Mate Primer Hemi 2014

UNIVERSIDAD CENTRAL

DEL ECUADOR

FACULTAD DE

CIENCIAS

ADMINISTRATIVAS

CONTABILIDAD Y AUDITORA

PORTAFOLIO DE MATEMTICA I

PRIMER HEMISEMESTE

ARQUITECTO ALBERTO ARROYO

JESSICA PAULINA SANTACRUZ TOASA

CA 1 - 1

1

NDICE

Hoja de vida 3

Slabo 4

Filosofa Corporativa 5

Datos Informativos 6

Descripcin de la Asignatura 7

Competencia de la Asignatura y aprendizaje 8

Objetivos de la Asignatura 9

Contribucin de la asignatura 10

Competencias genricas 10

Componentes que deben ser considerados 10

Conocimientos 11

Programacin de unidades de competencia 11

Estrategias metodolgicas 18

Recursos para el aprendizaje 19

Evaluacin 20

Fuentes bibliogrficas 20

Materia 21

Nmeros Reales 22

Intervalo 23

Ecuaciones de Primer grado 25

Costos 26

Desigualdades 28

Funciones y Grficas 29

Dominio 30

Formas de representar una funcin 31

Diagrama de flechas 31

Funcin constante 32

Funcin identidad 32

Funcin cuadrtica 32

Tabulacin 32

Grfica 33

Tipos de funciones 34

Funcin identidad 34

Funcin constante 34

Funcin raz cuadrada 35

Funcin escaln unitario 35

Funcin mximo entero 36

Funcin cuadrtica 36

Funcin exponencial 36

Funcin logartmica 37

Lugar Geomtrico 37

Intercepcin a los ejes 37

Simetras 37

Campos de variacin 38

Asntotas 38

Grfico 38

Funcin Lineal 39

Aplicacin De La Funcin Lineal 40

3

HOJA DE VIDA

NOMBRES: Jessica Paulina Santacruz Toasa

LUGAR Y FECHA DE NACIMIENTO: Quito Ecuador, 22 de Julio de 1994

EDAD: 20 aos

ESTADO CIVIL: Soltera

CDULA DE IDENTIDAD: 1726314121

TELFONO: 3430185

CELULAR: 0987793028

ESTUDIOS PRIMARIOS: Colegio Franciscano Particular Alvernia

ESTUDIOS SECUNDARIOS: Colegio Franciscano Particular Alvernia

TTULO: Qumico Bilogo

ESTUDIOS UNIVERSITARIOS: Universidad Central del Ecuador

FACULTAD: Ciencias Administrativas

CARRERA: Contabilidad y Auditora

5

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CARRERA DE

CONTABILIDAD Y AUDITORIA

SLABO

EJE BSICO

MATEMTICA I

SEMESTRE: OCTUBRE 2014- MARZO 2015

6

FILOSOFA CORPORATIVA DE LA FACULTAD

Visin de la UCE

La Universidad Central del Ecuador continuar en el liderazgo de la educacin

superior, de la produccin de ciencia, tecnologa, cultura y arte y en la formacin de

profesionales con profunda responsabilidad social.

Misin de la UCE

La Universidad Central del Ecuador forma profesionales crticos de nivel

superior, comprometidos con la verdad, justicia, equidad, solidaridad, valores ticos y

morales, genera ciencia, conocimientos, tecnologa, cultura y arte; y, crea espacios para

el anlisis y solucin de problemas nacionales.

Visin de la FCA

Mantener a la Facultad de Ciencias Administrativas como la primera del pas y

una de las mejores de Amrica, impartiendo una formacin excelente que permita que

las nuevas generaciones lideren los sectores pblico y privado, desarrollndoles

destrezas y habilidades para optimizar los recursos del pas y de las empresas que

impulsan el desarrollo nacional, a largo plazo.

Misin de la FCA

Formar administradores competitivos y comprometidos con el desarrollo del

pas, con conocimientos cientficos y tecnolgicos, con principios y valores, que

respondan a las necesidades del sector pblico y privado y el bienestar de la comunidad.

Visin de la Carrera

Mantener el liderazgo en la formacin profesional de la administracin

financiera, siendo un modelo educativo de mayor influencia a nivel nacional y de

Latinoamrica, con competencias que propicien el desarrollo econmico del Pas.

Misin de la Carrera

Formar profesionales e investigadores en el mbito Contable-Financiero, con

conciencia tica y solidaria, contribuyendo con la administracin pblica y privada del

pas a la vigencia del orden legalmente constituido y a estimular su vinculacin con la

sociedad.

7

Perfil de egreso de la carrera

Diseo, asesoramiento y solucin de sistemas y problemas de carcter contable y

financiero; habilidad de razonar e interpretar datos e informacin sobre negocios;

anlisis e interpretacin de estados financieros; manejo de informacin oficial as como

la capacitacin y riesgo del origen y aplicacin de los recursos utilizados en las diversas

transacciones. Debe as mismo poseer una visin y criterio analtico para recopilar,

examinar y evaluar informacin sobre las diversas transacciones y emitir opiniones

sobre su razonabilidad.

1. DATOS INFORMATIVOS

1.1. Nombre de la Asignatura: Matemtica I

1.2. Nombre del Docente: Arq. Alberto Arroyo V.

1.3. Cdigo de asignatura Cdigo

UNESCO

Cdigo Facultad

5.CA1.5.5

1299

1.4. Nmero de crditos: 6

1.5. Semestre: Primero

1.6. Eje de formacin: Bsico

1.7. Ciclo de estudios: Octubre 2014 a Marzo 2015

1.8. Nmero de horas presenciales: 100

1.9. Nmero de horas de tutoras: 20

1.10. Horario De Lunes a Viernes de 7:00 a 12:00 horas

1.11. Prerrequisitos: (Cdigo

de cada una de las asignaturas)

1.12. Correquisitos:

(Cdigo de cada una de las asignaturas

Contabilidad General I 5.CA1.2.4 Metodologa de la Investigacin 5.CA1.6.2 Administracin I 5.CA1.1.5 Lenguaje y Tcnicas de Comunicacin 5.CA1.4.2

2. DESCRIPCIN DE LA ASIGNATURA (Descripcin del curso)

La matemtica es una forma de conceptualizar la realidad y representar

relaciones. Esta ha tenido un desrrollo y evolucin tan antigua como la evolucin de

nuestra especie es el lenguaje en el que se expresan las leyes de todas las ciencias.

