MOMENTO ANGULAR O MOMENTO CINÉTICO Se define momento angular ( l ) de una partícula, respecto de un punto O, como el producto vectorial de su vector de posición (respecto de O) por su momento lineal:

r

vmrprl rrrrr

∧=∧= Recordando la definición de producto vectorial de dos vectores, podemos decir que el momento angular es un vector perpendicular al plano que forman rr y pr o bien el plano que forman el punto O y la dirección de la velocidad:

Vamos a derivar con respecto al tiempo:

dtpdrp

dtrd

dtld r

rrrr

∧+∧=

El primer sumando es cero porque es el producto vectorial de dos vectores en la misma dirección. Ten en cuenta que sería: vmvpv rrrr

∧=∧ , así que nos queda que:

MFrdtpdr

dtld vrr

rr

r

=∧=∧=

Donde hemos tenido en cuenta la segunda ley de Newton dtpdFrr

=

F

y que el

momento de una fuerza respecto de un punto es: rMrrr

∧= Nos dice que la variación del momento angular con respecto al tiempo es igual al momento resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula. El momento angular hace el mismo papel en las rotaciones que el momento lineal en las traslaciones:

dtldMr

r=

dtpdFrr

=

Obviamente para que el momento angular se conserve es necesario que el momento de la fuerza resultante sea nulo, pero no quiere decir que la fuerza resultante deba ser nula. Precisamente, en los campos de fuerzas centrales, como el gravitatorio y eléctrico, se conserva el momento angular y hay fuerzas.

Ejemplo: Un tren de juguete, de 40gr, da vueltas en una pista circular de 0,5m de radio. Si tiene una aceleración tangencial de 2 m/s2, calcular, respecto al centro de la circunferencia: a) El momento angular b) El momento de las fuerzas que obran sobre el tren

rrc) Comprobar que Mdtld =/

a) La velocidad del tren viene dada por:

tavv to ⋅+=rrr

Recordando que la aceleración tangencial es en todo momento tangente a la trayectoria, es decir en la dirección del vector unitario τr entonces en forma vectorial sería τrr 2=ta

τrr⋅= tv 2 rr τrrr

⋅∧=∧= tmrvmrl 2 El módulo del momento angular es (teniendo en cuanta que rr y τr son dos vectores perpendiculares y que sen90=1)

ttsentmrl 04,0204,05,0902 =⋅⋅=⋅⋅⋅= o bien smkg /2⋅ mN ⋅ La dirección de es el de la perpendicular al plano formado por los vectores l

rrr y (o

bien ps

rr y ) y el sentido el que da la regla del tornillo que gire como lo hace vr rr para coincidir con v por el camino mas corto. r

b) Sobre el tren hay dos aceleraciones: la tangencial y la normal y por tanto dos fuerzas, la tangencial y normal. Teniendo en cuenta que FrM

rrr∧= es evidente que el momento

debido a la fuerza normal es nulo porque son dos vectores de la misma dirección (forman ángulo de 180º) así que la única fuerza que tiene un momento no nulo es la fuerza tangencial (que forma ángulo de 90º con el vector de posición)

0=∧= nn FrMrrr

rrrr

ttt amrFrM r∧=∧= ⇒ NsenmarM tt 04,0204,05,090 =⋅⋅=⋅⋅=

Su dirección, la perpendicular al plano que forman rr y a

rr y sentido el del tornillo

c) Comprobar que Mdtld

rr=/ es muy sencillo, puesto que hemos encontrado que

tl 04,0= y que 04,0=M

Es evidente que si derivamos respecto al tiempo el valor obtenido para l obtendríamos el valor encontrado para M. Además, puesto que l es un vector que no varía en dirección, él y su derivada tiene la misma dirección, así que l y M tiene la misma dirección, la perpendicular al plano del movimiento. PRINCIPIO DE CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR Dice que si el momento de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nulo entonces se conserva el momento angular en el tiempo. En efecto, ya que:

dtldMr

r= ⇒ Si 0=M

r ⇒ l .cte=

r

El momento angular es un vector, y por tanto que permanezca constante significa que debe hacerlo en módulo y en dirección.

