Lógica Matemática - cs.us.es · Facultad de Matemáticas Universidad de Sevilla Lógica Matemática Curso: 2011–2012

Facultad de Matematicas

Universidad de Sevilla

Logica Matematica

Curso: 2011–2012

Contenido

A Introduccion a la Teorıa de Modelos 1

I. Lenguajes de primer orden 3

1. Sintaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.A. Terminos y Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.B. Sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Semantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Relaciones entre estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.A. Homomorfismos, inmersiones e isomorfismos . . . . . . . . . . . 16

3.B. Equivalencia elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.C. Subestructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.A. El lenguaje L= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.B. Las estructuras Q y R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II. Teorıas de primer orden 25

1. Teorema de la validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.A. Valoraciones de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.B. Axiomas Logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.C. Reglas de Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.D. Teorıas y pruebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. El teorema de tautologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Teoremas sobre cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Los teoremas de la deduccion y de constantes . . . . . . . . . . . . . . 35

5. El teorema de igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

i

II Contenido

6. Relaciones entre teorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.A. Extensiones de teorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.B. Teorıas consistentes. Teorema de la reduccion . . . . . . . . . . 40

6.C. Teorıas completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7. Formas prenex. Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.A. Teorıas sobre L= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.B. La teorıa Th(NS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III. Los teoremas de completitud y compacidad 53

1. El teorema de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.A. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.B. La estructura canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.C. Teorıas de Henkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2. El teorema de compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.A. El teorema de compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.B. El argumento topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.A. Teorıas sobre el lenguaje L= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.B. La teorıa Th(NS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.C. Ordenes totales densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. Extensiones conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.A. El teorema de extensiones funcionales . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.B. Extensiones por definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

B Teorıa de la Recursion 81

IV. Funciones Recursivas 83

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2. Funciones Primitivas Recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3. La funcion β de Godel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Contenido III

4. Funciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5. Eliminacion de la recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6. Enumeracion y Parametrizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

V. Conjuntos recursivamente enumerables 111

1. Conjuntos recursivamente enumerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2. Indecidibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3. El teorema de recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

C Los Teoremas de Incompletitud 121

VI. La Aritmetica de Peano 123

1. El lenguaje de primer orden de la Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . 123

1.A. Sintaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1.B. El modelo estandar. Conjuntos ∆01 y Σ0

1 . . . . . . . . . . . . . 125

2. Aritmetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3. Modelos no estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.A. Numerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.B. La inmersion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4. La teorıa P− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.A. La teorıa P− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.B. Incompletitud de P− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.C. Representabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.D. Incompletitud e indecidibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5. La Aritmetica de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.A. La Aritmetica de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.B. Overspill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.C. Modelos no estandar de PA y ordenes totales . . . . . . . . . . 149

6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

VII. Los teoremas de incompletitud 153

IV Contenido

1. El lema diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

1.A. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

1.B. El lema diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1.C. Conjuntos recursivamente enumerables . . . . . . . . . . . . . . 157

2. El primer teorema de incompletitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.A. Version de Godel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.B. Version de Rosser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3. El segundo teorema de incompletitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.A. El predicado ThT(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.B. El segundo teorema de incompletitud . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.C. Propiedades de puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Parte A

Introduccion a la Teorıa de Modelos

1

Capıtulo I

Lenguajes de primer orden

§1 Sintaxis

1.A Terminos y Formulas

Definicion I.1.1. (Sımbolos). Un lenguaje de primer orden es un conjunto de sımbo-los. Los sımbolos de un lenguaje de primer orden L son de los siguientes tipos:

(a) Logicos (comunes a todos los lenguajes de primer orden):

(–) Variables: v0, v1, v2, v3, . . .

(–) Predicados: = (igualdad), predicado binario.

(–) Conectivas:

¬ (negacion)∨ (disyuncion)

}proposicionales

∃ (cuantificador existencial).

(b) No logicos:

(–) Constantes.

(–) Funciones: para cada n > 0, sımbolos de funciones n–arias.

(–) Predicados: para cada n > 0, sımbolos de predicados n–arios.

Para describir un lenguaje de primer orden es suficiente dar el conjunto de sus sımbolosno logicos.

Notas I.1.2.

(a) Usaremos, con o sin subındices, las siguientes variables sintacticas:

(a.1) x, y, z, . . . para designar variables.

(a.2) f ,g,h para designar sımbolos de funciones.

(a.3) c para de designar sımbolos de constantes.

3

4 1. Sintaxis

(a.4) p,q, r para designar sımbolos de predicados.

(b) Los conjuntos de los sımbolos de constantes, funciones y predicados de L losrepresentaremos por LC, LF y LP, respectivamente.

(c) Sean L y L′ lenguajes de primer orden. Diremos que L es un sublenguaje de L′,L ⊆ L′, si todo sımbolo no logico de L es un sımbolo no logico de L′.

(d) Sea L un lenguaje de primer orden. El cardinal de L, card(L), es el cardinal delconjunto de sımbolos de L. Puesto que L tiene un numero numerable de sımboloslogicos,

card(L) = ℵ0 + card(LC) + card(LF) + card(LP).

Ejemplos I.1.3. Damos seguidamente algunos ejemplos de lenguajes de primer orden.Usando estos lenguajes se estudian propiedades de las teorıas matematicas que sedescriben sobre ellos.

(a) El lenguaje sin sımbolos no logicos, L=.

(b) Teorıa de conjuntos: tiene un unico sımbolo no logico, el predicado binario ∈.

(c) Teorıa de grupos, LG: consta de{+, funcion binaria;0, constante (elemento neutro).

(d) Ordenes, LO: un predicado binario, <.

(e) Teorıa de cuerpos, LF: el lenguaje consta de:

+, ·, funciones binarias;−, funcion 1–aria;0,1, constantes.

(f) Teorıa de numeros (aritmetica), LA: el lenguaje consta de:

+, ·, funciones binarias;S, funcion 1–aria;0, constante;<, predicado binario.

El lenguaje formal para describir una teorıa matematica no esta univocamente determi-nado. Por ejemplo, es posible estudiar la teorıa de grupos en los siguientes lenguajes:

LG1

+, funcion binaria;0, constante;−, funcion 1–aria (opuesto).

LG2 p predicado 3–ario.

En LG2, p representa al grafo de la suma. La eleccion de un lenguaje formal parael estudio de una teorıa esta condicionada por la naturaleza de los problemas que sedeseen analizar.

Capıtulo I. Lenguajes de primer orden 5

Nota I.1.4.

(a) Una expresion de un lenguaje de primer orden L es una sucesion finita de sımbolosde L.

(b) En la siguiente definicion describiremos las expresiones de los lenguajes de primerorden en las que estamos interesados: terminos y formulas.

(b.1) Los terminos describen elementos del universo de discurso.

(b.2) Las formulas determinan (todas) las propiedades que podemos formular so-bre los elementos del universo de discurso.

Definicion I.1.5. Sea L un lenguaje de primer orden.

(a) Terminos: El conjunto de los terminos de L se define recursivamente como sigue:

(a.1) Toda variable y toda constante es un termino.

(a.2) Si f es un sımbolo de funcion n–aria, 0 < n, y t1, . . . , tn son terminos,entonces ft1 . . . tn es un termino.

