Vectores de Fuerza

UNIVERSIDAD CONTINENTAL DE CIENCIAS E INGENIERIA

ASIGNATURA

MECNICA VECTORIAL

Vectores de Fuerza

Ing. Juan Osiel Flores Ramos

Huancayo, 2009

Mecnica Vectorial Juan Osiel Flores Ramos 2

1. VECTORES DE FUERZA

VECTORES Y ESCALARES

En la mecnica, la mayora de las cantidades fsicas pueden ser

expresadas matemticamente por medio de escalares o vectores

a) Escalar: es una cantidad que se representa solo por un nmero, son ejemplo de escalares; la longitud, el volumen, la masa, etc.

b) Vector: es una cantidad que posee tanto una magnitud (mdulo) una direccin, en esttica las cantidades vectoriales mas

comunes son: la posicin, la fuerza y el momento.

Grficamente un vector se representa mediante un segmento de

recta orientado (Fig. 2.1)

Fig. 2.1: Representacin de un vector

a

SUMA DE VECTORIAL DE FUERZAS

a) Mtodo del paralelogramo

Se forma un paralelogramo, tomando como lados los dos

vectores, con origen comn, la diagonal que sale del origen

comn es la resultante.

: vector a

aa : mdulo del vector a

:direccin del vector a

(giro antihorario)

a

a

a

y

x

a

b

baR

Vector Resultante

R

baR

Mdulo

cos...222

babaR


b) Mtodo del triangulo

Se pone un vector a continuacin del otro, la unin del origen

del primero con el extremo libre del otro es la resultante

c) Mtodo del polgono

Es utilizado para sumar ms de dos vectores, se coloca un vector

a continuacin de otro, el vector que une el origen del primero

con el extremo libre del ltimo es la resultante.

RESTA DE VECTORES

La resta o diferencia de vectores se define como un caso especial de la suma, aplicando el mtodo del polgono se puede escribir como:

a

baR

Ley de senos

sen

R

sen

b

sen

a

b

a

b

c

d

R

dcbaR

a

b

D

aDb

luego:

baD modulo:

cos..222 babaD


Observaciones:

1ra: La resultante mxima de dos vectores es cuando son paralelas y

del mismo sentido ( = 0)

R mx. = a + b

2da

: La resultante mnima de dos vectores es cuando son paralelas y

de sentido contrario ( = 180)

R min. = a b

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

a) En el plano: del grfico se tiene las componentes:

b) En el espacio: del grfico se tiene las componentes

y

x

a

y

x

ya

xa i

j

ax = a.cos x ay = a.cos y

El vector sera:

jaiaa yx

El mdulo

22 )()( yx aaa

ax = a . cos x ay = a . cos y az = a . cos z

El vector

a ser

zyx aaaa

kajaiaa zyx

El mdulo de

a ser:

222 )()()( zyx aaaa

a

Y Z

X

xa

ya

za


Observaciones

1ra ngulos directores

Son los ngulos (x; y; z) que forma un vector con cada uno de los ejes coordenados

2da

Csenos directores

Son los csenos de los ngulos directores

a

axx cos

a

a yy cos a

a zz cos

SUMA Y RESTA DE VECTORES CARTESIANOS

Se suman o restan componente por componente, por ejemplo:

kcjcicc

kbjbibb

kajaiaa

zyx

zyx

zyx

Resultante:

kFjFiFFR zyx )()()(

Modulo 222 )()()( zyx FFFR

VECTOR DE POSICION (

r )

Es un vector fijo, cuyo origen coincide con el origen de

coordenadas y se utiliza para ubicar un punto en el espacio, en

relacin a otro punto

r

x y

z

kzjyixr


VECTOR UNITARIO

Es un vector que tiene por mdulo la unidad e indica la direccin y

el sentido del vector dado. El vector unitario de un vector a ser:

a

au a

ka

aj

a

ai

a

au z

yxa

Tambin:

kji zyxa coscoscos

Como el mdulo del vector unitario es uno se tiene:

1coscoscos 222 zyx

PRODUCTO DE VECTORES

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES (punto)

El producto escalar, es un escalar y se define como:

Angulo entre vectores: ba

ba

.

