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Sur la théorie de la résonance ferromagnétique dans lesmétaux

Gilbert Munschy

To cite this version:Gilbert Munschy. Sur la théorie de la résonance ferromagnétique dans les métaux. Journal dePhysique, 1966, 27 (11-12), pp.760-768. �10.1051/jphys:019660027011-12076000�. �jpa-00206470�

760.

SUR LA THÉORIE DE LA RÉSONANCE FERROMAGNÉTIQUE DANS LES MÉTAUX

Par GILBERT MUNSCHY,Laboratoire Pierre-Weiss, Institut de Physique, Strasbourg.

Résumé. 2014 On précise les expressions de la perméabilité isotrope équivalente et de la condi-tion de résonance ferromagnétique dans le cas d’un petit coefficient d’échange et d’un effet depeau normal. On montre que les ondes absorbées dans l’épaisseur de peau du métal ne sontpas toutes rentrantes : à la résonance, il y a essentiellement une onde rentrante et une onderéfléchie par le métal massif sous-jacent.

Abstract. 2014 Explicit expressions are given for the equivalent isotropic permeability andfor the condition of ferromagnetic resonance in the case of a small exchange coefficient andof a normal skin effect. It is shown that the waves absorbed in the skin depth of the metalare not all re-entrant waves : near the resonance field, there is mainly one re-entrant wave andone wave reflected by the underlying bulk metal.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 27, NOVEMBRE-DÉCEMBRE 1966,

Introduction. - Dans leur étude de 1’effet desinteractions d’echange des porteurs de moments surla resonance f erromagnetique dans les m6taux,Ament et Rado [1] aboutissent a 1’expression d’uneperméabilité isotrope 6quivalente {Léqu = P-1 - ’P-2a partir de laquelle ils calculent le champ de réso-nance par la condition u1 = 0. Cependant, les hypo-th6ses faites limitent la validite de leurs resultats

th6oriques 4 certaines experiences de resonance ditesd’ondes de spin (spin wave resonance) pour les-

quelles 1’effet d’echange observe est relativement

important. C’est le cas des experiences de Rado etWeertman [2], qui sont caractérisées par une fr6-quence de 3 000 a 4 000 MHz et par des 6chantillonsde fer-nickel de tres faible anisotropie magn6to-cristalline. Le champ statique applique est del’ordre de 100 Oe. En résonance ferromagnétiqueordinaire, par contre, les frequence sont en gros dixfois plus 6lev6es et les champs appliques sont del’ordre de 10 000 Oe. L’effet d’6change est alors rela-tivement moins important et il est parfois n6gli-geable devant 1’effet de relaxation de Landau [2, 3].

L’objet de ce travail est d’etablir des expressionsplus g6n6rales de la perméabilité et du champ deresonance en supposant que le facteur d’echange eest petit devant l’unit6 et que 1’effet de peau estnormal. La situation physique a laquelle se rappor-tent ces approximations peut etre caract6ris6ecomme suit : le terme d’6change du second ordre(2A/M2) AM dans l’induction effective agissant surles porteurs de moments est petit devant 4nMs,c’est-a-dire petit devant l’induction statiqueHo + 47tMs ; la temperature n’est pas trop basse,la loi d’Ohm s’applique et la conductivite est donn6epar sa valeur statique ; en outre, l’échantillon m6tal-lique est massif et il n’y a pas d’effets parasites desurface ou d’impuret6.

Dans la premiere partie du travail, le probl6me de1’interaction de l’onde radiofréquence incidente etdu milieu ferromagnétique est d’abord defini (lesequations differentielles, les conditions aux limites).La géométrie adoptee est celle d’une onde normaleau plan d’incidence et d’un champ statique paral-16le a ce plan. Dans la deuxi6me partie, la solutiondu probleme est pr6cis6e dans les divers cas a envi-sager (effet d’6change predominant, effet d’6changefaible). Les resultats sont resumes dans la conclu-sion. Pour plus de clart6, le detail des calculs estdonne en fin de texte (appendices I et II).

Symboles utilises.

