

j’

+

Vc

−

j

j’

k

k’

j

j’

k

k’

jj′kk′

j j′ k k′

11–

μ– μ 1 1–

IpIq

rIp

jj′kk′

j j′ k k′

11–μμ–

1 1–

k’

k

j’

j jj′kk′

j j′ k k′ p q

11–

11–

1 1–1 1– r–

0 Vj Vj′– zIp–=

E Vj Vj′–=

Ip– g Vj Vj′–( )+ 0=

Vk Vk′– μ– Vj Vj′–( ) 0=

Vk Vk′– r– Ip 0=

Vj Vj′– 0=

Vj Vj′– 0=

Figura 4.18: Stamps de elementos para MNA



4.6.2 Técnicas nodales para circuitos activos

En un número importante de circuitos sólo se requieren VCVS y fuentes independientesde tensión. Además las salidas son en tensión.

Supongamos que un terminal de cada VCVS y cada fuente independiente está conectadoal nudo de referencia. Entonces:

a) La tensión en el otro terminal es conocida.b) La intensidad puede tomar cualquier valor.La metodología de análisis es la siguiente:1) Señalar las tensiones conocidas en el diagrama del circuito.2) Escribir las ecuaciones KCL para los nudos que no correspondan a tensiones

conocidas, es decir, para nudos no conectados a fuentes de tensión controladas oindependientes.

3) Si hay A.O. y funcionan linealmente escribir tensiones iguales para los dos terminalesde entrada. No escribir KCL para el nudo de salida del A.O. (tener en cuenta que sepuede modelar mediante una VCVS por lo que el paso 2) impone esta restricción.

(hacer problema 34)

Ip

k’

kj’

j

kj

j’

jj′k

j j′ k

11 1–

jj′kk′

j j′ k k′ p q

11–

11–

1 1– sL1– sM–1 1– sM– sL2–

Ip Ip

L1 L2

M

Vj Vj′– 0=

0 Vj Vj′– sL1Ip– sMIq–=

0 Vk Vk′– sMIp– sL2Iq–=

Figura 4.18: Stamps de elementos para MNA (cont.).

4.7 Métodos algebraicos de resolución



El análisis de cualquier sistema lineal (mediante cualquiera de las formulaciones vistasanteriormente o variaciones sobre ellas) implica la resolución de un sistema de ecuacioneslineales de la forma:

(4.55)

donde:

(4.56)

Hay muchas formas de resolver (4.55). El método más conocido pero también el masineficiente es la regla de Cramer. Puede demostrarse que resolver (4.55) mediante la regla deCramer requiere del orden de (2n+1)! multiplicaciones. El método más eficiente es el métodode eliminación de Gauss.

4.7.1 Eliminación de Gauss

El método de eliminación de Gauss se basa en la elemental idea de eliminarsucesivamente variables hasta que quede una sola ecuación con una única variable. Entonces seresuelve esta ecuación para una variable, a la que llamaremos por ejemplo xn. Se sustituye estavariable en las ecuaciones anteriores para obtener las soluciones restantes. Para ilustrar elprocedimiento consideremos el caso en que n=4, siendo el sistema a resolver:

(4.57)

(4.58)

(4.59)

(4.60)

El método de eliminación de Gauss para resolver un sistema de n ecuaciones consiste dedos etapas principales: (a) una eliminación adelante y (b) una sustitución hacia atrás.

Cx K=

x x1 x2 … xn, , ,{ }T=

K K1 K2 … Kn, , ,{ }T=

C

c11 c12 … c1n

c21 c22 c2n

… … … …cn1 cn2 … cnn

=

c11x1 c12x2 c13x3 c14x4+ + + K1=

c21x1 c22x2 c23x3 c24x4+ + + K2=

c31x1 c32x2 c33x3 c34x4+ + + K3=

c41x1 c42x2 c43x3 c44x4+ + + K4=



Eliminación adelanteEs una etapa que se realiza en n−1 pasos, siendo n el número de ecuaciones. Para el caso

considerado:Paso 1: Eliminar x1 para obtener:

(4.61)

(4.62)

(4.63)

(4.64)

La ecuación (4.62) se obtiene multiplicando (4.57) por y sumando el resultado con (4.58).