• Si el momento angular no varía en dirección eso significa que el movimiento de la partícula es en un plano. Lo que es obvio, ya que los vectores rr y s (o bien prr y v ) deben estar siempre en el mismo plano, el plano del movimiento. (como veremos más adelante es la primera ley de Kepler)

r

• Si se conserva el módulo del momento angular, entonces el vector de posición

de la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales. (como veremos más adelante es la segunda ley de Kepler)

En la figura hemos representado el área barrida por el vector de posición en el tiempo t∆ . Como recordarás, el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman, y obviamente la mitad al triángulo, así que:

rdrdA rr∧=

21

dtlm

dtvmrm

dtvrdArrsrr

21

21

21

=⋅∧=⋅∧=

.21 ctelmdt

dA==

r

Ejemplo: Tenemos una bola de masa m atada a un hilo. Por el agujero de una mesa pasamos el hilo y la hacemos girar con un radio R, mientras tiramos de la cuerda con una fuerza F. Calcular: a) La velocidad de la bola b) El momento lineal de la bola c) El momento angular de la bola respecto del agujero d) Si disminuye el radio hasta R2 ¿Cuál será ahora la velocidad de la bola? ¿Se ve más afectada su velocidad lineal o la angular?

a) La velocidad de la bola se calcula teniendo en cuenta que la fuerza F se transmite a través del orificio como si se tratara de una polea. Para que la bola describa una circunferencia es preciso que la fuerza F compense a la fuerza centrífuga.

cFF =

21

21

Rv

mF = ⇒ m

RFv 1

1⋅

= en forma vectorial τrr

mRF

v 11

⋅=

b) El momento lineal es un vector en la dirección y sentido de la velocidad cuyo módulo es:

11

11 RFmm

RFmmvp ⋅⋅=

⋅==

c) El momento angular, es un vector cuyo módulo es:

111111 RFmRsenprprl ⋅⋅=⋅⋅=∧= αrr donde hemos tenido en cuenta que el módulo de r1 (que es el vector de posición de la bola respecto al orificio) es igual al radio R1 y que el ángulo α que forman r1 y p1 es de 90º y su seno vale 1.

La dirección del momento angular es la perpendicular al plano formado por r1 y p1 y el sentido el del tornillo que gire como lo hace el primer vector para coincidir con el segundo por el camino mas corto. d) Si la fuerza F es mayor que la centrífuga iremos acortando distancias y el radio será cada vez menor, pero siempre el momento de la fuerza F y su vector de posición forman ángulo de 180º y el seno de este es nulo.

0=∧= FrMrsr

porque r y F forman ángulo de 180º por tanto, si el momento de las fuerzas es nulo eso quiere decir que se conserva el momento angular. Eso quiere decir que el momento angular es el mismo cuando el radio es R1 y cuando el radio es R2

21 ll = ⇒ 2211 vmRvmR ⋅⋅=⋅⋅

de donde: 12

12 v

RR

v =

como vemos, al disminuir el radio, pues R1>R2, la velocidad aumenta. Utilizando la relación entre la velocidad lineal y la angular v R⋅= ω tenemos que:

112

122 R

RR

R ωω = ⇒ 122

21

2 ωωRR

=

como vemos la velocidad angular también aumenta al disminuir el radio pero su aumento es mayor que el dela velocidad lineal, puesto que lo hace con el cuadrado del radio.

Ejemplo: Un sistema formado por una varilla de masa despreciable y 1m de longitud, tiene en sus extremos dos masas iguales m. Ponemos a girar la varilla con velocidad constante v alrededor de su punto medio. Calcular: a) momento angular del sistema respecto al centro de la varilla b) Si el sistema tuene un mecanismo que permite acercar las masas, ¿variaría la velocidad de giro al acercarlas?

r1 = r2 = r ⇒ v1 = v2 = v

m1 = m2 = m

a) El momento angular del sistema de partículas respecto al punto O es igual a la suma vectorial del momento angular de cada partícula referidos al mismo punto.

