Universidad Nacional de La Plata

Facultad de Ciencias Naturales y Museo

Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática

Asignatura: Matemática

Contenidos de la Unidad Temática nº 2

VECTORES

Suma y diferencia de vectores. Producto de un vector por un escalar. Vectores libres. Versores. Componentes de un vector. Descomposición canónica de un vector. Ángulos y cosenos directores de un vector. Producto escalar. Ángulo entre dos vectores. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Producto vectorial. Producto mixto. Interpretación geométrica de los productos entre vectores. Nociones sobre espacios vectoriales

Ing. Carlos Alfredo López Profesor Titular

Facultad de Ciencias Naturales y Museo Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática Asignatura: Matemática

Unidad Temática nº 2: Vectores

Ing. Carlos Alfredo López

VECTORES.

Ciertas magnitudes, que quedan perfectamente definidas por un

solo número real (su medida o módulo) se denominan MAGNITUDES ESCALARES pudiendo representarse por segmentos tomados sobre una recta. Son escalares, la temperatura, la longitud, la superficie, el volumen etc.

Existen otras magnitudes, para las cuales no resulta suficiente

un número para su determinación. Por ejemplo, si queremos expresar que hemos aplicado sobre

un cuerpo una fuerza de 10 kg, no basta el número real 10 (su número) para identificarla; es necesario además indicar: DIRECCION, SENTIDO Y PUNTO DE APLICACION de la fuerza.

Una magnitud de las características de la descripta recibe el

nombre de MAGNITUD VECTORIAL, y se representa geométricamente mediante un elemento que la simboliza denominado VECTOR FIJO (porque tiene un punto de aplicación).

En el siguiente ejemplo, puede verse la diferencia de efectos, si para el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido cambiamos el punto de aplicación del vector.

Existen otros tipos de vectores:

F kg= 10 .

F kg= 10 .

a) Aquellos cuyo efecto resulta ser el mismo si actúan (con igual módulo, dirección y sentido) sobre la misma recta de acción y que se denominan VECTORES AXILES O DESLIZANTES.

Cuando se aplica la fuerza F en el cuerpo rígido A el efecto no varía si la misma se ubica sobre la misma recta de acción. b) Aquellos cuyo efecto resulta ser el mismo si actúan (con igual módulo, dirección y sentido) sobre cualquier posición de las infinitas rectas paralelas a una dirección prefijada. Estos vectores, que estudiaremos en el presente curso, reciben el nombre de VECTORES LIBRES. Es decir que si dos vectores actúan sobre rectas paralelas y tienen el MISMO MODULO y el MISMO SENTIDO, diremos que dichos vectores son IGUALES, puesto que al ser sus rectas sostén paralelas, TIENEN LA MISMA DIRECCION. Los vectores que cumplen con la condición precedente se denominan VECTORES EQUIPOLENTES. En general, llamaremos vector a todo SEGMENTO ORIENTADO. El punto A se denomina origen del vector y el punto B extremo del mismo.

La recta sostén del segmento AB determina entonces LA DIRECCION y la punta de la flecha, o sea, la orientación

desde A hacia B determina EL SENTIDO DEL VECTOR . AB Nomenclaremos los vectores:

a a AB ó AB, ,r r

En lo sucesivo, cuando hablemos de VECTOR se entenderá

que nos referimos al VECTOR LIBRE.

AAF F

B

a

A

OPERACIONES ENTRE ESCALARES Y VECTORES.

Designaremos al número real con el nombre de escalar para distinguirlo de un vector. DEFINICIÓN.

a) El producto de un vector ra por un escalar no nulo α ( α = 0 ) es otro VECTOR α •

ra

cuyo módulo es igual al producto del módulo del vector ra por el valor absoluto del

escalar ( )αα ; cuya dirección coincide con la del vector ra y cuyo sentido es igual al

sentido del vector ra siα > 0 y resulta de sentido contrario al del vector

ra si α < 0 .

b) El producto del escalar cero (α = 0) por cualquier vector da como resultado el VECTOR NULO ó VECTOR CERO.

0 0• =r ra

c) El producto de cualquier escalar α ( α = 0) por el vector nulo, da como resultado EL VECTOR NULO.

α • =r r0 0

OPERACIONES ENTRE VECTORES. SUMA DE VECTORES.

La suma de los vectores

ra1 y

ra2 es el VECTOR s cuyo origen

es el origen de un vector equipolente de ra1 y cuyo extremo es el extremo de un vector

equipolente de ra2 trazado a partir del extremo del vector equipolente de

ra1.

