1

Dinamika Sistem9. Analisis Sistem pada Domain

Frekuensi

FTMD – ITB

Semester 2 2012/2013

Indrawanto

Analisis Sistem pada Domain

Frekuensi

• Bilangan Kompleks: review singkat

• Respons Frekuensi sistem orde 1 linier tak berubah terhadap waktu

• Plot Bode; Decibel; Breakpoint/corner frequencies

• Respons frekuensi sistem orde 2 linier tak berubah terhadap waktu

• Respons freekuensi sistem dengan redaman kecil

Respons Frekuensi

• Nyatakan perilaku steady-state suatu sistem terhadap eksitasi harmonik untuk suatu jangkauan frekuensi input tertentu

• Contoh eksitasi sinusoida– Tegangan AC pada 50 Hz

– Memutar massa tak balans: roda, mesin perkakas, kipas angin

F(t) = mu ω2sin ωt

Putaran tak balans

Contoh Sistem Mekanik dengan Input

Sinusoida

( )tFkydt

dyc

dt

ydM =++

2

2

1. Gaya bekerja pada massa 2. Input sinusoida diberikan sebagai

perpindahan terhadap perpindahan pegas itu

sendiri

tFkydt

dyc

dt

ydm ωsin02

2

=++ tkXkydt

dyc

dt

ydm ωsin02

2

=++

2

Contoh Sistem Mekanik dengan Input

Sinusoida

3. Input sinusoida diberikan sebagai perpindahan

pegas dan damper secara paralel

tXdt

dxkx

dt

dxcky

dt

dyc

dt

ydm ωω cos02

2

=+=++

tkXtcXkydt

dyc

dt

ydm ωωω sincos 002

2

+=++

Contoh Sistem Mekanik dengan Input

Sinusoidal (Lanj’)

tmrkydt

dyc

dt

ydM ωω sin2

2

2

=++

( )dt

dyc

dt

ydmM −=−

2

2

ky−

( )trydt

dm ωsin

2

2

+−

tryym

ωsin+=

( )trydt

dmFy ωsin

2

2

+=

• Getaran paksa – respons sistem terhadap input sinusoidal.

• Solusi transisi diabaikan dan hanya berhubungan dengansolusi tunak (steady state), y, yang memiliki frekuensi samadengan sinyal input.

• Respons tunak terhadap input sinussoidal pada suatujangkauan frekuensi merupakan informsai yang sangatbermanfaat untuk memberitahukan banyak hal tentang sistemtersebut.

• Respons frekuensi diperoleh untuk input sinusoidal denganamplitudo tetap saat frekuensi berubah di jangkauan yangdiinginkan.

• Hanya dua parameter yang diperlukan untuk mendeskripsikanrespons frekuensi suatu sistem linier:

– Rasio amplitudo output tunak sistem terhadap fungsi gaya;

– Perbedaan phasa antara sinyal input dan output.

Respons Frekuensi• Untuk sistem linier tak berubah terhadap

waktu

– Respons tunak akan berupa sinusoida dengan

frekuensi sama

– Dapat dicirikan dengan

• Gain (rasio amplitudo: output/input)

• Sudut Phasa (antara input dengan output)

3

Representasi Bilangan Kompleks

( )bjaz

jMz

Mezj

+=

+=

=

φφ

φ

sincos

Kompleks konjugate z?

phasa moduli; φzM =

a

bbaM

Mb

Ma1

22

tansin

cos−−=

+=⇒

=

=

φφ

φ

2222

konjugate

Mbazzz

MezMez

bjazbjaz

jbjb

=+==⋅

=→=

−=+=−

Bilangan Kompleks: Operasi

43

21

MM

MM

L,, 21

2211

θθ jjeMzeMz ==

43

21

zz

zzz =

=z

25

726

43

208156

43

52

43

43

43

5222

jjj

j

j

j

j

j

jN

−−=

+

−+−−=

+

−−×

−

−=

+

−−=

=N

( )4321

43

21 φφφφ −−+⋅ je

MM

MM

Menghitung Respons Frekuensi

Langkah:

1. Ganti s = jω pada fungsi transfer T(s)

• T(jω) adalah rasio bilangan kompleks

2. Hitung besar M dari T(jω)

• Ini adalah rasio amplitudo output terhadap

amplitudo input

3. Hitung phasa φ dari T(jω)

• Ini adalah phase output relatif terhadap input

( )ωjTA

BM ==

( )ωφ jT∠=

Contoh

• Hitung kondisi tunak yss(t)

