Modelo de Verhulst

Modelo de Verhulst

Andre Fonseca

Universidade Federal do ABC

Andre Fonseca (Universidade Federal do ABC) MMSB 1 / 15

Sumario

1 Introducao

2 Exemplo

3 Conclusoes

4 Exercıcio


Introducao

O Modelo de Verhulst, tambem chamado de Modelo Logıstico, e devido ao belgaPierre Francois Verhulst (1804-1849), matematico e doutor em teoria dos numeros.Verhulst so viveu 44 anos, enquanto Malthus viveu 68 anos !

Pierre Francois Verhulst


Introducao

Em 1838, 40 anos apos a divulgacao do modelo de Malthus, Verhulst desenvolveuum modelo de crescimento populacional mais complexo que o malthusiano,acrescentando a ideia de uma “capacidade de carga” ou “capacidade de suporte”,que e o numero maximo de habitantes que o ambiente pode suportar.


Introducao


Enquanto a populacao nao atinge essa capacidade de suporte, que chamaremos deK , ela pode crescer. Se a populacao ultrapassa o valor de K , os recursos nao saosuficientes para mante-la, e ela comeca a decrescer.


Introducao



O modelo de Verhulst ou verhulstiano e definido como uma equacao de diferencas:

dy

dx= αy

(

1 −y

K

)

.


Introducao



O modelo de Verhulst ou verhulstiano e definido como uma equacao de diferencas:

dy

dx= αy

(

1 −y

K

)

.

Como no modelo malthusiano, y e a populacao medida no tempo x , dy

dxe a taxa de

variacao da populacao e α e a taxa de crescimento intrınseca (nesse modelo, α > 0).Adicionalmente, temos K como a capacidade de suporte do ambiente.


Introducao

Reparem com atencao, no modelo de Verhulst, o fator(

1 −y

K

)

. Enquanto y < K ,

temos que(

1 −y

K

)

> 0 e dy

dx> 0, pois α > 0. Isto e, como ja dissemos, enquanto

y < K a taxa de variacao de y e positiva, isto e, y cresce.


Introducao


1 −y

K

)

. Enquanto y < K ,

temos que(

1 −y

K

)

> 0 e dy



Quando y > K , temos que(

1 −y

K

)

< 0 e dy

dx< 0, pois α > 0. Dessa forma, quando

y > K a taxa de variacao de y e negativa, isto e, y decresce. Muito engenhosa aideia de Verhulst, voces nao acham ?


Introducao


1 −y

K

)

. Enquanto y < K ,

temos que(

1 −y

K

)

> 0 e dy




1 −y

K

)

< 0 e dy



Podemos deduzir, do modelo verhulstiano, que :

dy = αy(

1 −y

K

)

dx .


Introducao


1 −y

K

)

. Enquanto y < K ,

temos que(

1 −y

K

)

> 0 e dy




1 −y

K

)

< 0 e dy



Podemos deduzir, do modelo verhulstiano, que :

dy = αy(

1 −y

K

)

dx .

Modelo de Verhulst

Pesquise mais sobre sua historia e aplicacoes ! Esse modelo e bem mais real do que omalthusiano. Em que situacoes biologicas o modelo verhulstiano tem sido utilizado ?


Exemplo

Vamos estudar um exemplo semelhante ao utilizado no modelo malthusiano, mascom a informacao adicional de uma capacidade de suporte. Seja uma populacaomedida pela variavel y (em milhoes de habitantes) e seja seu tempo de medicaodenotado pela variavel x (em anos).


Exemplo


Seja x0 = 1 o tempo da primeira medicao (1 ano), x1 = 2 a segunda medicao (2anos) e assim por diante. Seja y0 = y(x0) = 5 (5 milhoes de habitantes) apopulacao calculada na primeira medicao. Seja α = 0, 02 a taxa de crescimentointrınseca e seja K = 5, 3 (5 milhoes e 300 mil habitantes) o numero maximo que oambiente sustenta, isto e, sua capacidade de suporte.


Exemplo



Quais serao os valores y1, y2, . . . , y5, isto e, a estimativa dessa populacao durante umperıodo de 5 anos pelo modelo de Verhulst ?


Exemplo



Quais serao os valores y1, y2, . . . , y5, isto e, a estimativa dessa populacao durante umperıodo de 5 anos pelo modelo de Verhulst ?

Reparem que as variacoes de x (intervalo de tempo) sao todas iguais a 1 ano:

n xn dx = xn+1 − xn

0 1 x1 − x0 = 2 − 1 = 1

1 2 x2 − x1 = 3 − 2 = 1

2 3 x3 − x2 = 4 − 3 = 1

3 4 x4 − x3 = 5 − 4 = 1

4 5 x5 − x4 = 6 − 5 = 1


Exemplo

Seguindo o modelo verhulstiano, onde dy = αy(

1 −y

K

)

dx , temos que:

dy = 0, 02y

(

1 −y

5, 3

)

(1) ⇒ dy = 0, 02y

(

1 −y

5, 3

)

Como dy = yn+1 − yn concluimos que yn+1 = yn + dy e, substituindo o valor obtidode dy , obtemos a equacao de diferenca para y :

yn+1 = yn + 0, 02yn

(

1 −yn

5, 3

)

.


