Problem  1  (A&M  1.4)  

, , .  

a)    Seek  steady-­‐state  solution  of  the  form:   ,  

.  

      ,  

    ,  

  .  

 

,  

,  

 

The  solution  is:        where    

The  current  density  is:   where    

 

b)    From  Maxwell  equations,  

     

                           

 

Look  for  a  solution  of  this  form      

Plugging  in  where          

 

c)    for  polarization   ,  we  have    .      For  the  plot,  let    

 

Below  is  plot  of   as  function  of   ,  assuming  that   .  

 

Below  is  plot  of   as  function  of   ,  assuming  that   ,  and   .    

(two  plots  are  just  for  different  y-­‐axis  range)  

 

Now  assuming   ,  and    ,    

For  large ,  one  can  rewrite  as    

It  is  positive  for   ,  real  solutions  for   exist.  

For  small  but  positive ,  one  can  rewrite  it  as              

If  is  larger  and   term  is  ignored,  then  it  is  positive  for  ,  and  real  solutions  for   exist.  

 

d)    For   (but  still  >0)  

                                                               

 =1cm,   =10  kilogauss.   cm/s,   esu.  Taking  a  typical  metallic  electron  density  of  

,  the  helicon  frequency  is                                      

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problem  2  (A&M  1.5)  

a)      

For    we  have    or    

Similarly  for    

For    we  have    

Similarly  for    

Finally  the  continuity  gives  for   and  for    

The  first  two  equation  give      

where  we  used  the  continuity  equations  in  the  last  step.  

Subtracting  the  third  and  fourth  equation  yields    

And  using  the  relation  between   and    we  get      

This  gives   and  

In  order  for  a  solution  to  exist  we  need   and  hence  we  need  to  be  below  the  bulk  Plasmon  frequency.  

This  gives    and    

Since  we  need   and    

Finally,    which  is  positive.  

 

 

b)  If     we  have   and  hence   ,  or  

 

Below  is  plot  of   ,  assuming   and    

 

 

 

 

 c)  If   the  second  factor  needs  to  be  large  and  we  need  for  a  solution,  with   small.  

This  gives    or    

Also    becomes  very  large,  and  also   becomes  very  large.  Hence  the  solution  

is  localized  at  the  surface.    

Using  the  solution  for    we  get  and  hence  .  The  wave  is  circularly  polarized  in  vacuum  and  

has  elliptic  polarization  in  the  metal.    

 

 

 

Problem  3    

(a)  

 

   and      

 

 

(b)  

When  near  top  of  the  band,      

Let    then    

 

               and      

             

             Similarly:    

 

 

 

 

Problem  4    

Suppose  :      

Case  of  1D:    

 Case  of  2D:    

 Case  of  3D:    

 

 

If  we  take    and   ,  then  we  have  

   

For  case  of ,  

 

Problem  5    

The  Sommerfeld  expansion  suggests  that:    

 

 

 

 

The  correction  is:    

For  3D  free  electron  gas,    

 

For  2D  free  electron  gas,