21 llLrrr

+=

111 mrl rr∧= 1111 vmr

vamos a ver, para cada uno, su módulo dirección y sentido:

1vr su módulo es l 111 vmrsen == α su dirección la perpendicular al plano que forman r1 y v1 y el sentido aplicando la regla del tornillo sería saliendo del papel. Lo mismo podemos decir para la masa m2 y obtendríamos el mismo resultado Como la dirección y sentido de L1 y de L2 coinciden y también sus módulos, ya que: m1 = m2 = m y además v1 = v2 = v tenemos que:

vmrllL ⋅⋅⋅=+= 221 (sumamos por las buenas porque L1 y L2 tienen la misma dirección)

b) Cuando se acerquen las masas por acción del mecanismo del sistema se conservará el momento angular, puesto que no actúan fuerzas externas al sistema en consecuencia no hay momento. Si repetimos el proceso obtendríamos que ahora: ´´2 vmrL ⋅⋅⋅= Al conservarse el momento angular:

.´´22 ctevmrvmrL =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= de donde:

vrrv´

´= y como r > r´ tenemos que v´ > v

Lo que quiere decir que cuanto más acerquemos las masas más rápidamente girará el sistema. MOMENTO ANGULAR DE UN SÓLIDO RÍGIDO Un sólido rígido es aquel que es indeformable y está formado por un conjunto de muchas partículas. (Al considerarse indeformable la distancia entre las mismas siempre es la misma.). El momento angular del sólido es la suma vectorial del momento angular de cada una de las partículas que lo forman. Si el momento de una partícula cualquiera es:

iiii vmrl rrr∧=

el objetivo es obtener una expresión para el momento angular en función de magnitudes propias de del sólido en rotación. Supongamos un sólido rígido que gira alrededor del eje Z, como en la figura. Como sabemos cada partícula describirá una circunferencia y aunque la velocidad lineal de cada partícula sea distinta, porque depende de la distancia al eje de giro, la velocidad angular de todas las partículas sí que es igual para todas.

Para mayor generalidad vamos a fijarnos en un punto cualquiera del eje de giro, O. Respecto de él, para un punto cualquiera, que llamaremos i tendríamos los vectores que se indican en la figura. Observa como ir

r y ivr siempre forman ángulo de 90º (se ha

dibujado un cartabón para clarificarlo) y el momento angular ilr

es perpendicular al plano que forman. Por tanto podemos poner que:

iiiiiii vmrsenvmrl =⋅= 90 la proyección del momento angular de la partícula i sobre el eje Z es

ϕsenvmrl iiiiz ⋅= pero si tenemos en cuenta que el radio de la circunferencia que describe el punto es

ϕsenrR ii ⋅= nos quedaría que:

iiiiz vmRl = y teniendo en cuenta la relación entre la velocidad lineal y la angular: v ii R⋅= ω (observa que no hemos puesto iω porque todos los puntos del sólido giran con la misma velocidad angular)

ω2iiiz Rml =

La componente del momento angular en la dirección del eje de giro debida a todas las partículas del sólido será la suma, es decir que:

ω⋅== ∑∑ 2iiizz RmlL

A la sumatoria se le llama Momento de Inercia del sólido respecto del eje Z. El momento de inercia se representa por la letra I y es una magnitud importante en las rotaciones, donde hace el mismo papel que la masa en las traslaciones.

∑ 2ii Rm

Por tanto, finalmente tenemos que la para el sólido su momento angular es:

ω⋅= ILz date cuenta que, en general, el momento angular no tiene la dirección de la velocidad angular, por lo que la expresión anterior no debe escribirse vectorialmente. En el caso particular de que el sólido gire respecto de un eje para el que el momento angular total y la velocidad angular tengan la misma dirección, se dice que el sólido gira respecto de su eje principal de giro y el momento de inercia sería el momento de inercia principal. Es este casi sí podríamos escribir vectorialmente ω

rr⋅= IL

Observación: Quiero que repares en la forma de escribir la expresión de la velocidad angular cuando se hace vectorialmente y cuando se hace en módulo, (la diferencia es algo sutil e incluso algunos libros la pasan por alto, y no deberían, ya que como puede verse en la figura no es igual el vector de posición de la partícula que su radio de giro)

rv rrr∧= ω mientras que v R⋅= ω

en efecto, ya que

Rsenrv ⋅=⋅⋅= ωϕω MOMENTO DE INERCIA Ya hemos definido el momento de inercia de un sistema de puntos materiales que giran alrededor de un eje como la sumatoria de sus masas por el cuadrado de sus radios de giro:

