Chapter 6

Optique de Fourier, suite:

Application à la di�raction par

des structures périodiques;

Réseaux

6.1 Introduction: Structures périodiques et optique

Dans le chapitre 5 nous avons évoqué le fait que la di�raction par un ensemble

d'objets identiques disposés de façon ordonnée conduisait à la formation

d'une onde dont la structure était liée à celle de l'arrangement des objets.

Un exemple, déjà mentionné, est celui de la di�raction des rayons X par les

cristaux qui sera traité dans le cours de cristallographie. Dans ce cas noter

que l'arrangement est tridimensionnel.

Un autre exemple plus simple et d'intérêt pratique en optique est celui

d'un grand nombre de sillons parallèles disposés sur un plan, donnant lieu à

ce qu'on appelle un "réseau de di�raction". Nous allons voir que ce type de

structure éclairée par une onde plane en génère plusieurs autres par di�rac-

tion, suivant des directions qui entre autres choses dépendent de la longueur

d'onde incidente. Lorsque l'éclairement est réalisé au moyen d'une source

polychromatique il en résulte une dispersion des rayonnements di�racté, un

peu comme avec un prisme, ce qui permet de les séparer et d'en analyser le

spectre 1. La plupart des spectromètres optiques sont basés sur ce principe

(cf Fig.6.1), les réseaux de di�raction pouvant être beaucoup plus e�caces

que les prismes en matière de pouvoir dispersif, étant plus compacts et plus

commodes d'emploi, plus faciles à fabriquer avec une grande souplesse dans

le choix des caractéristiques.

1C'est ce même phénomène qui est à l'origine de l'aspect irrisé des CD et DVD éclairés

en lumière blanche, où l'enregistrement est gravé suivant des pistes circulaires parallèles

qui di�ractent la lumière, cf introduction du Ch. 2.

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Figure 6.1: Schéma d'un spectromètre à réseau de con�guration "Czerny-

Turner". Le rayonnement polychromatique est focalisé au point B. Le miroir

sphérique C transforme le faisceau divergent en un faisceau parallèle assim-

ilable à une onde plane, qui est di�racté par le réseau D suivant di�érentes

directions fonctions de la longueur d'onde. Le miroir sphérique E refocalise

les rayonnements des di�érentes longueurs d'onde dans le plan F où s'observe

donc le "spectre" du rayonnement incident.

La Fig.6.2 donne quelques éléments sur une méthode de fabrication de

tels objets.

Donnons quelques ordres de grandeur. Typiquement les "réseaux de

di�raction" optique comprennent quelques centaines de "traits" par mm,

disposés sur une étendue de quelques cm. On a donc a�aire à des motifs

de quelques microns de large sur une longueur de quelques cm, se répétant

plusieurs milliers de fois.

Cet exposé constitue aussi une illustration des concepts introduits dans

le chapitre 5 en matière de description de la di�raction par des objets com-

pliqués.

La plupart des réseaux de di�raction utilisés en optique sont des "réseaux

de phase", où la fonction de transmission associée à un trait est du type

T (x, y) = exp iϕ(x, y), agissant donc seulement sur la phase et non l'amplitude

de l'onde incidente. Nous dirons quelques mots à ce propos dans le dernier

paragraphe �6.5 de ce chapitre, et traiterons un exemple en TD. C'est aussi le

cas des "réseaux en ré�exion", dont la fabrication est évoquée sur la Fig.6.2

et comprend un revêtement d'un dépôt métallique. Le disque CD peut aussi

être rattaché à cette catégorie.

En fait dans cet exposé on considérera essentiellement le cas de réseaux

d'amplitude en transmission, où la fonction de transmission T (x, y) associée

84

Figure 6.2: Illustration du principe de fabrication d'un réseau optique "holo-

graphique". Un substrat est recouvert d'un �lm de résine photosensible.