( ) ( )( )

( ) ttfssF

sYsT 10sin,

8

1=

+==

4

Soal (mirip) 9.1c

• Hitung kondisi tunak yss(t)

( ) ( )( )

( ) ttfs

s

sF

sYsT 3sin2,

5

4=

+

+==

Soal 9.8a

• Hitung kondisi tunak yss(t)

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ttfsssF

sYsT 2.0sin5,

14110

20=

++==

Sistem Orde Satu: Analisis Domain

Waktu

( )tfyy =+&τ ( )

+−

+= − τωω

ωττω

ωτ /

22cossin

1

1

tett

Aty

( ) tAtf ωsin=

( )φω += tBtyss sin)(

22

22

1 τω+=

AB

( )ωτφ 1tan

−−=22

1

1

τω+==

A

BM

Sistem Orde Satu: Analisis Fungsi

Transfer

( )tfyy =+&τ

( ) tAtf ωsin=

( )φω += tBty sin)(

22

22

1 τω+=

AB ( )ωτφ 1tan −−=

( )221

1

τωω

+== jTM

( ) ( )( ) 1

1

+==

ssF

sYsT

τ ( ) ( )( )

=+

==1

1

ωτω

jsF

sYjT

( )φω +tB sintA ωsin

5

Soal 9.6

• Diketahui:

• hitung h(t)

ttq

tAqhhRA

vi

vi

002.0sin1.02.0)(

)(

+=

=+&

Plot Respons Frekuensi

• Umumnya digunakan skala logaritma– Mudah untuk memanipulasi (plot

tambah/kurang)

– Menampilkan variasi frekuensi yang lebih lebar

• Plot besar Output/Input (M):– Sumbu-Y dinyatakan dalam Decibel

(dB): m=20 log10M

– Sumbu-X dalam log10 ω

• Plot Phasa (φ):– Sumbu-Y menyatakan sudut phasa

skalar

– Sumbu-X dalam log10 ω

Sistem Orde Satu

Besar Respons Frekuensi

( )22

1

1

τωω

+== jTM Per definisi: m=20log10 M [dB]

• Catatan:

– untuk nilai kecil, m = 0

– untuk nilai besar, m turun 20dB per

dekade( ) ( )( )22

10

22

1010

1log10

1log201log20

τω

τω

+−=

+−=

m

m

1<<ωτ 1>>ωτ

( ) ( )( ) 1

1

+==

ssF

sYsT

τSistem Orde Satu

Phasa Respons Frekuensi

( ) ( )( ) 1

1

+==

ssF

sYsT

τ( ) ( )ωτω 1tan −−=∠ jT

1<ωτ 1>ωτ

6

Terminologi Respons Frekuensi Orde

Satu

• Observasi– Berlaku sebagai filter low-pass,

mengecilkan amplitudo sinyal frekuensi tinggi

– Frekuensi Pojok atau Corner (sering kali disebut breakpoint atau cutoff) pada ω=1/ τ

– Rasio Amplitudo menurun 20 dB/decade untuk ω>>1/ τ

– Phasa berubah secara kontinyu dari sephasa pada frekuensi rendah ke phasa tertinggal 90 derajat pada frekuensi tinggi

( ) ( )( ) 1

1

+==

ssF

sYsT

τ

( )tfyy =+&τ

Diagram Bode

Model suatu sistem

( )xxx

sT174126

15

++=

&&&

( )174126

152 ++−

=j

jTωω

ω

Diagram Bode

( )( ) 222 1446174

15

ωωω

+−=M

( ) ( )[ ]222 1446174log2015log20 ωωω +−−=m

( ) ( ) ( )[ ]

<−−−

>−−

−=

+−∠−∠=

−

−

061741801746

12tan

061746174

12tan

12617415

20

2

1

2

2

1

2

ωω

ω

ωω

ω

ωωφ

if

if

jw

Respons Frekuensi Sistem Orde Satu

• Tentukan fungsi transfer T(s)=V(s)/F(s)

• Hitung ekspresi untuk besar dan phasa respons frekuensi

• Skets plot respons frekuensi

7

Sistem Orde Satu• Gunakan Matlab untuk membangkitkan respons

frekuensi (plot bode) untuk τ = 0.01

>> bode(tf(1,[.01 1]));

Respons terhadap Input Sinusoidal

ω=10 rad/sec

ω=100 rad/sec

ω=1000 rad/sec

Respons Frekuensi: Sistem Orde Dua

Redaman Kecil

• Pendekatan plat Boiler:

– Dapatkan T(s), evaluasi T(jω), dan lihat besar dan sudut phasa, yang mana keduanya fungsi ω.