Si los vectores ra1y

ra2 los ubicamos con un origen común O, para

sumarlos podemos utilizar la REGLA DEL PARALELOGRAMO que se ilustra en la siguiente figura:

D ‘B ‘= C ‘B

A ‘A

C D

ra1r

a1

ra2

ra2

r r rs a a= +1 2

Para efectuar la suma de varios vectores se procede de la siguiente manera: se suman dos de los vectores y su vector SUMA ó RESULTANTE se suma con el siguiente vector y así siguiendo hasta terminar con todos los vectores.

El vector SUMA ó RESULTANTE es el vector que tiene su origen coincidente con el origen del primer vector y su extremo con el extremo del último vector sumado. La representación gráfica es la siguiente:

Si el extremo del último vector a sumar coincide con el origen del primero, el VECTOR SUMA O RESULTANTE ES EL VECTOR NULO.

ra1 r

a1

ra2

ra2

r r rs a a= +1 2

ra2

ra3

ra1

ra4

ra5

R

O

rs1 2−

rs1 2 3− −

rs1 2 3 4− − −

DIFERENCIA DE VECTORES.

Restar un vector ra2 de otro

ra1 es equivalente a sumar al vector

ra1 el vector opuesto de

ra2 . (OPUESTO DE

ra2 = -

ra2 ).

En la figura rR1 2− es el vector RESTA que se obtiene al restar del

vector ra1 el opuesto del vector

ra2 .

EXPRESION CANÓNICA DE UN VECTOR.

A un vector libre a lo podemos representar en un sistema

cartesiano ortogonal xy, de modo tal que su origen coincida con el origen O del sistema coordenado.

En estas condiciones, dicho vector puede ser expresado como la suma de los vectores

ra1 y

ra2 cuyas direcciones coinciden respectivamente con los

ejes de abscisas y ordenadas, es decir:

( )121 aaarrr

+=

Si llamamos versores fundamentales en el plano xy a DOS

VECTORES CUYOS MODULOS SEAN IGUALES A LA UNIDAD: (i en la dirección y

el sentido positivo del eje x, (j en la dirección y sentido positivo del eje y, podemos

expresar a los vectores ra1 y

ra2 de la siguiente manera:

−ra2r

a2

R1 2−ra1

ra1

A B

D A' '=B'

D

C'

C

y

O x

ra2

ra

(j

ra1

(i

r (

r (a a i

a a j

1 1

2 2

=

= ( 2 )

siendo a1 y a2 los módulos de los vectores

ra1 y

ra2 . En estas condiciones, la expresión

(1) se escribe:

r r r ( (a a a a i a j= + = +1 2 1 2 ( 3 )

La expresión (3) se denomina EXPRESION CANONICA DEL

VECTOR ra y su representacion gráfica será la siguiente:

OP a=r

OA a i= 1

(

OB a j= 2

(

En el espacio tridimensional E3 identificamos el sistema de

referencia por la cuatreña ( )kjiO(((

,,, en la cual kzjyixOP(((

1111 ++=

y del mismo modo que para el plano E2, la expresión general de un vector entre dos puntos será:

( ) ( ) ( )kzzjyyixxPP(((

2112121 −+−+−=

P

A

B

y

O x

r (a j2

ra

(j

r (a i1

(i

x1

z1

y1

y

x

z

P1 (x1,y1,z1)

(i (

j

(k

y la distancia entre dos puntos PP1 2

r será igual al módulo del vector

( ) ( ) ( )212

212

21221 zzyyxxPP −+−+−=

ANGULOS DIRECTORES Y COSENOS DIRECTORES.

Llamaremos ANGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR ra a

los ángulos comprendidos entre 0º y 180º que los ejes coordenados positivos forman con dicho vector y COSENOS DIRECTORES a los cosenos de dichos ángulos.

De acuerdo a las figuras siguientes se tiene:

OA a a

OA a a

1 1

2 2

= = •

= = •

r r

r r

cos

cos

α

β

siendo ra el módulo del vector

ra

Teniendo en cuenta la expresión canónica del vector

ra

r ( (a a i a j= +1 2

ra1 y

ra2 resultan ser módulos de los vectores que se obtienen proyectando sobre los

ejes coordenados x e y el vectorra .

A1

A2A

y

x

αβr

a(j (i

A2

A1

β

α

A

y

x

ra

(j

(i

A2

A1

A

y

x

α

β

ra

(j (

i

x(i

β

α

A2

A1

A

y

ra

(j

Si nos interesa obtener, en función de sus componentes, EL MODULO DEL VECTOR

ra , aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo OA1 A de

las figuras anteriores, resulta:

ra a a= + +1

2

2

2 expresión que siempre se toma positiva.

ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL a

r

ar

cosa

ar1=α ; siendo 11 aa

r=

α

1ar

a

r

ar

β cos a

ar2=β : siendo 22 aa

r=

2ar

3ar

ar

a cosa

ar3=γ ; siendo 33 aa

r=

γβ

xr

y(

yr

γβ

xr

y(

yr

y(

γ

γβ

xr

y(

yr

y(

PRODUCTO ESCALAR.

