Referencias:

Tipler, P. and Mosca, G.(2004) Physics for Scientists and Engineers. Vth Ed.

Freeman and Company

Beer, F. and Jonhston, E. R. (2007) Vector Mechanics for Engineers. McGraw-

Hill

MECÁNICA

Cinemática de partículas:

La cinemática es el estudio de la geometría del movimiento; su objeto es relacionar

el desplamiento, la velocidad la aceleración y el tiempo, sin referencia a la causa del movimiento

Movimiento en una dimensión Movimiento en dos y tres dimensiones

Desplazamiento y velocidad

MECÁNICACinemática de las partículas

Movimiento en una dimensión

Posición, Desplazamiento, Velocidad, “rapidez”. Una dimensión

Posición xi. se define

por un marco o sistema

de referencia

Desplazamiento: es el cambio en la posición de la partícula

Velocidad: El ritmo al cual cambia la posición, m/s

Distancia recorrida: s

distancia total recorrida

Rapidez promedio: ratio de la distancia total recorrida por el tiempo empleado en recorrerla

Velocidad instantánea dt

ds

t

s

La velocidad instantánea es el límite del cociente Δx/Δt, cuando Δt tiende a cero, y tiene signo, positivo significa que x crece, y negativo que x disminuye

= pendiente de la línea tangente a la curva x frente a t

Velocidad promedio

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Velocidad promedio e instantánea. Interpretación geométrica Movimiento en una dimensióh

La magnitud

de la velocidad

instantánea es la

rapidez

dt

ds

La velocidad promedio es la pendiente de la línea recta

Interpretación geométrica de la velocidad media

Velocidad instantánea

Velocidad promedio e instantánea.

Comentarios sobre terminología.

Diferencia entre velocidad y rapidez

Cuando hablamos de rapidez o módulo de la velocidad instantánea , estase considera siempre positiva. La “rapidez” promedio en un recorrido espues el promedio de los valores de la rapidez (módulo de la velocidad)instantánea, y es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempoempleado en recorrerla

Cuando hablamos de velocidad nos referimos a la velocidad como vector,por tanto tiene módulo y dirección. Cuando tratamos movimientosunidimensionales la dirección del vector la suele indicar el signo. Positivoo negativo

La diferencia fundamental entre ambos concceptos se encuentra cuandohablamos de velocidad promedio. En un movimiento como el que recorreun coche de Fórmula 1, al dar una vuelta al circuito la velocidad promedioen ese ciclo sería cero, pero el módulo de la velocidad instantáneapromedio sería la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado enrecorrerla.

Velocidad promedio e instantánea.

dsv

dt

velocidad instantánea

ds es el infinitésimo de arco, distancia sobre la curva que recorre la partícula, en un infinitésimo de tiempo, dt;

Cuando se considera movimiento unidimensional, aunque fuera movimiento curvilíneo, es frecuente utilizar la letra “s” como distancia desde el origen, entonces “s” ya es posición y no distancia recorrida, por lo que tiene asociado un signo, positivo para distancias que crecen, negativo al contrario.

Cuando consideramos un movimiento rectilíneo para la distancia desde el origen se suelen utilizar letras como “x”, coincidiendo con el nombre del eje cartesiano correspondiente, entonces ds= dx

En el caso general de movimiento curvilíneo tridimensional, y para cordenadas cartesianas

2 2 2ds dx dy dz

Aceleración

MECÁNICACinemática de partículas

Movimiento en una dimensión

Aceleración Movimiento en una dimensiónAceleración es el ritmo de cambio de la velocidad instantánea

Aceleración promedio, m/s2

2

2

dt

xd

dt

dtdxd

dt

dv

Aceleración instantánea, m/s2

Movimiento bajo aceleración constante, a = aav = constante;

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Caso práctico: Objetos en caida libre “ que caen libremente bajo la

influencia de la gravedad solamente” “Cerca de la superficie de la tierra todos los objetos sin sujección caen verticalmente con aceleración constante (considerando la resistencia del aire despreciable) Aceleración de la gravedad ~ 9,81 m/s2.

atvv o

2

2

1attvsxxx oo savv

xavv

o

o

2

2

22

22

Eliminando t

pendiente de la línea tangente a la curva v frente a t

¿Cómo es el movimiento que se muestra en la figuras?

Escribe la ecuación que describe el movimiento en cada caso

Describe el movimiento que se representa en la figura. Estima la aceleración cuando: t=50 s; t=120 s; ¿Cual es la distancia recorrida desde el origen de tiempo a t = 60 s; t= 180 s

Un coche acelera desde el reposo como se muestra en la figura. Dibuja un gráfico mostrando su velocidad y posición respecto al tiempo

EjerciciosUn coche que parte del reposo registra la velocidad que se representa en la figura. Estima la distancia que recorre en los primeros 4 segundos. Calcula la aceleración cuando t = 2 s

Movimiento relativo de dos partículas Movimiento en una dimensión

ABAB xxx /Posición relativa de B respecto de A

BA xx

Velocidad relativa de B respecto de A

ABAB vvv /

Aceleración relativa de B respecto de A

ABAB aaa /

Movimientos dependientes Los movimientos de las partículas están enlazados,no son independientes

02

02

Constante2

AB

AB

AB

aa

vv

xx

Ejemplo: Poleas y objetos enlazados por cuerdas inextensibles

Un sistema de referencia es un objeto cuyas partes están en reposo relativo unas de otras

DEFINICIÓN DE SISTEMA DE REFERENCIA

MECÁNICA

Cinemática de partículas

Movimiento en dos y tres dimensiones

Vectores

Suma y resta de vectores

Método del paralelogramo

¡vamos a necesitar un concepto matemático!

