Numerical Study of Chromatic Dispersion in optical fibers

8/19/2019 Numerical Study of Chromatic Dispersion in optical fibers

1/71

C ORSO DI L AUREA IN INGEGNERIA DELL ’INFORMAZIONE

T ESI DI LAUREA TRIENNALE

Studio numerico della dispersionecromatica nelle bre ottiche

Laureando:

Gianluca M ARCONRelatore:

Prof. Marco S ANTAGIUSTINA

Anno Accademico 2014/2015

24 Settembre 2015


2/71


3/71

Abstract

In questo elaborato verr à trattato ed analizzato per via numerica il fenomeno delladispersione cromatica, che costituisce uno dei maggiori fattori limitanti nelle trasmissioni

su bra ottica a singolo modo. Per far ci ò si utilizzer à il software MATLAB [ 5], con ilquale sono stati simulati vari casi di trasmissione di impulsi ottici su diversi tipi dibre. Verr à dapprima esposta una tipica struttura di un sistema di comunicazioneottico, introducendo e caratterizzando i parametri fondamentali di una bra ottica. Inseguito si deriver à l’equazione di propagazione a partire dalle equazioni di Maxwell,trascurando ogni non-linearit à, per poi introdurre un metodo di integrazione numerico.Inne verranno presentati e commentati i risultati delle simulazioni eseguite.

i


4/71


5/71

Indice

Abstract i

1 Introduzione 11.1 Cause e effetti della dispersione cromatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sistema di comunicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 La bra ottica 52.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Propriet à geometriche e strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Attenuazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Assorbimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Dispersione cromatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Equazione di propagazione dell’impulso 113.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Metodo di soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Soluzione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4.1 Descrizione dell’algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Simulazioni 174.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Impulsi Gaussiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.1 Evoluzione dell’impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.2 Fattore di allargamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.3 Dispersione del terzo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2.4 Effetto combinato del secondo e terzo ordine . . . . . . . . . . . . 254.2.5 Modulazione OOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.6 Diagrammi ad occhio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.7 Limitazioni alla capacit à trasmissiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iii


6/71

Indice Indice

4.2.8 Compensazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Impulsi super-Gaussiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Evoluzione dell’impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Fattore di allargamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.3 Dispersione del terzo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.4 Diagrammi ad occhio e compensazione . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Impulsi a coseno rialzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.1 Evoluzione dell’impulso e fattore di allargamento . . . . . . . . . 414.4.2 Diagrammi ad occhio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.3 Compensazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5 Impulsi a Secante Iperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5.1 Evoluzione dell’impulso e fattore di allargamento . . . . . . . . . 494.5.2 Diagrammi ad occhio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5.3 Compensazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Conclusioni 59

iv


7/71

Elenco delle gure

1.1 Effetto della dispersione cromatica su un impulso [ 4] . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sovrapposizione degli impulsi che da luogo a ISI [ 4] . . . . . . . . . . . . 21.3 Schema di un tipico sistema di comunicazione ottico [ 7] . . . . . . . . . . 3

2.1 Sezione trasversale di una bra ottica: si notano nucleo, mantello e rivesti-mento, oltre ai rispettivi indici di rifrazione [ 1] . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Principio di riessione interna totale [ 2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Attenuazione per km al variare della lunghezza d’onda [ 3] . . . . . . . . 82.4 Variazione dell’indice di rifrazione in funzione della lunghezza d’onda [ 6] 92.5 Variazione del termine β 2 in funzione della lunghezza d’onda [ 1] . . . . 10

3.1 Schema generale per la soluzione dell’equazione di propagazione . . . . 15

3.2 Schema generale per la soluzione numerica dell’equazione di propagazione 164.1 Evoluzione di un impulso Gaussiano a multipli interi della lunghezza di

dispersione LD . La soluzione analitica, data da ( 4.4), è rappresentata daimarcatori a forma di asterisco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Effetto di distorsione introdotto dall’algoritmo FFT dovuto alla dimensioneinsufficiente della nestra temporale utilizzata. . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Fattore di allargamento al variare della distanza per impulsi Gaussiani.Risultati analitici (cerchi) e sperimentali (linea continua). . . . . . . . . . 21

4.4 Evoluzione di un impulso Gaussiano in una bra con β 2 = 0 , β 3 > 0, adistanze multiple della lunghezza di dispersione ( 4.9). . . . . . . . . . . . 23

4.5 Evoluzione di un impulso Gaussiano in una bra con β 2 = 0 , β 3 < 0, adistanze multiple della lunghezza di dispersione ( 4.9). . . . . . . . . . . . 244.6 Effetto combinato di β 2 e β 3 in una bra DS con β 2 leggermente diverso da

zero. L’impulso ha larghezza iniziale 5 ps ed è stato trasmesso per 200 km. 254.7 Esempio di modulazione OOK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.8 Diagramma ad occhio per trasmissione OOK a 10 Gbit/s ( T bit = 100 ps)

utilizzando un impulso Gaussiano con larghezza FWHM di 20 ps in unabra TW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

v


8/71

Elenco delle gure Elenco delle gure

4.9 Diagramma ad occhio per trasmissione OOK a 10 Gbit/s ( T bit = 100 ps)utilizzando un impulso Gaussiano con larghezza FWHM di 20 ps in unabra LEAF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.10 Andamento dell’EO per le trasmissioni di Figure [ 4.8] e [4.9] . . . . . . . 294.11 Limite sul bitrate per trasmissione su bra TW al variare della larghezza

FWHM per un impulso Gaussiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.12 Limite sul bitrate per trasmissione su bra LEAF al variare della larghezza

FWHM per un impulso Gaussiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.13 Diagramma ad occhio per trasmissione OOK a 25Gbit/s su bra NZDS

con impulso Gaussiano di larghezza FWHM pari a 20 ps alla distanza di100 km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.14 Diagramma ad occhio compensato attraverso bra DCF per una trasmis-sione OOK a 25Gbit/s su bra NZDS con impulso Gaussiano di larghezza

FWHM pari a 20 ps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.15 Effetto della dispersione del terzo ordine nella compensazione con braDCF e impulsi Gaussiani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.16 Effetto della dispersione del terzo ordine nella compensazione con braDCF e impulsi Gaussiani dopo 5 collegamenti NZDS-DCF. . . . . . . . . 35

4.17 Evoluzione di impulsi super-Gaussiani di ordine 2 (sinistra) e 4 (destra). 364.18 BF di super-Gaussiane al variare di m e della distanza di propagazione. 374.19 Effetto del termine β 3 sull’evoluzione di un impulso Gaussiano di ordine 3. 384.20 Effetto del termine β 3 sul BF per impulsi super-Gaussiani al variare di m . 384.21 Diagramma ad occhio per una trasmissione a 10 Gbit/s per impulso super-

Gaussiano di ordine 2 ( T FWHM = 50 ps) in una bra TW. . . . . . . . . . . 394.22 Effetto del termine β 3 nellacompensazione di un impulso super-Gaussiano

di ordine 2 di larghezza 5 ps con una bra DCF. . . . . . . . . . . . . . . 404.23 Graco dell’impulso a coseno rialzato al variare del rolloff-factor. . . . . 414.24 Evoluzione di |U rc(z, t )|2 con fattore di rolloff R = 0.5. . . . . . . . . . . . 424.25 Confronto del BF tra impulso Gaussiano e a coseno rialzato a parit à di

larghezza iniziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.26 Impatto del termine β 2 sul fattore di allargamento su bra DS per impulsi

a coseno rialzato con tempo di bit pari a 5 ps. . . . . . . . . . . . . . . . . 434.27 Trasmissione su bra TW con impulso a coseno rialzato ( R = 0.5) e bitrate

di 20 Gbit/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.28 Trasmissione su bra LEAF con impulso a coseno rialzato ( R = 0.5) e bitrate di 20 Gbit/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.29 Andamento dell’ Eye-Opening per le trasmissioni di Figure [ 4.27] e [4.28]. 464.30 Effetto della dispersione del terzo ordine nella compensazione con bra