Sean

r ( (

( ( (

a a i a j

b b i b j

= +

= +

1 2

1 2

Definimos como producto escalar al número que resulta de realizar el producto de los módulos por el coseno del ángulo comprendido.

r r r ra b a b• = • • cosα

Interpretación geométrica del producto escalar..

De la figura, la proyección de rb sobre el vector

ra vale

rb • cosα ;

en consecuencia podemos decir que el producto escalar entre dos vectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

r r r r ra b a b a b• = • • = •cos 'α

donde b b' cos= •r

α

Actividad: Proyectar el vector ar

sobre la dirección del vector br

para demostrar que el producto escalar puede expresarse como el módulo del vector a

r pot la proyección del

vector br

sobre ar

Expresión del producto escalar en función de las componentes de los vectores que se multiplican.

Sean

r ( ( (

r ( ( (a a i a j a k

b b i b j b k

= + +

= + +

1 2 3

1 2 3

desarrollando:

r r ( ( ( ( ( (

( ( ( ( ( (

( ( ( ( ( (

a b a b i i a b i j a b i k

a b j i a b j j a b j k

a b k i a b k j a b k k

• = • + • + • +

+ • + • + • +

+ • + • + •

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

.

en la que de acuerdo a la definición de producto escalar : ( ( ( (i i i i• = • • = • • =cos º0 1 1 1 1 ( ( ( (j j k k• = • = 1 por la misma razón ( ( ( (i j i j• = • • = • • =cos º90 1 1 0 0 y del mismo modo ( ( ( ( ( ( ( ( ( (i k j i j k k i k j• = • = • = • = • = 0

90º

rb • cosα

b'

α

rb

ra

resultando

∑=

=++=•3

1

332211

i

iibababababarr

El producto escalar entre dos vectores es un número igual a la suma de los productos de las componentes que tienen la misma dirección.

Puede también expresarse el producto escalar cuando se lo define

como la suma de los productos de las componentes que tienen igual dirección:

332211 babababa ++=•rr

Para el espacio tridimensional

ar

ba

rr−

ϕ b

De la figura precedente puede comprobarse: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ϕcos2222

⋅⋅−+=− bababarrrr

; que puede escribirse:

( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ϕcos223

22

21

23

22

21

233

222

211 ⋅⋅−+++++=−+−+− babbvaaabababa

rr

[ ] [ ] ϕcos2222 23

22

21

23

22

21

2333

23

2222

22

2111

21 ⋅⋅−++++++=+−++−++− babbbaaabbaabbaabbaa

rr

simplificando, obtenemos: [ ] [ ] ϕcos332211 ⋅⋅=++ babababa

rr

Propiedades del producto escalar Es conmutativo: abba

rrr•=•

Es distributivo respecto a la suma de vectores: ( ) cabacbarrrrrrr

•+•=+•

Ängulo entre vectores.. Siendo, de acuerdo a lo visto:

332211

cos

babababa

baba

++=•

⋅=•rr

rrrrα

podemos escribir:

⇒++=⋅⋅ 332211cos babababa αrr

23

22

21

23

22

21

332211cos

bbbaaa

bababa

++⋅++

++=α

expresión que nos permite obtener el coseno del ángulo entre dos vectores.

Condición de paralelismo entre vectores..

Si dos vectores ra y

rb son paralelos sus componentes deben

ser proporcionales. En efecto, si ra y

rb tienen la misma dirección, entonces uno de

ellos puede ser expresado como el producto entre un escalar y el otro vector:

abrr

=⋅λ o bien

( ) kajaiakbjbib((((((

321321 ++=++λ

de donde

λ λ

λ λ

λ λ

b aa

b

b aa

b

b aa

b

1 11

1

2 22

2

3 33

3

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

que se expresa:

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a==

Condición de perpendicularidad entre vectores..

Si dos vectores ra y

rb son perpendiculares, su producto escalar es

nulo. Siendo ra perpendicular a

rb

º90cos⋅⋅=• babarrrr

o sea r ra b• = 0

2

32

22

12

32

22

1

332211cos

bbbaaa

bababa

++⋅++

++=α

Si α α= ⇒ =0 0cos y en consecuencia a b a b a b1 1 2 2 3 3 0+ + =

Para saber si dos vectores son perpendiculares verificamos la validez de la expresión anterior, si se cumple son ortogonales; si el resultado a b a b a b1 1 2 2 3 3 0+ + ≠ , entonces afirmamos que los vectores no son perpendiculares.

Producto vectorial.