De forma similar (4.63) y (4.64) se obtienen multiplicando (4.57) por y y sumando

el resultado con (4.59) y (4.60) respectivamente. Este proceso de eliminación es equivalente a premultiplicar el sistema matricial de

ecuaciones (4.57)-(4.60) por las siguientes matrices elementales:

(4.65)

Obsérvese que esta operación es válida solamente si . Este elemento se denominapivote. Dejaremos para más adelante la discusión de cómo operar cuando el pivote es nulo.

Paso 2: Eliminar la variable x2 de las ecuaciones (4.63) y (4.64) para obtener:

(4.66)

(4.67)

(4.68)

(4.69)

Las ecuaciones (4.68) y (4.69) se obtienen premultiplicando la ecuación matricial (4.61)-(4.64)por las siguientes matrices donde es ahora el pivote:

c11x1 c12x2 c13x3 c14x4+ + + K1=

c222( )x2 c23

2( )x3 c242( )x4+ + K2

2( )=

c322( )x2 c33

2( )x3 c342( )x4+ + K3

2( )=

c422( )x2 c43

2( )x3 c442( )x4+ + K4

2( )=

c21c11-------–

c31c11-------–

c41c11-------–

ε1

1 0 0 0c21c11-------– 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

= ε2

1 0 0 00 1 0 0c31c11-------– 0 1 0

0 0 0 1

= ε3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0c41c11-------– 0 0 1

=

c11 0≠

c11x1 c12x2 c13x3 c14x4+ + + K1=

c222( )x2 c23

2( )x3 c242( )x4+ + K2

2( )=

c333( )x3 c34

3( )x4+ K33( )=

c433( )x3 c44

3( )x4+ K43( )=

c222( )



(4.70)

Paso 3: Eliminar x3 de (4.69) para obtener:

(4.71)

(4.72)

(4.73)

(4.74)

La ecuación (4.74) se obtiene premultiplicando la ecuación matricial (4.66)-(4.69) por lasiguiente matriz:

(4.75)

Las ecuaciones (4.71)-(4.74) se pueden escribir matricialmente:

(4.76)

Sustitución hacia atrásTras la eliminación adelante se puede obtener inmediatamente la última variable de (4.74)

y mediante una sustitución hacia atrás en las ecuaciones previas ((4.71)-(4.73)) se obtiene elresto.

El elemento por el que se divide en cada paso, el pivote, debe ser no nulo. Si en algún pasoes nulo se intercambian esa fila con otra inferior en el sistema de ecuaciones en el que el pivote

ε4

1 0 0 00 1 0 0

0c32

2( )

c222( )

--------– 1 0

0 0 0 1

= ε5

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

0c42

2( )

c222( )

--------– 0 1

=

c11x1 c12x2 c13x3 c14x4+ + + K1=

c222( )x2 c23

2( )x3 c242( )x4+ + K2

2( )=

c333( )x3 c34

3( )x4+ K33( )=

c444( )x4 K4

4( )=

ε6

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

0 0c43

3( )

c333( )

--------– 1

=

ε6ε5ε4ε3ε2ε1( )Cx Ux≡

c11 c12 c13 c14

0 c222( ) c23

2( ) c242( )

0 0 c333( ) c34

3( )

0 0 0 c444( )

x1

x2

x3

x4

K1

K22( )

K33( )

K44( )

= =



no sea nulo. Esta operación corresponde a un simple intercambio de ecuaciones y se refleja enun simple cambio de índices en la matriz.

Puede demostrarse que en el proceso de resolución aparecen errores de redondeo. Estoserrores aumentan, pudiendo llegar a ser críticos, cuando el pìvote tiene pequeño valor. Unaestrategia que suele funcionar bien consiste en intercambiar la fila con la fila, de entre las quequedan por debajo, que tenga el pivote mayor.

4.7.2 Factorización LU

Supongamos que C se puede descomponer como el producto de dos matrices:

(4.77)

tal que L es una matriz triangular inferior (tiene elementos únicamente en la diagonal y debajo)con elementos no nulos en la diagonal, y U es una matriz triangular superior (tiene elementosen la diagonal y encima) con todos los elementos de la diagonal igual a la unidad. Una vez quese ha obtenido la factorización en la forma de la ecuación (4.77) la ecuación:

(4.78)

se transforma en:

(4.79)

y

(4.80)

Primero se resuelve para y en (4.79) y después para x en (4.80). Dados que ambos son sistemasde ecuaciones triangulares las soluciones se obtienen fácilmente mediante sustitución haciaatrás.