Ho : champ magnetique statique assurant la satu-ration, corrig6 des effets demagnetisants etd’anisotropie,

Ms : aimantation a saturation,e(ex, ev, ez) vecteurs 6lectrique et magn6tique deh(hx, hy, hz) l’onde radiof requence appliqu6e,m(mx, my, mz) : aimantation rf,u : permeabilite magn6tique définissant l’induc-

tion b == uh,cr : conductivite statique du metal,y : rapport gyromagnétique ge,’2mc (e, m char ge

et masse de 1’electron, c vitesse de la lumi6re,g facteur assez voisin de 2),

co, k : pulsation et constante de propagation del’onde rf,

À : coefficient de relaxation,A : coefficient d’echange,Z : impedance de surface,8 . epaisseur de peau classique pour une permea-

bilité u = 1,

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019660027011-12076000

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du meme ordre de grandeur,# approximativement 6gal,

* : conjugaison complexe.N. B. : Ho, Ms, C71 (ù, À, A, 8, e sont des cons-

tantes r6elles positives. Sauf indication contraire,les unites utills6es sont les unites cgs du syst6me deGauss.

Les equations diferentielles. - Lorsqu’une ondeélectromagnétique radiof requence p6n6tre dans unmilieu f erromagnetique sature par un champ sta-tique, le milieu absorbe de 1’energie et 1’absorptionest maximale a la resonance. L’interaction de l’ondeet du milieu est regie par les equations de Maxwell :

et par 1’6quation de mouvement du vecteur ainlan-tation :

Le courant de deplacement est n6glig6 devant lecourant de conduction metallique, qui est supposedonne par la loi d’Ohm j = ae et caractérisé parune grande conductivite statique a (a sw 1017 ues).Le champ magnetique H est la somme du champstatique Ho et du champ rf h. De meme, l’aiman-tation M est la somme de la composante statique Mscolin6aire a Ho et d’une composante rf m. Ordinai-rement, Ho et 4T!:Afs ~ 104 uem, mais Ho peut se

r6duire considérablement dans le cas de la reso-nance d’ondes de spin [2]. L’induction effective estécrite sous la forme :

Elle comprend, outre le champ H, un termed’echange d6crivant le couplage des spins voisins[4, 5] et un terme phenomenologique de relaxationdu type Landau [6]. L’apparition du terme

d’échange est due au fait que l’aimantation cessed’etre uniforme en presence du champ rf. Si

[a2 p1[ « 7j, 1’effet d’échange ne repr6seilte qu’unefaible correction du champ H (Hech ~ 1 %). Parexemple, a temperature ambiante et aux fréquencesordinaires de 30 000 MHz, 8 10-4 cm, A . 10 -serg/cm, Ho et 4,7M, _- 104 uem, c sw 10-3, "I) ~ 1,u sw 10 a 100 et 1’effet d’6change est faible [3, 7J.Par contre, en resonance d’ondes de spin, E 10-3,q sw 10-3, ! 103 et E2 , N 7j. L’eflet d’echangerepr6sente alors une fraction notable du champ deresonance (H éch ~ 20 a 30 0;0). Dans ce dernier cas,le terme dc relaxation ne jouerait d’ailleurs aucunrole pour 1’interpretation des resultats experimentaux [1, 2].

L’echantillon de metal ferromagnetique est limit6par le plan Oxz (y 0 milieu air, y > 0 milieu

metal). Son epaisseur est suppos6e grande devant1’epaisseur de peau effective aeff = ð/If.L11/2 dans

laquelle sont absorbees les ondes rf. Ainsi sont

exclus les effets géométriques de Kittel [8], qui semanifestent lorsque 1’epaisseur de 1’echantillon estd6terminante. Le champ statiquc Ho est supposeplace suivant I’axe Oz, 1’onde plane 6tant norma-lement incidente suivant I’axe Oy. La composantetangentielle du vecteur magnetique rf a la limiteair-metal se place suivant 1’axe Ox. En outre, con-formement aux hypotheses d’Ament et Rado, lesvecteurs e, h et m sont supposes proportionnels à1’exponentielle exp (imt - ky) dans le metal, leursmodules 6tant petits devant Ho et Mg. Cette suppo-sition est justifi6e lorsque la loi d’Ohm s’applique,c’est-a-dire lorsque l’ épaisseur de peau 3eff est

grande devant le libre parcours moyen l des 6lee-trons de conduction. Ainsi, a temperature ambiante,l ~ 10-6 cm et S eff ~ 10-4 a 10-5 cm. Par centre,a basse temperature, le libre parcours l croit dansdes proportions tres notables (de 10 -6 a 10 -2 cm),la loi d’Uhm ne s’applique plus ct 1’effet de peaudevient anormal. Rado [9] indique la correction