(b) Formulas: El conjunto de las formulas de L se define recursivamente como sigue:

(b.1) Si p es un sımbolo de predicado n–ario y t1, . . . , tn son terminos, entoncespt1 . . . tn es una formula.

(b.2) Si ϕ es una formula, entonces ¬ϕ es una formula.

(b.3) Si ϕ, ψ son formulas, entonces ∨ϕψ es una formula.

(b.4) Si ϕ es una formula y x es una variable, entonces ∃xϕ es una formula.

Notacion I.1.6.

(a) Al conjunto de los terminos de L lo denotaremos por Term(L). Usaremos a,b, t,con o sin subındices, para denotar terminos.

(b) Las formulas obtenidas en I.1.5-(b.1) se llaman atomicas, y al conjunto formadopor estas lo notaremos por At(L).

(c) Al conjunto de formulas de un lenguaje de primer orden L lo notaremos porForm(L). Usaremos ϕ, ψ, θ, . . ., con o sin subındices, para denotar formulas.

(d) Sean s y s′ son sucesiones finitas de sımbolos de un lenguaje de primer orden.Usaremos s ≡ s′ para indicar que son la misma sucesion de sımbolos. Es decir, sis es s1 . . . sn y s′ es s′1 . . . s

′k, entonces

s ≡ s′ ⇐⇒{n = k ∧(∀j)1≤j≤n (sj es s′j).

Por tanto,

(–) t ≡ t′ indica que t y t′ son los mismos terminos.

(–) ϕ ≡ ψ indica que ϕ y ψ son las mismas formulas.

Notas I.1.7. (Pruebas por induccion).

6 1. Sintaxis

(a) Para probar que todos los terminos de un lenguaje L tienen una propiedad P essuficiente probar que:

(a.1) Toda variable tiene la propiedad P .

(a.2) Toda constante tiene la propiedad P .

(a.3) Si f es un sımbolo de funcion n–aria y t1, . . . , tn son terminos que tienen lapropiedad P , entonces ft1 . . . tn tiene la propiedad P .

(b) Para probar que todas las formulas de un lenguaje L tienen una propiedad P essuficiente probar que:

(b.1) Todas las formulas atomicas tienen la propiedad P .

(b.2) Si ϕ y ψ tienen la propiedad P , entonces

∨ϕψ tiene la propiedad P ;¬ϕ tiene la propiedad P ;∃xϕ tiene la propiedad P .

Este proceso de prueba lo denominaremos: prueba por induccion sobre la longitud determinos y formulas.

Notacion I.1.8. (Nuevas conectivas y cuantificadores). En lo que sigue usare-mos las siguientes abreviaturas:

(a)

Escribiremos en lugar de

ϕ ∨ ψ ∨ϕψ;∀xϕ ¬∃x¬ϕ;ϕ→ ψ ¬ϕ ∨ ψ;

Escribiremos en lugar de

ϕ ∧ ψ ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ);ϕ↔ ψ (ϕ→ ψ) ∧ (ψ → ϕ).

(b) Cuando usemos una conectiva para concatenar una sucesion de formulas supon-dremos que asociamos desde la derecha. Por ejemplo,

ϕ1 ∨ ϕ2 ∨ ϕ3 es ϕ1 ∨ (ϕ2 ∨ ϕ3),

ϕ1 → ϕ2 → ϕ3 es ϕ1 → (ϕ2 → ϕ3).

Escribiremos∧1≤i≤n ϕi en lugar de ϕ1∧ . . .∧ϕn. Analogamente para∨1≤i≤n ϕi.(c) Escribiremos:

(c.1) f(t1, . . . , tn) en lugar de ft1 . . . tn.

(c.2) p(t1, . . . , tn) en lugar de pt1 . . . tn.

(c.3) Para sımbolos de funciones o predicados binarios es usual escribir el sımbolode la funcion o predicado entre los dos terminos. Para negar un predicadobinario se suele escribir una lınea inclinada, de derecha a izquierda, sobre elsımbolo de predicado. Por ejemplo,

Se escribe en lugar de

x+ y +xy;x · 0 ·x0;

x+ z < w <+xzw;x = y =xy.

Se escribe en lugar de

x /∈ y ¬∈xy;x 6= y ¬=xy;x 6< y ¬<xy.


Ejemplos I.1.9.

(a) En la teorıa de conjuntos los unicos terminos son las variables.

(b) Las expresiones que siguen son terminos de los lenguajes que se indican, quefueron introducidos en I.1.3:

(b.1) +x·y0, teorıa de cuerpos.

(b.2) +x++y00, teorıa de grupos.

(b.3) −+x+y−+0z, teorıa de grupos LG1.

(b.4) ·SSyz, teorıa de numeros.

La definicion dada para describir el conjunto de los terminos nos permite prescin-dir de los parentesis como sımbolos del lenguaje. Sin embargo, es mas comunescribir (informalmente) los terminos anteriores como sigue:

x+ (y · 0), x+ ((y + 0) + 0), −(x+ (y + (−(0 + z)))), S(S(y)) · z.En la medida de lo posible sera esta notacion, informal, la que usaremos.

(c) Las expresiones que siguen son formulas de los lenguajes que se indican, quefueron introducidos en I.1.3:

(c.1) ∈xy, teorıa de conjuntos.

(c.2) ∃x∈xy, teorıa de conjuntos (y es no vacıo).

(c.3) ¬∃x¬∃y=+xy0, teorıa de grupos (todo elemento tiene un opuesto).

(c.4) ∨=x0∃y=·xy1, teorıa de cuerpos (todo elemento distinto de cero tiene uninverso).

(c.5) ¬∨¬<S0z¬¬∃x¬¬∃y¬∨¬=·xyz ∨=xS0=xz, teorıa de numeros (z es pri-mo).

Como en el caso de los terminos es mas usual escribir informalmente las formulasanteriores como sigue (usando las conectivas introdudidas en I.1.8).

x ∈ y, ∃x (x ∈ y), ∀x∃y (x+ y = 0), x 6= 0→ ∃y (x · y = 1),

S(0) < z ∧ ∀x∀y (x · y = z → x = S(0) ∨ x = z).

Usaremos esta notacion para representar formulas.

1.B Sustitucion

Definicion I.1.10. (Variables libres y ligadas).

(a) Cada vez que un sımbolo ocurre en una expresion diremos que es una estanciade ese sımbolo en la expresion.

(b) Diremos que una expresion es sin variables si no contiene estancias de sımbolosde variables.

(c) Una estancia de una variable x en una formula ϕ es ligada, cuando esa estanciade x ocurre en una parte de ϕ de la forma ∃xψ. En caso contrario, se dice libre.

(d) Una variable x es libre (resp. ligada) en una formula ϕ, cuando en ϕ se da al

8 1. Sintaxis

menos una estancia libre (resp. ligada) de x.

Nota: Una variable puede ocurrir libre y ligada en una formula.

(e) Diremos que una formula ϕ es cerrada si no tiene variables libres.

Notas I.1.11. Notaremos por

(a) Term0(L) a la coleccion de los terminos sin variables de L.

(b) Vl(ϕ) al conjunto de las variables libres de ϕ. Usaremos ϕ(x1, . . . , xn) para indicarque Vl(ϕ) ⊆ {x1, . . . , xn}.

(c) Sent(L) al conjunto de las formulas cerradas de L.