DCF e impulsi a coseno rialzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.31 Effetto della dispersione del terzo ordine nella compensazione con bra

DCF e impulsi a coseno rialzato dopo 5 collegamenti NZDS-DCF. . . . . 484.32 Evoluzione di |U sech (z, t )|2 a multipli interi della distanza di dispersione. 49

vi


9/71


10/71


11/71

Introduzione

1.1 Cause e effetti della dispersione cromatica

La dispersione cromatica è un fenomeno che si presenta nei mezzi dielettrici con indice dirifrazione n(ω) che varia in funzione dalla lunghezza d’onda (o frequenza) della radiazio-ne incidente. Ogni segnale di durata limitata ha, per denizione, una larghezza di bandanon nulla, e quindi, nel propagarsi in un mezzo dispersivo, vedr à le sue componentispettrali viaggiare a velocit à differenti, chiamate velocit̀a di fase. Il segnale, dopo essersipropagato in un tratto di mezzo dispersivo, avr à quindi subito una distorsione che simanifester à con l’allargamento temporale dello stesso, come osservabile in Figura [1.1].Nelle comunicazioni digitali questo è un fenomeno di importanza fondamentale in quan-

Figura 1.1: Effetto della dispersione cromatica su un impulso [ 4]

to, nel trasmettere una sequenza di forme d’onda, è necessario che ogni impulso non vadaa sovrapporsi a quelli adiacenti, dando luogo ad interferenza intersimbolica (ISI) (si vedaFigura [ 1.2]), che rende pi ù critico il sistema di decisione del ricevitore, contribuendonegativamente ai parametri prestazionali del sistema come il bit error rate (BER).

1


12/71

Capitolo 1. Introduzione Sistema di comunicazione

Figura 1.2: Sovrapposizione degli impulsi che da luogo a ISI [4]

1.2 Sistema di comunicazione

Come illustrato in Figura [ 1.3], un tipico sistema di comunicazione ottico pu ò esseredescritto nella seguente maniera:

1) Sorgente È un dispositivo che genera il segnale ottico da trasmettere: pu ò essere unLED oppure, pi ù comunemente, un diodo laser. Quest’ultimo è caratterizzato dauna minor larghezza spettrale, cio è emette luce quasi-monocromatica, caratteristicache risulter à importante nelle prestazioni del sistema.

2) Modulatore Riceve in ingresso i dati da inviare, e in base allo schema di modulazionescelto, modica il segnale proveniente dalla sorgente. Pu ò essere esterno (comeevidenziato in gura) oppure interno alla sorgente.

3) Collegamento in bra Il segnale modulato in uscita dal modulatore viene focalizzatoall’ingresso del collegamento in bra ottica attraverso una micro-lente.

4) Ripetitore/Amplicatore Ripristina la potenza persa durante la propagazione a causadi assorbimento o di scattering. È tipicamente tra le maggiori fonti di rumore

dell’intero sistema.

5) Ricevitore Si tratta di un fotodiodo che riceve il segnale all’uscita del collegamento inbra e lo converte in un segnale elettrico.

In questa tesi ci si concentrer à soprattutto sulla prima parte del sistema, costituita dasorgente/modulatore e dal collegamento in bra ottica. Saranno trattati gli effetti del-

2


13/71

Capitolo 1. Introduzione Sistema di comunicazione

Sorgente

Input

Modulatore

Fibra

Ripetitore

Amplicatore

Laser

Ricevitore OutputWDM

Figura 1.3: Schema di un tipico sistema di comunicazione ottico [ 7]

la dispersione cromatica visti dal ricevitore, mostrando ed analizzando l’effetto del-l’interferenza intersimbolica attraverso dei diagrammi ad occhio e, successivamente,

calcolandone dei parametri frequentemente utilizzati per stimarne la qualit à.

3


14/71


15/71

La bra ottica

2.1 Introduzione

In questo capitolo verranno presentate le propriet à geometriche delle bre ottiche eintrodotti alcuni parametri utili caratterizzare la loro struttura sica. Saranno inoltre og-getto di attenzione i coefficienti di attenuazione e dispersione, che riassumono la qualit àtrasmissiva di una bra e che causano un peggioramento delle prestazioni dell’interosistema di comunicazione.

5


16/71

Capitolo 2. La bra ottica Propriet à geometriche e strutturali

2.2 Propriet à geometriche e strutturali

Nella sua forma pi ù semplice, una bra ottica non è altro che un cilindro di materialedielettrico ( nucleo) rivestito da un altro materiale dielettrico con indice di rifrazioneleggermente diverso ( mantello). In Figura [2.1] è rappresentato un ulteriore rivestimentopolimerico, che ha lo scopo principale di proteggere la bra da stress meccanici e disepararla dall’ambiente esterno, evitando corrosioni e danneggiamenti di altra natura.Una bra di questo tipo, caratterizzata da una brusca discontinuit à tra indici di rifrazione,è detta a salto d’indice.

Nucleo

Mantello

Rivestimento

Distanza radiale

I n d i c e

Figura 2.1: Sezione trasversale di una bra ottica: si notano nucleo, mantello e rivestimento, oltre

ai rispettivi indici di rifrazione [ 1]

2.2.1 Principio di funzionamento

Il principio di funzionamento delle bre ottiche si basa sul concetto di riessione internatotale: un raggio luminoso (o pi ù in generale, una radiazione elettromagnetica), perpropagarsi nella bra, deve rimanere connato nel core senza che vi sia trasmissione nelcladding. Consideriamo la situazione di gura Figura [2.2], in cui un raggio colpiscel’interfaccia aria-core (indici di rifrazione n0-n1) con angolo di incidenza θi rispetto allanormale. Vale quindi la legge di Snell, che ci fornisce l’angolo di riession θr

n0 sin (θi ) = n1 sin (θr ) (2.1)Il raggio trasmesso riette quindi sull’interfaccia core-cladding (indici n1-n2) con angoloφ, che garantisce riessione totale se e solo se

φ > φ c, sin(φc) = n2/n 1 , (2.2)

che corrisponde alla seguente condizione sull’angolo di incidenza:

n0 sin (θi ) = n1 cos(φc) = n12 −n22 (2.3)6


17/71

Capitolo 2. La bra ottica Attenuazione

Il primo membro di ( 2.3) è detto apertura numerica (NA) e, per n1 n2 è approssimabilecon

NA = n1 √ 2∆ ∆ = n1 −n2n1

(2.4)

e, intuitivamente, rappresenta la capacit à della bra di connare un raggio luminosoall’interno del core.

Indice del core n 1

Indice del mantello n 2

Raggio guidato

Raggio non guidato

Aria n 0

Figura 2.2: Principio di riessione interna totale [ 2]

2.3 Attenuazione

Man mano che il segnale si propaga nella bra, si vericano dei fenomeni che causano la

perdita di potenza ottica, con conseguente attenuazione dell’impulso trasmesso. Questeperdite sono riconducibili principalmente a due fenomeni:

• Assorbimento• Scattering

In generale, la relazione tra potenza trasmessa P 0 e potenza ricevuta P rx alla distanza Lè descritta da

P rx = P 0 e− αL , (2.5)

dove α è chiamata costante di attenuazione, e riassume le perdite dovute a diversi fenomeni.

2.3.1 Assorbimento

Le perdite associate ai processi di assorbimento sono dovute alla cessione di energia daparte del segnale trasmesso alle molecole di materiale fondamentale della bra, comeplastica o vetro. Questo contributo pu ò essere migliorato solamente cambiando il tipodi materiale utilizzato per la costruzione. A causa dei processi di fabbricazione sonopresenti nelle bre anche impurit à, e quindi, a differenza del caso precedente, possonoessere controllate, per esempio, migliorando le tecniche di lavorazione.

7


18/71

Capitolo 2. La bra ottica Dispersione cromatica

Figura 2.3: Attenuazione per km al variare della lunghezza d’onda [3]

2.3.2 Scattering

Il fenomeno di scattering o diffusione consiste nella rimozione di energia dall’onda in-cidente e la conseguente ri-emissone di tale energia in diverse direzioni. Il principalefenomeno di scattering nelle bre ottiche è chiamato scattering di Rayleigh, che provocauna attenuazione proporzionale a 1/λ 4 a piccole lunghezze d’onda (Figura [ 2.3]).