.cos

Leyes de operacin

1) Ley conmutativa

abba ..

b

a

a.cos

Donde 0 180

cos... baba


2) Ley distributiva

dabadba ..).(

Formulacin vectorial cartesiana

1.

1.

1.

kk

jj

ii

0.

0.

0.

ik

kj

ji

Producto escalar de vectores cartesianos

kbjbibb

kajaiaa

zyx

zyx

luego zzyyxx babababa

.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES (aspa)

El producto vectorial es un vector perpendicular al plano que

forman los dos vectores y el sentido corresponde a la regla de la

mano derecha.

Leyes de operacin:

1) La ley conmutativa no es valida

a

b b.sen

usenbabxa .)..(

bxa

u Donde 0 180


axbbxa

axbbax

2) Ley distributiva

cxabxacbax )(

Formulacin vectorial cartesiana

jixk

ikxj

kjxi

ijxk

kixj

jkxi

0

0

0

kxk

jxj

ixi

tambin:

Producto vectorial de vectores cartesianos

Si se tiene los vectores

kbjbibb

kajaiaa

zyx

zyx

el producto vectorial, se puede expresar como el determinante de

una matriz

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

bxa

Observaciones

i

j

k


1ra Dos vectores son paralelos si : 0

bxa

2da

Dos vectores son perpendiculares si : 0.

ba

EJERCICIOS

Vectores en el plano

1. Determinar el mdulo de la suma y diferencia de los vectores F1= 3 N y F2= 5 N

Rpta: 19 N y 7 N unidades

2. Si la resultante del sistema mostrado es cero. Cunto mide el ngulo ?

Rpta: 45

3. Determinar el mdulo de la resultante de los tres vectores mostrados

Rpta: 5 unidades

4. Si la resultante de las dos fuerzas es 700 lb en forma vertical,. Determinar las magnitudes de los ngulos y


Rpta: 55,9 y 45,5

5. Determinar el mdulo de la resultante de los cinco vectores mostrados. Si A = 5 unidades y E = 3 unidades

Rpta: 17,5 unidades

6. Dos vectores, tienen como resultante mxima 8 unidades y como resultante mnima 2 unidades. Calcular la resultante cuando los

vectores formen 60

Rpta: 7 unidades

7. El ngulo entre dos vectores es 150, si uno de ellos mide 10 unidades, determinar la resultante, sabiendo que es el mnimo

posible?

Rpta 5 unidades

8. Determinar el valor del ngulo , de modo que la resultante de los tres vectores sea mnima

Rpta: 22,5

9. En el paralelogramo mostrado, determinar la resultante de los vectores en trminos de a

Rpta:

a.3


10. Si el vector

x , tiene como origen el punto medio de la diagonal

menor del paralelogramo, expresarlo en trminos de

A y

B

Rpta:24

BA

11. Expresar el vector

x , en funcin de los vectores

A y

B . Si M y N son los puntos medios de los lados del paralelogramo

Rpta: )(3

2 BA

12. Expresar el vector

x , en funcin de los vectores

a y

b , si G es el baricentro del tringulo

Rpta: )2(3

1 ba

13. Determinar la resultante del conjunto de vectores mostrados


Rpta 90 cm

14. Descomponer la fuerza de 100 unidades en dos componentes, una paralela a AB y la otra paralela a BC

Rpta: 55,9 u y 111,1 u

15. Descomponer la fuerza F= 100u en dos componentes, una perpendicular a AB y la otra paralela a BC

Rpta: 59,029 u y 63,015u

16. Descomponer la fuerza de 100 unidades en dos componentes, una paralela a la ranura mostrada y la otra en la direccin vertical

Rpta 36,397 u y 81,520 u


17. Calcular

ba ; si se sabe que

ba = 24 unidades y los mdulos

de los vectores son a =13 unidades, b = 19 unidades

Rpta: 22u

18. Qu condiciones debe satisfacer los ngulos entre dos vectores

a y

b , para que:

a)

ba =

ba Rpta: =90

b)

ba >

ba Rpta: 0 < < 90

c)

ba <

ba Rpta: 90 < < 180

19. Los mdulos de dos vectores son 12 y 8 unidades respectivamente. Entre cuanto estar comprendido el mdulo del vector diferencia?