Un réseau est formé dans la résine par exposition au champ de franges

d'interférences résultant de l'interférence de deux faisceaux lasers cohérents,

puis développement qui permet d'amincir ou d'éliminer les régions de la ré-

sine qui ont été éclairées. Cette structure est ensuite bombardée par un

faisceau d'ions accélérés et chimiquement réactifs, ce qui abrase le substrat

non protégé par la résine restante et permet de sculpter un réseau ayant la

structure en échelon souhaitée dans le substrat dur. Ce substrat sculpté sert

ensuite de moule pour obtenir des répliques. (D'après document Shimadzu).

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Figure 6.3: Géométrie correspondant à la di�raction par un réseau de fentes

�nes éclairé en incidence normale.

à un "trait" vaut 0 ou 1 en fonction de x et y, agissant essentiellement sur

l'amplitude de l'onde incidente. Ceci nous permettra de nous raccrocher à

certains résultats obtenus dans les chapitres précédents.

6.2 Réseau d'amplitude en transmission: Di�rac-

tion par un réseau in�ni de fentes �nes

On considère un plan Σ percé d'ouvertures rectilignes très �nes parallèles et

équidistantes de d (Fig.6.3). Dans ce cas la fonction de transmission du plan

s'écrit:

T =∑p

δ(y − pd)× 1x = ΠΠd(y)× 1x (6.1)

où on a choisi Ox parallèle aux fentes (1x désigne la fonction unité par

rapport à x). C'est un "peigne de Dirac" (cf Chapitre 5).

6.2.1 Di�raction d'une onde plane en incidence normale

Supposons dans un premier temps que le réseau est éclairé par une onde

plane en incidence normale.

On s'intéresse comme d'habitude à l'onde di�ractée à l'in�ni. Alors

l'amplitude de l'onde di�ractée suivant la direction k⃗ est donnée par:

ψ(k⃗) = ψ0

∫T (x, y) exp[−i(kxx+ kyy)]dxdy = ψ0T̂ (kx, ky) (6.2)

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L'intégrale double se factorise en deux facteurs:

ψ(k⃗) = ψ0.1̂(kx).Π̂Πd(ky) (6.3)

En utilisant les résultats du chapitre 5, à savoir la TF de 1 égale 2πδ et la

TF d'un peigne de Dirac est un autre peigne de Dirac on obtient:

ψ(k⃗) = ψ0.2π.δ(kx).2π

dΠΠ 2π

d(ky) (6.4)

Cette formule montre deux choses:

1. kx est forcément nul: Il n'y a pas d'onde di�ractée suivant les direc-

tions non perpendiculaires à la direction des fentes

2. L'onde est di�ractée suivant une série de directions discrètes données

par (cf Fig.6.4A):

ky = q2π

d(6.5)

où q = 0,±1,±2... est un entier, appellé "ordre de di�raction". En faisant

apparaître l'angle θ que fait k⃗ avec la normale au plan des fentes, tel que:

ky = k sin θ =2π

λsin θ (6.6)

l'Eq.6.5 se réécrit:

sin θ = qλ

d(6.7)

Il est intéressant de remarquer que cette condition exprime que les ondes

di�ractées sont telles que les contributions émises depuis chacune des fentes

sont en phase.

6.2.2 Di�raction d'une onde plane en incidence oblique

Supposons maintenant qu'on éclaire le réseau par une onde plane en incidence

oblique, mais perpendiculaire à la direction des fentes (cf Fig.6.5). Cette

onde incidente est caractérisée par une vecteur d'onde k⃗i tel que kix = 0,kiy = k sin θi (attention, θi est une quantité algébrique, pouvant être positiveou négative!). Alors l'onde dans le plan des fentes après traversée des fentes

s'écrit:

ψΣ(x, y) = ψ0 exp(+ikiyy)T (x, y) = ψ0 exp(+ik sin θiy)T (x, y) (6.8)

(Noter le signe+ dans l'exponentielle correspondant au exp(ik⃗i.r⃗) d'une ondeplane caractérisée par le vecteur d'onde k⃗i.)