Los vectores son objetos que poseen magnitud y dirección y se suman como los desplazamientos

Componentes rectangulares de un vector

Componentes de un vector

La suma de vectores puede hacerse por el procedimiento de unir la cabeza de uno con la cola del otro, el método del paralelogramo, o analíticamente usando los componentes del vector

Vectores

Vectores unitarios

Posición, Velocidad [rapidez], y Aceleración

Vectores posición, velocidad y aceleración Movimiento curvilíneo

Velocidad. Vector

Rapidez [speed]

s distancia medida sobre la curva desde un origen Po

dt

dsv

ΤvΤdt

ds

dt

rd

Δt

Δrlimv

0Δt

Vectores posición, velocidad y aceleración Movimiento curvilíneo

Aceleración

dt

Tvd

dt

vd

t

vdlima

0t

Componentes rectangulares del vector, posición, velocidad y aceleración Movimiento curvilíneo

kzjyixr

kdk

dzj

dt

dyi

dt

dxv

kdt

zdj

dt

ydi

dt

xda

2

2

2

2

2

2

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Nv

Ndt

dsN

dt

d

dt

Td

Nv

Tdt

dvN

vvT

dt

dv

dt

TdvT

dt

dv

dt

Tvd

dt

vda

Tvv

2

Componentes tangencial y normal de la aceleración

ACELERACIÓN TANGENCIAL

ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA

NT

2

aaNv

Tdt

dv

dt

vda

Tvv

Caso especial: Movimiento circular

Caso especial: Movimiento circular

Radio, r [m] Arco, distancia recorrida, s [m] Velocidad, v; Rapidez, v [m/s] Ángulo girado, θ, [rad] Velocidad angular ω [rad/s] Aceleración angular, α [rad/s2] Aceleración, a [m/s2] Aceleración Tangencial, aT [m/s2] Aceleración Normal, aN [m/s2]

Frecuencia, ν [ciclos/s][Hertz] Período, T, [s]

22

T

N

arco angulo x radio

ds d R

ds dR

dt dt

v R

dv da R R

dt dt

va R

R

Relaciones básicas en el movimiento circular

!!!Ángulos en radianes!!!

Ejercicio: Representar a escala la velocidad y aceleración del punto P de la figura que gira con velocidad angular constante de 5 rad/s y radio de giro 3 m.

ABAB

ABAB

ABAB

aaa

vvv

rrr

/

/

/

Movimiento relativo a un sistema de referencia móvil: Caso de traslación

La posisición, velocidad y aceleración dependendel sistema de referencia desde el que se midan.

Sin embargo, si el movimiento del sistemade referencia móvil es de traslaciónuniforme, la aceleración es la misma medidaen los dos sistemas, el fijo y el móvil

AB

AB

AB

a

v

r

/

/

/

Posición relativa de B respecto al sistema móvil Ax´y´z´, o posición de B relativa a AVelocidad de B relativa al sistema de referencia móvil Ax´y´z´, o la velocidad de B relativa a A.Es la derivada del vector posición relativa

Acleración de B relativa al sistema de referencia móvil Ax´y´z´ o la aceleración relativa respecto de A. Es la derivada del vector velocidadrelativa

El movimiento de B respecto al sistema fijo Oxyz se denomina movimiento absoluto

B

AAO

ABv /

Av

A/BAB

A/BAB

A/BAB

aaa

vvv

rrr

Movimiento relativo respecto a un sistema de referencia

Si el vagón tiene un movimiento de traslación uniforme, las aceleraciones son las mismas medidas desde los dos sistemas

Problemas

Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 190 m de altura sobre el mar, con una velocidad de 180 m/s y un ángulo de 30º con la horizontal. Si se ignora la resistencia del aire (a) calcular la distancia horizontal desde el cañón hasta donde el proyectil impacta con el mar (b) la altura máxima que sobre el nivel del mar alcanza el proyectil

El automóvil A viaja hacia el este con una velocidad constante de 36 km/h. Cuando el automóvil A cruza la intersección que se muestra, el automóvil B parte del reposo desde una distancia de 35 m al norte de la intersección y se mueve hacia el sur con una aceleración constante de 1,2 m/s2. Determinar la posición, velocidad y aceleración de B relativa a A 5 s después de que A cruce la intersección

Un automovilista viaja a 120 km/hora sobre un tramo curvo en una autopista de 800 m de radio. Aplica los frenos, provocando que la rapidez del coche disminuya de forma constante y al cabo de 3 s la velocidad es de 90 km/hora. Calcular la aceleración del coche justo cuando el automovilista inicia la aplicación de los frenos