(d) Var(u) al conjunto de variables que ocurren en u, u es una expresion de L.Usaremos t(x1, . . . , xn) para indicar que Var(t) ⊆ {x1, . . . , xn}.

Lema I.1.12.

(a) Si ϕ es atomica, entonces Vl(ϕ) = Var(ϕ); es decir, la coleccion de las variableslibres de ϕ es el conjunto de las variables que ocurren en ϕ.

(b) Vl(¬ϕ) = Vl(ϕ).

(c) Vl(ϕ ∨ ψ) = Vl(ϕ) ∪Vl(ψ).

(d) Vl(∃xϕ) = Vl(ϕ)− {x}.

Definicion I.1.13. Sean a y b terminos y ϕ una formula.

(a) bx[a] es la expresion que se obtiene de b sustituyendo las estancias de x en b porel termino a.

(b) ϕx[a] es la expresion que se obtiene de ϕ sustituyendo las estancias libres de xen ϕ por a.

Cuando sea claro por el contexto escribiremos b(a) en lugar de bx[a] y ϕ(a) en lugarde ϕx[a].

Ejemplos I.1.14.

(a) Si b es +Sxy (es decir, S(x) + y) y a es ·S0z (es decir, S(0) · z), entonces bx[a]es +S · S0zy (es decir, S(S(0) · z) + y).

(b) Si ϕ es ∨∃x = Sxy < Sxz (es decir, ∃x (S(x) = y) ∨ S(x) < z) y a es +0y(es decir, 0 + y), entonces ϕx[a] es ∨∃x = Sxy < S + 0yz (es decir, ∃x (S(x) =y) ∨ S(0 + y) < z).

Lema I.1.15. En las condiciones de la definicion I.1.13 se tiene que:

(a) bx[a] es un termino.

(b) ϕx[a] es una formula.


Demostracion: ((a)): Si x no ocurre en b, entonces bx[a] es b, que es un termino.Supongamos que x ocurre en b. Realizaremos la prueba por induccion sobre la longitudde b (ver I.1.7).

Caso 1: b es una variable. Entonces, como x ocurre en b, se tiene que b es x. Luego,bx[a] es a, que es un termino.

Caso 2: b no es una variable. Entonces existe un sımbolo de funcion n–ario, f , y termi-nos t1, . . . , tn tales que b es f(t1, . . . , tn). Luego, bx[a] es f((t1)x[a] . . . (tn)x[a]). Porhipotesis de induccion, (ti)x[a], i = 1, . . . , n, son terminos. Por tanto, bx[a] es untermino.

((b)): Si x no ocurre libre en ϕ, entonces ϕx[a] es ϕ que es una formula. Supongamosque x ocurre libre en ϕ. Realizamos la prueba por induccion sobre la longitud de ϕ.

Caso 1: ϕ es atomica. Entonces existe un sımbolo de predicado n–ario p y terminost1, . . . , tn tales que ϕ es p(t1, . . . , tn). Por tanto, ϕx[a] es p((t1)x[a], . . . , (tn)x[a]). Por(a), (ti)x[a] son terminos. En consecuencia, ϕx[a] es una formula (atomica).

Caso 2: ϕ es ψ ∨ θ. Entonces ϕx[a] es ψx[a]∨ θx[a]. Por hipotesis de induccion, ψx[a] yθx[a] son formulas. Por tanto, ϕx[a] es una formula.

Caso 3: ϕ es ¬ψ. Entonces ϕx[a] es ¬(ψx[a]) y como, por hipotesis de induccion, ψx[a]es una formula, se tiene que ϕx[a] tambien lo es.

Caso 4: ϕ es ∃z ψ. Como x ocurre libre en ϕ, z no es x. Entonces ϕx[a] es ∃z (ψx[a]).Por hipotesis de induccion, ψx[a] es una formula. Por tanto, ϕx[a] es una formula. ¥

Notas I.1.16. El lema anterior prueba que sintacticamente el proceso de sustituciones correcto. Sin embargo, semanticamente este proceso de sustitucion presenta algunasanomalıas. Por ejemplo:

(–) Si ϕ es ∃y (x = 2 ·y) y a es y+1, entonces ϕx[a] es ∃y (y+1 = 2 ·y). El contenidosemantico de ϕ es: x es par, sin embargo el de ϕx[a] es: y es 1.

(–) Si ϕ es ∃y (x 6= y) y a es y, entonces ϕx[a] es ∃y (y 6= y). El contenido semanticode ϕ es: existen al menos dos elementos, sin embargo el de ϕx[a] es: existe unelemento distinto de el mismo. Existen situaciones en las cuales es correcta ϕ,pero ϕx[a] no es nunca valida.

Para evitar situaciones como las descritas en el punto anterior limitaremos el uso de lasustitucion.

Definicion I.1.17. Sea ϕ ∈ Form(L). Una expresion u es una subformula de ϕ si esuna formula de L y ocurre en ϕ. Es decir, existen s′ y s′′ expresiones de L tales queϕ ≡ s′us′′. Notaremos por SbF(ϕ) al conjunto de las subformulas de ϕ.

Lema I.1.18. Sea ϕ ∈ Form(L).

(a) Si ϕ ∈ At(L), entonces SbF(ϕ) = {ϕ}.

10 2. Semantica

(b) Si ϕ es ψ ∨ θ, entonces SbF(ϕ) = {ϕ} ∪ SbF(ψ) ∪ SbF(θ).

(c) Si ϕ es ¬ψ, entonces SbF(ϕ) = {ϕ} ∪ SbF(ψ).

(d) Si ϕ es ∃y ψ, entonces SbF(ϕ) = {ϕ} ∪ SbF(ψ).

Definicion I.1.19. Una variable x es sustituible por un termino t en una formula ϕ,si para cada variable z que ocurre en t, todas las subformulas de ϕ de la forma ∃z ψno contienen estancias de x libres en ϕ.

Notas I.1.20.

(a) Siempre que escribamos ϕx[t] entenderemos que x es sustituible por t en ϕ.

(b) bx1,...,xn [t1, . . . , tn] es el termino que se obtiene de b sustituyendo simultaneamen-te todas las estancias de x1, . . . , xn en b por t1, . . . , tn, respectivamente.

(c) ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn] es la formula que se obtiene de ϕ sustituyendo simultaneamen-te todas las estancias libres de x1, . . . , xn en ϕ por t1, . . . , tn, respectivamente.

(d) Sea ϕ(x1, . . . , xn) una formula. Si es claro, por el contexto, que en ϕ(~x) sustitui-mos las variables x1, . . . , xn por los terminos t1, . . . , tn, escribiremos ϕ(t1, . . . , tn)en lugar de ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn]. Para terminos escribiremos b(t1, . . . , tn) en lugarde bx1,...,xn [t1, . . . , tn].

(e) Vamos a describir un proceso para realizar las operaciones descritas en (b) y (c)usando la operacion de sustitucion definida en I.1.13. Lo haremos solo para elcaso de formulas.

Sean y1, . . . , yn nuevas variables que no ocurran en ϕ ni en t1, . . . , tn. Definimosrecursivamente las formulas ϕj, j = 1, . . . , n, como sigue

ϕ1 es ϕx1 [y1],

ϕj+1 es ϕjxj+1[yj+1], si j < n.

Consideremos las formulas ψj, j = 1, . . . , n, siguientes:

ψ1 es ϕny1 [t1],

ψj+1 es ψjyj+1[tj+1], si j < n.