El único problema que queda por resolver es la descomposición en los factores L y U. Enla eliminación de Gauss el proceso de eliminación adelante proporciona explícitamente U.Puede demostrarse que cada elemento de L aparece en alguna etapa del proceso de eliminaciónadelante.

El método de Crout proporciona una forma de calcular los elementos de L y U de formarecursiva. Consideremos de nuevo el caso en que n=4; entonces la factorización debe ser tal que:

(4.81)

Definimos una matriz auxiliar Q, constituida por los elementos de L y U de la siguiente manera:

C LU=

Cx LUx K= =

Ly K=

Ux y=

l11 0 0 0l21 l22 0 0l31 l32 l33 0l41 l42 l43 l44

1 u12 u13 u14

0 1 u23 u24

0 0 1 u34

0 0 0 1

c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34

c41 c42 c43 c44

=



(4.82)

Los elementos de Q se calculan en el orden que marca la siguiente matriz, cuya posición deelementos corresponde con los de la ecuación (4.82):

(4.83)

Los elementos de L y U se obtienen simplemente igualando los elementos cjk sucesivamente enel orden indicado por (4.83):

l11 u12 u13 u14

l21 l22 u23 u24

l31 l32 l33 u34

l41 l42 l43 l44

1 5 6 72 8 11 123 9 13 154 10 14 16



(4.84)

Es importante destacar en este algoritmo que el cálculo de cada elemento de la matriz auxiliarQ sólo depende del elemento correspondiente de C y de elementos de Q que han sido yacalculados.

Tanto el método de eliminación de Gauss como el método de factorización LU de Croutrequieren del orden de n3/3 operaciones para n grande. Las principales ventajas del método deCrout son por una parte que los errores de redondeo son menores y por otra parte que es másapropiado para la incorporación de técnicas para matrices sparse.

4.8 Métodos topológicos de resolución

Los métodos algebraicos de resolución son claramente superiores para el análisisnumérico de circuitos, es decir, para el análisis de circuitos en los que las transmitancias(impedancias o admitancias) de todos los elementos tienen asignado un valor numérico (real o

c11 l11 1⋅= ⇒ l11 c11=

c21 l21 1⋅= ⇒ l21 c21=

c31 l31 1⋅= ⇒ l31 c31=

c41 l41 1⋅= ⇒ l41 c41=

c12 l11u12= ⇒ u12c12l11-------=

c13 l11u13= ⇒ u13c13l11-------=

c14 l11u14= ⇒ u14c14l11-------=

c22 l21u12 l22+= ⇒ l22 c22 l21u12–=

c32 l31u12 l32+= ⇒ l32 c32 l31u12–=

c42 l41u12 l42+= ⇒ l42 c42 l41u12–=

c23 l21u13 l22u23+= ⇒ u23c23 l21u13–

l22---------------------------=

c24 l21u14 l22u24+= ⇒ u24c24 l21u14–

l22---------------------------=

c33 l31u13 l32u23 l33+ += ⇒ l33 c33 l31u13 l32u23––=

c43 l41u13 l42u23 l43+ += ⇒ l43 c43 l41u13 l42u23––=

c34 l31u14 l32u24 l33u34+ += ⇒ u34c34 l31u14 l32u24––

l33------------------------------------------------=

c44 l41u14 l42u24 l43u34 l44+ + += ⇒ l44 c44 l41u14 l42u24 l43u34–––=



complejo), especialmente si el análisis se realiza mediante ordenador. Por métodos topológicosde análisis entendemos aquellas técnicas que proporcionan la función de red a partir de laestructura de un grafo relacionado de alguna forma con el circuito problema. Los métodostopológicos de análisis son interesantes por dos razones:

(a) La técnica de grafos de flujo de señal permite realizar razonamientos cualitativoscuando se realiza análisis a mano, por ejemplo visualizar realimentaciones, etc.

(b) Estas técnicas son competitivas frente al cálculo de determinantes cuando se trata deanálisis simbólico, es decir, cuando todos o alguno de los parámetros del circuitopermanece como parámetro simbólico.