87

Figure 6.4: Amplitude en fonction de la direction de l'onde di�ractée par

un réseau d'extension in�nie de fentes espacées de d éclairé par une onde

plane en incidence normale. A: fentes de largeur in�niment �nes; B: fentes

de largeur a.

Appelons ψθi=0(k⃗) l'amplitude de l'onde di�ractée calculée dans le para-

graphe précédent pour une incidence normale. En insérant ψΣ (Eq.6.8) à la

place de ψ0T dans l'Eq.6.2 on voit facilement que

ψθi(k⃗) = ψθi=0(k⃗ − k⃗i) (6.9)

ce qui indique que l'onde est di�ractée cette fois-ci suivant des directions

caractérisées par:

ky − k sin θi = q2π

d(6.10)

ou

sin θ − sin θi = qλ

d(6.11)

La première de ces relations peut se réécrire sous la forme:

∆ky = q2π

d(6.12)

ou encore

∆k⃗ = q2π

du⃗y (6.13)

ce qui fait apparaître le vecteur (2π/d)u⃗y caractérisant la structure péri-

odique de l'objet di�ractant, ici le réseau de fentes.

Il est intéressant de remarquer que puisque |∆ky| < 2k (facteur 2 cor-

respondant à un retournement de ky par rapport à kiy) il ne peut y avoir

d'onde di�ractée dans une direction di�érente de la direction incidente que

88

Figure 6.5: Géométrie correspondant à la di�raction par un réseau de fentes

�nes éclairé en incidence oblique.

si 2π/d < 2k = 4π/λ, soit d > λ/2: Si le pas du réseau est plus petit que λ/2alors pour q ̸= 0 on a q2π/d > 2k, de telle sorte que seule la valeur q = 0,conduisant à ∆ky = 0, est possible. Ceci est une illustration du phénomène

assez général qui est que la propagation d'une onde est assez peu a�ectée

par des obstacles de taille plus petite que sa longueur d'onde.

Dans la suite on se place en incidence normale, l'incidence oblique ne

faisant que décaler les sinus des angles de di�raction, suivant les relations

établies dans ce paragraphe.

6.3 Di�raction par réseau in�ni de fentes de largeur

�nie

Considérons maintenant une structure di�ractante composée d'une in�nité

de fentes de hauteur in�nie, mais de largeur �nie, a (cf Fig.6.6). Suivant

les concepts établis dans le chapitre 5, cette structure est décrite par une

fonction de transmission:

T (x, y) = aΠa(y) ∗ΠΠd(y)× 1x (6.14)

où l'on fait apparaître le produit de convolution du motif, ici une "fonction

porte" de largeur a, et du peigne de Dirac décrivant la position des fentes 2.

Comme toujours l'amplitude di�ractée suivant la direction k⃗ s'exprime:

ψ(k⃗) = ψ0T̂ (kx, ky) (6.15)

2La fonction Π dé�nie au chapitre 5 a pour amplitude 1/a de façon à ce que son

intégrale fasse 1. Pour avoir une transmission égale à 1 il faut donc rajouter un facteur a

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Figure 6.6: Géométrie correspondant à la di�raction par un réseau de fentes

de largeur �nie.

soit

ψ(k⃗) = ψ0aΠ̂a.Π̂Πd(ky).2πδ(kx) (6.16)

La TF de la fonction porte est un sinus cardinal:

Π̂a =sin(kya/2)

kya/2

et on retrouve la TF du même peigne de Dirac que dans les cas précédents.

On retrouve comme on l'avait évoqué au chapitre 5 le produit d'un "facteur

de structure" caractéristique de la structure des fentes, et d'un "facteur

de forme" caractéristique de la forme de l'arrangement, ici périodique, des

fentes.

La �gure de di�raction donnée par le carré du module de l'amplitude

di�ractée (cf Fig.6.4B) est encore composée de spots correspondant à une

série de directions de di�raction d'angles �xés par l'espacement d entre les

fentes (et aussi par λ), mais dont les intensités sont données par la structure

(ici la largeur a des fentes) des objets élémentaires constituant les motifs de

l'arrangement périodique: La largeur �nie, non nulle, des fentes con�ne les

directions de di�raction dans un intervalle de ky de largeur 2× 2π/a.

6.4 Di�raction par réseau limité de fentes de largeur

�nie

Si maintenant le réseau ne comprend qu'un nombre N limité de fentes, sa

fonction de transmission est le produit de l'expression 6.14 par une fonction

porte de largeur Nd:

T (x, y) = aΠa(y) ∗ΠΠd(y).NdΠNd(y)× 1x (6.17)

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Figure 6.7: Amplitude en fonction de la direction de l'onde di�ractée par un

réseau de Nd fentes de largeur a espacées de d éclairé par une onde plane en

incidence normale.

Sachant que la TF d'un produit de fonctions est égale à 1(2π) fois le

produit de convolution des TF, on voit que l'amplitude di�ractée s'exprime

sous la forme du produit de convolution de l'expression 6.16 par la TF de la

fonction porte de largeur Nd:

ψ(k⃗) = ψ0.1

2π[aΠ̂a.Π̂Πd(ky)] ∗ [NdΠ̂Nd(ky)].2πδ(kx) (6.18)

Ce produit de convolution est très simple à calculer puisque le facteur de

gauche est une somme de Dirac (En fait un peigne de Dirac dont la "hau-

teur des dents" est multipliée par Π̂a, Fig.6.4). Il se compose donc d'une

série de motifs de strture décrite par le facteur de droite, qui se répètent aux

positions données par les Dirac. L'amplitude di�ractée est donc constituée

d'une série de pics ayant la forme de la TF de la fonction porte de largeur

Nd, se produisant pour les valeurs de ky correspondant aux directions car-

actéristiques de la périodicité d de la structure, et d'intensités donnée par la

structure des motifs di�ractants (cf Fig.6.7).

6.5 Di�raction par un réseau de phase

Le plus souvent on a a�aire à des "réseaux de phase" décrits par une fonction

de transmission s'exprimant sous la forme d'une exponentielle complexe:

T (x, y) = exp iϕ(x, y) (6.19)

Ces structures n'absorbent pas la lumière, mais la déphasent d'une quantité

qui dépend de la position.

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De telles structures peuvent être par exemple constituées d'une lame de

verre comportant des sillons gravés, de telle sorte que l'épaisseur de la lame,

et donc le déphasage qu'elle applique à l'onde qui la traverse, varie de manière

périodique avec la position.

Un autre exemple est celui d'un réseau fonctionnant en ré�exion, et con-

stitué d'une surface pro�lée suivant une structure périodique, et métallisée

pour la rendre ré�échissante (cf Fig.6.2). Dans ce cas l'onde ré�échie est af-

fectée d'un déphasage qui dépend de l'endroit où la ré�exion s'est produite,

et qu'on peut relier à la structure du motif périodique.

Par rapport aux réseaux d'amplitude considérés précédemment ces réseaux

de phase ont un facteur de structure di�érent, donc une répartition des pics

de di�raction di�érente. On peut d'ailleurs calculer la structure du motif de

phase de telle sorte que l'onde di�ractée soit concentrée sur un seul ordre de

di�raction (cf TD).