Se tiene que

Aserto I.1.20.1. ψn es ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn].

§2 Semantica

Definicion I.2.1. (Estructuras). Sea L un lenguaje de primer orden. Una L–estructuraA consta de:

(a) Un conjunto |A| 6= ∅, que denominaremos universo de A.


(b) Para cada sımbolo de constante c de L un elemento |A|, que notaremos cA, ydenominaremos interpretacion de c es A.

(c) Para cada sımbolo de funcion n–ario, 0 < n, f de L, una aplicacion n–aria

fA : |A|n −→ |A|que denominaremos interpretacion de f es A.

(d) Para cada sımbolo de predicado n–ario, p de L (distinto de =), un subconjuntopA de |A|n que denominaremos interpretacion de p es A.

(e) La interpretacion del sımbolo de igualdad =, =A, es el conjunto {(a, a) : a ∈ |A|}.

Notas I.2.2.

(a) Usaremos letras goticas mayusculas para denotar estructuras: A,B,C, . . .

(b) Una L–estructura, A, puede representarse como:

A = 〈|A|, {cA : c ∈ LC}, {fA : f ∈ LF}, {pA : p ∈ LP}〉.(c) Por comodidad en la notacion usaremos el mismo sımbolo para designar a una

estructura y a su universo; es decir, escribiremos a ∈ A en lugar de a ∈ |A|.

Definicion I.2.3. Sea L un lenguaje y A una L–estructura. El cardinal de A, card(A),es el cardinal de su universo.

Ejemplos I.2.4.

(a) El modelo estandar de la Aritmetica: N .

(–) Universo: ω = {0, 1, 2, . . .} (numeros naturales).

(–) Interpretaciones:

0N = 0,SN (n) = n+ 1,n+N m = n+m,n ·N m = n ·m,n <N m ⇐⇒ n < m.

(b) El modelo NS (para el lenguaje LS).

(–) Universo: ω = {0, 1, 2, . . .} (numeros naturales).

(–) Interpretaciones:

{ NS(0) = 0,SNS

(n) = n+ 1.

(c) Ordenes (en el lenguaje de ordenes).

N< =

{Universo: ω;Interpretaciones: n <N< m ⇐⇒ n < m.

Q =

{Universo: Q (numeros racionales);Interpretaciones: q <Q t ⇐⇒ q < t.

R =

{Universo: R (numeros reales);Interpretaciones: r <R s ⇐⇒ r < s.

12 2. Semantica

Definicion I.2.5. (Nombres de individuos). Sea A una L–estructura. Por cadaa ∈ A sea ca un nuevo sımbolo de constante, que denominaremos nombre de a. Allenguaje que se obtiene de L anadiendole una nueva constante ca por cada a ∈ A, lonotaremos por L(A).

Definicion I.2.6. (Interpretacion de terminos: A(t)). Sea A una L–estructura.Por recursion sobre la longitud de t ∈ Term0(L(A)), termino sin variables de L(A),definimos su interpretacion en A, A(t) ∈ A, como sigue:

A(t) =

a, si t es ca donde a ∈ A;cA, si t es el sımbolo de constante c de L;fA(A(t1), . . . ,A(tn)), si t es f(t1, . . . , tn).

Definicion I.2.7. (Validez de formulas: A ² ϕ). Sea A una L–estructura. Por re-cursion sobre la longitud de ϕ ∈ Sent(L(A)), formula cerrada de L(A), definimos si ϕes verdadera en A, A ² ϕ, como sigue:

A ² ϕ ⇐⇒

A(t1) = A(t2), si ϕ es t1 = t2;(A(t1), . . . ,A(tn)) ∈ pA, si ϕ es p(t1, . . . , tn);A 6² ψ, si ϕ es ¬ψ;A ² ψ o A ² θ, si ϕ es ψ ∨ θ;Existe a ∈ A tal que A ² ψx[ca], si ϕ es ∃xψ.

Definicion I.2.8. Sea ϕ ∈ Form(L) y Vl(ϕ) = {x1, . . . , xn}.(a) Sea A una L–estructura. Diremos que

(a.1) a1, . . . , an ∈ A satisfacen a ϕ(x1, . . . , xn) en A, A ² ϕ(a1, . . . , an), si

A ² ϕx1,...,xn [ca1 , . . . , can ].

(a.2) ϕ(~x) es valida en A, A ² ϕ(x1, . . . , xn), si para cualesquiera a1, . . . , an ∈ A,A ² ϕ(a1, . . . , an).

(b) ϕ es logicamente valida, ² ϕ, si para toda L–estructura A, A ² ϕ.

Notas I.2.9.

(a) Como veremos mas adelante en muchas situaciones es conveniente hacer referenciaa cualquier elemento de una estructura desde el lenguaje formal. Sin embargo, engeneral esto no es posible. Por ejemplo, en el lenguaje de la teorıa de grupos, LG,si G es un grupo, sea G(0) = 0 (donde 0 es el elemento neutro de G), entonces0 +G 0 = 0. Por tanto, la interpretacion en G de todo termino sin variables deLG es el elemento neutro de G.

Por esto, en I.2.5 dado un lenguaje L y una L–estructura A se define el lenguajeL(A). Desde L(A) es posible referirse a cualquier elemento del universo de A: sia ∈ A, a = A(ca).

(b) En lo que sigue, relajaremos algo nuestra notacion. Por ejemplo, designaremos


indistintamente por a al elemento a ∈ A y a su nombre ca. Por tanto, escribiremosϕ(a) en lugar de ϕ(ca) (o de ϕx[ca]).

(c) Para las otras conectivas introducidas en I.1.8 el valor de verdad viene determi-nado como sigue. Sean A una L–estructura y ψ y θ formulas cerradas de L(A).

(–) A ² ψ ∧ θ ⇐⇒ A ² ψ y A ² θ.

(–) A 6² ψ → θ ⇐⇒ A ² ψ y A 6² θ.

(–) A ² ∀xψ ⇐⇒ para todo a ∈ A, A ² ψ(a).

(d) Si Vl(ϕ) = {x1, . . . , xn}, son equivalentes:

(–) A ² ϕ.

(–) {(a1, . . . , an) ∈ An : A ² ϕ(a1, . . . , an)} = An.

(–) A ² ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn).

(e) Sean ϕ y θ formulas de L(A).

(–) Si ϕ y ψ son formulas cerradas, entonces

A ² ϕ ∨ ψ ⇐⇒ A ² ϕ o A ² ψ.

(–) (Ejercicio) No se verifica que para cualesquiera formulas no cerradas, ϕ y ψ

A ² ϕ ∨ ψ =⇒ A ² ϕ o A ² ψ.

Definicion I.2.10. Sea A una L–estructura. Diremos que A ⊆ An es definible siexiste ϕ(x1, . . . , xn) ∈ Form(L) tal que:

A = {(a1, . . . , an) ∈ An : A ² ϕ(a1, . . . , an)}.

Nota: Si A = ∅ o A = |A|, entonces A es definible. Basta considerar las formulas x 6= xy x = x.

Definicion I.2.11. Sea L un sublenguaje de L′.

(a) Sea A′ una L′–estructura. Definimos la restriccion de A′ a L, A′|L, como la L–

estructura dada por:

A′|L = 〈|A′|, {cA′ : c ∈ LC}, {fA′ : f ∈ LF}, {pA′ : p ∈ LP}〉.