∑= 2ii RmI

Hay que darse cuenta de que al definir de esta forma el momento de inercia, depende de:

• Del eje de giro elegido • De la distribución de masas del sólido

Cuando en lugar de un sistema de puntos materiales se trate de una distribución continua de masas la sumatoria la deberemos sustituir por una integral, entonces el momento de inercia será:

∫= dmrI 2 donde r es la distancia de un punto arbitrario al eje de giro y dm es la masa de un elemento diferencial.

• Si se trata de un cuerpo de tres dimensiones, es decir que tiene volumen

dVdm ⋅= ρ ρ es la densidad volumétrica (Kg/m3) dV es el volumen elemental

• Si se trata de un cuerpo de dos dimensiones, es decir plano

dSdm ⋅= σ σ es la densidad superficial (Kg/m2)

dS es el área elemental

• Si se trata de un cuerpo de una dimensión, por ejemplo una varilla

dldm ⋅= λ λ es la densidad lineal (Kg/m) dl es una longitud elemental

Ejemplo: Suponga una varilla de masa despreciable de 2m de longitud que tiene en cada uno de sus extremos dos bolas de 3Kg. Calcular su momento de inercia y su momento angular cuando gire con una velocidad angular de 10 rad/seg respecto de un eje: a) que pase por la varilla b) perpendicular a la varilla y que pase por el centro c) perpendicular a la varilla y que pase por uno de sus extremos a) Respecto de un eje que pase por la varilla R1 = R2 = 0 por tanto el momento de inercia del sistema es nulo

02

222

1 =+ RmRmRmI ii

222

211 RmRmI =+=

IL 106 =⋅=⋅= ω

222

211 RmRmI =+=

IL 1012 =⋅=⋅= ω

12 == ∑

b)

222 .61313 mkg=⋅+⋅

smkg /.60 2

c)

222 .122303 mkg=⋅+⋅

smkg /.120 2

Con la ayuda de este sencillo ejemplo vemos, como decíamos antes, que el momento de inercia de un cuerpo depende del eje de giro y además de la forma en que tenga distribuidas sus masas. Ejemplo: Calcular el momento de inercia de un cilindro hueco de masa M y radio R que gira respecto de su eje de simetría.

∑= imI 2iR

Como todos los puntos del cilindro distan R al eje, y la suma de la masa de todos sus puntos lógicamente es la masa total del cilindro:

222 MRmRRmI iii === ∑∑

MOMENTO DE INERCIA DE ALGUNOS CUERPOS, RESPECTO A SU EJE SIMETRÍA

TEOREMA DE STEINER DE LOS EJES PARALELOS Dice que si conocemos el momento de inercia de un cuerpo respecto de un eje que pase por su centro de masas ICDM, entonces el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior que diste una distancia d sería:

2dMII CDM ⋅+= M es la masa del sólido y d la distancia entre el eje que pasa por el CDM al eje respecto al que queremos calcular el momento de inercia Este teorema es muy útil para calcular momentos de inercia respecto e ejes paralelos, ya que normalmente se tabulan las fórmulas de los momentos de inercia respecto a ejes que pasa por el CDM. Ejemplo: Sabiendo que el momento de inercia de una varilla, de masa M y longitud L, respecto de un eje perpendicular a ella que pasa por el centro es

2

121 MLI =

Calcular el momento de inercia dela varilla respecto de un eje paralelo al anterior que pase por un extremo.