2.4 Dispersione cromatica

Come gi à introdotto in sezione [ 1.1], l’allargamento di un impulso durante la sua pro-pagazione in un dielettrico è dato dalla dipendenza del suo indice di rifrazione dallefrequenze (o lunghezze d’onda) incidenti. Ogni componente spettrale si propaga quindicon velocit à data da

vω = cn(ω)

(2.6)

In Figura [ 2.4] è riportato un andamento tipico di n(ω).Per caratterizzare la ”dispersivit à” di un mezzo è utile sviluppare la costante di propa-gazione β in serie di Taylor in un intorno di ω0, cioè la pulsazione attorno alla quale ècentrato l’impulso da trasmettere:

β (ω) = n(ω)ωc

= β 0 + β 1(ω −ω0) + 12

β 2(ω −ω2)2 + · · · (2.7)

β m =∂ m β ∂β m ω= ω0

m = 1 , 2, 3, · · · (2.8)Per quanticare l’effetto dispersivo di un mezzo viene spesso usato il solo coefficienteβ 2. Come si evince da Figura [2.5], il termine β 2 si annulla per una certa lunghezza

8


19/71

Capitolo 2. La bra ottica Dispersione cromatica

n gr

n

1,48

1,45

0,5 1,0 1,5 2,0λ / µm

Figura 2.4: Variazione dell’indice di rifrazione in funzione della lunghezza d’onda [6]

d’onda λD ≈ 1.27µm, chiamata di dispersione nulla. Bench é il nome possa suggerire ilcontrario, la dispersione cromatica non cessa di esistere a questa lunghezza d’onda, inquanto è necessario considerare i coefficienti di ordine superiore. In questa situazionequindi, un altro parametro utile per descrivere una bra è β 3. Una ulteriore situazionein cui il termine β 3 non è trascurabile è il caso di trasmissione di impulsi ultracorti(< ps). Quando β 2 è maggiore di zero si parla di dispersione normale, e le lunghezzed’onda pi ù grandi si propagano pi ù velocemente, mentre quando β 2 è negativo si parladi dispersione anomala, e le lunghezze d’onda che si propagano pi ù velocemente sono

quelle pi ù piccole. Questa propriet à risulta importante in quanto permette di progettarebre ottiche, chiamate dispersion-compensating bers (DCF), che consentono, se inseritedopo una connessione caratterizzata da un valore β 2 di segno opposto, di rimediareall’allargamento dell’impulso. La possibilit à di progettare bre come le DCF è dovuta alladipendenza di β 2 da alcuni parametri costruttivi, come i diametri di nucleo e mantello,propriet à che viene usata per far coincidere la lunghezza d’onda di dispersione nullaλD con la lunghezza d’onda con minor perdite, che, osservando Figura [ 2.3], risultaessere circa 1550 nm. Queste bre vengono comunemente chiamate dispersion-shifted bers (DSF).

9


20/71


21/71

Equazione di propagazionedell’impulso

3.1 Introduzione

In questo capitolo verr à derivata, a partire dalle equazioni di Maxwell, l’equazione chegoverna la propagazione di un impulso all’interno di una bra ottica unimodale. Persemplicit à di trattazione verranno trascurati tutti gli effetti di non linearit à, per i quali sirimanda a [ 1]. Verr à quindi proposto un metodo analitico per la soluzione, oltre che adun metodo numerico poi usato per le simulazioni.

11


22/71

Capitolo 3. Equazione di propagazione dell’impulso Equazioni di Maxwell

3.2 Equazioni di Maxwell

Come per tutti i fenomeni elettromagnetici, la propagazione di impulsi ottici in una braè descritta dalle equazioni di Maxwell:

∇×E = −∂ B∂t

(3.1)

∇×H = J + ∂ D

∂t (3.2)

∇ ·D = ρ (3.3)∇ ·B = 0 (3.4)

Essendo un mezzo privo di cariche libere, nelle bre ottiche densit à di carica ρ e densit àdi corrente J sono nulle.

Le relazioni costitutive invece descrivono il legame tra i vettoriD

,E

,B

eH

:D = ε0E + P (3.5)B = µ0H + M (3.6)

dove P e H sono le polarizzazioni elettrica e magnetica. Essendo le bre ottiche unmezzo non magnetico, possiamo porre H = 0 . Dalle equazioni precedenti, assieme a(3.2), possiamo scrivere

H = 1µ0

B

∇×H =

∇× 1

µ0B =

∂ D

∂t = ε0

∂ E

∂t +

∂ P

∂tche, ricordando la relazione c = 1 / √ µ0ε0, diventa

∇×B = 1c2

∂ E∂t

+ µ0∂ P∂t

Inne, applicando l’operatore rotore a ( 3.1) si ottiene

∇×∇×E = − 1c2

∂ 2E∂t 2 −µ0

∂ 2P∂t 2

(3.7)

Per relazionare campo elettrico e polarizzazione elettrica, nell’intervallo di lunghezze

d’onda di interesse, possiamo invece scrivere

P (r , t ) = ε0 + ∞−∞ X (t −τ ) ·E (r , τ ) dτ (3.8)cioè interpretiamo il mezzo come un sistema la cui risposta impulsiva è la sua suscettivit à.Ricordando che la costante dielettrica relativa di un materiale è legata alla sua suscettivit àattraverso

ε = 1 + X (3.9)12


23/71


e la propriet à di convoluzione della trasformata di Fourier

+ ∞

−∞

f (t−

τ )g(τ ) dτ = F

{f (t)

} ·F

{g(t)

} (3.10)possiamo riscrivere (3.7) come

∇×∇× E (r , ω) −ε(ω)ω2

c2E = 0 (3.11)

Applicando la trasformata di Fourier a ( 3.9) otteniamo

ε(ω) = 1 + X (ω) (3.12)che relaziona l’indice di rifrazione e il coefficienti di assorbimento rispettivamente allasua parte reale e immaginaria nel seguente modo

n(ω) = 1 + 12

Re[ X (ω)] (3.13)α(ω) = ωnc

Im[ X (ω)] (3.14)Questo ci consente di applicare ulteriori semplicazioni all’equazione (3.11). Rimpiaz-ziamo per prima cosa ε(ω) con n2(ω), passaggio giusticato dalle basse perdite nel rangedi lunghezze d’onda di interesse. In secondo luogo, essendo n(ω) indipendente dallecoordinate spaziali sia nel core che nel cladding (nelle bre a salto d’indice), possiamoscrivere

∇×∇×E = ∇(∇ ·E ) −∇2E = −∇2E (3.15)dato che ∇ ·D = ε∇ ·E = 0 . Mettendo insieme queste informazioni con ( 3.11) otteniamo

∇2E + n2(ω)

ω2

c2E = 0 (3.16)

Possiamo utilizzare ( 3.15) anche per riscrivere (3.7) nella seguente forma:

∇2E −

1c2

∂ 2E∂t 2

= µ0∂ 2P∂t 2

(3.17)

Conviene ora riscrivere il campo magnetico e vettore polarizzazione nel seguente modo

E (r , t ) = 12

x̂ E (r , t )e− iω 0 t + E (r , t )e− iω0 t (3.18)

P (r , t ) = 12

x̂ P (r , t )e− iω0 t + P (r , t )e− iω0 t (3.19)

dove x̂ è il verso di polarizzazione, in maniera tale che E (r , t ) e P (r , t ) rappresentinol’inviluppo dell’onda incidente e della polarizzazione indotta.