Es un producto entre vectores exclusivo del espacio

tridimensional que da como resultado otro vector: r r raxb c=

Si rc es un vector debemos definir sus elementos, es decir,

módulo, dirección y sentido. a) Módulo:

αsenbacbxa ⋅⋅==rrrrr

el módulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los vectores que se multiplican por el seno del ángulo comprendido.

b) Dirección: Es perpendicular al plano que generan los vectores que se

multiplican. c) Sentido: El mismo que corresponde a la terna de referencia. Un tirabuzón

colocado con su eje en la dirección del eje z cuando es girado desde ra hacia

rb ,

avanza en sentido de las z positivas (es el sentido cuando multiplicamos r raxb )

Si efectuamos el producto r rbxa , el sentido del vector resultante es

hacia las z negativas.

Propiedades del producto vectorial.

No es conmutativo: axbxbarr

≠ El producto vectorial no es asociativo: ( ) ( ) cxbxacxbxa

rrrr≠

a

α

b

ra

rb

rc

Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial.

αsenbabxa ⋅⋅=rrrr

siendo αsenbh ⋅=r

entonces habxa ⋅=rrr

lo que significa que el módulo del producto vectorial es equivalente al área del paralelogramo cuyos lados son los módulos de los vectores que se multiplican.

Expresión analítica del producto vectorial..

Si

r ( ( (

r ( ( (a a i a j a k

b b i b j b k

= + +

= + +

1 2 3

1 2 3

( ) ( )kbjbibkajaiabxa((((((rr

321321 +++++=

Desarrollando: r r ( ( ( ( ( (

( ( ( ( ( (

( ( ( ( ( (

axb a b i xi a b i xj a b i xk

a b jxi a b jxj a b jxk

a b kxi a b kxj a b kxk

= + + +

+ + + +

+ + +

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

expresión en la que:

0º0 =⋅⋅= seniiixi((((

∴ = =( ( ( (jxj kxk 0

( ( ( ( ( ( ( ( (i xj k jxk i kxi j= = =; ;

( ( ( ( ( ( ( ( (jxi k kxj i i xk j= − = − = −; ;

resultando

axb a b k a b j a b k a b i a b j a b i= − − + + −1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

( ( ( ( ( (

( ) ( ) ( )kbabajbabaibaba(((

122131132332 −+−+−=

que puede asimilarse a:

r r r

( ( (

c axb

i j k

a a a

b b b

= = 1 2 3

1 2 3

expresión de un determinante simbólico denominado de éste modo porque a diferencia de un determinante su desarrollo no da como resultado un número sino un vector.

ACTIVIDAD: verificar la equivalencia de las dos expresiones anteriores.

ra

rb

αh

NOTA: Si queremos calcular el módulo del vector resultante del producto vectorial no

resulta posible obtenerlo de : αsenbabxa ⋅⋅=rrrr

ya que se desconoce el valor del

ángulo α ; el problema se resuelve calculando el vector resultante rc y obteniendo de

éste vector el módulo:

( ) ( ) ( )21221

23113

22332 babababababac −+−+−=

r

Producto mixto. Como su nombre lo indica consiste en realizar conjuntamente las

operaciones de producto vectorial y producto escalar.

Sean los vectores

r ( ( (

r ( ( (

r ( ( (

a a i a j a k

b b i b j b k

c c i c j c k

= + +

= + +

= + +

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( )cxbarrr

• ⇒ debe realizarse primeramente el producto vectorial ( )cxb rr que arroja

como resultado un vector y después multiplicar ese vector escalarmente por ra ,

obteniéndose como resultado final un número.

Si se pretendiera operar realizando el producto escalar r ra b• se

obtendría como resultado un número ; dicho número debería multiplicarse vectorialmente por

rc ; operación no definida; en consecuencia operamos resolviendo

primeramente el paréntesis ( )cxb rr y luego multiplicando el vector resultante

escalarmente por el vector ra .

De acuerdo al desarrollo realizado el producto vectorial será:

r r r

( ( (

v bxc

i j k

b b b

c c c

= = 1 2 3

1 2 3

( ) ( ) ( )kcbcbjcbcbicbcbcxbv(((rrr

122131132332 −+−+−== **

Deseamos realizar ahora

( )

( )

( )kcbcbkajaia

jcbcbkajaia

icbcbkajaiava

((((

((((

((((rr

1221321

3113321

2332321

)(

)(

)(

−•+++

+−•+++

+−•++=•

de acuerdo al desarrollo del producto escalar resulta

( ) ( ) ( ) ( )122133113223321 cbcbacbcbacbcbacxbavxa −+−+−=•=rrrrr

***

que equivale a :

( )321

321

321

ccc

bbb

aaa

cxba =•rrr

****

determinante (da como resultado un número) cuyas filas son las componentes de los vectores que se multiplican. Para justificar la validez de esta expresión basta con comparar las expresiones ** y *** : En ellas es fácil ver que el papel que desempeñan los versores en ** es el mismo que realizan las componentes del vector a

r en la

expresión ***, razón por la cual puede reemplazarse la fila que corresponde a los versores en el determinante simbólico por la fila de las componentes de a

r resultando

el determinante **** .