8

Tiene dinmica propia, no necesita referente para justificar su existencia Valentina

Aguilar (2002).

La matemtica es una ciencia que permite conceptualizar la realidad, se considera

el insumo de todas las dems ciencias, entonces la matemtica le proporcionar al

estudiante herramientas para comprender las reas de especialidad y problemas de su

entorno.

El profesional de las ciencias administrativas requiere modelar e interpretar la

realidad, resolver aplicaciones en las diferentes esferas econmicas, financieras y

sociales, desarrollar su pensamiento formal, razonamiento logico, as como tambin

perfeccionar hbitos de exactitud, orden, perseverancia, optimizacin de recursos y de

trabajo en equipo. Aqu yace la importancia de la matemtica en su formacin profesional

y personal, ya que sta es herramienta e insumo que posibilita la modelacin de las

aplicaciones de las diferentes reas.

3. COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA Y RESULTADOS DE APRENDIZAJE

3.1. Competencia de la asignatura:

Modela e interpreta problemas profesionales del rea de Contabilidad y Auditora,

aplicando las conceptualizaciones de Inecuaciones, Funciones, algebra de Matrices y

Sistema de Ecuaciones con orden, autonoma y exactitud.

3.2. Competencia por cada Unidad

3.2.1. Plantea y resuelve Inecuaciones con rigor cientfico, aplicando

conceptualizaciones matemticas y contables.

3.2.2. Conceptualiza y aplica las funciones lineales y cuadrticas, vinculando los

principios matemticos con el rea contable, con veracidad.

3.2.3. Conceptualiza y aplica las funciones exponenciales y logartmicas, vinculando los

principios matemticos con el rea contable, con precisin.

3.2.4. Caracteriza los diferentes tipos de ejercicios de algebra de matrices con exactitud y

orden, vinculando con modelos empresariales reales.

9

COMPETENCIAS ESPECFICAS RESULTADOS DEL

APRENDIZAJE

Resuelve Inecuaciones para afianzar

las temticas revisadas y de esta

manera comprender las problemticas

del rea, aplicando

conceptualizaciones matemticas y

contables, con rigor cientfico.

Comprende el planteamiento y

la resolucin de Inecuaciones,

aplicados a la empresa en el

rea contable.

Caracteriza los diferentes tipos de

funciones, con la finalidad de generar

modelos reales en el mbito

empresarial con exactitud y precisin,

aplicando funciones lineales,

cuadrticas y sistema de ecuaciones

no lineales.

Identifica grficos y funciones

aplicados a problemas

empresariales en el rea

contable.

Aplica las funciones exponenciales y

logartmicas vinculando los

principios matemticos con el rea

contable, con veracidad.

Plantea, resuelve e interpreta

casos empresariales y del

entorno en el rea contable,

econmica, financiera y social

con aplicacin de funciones

exponenciales y logartmicas.

Organiza con efectividad informacin

identificando variables cualitativas y

cuantitativas en matrices, para una

comprensin y comunicacin.

Plantea matrices que relacionen

variables cuantitativas y

cualitativas de forma efectiva.

4. OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA

4.1. GENERALES: El estudiante que apruebe esta asignatura ser capaz de:

4.1.1. Modelar e interpretar situaciones actuales del entorno econmico, contable y social,

permitiendo conocer la realidad nacional, lo que promover el desarrollo de su

pensamiento lgico y crtico, despertando el compromiso y responsabilidad con su

formacin profesional.

4.2. ESPECFICOS: Al terminar el semestre, el estudiante ser capaz de:

4.2.1. Identificar algoritmos de solucin a problemas profesionales aplicando los

conceptos de matemticas.

4.2.2. Interpretar casos polmicos que estn representados por rectas, parbolas,

funciones exponenciales y logartmicas para toma de decisiones efectivas.

10

4.2.3. Determinar el valor de las variables que intervienen en el sistema de ecuaciones

planteado.

5. CONTRIBUCIN DE LA ASIGNATURA EN LA FORMACIN DEL

PROFESIONAL

5.1. La asignatura de Matemtica, aplicada a la Contabilidad y Auditora capacitar al

alumno para tomar decisiones de inversin, financiamiento y gestin de recursos

financieros en el sector pblico y privado.

5.2. Capacita para aplicar conocimientos matemticos en el anlisis cuantitativo y

cualitativo de los problemas empresariales.

6. COMPETENCIAS GENRICAS

6.1. Resuelve con solvencia problemas de inecuaciones aplicados a la empresa para

entregar soluciones efectivas con responsabilidad y solidaridad.

6.2. Identifica y resuelve con precisin problemas de funciones y grficas aplicados a la

empresa para la toma de decisiones.

6.3. Interpreta con orden problemas de funciones exponenciales y logartmicas para

evidenciar tendencias y comportamientos.

6.4. Organiza con exactitud, informacin y datos en matrices, que se pueda representar

como un sistema de ecuaciones lineales.

7. COMPONENTES QUE DEBEN SER CONSIDERADOS EN LA

ELABORACIN DE LAS COMPETENCIAS

HABILIDADES ACTITUDES

Identificar

Analizar

Graficar

Explicar

Interpretar

Resolver problemas

Precisin

Exactitud

Orden

Iniciativa

Perseverancia

Responsabilidad

Honestidad

Solidaridad

11

8. CONOCIMIENTOS

UNIDAD I: Desigualdades e Inecuaciones

UNIDAD II: Funciones y Grficas. Funcin lineal y cuadrtica. Sistemas No Lineales

UNIDAD III: Funcin exponencial y logartmica

UNIDAD IV: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales.

9. PROGRAMACIN DE UNIDADES DE COMPETENCIA

12

UNIDAD I DESIGUALDADES O INECUACIONES

OBJETIVO: Resuelve con solvencia problemas de inecuaciones aplicados a la empresa para dotar de soluciones efectivas con responsabilidad y

solidaridad.

COMPETENCIA

DE LA UNIDAD

N DE

HORAS

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA (contenidos)

TRABAJO AUTNOMO TCNICAS/INSTRUMENTOS

DE EVALUACIN

CRITERIO DE

VALORACIN

Resuelve

Inecuaciones para

afianzar las

temticas revisadas

y de esta manera

comprender las

problemticas del

rea, aplicando

Conceptualizaciones

matemticas y

contables, con rigor

cientfico.

2

4

4

4

4

1.1 Ecuaciones, propiedades y

aplicaciones.