2

121 MLI CDM =

Según el teorema de Steiner el momento de inercia respecto al eje que pasa por el extremo de la barra es

2dMII CDM ⋅+=

22

2

31

2121 MLLMMLI =

⋅+=

ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA DE LA ROTACIÓN Ya hemos visto que el momento resultante de las fuerzas exteriores (las fuerza interiores no afectan porque al se newtonianas se anulan) respecto de un punto es igual a la variación del momento angular con respecto al tiempo:

dtLdM ext

rr

=

Lo que vamos a hacer es obtener ora expresión en función de magnitudes propias de la rotación. Teniendo en cuenta que para un sólido que gira alrededor de su eje principal de inercia:

ωrr

⋅= IL derivando respecto al tiempo:

αωωr

rr

v

⋅=+= IdtdI

dtdI

dtLd

donde hemos tenido en cuenta que la derivada del momento de inercia es cero porque respecto de un eje concreto es constante y su derivada nula. Y también que, por definición, la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo es la aceleración angular. Hemos obtenido la ecuación fundamental para la rotación equivalente a la de traslación:

αrr

⋅= IM ext amFextrr

⋅= Nos dice que si sobre un sólido actúa un momento debido a fuerzas exteriores, el sólido adquiere una aceleración angular αr en la misma dirección y sentido. Es evidente que:

Si ⇒ 0=Mr

0=αr ⇒ .cte=ω

r

Ejemplo: El momento angular de un sólido, respecto de un eje, es 100 Kgm2. Calcular la aceleración que adquiere cuando le aplicamos una fuerza tangencial de 20M en un punto que dista 0,2m del eje de giro.

El momento producido por la fuerza es

FrMrrr

∧= ⇒ mNsenFrM ⋅=⋅=⋅⋅= 4202,090

α⋅= IM ⇒ 2/04,0100

4 sradI

M===α

Ejemplo: Sobre un cilindro macizo de 4Kg y 10cm de radio, se devana una cuerda de masa despreciable. Si se monta de forma que pueda girar respecto de su eje de simetría, calcular la aceleración angular y la tangencial de los puntos de la periferia, cuando: a) colguemos una masa de 10Kg b) tiremos de la cuerda con una fuerza de 100N

El momento de inercia de un cilindro macizo que gira respecto de su eje de simetría es:

222 .02,01,0421

21 mKgMRI =⋅==

a) Como sabemos quien hace que el cilindro gire es la tensión de la cuerda, o para ser mas precisos, el momento originado por la tensión de la cuerda:

Aplicando la segunda ley de Newton a la masa: maTmg =− a es la aceleración con que baja la masa y la

aceleración de cualquier punto de la periferia del cilindro

aT 10100 =− (*) Como vemos hay dos incógnitas.

Ahora aplicamos la ecuación de la dinámica de rotación al cilindro, exactamente de la misma manera que aplicamos la segunda ley de newton:

α⋅= IM (teniendo en cuenta que 90senTrM ⋅⋅= )

α⋅=⋅ ITr ( y como ra ⋅= α )

raITr ⋅=⋅

1,0

41,0 aT =⋅ (**)

Resolviendo las ecuaciones (*) y (**) tenemos que: a=8,3m/s2 y que T=17N Teniendo en cuenta que 2/831,0/3,8/ sradra ===α b) Cuando tiramos con una fuerza de 100N es exactamente igual, con la diferencia de que en este caso la tensión de la cuerda sería 100N, ya que es una fuerza que no tiene masa.

La segunda ley a la masa sería

amTF ⋅=−

aT ⋅=− 0100

T=100New

Y aplicando como antes la ecuación de la dinámica de rotación al cilindro tendríamos:

α⋅= IM

α⋅=⋅ ITr ⇒ α⋅=⋅ 02,01001,0 de donde: y 2/500 srad=α 2/501,0500 smra =⋅=⋅= α

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Si el momento, respecto de un punto O, de la fuerzas esteriores que obran sobre el sólido es nulo, entonces se conserva el momento angular del sólido, respecto de ese punto, ya que:

dtLdM ext

rr

= ⇒ si 0=extMr

⇒ .cteL =r

lo que dicho de otra forma sería que:

