VECTORES EN R2

1. NOMBRE DEL EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA VECTORIAL 2. COMPETENCIA: Aplicar las nociones de vector a través de su descripción geométrica y

algebraica. 3. INDICADORES DE LOGRO: Interpreta los elementos que determina un vector. Aplica las

nociones de magnitud y dirección en un segmento de recta en un plano. Diferencia las cantidades vectoriales de las escalares. Realiza operaciones con vectores combinando métodos geométricos y algebraicos. Interpreta gráficamente un enunciado vectorial dado en lenguaje natural. Traduce correctamente la información que suministra un gráfico con vectores.

4. RED DE CONCEPTOS: Vectores en R2, elementos, ubicación en el plano cartesiano,

operaciones en geometría y en álgebra con vectores, aplicaciones. 5. CONCEPTOS PREVIOS: Geometría plana (ángulos y triángulos), Geometría analítica (plano

cartesiano y rectas), razones trigonométricas y solución triangular aplicando teoremas del seno y del coseno.

6. OBJETIVOS DIDÁCTICOS (Le permitirán al estudiante lograr las competencias)

a. PROCEDIMENTALES

Reconocimiento de cantidades vectoriales

Diferenciación de cantidades escalares de cantidades vectoriales

Representación de cantidades vectoriales mediante el algebra

El cálculo de la magnitud o norma de un vector.

Reconocimiento de vectores equivalentes

Representación de desplazamientos y fuerzas en el plano coordenado bidimensional.

Determinación en un par ordenado que representa un vector, su norma, dirección y sentido.

Representación vectorial de un desplazamiento o de una fuerza

Trazar vectores gráficamente a escala adecuada

Determinación de la equipolencia de un vector mediante trabajo algebraico de pares ordenados

Como sumar cantidades vectoriales gráficamente y analíticamente

Como restar cantidades vectoriales gráficamente y analíticamente

Como multiplicar vectores por cantidades escalares

Como dividir cantidades vectoriales por cantidades escalares

Traduce cantidades vectoriales descritas verbalmente

Representación en el plano de cantidades vectoriales descritas verbalmente.

b. ACTITUDINAL

Capacidad para desplazarse en su entorno

Familiarización con mapas y planos

Formulación de inquietudes vectoriales que van más allá de los conceptos tratados en el aula

Demuestra interés por la aplicabilidad de las cantidades vectoriales a situaciones reales.

Enriquece el aprendizaje del grupo con sus aportes en el desarrollo de la clase.

Realización de todas las actividades vectoriales del TI programadas

Participa activamente en el desarrollo de las clases con análisis y razonamientos objetivos

Aporta soluciones a problemas propuestos en clase

Reconocimientos de la ubicación geodésica de su entorno

Capacidad para describir y operar con un plano XY y con un plano XZ

INTRODUCCIÓN

En la cotidianidad las aplicaciones vectoriales son innumerables: en los deportes, en el trabajo, una de las aplicaciones vectoriales comunes es la fuerza, para lograr un efecto se requiere de dos referencias: la magnitud de la fuerza aplicada y la dirección de su aplicación. Además de la fuerza, lo cotidiano es el desplazamiento de los seres humanos, ya sea en un vehículo (nos encontramos señalización de todo tipo a través de un recorrido) o por sus propios medios. Los vectores son objetos que tienen las características de los desplazamientos, es decir que tienen magnitud, dirección, sentido, y tales que la combinación (llamada suma vectorial) de dos de ellos, se obtiene de acuerdo a la regla del triángulo que veremos más adelante. Un estudio particular de las fuerzas aplicadas a un cuerpo y tratadas como se debe a que estas poseen las tres características básicas, magnitud dirección y sentido y que además, al ser combinadas vectorialmente poseen experimentalmente determinadas

.