13


24/71


Sostituendo queste ultime equazioni in ( 3.17), troviamo che

E (r , ω

−ω0) =

+ ∞

−∞

E (r , t )ei(ω− ω0 ) dt (3.20)

soddisfa l’equazione di Helmholtz

∇2

E + ε(ω)k02

E = 0 k0 = ωc

(3.21)

Quest’ultima si pu ò risolvere con il metodo di separazione delle variabili, ipotizzandouna soluzione del tipo

E (r , ω −ω0) = F (x, y)A(z, ω −ω0)eiβ 0 z (3.22)con A(z, ω) una funzione che varia lentamente, β 0 il numero d’onda da determinare, eF (x, y) una funzione che descrive la distribuzione dell’impulso nella sezione di bra.Vengono cos ı̀ determinate la seguenti equazioni:

∂ 2F ∂x 2

+ ∂ 2F ∂y 2

+ ε(ω)k02 − β 2(ω) F = 0 (3.23)

2iβ 0∂ A∂z + β 2(ω) −β 02 A = 0 (3.24)In questo ultimo passaggio si è trascurata la derivata seconda di A per l’ipotesi fatta dilenta variabilit à.La costante dielettrica del materiale ε(ω) pu ò essere approssimata da

ε ≈ n2 + 2 n∆ n ∆ n = iα2k0

(3.25)

per tener conto delle perdite. Questo per ò introduce una variazione su β , che diventaβ (ω) = β (ω) + ∆ β (3.26)Approssimando β 2(ω) −β 02 con 2β 0 [β (ω −β 0], da (3.24) si ottiene

∂ A∂z = i [β (ω) + ∆ β −β 0] A (3.27)Sviluppando in serie di Taylor β (ω) come in (2.7), trascurando i termini oltre il terzoordine, e anti-trasformando A si ottiene∂A

∂z + β 1

∂A

∂t +

iβ 2

2

∂ 2A

∂t2

− β 3

6

∂ 3A

∂t3 +

α

2A = 0 (3.28)

Dato che il termine β 1 è responsabile solamente della velocit à di gruppo, cio è quellaalla quale si muove l’impulso, studiando il fenomeno in un sistema di coordinate chesi muove a questa velocit à, possiamo rimuoverlo da ( 3.28). L’equazione che descrive lapropagazione di un impulso nelle bre ottiche è quindi:

∂A∂z

+ iβ 2

2∂ 2A∂τ 2 −

β 36

∂ 3A∂τ 3

+ α2

A = 0 (3.29)

14


25/71

Capitolo 3. Equazione di propagazione dell’impulso Metodo di soluzione

3.3 Metodo di soluzione

Per comodit à, introduciamo la grandezza U (z, τ ) che descrive l’ampiezza normalizzatadell’impulso:

A(z, τ ) = P 0e− αz/ 2U (z, τ ) (3.30)In questo modo |U (z, τ )|2 rappresenta la potenza ottica, e possiamo rimuovere il terminedovuto alle perdite da ( 3.29), che diventa:

∂U ∂z

= −iβ 22

∂ 2U ∂τ 2

+ β 3

6∂ 3U ∂τ 3

(3.31)

Ricordiamo ora la seguente propriet à della trasformata di Fourier:

F ∂ kU

∂t k = ( iω)k F

{U

} (3.32)

Trasformando ( 3.31) tenendo conto di ( 3.32), otteniamo

∂ U ∂z

= iω2β 22

U −iω3β 36

U , (3.33)

che pu ò essere risolta attraverso il metodo di separazione delle variabili:

∂ U U = iω2 β 22 −iω3 β 36 ∂z (3.34)U (z, ω) = U (0, ω)exp iω

2 β 22 −iω

3 β 36

z (3.35)

La soluzione nel dominio del tempo si ottiene semplicemente anti-trasformando ( 3.35)

U (z, τ ) = F − 1 U (z, ω) (3.36)

Denendo l’operatore D̂ nel seguente modo

D̂ (z) = exp iω2β 22 −iω

3 β 36

z , (3.37)

possiamo riassume il processo di risoluzione di ( 3.31) con lo schema in Figura [ 3.1].

U (0, t )F {·}

U (0, ω)D̂ (z)

U (z, ω)F − 1{·} U (z, t )

Figura 3.1: Schema generale per la soluzione dell’equazione di propagazione

15


26/71

Capitolo 3. Equazione di propagazione dell’impulso Soluzione numerica

3.4 Soluzione numerica

Soluzioni in forma chiusa per ( 3.29) esistono solamente per casi specici, e, generalmente,solamente se si trascurano i termini di ordine superiore al secondo. È importante quindisviluppare metodi numerici che permettono di simulare in maniera affidabile e veloce ifenomeni n’ora presentati.

L’algoritmo che verr à descritto in questa sezione è una semplicazione del cosidettoSplit-Step Fourier method, studiato per risolvere la versione non lineare di (3.29).

3.4.1 Descrizione dell’algoritmo

L’idea sulla quale si basa il metodo Split-Step è quella di considerare indipendenti glieffetti lineari e non lineari su un breve tratto di bra.

Supponendo di conoscere un operatore N̂ (z) simile a ( 3.37) che risolve la sola partenon lineare dell’equazione, la soluzione sar à cosı̀ determinata:

1. Separare la bra in m sezioni di lunghezza h piccola.

2. Calcolare la trasformata di Fourier dell’impulso iniziale attraverso l’algoritmo FFT .

3. Applicare l’operatore D̂ (h) alla trasformata ottenuta nel punto 2

4. Applicare l’operatore N̂ (h) al segnale ottenuto nel punto 3

5. Ripetere il punto 3 sul tratto successivo di bra considerando il segnale ottenutonel punto 4.

6. Ottenere il segnale nel dominio del tempo attraverso l’algoritmo IFFT .

Nel caso trattato in questo elaborato, avendo trascurato le cause di non-linearit à, utilizze-remo l’algoritmo appena descritto saltando il punto 4.

La correttezza di questo metodo sar à valutata nel capitolo [ 4], in cui si confronteran-no diversi risultati numerici con la corrispondente versione esatta nel caso di impulsigaussiani.

U (0, t ) FFT

U (0, ω)D̂ (h)

U (k ·h, ω)

D̂ (h)

D̂ (h)U (m ·h, ω)

IFFTU (z, t )

Figura 3.2: Schema generale per la soluzione numerica dell’equazione di propagazione

16


27/71

Simulazioni

4.1 Introduzione

Questo capitolo ha lo scopo di presentare i risultati delle simulazioni sulla propagazionedi diversi tipi di impulsi, ottenuti risolvendo numericamente l’equazione derivata epresentata in sezione [3.2] attraverso il metodo analizzato in sezione [ 3.4], che verr àprima validato confrontando i risultati numerici con quelli analitici nel caso di impulsiGaussiani. I dati utilizzati per le simulazioni sono brevemente schematizzati nellaseguente tabella, e si riferiscono alla lunghezza d’onda di 1550 nm.

Fibra β 2 (ps 2 / km) β 3 (ps 3 / km)

DS 0 0.091TW -3.0 0.091LEAF -4.7 0.133NZDS1 -4.7 0.051DCF1 101.6 -0.191

Tabella 4.1: Parametri delle bre utilizzati nelle simulazioni

17


28/71

Capitolo 4. Simulazioni Impulsi Gaussiani

4.2 Impulsi Gaussiani

Il primo tipo di impulsi che consideriamo sono gli impulsi Gaussiani, cio è del tipo

U (0, t ) = exp − t2

2T 02. (4.1)

Un parametro pi ù comune per caratterizzare ( 4.1) è il parametro di durata a mezza altezza(full-width half-maximum, FWHM), che, per impulsi Gaussiani, è legato a T 0 nel seguentemodo:

T FWHM = 2√ ln2 ·T 0 1.665 ·T 0 (4.2)Un’altra grandezza che risulter à comoda nei calcoli e nelle considerazioni è la cosidettalunghezza di dispersione, denita da

LD = T 0|β 2| (4.3)Questo parametro ci d à un’idea sulla distanza alla quale non sono pi ù trascurabili glieffetti della dispersione.