Interpretación geométrica del producto mixto. Si utilizando como lados los módulos o longitudes de los vectores

ra ,

rb y

rc , construimos el

paralelepípedo de la figura podemos observar:

a) r r rbxc v= , siendo

rv

perpendicular al plano que

conforman rb y

rc .

b) r r rbxc v S= = : superficie

de la base del paralelepípedo (ver interpretación geométrica del módulo del producto vectorial)

c) ( ) αcos⋅⋅=•=• vavacxbarrrrrrr

expresión en la que αcos⋅ar

es la proyección de a sobre rv , equivalente a h ; altura

del paralelepípedo; resulta, entonces:

hvvava ⋅=⋅⋅=•rrrrr

αcos

y siendo rv S=

( ) VolumenhScxbava =⋅=•=•rrrrr

El producto mixto es un número igual al volumen del paralelepípedo cuyos lados son los vectores que se multiplican.

Importante: Si conservando la posición de los vectores cybrr

modificamos la

dirección del vector ar

cambiará el volumen del paralelepípedo. Como caso extremo cuando este último vector se ubique en el plano de los dos anteriores, el volumen se anulará, lo que significa que el producto mixto será igual a cero. Recíprocamente podemos decir que si el producto mixto entre tres vectores es nulo, ello significa que los vectores son coplanares.

ra

rb r

rc

rv

α

α

ESPACIOS VECTORIALES

Generalizaremos ahora para un espacio0 n.dimensional los

conceptos básicos del álgebra vectorial que se desarrollaron para vectores del plano E2 y del espacio tridimensional E3.

Las propiedades de las operaciones (+,٠) se transiforman, como

veremos, en propiedades para un conjunto de vectores abstractos que definen o conforman lo que se denomina Espacio Vectorial.

El matemático a quien se debe el desarrollo de estas ideas es Hernann Grasmann, siendo el primero en definir un espacio vectorial n.dimensional y el concepto de independencia lineal. Definición de Espacio Vectorial:

Sea V = {x1, x2, .....xn} conjunto de vectores y dos operaciones

que se pueden realizar en el mismo; suma (+) y producto por un escalar (٠). El conjunto (V,+,K, ٠) se denomina espacio vectorial; en él K es el cuerpo de los números reales que sin perder rigurosidad puede reemplazarse por el conjunto de los números reales.Para que un conjunto de elementos denominados vectores conforme un espacio vectorial, deben cumplirse las siguientes propiedades:

a) Entre los elementos del conjunto está definida la operación de suma como ley

interna: se opera con elementos de un determinado conjunto y el resultado se obtiene en el mismo conjunto. (sumamos vectores y obtenemos como resultado un vector)

b) Vale la propiedad conmutativa: 1221 xxxxrrrr

+=+

c) Vale la propiedad asociativa: ( ) ( ) 321321 xxxxxxrrrrrr

++=++

d) Existe elemento neutro en la operación: el vector nulo 0r

e) Existe inverso aditivo: ( ) ( ) 0/,rrrrr

=−+−∃∀ xxxx (la suma de un vector y su inverso

aditivo, da como resultado el elemento neutro en la operación.

f) Está definida la operación producto de un vector por un escalar: xxrr

=⋅ 1α como

ley externa (operamos con elementos de dos conjuntos distintos y el resultado da en uno de ellos: el de los vectores)

g) Vale la propiedad asociativa: ( ) ( ) xxrr

⋅⋅=⋅⋅ βαβα .

h) Vale la propiedad distributiva respecto de la suma de escalares:

( ) xxxrrr

⋅+⋅=⋅+ βαβα

i) Vale la propiedad distributiva respecto de la suma de vectores:

( ) 2121 xxxxrrrr

⋅+⋅=+⋅ ααα

j) Existe elemento neutro en la operación (el escalar 1): αα =⋅1

Además del conjunto de los vectores geométricos cuyas operaciones hemos detallado, también tienen estructura de espacio vectorial, entre otros conjuntos el de los polinomios, el de las funciones, el de los pares ordenados de números reales, las ternas, las cuaternas,... n-uplas..., el de las matrices, etc....

Para justificar que un conjunto tiene estructura de espacio vectorial, es preciso definir:

a) Las operaciones de suma y producto por un escalar. b) El elemento neutro. c) El inverso aditivo de cada elemento del conjunto V. d) Comprobar que se verifican las propiedades.

Actividad: verificar que tiene estructura de espacio vectorial:

a) El conjunto Rn. b) El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales. c) El conjunto de las matrices con elementos reales. d) El conjunto de todas las funciones de valor real.