En aplicaciones de las matemáticas aparecen ciertas

cantidades que se determinan por completo mediante

su magnitud; por ejemplo, longitud, masa, área,

temperatura y energía. Se habla de una longitud de 5 m

o de una masa de 3 kg; sólo se necesita un número

para describir cada una de ellas y que quede claro a lo

que se está refiriendo. Esas cantidades se conocen

como escalares

características que permiten reemplazar dos o más fuerzas por una fuerza equivalente, cosa que no puede ser posible en desplazamientos o aceleraciones. Igual situación se presenta cuando se quiere describir la velocidad de un objeto en

movimiento: se deben especificar tanto la rapidez como la dirección del recorrido.

Decir que un avión vuela a 350 Km/h, no nos dice nada de su destino; se debe

adicionar la dirección del desplazamiento para que quede configurada

correctamente la información, es decir, se debe hablar en términos de vectores.

Las cantidades mencionadas como desplazamiento y velocidad, además de la

aceleración y la fuerza, que implican magnitud y también dirección, se llaman

cantidades dirigidas. Una forma de representarlas matemáticamente (geométrica o

analíticamente), es utilizando vectores.

DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DE VECTORES

En la figura 1 observamos varios vectores y

su representación geométrica, cada uno de

ellos puede representar una fuerza, una

velocidad, un desplazamiento o una

aceleración entre otras cantidades

vectoriales.

Un vector en el plano se representa

geométricamente por un segmento de recta

que va desde un punto hasta otro punto, en

la figura tenemos varios ejemplos: uno de

ellos nos indica un vector u que va desde

el punto A hasta el punto B, se vector se

escribe . El punto A es el punto inicial, y

B es el punto terminal del vector , en

otras palabras se definiría como un

elemento que se desplaza desde al punto A

hasta el punto B. La longitud del segmento de recta se llama magnitud, longitud del

vector o norma del vector y se representa por . Algunos textos representan los

vectores con negrillas: u =

En la geometría plana se sabe que dos segmentos son congruentes si tienen la misma

magnitud, para los vectores geométricos esta condición nos es suficiente para que dos

vectores sean congruentes es necesario que posean igual dirección y que estén

representando la misma cantidad vectorial. Dos vectores geométricamente son iguales

cuando representan dos desplazamientos de igual magnitud y en la misma dirección, dos

fuerzas de igual magnitud y aplicadas en la misma dirección entre otras. En la figura 1 por

ejemplo, podríamos decir que son congruentes si todos representan

Figura 1

una fuerza aplicada de magnitud 3.6 kN con un ángulo de -33.7°, pero si uno de ellos

representa un desplazamiento de 3600 km en la dirección Sur 56.3° Este (S 56.3° E), este

ya no sería congruente con los demás.

Dos vectores pueden ser representados por un mismo segmento dirigido debido a una

escala adecuada de representación, pero su contexto de aplicación lo particulariza.

SUMA Y DIFERENCIA GEOMÉTRICA DE VECTORES Si al aplicar dos fuerzas a un objeto, tal como aparece en la figura 2 y representadas por

los vectores y , entonces la fuerza resultante es , como se

puede observar, podrás observar las posibilidades de realizar la suma en la figura 2 y en

la figura 3.

Quiere decir que la aplicación de las dos fuerzas tiene como resultante una sola fuerza

representada por el vector y que NO tendrá como magnitud la suma de las dos

fuerzas, esto solo sería válido si se aplicasen en la misma dirección y el mismo sentido. Al

vector se le llama suma de los vectores y lo cual se expresa en la forma:

= + . (El vector cero, que se representa con 0 no indica fuerza o desplazamiento

alguno).

Existen dos métodos para esta suma y las podemos observar en las figuras 2 y 3. El

primero es conocido como el método del paralelogramo y consiste en unir los vectores por

su punto de inicio y luego trazar paralelas a los vectores que se suman, la resultante es el

vector que se inicia en el punto donde se unieron los vectores y el punto final donde se

cortan las paralelas trazadas.