Exemple d'un réseau de phase sinusoïdal

Considérons le cas d'un réseau de phase caractérisé par la fonction de trans-

mission Eq.6.19, où:

ϕ(x, y) = ϵ cos(2π

dy) (6.20)

où ϵ est petit devant 1. Supposons ce réseau éclairé par une onde plane en

incidence normale. Alors l'onde di�ractée dans la direction k⃗ s'écrit:

ψ(k⃗) = ψ0

∫exp(iϕ(x, y)) exp(−i(kxx+ kyy))dxdy (6.21)

soit, comme exp(iϕ) ∼ 1 + iϕ = 1 + iϵ cos(2πy/d):

ψ(k⃗) ∼ ψ0[1̂x][1̂y + iϵ

∫exp(2iπy/d) + exp(−2iπy/d)

2exp(−ikyy))dy]

(6.22)

ou:

ψ(k⃗) ∼ ψ0.4π2δ(kx)[δ(ky) + iϵ

δ(ky − 2πd ) + δ(ky +

2πd )

2] (6.23)

Cette équation montre clairement que la �gure de di�raction est composée

de 3 spots, l'un plus intense correspondant à une onde plane identique à

l'onde incidente, les deux autres d'amplitude plus petite ∝ ϵ correspondantà des ondes planes inclinées d'un angle ± sin θ = ±(2π/d)/k = ±π/λ par

rapport à Oz dans le plan zOy.

Dans ce cas l'onde di�ractée ne comprend que les ordres q = 0 et q =±1. Dans le cas où ϵ n'est pas très petit devant 1 le développement de

exp iϕ(x, y) doit prendre en compte un plus grand nombre de termes, et le

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nombre d'ordres de di�raction s'accroît d'autant. Par exemple en poussant

le développement à l'ordre suivant:

exp(iϵ cos(2π

dy)) ∼ 1 + iϵ cos(

2π

dy) +

1

2(iϵ cos(

2π

dy))2 + ... (6.24)

soit

exp(iϵ cos(2π

dy)) ∼ 1 + iϵ cos(

2π

dy)− ϵ2

1

4(1 + cos(

4π

dy)) + ... (6.25)

ce qui de manière similaire à l'Eq.6.23 conduit à deux ondes di�ractées sup-

plémentaires dans les directions caractérisées par ky = ±4π/d, correspondantaux ordres de di�raction q = ±2.

Cas général

Dans le cas général on peut être amené à développer la fonction de trans-

mission Eq.6.19 en série de Fourier, chaque terme de la série donnant lieu à

une série d'ondes di�ractées suivant les directions ky = ±q2π/d, exactement

comme avec les réseaux d'amplitude. D'ailleurs le développement en série de

Fourier ne se limite pas au cas d'une fonction de transmission de module 1,

il existe pour toute fonction complexe quelconque décrivant la transmission

d'un réseau agissant à la fois sur l'amplitude et la phase.

6.6 Conclusion

• Toute structure périodique di�racte une onde plane suivant une série

de directions caractérisées par la période du réseau. On peut éten-

dre ces considérations au cas de réseaux bidimensionnels, et prédire

l'existence d'ondes di�ractées suivant des directions caractérisées par

une modi�cation des composantes du vecteur d'onde incident suivant:

∆ky = qy2π

dy

et

∆kx = qx2π

dxoù dy et dx sont les périodes associées aux directions Oy et Ox, et qyet qx des entiers positifs ou négatifs.

• Toute structure périodique de pas inférieur à λ/2 ne peut modi�er la

direction de l'onde incidente.

• L'amplitude des ondes di�ractées suivant ces di�érentes directions est

donnée par la structure du motif élémentaire composant le réseau. (On

peut d'ailleurs concevoir une structure de motif telle que la majeure

partie de l'énergie de l'onde di�ractée soit concentrée sur un seul or-

dre,("réseaux blazés" cf TD.)

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• Notons au passage qu'en pratique on n'observe que la �gure de di�rac-

tion associée au carré de l'amplitude de l'onde. Ainsi la structure de

ce motif ne peut en général être déduite de cette �gure de di�raction

(il faudrait pour cela l'amplitude).

• Lorsque le réseau comprend un nombre �ni de répétitions du motif,

l'onde est di�ractée suivant une série de faisceaux de directions cen-

trées autour des directions données par un réseau in�ni, la dispersion

angulaire de chaque faisceau autour de ces directions étant d'autant

plus petite que le nombre N de répétitions du motif est grand.

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