4.2.1 Evoluzione dell’impulso

Per questo tipi di impulsi possiamo risolvere ( 3.29) ponendo il termine del terzo ordine a0. Troviamo che la forma dell’impulso dopo essersi propagato per una distanza z è datada

U (z, t ) = T 0

T 02 −iβ 2z exp −

t2

2(T 02 −iβ 2z) . (4.4)La sua larghezza alla distanza z è quindi esprimibile nel seguente modo

T (z) = T 0 1 + z2LD 2 (4.5)Ora che abbiamo derivato ( 4.4) e (4.5) possiamo confrontare i risultati delle simulazionicon quelli teorici.

Per prima cosa, andiamo ad osservare Figura [4.1], che rappresenta l’evoluzione diun impulso con picco di potenza pari a 1mW, T FWHM = 20 ps, a vari multipli interi della

lunghezza di dispersione: possiamo vedere come soluzione analitica (rappresentata condei marcatori a forma di asterisco) e sperimentale coincidano perfettamente.

Nota Nella scrittura dell’algoritmo usato per le simulazioni presenti in questo capitoloè stato necessario tener conto delle problematiche dell’algoritmo FFT implementato daMATLAB [5]. In questo caso, dovendo maneggiare dei set di dati in continua evoluzione,è stato essenziale fornire una nestra temporale di dimensione tale che l’impulso chesi vuole analizzare, nell’allargarsi, non vada a raggiungerne gli estremi. Se questa

18


29/71


−40

−20

0

20

40 01

23

45

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance z/LdNormalized time τ

P o w e r

[ m W ]

Figura 4.1: Evoluzione di un impulso Gaussiano a multipli interi della lunghezza di dispersioneLD . La soluzione analitica, data da ( 4.4), è rappresentata dai marcatori a forma di asterisco.

19


30/71


condizione non viene soddisfatta, l’algoritmo FFT introdurr à delle distorsioni di formaoscillatoria, dovute al fatto che l’algoritmo assume una periodicit à implicita, e quindi ilsegnale che esce da un lato della nestra di integrazione ”rientrer à” dal lato opposto. Unesempio di questo effetto è osservabile in Figura [ 4.2], risultato della stessa simulazionedi Figura [ 4.1] ma con una nestra temporale dimezzata.

−10

−5

0

5

10 0

12

3

4

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance z/LdNormalized time τ

P o w e r

[ m W ]

Figura 4.2: Effetto di distorsione introdotto dall’algoritmo FFT dovuto alla dimensioneinsufficiente della nestra temporale utilizzata.

4.2.2 Fattore di allargamento

Come visto pi ù volte, ed ora anche mostrato in Figura [ 4.1], l’effetto con cui si manifestala dispersione cromatica è l’allargamento dell’impulso ottico inviato nella bra. Unparametro utile per caratterizzare questo allargamento è detto fattore di allargamento(broadening factor, BF), che è dato dal rapporto tra la larghezza dell’impulso dopo essersipropagato per una certa distanza e quella iniziale. Nel caso Gaussiano vale

BF = T (z)

T 0= 1 +

β 2zT 02

212

. (4.6)

20


31/71


Anche in questo caso, disponendo di un risultato esatto, andiamo a confrontarlo conquello sperimentale. In Figura [4.3] è rappresentato l’andamento del fattore di allarga-mento di un impulso Gaussiano al variare della distanza: notiamo ancora come i risultatidelle simulazioni siano in completo accordo con quelli dati da ( 4.6).

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Distance z/Ld

σ z

/ σ 0

SimulationTheoretical Result

Figura 4.3: Fattore di allargamento al variare della distanza per impulsi Gaussiani. Risultatianalitici (cerchi) e sperimentali (linea continua).

Larghezza RMS Va fatto notarecome, nell’ottenere i risultatinumerici, non siapossibileestrarre il parametro T (z) da una serie di dati, e quindi si debba usare il valore root-mean-square (RMS) per approssimare la larghezza di un impulso. La larghezza RMS è denitacome segue:

σ =

T 2

−T 2 (4.7)

T p = + ∞

−∞

t p |U (z, t )|2 dt

+ ∞−∞ |U (z, t )|2 dt (4.8)Per calcolare gli integrali in ( 4.8) invece si è fatto uso dei metodi di approssimazionetrapezoidale messi a disposizione da MATLAB [ 5].

21


32/71


4.2.3 Dispersione del terzo ordine

Nei paragra precedenti è stato completamente trascurato il termine β 3 che compare

in (3.29) per poter derivare dei risultati in forma esatta. In questo paragrafo invece sistudieranno gli effetti del termine del terzo ordine, andando ad osservare in manierasimile a quanto fatto no ad ora l’effetto che questo parametro ha sulla forma di unimpulso Gaussiano. Per semplicit à di visualizzazione, il termine β 2 verr à posto a 0.

Anche in questo caso è utile introdurre una lunghezza di dispersione associata altermine del terzo ordine, che, analogamente a ( 4.3), ci dà un’indicazione sulla distanzaalla quale l’effetto della dispersione comincia a farsi sentire in modo sostanziale:

LD = T 03

|β 3| (4.9)

Nelle stesse condizioni della simulazione di Figura [4.1], ma con β 2 = 0 e β 3 > 0, è statagenerata Figura [ 4.4]. Come prima considerazione, possiamo notare come la forma dellagaussiana venga alterata introducendo delle piccole oscillazioni in testa all’impulso, adifferenza del caso studiato precedentemente. Infatti, come notiamo in (4.4), l’impulsorimane di forma Gaussiana quando β 3 = 0 .

Se invece scegliamo un valore β 3 < 0, le oscillazioni si spostano in coda all’impulso,come si pu ò vedere da Figura [ 4.5].

22


33/71


−20

−10

0

10

20 01

23

45

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance z/Ld

’Normalized time τ

P o w e r

[ m W ]

Figura 4.4: Evoluzione di un impulso Gaussiano in una bra con β 2 = 0 , β 3 > 0, a distanzemultiple della lunghezza di dispersione (4.9).

23


34/71


−20

−10

0

10

20 01

23

45

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance z/Ld


P o w e r

[ m W ]

Figura 4.5: Evoluzione di un impulso Gaussiano in una bra con β 2 = 0 , β 3 < 0, a distanzemultiple della lunghezza di dispersione (4.9).

24


35/71


4.2.4 Effetto combinato del secondo e terzo ordine

Nei tipi di bre pi ù comuni difficilmente si riesce ad ottenere un valore β 2 nullo con

assoluta precisione. Per questo motivo è interessante vedere come entrambi i coefficientidi dispersione agiscono assieme. Per fare ci ò si è simulata una trasmissione con i seguentiparametri:

•Larghezza FHWM 5 ps•Distanza 200 km•Fibra DS (con β 2 leggermente diverso da 0)I risultati sono osservabili in Figura [ 4.6]: una piccola variazione di β 2 rispetto allo zeroarriva quasi a far raddoppiare il BF.

−15 −10 −5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σz / σ0 = 3.59

σz / σ0 = 1.85

Time [ps]

P o w e r

[ m W ]

β2 = −0.05 β3 = 0.000

β2 = 0.00 β3 = 0.091

β2 = −0.05 β3 = 0.091

Figura 4.6: Effetto combinato di β 2 e β 3 in una bra DS con β 2 leggermente diverso da zero.L’impulso ha larghezza iniziale 5 ps ed è stato trasmesso per 200 km.

4.2.5 Modulazione OOK

Per simulare la trasmissione di dati faremo uso della modulazione On-Off Keying (OOK),cioè una modulazione binaria che fa uso delle seguenti forme d’onda:

S 0(t) = 0S 1(t) = A ·φ(t)

25


36/71


dove φ(t) è l’impulso scelto.In Figura [ 4.7] è rappresentato il segnale OOK che corrisponde alla sequenza di bit

11010 .

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/Tbit

Figura 4.7: Esempio di modulazione OOK.