El segundo método conocido como método del triángulo o cabeza con cola es una

operación similar a la operación de sumar números reales en una recta numérica, se

representa el primer valor y a continuación de este el segundo y así hasta agotar los

sumados. En otras palabras, para sumar 2 vectores se grafica uno de los vectores y el

segundo se grafica desde el punto donde termina el anterior, la suma es otro vector que

tiene su punto inicial donde se origina el primer vector y su punto final es el punto final del

segundo vector

EJEMPLO. Se tienen los vectores ||v|| = 500N y ||u|| = 500N tal como se muestra en la

figura 4, el vector resultante NO es ||v+u|| =1000N

Ubiquemos los dos vectores un plano (para mayor facilidad que sea cartesiano)

La habilidad para representar los vectores depende de la concepción de semejanza,

recordando que figuras semejantes poseen igual forma pero diferente medida, en el caso

de la figura 4 se emplearon segmentos de 5 cm para los vectores u y v, de esta manera al

medir la resultante es un poco mayor de 7.07 cm. El ángulo es necesario definirse con un

instrumento comparativo como lo es un transportador de grados o un goniómetro. El

resultado es un valor aproximado máxime cuando uno de los errores de la medición es el

paralelismo del instrumento y la precisión del mismo. Por ello se hace necesario el empleo

del algebra y la trigonometría para valores más exactos

Después de ubicar los vectores u y v como muestra la figura, se hace indispensable

conocer el ángulo entre ellos, que fácilmente podemos deducir como de 90º. Ya

determinado el ángulo entre los vectores es fácil aplicar la ley del coseno para calcular la

resultante:

Figura 4

Vectores a sumar

Resultante de la suma

Para determinar la dirección del vector resultante, se puede aprovechar la ley de senos,

sin embargo, para nuestro caso como se forma un triángulo rectángulo y los catetos son

iguales, sabemos que cada uno de los ángulos tiene un valor de:

Por ello tanto, la dirección de u + v = 127º- 45º = 82º que es el ángulo que forma con el

eje positivo de X.

Igual resultado se obtiene si empleamos el procedimiento que se ilustra en la figura 2,

algunos en prefieren (en vez de líneas paralelas como se ilustró) trazar los mismos

vectores en los extremos de los primeros, formando un paralelogramo el cual para nuestro

ejemplo no es relevante por formar un triángulo rectángulo.

La diferencia entre números reales implica una suma de un primer valor con el inverso

aditivo del segundo valor, recordemos con un ejemplo: 31 - 17 = 31 + (-17) = 14. Así, (-17)

es el inverso aditivo de (17)

La diferencia vectorial implica un procedimiento similar, o sea que el inverso de una

cantidad vectorial es otra cantidad vectorial que posee la misma norma y dirección de la

primera, pero tiene dirección contraria. En la figura 5, u1 es el vector inverso de u. y v1 es

el inverso de v.

EJERCICIO 1.

Para cada uno de los pares de vectores siguientes que representan fuerzas en Newtons,

encuentre la norma y la dirección del vector suma de cada pareja.

1. u = 65N con ángulo 85° v = 48 con ángulo 330° 2. k = 180 con ángulo 120° w = 92 con ángulo -35° 3. a = 125 con ángulo 70° b = 43 con ángulo 55° 4. x = 100 con ángulo 25° y = 35 con ángulo 42° 5. m = 72 con ángulo 118° n = 40 con ángulo 40°

Figura 5

Con los vectores anteriores, realice las siguientes operaciones

6. u + v 7. a – w 8. m – y – b 9. k + x – v 10. w + n–a

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Si tomamos un número real a y un vector v se puede definir un nuevo vector como

resultado de multiplicar este número a (escalar) por el vector v. el nuevo vector av tiene la

magnitud a||v||, y tiene la misma dirección de v si a > 0, o tiene la dirección opuesta a v si

a < 0. Si a = 0 entonces av = 0 es el vector cero. A este proceso se le llama la

multiplicación de un vector por un escalar y su efecto determinar un vector mayor si el

valor absoluto de a es > 0 o un vector menor si el valor absoluto de a es <0, además de

cambiarle la dirección al vector resultante (depende del signo de a).

