théorie des graphes

Introduction

Introduction à la théorie des graphes

Fattehallah Ghadi1

1Department of Mathematics and Computer ScienceFaculty of sciences, Ibn Zohr University.

F. Ghadi Graphes - ENSA4

Introduction

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1 IntroductionDéfinitionsIntérêt et ApplicationExemples


IntroductionDéfinitionsIntérêt et ApplicationExemples

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Définition

Définition 1La Théorie des graphes est un domaine à la frontière entreles mathématiques et l’informatiqueBranche des mathématiques, distincte, ne faisant ni partiede l’analyse, ni de l’algèbre et encore moins desprobabilités ou des statistiques.



Définition




Définition




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IntérêtInstrument de modélisation - résolution ;Structure de Données.

ApplicationsProblèmes de réseau de transport ;Problème de gestion de projet ;Modélisation de systèmes dynamiques.



















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Ponts de Konigsberg

1736 Euler,sintéresse auproblème des pontsde KonigsbergIl s ágit de savoir silexiste un cheminpassant une fois etune seule parchaque pont de laville.



Ponts de Konigsberg




Ponts de Konigsberg




Modélisation

les arcs (courbes oulinéaires)symbolisent lesparcours possiblesentre les différentssecteurs de la ville :les noeuds dugraphe.Les arcs : PontsNoeuds : secteursde la ville.

Euler prouva que tout noeud d’un graphe de ce type doit êtrerelié à un nombre pair d arcs. (chemin Eulérien)



Modélisation





Modélisation





Modélisation





Existe-t-il unparcours fermé sur ce graphe empruntant chaque arête unefois et une seule?



Existe-t-il unparcours fermé sur ce graphe empruntant chaque arête unefois et une seule?



Problème de Postier

Minimiser la distance parcourue par un postier voulantdesservir toute la ville.1856, Hamilton étudie le problème suivant : Trouver unchemin passant une fois est une seule par chaque sommetd un graphe (Chemin Hamiltonien)











Plus court / Plus long chemin

Soit un ensemble de villes et des chemins reliant ces villesentre elles. Le problème consiste à trouver pour une villede départ donnée et une ville d arrivée donnée le cheminle plus court qui les relies.Trouver un chemin le plus court pour chaque couple devilles.



Plus court / Plus long chemin

Soit un ensemble de villes et des chemins reliant ces villesentre elles. Le problème consiste à trouver pour une villede départ donnée et une ville d arrivée donnée le cheminle plus court qui les relies.Trouver un chemin le plus court pour chaque couple devilles.



Plus court Chemin

la meilleure solutionpour aller dusommet hautgauche au sommetbas droite.Le coût de ceparcours est :1+2+6-2=7.



Plus court Chemin




Plus court Chemin




Ordonnancement / Planification : Gestion de Projet

Le projet est constitué de différentes étapes à réaliser.Certaines taches doivent être effectuées avant d autres(logique !), alors que certaines peuvent être effectuées enmême temps. Ainsi, on établit un certain ordre entres lesétapes.Trouver une planification des tâches qui aboutisse à laRéalisation du projet en un minimum temps ?Détecter les étapes dites critiques dont le moindre retardpeut affecter toute la suite du projet.?Ordonnancer=Répondre à la question Sous quellemodalité?















Exemple



Exemple



Exemple



Affectation

Affectation : Suite à des modifications de poste dans uneentreprise, plusieurs personnes doivent être affectées à denouveaux postes. Chacun doit classer par ordre depréférence les postes qu il veut occuper.Problème : Comment attribuer à chaque personne unposte tout en respectant au mieux son souhait ?



Affectation

Affectation : Suite à des modifications de poste dans uneentreprise, plusieurs personnes doivent être affectées à denouveaux postes. Chacun doit classer par ordre depréférence les postes qu il veut occuper.Problème : Comment attribuer à chaque personne unposte tout en respectant au mieux son souhait ?



Voyageur de commerce

Voyageur de Commerce : Un voyageur de commerce doitdémarcher dans un certain nombre de villes. Il connaîtbien entendu la distance qui sépare les villes entre elles.Le voyageur veut passer le moins de temps possible dansses déplacements.Problème : Trouver un chemin qui passe par toutes lesvilles une fois et une seule et qui est le plus courtpossible? (Cycle de coût minimum)



Voyageur de commerce

Voyageur de Commerce : Un voyageur de commerce doitdémarcher dans un certain nombre de villes. Il connaîtbien entendu la distance qui sépare les villes entre elles.Le voyageur veut passer le moins de temps possible dansses déplacements.Problème : Trouver un chemin qui passe par toutes lesvilles une fois et une seule et qui est le plus courtpossible? (Cycle de coût minimum)



Exemple2

Le coût de cette solution est=92



Exemple2




Exemple2




Exemple2




Remarquesle problème de Voyageur de commerce semble proche decelui du plus court chemin. La réalité il sont différents.Hormis l algorithme testant tous les chemins possibles, il nexiste pas de méthode donnant la meilleure solution.Tester tous les chemins possibles devient vite hors deportée de calcul, même pour les ordinateurs les pluspuissants.



Flow Maximum

Flow Maximum : Soit des châteaux d eau ayant un débitconstant. Ils desservent un certain nombre de villes,chacune ayant des besoins quantifiés constants. L eau estacheminée à travers des conduits dont le débit maximumest connu.Problème : Trouver un moyen de satisfaire au mieux lesdemandes de chaque ville. C-à-d essayer d apporter leplus d eau possible vers les villes?



Flow Maximum

Flow Maximum : Soit des châteaux d eau ayant un débitconstant. Ils desservent un certain nombre de villes,chacune ayant des besoins quantifiés constants. L eau estacheminée à travers des conduits dont le débit maximumest connu.Problème : Trouver un moyen de satisfaire au mieux lesdemandes de chaque ville. C-à-d essayer d apporter leplus d eau possible vers les villes?



Exemple3



Exemple3



Exemple3



PlanIntroduction aux graphesArbres et ArborescencesReprésentation des graphesArbre recouvrant de poids minimum (ARM)Recherche du plus court cheminPlanificationRecherche du flot maximum


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