Rpta: entre 4 y 20 unidades

Vectores en el espacio

20. Hallar el mdulo de los vectores:

a)

kjia 732

b)

kjib 435

c)

,c vector que une P1(3; 4; 5) con P2(1 ;-2; 3)

Rpta: a) 7,874 b) 7,071 c) 6,63

21. Un vector de posicin se extiende hasta el punto (3; 3; 6) m. determine los ngulos directores respectivos

Rpta: x = 7323`54 x = 7323`54 22. Dados los vectores:

kjia 32

kjib 953

,c que une P1(3; 4; 5) con P2(1; -2 3))


a) demostrar que

a y

b son perpendiculares

b) hallar el menor de los ngulos formados por

a y

c

c) hallar el menor de los ngulos formados por

b y

c

d) hallar los ngulos directores de

b Rpta: b) 16514' c) 8510' d) 7345', 11747, 3256'

23. Dado el vector

kzjia .124 ; cuyo mdulo es a = 13

unidades. Calcular el valor numrico de z

Rpta: 3

24. Hallar las coordenadas del punto B que coincide con el extremo del

vector

kjia 423 , si dicho vector tiene como origen el

punto A(2; 3; 1)

B(5; 5; -3)

25. Un vector, cuyo mdulo es 10 unidades, forma con el eje x un ngulo de 45 y con el eje y 120. Determinar el ngulo que forma

con el eje z y el vector

Rpta: 60;

kji 5525

26. Hallar la expresin cartesiana de un vector, cuyos ngulos directores son x = 120, z = 60, siendo su mdulo 4 unidades

Rpta:

kji 2222

27. Hallar un vector unitario con la direccin y sentido de la resultante

de los vectores

kjia 525 y

kjib 742

Rpta:

kji7

2

7

6

7

3

28. Siendo

jia ,

kib 2 ,

kjic 432 , calcular:

a)

kjibxa 22

a)

kjicxb 386

b)

kjiaxc 44


c)

kjibaxba 244)()(

d) 0).(

bxaa

e) 2).(

cxba

f)

kjicxbxa 1433)(

g)

kjibxaxc 10611)(

29. Sean A(l; 2; 3), B(2; -1; 5) y C(4; 1; 3) tres vrtices del paralelogramo ABCD. Hallar:

a) las coordenadas de D b) el rea de ABCD

Rpta: a) D(3; 4; 1) b) 10,189

30. Hallar los ngulos interiores del tringulo ABC, cuyos vrtices son A(1; 0; 1), B(2; -1; 1) y C(-2; 1; 0)

Rpta: 14831', 2212', 916'

31. Hallar el rea del tringulo cuyos vrtices son A(1; 2; 3), B (2; -1; 1), C (-2; 1; -1).

Rpta: 86,6

32. Hallar el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son OA, OB, OC siendo A(1; 2; 3), B(1; 1; 2), C(2; 1; 1)

Rpta: 2.

33. Determinar el vector unitario de P y el ngulo ABC


34. Determinar un vector unitario perpendicular al plano inclinado sombreado

35. En la pirmide mostrada, E(20;32;20), determinar: a) la magnitud del ngulo AEB

b) un vector unitario perpendicular al plano AED

c) el rea del triangulo BEC

Rpta: a) 192746,62 b)

kju 84805290 ,, c) 102,45 u2

36. Dado un cubo de arista unidad, hallar: a) el ngulo formado por su diagonal principal y una arista b) el ngulo formado por su diagonal principal y la de una cara

Rpta: a) 5444', b) 3516'

y

x

z


37. Determinar un vector unitario perpendicular al plano inclinado y el ngulo BAC

38. En la figura mostrada, determinar la magnitud del ngulo BAC

Rpta: 21533,93


39. en el sistema mostrado, determinar el ngulo CAO

40. Hallar un vector unitario perpendicular al plano inclinado.

Rpta:

kju5

4

5

3

y

z

x

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