qu’il convient d’appliquer au calcul de la permea-bilit6 isotrope 6quivalente, dans le cas d’un effet depeau faiblcment anormal. En outre, I’hypothese decontinuite faiLe en relnplaçant le reseau de spinsdu modèle de Heisenberg par un continuum pour lecalcul du champ d’6change peut être considereecomme justifiee tant que 1’epaisseur ðeff est grandedevant les parametres du reseau [1].En n6gligeant les termes quadratiques en m, e, h

et en 61iminant une solution qui n’est pas excit6epar l’onde incidente, le systeme d’6quations (1), (2)se ramene a un systeme homogene de trois equa-tions linéaires en mx, mv, hx dont 1’equation sécu-laire est cubique en K2 :

Les trois racines Kn (n = 1, 2, 3) d’interet phy-sique correspondent aux trois ondes absorbees parle metal (fle (kg) > 0). Finalement, les compo-santes cart6siennes des vecteurs e,,, hn, mn sont

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données comme suit en fonction des composantes:

Les conditions aux limites. - Les propri6t6s 6lee-tromagnétiques du metal sont enti6rement deter-min6es par la donn6e de 1’impedance de surfaceZ = (e,,Ih,,),-O, quotient des composantes tangen-tielles des vecteurs e et h a la limite air-metal (enomettant le facteur 47/c). Aux deux conditions decontinuite usuelles :

Ament et Rado [1] ajoutent la condition :

pour exprimer que le couple d’6change total est nul.Le couple exerc6 par le spin i sur le spin / est eneffet 6gal et oppose au couple exerce par le spin jsur le spin i [4, 5]. D’ou les deux conditions :

L’existence à la surface du ferromagnétique d’unesurface d’anisotropie de N6el ou d’une couche anti-ferromagnétique modifierait cependant ce deu-xi6me groupe de conditions, du fait de l’apparitiond’un couple supplémentaire a la limite air-metal.Rado et Weertman [2] d6duisent dans ce cas lesconditions plus generales :

Ksurf repr6sente une densite d’energie d’anisotropiesuperficielle. Toutefois, les ordres de grandeurA ~ 10-6 erg/cm, k ~ 105 cm-1, Ksurf ~ 10-2erg/cm2 indiqu6s par ces auteurs montrent que Ku,fpeut souvent etre n6glig6 en premiere approximation,ce qui sera fait par la suite.En superposant les ondes (3) absorbées par le

métal, les conditions (4) determinent les compo-santes hnx (n = 1, 2, 3) en fonction de la valeur hoxdans 1’air. La condition de compatibilite fournit

l’imp6dance :

expression obtenue apres simplification par un poly-nome antisymetrique de degr6 trois en K1, K2, K3.

En vue de la comparaison avec les résultats expéri-mentaux, Ament et Rado définissent la permeabiliteisotrope 6quivalente plequ = lL1 - ilL2, qui est telleque l’imp6dance (P.-eq,,/Ceff) 1/2 d6duite de la rela-tion b = lLequ h et des equations de Maxwell soit

6gale a 1’impedance Z. La constante di6lectriqueeffective Eeff est trouv6e 6gale a

d’ou la permeabilite isotrope 6quivalente :

La permeabilite 6quivalente est une donn6e exp6-rimentale, fonction du champ statique pour unefrequence donn6e de l’onde rf appliqu6e. Le calculqui vient d’être décrit est ad6quat si 1’expres-sion (5b) permet de retrouver la meme permeabiliteen ajustant convenablement les param6tres A, g et X.Rado et Weertman [2] ont trouv6 qu’il s’appliquebien pour l’interprétation de leurs mesures a temp6-rature ambiante, m8me au voisinage du champ deresonance. Cependant, ainsi que 1’ont soulign6 Hirstet Prange [10] dans un travail plus r6cent, la valeuroptimale A = 3 a 4 X 10-6 erg/cm attribuée aucoefficient d’echange parait trop forte.En 1’absence d’6change, le calcul de la permea-

bilit6 est imm6diat du fait qu’il ne subsiste qu’uneseule onde donn6e par 1’equation

d’ou la permeabilite uequ = u1 - 1plz = k2 1 a2 /21et la condition de resonance fle (lLequ) = u1 = 0,soit :

La frequence de resonance est donn6e parQ2 = n(n + 1) si Ie facteur L de relaxation est

négligé. C’est ce qu’6nonce la condition de Kittel [11]m2 = y2 HO(HO + 47tMs). Plus généralement,1’existence des racines du trinome (6a) impliquel’inégalité :

qui sera suppos6e v6rifi6e par la suite. Dans lesconditions usuelles, À ~ 108 4 109 s-1,

Ma = 103 uem, y ~ - 107 ues,ILl = - X/M. y -- 10-1 4 10-2 et L2 est alors

n6gligeable devant l’unit6.Si 1’echange devient appreciable, l’ équation s6cu-

laire (3a) fournit trois ondes k1, k2, k3 physiquementacceptables et le calcul de l’imp6dance Z se com-plique. Dans la condition de resonance, il apparaîtun terme d’6cbange en c2l QL concurremment au

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terme de relaxation en Q2 L2. Deux cas sont alors à

distinguer [12] :

Le premier cas est relatif a la predominance de1’effet d’6change, le deuxieme 4 l’entrée en comp6-tition de 1’effet de relaxation.

ler Cas : Effet d’echeance predominant. - Si

e2/QL > Q2 L2 et si le champ statique est assezvoisin du champ de r6sonance, les racines de 1’6qua-tion s6culaire (3a) se réduisent aux expressions deMacDonald [13] (pour le detail des calculs, voir

Fappendice I). Les trois constantes de propa-gation kl, k2, k3 se disposent dans le plan complexecomme le montre la figure 1 et jqe (k2) » fle (k1),

FIG.1. - Constantes de propagation h,., k2, k3.

Re (k3) > 0. En premiere approximation, il y a

deux ondes dans le metal a la resonance, l’uneentrante, l’ autre réfléchie :

a 6tant le nombre positif :

et z la racine r6elle de 1’equation :

Lorsque oc croit de zero a l’infini, la racine z

décroît monotonement jusqu’a zero (fig. 2). Voici

quelques valeurs numeriques :

FIG. 2. - Variations de z en fonction de cx.

En d6finissant par --

les modules et arguments des radicaux qui rentrentdans 1’expression de kl, k3, il est aise de dresser letableau de variation ci-apres.

Les deux ondes sont completement absorbeesdans 1’epaisseur de peau classique, car

L’epaisseur de peau effective est approchée par

Seff sw 8 ,nxax ( yla, VOL L soit Seff ~ 0,1 a envi-ron.

La frequence de resonance est donnée par la rela-tion :

ou Q2 0 d6signe la racine de 1’6quation (6a) en

l’absence d’echange. En resonance ordinaire, leterme QÕ predomine largement au second membre.En resonances d’ondes de spin, par contre,Qg sm5 q __ - e , ~ 10-3 et le nombre a est petit. C’estce dernier cas qu’ont 6tudl6 Ament et Rado, quimentionnent la valeur z = 0,7044 pour oc = 0 et

remarquent que 1’accord avec leurs experiences est

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le meilleur possible en n6gligeant la relaxation. Lapermeabilite s’ecrit :

C’est l’ordre de grandeur qu’on observe en reso-nance d’ondes de spin. En resonance ordinaire, onobserve generalement !Lequ " 10 a 100, c’est-a-direune valeur qui semble plut6t en accord avec un effetde relaxation predominant [3]. Remarquons cepen-dant que ll-equ ~ 10 reste compatible avec

c: 2/QL Q2L 2 en supposant e sw 10-2, Q2 sr q sw 1et ILI ~ 1/20.

L’expression (9a) de la permeabilite et les expres-sions (7a) des constantes de propagation restentvalables dans le voisinage du champ de resonanceen définissant a et z par les relations (7b), (8).L’équation (7c) est obtenue en 6crivant la conditionde resonance fle (!Lequ) == 0. En particulier, lorsque1) « 1, Q2 0 est approché par 1) et la permeabilite (9a)se réduit à 1’expression d’Ament et Rado :

Connaissant les constantes kn et l’imp6dance desurface Z, il est possible de calculer sans grandedifliculte (appendice I) les composantes hnx, puisles autres composantes cart6siennes des vecteurs

radiofréquence 6lectrique et magnetique.2e Cas ; Effet d’echange faible. - Si

2/ QL Q2 L 2 ou si le champ statique est assez

loin du champ de resonance, les racines de 1’equa-tion s6culaire se r6duisent aux expressions donn6esdans l’appendice II. Dans le voisinage du champ der6sonance, les constantes de propagation satisfontaux in6galit6s jqe (k2), Re (k3) » Re (k1). En pre-miere approximation, il n’y a qu’une seule ondedans le metal :

L’argument 61, petit devant 1’unite, est 6gal 4

F( Q2) 6tant le trinome (6a). Cette onde est absorbéedans 1’epaisseur de peau classique, car

i-te (k1) # I/a,ff ~ I/a VOL

et KIL -- flo L 1 (en vertu de la condition (6b))La condition de resonance s’6crit :

Dans le premier cas, on retrouve simplementl’équation (6a) valable en l’absence d’6change. Dansle second cas, OL « 1 et la frequence de resonanceest donn6e par la relation :

Q2 d6signant la valeur correspondante en k’absenced’ echange :

Le terme d’6change obtenu est dans ce cas de laforme pr6vue par Herring et Kittel [3]. Deux 6ven-tualit6s se presentent : en resonance ordinaire,n » e2fQL et alors L2 « 1 ; en resonance d’ondesde spin, n ~ e 2/ QL et alors le terme d’echangerepr6sente une fraction notable du champ de reso-nance, ainsi d’ailleurs que le terme de relaxation. Lecas e2/ 0 L -- Q2 L2 peut Atre considere aussi commeun cas limite de 1’effet d’6change preponderant(voir l’appendice I).La permeabilite se met sous la forme :

avec l/i2L ;:.-& 10 a 102 pres de la resonance. Leterme en e2/Q2 L 2, qui est a negliger si

est du a un petit effet de l’onde extraordinaire deconstante k3.

Loin de la resonance, c’est-h-dire dans le domainedes hautes frequence Q2 > L22 a = (YJ + 1)2 (1 + L2)et 6galement pour Q2 U2 r = q(q + 1) (1 + L2)si n ~ 1, les conclusions sont un peu diff6rentes

(voir l’appendice II). Les constantes de propagationsatisfont encore aux in6galit6s ae (k2) » fle (k1),Re (k3) et lk3l » Ik1/. Dans la region des basses fr6-quences (ou des grands champs si Q est fixé), seuleintervient l’onde :

car Re (k3) >>Re (k1). Elle est absorbée dans

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1’epaisseur de peau classique 8. La perméabilité estdonn6e simplement par

Dans la region des fréquences élevées, la permea-bilit6 reste donn6e par cette meme expression, maisla constante k3 devient presque purement imagi-naire et 9te (k3) « fle (k1). L’onde correspondanten’est pratiquement pas amortie. La situation laplus simple se pr6sente dans la region limite Q2 » Q2ou les constantes s’6crivent :

L’onde ordinaire, non magn6tique, fournit la per-m6abilit6 yequ = 1. L’onde extraordinaire de cons-tante k3 = ik fournit la relation de dispersion

des ondes de spin thermiques, kB d6signant la cons-tante de Boltzmann, T la temperature absolue et hla constante de Planck divisee par 2m [1].

Conclusion. - L’interaction de l’onde radio-frequence incidente et du milieu ferromagnétique semanifeste essentiellement par l’apparition de deuxondes dans le metal, dont les propri6t6s se r6sumentcomme suit dans le cas d’un effet de peau normal :

1) Si l’effet d’6change est plus important que1’effet de relaxation, les constantes k1 et k3 desdeux ondes, le champ de resonance et la perméa-bilit6 6quivalente sont donn6s par les expressions (7),(8), (9). Les résultats sont valables pour un champstatique assez voisin du champ de resonance. L’unedes ondes est rentrante, I’autre est réfléchie par lemetal sous-jacent. L’6paisseur de peau effective estpetite devant l’ épaisseur classique 8 et, corr6la-

tivement, la perméabilité atteint des valeurs 6lev6es.2) Si 1’effet d’echange est plus faible, l’ épaisseur

de peau est determinee par l’onde ordinaire de cons-tante kl, l’onde extraordinaire de constante k3 ayantune amplitude beaucoup plus faible. Les valeurs

correspondantes de k1, du champ de resonance etde la permeabilite sont donn6es par les expressions(10), (11), (12).

3) Loin de la resonance, la permeabilite bassefrequence est 6gale a Bo jHo et la permeabilite hautefrequence est 6gale a l’unit6. L’onde ordinairedevient alors non magn6tique et l’onde extraordi-naire, qui n’est presque pas amortie, vérifie la rela-tion de dispersion des ondes de spin thermiques.Quant aux constantes de propagation et N la per-m6abilit6, elles sont pr6cis6es par les relations (13),(14). .

Ce travail a 6t6 entrepris en liaison avec le travailexperimental de M. G. Fischer, au LaboratoirePierre Weiss 4 Strasbourg.

Appendice I. - Les expressions de MacDonald[13J :

sont les racines de 1’equation cubique

ayant pour coefficients :

Elles sont de bonnes approximations des racinesde 1’equation s6culaire (3a) si c° # ci pour i = 1, 2,3. En fait, avec y = X jcl, le nombre de coefficientsse ram6ne 4 deux :

et

en considérant s et p comme des quantités petitesdu premier ordre :

En se reportant a la definition des coefficients ci,il est ais6 de v6rifier ces deux in6galit6s moyennant :

Remarquons que cette dernitre condition est peudiflerente de la condition de resonance de Kittelsi L2 « 1. Sachant que e N 10-3 environ dans lescas d’intérêt physique, l’inégalité e:2f QL > Q2 L2

caractéristique d’un effet d’echange predominantentraine D.L 10-2. 11 suffit, dans ces conditions,que le champ statique soit assez proche du champde resonance pour que les trois in6galit6s (1.2) soientsatisfaites et que Isl ~ 10-2, lpi ~ 10-3.Dans le domaine de validite ainsi precise, P, Q, R

se r6dulsent a leurs parties principales :

et la permeabilite (5) s’6crit :

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en négligeant au second membre un facteur commun1+ordre (s, p). La condition de r6sonance est

obtenue en annulant sa partie r6elle :

Le deuxieme membre serait nul en l’absence

d’echange (équation 6a). Posons :

D6signons par 00 et zo les valeurs de Q et z enl’absence d’echange et soit oco la valeur correspon-dante de a (remplacer Q par Qo dans (l). En substi-tuant les expressions :

dans la condition de resonance, il vient :

avec

Cette equation admet une seule racine réelle ,comprise entre zero et un. Les ordres de grandeurcompatibles avec ce qui precede sont oc 10,zo 10-1 (plus generalement oc e:-13, Zo e1/3).Les termes en zo dans 1’equation (1.6) sont n6gli-geables devant oc2 et p # 2L2/(1 + L2) car

qL2 Q2 L2 « 1. En outre, si a2 10, zo 20-2et 8 -- L 2 -- L2 ( n2 L 2/ e _- ea2 10-2. Lacondition de resonance s’ecrit alors simplement sousla forme (7c) avec z # (.

Si oc « 1, la racine ( admet le d6veloppement àl’origine :

((a) est une fonction monotonement d6croissante(fig. 2). Notons la valeur interm6diaire ((t) - 0,5390

Si oc ~ 10, la racine se calcule par le d6veloppementasymptotique :

Le facteur en L2 est gener.alement voisin del’unit6.La frequence de resonance est donn6e par la rela-

tion (8), sauf si oc -- 10, auquel cas :

En supposant a2 10 pour simplifier la suitede 1’expos6, la permeabilite (1.3) se met sous laforme (9). Le calcul des constantes de propaga-tion (7a) se fait ais6ment a partir des expressions deMacDonald. La constante k2 est trouv6e 6gale à

alors que, d’apres la relation (7a), l’ordre de gran-deur des constantes k1, k3 et de leurs parties r6ellesest donne par 1/8eff = lte,ul 1/2/4 ~ 1018 environ.En premiere approximation, il n’y a donc que deuxondes dans le metal.

Quant aux composantes cart6siennes des vecteursradiofréquences (3b), elles sont donn6es comme suit4 la surface du metal :

avec

Les composantes hnz, e.., enx, mnz sont nulles,ainsi que toutes les composantes des vecteurs n = 2.Le rapport moxilhox s’ecrit de fagon 6quivalente(1 + n) (k1 - . k 3) /4 = E: 2 a2(1 + 2n) (kg - k33).Pour terminer, remarquons que les constantes de

propagation (7a), la permeabilite (9) et la permea-bilit6 uo = 4ï:mox/hox sont a multiplier par Vi + L2

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si L2 ~ 1, ce qui suppose que a ~ 10. Les d6fi-nitions (7b) et (8) de a et de z sont alors remplac6espar les expressions (1.5) avec z = zo + (. La condi-tion de resonance (7c) est remplacee par 1’expressiondu developpement asymptotique de (, d’ou la fr6-quence de resonance (1.7) (cas Z21QL -- Q2 L 2).