4.8.1 Grafos de flujo de señal

4.8.1.1 Grafos de flujo de señal y la regla de MasonUn grafo de flujo de señal es un grafo dirigido con peso que representa un sistema de

ecuaciones lineales siguiendo las siguientes reglas:1) Los nodos del grafo representan variables (dependientes o independientes).2) Los pesos de las ramas representan coeficientes de las relaciones entre variables.3) A cada nudo al que llegue alguna rama le corresponde la ecuación: variable del nudo = (peso de la rama que llega x variable desde donde llega la

rama) donde el sumatorio se extiende a todas las ramas que llegan.Es interesante pues ver ahora cómo obtener el conjunto de ecuaciones que representa un

grafo de flujo de señal dado y cómo se puede construir un grafo de flujo de señal a partir de uncierto sistema de ecuaciones. Consideremos por ejemplo el grafo de flujo de señal de la Fig.4.19.

De acuerdo con la regla (3) el grafo de flujo de señal representa el sistema de ecuaciones:

∑

x0

x1

x2

x3

a

b

c d

e

f

g

Figura 4.19: Grafo de flujo de señal.



(4.85)

Un nodo de un grafo de flujo de señal que tiene únicamente ramas que salen de él sedenomina nudo fuente. Un nudo con algunas ramas que entran en él se denomina nododependiente. Si un nudo dependiente tiene únicamente ramas que entran se denomina nodosumidero. Por ejemplo, en el grafo de la Fig. 4.19, x0 es un nodo fuente, x1,x2, y x3 son nodosdependientes y x3 es un nodo sumidero.

Veamos ahora el problema de construir un grafo de flujo de señal a partir de un sistemade ecuaciones. Supongamos que las ecuaciones están expresadas de la forma:

(4.86)

Entonces la manera de construir el grafo de flujo de señal es obvia. Las variables en X son nodosdependientes, las variables en Xs son nodos fuente y los elementos de C y D son transmitanciasde rama: Cij es la transmitancia de la rama que va del nodo Xj al nodo Xi y Dij es la transmitanciade la rama que va del nodo Xsj al nodo Xi.

Sin embargo, es frecuente que el sistema de ecuaciones lineales apareza en la forma:

(4.87)

Existen distintos métodos para transformar un sistema de ecuaciones de la forma en (4.87) a laforma (4.86). Dependiendo del método usado el grafo de flujo de señal será distinto. Veremosque para circuitos lineales activos es posible formular las ecuaciones directamente en la forma(4.86).

Veamos en primer lugar cómo se puede resolver un sistema de ecuacionestopológicamente a través del grafo de flujo de señal asociado. Para ello, es necesario introduciralgunas definiciones previas:

DefinicionesCamino: consideremos que las ramas del grafo dirigido sólo se pueden recorrer en la

dirección que marca la flecha. Un camino del nodo Xi al nodo Xj es cualquier ruta que salga delnodo Xi y llegue al nodo Xj, sin atravesar ningún nodo más de una vez.

Bucle: es un camino con igual nodo inicial y final.Bucle de orden n: es un conjunto de n bucles sin nodos ni ramas en común.Peso del camino: es el producto de todas las transmitancias de las ramas del camino.Peso del bucle: es el producto de todas las transmitancias de las ramas del bucle.Por ejemplo, en el grafo de flujo de señal de la Fig. 4.20 existen dos caminos de X1 a X4

cuyos pesos son:

x1 ax0 dx2+=

x2 bx0 cx1 ex2+ +=

x3 fx1 gx2+=

X CX DXs+=

FX K=



(4.88)

y tres bucles cuyos pesos son:

(4.89)

Hay un bucle de segundo orden cuyo peso es . L1L3 y L2L3 no forman bucle desegundo orden porque se tocan entre sí.

Si en la ecuación (4.86) despejamos X en función de Xs obtenemos:

(4.90)

donde asumimos que la inversa de existe. Por tanto, cualquier variablecorrespondiente a un nodo dependiente puede expresarse en función de las variables de losnudos fuente como:

(4.91)

Cada Tji se denomina la transmisión del nodo fuente Xsi al nodo dependiente Xj. La llamadaregla de Mason proporciona un mecanismo topológico para evaluar Tji. De acuerdo con ella:

(4.92)

donde Δ=1−(suma de los pesos de bucle)+(suma de los pesos de bucle de segundo orden)−(suma de los pesos de bucles de tercer orden)+...