4.2.6 Diagrammi ad occhio

Uno strumento molto usato in pratica per valutare la qualit à di una trasmissione digitaleè il diagramma ad occhio. Il diagramma ad occhio è ottenuto sovraimponendo tutte lepossibili sequenze di bit ricevute. In questo modo risulta facile valutare parametri comeISI, o la robustezza del sistema a problemi di sincronizzazione.In Figura [ 4.8] sono rappresentati i diagrammi ad occhio per una trasmissione OOK a10 Gbit/s in una bra TW. La linee rosse tratteggiate rappresentano il livello minimodi potenza ricevuta nel caso di trasmissione di un ”1” e quello massimo nel caso ditrasmissione di uno ”0”. Notiamo come, all’aumentare della distanza, questi due livellisi avvicinino: questo è l’effetto dell’interferenza intersimbolica, che si pu ò quanticareattraverso un parametro chiamato Eye Opening (EO), calcolato nel seguente modo:

EO = 10 log10P 1,minP 0,max

(4.10)

Ripetendo la stessa simulazione di Figura [ 4.8] ma con una bra LEAF, in Figura [ 4.9]possiamo vedere come, a parit à di distanza, l’ EO sia molto pi ù piccolo (cio è il diagramma

è pi ù ”chiuso” e i due livelli sono pi ù vicini). Questo è dovuto al valore maggiore (inmodulo) del parametro β 2 per bre LEAF. Gli andamenti dei due EO sono rappresentatiin Figura [ 4.10].

26


37/71


38/71


−1 0 10

1

2

3

4

5

Distance L = 50 km

−1 0 10

0.5

1

1.5

2

2.5

Distance L = 100 km

−1 0 10

0.5

1

1.5

2

Distance L = 150 km

−1 0 10

0.5

1

1.5

2

Distance L = 200 km

Figura 4.9: Diagramma ad occhio per trasmissione OOK a 10 Gbit/s ( T bit = 100 ps) utilizzandoun impulso Gaussiano con larghezza FWHM di 20 ps in una bra LEAF.

28


39/71


50 100 150 200 250 300

0

50

100

150

Distance [km]

E y e

O p e n

i n g

[ d B ]

TWLEAF

Figura 4.10: Andamento dell’EO per le trasmissioni di Figure [4.8] e [4.9]

29


40/71


4.2.7 Limitazioni alla capacit à trasmissiva

Come visto precedentemente, l’ISI gravasulle prestazioni di un sistema di comunicazione.

Un modo per ridurre questo fenomeno è quello di aumentare il tempo di bit con unaconseguente diminuzione del bitrate. Ci si pone quindi il problema di determinare qualesia il massimo bitrate ottenibile per una trasmissione robusta.

Un criterio che si pu ò adottare è quello di richiedere che il tempo di bit T bit soddisla seguente relazione:

T bit > 4σz , (4.11)

dove σz è la larghezza RMS dell’impulso alla distanza z.In Figure [4.11] e [4.12] sono rappresentati i limiti derivanti dal criterio proposto per

varie larghezze FWHM di impulsi Gaussiani, rispettivamente per bre TW e LEAF.

0 50 100 150 200 250 3000

5

10

15

20

25

30

Distance [km]

E y e

O p e n

i n g

[ d B ]

FWHM = 20 psFWHM = 25 psFWHM = 30 ps

Figura 4.11: Limite sul bitrate per trasmissione su bra TW al variare della larghezza FWHM perun impulso Gaussiano.

30


41/71


0 50 100 150 200 250 3000

5

10

15

20

25

30

Distance [km]

E y e

O p e n

i n g

[ d B ]

FWHM = 20 psFWHM = 25 ps

FWHM = 30 ps

Figura 4.12: Limite sul bitrate per trasmissione su bra LEAF al variare della larghezza FWHMper un impulso Gaussiano.

4.2.8 Compensazione

Nella sezione [ 2.4] abbiamo brevemente discusso su come sia possibile progettare brecon alto β 2 in modo che, se inserite dopo una connessione con β 2 di segno opposto,riescano a compensare l’effetto di allargamento dell’impulso. Intuitivamente, si pu ò

pensare al fenomeno nella seguente maniera:supponiamo di avere un tratto di bra di lunghezza L1 e con β 21 > 0. Abbiamo visto

che in questo caso le lunghezze d’onda pi ù grandi si propagano pi ù velocemente, e quindialla ne della bra avranno accumulato un certo anticipo, mentre quelle pi ù piccoleavranno subito un certo ritardo. Se l’impulso risultante entra in una seconda bra conβ 22 < 0 e in modulo molto grande, allora dopo una piccola lunghezza L2 (rispetto a L1),le lunghezze d’onda pi ù piccole avranno recuperato il ritardo che avevano accumulatoalla ne della prima bra, e le lunghezze d’onda pi ù grandi saranno state rallentate noa perdere completamente il loro anticipo, ripristinando totalmente la forma dell’impulsotrasmesso. Questo risultato deriva dalla linearit à di (3.29):

U (L1 + L2, t ) = 12π

+ ∞

−∞U (0, ω)exp

i2(β 21L1 + β 22L2)ω2 −iωt dω (4.12)

Se facciamo in modo cheβ 21L1 + β 22L2 = 0 (4.13)

allora ( 4.12) diventa

U (L1 + L2, t ) = 12π + ∞−∞ U (0, ω)exp( −iωt ) dω = U (0, t ) . (4.14)

31


42/71


Per testare questo fenomeno si è simulata una trasmissione OOK a 25Gbit/s ( T bit = 40ps) su L1 = 100 km di bra NZDS ( β 21 = -4.7) con impulso di larghezza FWHM di 20ps e potenza 1 mW. Il diagramma ad occhio per questa prima parte del collegamento èriportato in Figura [ 4.13]. Per compensare l’effetto della bra NZDS si è scelto invece diusare una bra DCF ( β 22 = 101.6). Risolvendo (4.13) con i dati che abbiamo a disposizionetroviamo che è necessario un tratto di bra DCF di lunghezza

L2 = −L1β 21

β 22 4.6km (4.15)

Possiamo vedere da Figura [ 4.14] come l’EO sia stato completamente ripristinato.

−1 0 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Figura 4.13: Diagramma ad occhio per trasmissione OOK a 25Gbit/s su bra NZDS con impulsoGaussiano di larghezza FWHM pari a 20 ps alla distanza di 100 km.

32


43/71


−1 0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 4.14: Diagramma ad occhio compensato attraverso bra DCF per una trasmissione OOKa 25Gbit/s su bra NZDS con impulso Gaussiano di larghezza FWHM pari a 20 ps.

Termine del terzo ordine

Nel caso precedente abbiamo volutamente trascurato il termine del terzo ordine, che,in genere, anche se viene soddisfatta ( 4.13), impedisce la totale compensazione delladispersione. Vogliamo ora metterci nella situazione precedente, ma considerando iltermine β 3 in entrambe le bre, e riducendo la larghezza FWHM dell’impulso a 5 ps. Perfare ci ò consideriamo due situazioni:

1. Tratto di NZDS di lunghezza L1 = 100 km seguita da L2 4.6 km di DCF (situazionedella simulazione precedente).

2. Un canale costituito da una cascata di 5 sezioni identiche a quelle del puntoprecedente.

La situazione descritta nel punto 2 è verosimile in quanto, come visto nella sezione [ 1.2],su lunghi collegamenti è necessario ripristinare la potenza del segnale attraverso degliamplicatori, e possiamo quindi sfruttare questi punti di interruzione per inserire un breve tratto di DCF.

Andiamo ad osservare l’effetto del termine β 3 sulla forma dell’impulso nei due casiappena descritti. In Figura [ 4.15] notiamo come dopo un solo collegamento NZDS-DCF(100 + 4.6 km) l’impulso non abbia subito una sostanziale distorsione, anche se la sualarghezza è piuttosto piccola. Nel caso di Figura [4.16] però, dopo i 5 collegamenti NZDS-

33


44/71


DCF in cascata, l’impulso subisce un’ inclinazione verso sinistra che pu ò contribuire alladiminuzione dell’ EO nel punto di campionamento.

−15 −10 −5 0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time [ps]

P o w e r

[ m W ]

Initial pulseCompensated

Figura 4.15: Effetto della dispersione del terzo ordine nella compensazione con bra DCF eimpulsi Gaussiani.

34


45/71


−15 −10 −5 0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time [ps]

P o w e r

[ m W ]


Figura 4.16: Effetto della dispersione del terzo ordine nella compensazione con bra DCF eimpulsi Gaussiani dopo 5 collegamenti NZDS-DCF.

