Suma de Vectores

DDDEEEPPPAAARRRTTTAAAMMMEEENNNTTTOOO DDDEEE LLLAAABBBOOORRRAAATTTOOORRRIIIOOOSSSGGGUUUIIIAAASSS DDDEEE FFFIIISSSIIICCCAAA III

GUIAS NICAS DE LABORATORIO DE FSICA I

ASPECTOS PRELIMINARESSUMA DE VECTORES

SANTIAGO DE CALIUNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI

DEPARTAMENTO DE LABORATORIOS


SUMA DE VECTORES

OBJETIVOS Usar la mesa de fuerzas para equilibrar un punto mediante la aplicacin de tres

fuerzas concurrentes conocidas Encontrar la resultante de estas fuerzas usando:

- el mtodo del polgono (mtodo geomtrico),- el mtodo por componentes (mtodo analtico), y- la ley de los cosenos (mtodo trigonomtrico)

TRABAJO ANALTICOUn libro, cuyo peso es de 10 N, se encuentra un reposo sobre una mesa (N representanewtons, que son las unidades de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades. Unnewton equivale, aproximadamente, a 98 gramos-fuerza). Ver la figura 1. Notar que laflecha representando el vector w tiene una longitud aproximada de 2 cm., y apunta enla direccin del peso del libro. En este caso se ha elegido una escala tal que 10 Ncorresponden a 2 cm. Si se aplicara una fuerza horizontal, F, de 15 N, para empujar ellibro hacia la derecha, esta fuerza estara representada por una flecha paralela a lasuperficie de la mesa, con una longitud de 3 cm., ya que cada 5 N equivalen a 1 cm. enla escala escogida. Ver la figura 1. Observar que cuando se usa una letra para referirse aun vector sta se escribe ms oscura. Qu longitud tendra una flecha para representara un vector de 100 N si se usara la misma escala de 5 N por centmetro?

Figura 1. Los vectores se representan con flechas. Su longitud es proporcional a la magnitudde la fuerza. La fuerza lateral est representada con F y el peso del libro, con w.

METODO DEL POLIGONO PARA SUMAR VECTORESEste mtodo es geomtrico. Se describe a continuacin mediante el siguiente ejemplo:


Sean A = 10 N, B = 15 N y C = 5 N tres vectores tales que A apunta directamente hacia laderecha, B hacia arriba y C, 45 hacia abajo de la horizontal y hacia la izquierda. Noteque cuando nos referimos solamente a la magnitud de los vectores los escribimos contrazo delgado. Se quiere representar estos vectores mediante flechas. El primer pasoconsistir en elegir una escala conveniente que permita convertir los newtons acentmetros. Sean 2.5 N = 1 cm. Con esta escala, las longitudes de las flechas que

representarn a los vectores A, B y C sern: longitud de A,

1cm2.5N10N

= 4 cm. longitud de B,

1cm2.5N15N

= 6 cm., y longitud de C,

1cm2.5N5N

2 cm. Ver la figura 2.

Figura 2. Tres fuerzas A, B, y C representadas por flechas

La suma R = A + B + C es un nuevo vector, el cual se llamar resultante y serepresentar con R. Dicha resultante se encuentra luego de unir el comienzo delvector A con el final del vector C, una vez que los vectores B y C se han trasladado desu posicin original a nuevas posiciones en las cuales el comienzo de B se une al finalde A, y el comienzo de C, al final de B. Ver la figura 3. La magnitud de la resultante seencuentra midiendo la longitud de R y convirtindola a newtons. En este ejemplo lalongitud medida es de 5.2 cm., lo que equivale a 13 N. Para determinar la direccin deR se mide con un transportador el ngulo entre A y R. Su valor es de 60. Es evidenteque el uso de este mtodo requiere papel, lpiz, utensilios de geometra y habilidadpara dibujar, medir y usar dichos utensilios correctamente. El mtodo es muy sencillo


pero requiere la inversin de tiempo, y su precisin no es muy buena. En la siguienteseccin veremos cmo sumar estos mismos vectores de una manera ms fcil, precisay rpida.

METODO POR COMPONENTESEn este mtodo analtico se descompone cada vector en dos componentesperpendiculares entre s, segn ilustraremos en el siguiente ejemplo.Sean nuevamente los vectores A, B y C del ejemplo anterior. El primer paso para sumaranalticamente estos tres vectores consiste en definir un sistema de coordenadascartesianas, gracias al cual se especificar la direccin de cada vector. Ver la figura 4.Note que en este mtodo todos los vectores se colocan con su extremo inicial en elorigen.