Combinación lineal de vectores: .

Los vectores pueden expresarse como n-uplas ordenadas, dispuestas filas o en columnas.

Para la disposición columna:

=

41

31

21

11

a

a

a

a

ar

=

41

31

21

11

;

b

b

b

b

br

diremos que su dimensión es 4x1 (número de filas por número de columnas).

En general para un conjunto de 6 vectores de dimensión 4

podemos escribir:

41

31

21

11

1

a

a

a

a

xr

42

32

22

12

2

a

a

a

a

xr

34

33

23

13

3

a

a

a

a

xr

44

34

24

14

4

a

a

a

a

xr

45

35

25

15

5

a

a

a

a

xr

46

36

26

16

6

a

a

a

a

xr

resultando un cuadro de coeficientes formado por filas y columnas.

Designaremos una fila cualquiera con la letra "i" y una columna cualquiera con la letra "j". En nuestro caso "i" varía entre 1 y 4 mientras que "j" lio hace entre 1 y 6. De esta manera el elemento a23 pertenecerá a la fila 2 y a la columna 3.

La suma de vectores, cuando los mismos están bajo el aspecto de vectores columna, se realiza de la siguiente manera:

+

+

+

+

=

+

=+=

4241

3231

2221

2111

42

32

22

21

41

31

21

11

21

aa

aa

aa

aa

a

a

a

a

a

a

a

a

xxxrrr

y el producto de un vector por un escalar:

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

41

31

21

11

41

31

21

11

1

2

2

2

2

22

a

a

a

a

a

a

a

a

xr

y la operación combinada que recibe el nombre de combinación lineal de los

vectores 3y 2 escalares loscon y 2121 == ααxxrr

resultará:

⋅+⋅

⋅+⋅

⋅+⋅

⋅+⋅

=

⋅+

⋅=⋅+⋅=

4241

3231

2221

1211

42

32

22

12

41

31

21

11

21

32

32

32

32

3232

aa

aa

aa

aa

a

a

a

a

a

a

a

a

xxxrrr

Dependencia e independencia lineal:

No siempre resulta posible expresar un vector como combinación lineal de un conjunto de vectores dado:

Ejemplo 1: Si queremos expresar el vector

+

=

1

04

0

13

4

3 como combinación lineal

de los vectores

2

1

1

2y resulta necesario encontrar los escalares que permitan

expresarla:

⋅+⋅

⋅+⋅=

⋅

⋅+

⋅

⋅=

⋅+

⋅=

21

21

2

2

1

121

21

12

4

3

2

1

1

2

2

1

1

2

4

3

αα

αα

α

α

α

ααα

que da origen al sistema de ecuaciones lineales:

21

21

214

123

αα

αα

⋅+⋅=

⋅+⋅=

cuya solución es 67,1;67,0 21 == αα

La representación gráfica es:

( )2,1

( )1,2

( )4,3

( )1,267,0

( )2,167,1

y entonces, el vector (3,4) puede expresarse:

⋅+

⋅=

2

167,1

1

267,0

4

3

Ejemplo 2: Sea ahora el problema de expresar el vector (3,4) como combinación lineal de los vectores (2,1) y (-2,-4).

−

−⋅+

⋅=

2

4

1

2

4

321 αα

operando convenientemente, resulta del sistema de ecuaciones lineales:

⋅−⋅=

⋅−⋅=

21

21

214

423

αα

αα

multiplicando todos los términos de la segunda ecuación por 2:

⋅−⋅=

−⋅=

21

21

428

423

αα

αα

nos encontramos en presencia de un sistema incompatible ya que los segundos miembros son iguales, de lo que se desprende la inconsistencia 3=8. Esta situación nos indica que no existe manera posible de expresar la combinación lineal propuesta. Geométricamente, el caso se interpreta porque los vectores (2,1) y (-4,.-2) son paralelos, definiendo una única dirección; en consecuencia, resulta imposible descomponer en vector (3,4) en una única dirección, distinta de la propia.

Conclusión: Existe un solo vector que siempre se puede expresar como

combinación lineal de un conjunto dado: dicho vector es el vector nulo. Cuando la única posibilidad de expresar el vector nulo como

combinación lineal de un conjunto de vectores dado. lo es utilizando escalares todos nulos, la combinación lineal recibe el nombre de combinación lineal trivial y el conjunto de vectores se define como linealmente independiente.

Si además de la combinación lineal trivial, que siempre existe,

pueden establecerse otras combinaciones lineales utilizando algún escalar distinto de cero, el conjunto de vectores se denomina linealmente dependiente. Veamos como funcionan estas situaciones (como casos particulares) en los espacios de dos y tres dimensiones: a) supongamos en el espacio bidimensional un conjunto de vectores linealmente

dependientes. Como hemos dicho, en este caso, además de la combinación lineal trivial, pueden establecerse otras combinaciones lineales utilizando algún escalar distinto de cero.