Esto es, la restriccion de A′ a L consiste en suprimir en A′ la interpretacion delos sımbolos no logicos de L′ que no esten en L. Sin embargo, el universo es elmismo.

(b) Sea A una L–estructura. Diremos que una L′–estructura A′ es una expansion deA a L′ si A′

|L es A. Es decir, una expansion de A a L′ consiste en anadir a A unainterpretacion de cada sımbolo no logico de L′ que no pertenezca a L.

Ejemplo I.2.12. Sea c un sımbolo de constante. Una expasion de N< a LO + cconsiste en anadir a N< una interpretacion del sımbolo de constante c.

La estructura N<,0 sobre LO + c dada por

14 2. Semantica

N<,0 =

Universo: ω;

Interpretaciones:

{n <N<,0 m ⇐⇒ n < m;N<,0(c) = 0.

es una expansion de N< a L + c. Una expansion distinta es

N<,7 =

Universo: ω;

Interpretaciones:

{n <N<,7 m ⇐⇒ n < m;N<,7(c) = 7.

Proposicion I.2.13. Sean L ⊆ L′ lenguajes de primer orden y A′ una L′–estructura.Para toda formula, ϕ, de L(A′

|L),

A′|L ² ϕ ⇐⇒ A′ ² ϕ.

Lema I.2.14. Sean A una L–estructura, t ∈ Term0(L(A)) y a = A(t).

(a) Si b es un termino de L(A) tal que Var(b) ⊆ {x}, entonces

A(b(t)) = A(b(a)).

(b) Si ϕ ∈ Form(L(A)) tal que Vl(ϕ) ⊆ {x}, entonces

A ² ϕ(t) ⇐⇒ A ² ϕ(a).

Demostracion: ((a)): Si x no ocurre en b, entonces no hay nada que probar (b(t)es b(a)). Si x ocurre en b, realizamos la prueba por induccion sobre la longitud de b.

Caso 1: b es una variable. Puesto que x ocurre en b, entonces b es x. Por tanto,

(∗) b(t) es t, y

(∗∗) b(a) es a.

En consecuencia,

A(b(t)) = A(t) [[(∗)]]= a [[hipotesis]]= A(a)= A(b(a)) [[(∗∗)]].

Caso 2: b es f(t1, . . . , tn). Entonces

(∗) b(t) es f(t1(t), . . . , tn(t)), y

(∗∗) b(a) es f(t1(a), . . . , tn(a)).

Por tanto,

A(b(t)) = A(f(t1(t), . . . , tn(t))) [[(∗)]]= fA(A(t1(t)), . . . ,A(tn(t])) [[definicion I.2.6]]= fA(A(t1(a)), . . . ,A((tn(a))) [[hipotesis de induccion]]= A(f(t1(a), . . . , tn(a))) [[definicion I.2.6]]= A(b(a)) [[(∗∗)]].

Lo que prueba (a).


((b)): Si x no es libre en ϕ, el resultado es trivial pues ϕ(t) y ϕ(a) son ϕ. Por tanto,supongamos que x es libre en ϕ. Lo probaremos por induccion sobre la longitud de ϕ.

Caso 1: ϕ atomica. Entonces ϕ es p(t1, . . . , tn). Por tanto,

(∗) ϕ(t) es p(t1(t) . . . tn(t)), y

(∗∗) ϕ(a) es p(t1(a), . . . , tn(a)).

Luego,

A ² ϕ(t) ⇐⇒ (A(t1(t)), . . . ,A(tn(t))) ∈ pA [[(∗) y I.2.7]]⇐⇒ (A(t1(a)), . . . ,A(tn(a))) ∈ pA [[A(ti(t)) = A(ti(a)), (a)]]⇐⇒ A ² p(t1(a), . . . , tn(a)) [[I.2.7]]⇐⇒ A ² ϕ(a) [[(∗∗)]].

Caso 2: ϕ es ψ ∨ θ. Entonces

A ² ϕ(t) ⇐⇒ A ² ψ(t) ∨ θ(t)⇐⇒ A ² ψ(t) o A ² θ(t)⇐⇒ A ² ψ(a) o A ² θ(a) [[hipotesis de induccion]]⇐⇒ A ² ψ(a) ∨ θ(a)⇐⇒ A ² ϕ(a).

Caso 3: ϕ es ¬ψ. Entonces

A ² ϕ(t) ⇐⇒ A ² ¬ψ(t)⇐⇒ A 6² ψ(t)⇐⇒ A 6² ψ(a) [[hipotesis de induccion]]⇐⇒ A ² ¬ψ(a)⇐⇒ A ² ϕ(a).

Caso 4: ϕ es ∃y ψ. Puesto que x es libre en ϕ, y no es x. Ademas, como t es sin variables,y no ocurre en t. [[En la prueba de este caso mantendremos la notacion original]].

A ² ϕx[t] ⇐⇒ A ² ∃y ψx[t]⇐⇒ ∃b ∈ A, A ² (ψx[t])y[b]⇐⇒ ∃b ∈ A, A ² ψx,y[t, b] [[y no ocurre en t]]⇐⇒ ∃b ∈ A, A ² (ψy[b])x[t]⇐⇒ ∃b ∈ A, A ² (ψy[b])x[a] [[hipotesis de induccion]]⇐⇒ ∃b ∈ A, A ² ψx,y[a, b]⇐⇒ ∃b ∈ A, A ² (ψx[a])y[b]⇐⇒ A ² ∃y ψx[a]⇐⇒ A ² ϕx[a].

Lo que prueba (b). ¥

16 3. Relaciones entre estructuras

§3 Relaciones entre estructuras

3.A Homomorfismos, inmersiones e isomorfismos

Definicion I.3.1. Sean A y B L–estructuras.

(a) Diremos que F : A −→ B es un homomorfismo, F : A ' B, si

(a.1) Para todo constante c de L,

F (cA) = cB.

(a.2) Para todo f ∈ LF n–aria y a1, . . . , an ∈ A,

F (fA(a1, . . . , an)) = fB(F (a1), . . . , F (an)).

(a.3) Para todo p ∈ LP n–ario y a1, . . . , an ∈ A,

A ² p(a1, . . . , an) =⇒ B ² p(F (a1), . . . , F (an)).

(b) Diremos que F : A −→ B es una inmersion, F : A ⊂B, si

(b.1) F : A ' B.

(b.2) Para todo p ∈ LP n–ario y a1, . . . , an ∈ A,

A ² p(a1, . . . , an) ⇐⇒ B ² p(F (a1), . . . , F (an)).

Nota: Puesto que = es un sımbolo del lenguaje, si F : A ⊂B, entonces F esinyectiva.

(c) Diremos que F : A −→ B es un isomorfismo, F : A ∼= B, si(c.1) F es biyectiva.

(c.2) F : A ⊂B.

Lema I.3.2. Sean A una L–estructura, B un conjunto y F : A −→ B una aplicacionbiyectiva. Existe una unica L–estructura B tal que:

(a) El universo de B es B.

(b) F : A ∼= B.

Demostracion: Sea B la L–estructura definida por:

(–) Universo: |B| = B.

(–) Constantes: Sea c un sımbolo de cocnstante. Definimos

cB = F (cA).

(–) Funciones: Sea f un sımbolo de funcion n–aria de L y b1, . . . , bn ∈ B. Seana1, . . . , an ∈ A tales que F (ai) = bi, i = 1, . . . , n. Definimos:

fB(b1, . . . , bn) = F (fA(a1, . . . , an)).

(–) Predicados: Sea p un sımbolo de predicado n–ario de L y b1, . . . , bn ∈ B. Seana1, . . . , an ∈ A tales que F (ai) = bi, i = 1, . . . , n. Definimos:


(b1, . . . , bn) ∈ pB ⇐⇒ (a1, . . . , an) ∈ pA.

El resultado se obtiene trivialmente a partir de las definiciones. ¥

Definicion I.3.3. Sea L un lenguaje de primer orden. Diremos que una formula de Les abierta si no contiene estancias de sımbolos de cuantificadores. Usaremos, indistinta-mente, ∃0(L) y ∀0(L) para denotar a la coleccion de las formulas abiertas de L. Cuandopor el contexto sea claro el lenguaje de primer orden que estamos considerando, escri-biremos ∃0 y ∀0.

Es evidente que la coleccion de las formulas abiertas de un lenguaje L es la menorcoleccion de formulas de L tal que:

(–) contiene a las formulas atomicas, y

(–) es cerrada bajo ∨ y ¬.

Proposicion I.3.4. Sean A,B L–estructuras y a1, . . . , an ∈ A.

(a) Si F : A ' B y t(x1, . . . , xn) ∈ Term(L), entonces

F (A(t(a1, . . . , an))) = B(t(F (a1), . . . , F (an))).

(b) Si F : A ⊂B y ϕ(x1, . . . , xn) ∈ ∀0, entonces

A ² ϕ(a1, . . . , an) ⇐⇒ B ² ϕ(F (a1), . . . , F (an)).

(c) Si F : A ∼= B y ϕ(x1, . . . , xn) ∈ Form(L), entonces

A ² ϕ(a1, . . . , an) ⇐⇒ B ² ϕ(F (a1), . . . , F (an)).

Demostracion: A lo largo de la prueba escribiremos

(–) ~a en lugar de a1, . . . , an y

(–) F (~a) en lugar de F (a1), . . . , F (an).

((a)): Por induccion sobre la longitud de t.

Caso 1: t es una variable. Supongamos que t es xi. Entonces

(–) t(~a) es ai y

(–) t(F (~a)) es F (ai).

Por tanto, el resultado es trivial.

Caso 2: t es f(t1, . . . , tm). Entonces

(∗) t(~a) es f(t1(~a), . . . , tm(~a)) y,

(∗∗) t(F (~a)) es f(t1(F (~a)), . . . , tm(F (~a))).

Por tanto,

18 3. Relaciones entre estructuras

F (A(t(~a))) = F (A(f(t1(~a), . . . , tm(~a)))) [[(∗)]]= F (fA(A(t1(~a)), . . . ,A(tm(~a))))= fB(F (A(t1(~a))), . . . , F (A(tm(~a)))) [[F : A ' B]]= fB(B(t1(F (~a))), . . . ,B(tm(F (~a)))) [[hip. ind.]]= B(f(t1(F (~a)), . . . , tm(F (~a))))= B(t(F (~a))) [[(∗∗)]].

Lo que pueba (a).

((b)): Por induccion sobre la longitud de ϕ.

Caso 1: ϕ atomica. El resultado se sigue de (a) y la definicion de inmersion.

Caso 2: ϕ es ψ ∨ θ. Entonces

A ² ϕ(~a) ⇐⇒ A ² ψ(~a) ∨ θ(~a)⇐⇒ A ² ψ(~a) o A ² θ(~a)⇐⇒ B ² ψ(F (~a)) o B ² θ(F (~a)) [[hip. ind.]]⇐⇒ B ² ψ(F (~a)) ∨ θ(F (~a))⇐⇒ B ² ϕ(F (~a)).

Caso 3: ϕ es ¬ψ. Entonces

A ² ϕ(~a) ⇐⇒ A ² ¬ψ(~a)⇐⇒ A 6² ψ(~a)⇐⇒ B 6² ψ(F (~a)) [[hip. ind.]]⇐⇒ B ² ¬ψ(F (~a))⇐⇒ B ² ϕ(F (~a)).

Lo que prueba (b).

((c)): Por (b) es suficiente probar el resultado para formulas del tipo ∃y ψ.

A ² ϕ(~a) ⇐⇒ A ² ∃y ψ(~a, y)⇐⇒ ∃c ∈ A (A ² ψ(~a, c))⇐⇒ ∃c ∈ A (B ² ψ(F (~a), F (c))) [[hip. ind.]]

⇐⇒ ∃b ∈ B (B ² ψ(F (~a), b))(=⇒), b = F (c)(⇐=), F es suprayectiva

⇐⇒ B ² ∃y ψ(F (~a), y).

Lo que prueba (c). ¥

3.B Equivalencia elemental

Definicion I.3.5. Sean A y B L–estructuras. Diremos que A y B, son elemental-mente equivalentes, A ≡ B, si para toda formula ϕ de L,

A ² ϕ ⇐⇒ B ² ϕ.


Proposicion I.3.6. Sea L un lenguaje de primer orden, A y B L–estructuras. En-tonces(a) A ∼= B =⇒ A ≡ B.

(b) ≡ y ∼= son relaciones de equivalencia en la clase de las L–estructuras.

Problema I.3.7. ¿Se verifica recıproco de I.3.6-(a)?

3.C Subestructuras

Definicion I.3.8. Sean A y B L–estructuras. Diremos que A es una subestructurade B, A ⊂ B, si(a) |A| ⊆ |B|(b) Para toda constante c de L, cA = cB.

(c) Para todo f ∈ LF n–aria, 0 < n, y todo a1, . . . , an ∈ A,

fA(a1, . . . , an) = fB(a1, . . . , an).

(d) Para todo p ∈ LP n–ario y todo a1, . . . , an ∈ A,

A ² p(a1, . . . , an) ⇐⇒ B ² p(a1, . . . , an).

Notas I.3.9.(a) Sea Id : A −→ B la aplicacion dada por Id(a) = a, para todo a ∈ A. Entonces

A ⊂ B ⇐⇒ Id : A ⊂B.

(b) Por I.3.4-(b), si A ⊂ B, entonces para toda formula abierta, ϕ(~x) y ~a ∈ A

A ² ϕ(~a) ⇐⇒ B ² ϕ(~a).

Lema I.3.10. Sean A una L–estructura y C ⊆ A no vacıo. Existe una subestructurade A, 〈C〉, tal que: para toda L–estructura B

B ⊂ A y C ⊆ |B| =⇒ 〈C〉 ⊂ B.

Es decir, 〈C〉 es la menor subestructura de A cuyo universo contiene a C. Diremos que〈C〉 es la subestructura de A generada por C.

Demostracion: Si D ⊆ A y f un sımbolo de funcion n–ario, definimos

Df = {fA(a1, . . . , an) : a1, . . . , an ∈ D}.Por recursion sobre n ∈ ω definimos {Cn : n ∈ ω}

(–) C0 = C ∪ {cA : c sımbolo de constante}.(–) Cn+1 = Cn ∪

⋃f∈LF

Cfn.

Sea C ′ =⋃n∈ω Cn. Sea 〈C〉 la L–estructura dada por:

Universo: C ′.