EJEMPLO 2. Se tiene el vector u = (4,3) cuyas coordenadas corresponden a medidas en

centímetros y con un ángulo de 60°. Se tiene también el escalar a = 2.55. El vector

resultante de multiplicar a(u) será:

El vector resultante tiene magnitud igual al producto entre 2.55 y 5(magnitud del vector u),

es decir 12.75 centímetros, con la misma dirección de u (60°), lo que equivale a:

En la figura 7 podemos observar la proporción de la operación de un vector por un

múltiplo escalar

EJERCICIO 2

Calcule y grafique los vectores resultantes de las operaciones entre los vectores dados y

el escalar b:

1. ||h|| = 12, (30°) b = -1.25 2. ||s|| = 15, (105°) b = 1.5 3. ||r|| = 20, (72°) b = 0.75 4. ||p|| = 55, (22°) b = 7/5 5. ||ñ|| = 32, (-25°) b = 2.25

Figura 7

DESCRIPCIÓN ANALÍTICA DE LOS VECTORES

Ya conocida la manera de reconocer y trabajar geométricamente los vectores, veámoslo

analíticamente: un vector en el plano se define como un par ordenado de números reales

en donde x y y son los componentes del vector y, por lo tanto existe una

correspondencia de uno a uno entre los vectores y los puntos en el plano.

Ubiquemos un vector v (figura 9) en el plano cartesiano o plano R2. Para ir del punto inicial

de v a su punto terminal, hay que desplazarse a unidades en el eje de las x, como

también b unidades en el eje de las y, valores hacia arriba, abajo, izquierda ó derecha

según la posición del vector, en este caso particular a unidades hacia la derecha y b

unidades hacia arriba, entonces podemos representar el vector v como el par ordenado

de números reales v = (a,b), en donde a es la componente horizontal del vector v y b

es la componente vertical del vector v.

DESCRIPCIÓN ALGEBRAICA DE VECTORES

Un vector plano, algebraicamente definido es un par ordenado de números reales ,

los valores x y y se denominan componentes del vector.

Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores en el plano y los puntos

(x,y) en el plano. El vector que aparece en la figura 9 tiene como representación de posición el

segmento rectilíneo que se dirige desde el origen hasta el punto (4, -1). La representación

del vector cuyo punto inicial es (h, k), tiene como punto terminal el punto:

,

Figura 9. El vector V en diferentes lugares del plano cartesiano

Ahora comprobaremos lo anterior de manera algebraica (ver figura 10). Sea el vector v

y A el punto de coordenadas (-2.5, 2.5) de origen de un vector u (equipolente del

vector v), el vector v tiene como

coordenadas del punto terminal:

x – (– 2.5) = 3.51

y – (2.5) = 3

y = 5.5

Lo anterior nos permite determinar el

equipolente o equivalente de un

vector con coordenadas de origen y

terminación diferentes al origen de

coordenadas, en otras palabras

trasladar un vector libre al origen de

un plano coordenado.

Una suma vectorial desde el punto de vista analítico se refleja en el siguiente ejemplo:

Sumaremos los vectores u y v , las componentes del vector suma de estos

dos vectores serán iguales a la suma de las componentes respectivas de los vectores.

u + v = w = w

Ahora podemos establecer una relación entre la representación geométrica y la

representación algebraica (analítica) de un vector. Si un vector v se representa en el

plano cartesiano con un punto inicial P(x1, y1) y un punto terminal Q(x2, y2), entonces el

vector v se expresa como:

v = – – donde (x2 – x1) = a (y2 – y1) = b (ver figura 11.)

Figura 10

Figura 11

El proceso hasta aquí detallado es el mismo empleado para determinar la distancia entre

dos puntos dadas sus coordenadas, la componente “a” no es más que la longitud o

medida en la dirección del eje x, es simplemente la diferencia entre las “x” de dos puntos

(en este caso, del punto terminal y el inicial del vector; la componente “b” es la diferencia

entre las “y” de los mismos dos puntos. Así, el vector se convierte en la hipotenusa de un

triángulo rectángulo.

EJEMPLO 3. Determinemos y grafiquemos

el vector k con punto inicial en (-3,2) y su

punto terminal en (1,5).