( )2,4 −−

( 1,2

( )4,3

Sea la combinación lineal: 22110 xxrrr

αα +⋅= construida con el escalar 02 ≠α . En

estas condiciones podemos despejar 2xr

, obteniendo:

122

11

2

12 - hacemos si; xxxx

rrrr⋅=→=⋅−= β

α

αβ

α

α

resultando ambos vectores paralelos: tal es el caso de (2,1) y (-4,-2). En consecuencia un vector que no tenga la dirección común a ellos, no podrá ser expresado en función de los mismos (solo podrá expresarse en función de vectores de su propia dirección, utilizando la operación producto de un vector por un escalar).

Consecuencia: si en el espacio bidimensional queremos saber si dos vectores son o no linealmente independientes, comprobamos su paralelismo (los cocientes entre las componentes de la misma dirección deben ser iguales). Si resultan paralelos son linealmente dependientes, en caso contrario serán linealmente independientes. b) Supongamos ahora un conjunto de vectores linealmente dependientes del

espacio tridimensional. Cuando se da esta situación el vector nulo podrá expresarse como combinación lineal del conjunto dado, utilizando algún escalar distinto de cero:

3322110 xxxrrr

⋅+⋅+⋅= ααα ; con 03 ≠α

despejando; 23

21

3

13 xxx

rrr⋅−⋅−=

α

α

α

α concluimos que el vector 3x

r puede ser

expresado como combinación lineal de los vectores 21 xyxrr

, es decir que está

ubicado en el plano que ellos definen. (en realidad los vectores no definen un único plano, sino un haz de planos paralelos).

Al realizar la interpretación geométrica del producto mixto entre

tres vectores, vimos que esa operación da como resultado un escalar numéricamente coincidente con el volumen del paralelepípedo cuyos lados son los módulos de los vectores que se multiplican. Resulta entonces que, dados tres vectores pertenecientes al espacio tridimensional, si su producto mixto es nulo, resultarán coplanares y en consecuencia linealmente dependientes; por el contrario, si el producto mixto resulta distinto de cero, aseguramos que los vectores no son coplanares, es decir, son linealmente independientes.

Caso general (para el espacio n-dimensional): Para cualquier espacio En si queremos identificar la independencia o dependencia lineal de un conjunto de vectores, deberá expresarse el vector nulo como combinación lineal de ellos. Sea por ejemplo en E4 el conjunto:

ldkdjdidd

lckcjcicc

lbkbjbibb

lakajaiaa

((w(r

((((r

((((r

((((r

4321

4321

4321

4321

+++=

+++=

+++=

+++=

la combinación lineal es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )43214432134321243211 ,,,,,,,,,,,,0,0,0,0 ddddccccbbbbaaaa αααα +++=

dando origen al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

44342414

43332313

42322212

41312111

0

0

0

0

αααα

αααα

αααα

αααα

dcba

dcba

dcba

dcba

+++=

+++=

+++=

+++=

que recibe el nombre de sistema de ecuaciones lineales homogeneo por tener todos sus términos de igual grado (todos sus términos independientes son nulos). Este tipo de sistema de ecuaciones siempre tiene solución (al menos la trivial, con

todas las variables nulas ( 04321 ==== αααα ) que corresponde al caso en que el

sistema tiene única solución, es decir, es linealmente independiente. Puede ocurrir también que, además de la solución trivial, el

sistema pueda satisfacerse utilizando alguno de los escalares distinto de cero. En este caso, la solución es múltiple, lo que se verifica calculando el valor del determinante asociado a los coeficientes de las incógnitas, que para este caso debe ser nulo:

4444

3333

2222

1111

dcba

dcba

dcba

dcba

=0

Resumiendo: la independencia o dependencia lineal de un conjunto de vectores, puede verificarse en cualquier espacio calculando el valor del determinante asociado a los coeficientes de las incógnitas del sistema que puede construirse al establecer el vector nulo como combinación lineal del conjunto de vectores que se estudia. Si el determinante asociado resulta con valor distinto de cero, el conjunto es linealmente independiente, en tanto que, cuando dicho determinante da resultado nulo, el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Sistema de Generadores:

Recibe este nombre todo conjunto de vectores un cierto espacio vectorial, tal que, cualquier vector de dicho espacio pueda ser expresado como combinación lineal de los mismos.

Al espacio vectorial correspondiente se le da el nombre de

espacio generado por el conjunto de vectores dado.

Ejemplo: el conjunto {(1,0);(1,1);(0,1)} es un sistema de generadores de (V2,+, K, ٠).