Figura 4. Los vectores A, B y C referidos a un sistema de coordenadas cartesiano

Se descompondr cada uno de estos vectores en sus componentes horizontales yverticales. Para hacer esto considrese la figura 5. En esta figura se muestra el vector Flocalizado en un sistema coordenado cartesiano. La magnitud del vector es proporcionala la longitud de la flecha, mientras que su orientacin est determinada por el ngulo qque el vector hace con el lado positivo del eje x. Observar que el tringulo Oab es rectoen el vrtice a. El lado Oa es el cateto adyacente al ngulo q . El lado ab es opuesto alngulo q, y el segmento Ob es la hipotenusa del tringulo. El segmento ab es paralelo aleje y, y el cb, paralelo al eje x. Se ha designado como Fx al segmento Oa, Fy al ab, y F ala flecha Ob.

Por trigonometra elemental tenemos que, Fx = Fcosq y Fy = Fsenq, donde Fx y Fy seconocen como las componentes cartesianas del vector F. Ahora usaremos estasecuaciones para encontrar las componentes de los vectores A, B y C. Los ngulos queestos vectores hacen con el lado positivo del eje x son 0, 90, y 225, respectivamente.Recordemos que las magnitudes de A, B y C son 10 N, 15 N y 5 N respectivamente,entonces,

Ax = 10 cos 0 = 10 N, Ay = 10 sen 0 =0Bx = 15 cos 90 = 0, By = 15 sen 90 = 15 NCx = 5 cos 225 = -3.54 N, Cy = 5 sen 225 = -3.54 N

Las componentes a lo largo de cada eje pueden ahora ser tratadas como escalares. Sellamar Rx a la suma de las componentes en el eje x; y Ry a la suma de componentes enel eje y, es decir,

Rx = Ax + Bx + Cx = (10 + 0 - 3.54) N = 6.46 N


Ry = Ay + By + Cy = (0 + 15 - 3.54) N = 11.46 N

La figura 6 muestra estas componentes y el nuevo vector R, al cual dan lugar. A partir deesta figura notamos que el ngulo q puede deducirse mediante la funcin tangente como

tan q =x

y

RR

, mientras que la magnitud de R se obtiene con el teorema de Pitgoras,

R = 2yRR2x +

Figura 6. La suma de las componentes Rx y Ry da lugar al vector resultante R cuya direccinest dada por el ngulo q y su magnitud, por el teorema de Pitgoras

En nuestro caso particular, tan q =x

y

RR

=46.646.11

= 1.77, de donde q = tan-1 1.77 =

60.6.

Por otro lado, R = 2yRR2x + = 211.4626.46 + = 13.2N. Recordemos que por elmtodo del polgono encontramos q = 60 y R = 13 N. Debemos dejar claro que en elmtodo analtico, o por componentes, no es necesario dibujar los vectores, ni definiruna escala para encontrar su longitud. Nosotros los dibujamos en este ltimo ejercicioslo con fines didcticos.

METODO DE LA LEY DE LOS COSENOSEste es un mtodo trigonomtrico que ilustraremos con el siguiente ejemplo:

Sean los vectores A y C de los ejemplos 3 y 4. Recordemos que A = (10 N, 0) y C = (5 N,90). La forma en que hemos escrito estos vectores, como un par ordenado de nmeros


encerrados entre parntesis, se conoce como representacin polar, y consiste enexpresar las componentes de los vectores en coordenadas polares. Deseamos encontrarel vector D que representa a la suma A + C. Ver la figura 7. En este mtodo tampoco esnecesario dibujar los vectores. Lo hacemos nuevamente, como en el caso analtico, slopara facilitar su presentacin y explicacin. La escala tampoco debe preocuparnos.

Figura 7. Los vectores A, C y D constituyen un tringulo

Como puede verse, D = A + C, de acuerdo con el mtodo del polgono. En este caso,como se trata de tres vectores solamente, el polgono se reduce a un tringulo del cualse conoce la longitud de los lados A y C, y el ngulo entre ellos. La ley de los cosenosestablece que:

D2 = A2 + C2 - 2AC cos 45 = 102 + 52 - 2(10)(5)(0.707) = 54.3

de donde D = 7.4 N. La direccin del vector resultante D se obtiene a partir del valor deq, el cual calcularemos luego de aplicar nuevamente la ley de los cosenos,

C2 = A2 + D2 - 2AD cos q ,de donde

TRABAJO PRCTICO:

MaterialesHiloPesas de diferentes valoresPorta pesasPapel milimetrado de 8 ? 11?