Exemplo


1 −y

K

)

dx , temos que:

dy = 0, 02y

(

1 −y

5, 3

)

(1) ⇒ dy = 0, 02y

(

1 −y

5, 3

)


yn+1 = yn + 0, 02yn

(

1 −yn

5, 3

)

.

Colocando yn em evidencia obtemos:

yn+1 = 1, 02yn −0, 02

5, 3y

2n (Modelo de Verhulst).


Exemplo


1 −y

K

)

dx , temos que:

dy = 0, 02y

(

1 −y

5, 3

)

(1) ⇒ dy = 0, 02y

(

1 −y

5, 3

)


yn+1 = yn + 0, 02yn

(

1 −yn

5, 3

)

.


yn+1 = 1, 02yn −0, 02

5, 3y


Comparem com o modelo malthusiano para o mesmo exemplo:

yn+1 = 1, 02yn (Modelo de Malthus).


Exemplo


1 −y

K

)

dx , temos que:

dy = 0, 02y

(

1 −y

5, 3

)

(1) ⇒ dy = 0, 02y

(

1 −y

5, 3

)


yn+1 = yn + 0, 02yn

(

1 −yn

5, 3

)

.


yn+1 = 1, 02yn −0, 02

5, 3y


Comparem com o modelo malthusiano para o mesmo exemplo:

yn+1 = 1, 02yn (Modelo de Malthus).

O modelo verhulstiano e uma equacao de diferencas de primeira ordem, mas nao elinear, pois possui um termo quadratico.


Exemplo

Podemos agora observar os valores da populacao calculados pelo modelo deVerhulst, com aproximacao de 4 casas decimais. Faremos comparacao com o modelode Malthus:

Modelo de Verhulst Modelo de Malthus

n yn+1 = 1, 02yn −0,025,3

y 2n yn+1 = 1, 02yn

0 5 (definido no problema) 5 (definido no problema)

1 y1 = 1, 02y0 −0,025,3

y 20 = 5, 0057 y1 = 1, 02y0 = 5, 1000

2 y2 = 1, 02y1 −0,025,3

y 21 = 5, 0112 y2 = 1, 02y1 = 5, 2020

3 y3 = 1, 02y2 −0,025,3

y 22 = 5, 0167 y3 = 1, 02y2 = 5, 3060

4 y4 = 1, 02y3 −0,025,3

y 23 = 5, 0220 y4 = 1, 02y3 = 5, 4122


Exemplo



n yn+1 = 1, 02yn −0,025,3

y 2n yn+1 = 1, 02yn


1 y1 = 1, 02y0 −0,025,3

y 20 = 5, 0057 y1 = 1, 02y0 = 5, 1000

2 y2 = 1, 02y1 −0,025,3

y 21 = 5, 0112 y2 = 1, 02y1 = 5, 2020

3 y3 = 1, 02y2 −0,025,3

y 22 = 5, 0167 y3 = 1, 02y2 = 5, 3060

4 y4 = 1, 02y3 −0,025,3

y 23 = 5, 0220 y4 = 1, 02y3 = 5, 4122

Reparem que, apesar dos dois modelos terem a mesma taxa de crescimentointrınseca α = 0, 02, no modelo verhulstiano, a taxa de crescimento populacional emenor que no modelo matlhusiano, isto e, y cresce mais devagar no modelo deVerhulst. Isso ocorre pela presenca do fator quadratico.


Exemplo



n yn+1 = 1, 02yn −0,025,3

y 2n yn+1 = 1, 02yn


1 y1 = 1, 02y0 −0,025,3

y 20 = 5, 0057 y1 = 1, 02y0 = 5, 1000

2 y2 = 1, 02y1 −0,025,3

y 21 = 5, 0112 y2 = 1, 02y1 = 5, 2020

3 y3 = 1, 02y2 −0,025,3

y 22 = 5, 0167 y3 = 1, 02y2 = 5, 3060

4 y4 = 1, 02y3 −0,025,3

y 23 = 5, 0220 y4 = 1, 02y3 = 5, 4122

Reparem que, apesar dos dois modelos terem a mesma taxa de crescimentointrınseca α = 0, 02, no modelo verhulstiano, a taxa de crescimento populacional emenor que no modelo matlhusiano, isto e, y cresce mais devagar no modelo deVerhulst. Isso ocorre pela presenca do fator quadratico.

Mas nao e so essa a diferenca ! No modelo verhulstiano existe a capacidade desuporte, lembra ? Qual e o seu papel ?