Como el vector (1,1) puede expresarse como combinación lineal de los vectores (1,0) y (0,1) al ser (1,1)=1(1,0)+1(0,1), el conjunto {(1,0);(1,1);(0,1)} es un sistema de generadores linealmente dependiente. Con idéntico razonamiento y teniendo en cuenta que los vectores (1,0) y (0,1) son linealmente independientes, podemos decir que el conjunto {(1,0);(0,1)} es un sistema de generadores linealmente independiente.

Si se trata de un S.G.l.d, cualquier vector del espacio correspondiente podrá ser expresado como combinación lineal de los mismos de infinitas maneras distintas, mientras que, si se trata de un S.G.l.i la combinación lineal que permitirá expresar cualquier vector será única.

Base de un espacio vectorial:

Cuando estamos en presencia de un S.G.l.i decimos que el

mismo es una base del espacio vectorial. Dicho de otra forma: una base de un espacio vectorial está conformada por un conjunto de vectores linealmente independientes cuyo número es el mínimo capaz de generar el espacio. Observación:

a) Para aclarar el concepto de base consideremos el conjunto {(1,2,3);(3,2,1)}. Como puede verificarse este conjunto es l.i, sin embargo no es base de su espacio vectorial, ya que el número de sus vectores es insuficiente para generar el espacio E3.

b) El conjunto vacío es por convención la base del espacio vectorial nulo.

Dimensión de un espacio vectorial:

Se define de esta manera al número máximo de vectores linealmente independientes de un cierto espacio vectorial. Ejemplo: en el espacio (V3,+,k, ٠) el número máximo de vectores l.i es tres.

Cambio de base.

De lo que hemos visto resulta que en un espacio vectorial cualquiera existe al menos una base; sin embargo la misma no es única ya que puede considerarse base de un determinado espacio, todo conjunto de vectores del mismo que sea un sistema de generadores linealmente independiente..

Al poderse definir en un espacio vectorial más de una base,

resulta de interés establecer alguna metodología que permita obtener la expresión de un vector en una determinada base, ciando se conoce la expresión del mismo vector en cualquier otra base perteneciente al mismo espacio vectorial.. El problema a resolver recibe el nombre de cambio de base. Ejemplo: En el espacio bidimensional, el vector (3,4) está expresado en base canónica, es decir en base {(1,0);(0,1)}. El problema de cambio de base a resolver es expresar el mismo vector en base B = {(2,1); (1,2)}. Esta operación consiste en encontrar el valor de los escalares que permitan expresar la combinación lineal (3,4) = α (2,1) + β (1,2). El valor de los escalares se obtiene resolviendo el sistema de

ecuaciones lineales: 3 = 2α + β

4 = α + 2 β

cuyo resultado es α = 2/3 y β = 5/3

Resulta entonces que el vector (3,4) se expresa en base {(2,1); (1,2)} como:

( ) ( ) ( )2,13

51,2

3

24,3 +=

Los números α = 2/3 y β = 5/3 se denominan coordenadas del vector (3,4) con

respecto a la base B. Resulta entonces que (3,4) tiene distintas componentes respecto de diferentes bases, de modo tal que cada base de un mismo espacio genera un sistema de coordenadas. Actividad: efectuar la interpretación geométrica del cambio de base realizado.

Supongamos ahora que queremos expresar cualqujier vector del espacio bidimensional con referencia a una base dada. Volvamos a nuestra base B =

{(2,1); (1,2)}; entonces cualquier vector jyixv((r

+= se expresa en base B: (x,y) =

α (2,1) + β (1,2), lo que da origen al sistema:

x = 2α + β

y = α + 2 β

donde x e y son las coordenadas con referencia a la base { }ji((

, en términos de las

coordenadas referidas a la base B. La transformación inversa se obtiene de:

2x = 4α + 2 β

y = α + 2 β

restando ma.m: 2x – y = 3α

despejando α : yx3

1

3

2−=α

obtenido α y reemplazando en cualquiera de las ecuaciones se llega a:

yx3

2

3

1+=β

En las transformaciones descriptas cada coordenada de un punto en un sistema de coordenadas es una combinación lineal de las coordenadas del mismo punto en el otro sistema. Una transformación de este tipo recibe el nombre de transformación lineal.

Una transformación lineal de un sistema a otro queda

determinada por los vectores de cada base ya que, conociendo como se transforman los vectores de la base queda determinada la transformación de cualquier vector del espacio común a ambas bases.

Volveremos sobre el tema al tratar la unidad sobre matrices en la

cual definiremos la matriz asociada al cambio de base. Actividad:

a) expresar el vector bavrrr

3

5

3

2+= , siendo

=

=

2

1;

1

2barr

en base

=

1

4;

4

1B

b) Expresar el vector ( )5,2,3,1=vr

en base

=

3

2

1

4

;

2

4

1

3

;

4

3

1

2

;

4

3

2

1

B