1.2 Inecuaciones,

Conceptualizacin y

propiedades.

1.3 Desigualdades lineales,

propiedades y aplicaciones.

1.4 Desigualdades cuadrticas,

propiedades y aplicaciones.

1.5 Inecuaciones con Valor

absoluto, propiedades,

ejercicios y aplicaciones.

Realiza trabajos siguiendo

modelos resueltos en clase.

Formula problemas con

uso de desigualdades.

Plantea y resuelve

aplicaciones de problemas

cotidianos de la empresa

aplicando desigualdades e

inecuaciones.

Trabajo individual - Prueba

escrita. Estudio de casos Procedimiento de resolucin.

Clase magistral

Exposicin Material de soporte. Participacin en el aula virtual.

Tcnica de Cuestionamiento -

Cuestionario.

Pruebas Formato de evaluacin. Taller Conjunto de ejercicios de aplicacin.

Proyecto Integrador Perfil de Presentacin y Defensa (Medios

de soporte).

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

METODOLOGA :

Estrategias:

Trabajar hacia atrs.

Analogas problema ms simple.

RECURSOS

Aula de clase

Aula virtual de cada docente.

Libros y folletos.

Net grafa

Pizarra y tiza liquida de varios colores

Computador y Proyector

BIBLIOGRAFA

Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008). Matemticas para

Administracin y Economa. Mxico: Prentice Hall - Decimosegunda

edicin.

Arya-Lardner, J. C. (1993). Matemticas Aplicadas a la

Administracin y a la Economa. Mxico: PRENTICE HALL

HISPANOAMERICANA S.A.-

Tercera edicin.

13

Resultado de Aprendizaje: Comprende el planteamiento y la resolucin de Inecuaciones, aplicados a la empresa en el rea contable.

Juicio de valor: Rigor cientfico, responsabilidad, nivel de interpretacin de informacin y datos.

UNIDAD II FUNCIONES Y GRFICAS

OBJETIVO: Identifica y resuelve con precisin problemas de funciones y grficas aplicados a la empresa para la toma de decisiones.

COMPETENCIA

DE LA UNIDAD

N DE

HORAS

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA

(contenidos)


DE EVALUACIN

CRITERIO DE

VALORACIN

Caracteriza los

diferentes tipos de

funciones, con la

finalidad de generar

modelos reales en el

mbito empresarial

con exactitud y

precisin, aplicando

funciones lineales,

cuadrticas y sistema

de ecuaciones no

lineales.

6

6

4

4

4

4

2.1 Funciones:

conceptualizacin y

caracterizacin.

2.2 Funciones Especiales:

conceptualizacin. Lugares

Geomtricos.

2.3 Funciones Lineales:

conceptos y aplicaciones.

2.4 Funciones Cuadrticas:

conceptos y aplicaciones.

2.5 Combinacin de

funciones: operaciones,

ejercicios, aplicaciones y

composicin de funciones.

2.6 Sistema de ecuaciones

lineales y no lineales.

Aplicaciones.

Identificacin de

funciones. Elaboracin de

grficas y anlisis de

frmulas.

Caractersticas de las

grficas: Dominio,

recorrido, ceros, signo,

crecimiento,

decrecimiento, mximos,

mnimos, tendencia.

Determinar reglas de

correspondencia de

variables que estn

relacionadas mediante una

funcin lineal y

cuadrtica.

Construir nuevas

funciones mediante la

combinacin de funciones.


escrita.

Estudio de casos Procedimiento de resolucin.

Clase magistral

Exposicin Material de soporte. Participacin en el aula

virtual. Tcnica de

Cuestionamiento - Cuestionario.



de soporte).

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

Proceso

Inicio

14

METODOLOGA :

Estrategias:

Algoritmo: Hacer figuras,

esquema, diagrama, tabla.

Buscar regularidades o

patrones. Utilizar el lgebra

para expresar relaciones.

Imaginar el problema resuelto -

grfica.

RECURSOS

Aula de clase


Libros y folletos.

Net grafa



BIBLIOGRAFA

Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008).

Matemticas para Administracin y Economa.

Mxico: Prentice Hall - Decimosegunda edicin.

Arya-Lardner, J. C. (1993). Matemticas Aplicadas

a la Administracin y a la Economa. Mxico:

PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA S.A.-

Tercera edicin.

Resultado de Aprendizaje: Identifica grficos y funciones aplicados a problemas empresariales en el rea contable.

Juicio de valor: Exactitud, Precisin, responsabilidad y honestidad.

UNIDAD III FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

OBJETIVO: Resolver problemas de funciones exponenciales y logartmicas

COMPETENCIA

DE LA UNIDAD

N DE

HORAS

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA

(contenidos)

TRABAJO

AUTNOMO

TCNICAS/INSTRUMENTOS DE

EVALUACIN

CRITERIO DE

VALORACIN

4 4.1 Funcin exponencial. Dominio

15

Aplica las

funciones

exponenciales

y

logartmicas

vinculando los

principios

matemticos con

el rea contable,

con veracidad.

4

4

6

4

4.2 Funciones logartmicas

4.3 Propiedades de

los

logaritmos

4.4 Ecuaciones

logartmicas y

exponenciales.

4.5 Aplicaciones de

funciones logartmicas y

exponenciales.

Graficas de curvas

exponenciales y

logartmicas con

valores enteros y

fraccionarios.

Resolucin de

problemas de

aplicacin.

Trabajo individual - Prueba escrita.


Clase magistral

Exposicin Material de soporte. Participacin en el aula virtual.

Tcnica de Cuestionamiento -

Cuestionario.


Proyecto Integrador Perfil de Presentacin y Defensa (Medios de

soporte).

Avance

Proceso

Inicio

METODOLOGA :

Estrategias:

Algoritmo: Hacer figuras, esquema,

diagrama, tabla.

Buscar regularidades o patrones.

Utilizar el lgebra



grfica.

Estudio de casos.

RECURSOS

Aula de clase


Libros y folletos.

Net grafa



BIBLIOGRAFA

Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008).

Matemticas para Administracin y Economa.

Mxico: Prentice Hall - Decimosegunda edicin.

Arya-Lardner, J. C. (1993). Matemticas

Aplicadas a la Administracin y a la Economa.

Mxico: PRENTICE HALL


Tercera edicin.

Resultado de Aprendizaje: Plantea, resuelve e interpreta casos empresariales y del entorno en el rea contable, econmica, financiera y social con

aplicacin de funciones exponenciales y logartmicas.