Pk=peso del camino k-ésimo del nodo fuente Xsi al nodo dependiente Xj.Δk=suma de los términos de Δ en los que ninguno de los bucles constituyentes tocan al

camino k-ésimo.

P1 ab= P2 cdfb=

L1 h= L2 de= L3 fbg=

L1L2 hde=

Figura 4.20: Ilustrando los caminos y bucles de un grafo de flujo de señal.

x1

x2

x3

x4

x5

a b

c

d

e

fg

h

X 1 C–[ ] 1– DXs=

1 C–[ ]

Xj Tj1Xs1 Tj2Xs2 … TjmXsm+ + +=

TjiXjXsi-------⎝ ⎠⎛ ⎞

Xsi 0 Xs1;≠ 0 Xs2, 0 … Xsm, , 0= = =

1Δ--- PkΔk

k∑= =



Se puede demostrar que Δ es igual a por lo que a Δ se le suele denominardeterminante del grafo.

(hacer problema 35)(hacer problema 36)(hacer problema 37)

4.8.1.2 Formulación del grafo de flujo de señalEn esta Sección describiremos cómo formular sistemáticamente un grafo de flujo de señal

(SFG) para cualquier circuito lineal consistente de elementos pasivos RLC y fuentes, tantoindependientes como controladas.

Consideremos primero el caso en que el circuito contiene unicamente inmitancias yfuentes independientes. Si consideramos que no existen bucles de fuentes de tensión ni cortesde fuentes de intensidad, entonces es posible encontrar un árbol T tal que todas las fuentes detensión VE son ramas del árbol y todas las fuentes de intensidad IJ son ramas del coárbol.Consideraremos caracterizadas las ramas pasivas del árbol por la matriz de impedancia ZT y lasramas del coárbol por la matriz de admitancia YL. El SFG se construye siguiendo los siguientespasos que se muestran esquemáticamente en la Fig. 4.21:

1) Expresar cada elemento de VL en función de VE y VT utilizando KVL.2) Expresar cada elemento de IT en función de IL y IJ utilizando KCL.3) Expresar la tensión de cada rama pasiva del árbol en función de la intensidad de la

rama: VT=ZTIT.4) Expresar la intensidad de cada rama pasiva del coárbol en función de la tensión de la

rama: IL=YLVL.

El grafo de flujo de señal resultante se denomina grafo de flujo de señal primitivo. Sepuede reducir el número de nudos de este grafo eliminando las variables IT y VL, obteniéndoseel denominado grafo de flujo de señal compacto. Para formular directamente este grafo se hande seguir las siguientes reglas:

1 C–

Figura 4.21:Grafo de flujo de señal primitivo.

KVL

KCL

VE

VT

VL

ZT

YL

IT

IL

IJ



1) Para cada rama pasiva del coárbol Yk, expresar su intensidad en función de tensionesde las ramas del árbol utilizando Ik=YkVk y la ecuación KVL.

2) Para cada rama pasiva del árbol Zj, expresar su tensión en función de intensidades delas ramas del coárbol utilizando Vj=ZjIj y la ecuación KCL.

Este grafo de flujo de señal compacto se muestra esquemáticamente en la Fig. 4.21.

Si el circuito contiene además fuentes controladas se sigue el siguiente procedimientopara formular el grafo de flujo de señal compacto:

1) Reemplazar todas las fuentes controladas por fuentes independientes del mismo tipo.El circuito resultante no tiene fuentes controladas.

2) Formular el SFG compacto para el circuito resultante.3) Expresar (y representar en el SFG) las salidas deseadas y las variables de control en

función de tensiones de las ramas del árbol e intensidades de las ramas del coárbol, siya no lo eran.

4) Imponer las restricciones de las ramas de las fuentes controladas.(hacer problema 38)

Figura 4.22:Grafo de flujo de señal compacto.

VE

VT

IL

IJ



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TÉCNICAS SISTEMÁTICAS DE ANÁLISIS DE · PDF fileTÉCNICAS SISTEMÁTICAS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS 58 Análisis y síntesis de circuitos © F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica