Alejandro Mayorga

Planck, Einstein y el nacimiento de la teoría cuántica(1900-1905)

Tu vuelo solo puede llevarme al infierno:yo soy el infierno.

Abstraet. This paper deals with the waysby which Max Planck (1858-1947) and AlbertEinstein (1879-1955) set up the foundations ofquantum theory in the 1900-1905 periodo Basi-cally, the connection with the lines of thoughtopened by Ludwig Boltzmann (1844-1906) in1877 is established as the disruptive element oftheir discoveries.

Resumen. Este artículo intenta exponer loscaminos que condujeron a Max Planck (1858-1947) Y a Albert Einstein (1879-1955) a sentarlas bases de la teoría cuántica en el períodocomprendido entre 1900 y 1905. En lo funda-mental, se establece la conexión con la línea depensamiento abierta en 1877 por Ludwig Boltz-mann (1844-1906) acerca de la relación entreeniropta y probabilidad como elemento desenca-denador de sus descubrimientos.

IIntroducción

La teoría cuántica nació como un intento de-sesperado por resolver el problema planteado porla radiación del cuerpo negro.

Inicialmente propuesto por Gustav Kirchhoffen 1859, los científicos de finales del siglo XIX

John Milton (1608-1674)El Paraíso Perdido

abordaron este problema desde la perspectiva dela teoría electromagnética (Maxwell) y de la ter-modinámica (Clausius-Kelvin) y hacia 1897 cre-yeron tener la respuesta correcta. Solo dos añosdespués, hacia octubre de 1900, la investigaciónexperimental desplomaría esa esperanza.

En octubre de 1900, al intentar hallar una sa-lida al problema, Planck propuso una fórmula deinterpolación que concordaba con los datos expe-rimentales, pero que según él carecía de sentidofísico. En diciembre de 1900, en su intento defundamentar la fórmula de octubre, Planck intro-dujo un nuevo elemento en el análisis del proble-ma: la aplicación del principio de Boltzmann a lainteracción entre energía y materia. Como resul-tado de esta incursión Planck derivó una fórmulaen la que aparecía una nueva constante (h), lacual expresaba el carácter discontinuo de esa in-teracción. El significado físico de esta constantequedaba en suspenso al no poder ser incorporadaal entramado de la física clásica, por lo que laconsideró el resultado de un truco matemático.Hasta 1907 Planck mantuvo una posición bastan-te hostil hacia la idea de aceptar una discontinui-dad real tanto en la interacción radiación-materiacomo en la radiación electromagnética libre.

Einstein fue el primero en tomar en serio lasimplicaciones físicas del trabajo de Planck! y en1905, en su intento de hallar nuevos caminos

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XL (100),145-152,2002

146 ALEJANDRO MAYORGA

para llegar a la constante h, rechazó el uso queeste dio en diciembre de 1900 al principio deBoltzmann. A partir de sus estudios anteriores a1905 sobre termodinámica estadística (en espe-cial de su derivación del principio de Boltzmann,la dependencia respecto del volumen de las can-tidades termodinámicas y la derivación de la fór-mula de las fluctuaciones energéticas), la teoríacinética de los gases, la ley de Wien y de la ter-modinámica, Einstein articuló un argumento me-diante el cual logró proponer el carácter corpus-cular de la radiación electromagnética libre.

Para establecer la ruta que conduce a la con-figuración del período fundacional de la teoríacuántica y esclarecer los sentidos en que Plancky Einstein utilizaron el principio de Boltzmann,nos ocuparemos en primer lugar del artículo pu-blicado por Planck en diciembre de 1900 y porúltimo del artículo de Einstein de junio de 1905.

11Planck: diciembre de 1900.

Un salto desesperado

El 7 de octubre de 1900, el mismo día en queHeinrich Rubens (1865-1922) comunicó aPlanck los resultados experimentales que esta-blecían la incorrección de la fórmula de distribu-ción de energía radiante del cuerpo negro queWilhelm Wien (1864-1928) había propuesto en18962, Planck se dedica a buscar una salida alproblema.

El 19 de octubre de 1900 Planck presentó alos miembros de la Academia Prusiana de Cien-cias su artículo Acerca de una mejora de la ecua-ción de Wien para el espectro. En este artículo,Planck supuso que la entropía (S) de un resona-dor lineal que interactuaba con la radiación erauna función de su energía vibracional (U) y eva-luó el aumento infinitesimal de entropía de unsistema compuesto por n resonadores idénticossituados en un campo de radiación estacionario 3.

Planck nos dice que en esa búsqueda de alter-nativas ••...finalmente he comenzado a construirexpresiones completamente arbitrarias para laentropía las cuales, aunque son más complicadasque la expresión de Wien, parecen satisfacer to-

davía en una manera casi completa todos los re-querimientos de la termodinámica y de la teoríaelectromagnética'". Planck se sintió especial-mente atraído por la expresión:

la cual "es la más simple de todas las expresionesque conducen a S como una función logarítmicade U -la cual es sugerida por consideracionesprobabilísticass- y que para valores pequeños deU se reduce a la expresión de Wien ..."7. El hechode proponer una expresión para el cambio en el

d'Saumento de entropía ( dU' ) y no una para la en-tropía se debe a que, para Planck, solo el aumen-to de entropía posee sentido físico (como medidade la irreversibilidad de un proceso).

Planck utilizó esta ecuación para derivar una., dS b . dexpresión para dU ' o temen o:

dS =aln~8dU f3 f3 + U

C bi d ., dS 1 bom man o esa expresion con dU = T se o -tiene para la energía del resonador en equilibriocon la radiación (U):

f3U= ...L

«« -:De donde, con otros resultados obtenidos en 1899

C;¡,-5E=--e

Esta fórmula, de acuerdo con Planck "...con-cuerda con los datos observacionales publicadoshasta el momento ... por lo que me permito llamarsu atención hacia esta nueva fórmula la cual con-sidero ser la más simple posible, aparte de la deWien, desde el punto de vista de la teoría electro-magnética de la radiación" 9.

EL NACIMIENTO DE LA TEORÍA CUÁNTICA

Sin embargo, aunque esta fórmula concorda-ba con los datos experimentales disponibles, noera más que una intuición afortunada en una fór-mula de interpolación, carente de sentido físico.En su lectura ante la Academia Prusiana de Cien-cias del 19 de diciembre de 1900, Acerca de lateoría de la ley de ·distribución de energía del es-pectro normal, Planck intentó derivar dicha leya partir de primeros principios.

Planck abre este trabajo diciendo que "La en-tropía significa desorden, y yo pienso que unodebe buscar este desorden en la irregularidad conla cual, aún en un campo de radiación completa-mente estacionario, las vibraciones del resonadorcambian sus amplitudes y fases, tanto como unoconsidera intervalos largos de tiempo en compa-ración con el período de una vibración, pero cor-tos comparados con la duración de una medición.La energía constante del resonador ( ...) estacio-nario puede ser considerado como un promediotemporal, o, puesto en una manera diferente, co-mo un promédio instantáneo de las energías deun gran número de resonadores idénticos situa-dos en el mismo campo estacionario de radia-ción, pero lo suficiente lejos entre sí como parano influenciarse directamente'v''.

Más adelante, Planck nos dice que "Ya que laentro pía de un resonador está determinada por lamanera en que la energía se distribuye a la vezsobre muchos resonadores, yo tengo la sospechade que uno debe evaluar esta cantidad introdu-ciendo consideraciones probabilísticas en la teo-ría electromagnética de la radiación, cuya impor-tancia para la segunda ley de la termodinámicafue originalmente descubierta por el señor L.Boltzmann"!'.

Luego, hace referencia al nuevo método uti-lizado para la derivación de la ley de octubre:"...esta deducción, la cual se basa sobre la teoríaelectromagnética de la radiación, la termodiná-mica y el cálculo de probabilidades, (...) [consis-te] en un tratamiento nuevo y completamente ele-mental mediante el cual uno puede evaluar (sinnecesidad de conocer nada acerca de una fórmu-la espectral o de cualquier teoría) la distribuciónde una cantidad dada de energía entre los diferen-tes colores del espectro normal utilizando solouna constante de la naturaleza y (...) el valor de la

147

temperatura de esta energía utilizando una segun-da constante de la naturaleza.v'?

Planck propone considerar " ...un gran núme-ro de resonadores lineales que vibran monocro-máticamente: N de frecuencia v, N' frecuenciav', ...con todos los N grandes números, los cua-les están apropiadamente separados y encerradosen un medio diatérmico con velocidad de la luz ey acotados por paredes reflejantes. Dejemos queel sistema contenga una cierta cantidad de ener-gía, la energía total El' la cual está presente par-cialmente en el medio como radiación libre yparcialmente en los resonadores como energía vi-bracional.t'P

El problema que Planck se plantea es: ¿có-mo se distribuye la energía en un estado esta-cionario entre las vibraciones de los resonado-res y sobre los diversos colores de la radiaciónpresente en el medio y cuál será la temperaturadel sistema total? Para abordarlo, considera lasvibraciones de los resonadores y les asignaciertas energías arbitrarias: (E,N), (E',N'),... (Ek,Nk), ... tales que I-E*=Eo y Eo<El' de donde!JE= E(Eo es la radiación klibre presente en el medio.

Planck procede a derivar la distribución deenergía entre los resonadores de cada grupo: "SiE se considera una cantidad continuamente divi-sible, esta distribución es posible en un númeroinfinito de formas. Sin embargo, consideraremos(este es el punto esencial de todo el cálculo) queE se compone de un número bien definido departes iguales y utilizaremos la constante de lanaturaleza h=6.55 x 10-23 erg-s ... (la cual] multi-plicada por la frecuencia común v de los resona-dores suministra el elemento de energía e en er-gios, y dividiendo E por e obtenemos el número

. P de elementos de energía que deben estar dis-tribuidos entre los N tesotuuiores"!" (P=~ con

E'E=hv).

En esta etapa, Planck procede a calcular elnúmero de maneras posibles de distribuir P ele-mentos de energía entre los N resonadores:

R = (P + N -1) = (P + N -1)! ::::(P + N(+NN -1 P!(N - 1)! pPNN

Si para el valor estacionario de la energía deun resonador asignamos el valor u=~ la densi-

N'

Este último teorema puede ser dividido en dos:

148 ALEJANDRO MAYORGA

dad espacial de la energía de radiación corres-pondiente en un medio diatérmico es:

8m,zPV=-3-U

e

PE U Pdonde U =-~-=-.

N E N

Así, tomando SN como la entropía total delsistema de N resonadores y S como la entropía deun resonador y evaluando SN=klnR, se obtiene:

Resolviendo para U:

U =--!;- (4)

ekT -1

y sustituyendo (4) en (1), se obtiene la fórmulabuscada:

8nhv3 1o, =--3--hv--e kT 1e -

Planck procede, por último, a hacer algunasobservaciones finales en relación con la necesidadlógica de la deducción de la fórmula anterior queson de especial interés para nuestro propósito:

1. La proporcionalidad entre los elementos deenergía (E) y la frecuencia (v) para un grupodado de resonadores se sigue inmediatamentede la ley de desplazamiento de Wien, S; ~~).y de la ecuación (2), que puede expresarse

Lcomos;.~(~} I ilibri . diaci2. a ecuacion para e equi I no rnatena-ra iacion(1), constituye "...una de las ecuaciones básicasde la teoría electromagnética de la radiación'v-,

3. El teorema de que la entropía de un sistemade resonadores con una energía dada (S) esproporcional al logaritmo del número total decomplexiones posibles para la energía dada(R): SN=KlnR.

(1)

(3.1) La entropía del sistema en un estadodado es proporcional al logaritmo dela probabilidad de ese estado:SN=KlnW.De acuerdo con Planck esta es " ...solouna definición de la probabilidad deun estado, pues no se dispone de nin-gún otro medio a priori para definir laprobabilidad de los fenómenos de laradiación que no sea mediante la de-terminación de su entropía"!".

(3.2) La probabilidad de cualquier estado esproporcional al número de complexio-nes correspondientes: W a. R; la cualconstituye " ... el núcleo de la teoríapresentada aquí "17.

En relación con la primera observación, de-bemos decir que la proporcionalidad entre la fre-cuencia (v) y los elementos de energía (E), queconduce a E=hn, depende de la validez de la apli-cación de (3.1) Y (3.2) a la interacción materia-radiación.

En relación con la segunda observación, enel siguiente apartado veremos cómo en 1905, alcombinar la ecuación (1) con otros resultados me-cánico-estadísticos, Einstein demostró que condu-cía a serias contradicciones con la experiencia.

Por último, en lo que se refiere a la relaciónentre entropía y probabilidad, debe señalarse queen el programa cinético elaborado por Boltzmannla cuestión consistió en determinar la maneramás probable en que un número fijo (N) de mo-léculas distinguibles de gas, con energía total fija(E=AE), estaba distribuido entre las celdas del es-pacio fasel8. Por su parte, al aplicar dicha líneade pensamiento a la interacción radiación-mate-ria (3.2), Planck realizó un conteo de las manerasen que un número P de elementos indistinguiblesde energía (E) se distribuían entre N resonadores.Esta manera de contar no podía justificarse me-diante ningún recurso a la imaginación clásica.Como una conveniencia puramente formal,Boltzmann consideró la energía como disconti-nua, pero al término de sus derivaciones siemprerequirió que los elementos de energía fuesen de

EL NACIMIENTO DE LA TEORÍA CUÁNTICA

tamaño nulo. Planck omitió este paso, por lo quesu aplicación del principio (3.1) fue incorrecta.La única justificación para la introducción de loselementos de energía por Planck fue que estossuministraban lo que él estaba buscando: la fór-mula propuesta en octubre de 1900.

A finales del siglo XIX los seguidores delprograma de BoItzmann se hallaban divididosen cuanto a la naturaleza de las probabilidadesen la mecánica estadística y si estas se debíaninterpretar como un simple artificio de cálculo ocomo una realidad subyacente. Estas diferenciasde opinión colocarían a Planck y a Einstein enpolos opuestos en relación con la naturaleza dela hipótesis cuántica.

IIIEinstein: marzo de 1905.

Los constituyentes elementalesde la radiación

Einstein consideró las justificaciones de lascomplexiones dadas por Boltzmann insuficientesy entre 1902-1904 se dedicó a investigar la mane-ra en que se podía precisar el estatus de las proba-bilidades en la termodinámica estadística!". Boltz-mann llegó a la relación entre entropía y probabi-lidad sobre la base de la teoría cinética de los ga-ses; Einstein, por su lado, elaboró una teoría mo-lecular del calor divorciada de la mecánica clásica.A diferencia de Boltzmann, quien había rechazadoexplícitamente la radiación del cuerpo negro comocandidato para aplicar los métodos mecánico-esta-dísticos, en 1904 Einstein lo escogió para su aná-lisis de las fluctuaciones energéticas-". Como pro-ducto de esta investigación Einstein definió la pro-babilidad de un estado macroscópico de un siste-ma como la fracción de tiempo durante la cual laconfiguración microscópica del sistema se confor-ma a ese estado?'. Esta definición permitió confe-rir a la probabilidad W de Boltzmann un sentidofísico inmediato: como una medida de las fluctua-ciones de energía cerca de su valor de equilibrio-l.Esta interpretación representaría una guía para sutrabajo posterior sobre teoría cuántica+'.

En la primera sección de su serninal trabajoAcerca de un punto de vista heurístico sobre la

149

emisión y la transformación de la luz, publicadoen junio de 1905, Einstein trazó los límites decualquier acercamiento clásico al problema delcuerpo negro, al demostrar que la conjunción deteoría electromagnética y mecánica estadísticaconducían a contradicciones con la experiencia:al combinar la ecuación para el equilibrio mate-ria-radiación.x-.r) =8; U(v.T) (derivada por Plancka partir de la teoría electromagnética) con

U(v.T)= !!..T (derivada por Einstein a partir de la me-, . N dística) b . 8nv' (R) 24canica esta ísnca , se o tiene P( v, T) =¿ N T ,

la cual conduce al catastrófico resultado de que laconstante de Stefan-BoItzmann es infinita.

Pero si todo acercamiento clásico al problemadel cuerpo negro estaba sancionado, ¿cómo com-prender el acuerdo de la fórmula de Planck conlos datos experimentales? Esto no podía ser algofortuito. Einstein propone ••...considerar los he-chos experimentales relativos a la radiación delcuerpo negro sin recurrir a ningún modelo para laemisión y la propagación de la radiación mis-ma"25. Es decir, Einstein se propone hallar otrocamino para investigar el problema que no utili-ce la teoría electromagnética.

Pero si no es posible visual izar el problema dela radiación del cuerpo negro en términos clásicos,¿cómo se debía enfocar el problema? Como sabe-mos, Einstein recurrió al razonamiento por analo-gía: uno de los extremos del razonamiento estabaconstituido por la fórmula de Wien (dado el apoyoempírico que esta tenía en su dominio de validez,pequeñas longitudes de onda y bajas densidadesde radíacíónj", mientras que el extremo que debíaconstituir el sistema físicamente visualizable decomparación debía ser claramente identificado.

Para poder hacer posible el razonamiento poranalogía era necesario plantear el problema enuna forma que hiciera más fácil la búsqueda.Einstein halló la clave al investigar la dependen-cia respecto del volumen de la entropía de la ra-diación monocromática de baja densidad: "; .laentropía de una radiación monocromática de den-sidad suficientemente baja varía respecto del vo-lumen en la misma manera que la entropía de ungas ideal o una solución muy diluida'S",

A partir de la ley de Wien y de la termodiná-mica, Einstein derivó para el cambio de entropíarespecto del volumen:

150 ALEJANDRO MAYORGA

t.S=: I{~Jla cual al aplicar el principio de Boltzmann setransformaba en

M=~l{~J;;N va

A partir de la teoría cinética de los gases y elprincipio de Boltzmann, Einstein presentó unanueva derivación del cambio de entropía para ungas ideal, compuesto por un número muy peque-ño (n) de partículas, cuando este experimenta uncambio reversible de volumen a temperaturaconstante desde el volumen Uo hasta el volumenU (U<UO)28:

(1)

M= ~ l{~)n (2)N vaHE

Nótese que (~)"p.es la probabilidad de que enun momento dado toda la energía de radiaciónmonocromática (E) de frecuencia v, encerrada enel volumen uO' se halle en el volumen u y (~resla probabilidad de que en un momento dado to-das las partículas encerradas en el volumen uO' sehallen en el subvolumen u. Ambas definicionesde la probabilidad poseían, según Einstein, unsentido físico directo, a diferencia de las defini-ciones propuestas por Boltzmann (1877) y porPlanck (1900), las cuales calificó de artificiales.

Al igualar las ecuaciones (1) y (2) se obtiene

E =(Rf31n N)

Así, Einstein no se queda solamente en suge-rir que la radiación monocromática de baja den-sidad consta de paquetes de energía, como se es-peraría del uso débil del razonamiento por analo-gía, sino que utiliza dicha analogía en un sentidofuerte para evidenciar la profunda relación físicaque él intuye entre ambos sistemas: "La radia-ción monocromática de baja densidad (dentro delrango de validez de la fórmula de radiación deWien) se comporta termodinámicamente como siconsistiera de un número de cuantos indepen-dientes de energía con magnitud RfJv. "29 Y, ha-

N

ciendo un alarde de intuición física, " ...el próxi-mo paso obvio es investigar si las leyes de laemisión y la transformación de la luz son de talnaturaleza que puedan interpretarse o explicarseal considerar que la luz consiste de tales cuantosde energía".3o

IVConsideraciones finales

En diciembre de 1900, Planck introdujo elcuanto de energía con el fin de describir las pro-piedades espectrales de la radiación mediante unprocedimiento de cuantización aplicado a la ma-teria (resonadores materiales); Planck no estabasugiriendo ninguna revisión de la teoría electro-magnética, sino que proponía una modificaciónde la interacción entre la materia y la radiación(una terra incognita para la física de la época).En contraste, Einstein exigía modificar la teoríaclásica del campo electromagnético.

Einstein derivó U(v. T}= ~ T a partir del princi-pio de equipartición de la energía. La omisiónpor Planck de este resultado puede considerarsecomo un producto de las diferencias metodológi-cas entre ambos científicos. Ya desde 1900 Eins-tein estaba firmemente convencido de la veraci-dad de los principios de la teoría cinético-mole-cular de Boltzmann, es decir, que los gases secomponen de puntos masivos discretos de mag-nitud finita que se mueven de acuerdo con ciertascondiciones. Al abordar el problema de la radia-ción del cuerpo negro Einstein recurrió a un en-foque mecánico-estadístico. Hacia finales del si-glo XIX, Planck sostenía la tesis de que la segun-da ley de la termodinámica era incompatible conla suposición de la existencia de átomos finitos,por lo que se oponía al enfoque cinético-molecu-lar. Planck defendía el punto de vista según elcual la termodinámica era una rama de la físicaque podía sostenerse por sí misma sin necesidadde recurrir a la mecánica. Al enfrentar el proble-ma desde una perspectiva completamente termo-dinámica no se hacía necesario utilizar el princi-pio de equipartición de la energía. El principiosuministraba un método bien definido para deter-minar todas las cantidades termodinámicas en

EL NACIMIENTO DE LA TEORÍA CUÁNTICA

que Planck estaba interesado, pero esto no lo ha-bría conducido al resultado buscado, pues si exis-tiera equipartición la energía en un resonador de al-ta frecuencia sería la misma que en un resonador debaja frecuencia por lo que U debía ser igual a kT.

Una aproximación mecánico-estadística alproblema de la interacción radiación-materia re-quería establecer los posibles constituyentes ele-mentales de la radiación y sus procesos elemen-tales. Lo verdaderamente revolucionario del tra-bajo de Einstein de junio de 1905 fue sugerir cuá-les debían ser esos constituyentes elementales(aunque estos fueron establecidos en forma defi-nitivajunto con los procesos elementales de emi-sión y absorción hasta 1916-1917). Por esta ra-zón se puede decir que Einstein fue el iniciadorde la teoría cuántica!'.

Durante los años siguientes a 1900 se realizóuna serie de intentos de derivación de la ley dePlanck. La mayoría de ellas utilizaban la relaciónentre la densidad de la radiación (p) y la energíamedia de un resonador u oscilador (U) (derivadaa partir de la electrodinámica clásica) y hacíansuposiciones referentes al número de grados delibertad del éter (8,,:,' dV). el cual, también, solopuede deducirse a partir de la teoría clásica. Yahemos visto como en marzo de 1905 Einstein de-mostró la inviabilidad de esta ruta.

No fue sino hasta 1924, que Satyendra Nath Ba-se (1894-1974) propuso un nuevo método de con-teo que liberó a la ley de distribución de Planck detodos aquellos elementos relacionados con la teoríaelectromagnética, el cual se basaba en la hipótesisde los cuantos de luz (Einstein) y en la mecánica es-tadística (en la forma ajustada por Planck a las ne-cesidades de la teoría cuántica en i9(0). Medianteesa nueva estadística se pudo derivar la ley de dis-tribución de energía de Planck y comprender que laanalogía intuida por Einstein en 1905 residía en quepara Z; »1 (dominio de aplicación de la ley deWien) las consecuencias físicas de la nueva estadís-tica y la de Boltzrnann coinciden.

Notas

1. Hacia 1904 Einstein ya había leído los trabajospublicados en 190 I por Planck acerca de la radia-ción del cuerpo negro.

151

2. En 1893 Wien demostró su ley de desplazamien-to p, = v'1f), la cual se consideraba como el pun-to más alto alcanzado por la termodinámica yla teoría electromagnética en la búsqueda deuna solución para el problema de la radiacióndel cuerpo negro. En 1896 Wien propuso la

e

ecuación fIJ). = C;'-5e-Tr (o en una forma equi-fJv

valente) p( v, T) = av) e -¡:- . basada sobre el mode-

lo de un gas caliente radiante y algunas suposicio-nes dudosas (que la intensidad de la radiaciónemitida era una función de la velocidad de lasmoléculas emisoras), por lo que requería ser pro-bada a partir de primeros principios. En 1899Planck había intentado demostrar que dicha fór-mula era esencialmente válida y que representabala respuesta definitiva al problema.En 1899 Planck se había percatado que la ley delaumento de entropía no era suficiente para deter-minar completamente esa función y que se reque-ría conocer el valor de U.Planck, M. Octubre de 1900. On an lmprovementofWien 's Equationfor the Spectrum. En Haar, D.ter. 1967. The Old Quantum Theory. PergamonPress. London. pp. 79-81. p. 80.d'~:= Cambio en el aumento de entropía del sis-dUtemaS := Entropía del resonador lineal que interactúacon la radiaciónU := Energía vibracional del resonadorEsto indica que ya para octubre de 1900 Planckhabía establecido la conexión con la definiciónprobabilística de la entropía.Planck, M. Octubre de 1900. Op. cit. p. 80. SiU« fJ~ d'U =~U-I.

dU' fJ

Sd:P:~~:(dyal~~:)I: :::n(:m) os que~ + I ul fJ I fJ . Hacia 1899 PlanckfJ jU) u u e

había deducido s = J l-; . De donde p= -; => fJ = v =;:.Planck, M. Octubre de 1900. Op. cit. p. 81.Planck, M. Diciembre de 1900. On the theory ofthe Energy Distribution Law ofthe Normal Spec-trum. En Haar. D. ter. 1967. The Old QuantumTheory. Pergamon Press. London. pp. 82-90. p.82. Según Planck, solo estos valores temporaleseran accesibles a medición.

11. Planck, M. Diciembre de 1900. Op. cit. pp. 82-83. Planck no aporta ninguna justificación de la

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.10.

152 ALEJANDRO MAYORGA

aplicación de consideraciones mecánico-estadís-ticas al problema en cuestión.

12. Planck, M. Diciembre de 1900. pp. 82-83.13. Idem.14. Planck, M. Diciembre de 1900. pp. 84.15. Planck, M. Diciembre de 1900. pp. 87.16. Idem.17. Ibidem. N!

18. Así, para Boltzmann (1877) existían p; roa! oo. rop!

complexiones para Ja distribución molecular {wo'... , wp}, donde N; ~w, y E; ~rEW, y

,.0 ,.0

_ _(A+N-l)!J - ~>::- (N -l)!A! formas distintas de distribuirlos A. elementos de energía entre las N moléculas.Cada w r es el número de partículas que poseenuna energía re, La probabilidad de una distribu-ción particular, Pk' venía dada por w =1.Boltz-mann asumió W a InP y S a W => S a InP.

19. Sin embargo, su conocimiento de los escritos deBoltzmann era fragmentario, en particular los dosartículos de 1877. J(E)

20. Las fluctuaciones energéticas,(e') = kT' 8T' repre-sentan una medida de la estabilidad térmica de unsistema: cuanto mayor es la fluctuación, menor esel grado de estabilidad. Boltzmann y Gibbs cono-cían de su existencia pero las consideraron comoalgo vinculado a la descripción estadística y aso-ciadas con propiedades un tanto indeseables.

21. Esta definición data de 1868 y fue propuesta porBoltzmann. Esta definición está ligada directa-mente a la observación.

22. Darrigol, O. 1990. Einstein et la discontinuitéquantique. La Recherché. 21(220) Avril:446-452. p. 449.

23. En lo que se refiere a la versión einsteiniana de lamecánica estadística, el lector puede referirse a:Gearhart, C. 1990. Einstein before 1905: theearly papers on statistical mechanics. AmericanJournal of Physics. 44(10):912-921.Navarro, L. 1990. Einstein, profeta y hereje. Tus-quets Editores. Barcelona. pp. 17-50.

Pais, A. 1983. Subtle is the Lord ... The Scienceand the Life of Albert Einstein. Oxford UniversityPress. Oxford. pp. 55-78.En otros artículos se ha considerado el papel quejugaron estas ideas en el desarrollo de la teoríacuántica. El lector puede referirse a:Mayorga, A. 1995. "Albert Einstein: el valor heurísticode la mecánica estadística en el descubrimiento cien-tífico". En Repertorio Científico 3(1): 8-18. UNED.Mayorga, A. 1999. "Planck, Einstein, Bose (1900-1924). El nacimiento de la estadística cuántica."En Tecnología en marcha. 13(2): 127-142. ITCR.Mayorga, A. "Einstein, de Broglie, Schrodínger(1923-1925). La dualidad onda-partícula y el na-cimiento de la mecánica ondulatoria". En Tecno-logía en marcha. (En prensa). ITCR.

24. Una forma similar de esta ecuación fue propuestapor Lord Rayleigh (1842-1919) enjunio de 1900.

25. Einstein. 1905. "Concerning an heuristic point ofview toward the emission and transformation oflight". Traducción de Arons & Peppard. Ameri-can Joumal of Physics 33(5):367-374. p. 369

26. Es posible que en esta elección primaran más las in-consistencias lógicas presentes en la derivación dela ley de Planck que su amplio apoyo experimental.Einstein pudo considerar que la derivación realizadapor Planck estaba basada sobre suposiciones ad hocsimplemente para hacer que las deducciones se co-rrespondieran mejor con los datos experimentales.

27. Einstein. 1905. Op. cit. p. 371.28. Este era un resultado ampliamente conocido de la

segunda ley de la termodinámica para procesos~eversibles (TdS = c,áT+(~}:v) y de la ley del gasIdeal (PV=nRT).

29. Einstein. 1905. Op. cit. p. 372.30. Idem. Einstein demostró que esta hipótesis podía

explicar el efecto fotoeléctrico y el fenómeno deque los cátodos expuestos a rayos ultravioletaemiten electrones, en una manera que la teoríaondulatoria de la luz fracasaba en predecir.

31. Darrigol, O. 1990. Op. cit. p. 446.