´´ωω ⋅=⋅ II Quiere decir que si sobre un cuerpo no hay momento debido a fuerzas externas, si disminuye el momento de inercia aumentará su velocidad angular. Es lo que hacen los patinadores cuando cierran sus brazos para girar más rápido. Evidente, ya que al cerrar los brazos por efecto de las fuerzas musculares, que son internas, se conserva el momento angular y como al cerrar los brazos acercan la masa de los mismos al eje de giro, su momento de inercia disminuye, y por tanto su velocidad angular aumenta. Ejemplo: Un muñeco de juguete tiene en su interior un motor de cuerda y sobre su eje, que es vertical, hay soldadas a una distancia de 1cm dos masas de 10gr, como se indica en la figura. Sabiendo que el momento de inercia del muñeco es de 10-3Kg.m2, calcular la velocidad de éste cuando el motor gire uniformemente con una velocidad de 10rad/s.

El muñeco constituye un sistema aislado, ya que el motor que hace girar a las masas es interno al muñeco, por tanto el momento angular se conserva y quiere decir que es igual antes de poner el muñeco en marcha y después de ponerlo, por tanto:

despuesates LLrr

=

motmotmuñmuñ II ωωrr

+=0 de donde:

motmuñ

motmuñ I

Iωω vr

−=

como puede verse, por el signo menos, el muñeco girará en sentido contrario a como lo hacen las masas por la acción del motor. Teniendo en cuenta que el momento de inercia de las masas es:

262221 10201,001,001,001,0 KgmRmI imotor

−⋅=⋅+⋅== ∑ y sustituyendo:

sradII

motmuñ

motmuñ /02,010

10102

3

6

−=⋅

−=−=−

−

ωω

como hemos dicho en sentido inverso al sentido de giro de las masas TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN Se trata de encontrar una expresión para el trabajo en función de las magnitudes propias de la rotación. Como sabemos, el trabajo por definición es rdFdW rs

•= Supongamos que una fuerza F (que para que sea más general imaginemos que forma un ángulo α con la tangente) produce un desplazamiento elemental ds.

αα coscos ⋅⋅=⋅⋅=•= dsFdrFrdFdW rr

(donde hemos tenido en cuenta que para desplazamientos infinitesimales dr = ds ) y como

ϕdrds ⋅=

ϕϕα dMdrFdW ⋅=⋅⋅⋅= cos

(donde hemos tenido en cuenta que MrF =⋅⋅ αcos . En efecto, ya que el seno del ángulo que forman r y F es igual al cosα porque son ángulos complementarios) Por tanto, al final, tenemos para las rotaciones que:

ϕdMdW ⋅= y en el caso particular de que la fuerza sea constante nos quedaría que:

ϕ⋅= MW que es la equivalente a: W sF ⋅= De la misma forma podemos hacer para obtener una expresión más adecuada para la energía cinética, ya que para un sistema de partículas:

∑= 2

21

ii vmEc

y como ii Rv ⋅= ω 222

21

21 ωω ⋅== ∑ IRmEc ii

donde hemos tenido en cuenta que, por definición de momento de inercia de un sistema de partículas: ∑= 2

ii RmI El teorema del trabajo y la energía cinética o teorema de las fuerzas vivas, en este caso, se enunciaría diciendo que el trabajo de rotación debido a todos los momentos (incluido el de rozamiento silo hay) se invierte en incrementar la energía cinética de rotación:

22

21

21

ABBA IIEcW ωω −=∆=→

Ejemplo: Una varilla e 1m de longitud y 2Kg de masa pende de uno de sus extremos. Si le desplaza un ángulo ϕ de su posición de equilibrio, calcular: a) El momento de la fuerza recuperadora, respecto al punto de sujeción b) El trabajo realizado por dicha fuerza al desplazar la varilla desde esa posición hasta la de equilibrio c) La velocidad angular en el momento que pase por la posición de equilibrio.