Solución: el vector que se busca es k = (1-

(-3), (5-2)) = (4,3), su gráfico es: (figura 12)

EJEMPLO 4:

Encontrar el punto terminal y trazar el vector

h = (4,1), con punto inicial en (2,3).

Solución: sea (x, y) el punto terminal del

vector h, entonces:

(x – 2, y – 3) = (4,1), de donde x - 2 = 4, y

– 3 = 1, luego x = 6, y = 4.

El punto terminal del vector es (6,4) (ver figura 13)

Figura 13

Figura 12

EJEMPLO 5. La figura 14 muestra el vector m con punto inicial en: (0,0), (2,2),

(-2,-1), (1,-1)

EJERCICIO 3

Según lo descrito en el párrafo anterior determine las coordenadas del punto final o inicial

según el caso y grafique

1. u punto inicial (-5, 2)

2. u punto inicial (2, -1)

3. u punto inicial (5/2, -7/2)

4. u punto final (-6, 6)

5. u punto final (-0.75, -3)

6. u punto final (1, 1)

MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR

Se debe tener claramente definido que magnitud, longitud o norma de un vector son

equivalentes, así, para determinar la norma de un vector u es lo mismo que

calcular la distancia entre dos puntos: la distancia entre el punto final y el inicial. Se

denota como ||u|| para diferenciarla del valor absoluto que puede dar pie a confusiones,

claro que el contexto del problema lo dirá, de cualquier forma se calcula como:

Figura 14

En el caso de que se requiera calcular la norma de un vector libre con punto inicial en el

punto y punto final en el punto , la magnitud está definida por:

EJEMPLO 6: Determine la magnitud de los vectores:

p =

z =

u, Punto inicial (-7, 0), punto final (-2,5)

v, Punto inicial (10,5), punto final (5,-2)

De cualquier manera la solución de los problemas en contexto requiere de una grafica

geométrica que permita visualizar correctamente el problema y luego si, aplicar los

conocimientos geométricos y/o trigonométricos que permitan soluciones más exactas.

OPERACIONES ALGEBRAICAS CON VECTORES

Es posible entonces realizar las operaciones con vectores de suma y resta, y

multiplicación por un escalar, combinando luego con su parte geométrica:

SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES, si u⟨ , ⟩ y v⟨ , ⟩

o SUMA u+v ⟨ , ⟩

o DIFERENCIA u-v ⟨ , ⟩

o MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR cv ⟨ ,c ⟩, c

EJEMPLO 7:

Si h ⟨ , ⟩; k ⟨ , ⟩ y m ⟨ , ⟩

Realizar las operaciones siguientes:

a) h+k, b) h-k, c) k-h, d) h+m, e) h-m, f) m+k, g) (h+k)-m.

Solución:

h + k = (4 + 2, 1 + 3) = (6, 4). Observemos en la figura 14 el resultado geométrico, la

resultante puede ser trazada en cualquier lugar en R2, teniendo en cuenta que la

diferencia entre sus puntos inicial y final produzca las componentes 46 11 ba

he aquí la grafica de algunas de las respuestas graficas a los problemas planteados:

Figura 15: h + k

Ahora, si se quiere realizar la operación

geométricamente, acercamos los vectores que se

suman (sus puntos iníciales o terminales), para

formar el triángulo o el paralelogramo y así

conocer el vector resultante de la operación (figura

15: h + k)

Es importante recordar que el vector cero se

denota como 0 = (0,0), en las operaciones (suma,

resta) este vector desempeña el mismo papel que

el cero en los números reales.

OPERACIONES DE SUMA Y DIFERENCIA MEDIANTE LOS COMPONENTES

RECTANGULARES

Todo vector puede descomponerse en una componente horizontal y una componente

vertical, en la figura 16 se observan los vectores u⟨ , ⟩, v⟨ , ⟩, w⟨ , ⟩ z⟨ , ⟩

con sus componentes en la dirección x y en la dirección y

Es una estrategia útil cuando se busca por ejemplo buscar el equilibrio de un cuerpo o de

una partícula sometida a varias fuerzas, se busca mediante la suma de algebraica una

componente en dirección del eje x una componente en la dirección del eje y.