Juicio de valor: Veracidad, competitividad, solidaridad.

16

UNIDAD IV MATRICES Y SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

OBJETIVO: Resolver problemas aplicados a la empresa con el fundamento de matrices.

COMPETENCIA

DE LA UNIDAD

N DE

HORAS

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA

(contenidos)


DE EVALUACIN

CRITERIO DE

VALORACIN

Organiza con

efectividad

informacin

identificando

variables

cualitativas y

cuantitativas en

matrices, para una

comprensin y

comunicacin.

6

6

2

4

6

4.1 Matrices: conceptos,

clases, ejercicios.

4.2 Operaciones con

matrices: ejercicios,

aplicaciones.

4.3 Matriz Inversa.

4.4 Resolucin de sistemas

de ecuaciones lineales, por

mtodos matriciales y

determinantes.

4.5 Resolucin de

problemas aplicados a la

empresa.

Desarrollo de inventarios en

Pymes del sector de

residencia del estudiante.

Levantar informacin de

tiempos, existencias,

materiales de produccin en

unidades de al menos dos

productos de una mini

industria del sector plantear y

resolver el sistema de

ecuaciones que optimice los

recursos disponibles de la

industria para estos

productos.


escrita.


Clase magistral

Exposicin Material de soporte. Participacin en el aula

virtual. Tcnica de

Cuestionamiento - Cuestionario.



de soporte).

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

17

METODOLOGA :

Estrategias:

Algoritmo: Hacer figuras, esquema,

diagrama, tabla.

Buscar regularidades o patrones.

Utilizar el lgebra


Estudio de casos.


grfica.

RECURSOS

Aula de clase


Libros y folletos.



BIBLIOGRAFA

Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008). Matemticas para

Administracin y Economa. Mxico: Prentice Hall -

Decimosegunda edicin.

Arya-Lardner, J. C. (2008). Matemticas Aplicadas a la

Administracin y a la Economa. Mxico: PRENTICE HALL


Tercera edicin.

Larson Ron Tan

Resultado de Aprendizaje: Plantea marices que relacionen variables cuantitativas y cualitativas de forma efectiva.

Juicio de valor: Veracidad, competitividad, solidaridad.

18

10.- ESTRATEGIAS METODOLGICAS

Ensear exige respeto a los saberes de los educandos.

Ensear exige respeto a la autonoma del ser del educando

Ensear exige seguridad, capacidad profesional y generosidad.

Ensear exige saber escuchar. Paulo Freire.

La importancia de la metodologa radica en su papel de organizar la forma en la cual se

manejan y dictan los contenidos para alcanzar el objetivo de formacin de profesional en

Contabilidad y Auditora.

Las estrategias metodolgicas para la enseanza son secuencias integradas de

procedimientos y recursos utilizados por el formador con el propsito de desarrollar en

los estudiantes capacidades para la adquisicin, interpretacin y procesamiento de la

informacin; y la utilizacin de estas en la generacin de nuevos conocimientos, su

aplicacin en las diversas reas en las que se desempean la vida diaria para, de este

modo, promover aprendizajes significativos.

Las Estrategias Metodolgicas recomendadas son:

La cooperacin: Genera una forma de interaccin centrada en el logro de

objetivos comunes, beneficiosos para todos y para cada uno. La interaccin positiva

redunda en un fortalecimiento personal a la vez que en un mejor desarrollo e integracin

grupal, aumentando la autoestima y la capacidad de relaciones solidarias y

comprometidas. El estmulo recproco coopera para realizar el mximo esfuerzo

acadmico por parte de los estudiantes.

Tanteo y error organizados (mtodos de ensayo y error): Consiste en elegir

soluciones u operaciones al azar y aplicar las condiciones del problema a esos resultados

u operaciones hasta encontrar el objetivo o hasta comprobar que eso no es posible.

Despus de los primeros ensayos ya no se eligen opciones al azar sino tomando en

consideracin los ensayos ya realizados.

Resolver un problema similar ms simple: Para obtener la solucin de un

problema muchas veces es til resolver primero el mismo problema con datos ms

19

sencillos y, a continuacin, aplicar el mismo mtodo en la solucin del problema

planteado, ms complejo.

Hacer una figura, un esquema, un diagrama, una tabla: En otros problemas se

puede llegar fcilmente a la solucin si se realiza un dibujo, esquema o diagrama; es decir,

si se halla la representacin adecuada. Esto ocurre porque se piensa mucho mejor con el

apoyo de imgenes que con el de palabras, nmeros o smbolos.

Buscar regularidades o un patrn: Esta estrategia empieza por considerar

algunos casos particulares o iniciales y, a partir de ellos, buscar una solucin general que

sirva para todos los casos. Es muy til cuando el problema presenta secuencias de

nmeros o figuras. Lo que se hace, en estos casos, es usar el razonamiento inductivo para

llegar a una generalizacin.

Trabajar hacia atrs: Esta es una estrategia muy interesante cuando el problema

implica un juego con nmeros. Se empieza a resolverlo con sus datos finales, realizando

las operaciones que deshacen las originales.

Imaginar el problema resuelto: En los problemas de construcciones geomtricas

es muy til suponer el problema resuelto. Para ello se traza una figura aproximada a la

que se desea. De las relaciones observadas en esta figura se debe desprender el

procedimiento para resolver el problema.

Utilizar el lgebra para expresar relaciones: Para relacionar algebraicamente

los datos con las condiciones del problema primero hay que nombrar con letras cada uno

de los nmeros desconocidos y en seguida expresar las condiciones enunciadas en el

problema mediante operaciones, las que deben conducir a escribir la expresin algebraica

que se desea resolver.

11.- RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE

Aula de clase

Aula virtual

Biblioteca, pginas web

Videos utilitarios computacionales, conferencias y videoconferencias, talleres

Proyector

Computador

Graficadores: o Graph o Geogebra

20

12.- EVALUACIN

INSTRUMENTOS DE

EVALUACIN

Primer

Hemi

Puntaje Segundo

Hemi

Puntaje

Examen 50% 10 50% 10

Pruebas 12,5% 2,5 12,5% 2,5

Trabajo individual

(Exposicin-Tareas-

Lecciones)

12,.5% 2,5 12,5% 2,5

Trabajo grupal 12,5% 2,5 12,5% 2,5

Proyecto de Integracin con

la Sociedad

12,5% 2,5 12,5% 2,5

TOTAL 100% 20 100% 20

13.- FUENTES BIBLIOGRAFCAS

Larson, Ron; Edwards, Bruce H.: CLCULO 9na. Edicin, Editorial McGraw-Hill,

Mxico D. F., 2011.