DATO: el momento de inercia de la varilla, respecto de un extremo es 2

31 mLI =

a) La fuerza recuperadora (la que lleva la varilla a la posición de equilibrio), de ahí su signo menos, como puede verse en la figura es:

ϕsenmgFrec ⋅−= el momento de esta fuerza respecto del punto O es: (observa en la figura que el ángulo que forman el vector de posición y la fuerza recuperadora es de 90º)

)(90 ϕsenmgrsenFrM rec ⋅−⋅=⋅⋅= sustituyendo, y teniendo en cuanta que el módulo del vector de posición respecto al CDM es la mitad de la longitud de la varilla, tenemos:

ϕϕ sensenM 1010221

−=⋅⋅−=

Evidentemente, es un vector perpendicular al papel y sentido hacia dentro b) El trabajo realizado por la fuerza recuperadora para llevar la varilla desde la posición en la que forma un ángulo ϕ a la posición inicial, donde ϕ=0, es:

)cos1(10)cos0(cos10cos1010 0º0º0

0 ϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕ

ϕϕϕ −=−==⋅−=⋅= ∫∫=→= dsendMW

c) Para calcular la velocidad angular tendremos en cuenta el teorema del trabajo y la energía cinética, puesto que como la única fuerza es la fuerza recuperadora, el trabajo total es el que ella hace y sabemos lo que vale. Por tanto:

220 2

121

AB IIEcW ωωϕϕϕ −=∆==→=

sustituyendo, y teniendo el cuenta que el momento de inercia de la varilla cuando gira

desde un extremo es 2

31 mLI = tenemos que:

221231

21)cos1(10 fωϕ ⋅⋅⋅=− de donde ϕω cos148,5 −=f

Ejemplo: Un cilindro macizo de 50cm de radio y 10Kg de masa rueda sin deslizar por un plano inclinado 37º sobre la horizontal. Si parte desde el reposo, calcular cuando haya recorrido 12,5m : a) velocidad del centro de masas b) velocidad angular c) energía cinética de traslación d) energía cinética de rotación

DATO: Momento de inercia del cilindro respecto a su eje de simetría: 2

21 MRI =

a) Aplicando el principio de conservación de la energía entre el punto A y B tenemos que la energía potencial que tiene en el punto A se transformará en cinética al llegar el B

BA EcEp = ahora bien, la energía cinética del cilindro es debida tanto a la traslación como a la rotación, es decir que:

22

21

21

AAB Imvmgh ω+=

donde v es la velocidad del CDM del cilindro y ω su velocidad angular. Teniendo en cuenta que si rueda sin deslizar v=ωR

2

222

21

21

21

Rv

MRmvmgh aAB ⋅

⋅+=

de donde:

smgh

v BA /10

35,7104

34

=⋅⋅

==

fíjate que la velocidad con que llegaría si solo deslizara vendría dada por la expresión

ghv 2= que evidentemente es mayor, lo cual es lógico, porque en este caso parte de la energía potencial la invierte en cinética de rotación. También es importante que te fijes que la velocidad final no depende de la masa el cilindro ni de su masa. b) la velocidad angular es fácil

Rv ⋅= ω ⇒ sradRv /20

5,010

===ω

c,d) y las energías cinéticas de traslación y rotación serían:

JmvEc BBtraslac 50021 2

, ==

JIEc BBrotac 25021 2

, == ω

la suma de ambas es la energía potencial que tenía en el punto A. Método dinámico: vamos a resolver el mismo ejercicio por métodos dinámicos, porque aunque resulte más complicado es bastante instructivo y sobre todo nos hará reflexionar sobre algunos detalles.

fíjate que la única fuerza que no se anula es la componente del peso mgsen37 y esa fuerza como está aplicada en el CDM nunca podrá producir un giro del cilindro, porque al estar aplicada precisamente en el CDM su momento es nulo, de manera que: Aunque no se especifique en el enunciado, siempre que un sólido rote sin deslizar es imprescindible que exista rozamiento.