Por conveniencia se establece una dirección positiva de las componentes así:

Suma de las componentes de u, v, w y z tenemos:

Suma de las componentes de u, v, w y z tenemos:

De acuerdo a lo anterior la suma de los vectores anteriores dará como resultado la

operación de la figura 17

La resultante es y su ángulo con respecto al

eje x positivo se puede observar en la figura 17 donde se ilustra el método del

paralelogramo.

Figura 16

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Un vector en R2 o vector bidimensional es un par ordenado de números reales

Un vector en R3 es una tríada ordenada de números reales

Los números reales se llaman componentes de

VECTOR UNITARIO Se denomina vector unitario aquél que tiene como modulo la unidad, lo que implica que para obtener un vector unitario de la misma dirección y sentido de un vector específico, se

le divide por su modulo:

EJEMPLO 8

Dado el vector , determinar el vector unitario en la dirección de

Al determinar la magnitud de este vector calculado, se tiene que

Al referirnos a los vectores unitarios se dispone de tres vectores unitarios i, j, k con su

respectivo inverso aditivo, orientados en los ejes coordenados tal como se aprecia en la

Figura 17

figura 18 y que facilitan la representación vectorial cartesiana de cualquier vector en R2 o

en R3.

La representación vectorial cartesiana de los vectores u⟨ , ⟩, v⟨ , ⟩, w⟨ , ⟩

z⟨ , ⟩ es:

DIRECCIÓN DE UN VECTOR

Está definida por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene, lo que equivale a decir: la dirección de un vector v es , ángulo positivo mínimo en posición normal entre el

eje positivo de x y el vector v. Las relaciones trigonométricas básicas del triángulo rectángulo permiten desde una dirección y norma conocidas en un vector, calcular sus componentes rectangulares del mismo como apreciaremos en la figura 19.

Sea u un vector cuyo punto inicial tiene coordenadas (2,4) y su punto final tiene

coordenadas (13/2,13/2) y es equipolente a un vector v en el origen y cuya magnitud ||v||

y cuya dirección es , tenemos:

La dirección del vector es por lo tanto:

Figura 18

EJEMPLO 9. Una fuerza de 50N se aplica a un objeto en un punto paralelo a su base y al

mismo tiempo otra fuerza de 245N se aplica perpendicularmente al mismo punto. Se hace

necesario reemplazar ambas fuerzas por una sola fuerza de tal manera que se logre el

mismo efecto, por lo tanto es necesario saber el ángulo de aplicación. ¿Cuál es esa

fuerza equivalente y cuál su ángulo de aplicación?

Solución: La fuerza aplicada puede expresarse como:

donde las componentes se definen por:

La dirección por lo tanto: 4.9 =

78.46º

EJEMPLO 10: Determinaremos ahora la dirección de un vector a partir de su

representación vectorial cartesiana. ¿Cuál es la dirección del vector ?

En la figura 20 se observan las componentes y sus valores, su dirección por lo tanto es:

Figura 19

APLICACIÓN DE VECTORES EN FUERZAS Y VELOCIDADES

Los vectores tienen una gran aplicación en el estudio de la física. El análisis de fuerzas

que actúan sobre un elemento es una de las principales aplicaciones en el campo de la

ingeniería. Igualmente, la aplicación para determinar la velocidad, la aceleración o el

desplazamiento de los cuerpos en el estudio de la cinemática.

En el campo del transporte, ya sea terrestre, marítimo ó aéreo, los vectores se utilizan

para determinar la dirección o rumbo trazado o destino que se programa. El ángulo agudo

medido a partir del Norte (N) ó el Sur (S), es el soporte fundamental para los ejes de

coordenadas, complementado en forma lógica por el Este (E) y el Oeste (W). En la figura

21 que se presenta a continuación, se ilustran algunos casos.

La velocidad de un objeto en movimiento se describe mediante un vector cuya dirección

es la del movimiento y su magnitud es la rapidez. La velocidad del aire o del agua afecta

el movimiento de los vehículos como aviones o barcos, tanto en su magnitud como en su

dirección; veamos.