Appendice II. - Les expressions :

sont les racines de 1’equation cubique ayant pourcoefficients :

En se ramenant aux coefficients Y° comme dans1’appendice I, il suffit que

pour que les expressions (11.1) soient de bonnesvaleurs approch6es de l’équation s6culaire (3a). Ilsuffit donc que It21 « 1, IY21, lesquelles inégalitéssont v6rifi6es dans deux cas :

1) Au voisinage de la resonance. - Les coeffi-cients C3 et d sont tels que

quels que soient Q et n, L 6tant assujetti a la condi-tion (6b). Il est en effet assez ais6 de v6rifier que

En remarquant que It21« IY21 s’6crit encore

IV21 « 1 avec v2 = C1 C3lC2, il vient :

Moyennant :

les inégalités It2B et I v21 « 1 sont done assur6es.

Remarquons que e sw 10-3 et z2/Q£ Q2 L2assurent it2l _- 10-4 et ]v2[ = 10-2.

2) Loin de la resonance. - Les coefficients C3 et dverifient 6galement

cette derniere in6galit6 6tant satisfaite moyennant ’

D’ou encore :

Remarquons qu’avec e ~ 10-3 les inégalités It21et I V21 10-6 sont assur6es.

Les deux cas envisages ici sont complémentairesdu cas examine dans l’appendice I, en ce sens qu’ilsuffit que e « 1 pour que l’une ou I’autre des solu-tions (1.1), (11.1) soit valable. L’hypotliese e N 10-3n’a d’ailleurs rien d’essentiel.En poussant les développements jusqu’aux termes

du second ordre, en t2, v2 et tv, il vient :

A d6signe le radical intervenant dans les expres-sions (11.1). La permeabilite se met sous la formeC3 N/2ie2 D avec

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I)’ 01’1, en simplifiant :

Les termes négligés dans l’ accolade sont du troi-sième ordre en t et v. La perméabilité ainsi trou-vée (1) est de la forme prévue par Herring et Kittelavec des termes correctifs du deuxieme ordre. Lacondition de resonance s’en déduit :

en n6gligeant au second membre un facteur commun1 + ordre (t 2, tv, v2). Ce second membre representele terme d’echange. 11 est négligeable devant leterme de relaxation (2n + 1) (2n + 2) Q2 L2 figu-rant au premier membre si z2¡OL « Q2 I,2. 11 se

r6duit a - (2e2/’QL) (1 + r)2 (I + L2)2 sisi E: 2/ Q L -4zt Q 2 L , 2 d’où la frequence de reso-nance (11a). La constante k1 de l’onde ordinaire estdonn6e par 1’expression (10). Les deux autres ondessont pratiquement inexistantes si e2 I’QL « Q2 L2et leurs constantes de propagation sont 6gales 4

si C’IQL -- Q2 L 2. On v6rifie d’ailleurs queXle (k,) » :Re (k3). La permeabilite (12) se calculesans difficulté à partir de 1’expression (11.4).

Loin de la r6sonance, les inégalités (11.3) sont

(1) Cas limite I V = Ip 18/ « 1 de la formule (1.3).La validite de cette formule est ainsi etablie dans tousles cas, pourvu que e « 1.

v6rifi6es et la permeabilite se r6duit a sa partieprincipable (13b), qui s’ écrit encore :

en posant (D(f22) = F(Q2)/[(i + ’1))2 (1 + L2) + Q 2].Dans le cas g2/QL « Q2 L2, on est ramené au

probl6me sans effet d’echange, caractérisé par uneperméabilité basse frequence 6gale à

et une perméabilité haute frequence 6gale a l’unit6,l’onde k1 devenant non magn6tique. Dans le cas

ë,2/fJL Q 2 L 2, on est ramené au problème sanseffet de relaxation. Pour des fréquences U2 > (- + 1) 2,soit C02 > y2 B2, les trois constantes de propagationsont donn6es comme suit :

en définissant le nombre positif £ par 2 = Q2 + 1/4.4Dans le domaine des fréquences Q2 « n(n + 1),soit (ù2 « y2 Ho Bo, il suffit de changer 0, + i en1 - 103 en changeant le signe sous le radical. Lens

arguments Oi sont petits :

La perméabilité est égale a (a2 k2/2’)* + ordre (e3) .Manuscrit recu le 15 mai 1966.

BIBLIOGRAPHIE

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