Miller, Charles D.; Heeren Vern E.; Hornsby, John: MATEMTICA:

RAZONAMIENTO Y APLICACIONES, Dcimo Segunda Edicin, Ed. Pearson

Educacin, Mxico, 2013.

Tan, Soo T.: MATEMTICAS APLICADAS, A LOS NEGOCIOS, LAS CIENCIAS

SOCIALES Y LA VIDA, Quinta Edicin, Ed. Cengage Learning, Mxico 2011.

22

Nmeros Reales (R)

Racionales (Q):

Es todo nmero que se pueda expresar en forma

fraccionaria siendo cualquier nmero entero.

Naturales : sirven para contar y son los numeros primos y compuestos.

Enteros: se dividen en: +,-y 0.

Irracionales (Q')

todos los nmeros imposibles de contar.

Aporte personal: En conclusin podemos decir que los nmeros reales

son todos aquellos que nos permiten contar, sumar, restar, dividir y

multiplicar.

23

Intervalo:

Todos los valores que puede tomar la variable.

( = Incluye = ) Excluye

1. Df: XR, (2,10) 2. Interpretacin matemtica.

Pasos:

1. Identificar el lmite inferior y el superior.

2. Ubicamos la variable a la izquierda el lmite inferior y a la derecha el superior.

3. Relacionamos las variables con respecto a los lmites y utilizamos los smbolos o

lmites de las desigualdades. ,,

4. Se lee el intervalo del centro a la izquierda y del centro a la derecha.

Ejercicios:

2 x 10

XR; [2,10]

Incluye: ,

Excluye:

Li Ls X

2 10

0 2 10

24

-12 < x 4

XR; (-12,4]

- < x -6

XR; (-,-6]

2 > x >6

XR; (,2) U (6, )

- < x < 2 ^ 6 < x <

0 -12 4

0 -6

2 0 6

G

A

B

C

F

E

D

25

A= XR; (a, b] a < x b

B= XR; (b, ) b< x <

C= XR; [-c, a] -c x a

D= XR; (-, d) - < x < d

E= YR; [0, f) 0 x < f

F= YR; (-g, -h) -g > y >-h

G=YR; (-, ) - < y <

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Es una expresin que indica una igualdad a=b.

Ecuacin: 3x 10 = 2x + 6

Inecuacin: 3x 10 2x + 6

La solucin de una ecuacin constituyen sus races las mismas que al ser

reemplazadas hacen vlida la ecuacin.

3x 2x = 6 + 10

x = 6

Ecuacin identidad:

La misma cantidad es vlida para cualquier valor numrico asignado a las

variables.

2 = 2

Ecuacin condicional:

Es vlida nicamente para un nmero limitado de valores de la variable.

X + 3 = 5

x = 2

Ecuacin de enunciado falso o contradiccin:

Nunca es verdad ya que no hay valor que pueda asignarse a las variables.

26

X = x + 5

Ecuaciones equivalentes:

Las que tienen las mismas races.

Grado de un polinomio:

Es el grado del trmino elevado a la mayor potencia.

3x + 5y = 3

2x2+ y 2 = 0

X3 + 2x2 + 5 = 3

COSTOS

Costos fijos (cf):

Es la suma de todos los costos que son independientes del valor de produccin.

Costos variables (cv):

Suma de todos los costos dependientes del nivel de produccin.

CF m= 0

m = + 1er grado

2do grado

27

Costos Totales (ct):

Es igual a la suma de los costos fijos ms los variables.

Ingresos totales (it):

Es el dinero que recibe un fabricante por la venta de su producto.

Punto de equilibrio:

Es el punto donde intercepta el ingreso y los costos.

Utilidad:

Todo lo que recibimos menos los gastos.

U = IT - CT

CT

Ingresos

Punto de equilibrio

Aporte personal: Las ecuaciones, costos

punto de equilibrio y utilidad tambin

son importantes para el mejor desarrollo

de las llamadas cuentas financieras.

28

Ejercicios:

17

9

( )

>

+

3(2 2)

2>

12 6 +

10

60 60 > 26 12

60 26 > 60 12

34 > 48

>48

34

DESIGUALDADES

Para una compaa que fabrica calentadores el costo combinado de mano de obra y de

material es de $21 por calentador. Los costos fijos son de 70000, si el precio de venta de

un calentador es de $35. Cuntos debe vender para que la compaa genere utilidades?

I= p*q

I=35q

U< IT CT

0 < 35q (21q+70000)

-70000 < 14q

5000 < q

R: debe vender 5001 calentadores para que la empresa genere utilidades.

Aporte personal: con las desigualdades

podemos determinar el valor mximo o

mnimo de un producto que debemos

vender.

29

FUNCIONES Y GRAFICAS

Funcin:

Una funcin es una regla que asigna a cada nmero de entrada exactamente un nmero

de salida.

A todos los nmeros de entrada se los llama dominio Dom (fx) y a todos los posibles

nmeros de salida se los llama rango o co-dominio Ran (fx).

Entrada Salida

Dom (fx) Ran (fx)

x+2y-3=0

Independiente Independiente

Dependiente Dependiente

Ejemplo:

Un hombre pesa 180 libras y bebe 4 cervezas una tras otra. Se sabe que su concentracin

de alcohol en la sangre, primero se elevara y luego se disminuir en forma paulatina hasta

0.

a) Cul es la mejor manera de describir que tan rpido se eleva la CAS?

b) En donde alcanza su nivel mximo

c) Qu tan rpido disminuye de nuevo?

d) Cuntas horas deben de pasar para que pueda conducir si el mnimo permitido es

de 0,05%?

Ecuacin: CAS=-0,1025t2+0,1844t

CAS=-0,102t+,047

TIEMPO 1 2 3 4 5 6

CAS 0,0826 0,067 0,0516 0,036 0,021 0.016

A

B

c

1

2

3

X=3-2y

X=3-2y

X=3-2y

X=3-2y

30

Dominio d(x):

El dominio consiste en todos los nmeros reales para los cuales la regla de la funcin

tenga sentido; esto es el conjunto de todos los nmeros reales para los cuales la regla

proporciona valores de la funcin y tambin son nmeros reales.