– Plot kedua fungsi tersebut dan selesai …

Respons Frekuensi:

Sistem Orde Dua

Redaman Kecil

( )( )( ) ( )222

/2/1

1

nn

jT

ωςωωω

ω

+−

=

( )

−

−= −

2

1

/1

/2tan

n

n

ωω

ωςωφ

Dekat ωn

Dapat memperbesar input

Pada ωn

Phase = -90 derajat

8

Resonansi

• Frekuensi resonani (ωr) – Definisi: frekuensi input yang memaksimalkan amplitudo respons tunak

• Tabel 9.2.2 merangkum informasi yang berhubungan dengan resonansi

• Catatan: Frekuensi resonansi lebih rendah dibanding frekuensi pribadi tak teredam maupun teredam (redaman besar)

707.00,12

1

707.00,21

2

2

≤≤−

=

≤≤−=

ζζζ

ζςωω

r

nr

M

Base Motion and Transmissibility

Input: base motion y(t)=Asin ωt

Output: machine motion x

Find an expression for the transmissibility ratio as a function

of the base motion frequency ω

Displacement transmissibility

Force transmissibility

kyyckxxcxm +=++ &&&&

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )sXsYkcssF

xykxycf

t

t

−−=

−+−= &&

( )( ) kcsms

ms

k

kcs

skY

sX

++

+=

2

2

( )( ) kcsms

kcs

sY

sX

++

+=

2

( )( )

=sY

sX

( )( )

=skY

sFt

Response to general periodic inputs

(qualitative considerations)

• Based on two key observations:

– Fourier Theorem: any periodic input can be expressed as a sum of a sinusoidals (typically infinite sum…)

– For stable LTI systems, we can rely on the superposition principle and treat each term of the sum independently

Response to general periodic inputs

(qualitative considerations)• Standard Solution Procedure

– Step 1: take the periodic input function f(t) (its half period denoted by p below) and determine its Fourier series expansion (see App.D)

• This amounts to finding the coefficients a1, a2,…, and b1, b2, …

– Step 2: apply the good old frequency response analysis using each term of the sum (one at time): , etc.

• Most of the time, there is an infinite number of terms but only the first terms are typically considered (how many though, it’s problem dependent)

– Step 3: sum up the response due to each of the harmonic inputs• You can do this because the principle of superposition allows you to do so

( ) L+

+

+

+

+= t

pbt

pat

pbt

paatf

ππππ 2sin

2cossincos

2

122110

t

pat

pbt

paa

πππ 2cos,sin,cos,

2

12110

9

Steady-state response

( )

( )tvvv

tttv

s

s

=+

++=

&5.0

6sin3sin510

Concept of filtering 1Two frequencies, a high and a low, are fed to a frequency dependent system

High pass filter High pass filter transmits or passes the high frequencies

Low pass filter transmits, or passes, the low frequenciesLow pass filter

Concept of filtering 1Two frequencies, a high and a low, are fed to a frequency dependent system

Broadband filter Passes all frequencies within a specific range

Resonator Provides magnification to a small range of frequencies

Bandwidth

The range of frequencies over which the

power transmitted or dissipated by the

system is no less than one-half of the

peak power.

10

Bandwidth Example

• Compute the resonant frequency

• What would be the amplitude of the output at resonance

• Generate a Bode plot and confirm your calculations

>> den=[10 30 1000];>> num=100;>> bode(tf(num,den))>> grid

MATLAB

Frequency Response

• Frequency response is the

a) Frequency at which a system responds to an input

b) Transient response of a system to a harmonic input

c) Steady-state response of a system to a harmonic input

d) Total (transient and steady-state) response of a system to a harmonic input

e) All of the above

• Hint: see section 1 (or introduction), of Chap.9

Frequency Response

For high frequencies, the amplitude of the

frequency response will

a) Increase at 20 dB/decade

b) Be a constant

c) Decrease at 20 dB/decade

d) Decrease at 40 dB/decade

e) Impossible to know

Hint: see Table 9.2.1

( )( )( )10020

5

++

+=

ss

ssT

11

Damping Ratio

Increasing ζ of a second order system while

leaving ωn unchanged:

a) Reduces the resonant frequency ωr

b) Reduces the response amplitude at resonance

c) Can eliminate resonance

d) Both (a) and (b)

e) All of the above

Hint: see Table 9.2.2