Figura 21

N 45ºE S 30ºE N 60ºW

Figura 20

EJEMPLO 11: La rapidez de un móvil en una dirección especifica es una cantidad

vectorial, en los desplazamientos por aire y por agua, la velocidad y dirección del viento

en el primer caso y la dirección y velocidad de la corriente afectan la velocidad con

respecto al suelo de estos móviles, analicemos este caso: un avión se dirige al oeste a

una velocidad aerodinámica de 265 km/h pero se encuentra con que el viento no se dirige

al Oeste, tiene una velocidad de 56 km/h pero con una dirección N 55°O, lo que indica

que el viento desvía la aeronave hacia el norte y por lo tanto modifica la velocidad.

Debemos encontrar la velocidad con respecto al suelo del avión. En la figura 22 se puede

observar la situación:

El vector que representa la velocidad respecto al suelo es p = u + v; donde u representa

la velocidad aerodinámica del avión y v la velocidad del viento, expresado lo anterior con

notación vectorial cartesiana se tiene:

La velocidad con respecto al suelo o sea la resultante de las dos velocidades es:

Otro camino para llegar a obtener el valor de la velocidad con respecto al suelo es

empleando la denominada ley del coseno:

Compruebe el lector la veracidad del resultado.

EJEMPLO 12: Se requiere conocer el ángulo de aplicación de una fuerza que reemplace

las fuerzas F1 y F2, que actúan desde un punto P de un cuerpo, las magnitudes de dichas

fuerzas son respectivamente 50 y 25 lb. La fuerza de menor magnitud forma 45° con una

línea horizontal y entre ambas fuerzas existe un ángulo de 105°. Determinar la magnitud

de la fuerza que las reemplazaría y su dirección.

Figura 22

Solución: Igual que en ejemplo precedente expresemos a F1 y F2 en términos de sus

componentes

El ángulo por lo tanto:

EJERCICIOS

1. Suma el vector que une los puntos A(5,5) y B(-2,-2) y el vector que une los

puntos C(-2,-2) y D(5,5). ¿Qué significa el resultado obtenido?

2. Una aeronave parte de un lugar A con la dirección N25ºE durante 250 minutos

hasta el punto B, en este punto cambia a N63ºE durante 210 minutos hasta el

punto C. ¿Cuánto tiempo y con qué dirección se describiría la trayectoria de A

hasta C?

3. Un automóvil parte de una ciudad con dirección S35ºO durante 350 km, al

llegar a este punto su dirección cambia a N45ºO. ¿Cuál es la distancia entre

los puntos de partida y de llegada? ¿Cómo se describiría su desplazamiento?

4. Una cámara satelital que controla el flujo de los vehículos desde una altura de

185 metros en una carretera recta, detecta un bus en el punto A que forma 65º

entre la carretera, el bus y la cámara. Un minuto más tarde el se detecta

formando un ángulo de 28º, determinar la velocidad del bus en km por hora

5. ¿Qué sucede cuando se invierte el orden de los vectores luego de una

diferencia?

6. ¿Qué resultado se obtiene si los vectores son perpendiculares?

7. ¿Qué sucede si los vectores a restar son paralelos y tienen la misma

dirección?

8. ¿Qué resultado se obtiene si los vectores a restar son paralelos y con

diferente dirección?

9. Un bote viaja a una velocidad de 17 km por hora contra la corriente en un río

cuya dirección es S216.87ºO con respecto al punto de partida hasta un lugar

ubicado 12 km al sur y 16 km al oeste. ¿Cuánto avanza el bote en 45 minutos

de recorrido si la velocidad del río es de 5 Km por hora?

10. Un avión sale de una ciudad A hacia B que se encuentra a 500 km al norte y

600 Km al este, de allí debe viajar hasta la ciudad C que se encuentra 300 km

al norte y 1000 km al este de B. ¿Cuál sería el recorrido total si desde B

cambia su rumbo hasta una ciudad D localizada a 180º de C?