20 4. Aplicaciones

Constantes: Sea c un sımbolo de constante: c〈C〉 = cA.

Funciones: Sea f ∈ LF n–aria y a1, . . . , an ∈ C ′:f〈C〉(a1, . . . , an) = fA(a1, . . . , an).

Predicados: Sea p ∈ LP n–aria y a1, . . . , an ∈ C ′:(a1, . . . , an) ∈ p〈C〉 ⇐⇒ (a1, . . . , an) ∈ pA.

Es trivial comprobar que 〈C〉 satisface las propiedades deseadas. ¥

Nota I.3.11. Del lema se sigue que si un lenguaje L no tiene sımbolos de funcionesy A es una L–estructura, entonces cualquier subconjunto no vacıo de A es el universode una subestructura de A.

§4 Aplicaciones

4.A El lenguaje L=

Sea X ⊆ ω − {0} finito. Veremos a continuacion, como es posible caracterizar lasestructuras cuyo cardinal pertenece a X.

Proposicion I.4.1. Sea n > 0. Existen ϕ≥n, ϕ≤n, ϕ=n ∈ Sent(L=) tales que paratoda L=–estructura A:

(a) A ² ϕ≥n ⇐⇒ card(A) ≥ n.

(b) A ² ϕ≤n ⇐⇒ card(A) ≤ n.

(c) A ² ϕ=n ⇐⇒ card(A) = n.

Demostracion: ((a)): Para n = 1, ϕ≥1 es la formula ∀x (x = x). Para n > 1, seaϕ≥n la formula,

∃x1 . . . ∃xn (∧

1≤i<j≤n xi 6= xj).

Es evidente que esta formula verifica (a).

((b)): Basta tomar ϕ≤n como ¬ϕ≥n+1.

((c)): Sea ϕ=n la formula ϕ≥n ∧ ϕ≤n. De (a) y (b) se sigue que ϕ=n satisface (c). ¥

Teorema I.4.2. Sea X ⊆ ω − {0} finito. Existe ϕX ∈ Sent(L=) tal que para todaL=–estructura A

(∗) A ² ϕX ⇐⇒ card(A) ∈ X.

Demostracion: Sea X = {n1, . . . nk}. Sea ϕX la formula:∨1≤i≤k ϕ=ni .

De (c) se sigue que ϕX satisface (∗). ¥


Problema I.4.3. ¿Que sucede si X es un conjunto infinito? Es decir, si X ⊆ ω−{0}es infinito, ¿existe una formula (cerrada) de L= verificando la condicion (∗) de I.4.2?

Lema I.4.4. Sean A y B L=–estructuras. Se tiene que:(a) card(A) = card(B) ⇐⇒ A ∼= B.

(b) Si card(A), card(B) < ℵ0, entonces

A ≡ B ⇐⇒ card(A) = card(B).

Demostracion: ((a)): Trivial, pues entre L=–estructuras un isomorfismo es una apli-cacion biyectiva entre sus universos.

((b)): (=⇒): En efecto,card(A) = n ⇐⇒ A ² ϕ=n [[(c)]]

⇐⇒ B ² ϕ=n [[A ≡ B]]⇐⇒ card(B) = n [[(c)]].

(⇐=). Se sigue de (a) y I.3.6-(a). ¥

Problema I.4.5.(a) ¿Se verifica I.4.4-(b) para estructuras infinitas del lenguaje L=?

(b) Sea L un lenguaje de primer orden.(b.1) ¿Se verifica I.4.4-(a)? Es evidente que se verifica la parte ⇐=.

(b.2) ¿Se verifica I.4.4-(b)?

Teorema I.4.6. Sea A una L=–estructura. Si A ⊆ A es definible, entonces A = ∅ oA = |A|.

Demostracion: Sea A ⊆ A, con A 6= ∅, definible. Sean a ∈ A (existe pues A 6= ∅) yb ∈ A. Sea F : A −→ A una aplicacion biyectiva tal que F (a) = b. Entonces si ϕ(x)define a A, A ² ϕ(a). Por I.3.4-(c), A ² ϕ(F (a)); esto es, A ² ϕ(b). Por tanto, b ∈ A.En consecuencia, puesto que b es un elemento arbitrario de A, se sigue que A = A. ¥

4.B Las estructuras Q y RConsideremos las estructuras sobre el lenguaje de ordenes, LO, Q y R que definiamosen I.2.4-(c). Se trata de estudiar si Q ≡ R.

Lema I.4.7. Q 6∼= R.

Demostracion: Puesto que card(Q) < card(R), entonces Q 6∼= R. ¥

Puesto que R es un orden completo (es decir, todo subconjunto no vacıo y acotadosuperiormente tiene un supremo) yQ no lo es, podrıamos intentar diferenciarlos usandouna formula del siguiente tipo: sea ψ(y) una fomula de LO, sea ϕψ la formula

22 5. Ejercicios

∃y ψ(y) ∧ ∃x∀y (ψ(y)→ y ≤ x)→ ∃z{ ∀y (ψ(y)→ y ≤ z) ∧∀z′ (∀y (ψ(y)→ y ≤ z′)→ z ≤ z′).

De la completitud se R se sigue que para toda formula ψ(y), R ² ϕψ. En lo que siguetrataremos de establecer si se tiene que Q ² ϕψ.

Lema I.4.8.

(a) Sea ψ(y) una formula. Entonces

Q ² ∃y ψ(y) =⇒ Q ² ∀y ψ(y).

(b) Sea A ⊆ Q. Si A es definible en Q, entonces A = ∅ o A = Q.

Demostracion: ((a)): Sean a ∈ Q tal que Q ² ψ(a) y b ∈ Q. Consideremos laaplicacion F : Q −→ Q definida por: F (x) = x− a+ b. Entonces

(1) F (a) = b,

(2) F : Q ∼= Q.

Por tanto,

Q ² ψ(a) =⇒ Q ² ψ(F (a)) [[(2)]]=⇒ Q ² ψ(b) [[(1)]].

Puesto que b es un elemento arbitrario de Q, de lo anterior se sigue que Q ² ∀y ψ(y).Lo que prueba (a).

((b)): Sea ψ(y) una formula que define al conjunto A en Q; es decir,

A = {a ∈ Q : Q ² ψ(a)}.Supongamos que A 6= ∅. Entonces Q ² ∃y ψ(y). Luego, por (a) se tiene que Q ²∀y ψ(y). Por tanto, A = Q. ¥

Nota I.4.9. Del lema I.4.8 se sigue que si Q ² ∃y ψ(y), entonces

(–) Q 6² ∃x∀y (ψ(y)→ y ≤ x).

En consecuencia, el antecedente de la formula ϕψ no se verifica enQ. Por tanto,Q ² ϕψ.Luego, las formulas del tipo ϕψ no distinguen a Q y R.

Problema I.4.10. ¿Q ≡ R?

§5 Ejercicios

Ejercicio I.5.1. (I.1.12).(a) Si ϕ es atomica, entonces Vl(ϕ) = Var(ϕ).

(b) Vl(¬ϕ) = Vl(ϕ).


(c) Vl(ϕ ∨ ψ) = Vl(ϕ) ∪Vl(ψ).

(d) Vl(∃xϕ) = Vl(ϕ)− {x}.