35


46/71


47/71

Capitolo 4. Simulazioni Impulsi super-Gaussiani

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

14

Distance z/Ld

’

σ z

/ σ

0

m = 1

m = 2

m = 3

m = 4

m = 5

Figura 4.18: BF di super-Gaussiane al variare di m e della distanza di propagazione.

siano semplice è molto pi ù accentuato a parit à di distanza. Possiamo anche valutarequesto effetto andando ad osservare il graco per il BF in Figura [ 4.20].

37


48/71


−40

−20

0

20

40 01

23

45

0

0.5

1

1.5

Distance z/Ld


P o w e r

[ m W ]

Figura 4.19: Effetto del termine β 3 sull’evoluzione di un impulso Gaussiano di ordine 3.

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Distance z/Ld

’

σ z

/ σ

0

m = 1m = 2

m = 3m = 4m = 5

Figura 4.20: Effetto del termine β 3 sul BF per impulsi super-Gaussiani al variare di m.

38


49/71


4.3.4 Diagrammi ad occhio e compensazione

Ripetiamo alcune delle simulazioni viste nel caso di impulsi Gaussiani semplici mante-

nendo invariati i parametri. In Figura [4.21] sono stati generati i diagrammi ad occhio adiverse distanze in una bra TW, mentre in Figura [4.22] notiamo l’effetto del terminedel terzo ordine dopo L1 = 100 km di bra NZDS e L2 4.6 km di bra DCF. Rispetto alcaso Gaussiano semplice, notiamo un peggioramento sia per quanto riguarda l’EO, cheper la compensazione dell’impulso.

−1 0 10

2

4

6

Distance L = 50 km

−1 0 10

1

2

3

Distance L = 100 km

−1 0 10

0.5

1

1.5

2

Distance L = 150 km

−1 0 10

0.5

1

1.5

2

Distance L = 200 km

Figura 4.21: Diagrammaad occhio peruna trasmissione a 10 Gbit/s per impulso super-Gaussianodi ordine 2 ( T FWHM = 50 ps) in una bra TW.

39


50/71

Capitolo 4. Simulazioni Impulsi a coseno rialzato

−15 −10 −5 0 5 10 150

2

4

6

8

10

12

Time [ps]

P o w e r

[ m W ]


Figura 4.22: Effetto del termine β 3 nella compensazione di un impulso super-Gaussiano di ordine2 di larghezza 5 ps con una bra DCF.

4.4 Impulsi a coseno rialzato

Nel campo delle comunicazioni digitali, l’impulso a coseno rialzato ( raised-cosine, rc) èuno degli impulsi pi ù utilizzati grazie ad alcune sue propriet à:

• Garantisce l’assenza di ISI (in canali non dispersivi) nel punto di campionamento.• Attraverso una accurata scelta del rolloff-factor R permette di stabilire un compro-

messo tra banda occupata e durata del segnale.

• È pi ù facilmente realizzabile rispetto all’impulso sinc.La sua rappresentazione matematica è data dalla seguente espressione:

U rc(0, t ) = sinc tT

cosπtR

T 1 −

2RtT

2 , (4.17)

dove T è il tempo di bit e R ∈ [0, 1] il rolloff-factor. In Figura [ 4.23] notiamo come, negliinstanti di campionamento adiacenti, l’impulso valga 0.

40


51/71


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time t/T

R = 0.30R = 0.50

R = 1.00

Figura 4.23: Graco dell’impulso a coseno rialzato al variare del rolloff-factor.

4.4.1 Evoluzione dell’impulso e fattore di allargamento

Per osservare come il coseno rialzato risponde al parametro β 2, scegliamo un valoreR = 0.5. Possiamo confrontarlo col caso Gaussiano osservando Figura [ 4.25], in cui sinota come il coseno rialzato subisca un allargamento pi ù dolce a parit à di larghezzadell’impulso.

41


52/71


−3 −2 −1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time t/T

P o w e r

[ m W ]

0 Ld

1 Ld

2 Ld

3 Ld

Figura 4.24: Evoluzione di |U rc(z, t )|2

con fattore di rolloff R = 0.5.

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Distance z/Ld

σ z

/ σ

0

Raised Cosine

Gaussian

Figura 4.25: Confronto del BF tra impulso Gaussiano e a coseno rialzato a parit à di larghezzainiziale.

42


53/71


Dispersione del terzo ordine

In modo simile a quanto fatto in sezione [ 4.2.4], valutiamo nel caso di bre DS (ma con

β 2 diverso da 0, seppur basso) l’effetto combinato di dispersione del secondo e terzoordine. Con questo scopo, andiamo a simulare la propagazione di un coseno rialzato ( R= 0.5) con tempo di bit di 5 ps per 200 km nella bra appena descritta. In questo casola variazione di β 2 rispetto allo zero induce un incremento del BF pari a circa 84%, pi ùpiccolo che nel caso Gaussiano, ma certamente non trascurabile.

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σz / σ

0 = 2.12

σz / σ

0 = 1.15

Time [ps]

P o w e r

[ m W ]

β2 = −0.05 β

3 = 0.000

β2 = 0.00 β

3 = 0.091

β2 = −0.05 β

3 = 0.091

Figura 4.26: Impatto del termine β 2 sul fattore di allargamento su bra DS per impulsi a cosenorialzato con tempo di bit pari a 5 ps.

43


54/71



Per confermare come l’impulso a coseno rialzato si presti meglio alla trasmissione su

bra ottica rispetto a quello Gaussiano possiamo ricorrere ai diagrammi ad occhio evalutarne l’EO. Le simulazioni successive sono state eseguite con gli stessi parametri diquelle del caso Gaussiano (bre TW e LEAF, stessa distanza di propagazione), ma conun tempo di bit dimezzato, e quindi un bitrate doppio.

In Figure [4.27] e [4.28] sono raffigurati i diagrammi ad occhio per trasmissionirispettivamente su bra TW e LEAF, e in Figura [ 4.29] il graco dell’EO per le duetipologie di bre. Confrontando questi ultimi graci con Figure da [4.8] a [4.10], possiamovedere come, bench é si operi ad un bitrate doppio, questi parametri siano paragonabili.

−1 0 10

2

4

6

8

10Distance L = 50 km

−1 0 10

2

4

6

8


−1 0 10

2

4

6

8


−1 0 10

2

4

6

8


Figura 4.27: Trasmissione su bra TW con impulso a coseno rialzato ( R = 0.5) e bitrate di 20Gbit/s.

44


55/71


−1 0 10

2

4

6

8


−1 0 10

2

4

6

8


−1 0 10

2

4

6

8


−1 0 10

2

4

6

8


Figura 4.28: Trasmissione su bra LEAF con impulso a coseno rialzato ( R = 0.5) e bitrate di 20Gbit/s.

45


56/71


0 50 100 150 200 250 300−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Distance [km]

E y e

O p e n

i n g

[ d B ]

TWLEAF

Figura 4.29: Andamento dell’ Eye-Opening per le trasmissioni di Figure [4.27] e [4.28].

4.4.3 Compensazione

Ci mettiamo nella stessa situazione di sezione [ 4.2.8], ma andando a valutare diretta-

mente il caso in cui i valori di β 3 per i due tipi di bra sono non nulli. Ricapitolando,consideriamo prima un collegamento di 100 km di bra NZDS seguita da circa 4.6 km diDCF, e poi la cascata di 5 collegamenti di quest’ultimo tipo.

In questo caso, in entrambe le situazioni, i risultati sono piuttosto simili a quelli diFigure [4.15] e [4.16], con la piccola differenza dell’accentuazione della lieve oscillazionein coda all’impulso in Figure [ 4.30] e [4.31].

46


57/71


−15 −10 −5 0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time [ps]

P o w e r

[ m W ]


Figura 4.30: Effetto della dispersione del terzo ordine nella compensazione con bra DCF eimpulsi a coseno rialzato.