Ejemplo:

h(x)=1

6

x-6=0 D(x): R - 6

x=6

Ejercicios:

f(x)=3x2-2 D(x)= R

f(x)=

x-20 D(x): (2,+( x2

I(x)= + 25+2x0 2x-25 x-12,5 D(x): (-12,5; + (x-12,5

f(x)=

2x-3=0 D(x): R - 1, 5

2x=3

x=1,5

31

G(t)= 2t-10 2t1 D(x): (0,5; + ( t0,5

f(x)=

x2-x-2=0

(x-2)(x+1)=0 D(x): R- -1; 2

x=2 x=-1

f(x)= x-10 x1D(x): (1,+ (

f(x)=

D(x): R

FORMAS DE REPRESENTACIN DE UNA FUNCIN.

Diagrama de flechas:

Es importante recalcar que un diagrama de flechas representa una funcin si y

solo si de cada elemento del dominio sale una sola fecha.

Si a cada uno de los elemento del dominio se le asigna dos o ms elementos la

relacin no es una funcin.

Edad Altura

FUNCIN NO ES FUNCIN

10

11

15

1

1,20

1,40

A

B

C

11

15

20

F(a)

F(b)

F(c)

F(d)

1,20

1,40

1,80

32

Funcin constante:

Es la funcin que asocia todos los elementos del dominio con una sola imagen.

Funcin identidad:

A cada elemento del dominio se le asocia el mismo elemento de la imagen.

Funcin cuadrtica:

En esta funcin a algunos elementos del dominio se le asocian la misma imagen.

Tabulacin:

Consiste en representar los valores de la variable dependiente al asignar valores

arbitrarios a la variable independiente par que la tabla represente una funcin es

necesario que a cada valor de x no le corresponda ms de un valor de y.

-2

-1

1

2

11

15

20

2

-2

-1

1

2

11

15

20

-2

-1

1

2

11

15

20

-2

-1

1

2

11

15

20

4

1

33

Funcin

No es funcin

Grfica:

II I

(- +) (+ +)

III VI

(- -) (+ -)

Ejercicios:

Graficar las funciones:

f(x)=x

f(x)=x-3

f(x)=x+5

x y

2010 300

2011 200

2012 250

2013 350

x y

2010 300

2011 200

2010 250

2013 350

x -2 0 2

F(x) -2 0 2

x -2 0 2

F(x) -5 -3 -1

x -2 0 2

F(x) 3 5 7

TEOREMA DE LA RECTA

VERTICAL:

Consiste en pasar una recta vertical y

comprobar si corta en un solo punto es

funcin t si corta en ms de un punto

no es funcin.

34

Graficar:

f(x)=-1

Graficar las funciones valor absoluto

f(x)=|x-1|

f(x)=|x|

TIPOS DE FUNCIONES:

Funcin identidad:

Es una funcin lineal, la cual pasa por el origen de coordenadas, forma un ngulo de 45

y tiene una pendiente positiva.

Ejemplo: graficar las funciones:

a) f(x)=x

b) f(x)=x-2

c) f(x)=x+3

Funcin constante:

Esta funcin es paralela al eje x, su pendiente es igual a cero y tiene un punto pendiente

que corta en y b=n.

Ejemplo: f(x)=3

Funcin valor absoluto:

x -2 0 2

F(x) 3 1 1

x -2 0 2

F(x) 3 1 1

x -2 0 2

F(x) -2 0 2

x -2 0 2

F(x) -4 -2 0

x -2 0 2

F(x) -1 3 5

35

Graficar las funciones:

f(x)=|x|

f(x)=|x+3|

Su rango son todos los reales positivos y si x es un nmero real, el valor absoluto

de x es un nmero real positivo denotado por |x|.

Ejemplo:

a) f(x)=|x|

b) f(x)=|x-2|

Funcin raz cuadrada:

Siempre su rango va a ser todos los reales positivos es decir del cero hasta el ms

infinito y su grafica va a ser una semi-cncava.

Ejemplo:

f(x)= 4

x f(x)

2 0

3 2,23

5 4,58

Funcin escaln unitario:

En esta funcin se presenta una condicin para poder graficar cada una de las rectas y du dominio son todos los reales.

Ejemplo: () {0, < 61, 6

}

1

36

-4 -2 2 4 6 8 10

Funcin mximo entero:

Es cuando existen dos condiciones donde la primer es el punto mnimo y la segunda el punto mximo de todas las funciones que se encuentran en una sola.

Ejemplo:

() {

1 2 + 1 00 < 2 + 1 11 < 2 + 1 22 < 2 + 1 3

}

Funcin cuadrtica:

Es toda funcin cuya expresin algebraica es de la forma f(x)=ax2+bx+c, donde

a, b y c R, a0.

Ejemplo:

f(x)=4x2+12x+9

Funcin exponencial:

Si a es un nmero positivo (a1) y b es un nmero real; entonces, para x todo

nmero real x, la funcin de la forma f(x)=b ax

Ejemplo:

f(x)=(1/3)^

x F(x)

-2 9

0 1

2 1/9

x F(x)

-4 25

-3 9

-1 1

0 9

1 25

37

Funcin logartmica:

Si a> 0, a1 y x>0, se llama logaritmo de un nmero x, en base a, al exponente c

al que hay que elevar la base a para obtener el nmero x y se denota c=logax

Ejemplo:

f(x)=log2x

LUGAR GEOMTRICO

Lugar geomtrico a grafica de una ecuacin de dos variables es una lnea resta o

curva que contiene todos los puntos que satisfacen a la ecuacin dada.

Para hallar el lugar geomtrico es necesario:

a) Intercepcin a los ejes

b) Simetras

c) Campos de variacin

d) Asntotas

e) Grfico

Intercepcin a los ejes:

Es el punto en el que la curva o recta corta a los ejes y se la saca reemplazando en

la ecuacin x=0 y y=0.

Simetras:

Es el punto en donde existe una misma longitud desde all hacia los extremos y se

saca con:

-x por x = no altera la ecuacin hay simetra en y.

-y por y = no altera la ecuacin hay simetra en x.

(-x, -y) por (x.y)= no altera la ecuacin.

x F(x)

1 0

2 1

3 1,58

38

Campos de variacin:

Se refiere al dominio y al rango de la funcin.

Asntotas:

Son lneas imaginarias auxiliares que no se pueden llegar a tocar con la curva,

existen tres tipos de asntotas:

Asntota vertical: si es paralela o coincide al eje y.