InstrumentosNivel de burbujaTringulos de 45 - 45 y 30 - 60Regla mtrica de 30 cm, graduada en mmTransportador


EquipoMesa de fuerzas con poleas

Procedimiento1. La primera actividad en este ejercicio consistir en lograr que el centro deconcurrencia de los tres hilos que soportan a las pesas, en la mesa de fuerzas, se alineecon el centro de la mesa despus de haber colocado pesos arbitrarios en los portapesas.Procure que la masa total en cada portapesas sea mayor que 100 g pero menor que 500g. Esto permite ignorar el efecto de friccin en las poleas. Para lograr la alineacinpueden intentarse dos acciones:

a. Relocalizar las poleas en otras posiciones en el permetro de la mesa de fuerzas,y

b. Aumentar o disminuir la masa en uno o ms de los portapesas

Debe tenerse presente que la precisin de los resultados que se obtengan va a ser mayormientras mejor sea la alineacin entre el centro de concurrencia de los hilos y el centrode la mesa. Asimismo, el ejercicio ser ms provechoso si las masas en los portapesas noson idnticas. Una vez que se ha logrado la mejor alineacin posible, anclamos el anilloen el que estn amarrados los hilos, usando una barrita metlica que se le proveer paraese propsito.

2. El permetro de la mesa de fuerzas est subdividido en grados. En la mesa existe unalnea cuya posicin corresponde a 0. Esta lnea ser designada como el eje x, mientrasque la lnea que corresponde a los 90 ser el eje y. Tome una hoja de papelmilimetrado de 8? 11? y elija una escala apropiada que le permita dibujar lasfuerzas, o sea, los pesos de las masas en los portapesas, como flechas en la hoja depapel.

3. Seleccione el centro de la hoja de papel milimetrado como el origen del sistemacoordenado cartesiano y dibuje los ejes x y y.4. Lea los ngulos que hace cada hilo en la mesa de fuerzas con el eje x y dibuje treslneas rectas sobre el papel milimetrado de tal forma que cada una de ellas empiece enel origen (centro de la hoja) y subtienda un ngulo igual al del hilo correspondiente.La longitud de cada una de estas lneas deber ser proporcional al peso que representa.Como dijimos anteriormente, las fuerzas son los pesos de las masas aadidas a losportapesas ms las masas de stos. Los pesos se obtienen multiplicando las masas por9.8 m/s2.

Anlisis de los datos1. Usar el mtodo del polgono para encontrar la magnitud y direccin del vectorresultante de las tres fuerzas.


Haga el dibujo de los vectores y el polgono. Usar los dos tringulos de 45 - 45 y de 30- 60 para facilitar el traslado de los vectores al formar el polgono.

Magnitud de la resultante R = __________________N

Direccin de la resultante q = ____________________

2. Llamar A, B y C a las tres flechas que fueron dibujadas en el papel milimetrado. Usarla letra A para la flecha con el menor ngulo, B para la siguiente, yendo en direccincontraria a las manecillas del reloj y C para la flecha de mayor ngulo.

3. Use la ley de los cosenos para encontrar la resultante de la suma A + B. Identifique aesta resultante con la letra D. Describa la magnitud de D y el ngulo que hace estevector con el lado positivo del eje x.

Magnitud del vector D = _______________________N

Direccin del vector D, q = ______________________

4. Use nuevamente la ley de los cosenos para sumar D y C, y llame R a este vectorresultante. Describa la magnitud y direccin de R.

Magnitud del vector R = _______________________N

Direccin del vector R, q?? = ______________________

5. Escribir las magnitudes de los vectores A, B y C en la primera columna de la Tabla I.Escribir las direcciones de los tres vectores en la segunda columna.Calcular las componentes x y las componentes y de cada vector y escribirlas en lascolumnas 3ra y 4ta de la tabla mencionada. Calcular:

Rx = Ax + Bx + Cx y Ry = Ay + By + Cy

6. Calcular R = 2yRR2x + y q a partir de tan q =x

y

RR

, y escribir sus valores.


Tabla I

Documents

Suma de Vectores