47


58/71


−15 −10 −5 0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time [ps]

P o w e r

[ m W ]


Figura 4.31: Effetto della dispersione del terzo ordine nella compensazione con bra DCF eimpulsi a coseno rialzato dopo 5 collegamenti NZDS-DCF.

48


59/71

Capitolo 4. Simulazioni Impulsi a Secante Iperbolica

4.5 Impulsi a Secante Iperbolica

In questa ultima sezione verranno brevemente trattati gli impulsi a secante iperbolica,importanti in quanto possono essere utilizzati per modellare in maniera accurata certitipi di impulsi laser con particolari propriet à. La forma dell’impulso a secante iperbolica(sech) è descritta dalla semplice equazione:

U sech (0, t ) = sech tT 0

(4.18)

In maniera simile al caso Gaussiano, si pu ò caratterizzare un impulso sech attraversola sua larghezza FWHM piuttosto che T 0. Le due quantit à sono legate dalla seguenterelazione:

T FWHM = 2 ln 1 + √ 2 ·T 0 1.763 ·T 0 . (4.19)

4.5.1 Evoluzione dell’impulso e fattore di allargamento

Come fatto nel caso dell’impulso a coseno rialzato, andiamo a confrontare l’impulso sechcon il caso Gaussiano. In Figura [ 4.33] possiamo vedere come, a parit à di FWHM, l’im-pulso sech sia caratterizzato da anchi con pendenza minore rispetto a quello Gaussiano,fatto che giustica il suo BF nettamente inferiore a parit à di distanza.

−6 −4 −2 0 2 4 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time t/T0

P o w e r

[ m W ]

z = 0 Ld

z = 1 Ld

z = 2 L dz = 3 L

d

Figura 4.32: Evoluzione di |U sech (z, t )|2

a multipli interi della distanza di dispersione.

49


60/71


−3 −2 −1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Time t/T0

P o w e r

[ m W ]

0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Distance z/Ld

σ z /

σ 0

SechGaussian

Sech

Gaussian

Figura 4.33: Confronto tra impulsi sech e Gaussiani (sinistra) e rispettivi BF (destra) a parit à dilarghezza FWHM.

50


61/71


Dispersione del terzo ordine

Illustriamo brevemente gli effetti di entrambi i termini β 2 e β 3 facendo uso di bra DS

con β 2 = 0 ma piccolo, e di impulsi di larghezza 3 e 5 ps. Nel caso di Figura [ 4.35], ilvalore non nullo di β 2 contribuisce all’aumento del BF di circa 44% rispetto al caso con β 2nullo, valore che, confrontato coi casi di Figure [ 4.6] e [4.26], risulta decisamente basso,ma a cui bisogna comunque prestare attenzione.

−15 −10 −5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Time t [ps]

P o w e r

[ m W ]

FWHM = 5 ps

−15 −10 −5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1FWHM = 3 ps

Time t [ps]

P o w e r

[ m W ]

z = 80 kmz = 160 kmz = 240 km

z = 80 kmz = 160 kmz = 240 km

Figura 4.34: Effetto di entrambi i termini β 2 e β 3 in una bra DS a varie distanze su impulsiFWHM di 5 ps (sinistra) e 3 ps (destra).

51


62/71


−10 −5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σz / σ

0 = 1.30

σz / σ

0 = 1.03

Time [ps]

P o w e r

[ m W ]

β2 = −0.05 β3 = 0.000 β

2 = 0.00 β

3 = 0.091

β2 = −0.05 β

3 = 0.091

Figura 4.35: Impatto del termine β 2 sul fattore di allargamento su bra DS per impulso sech conFWHM di 5 ps.

52


63/71



Per analizzare le prestazioni delle trasmissioni basate sull’impulso sech, prendiamo

ancora una volta come riferimento i diagrammi in Figura [4.8] e Figura [4.9] e il rispettivoEO di Figura [ 4.10]. Mantenendo invariati i vari parametri, in particolare il bitrate di 10Gbit/s, e osservando le Figure da [ 4.36] a [4.38] notiamo come l’impulso sech garantiscaprestazioni migliori in termini di EO, come potevamo aspettarci dal confronto tra BF diFigura [4.33].

−1 0 10

2

4

6

Distance L = 50 km

−1 0 10

1

2

3

4

Distance L = 100 km

−1 0 10

1

2

3

Distance L = 150 km

−1 0 10

0.5

1

1.5

2

2.5

Distance L = 200 km

Figura 4.36: Diagramma ad occhio per trasmissione OOK a 10 Gbit/s ( T bit = 100 ps) utilizzandoun impulso sech con larghezza FWHM di 20 ps in una bra TW.

53


64/71


−1 0 10

1

2

3

4

5

Distance L = 50 km

−1 0 10

1

2

3

Distance L = 100 km

−1 0 10

0.5

1

1.5

2

2.5

Distance L = 150 km

−1 0 10

0.5

1

1.5

2

Distance L = 200 km

Figura 4.37: Diagramma ad occhio per trasmissione OOK a 10 Gbit/s ( T bit = 100 ps) utilizzandoun impulso sech con larghezza FWHM di 20 ps in una bra LEAF.

54


65/71


50 100 150 200 250 300

0

50

100

150

Distance [km]

E y e

O p e n

i n g

[ d B ]

TWLEAF

Figura 4.38: Andamento dell’EO per le trasmissioni di Figure [ 4.36] e [4.37].

55


66/71


4.5.3 Compensazione

Come nel caso del coseno rialzato, consideriamo da subito l’effetto del termine del terzo

ordine, in quanto β 2 risulta completamente compensato soddisfando ( 4.13). I parametridella simulazione rimangono invariati:

1. 100 km di bra NZDS seguiti da circa 4.6 km di bra DCF.

2. Durata FWHM dell’impulso pari a 5 ps.

3. Cascata di 5 collegamenti descritti al punto 1

Sia nella situazione del punto 1 (Figura [4.39]) che in quello del punto 3 (Figura [4.40]), lealterazioni dovute alla mancanza di compensazione del termine del terzo ordine sonocomparabili a quelle del caso Gaussiano e del coseno rialzato, pertanto valgono le stesseconsiderazioni fatte in sezione [ 4.2.8].

−15 −10 −5 0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time [ps]

P o w e r

[ m W ]


Figura 4.39: Effetto della dispersione del terzo ordine nella compensazione con bra DCF eimpulsi sech.

56


67/71


−15 −10 −5 0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time [ps]

P o w e r

[ m W ]


Figura 4.40: Effetto della dispersione del terzo ordine nella compensazione con bra DCF eimpulsi sech dopo 5 collegamenti NZDS-DCF.

57


68/71


69/71

Conclusioni

Sono stati analizzati e simulati i vari effetti della dispersione cromatica in diversi casidi trasmissione digitale, focalizzando l’attenzione sui tipi di bre ottiche pi ù utilizzatinelle moderne reti di telecomunicazioni, oltre che metodi per migliorare le prestazionidelle comunicazioni affette da questo fenomeno sico. È stata inoltre fatta un’analisisulle propriet à di diversi tipi di impulsi e il loro impatto sulla prestazione dei sistemi dicomunicazione ottici.

59


70/71


71/71

Bibliograa

[1] G.P. Agrawal. Nonlinear Fiber Optics. Optics and Photonics. Elsevier Science, thirdedition, 2001.

[2] G.P. Agrawal. Fiber-Optic Communication Systems. Wiley Series in Microwave andOptical Engineering. Wiley, third edition, 2002.

[3] N. Benvenuto and M. Zorzi. Principles of Communications Networks and Systems. Wiley,2011.

[4] B. Collings, F. Heismann, and G. Lietaert. Reference Guide to Fiber Optic Testing - Volume2. JDSU, 2010.

[5] MATLAB. version 8.3.0 (R2014a). The MathWorks Inc., Natick, Massachusetts, 2014.

[6] F. Mitschke. Fiber Optics - Physics and Technology. Springer, 2010.

[7] J.P. Powers. An Introduction to Fiber Optic Systems. Irwin, second edition, 1997.

Documents

Numerical Study of Chromatic Dispersion in optical fibers