Asntota horizontal: si es paralela o coincide al eje x.

Asntota oblicua: si no es paralela al eje de coordenadas.

Grfico:

Es la representacin de la ecuacin en el plano cartesiano.

Ejercicio:

Hallar del lugar geomtrico de 4x2-9y-36=0

1) 2) 4x2-9y-36=0 3) 4x2-9y-36=0 (-x)=no altera, hay simetra en y

(-y)= no altera, hay simetra en x

(-x,-y)= hay simetra

x=9+36

4 y==

436

9

R(x): R 436

9 0 D(x):x3

4x2 -36 0 = 4x2 6 x2 9 = x3

1) Asntota oblicua 1

2

3

-3 -2 -1 -1 1 2 3

-2 -3

X 0 3

Y i 0

39

FUNCIN LINEAL

La funcin lineal es aquella que se expresa de la forma y= mx + b, donde m y b son nmeros reales y contiene una pendiente m. Las frmulas que intervienen en

la funcin lineal son:

d= (2 1) + (2 1)

m= tg

m=2121

m=-a/b b=-c/a

m1m2=-1

Ecuacin punto pendiente:

y-y1 = m(x-x1)

Ejercicios:

Hallar la distancia entre A (6,8) y B (-4,2)

d=(4 6)2 + (2 8) m=2121

m=tg

d=102 + 6 m= 28

46 0,6=tag

= 100 + 36 m=0,6 tg-10,6=

= 136 =11,66 30.96= 30,57, 49=

Hallar la distancia entre A (-4,6) y B (6,-3)

d=(6 + 4)2 + (3 6) m=2121

m=tg

d=102 + (9) m= 36

6+4- 0, 9=tag

= 100 + 81 m=-0,9 tg-1-0,9=

= 181 =13,45-41,99= = 180-41, 99 = 138, 01 =138, 0, 46

Hallar m si tenemos la ecuacin -3x+5y-1=0

a= -3 b=5 c=-1

m=-a/b m=-(3)/5 m=3/5 m=0,6

Demostrar si es que las dos rectas son perpendiculares:

Recta 1= (-3,-3) (4,4) recta 2= (-2,3) (4,-2)

m1=2121

m2=2121

m1m2= -1

40

m1= 4+3

4+3m2=

23

4+2 1(-5/6)=-0,833

m1= 1 m2=-5

6

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto:

a) (5,-4) y tiene una m=-2 b)(-2,1) y tiene una pendiente m=2/5

y-y1=m(x-x1) y-y1=m(x-x1)

y+4=-2(x-5)y-1=2/5(x+2)

y+4=-2x+10 5y-5=2x+4

y=-2x+6 5y=2x+9

c) (0,3) y tiene una m=2,58d)(0,10) y tiene una pendiente m=-2

y=mx+b y=mx+b

y=2,58+3 y=-2x+10

e)(3,-2) y (-1,10)

m=2121

y-y1=m(x-x1)

m= 10+2

13 y+2=-3(x-3)

m=-3 y+2=-3x+9

y=-3x+7

APLICACIN DE LA FUNCIN LINEAL

Encuentre la oferta, demanda, la ecuacin de la oferta, la ecuacin de la demanda,

el punto de equilibrio y las ventas mximas y mnimas de la oferta y demanda:

Cuadro 1 Cuadro 2

Ecuaciones:

DEMANDA

m=2121

y-y1=m(x-x1) m=2121

y-y1=m(x-x1)

m= 45001500

25008500 y-1500=-0,5(x-8500) m=

50003000

1500500 y-3000=2(x-500)

m=-0,5 y-1500=-0,5x+4250 m=2 y-3000=2x-1000

y=-05x+5750 y=2x+2000

Punto de equilibrio:

-05x+5750=2x+2000y=2x+2000

periodo ventas Cant. vendida

A 3000 500

B 5000 1500

periodo ventas Cant. vendida

A 1500 8500

B 4500 2500

Se debera vender 1500

unidades y obtener un ingreso

de $5000 para estar en nuestro

punto de equilibrio.

OFERTA

41

-2,5x=-3750 y=2(1500)+2000

x=1500 y=5000

Puntos mximos de:

Demanda Oferta:

Un comerciante puede vender 20 rasuradoras al da al precio de $25 cada una,

pero puede vender 30 si les fija un precio de 420 cada una.

Determine la ecuacin de demanda suponiendo que es lineal.

P1 (20,25) p2(30,20)

m=2121

y-y1=m(x-x1)

m= 2025

3020 y-25=-0,5(x-20)

m=-0,5 y-25=-0,5x+10

y=-0.5x+35

Un fabricante produce artculos a un costo variable de 0,85 cada uno y los costos

fijos $280 al da si cada artculo puede venderse a 1,10 encuentren el punto de

equilibrio.

CV=0,85x 0,85x+280=1,10x y=1,10(1120)

Ct=0,85x+280 0, 85x-1,10x=-280 y=1232

I=p.q -0,25x=-280

I=1,10x x=1120

La ecuacin de demanda es 3p+5x=22 y de oferta 2p-3x=2. Hallar el punto de

equilibrio.

5+22

3=

3+2

2 3p+5(2) =22

X 0 11500

y 5750 0 X -1000 0

y 0 2000

Si la cantidad vendida es cero

las ventas no pueden bajar de

$2000, y si las ventas son de

cero la cantidad vendida no

puede sobrepasar de 11500, y

si la cantidad de ventas es cero

las ventas no pueden

sobrepasar de 5750.

El fabricante tiene que

producir 1120 unidades

o tener un ingreso de

$1232 para estar en un

punto de equilibrio.

42

-10x+44=9x+6 3p+10=22

44-6=10x+9x 3p=12

38=19x p=4

2=x

La demanda para los bienes producidos est dada por p2+x2=169, la oferta es

p=x+7. Cules son el precio y cantidad para el punto de equilibrio?

P2+x2=169 p=x+7

(x+7)2+x2=169 p=5+7

X2+14x+49+x2=169 p=12

2x2+14x-120=0

X2+7x-60=0

(x+12)(X-5)=0

X=-12 x=5

A un precio de $2,50 por unidad, una empresa ofrecer 8000 camisetas al mes, a

$4 cada una la empresa producir 14000 camisetas al mes. Determine la ecuacin

de la oferta suponiendo que es lineal.