11. Un avión monomotor vuela a una velocidad aerodinámica de 285km/h; su

rumbo está definido por S 13°O. ¿Qué valores tienen su velocidad con

respecto al suelo y su rumbo sabiendo que está afectada por un viento de 35

km/h con dirección S 13 °E.

12. Un avión sale de un aeropuerto a las 14:50 horas; su curso es 267° y su

velocidad con respecto al suelo es de 350 mph. 25 minutos más tarde sale otro

avión del mismo punto y sigue un curso de 192° y su velocidad respecto al

suelo es de 410 mph. Determine la distancia que separa ambos aviones 45

minutos luego de salir el segundo avión.

13. Un avión vuela en dirección N20ºE, con una rapidez de 240 km/h. Calcule las

componentes de la velocidad hacia el Norte y hacia el Este y expréselas en

términos de vectores unitarios.

14. Si un barco navega 120 mph en la dirección N35ºO y después en línea recta

siguiendo al este, ¿Qué distancia y que rumbo podemos determinar con

respecto al punto de partida?

15. La corriente de un río tiene una velocidad de 4.7 km/h y un bote de remos viaja

a 18.5 km/h en aguas tranquilas. Si alguien desease cruzar el rio en línea

recta, ¿Cuál dirección debe dirigir? ¿Cuál la velocidad?

16. Dos personas arrastran una caja, una de ellas tira de un cable aplicándole una

tensión de 780N y en la misma dirección del eje central de la caja. La otra

persona realiza una tensión de 700N formando un ángulo de 19° con la línea

sobre la que actúa la primera tensión. Determinar la magnitud de la fuerza

resultante y su dirección.

7. ESQUEMA TEMÁTICO (Mapa Conceptual de los contenidos programados de la Guía como se relacionan entre sí.)

RED DE CONCEPTOS

8. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE: ¿Qué es lo que debe hacer el estudiante para aprender la temática que se va a estudiar?

1. Desarrollar los ejercicios resueltos que le permitan confrontar la aplicabilidad y

veracidad de los conceptos, propiedades y operaciones realizadas.

VECTORES

DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DESCRIPCIÓN ALGEBRAICA

OPERACIONES

LEY DE SENOS

SUMA VECTORIAL

MÉTODO DEL

PARALELOGRAMO

MÉTODO DEL TRIÁNGULO

LEY DEL COSENO

PRODUCTO POR ESCALAR

2. Desarrollar los ejercicios propuestos realizando un inventario de ideas que no le son claras y/o que lo confundan.

3. Realizar las consultas planteadas por el docente. 4. Participación activa en clases magistrales mediante cuestionamientos y salidas

al tablero. 5. Remitirse a la bibliografía propuesta. 6. Realizar esquemas y dibujos que representen las situaciones planteadas en

clase o en los ejercicios propuestos. 7. Relacionar los conceptos de la geometría analítica con la geometría vectorial.

9. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS. ¿Qué actividades y metodologías utiliza el

maestro para que el estudiante aprenda con coherencia con las estrategias de aprendizaje utilizadas?

1. Desarrollar actividades a desarrollar en medio virtual (geogebra) 2. Orientar la identificación de características de localización en sistemas de

representación cartesiana y representación geográfica. 3. Exponer los algoritmos para resolver y formular problemas empleando modelos

geométricos. 4. Demostrar que las aplicaciones trigonométricas son necesarias para resolver

problemas en contexto. 5. Presentar variedad de problemas reales 6. Proponer actividades evaluables fuera del aula de clase como el

posicionamiento espacial empleando brújula. 7. Planear cronológicamente el desarrollo del eje temático 8. Estimular la argumentación con el empleo del lenguaje vectorial 9. Promover el trabajo en equipo 10. Validar en todas las actividades a realizar por el estudiante la relación vectorial

con el programa académico del estudiante.

10. BIBLIOGRAFÍA 1. ABDÓN MONTENEGRO, Ignacio. Evaluemos competencias matemáticas.

Cooperativa Editorial Magisterio. 2. DICKSON, Linda, BROWN, Margarita, GIBSON, Olwen. El Aprendizaje de

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