La fuerza de rozamiento, sí que da lugar a un momento respecto del CDM igual a

que es precisamente quien provoca la rotación. 90senFR Roz ⋅⋅ Claro que ahora, puedes preguntarte, ¿si hay rozamiento, como hemos podido aplicar el principio de conservación de la energía mecánica?. La razón es que el punto de apoyo del cilindro está en reposo instantáneo y la fuerza de rozamiento es ESTATICA y no dinámica, con lo que no disipa energía. Aplicando la segunda ley al cilindro tendremos que:

CDMext amF ⋅=

CDMestRoz amFsenmg ⋅=−⋅ ,37 (*) Por otro lado, aplicando la ecuación de la dinámica de la rotación

α⋅= IM ext

Ra

mRsenFR CDMestRoz ⋅

=⋅ 2

, 2190 (**)

Sustituyendo y resolviendo el sistema de ecuaciones (*) y (**) obtendremos que

aCDM = 4 m/s2 y que NF estRoz 20, = Una vez conocida la aceleración del centro de masas (lo que equivale a un punto que se mueve) la velocidad después de recorrer 12,5m se obtiene fácilmente: smasv /102 == Es importante darse cuenta que la fuerza de rozamiento estática no podemos conocerla a priori y que no podemos aplicar la fórmula kNFRoz = porque con esta expresión lo que calculamos es la fuerza de rozamiento estática MÁXIMA, es decir la que tiene en el momento que empieza a deslizar. Ejemplo: De cada extremo de una cuerda que pasa por la garganta de una polea de 0,2m de radio, con su eje horizontal, cuelgan dos masas de 3Kg y 7Kg. Si el momento de inercia de la polea respecto a su eje es de 0,04 Kg.m2, calcular: a) Aceleración lineal con que evoluciona el sistema b) Momento angular total del sistema respecto del eje de la polea cuando la velocidad de desplazamiento de las masas es de 5 m/s. Es importante tener en cuenta que al tratarse de una polea con masa, su momento de inercia no es nulo, y por tanto a ambos lados de la misma la tensión de la cuesda es diferente, en este caso les llamaremos T1 y T2.

a) Aplicaremos la segunda ley a cada una de las masas y la ecuación de la dinámica de rotación a la polea, Así obtendremos un sistema de tres ecuaciones que al resolverlo nos dará los valores de T1, T2 y a.

amF ⋅= ⇒ aT ⋅=− 70170 T a⋅=− 32 30

α⋅= IM ⇒ RaITRTR ⋅=⋅−⋅ 21 ⇒ T aT =− 21

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos que a=3,64 m/s2 b) Para calcular el momento de angular del sistema tendremos en cuenta que el sistema lo forman tres elementos: el disco y las dos masas y que el momento total será la suma vectorial de los momentos debidos a cada elemento:

pLLLLrrrr

++= 21 aplicando la definición de momento angular:

r

111 vmrL rr∧=

rrr222 vmrL ∧=

rrω⋅= ILp

En la figura puedes ver que:

irrrrr 2,021 =−=rrr

jvv 521 −=−= r rr y v forman 90º

sradRv /25

2,05

===ωrr

(hacia dentro del papel)

k25−=ω Con lo que sustituyendo tendremos que:

ωrrrrrr

⋅+−∧−+∧= IvmrvmrL )()( 121111

)25(04,0532,0572,0 kiiiiLrrrrrr

−⋅+⋅∧+⋅∧=

kkkkLrrrrr

11137 =−+= Kg.m2/s El momento angular del sistema respecto al eje de giro es la proyección de sobre dicho eje, que puesto que tiene la misma dirección coincide con él mismo.

Lr

Ejemplo: Un aro 1Kg de masa y 0,5m de radio gira por una suelo horizontal a 10m/s. Calcular su energía cinética total. DATO. Momento de inercia de un anillo respecto a su eje de simetría: 2MRI = Puesto que el aro va girando, su energía cinética será la suma de la energía cinética de traslación más la de rotación:

RotacionTraslacion EcEcEc +=

22

21

21 ωImvEc +=

teniendo en cuenta el valor del momento de inercia y que Rv ⋅= ω

JuliosmvRvmRmvEc 100101

21

21 22

2

222 =⋅==+=