Exemplo

Continuando o estudo do nosso exemplo, calcularemos as populacoes estimadas pelomodelo de Verhulst para os anos subsequentes: x = 5, 6, 7, 8, . . . , 20.

n yn+1 = 1, 02yn −0,025,3

y 2n n yn+1 = 1, 02yn −

0,025,3

y 2n

5 5, 0273 13 5, 0662

6 5, 0325 14 5, 0706

7 5, 0376 15 5, 0750

8 5, 0426 16 5, 0793

9 5, 0475 17 5, 0836

10 5, 0523 18 5, 0877

11 5, 0570 19 5, 0918

12 5, 0616 20 5, 0958


Exemplo


n yn+1 = 1, 02yn −0,025,3

y 2n n yn+1 = 1, 02yn −

0,025,3

y 2n

5 5, 0273 13 5, 0662

6 5, 0325 14 5, 0706

7 5, 0376 15 5, 0750

8 5, 0426 16 5, 0793

9 5, 0475 17 5, 0836

10 5, 0523 18 5, 0877

11 5, 0570 19 5, 0918

12 5, 0616 20 5, 0958

A populacao continua crescendo e esta se aproximando do valor de sua capacidadede suporte K = 5, 3 (5 milhoes e 300 mil habitantes).


Exemplo


n yn+1 = 1, 02yn −0,025,3

y 2n n yn+1 = 1, 02yn −

0,025,3

y 2n

5 5, 0273 13 5, 0662

6 5, 0325 14 5, 0706

7 5, 0376 15 5, 0750

8 5, 0426 16 5, 0793

9 5, 0475 17 5, 0836

10 5, 0523 18 5, 0877

11 5, 0570 19 5, 0918

12 5, 0616 20 5, 0958

A populacao continua crescendo e esta se aproximando do valor de sua capacidadede suporte K = 5, 3 (5 milhoes e 300 mil habitantes).

Sera que a populacao ultrapassa esse valor ? Veja, a seguir, um grafico com acomparacao dos dois modelos, de Verhulst e de Malthus.


Exemplo

Comparacao entre os modelos de Verhulst e de Malthus, com populacao inicial de5 × 106 habitantes e taxa de crescimento intrınseca α = 0, 02 ao ano.


Exemplo

No modelo de Verthulst, a populacao tende para sua capacidade de suporte. Nonosso exemplo, a populacao inicial era de 5 × 106 habitantes e, com a taxa decrescimento intrınseca α = 0, 02 ao ano, em 100 anos, a populacao estara bemproxima da capacidade suporte K = 5, 3 (5 milhoes e 300 mil habitantes).


Exemplo


E se a populacao incial for maior que a capacidade de suporte ? Ja explicamos que,nesse caso, a taxa de variacao da populacao e negativa e y decresce ate atingir acapacidade de suporte.


Exemplo


E se a populacao incial for maior que a capacidade de suporte ? Ja explicamos que,nesse caso, a taxa de variacao da populacao e negativa e y decresce ate atingir acapacidade de suporte.

Veja, a seguir, um grafico com a comparacao entre dois modelos de Verhulst compopulacoes iniciais de 5 × 106 e 5, 5 × 106 habitantes e taxa de crescimentointrınseca α = 0, 02 ao ano.


Exemplo

Comparacao entre dois modelos de Verhulst com populacoes iniciais de 5 × 106 e5, 5 × 106 habitantes e taxa de crescimento intrınseca α = 0, 02 ao ano.


Conclusoes

1) No modelo de Verhulst, a populacao sempre tende para sua capacidade desuporte.


Conclusoes

1) No modelo de Verhulst, a populacao sempre tende para sua capacidade desuporte.

2) Se a taxa de variacao e instantanea, isto e, quando dx → 0, a equacao dediferencas se transforma numa equacao diferencial. Nesse caso, a populacao y edefinida como uma funcao de x , chamada funcao sigmoide:

y(x) =K

1 + CKe−αx;

onde C depende da condicao inicial y0.


Exercıcio

Nuvem de Gafanhotos

Exercıcio para entregar !

Seja uma nuvem de gafanhotos com populacao inicial de y0 = 100 insetos. Eles chegama uma lavoura e se multiplicam rapidamente. Estima-se que a capacidade de suporte dalavoura seja K = 5000 gafanhotos. O crescimento dessa nuvem e medido nos temposx0 = 0, x1 = 1, . . . , x20 = 20 meses e segue o modelo de Verhulst com taxa intrınseca decrescimento α = 0, 7 ao mes. Determine o numero de gafanhotos em cada medicao, istoe, determine y1, y2, . . . , y20. Responda em quanto tempo a nuvem atinge a capacidadede suporte. Submeta todos os calculos desenvolvidos (num arquivo “doc” ou “pdf”) naAtividade 11. Atencao ao prazo de entrega !


Bibliografia

Rodney Carlos Bassanezi.Ensino-aprendizagem com Modelagem Matematica

Sao Paulo: Contexo, 2004


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