P1 (8000; 2,50) p2 (14000; 4)

m=2121

y-y1=m(x-x1)

m= 42,50

140008000 y-2,50=0,00025(x-8000)

m=0,00025 y-2,50=0,00025x-2

y=0,00025x+0,50

La curva de oferta de un artculo es x=1,1y-0,1.Hallar:

a) El precio si la cantidad de oferta es 0,5

b) La cantidad ofrecida si el precio es 8

c) Cul es el menor precio al que se ofrecer este artculo?

a) x=1,1y-0,1 b) x=1,1y-0,1 c) x=1,1y-0,1 0,5=1,1y-0,1 x=1,1(8)-0,1 0=1,1y-0,1

0,6=1,1y x=8,8-0,1 0,1=1,1y

0,545=y x=8,7 0,09=y

Un artesano vende su producto a $5 la unidad

a) Cul es el ingreso de ventas de 5000 unidades, la ecuacin y grafique?

b) Los costos fijos son de $3000, hallar al funcin y superponerla en la grfica

c) Cul es el costo total cuando se venden 5000 unidades si se estima que el costo

variable es el 40% de los ingresos? Grafique

43

d) Cul es el punto de equilibrio y grafique?

e) Cul es la cantidad de precio en que este artesano cubre los costos fijos?

a) I=p.q b) y=3000 c) CV=40%I CT=CF+CV m=2 b=3000

I=5x CV=40 %( 25000) CT=3000+10000 y= mx + b

I=5(5000) CV=10000 CT=13000

y=2x+3000

I=25000

d) I=CT y=5x e) CV I=5X 5X=2X+3000 y=5(1000) y=3000 y=5X

3X=3000 y=5000 5X=3000

X=1000 X=600

El artesano debe

vender 1000

unidades tener

un ingreso de

$5000 para estar

en el punto de

equilibrio.

Para que el

artesano cubra

los costos fijos

debe de vender

600 unidades

tener un ingreso

de $3000.

45

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

CONTABILIDAD Y AUDITORA

MATEMTICA I

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO Y

RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS

INTEGRANTES:

PAOLA NEZ

JHERSON QUICHIMBO

JESSICA SANTACRUZ

ARQUITECTO ALBERTO ARROYO

CA1 1

Grupo N 2

46

Desigualdades con valor absoluto

Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor

absoluto con una variable dentro.

Tambin observamos en dicho captulo que representa la distancia del origen al

punto , y de forma ms general que representa la distancia entre y .

Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy

bien con respecto a la multiplicacin y la divisin, pero no as con respecto a la adicin

y la sustraccin.

Propiedades del valor absoluto.

Si y son nmeros reales arbitrarios entonces

1.

2.

3. ,

4. (Desigualdad triangular)

5. y 1

Desigualdades de valor absoluto (

47

As, x > -4 Y x < 4. El conjunto solucin es.

Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.

Caso 1: La expresin dentro de los smbolos de valor absoluto es positiva.

Caso 2: La expresin dentro de los smbolos de valor absoluto es negativa.

La solucin es la interseccin de las soluciones de estos dos casos.

En otras palabras, para cualesquiera nmeros reales a y b, si | a | < b, entonces a < b Y a >

- b.

Ejemplo 1:

Resuelva y grafique.

|x 7| < 3

Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad

compuesta.

x 7 < 3 Y x 7 > 3

3 < x 7 < 3

Sume 7 en cada expresin.

-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7

4 < x

48

Desigualdades de valor absoluto (>):

La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.

As, x < -4 O x > 4. El conjunto solucin es.

Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.

Caso 1: La expresin dentro de los smbolos de valor absoluto es positiva.

Caso 2: La expresin dentro de los smbolos de valor absoluto es negativa.

En otras palabras, para cualesquiera nmeros reales a y b , si | a | > b, entonces a > b O a <

- b .

Ejemplo 2:


Separe en dos desigualdades.

Reste 2 de cada lado en cada desigualdad. (Hotmath, s.f.)2

La grfica se vera as:

Desigualdades Cuadrticas

Una desigualdad se llama cuadrtica si tiene alguna de las formas siguientes:

2 (Hotmath, s.f.)

49

Con .

Antes de indicar como se resuelven estas desigualdades, recordamos que las soluciones

de la ecuacin cuadrtica donde son

Adems, fcilmente se verifica que y satisfacen las siguientes relaciones

La ltima frmula nos proporciona un mtodo para factorizar cualquier trinomio de la

forma en todos los casos posibles.

Veamos ahora como se resuelven las desigualdades cuadrticas. Una primera

simplificacin que podemos hacer es suponer que , pues en caso contrario,

multiplicando la desigualdad por , esta se transforma en otra desigualdad cuadrtica

con .

Se presentan dos casos

Caso 1 Si .

En este caso la ecuacin cuadrtica tiene races reales y ,

podemos factorizar el trinomio en la forma , y la

desigualdad se resuelve como en el ejemplo 2.39.

Caso 2 Si .

En este caso las races de la ecuacin no son reales, sino complejas,

y la factorizacin no sirve para resolver la desigualdad.

Para resolver la desigualdad en este caso procedemos de la siguiente forma:

Completando el cuadrado tenemos

50

Por lo tanto las desigualdades cuadrticas se transforman en su orden en

Como estamos suponiendo que y sabemos que , las dos primeras

desigualdades son vlidas para todo nmero real y las dos ltimas para ninguno.

Ejemplo

Resolvamos la desigualdad

.

En este caso . Por lo tanto la

ecuacin tiene races reales que son

Luego la factorizacin de es

51

Y la desigualdad original es equivalente a

Elaborando el diagrama de signos tenemos

Vemos que la solucin de la desigualdad es el intervalo 3

3 (Bogot, s.f.)

52

Desigualdades con valor absoluto

Una desigualdad de valor absoluto es una

desigualdad que tiene un signo de valor

absoluto con una variable dentro.

Tambin observamos en dicho captulo

que representa la distancia del origen al

punto , y de forma ms general

que representa la distancia

entre y .

Propiedades del valor absoluto.

Si y son nmeros reales arbitrarios

entonces

1.

2.

3. ,

4. (Desigualdad

triangular)

y

Ejemplo 1:


|x 7| < 3

Para resolver este tipo de desigualdad,

necesitamos descomponerla en

una desigualdad compuesta.

x 7 < 3 Y x 7 > 3

3 < x 7 < 3

Sume 7 en cada expresin.

-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7

4 < x

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Mate Primer Hemi 2014