Funcoes periodicas, pares e ımpares Graficos de funcoes trigonometricas Exercıcios

MA093 – Matematica basica 2Funcoes trigonometricas e seus graficos - Parte 1

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Setembro de 2018

Funcoes periodicas, pares e ımpares Graficos de funcoes trigonometricas Exercıcios

Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 Funcao periodica. Funcao par e ımpar.

2 Graficos do seno e do cosseno.

3 Transformacoes de graficos de funcoes trigonometricas.

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Funcao periodica

Definicao

Uma funcao e periodica se existe um valor p tal que, para todo xpertencente ao domınio de f ,

f (x + p) = f (x).

O menor valor de p tal que f (x + p) = f (x) e chamado perıodo.

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Funcao par

Definicao

Uma funcao e par se e somente se, para todo x pertencente aodomınio de f ,

f (−x) = f (x).

Outras funcoes pares: f (x) = |x | e g(x) = x2

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Funcao ımpar

Definicao

Uma funcao e ımpar se e somente se, para todo x pertencente aodomınio de f ,

f (−x) = −f (x).

Outras funcoes ımpares: f (x) = 5x e g(x) = x3

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Grafico do seno

A tabela abaixo fornece sen(x) para alguns valores conhecidos de x(aqui, usamos exclusivamente radianos).

x 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π 3π

2 2π

sen(x) 0 12

√2

2

√3

2 1√

32

√2

212 0 −1 0

Grafico de sen(x)para x ∈ [0, 2π].

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Funcao seno

A funcao seno

tem como domınio todo o conjunto de reais (R);

tem como imagem o intervalo [−1, 1];

e contınua;

e periodica, com perıodo 2π;

e ımpar, ou seja, sen(−θ) = −sen(θ).

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Grafico do cosseno

A tabela abaixo fornece cos(x) para alguns valores conhecidos de x(mais uma vez, usamos exclusivamente radianos).

x 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π 3π

2 2π

cos(x) 1√

32

√2

212 0 − 1

2 −√

22 −

√3

2 −1 0 1

Grafico de cos(x)para x ∈ [0, 2π].

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Funcao cosseno

A funcao cosseno

tem como domınio todo o conjunto de reais (R);

tem como imagem o intervalo [−1, 1];

e contınua;

e periodica, com perıodo 2π;

e par, ou seja, cos(−θ) = cos(θ).

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Trocando o sinal

Invertendo o seno

y = −sen(x)

Curva azul: y = sen(x);

Curva vermelha: y = −sen(x);

A troca de sinal provoca uma reflexao em torno do eixo-x.

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Esticando e comprimindo na vertical

Esticando o seno

y = a · sen(x)

Curva azul: y = sen(x);

Curva vermelha: y = 2sen(x);

Curva verde: y = 12sen(x).

O fator |a| e chamado amplitude do grafico.

Esticamento: |a| > 1. Encolhimento: |a| < 1.

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Esticando e comprimindo na horizontal

Esticando o seno

y = sen(c · x)

Curva azul: y = sen(x);

Curva vermelha: y = sen(2x);

Curva verde: y = sen( x2 ).

O perıodo e dividido pelo fator c > 0.

Esticamento: 0 < c < 1. Encolhimento: c > 1.

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Transladando na vertical

Movendo o seno

y = k + sen(x)

Curva azul: y = sen(x);

Curva vermelha: y = sen(x) + 1;

Curva verde: y = sen(x)− 1.

A curva e deslocada verticalmente pelo valor k .

Para cima: k > 0. Para baixo: k < 0.

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Transladando na horizontal

Movendo o seno

y = sen(x − b)

Curva azul: y = sen(x);

Curva vermelha: y = sen(x + π/4);

Curva verde: y = sen(x − π/4).

Curva preta: y = cos(x).

A curva e deslocada horizontalmente pelo valor |b|.Para a direita: b > 0. Para a esquerda: b < 0.

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Exemplo

Problema

Tracar o grafico de f (x) = 1 + 2sen(3x)

Transformando o seno

y = k + a · sen(c · (x − b))

Perıodo: 2π/c = 2π/3 (≈ 2, 1)

Amplitude: |a| = 2

Deslocamento vertical: k = 1

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Exercıcio 1

Problema

A figura abaixo mostra o grafico de uma funcao periodica.Determine o perıodo e a amplitude da funcao.

perıodo: 4,8 Amplitude: 1,6

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Exercıcio 2

Problema

Qual das figuras abaixo mostra o grafico de uma funcao ımpar?

(A)

(B)

(C)

(D)

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Exercıcio 3

Problema

Qual das figuras abaixo mostra o grafico de uma funcao par?

(A)

(B)

(C)

(D)

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Exercıcio 4

Problema

Suponha que f seja uma funcao ımpar e periodica, com perıodo10. O grafico da funcao no intervalo [0, 5] e apresentado abaixo.

Complete o grafico de f no intervalo [−10, 10].

Calcule o valor de f (99).

f (99) = −2

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Exercıcio 5

Problema

1 Trace o grafico de cos(x) para x ∈ [−2π, 2π]

2 Trace o grafico de 32cos( x2 ) para x ∈ [−2π, 2π]

Dica: escolha valores de x no intervalo fornecido, monte umatabela com pares ordenados (x , y), passe os pontos para o planoCartesiano e aproxime-os por meio de uma curva suave.