Ejercicio I.5.2. (I.1.18). Sea ϕ ∈ Form(L).(a) Si ϕ ∈ At(L), entonces SbF(ϕ) = {ϕ}(b) Si ϕ es ψ ∨ θ, entonces SbF(ϕ) = {ϕ} ∪ SbF(ψ) ∪ SbF(θ).

(c) Si ϕ es ¬ψ, entonces SbF(ϕ) = {ϕ} ∪ SbF(ψ).

(d) Si ϕ es ∃y ψ, entonces SbF(ϕ) = {ϕ} ∪ SbF(ψ).

Ejercicio I.5.3. (I.1.20.1). ψn es ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn].

Ejercicio I.5.4. (I.2.9-(d)). Probar que existen una estrutura A y formulas ϕ y ψtales que(a) A ² ϕ ∨ ψ.

(b) A 6² ϕ y A 6² ψ.

Ejercicio I.5.5. (I.2.13). Sean L ⊆ L′ lenguajes de primer orden y A′ una L′–estructura. Para toda formula, ϕ, de L(A′

|L),

A′|L ² ϕ ⇐⇒ A′ ² ϕ

Ejercicio I.5.6. (I.3.6). Sea L un lenguaje de primer orden, A y B L–estructuras.Entonces(a) A ∼= B =⇒ A ≡ B.

(b) ≡ y ∼= son relaciones de equivalencia en la clase de las L–estructuras.

Ejercicio I.5.7. Sea L un lenguaje de primer orden, c1, . . . , cn nuevos sımbolos deconstante y L′ = L + c1, . . . , cn. Probar que para toda formula ψ de L′ existe unaformula ϕ(x1, . . . , xn) de L tal que ψ es ϕx1,...,xn [c1, . . . , cn].

Ejercicio I.5.8. Sea A una estructura del lenguaje L=. Determinar todos los sub-conjuntos definibles de |A|2.

Ejercicio I.5.9. Dar ejemplos de formulas, ϕ, y estructuras, A, tales que:

A 6² ϕ y A 6² ¬ϕ

Ejercicio I.5.10. Supongamos que L contiene sımbolos de constantes. Sea C el con-junto de los sımbolos se constante de L. Sean A y B L–estructuras tales que para todaϕ ∈ Sent ∩ ∀0

A ² ϕ =⇒ B ² ϕ

24 5. Ejercicios

Entonces 〈{A(c) : c ∈ C}〉A ∼= 〈{B(c) : c ∈ C}〉B

Ejercicio I.5.11. Probar o refutar: Sean L un lenguaje de primer orden y A y B

L–estructuras.

Si A ⊂B y B ⊂A, entonces A ∼= B

Los siguientes problemas han sido propuestos a lo largo de este capıtulo. Sin embargo,para su resolucion es posible que se necesiten resultados de capıtulos posteriores.

Problema I.5.12. (I.3.7). ¿Se verifica el recıproco de I.3.6-(a)?

Problema I.5.13. (I.4.3). ¿Que sucede si X es un conjunto infinito? Es decir, siX ⊆ ω − {0} es infinito, ¿existe una formula (cerrada) de L= verificando la condicion(∗) de I.4.2?

Problema I.5.14. (I.4.5).(a) ¿Se verifica I.4.4-(b) para estructuras infinitas del lenguaje L=?

(b) Sea L un lenguaje de primer orden.(b.1) ¿Se verifica I.4.4-(a)? Es evidente que se verifica la parte ⇐=.

(b.2) ¿Se verifica I.4.4-(b)?

Problema I.5.15. (I.4.10). ¿Q ≡ R?

Capıtulo II

Teorıas de primer orden

§1 Teorema de la validez

1.A Valoraciones de Verdad

Definicion II.1.1.(a) Funciones de validez:

(a.1) H¬ : {0, 1} −→ {0, 1} es la aplicacion definida por:

H¬(a) =

{1, si a = 0;0, si a = 1.

(a.2) H∨ : {0, 1}2 −→ {0, 1} es la aplicacion definida por:

H∨(a, b) =

{0, si a = b = 0;1, en caso contrario.

(b) Valoracion de verdad: Diremos que σ : Form(L) −→ {0, 1} es una valoracionde verdad de L si para toda ϕ ∈ Form(L)

σ(¬ϕ) = H¬(σ(ϕ)),σ(ϕ ∨ ψ) = H∨(σ(ϕ), σ(ψ)).

Nota II.1.2. Diremos que una formula es elemental si es atomica o de la forma ∃xϕ.Notaremos por EF(L) al conjunto de las formulas elementales de L.

Con el concepto de valoracion de verdad lo que hacemos es sustituir a las estructuraspara asignar un valor de verdad a una formula. Con las estructuras asignabamos unvalor de verdad a las formulas atomicas y a las formulas del tipo ∃xϕ (esto es, a lasformulas elementales), en los demas casos usabamos las funciones H¬ y H∨.

Lema II.1.3. Sea ρ : EF(L) −→ {0, 1}. Existe una unica valoracion de verdad σ :Form(L) −→ {0, 1} tal que: σ|EF(L) = ρ.

25

26 1. Teorema de la validez

Demostracion: Existencia: Definimos σ : Form(L) −→ {0, 1} por recursion sobre lalongitud de ϕ.

σ(ϕ) =

ρ(ϕ), si ϕ es elemental;H¬(σ(ψ)), si ϕ es ¬ψ;H∨(σ(ψ), σ(θ)), si ϕ es ψ ∨ θ.

Es evidente que σ es una valoracion de verdad y extiende a ρ.

Unicidad: Sea σ′ : Form(L) −→ {0, 1} una valoracion de verdad que extiende a ρ. Porinduccion sobre ϕ veremos que σ(ϕ) = σ′(ϕ).

Caso 1: ϕ elemental. Entoncesσ(ϕ) = ρ(ϕ) [[definicion de σ]]

= σ′(ϕ) [[σ′ extiende a ρ]].

Caso 2: ϕ es ¬ψ. Entoncesσ(ϕ) = σ(¬ψ)

= H¬(σ(ψ))= H¬(σ′(ψ)) [[hip. ind.]]= σ′(¬ψ) [[σ′ valoracion de verdad]]= σ′(ϕ).

Caso 3: ϕ es ψ ∨ θ. Entoncesσ(ϕ) = σ(ψ ∨ θ)

= H∨(σ(ψ), σ(θ))= H∨(σ′(ψ), σ′(θ)) [[hip. ind.]]= σ′(ψ ∨ θ) [[σ′ valoracion de verdad]]= σ′(ϕ).

Lo que prueba el lema. ¥

Lema II.1.4. Sea A una L–estructura. Existe una valoracion de verdad de L(A), σA,tal que para toda ϕ ∈ Sent(L(A)),

σA(ϕ) = 1 ⇐⇒ A ² ϕ.

Demostracion: Sea ρ : EF(L(A)) −→ {0, 1}, la aplicacion definida por:

ρ(ϕ) = 1 ⇐⇒ A ² ϕ.

Sea σA : Form(L(A)) −→ {0, 1} la aplicacion obtenida de ρ como en II.1.3. Es facilprobar, por induccion sobre la longitud de ϕ, que σA satisface la condicion del lema. ¥

1.B Axiomas Logicos

Definicion II.1.5. Diremos que ϕ ∈ Form(L) es una tautologıa si para toda valora-cion de verdad σ, σ(ϕ) = 1.

Definicion II.1.6. (Axiomas Logicos). Sea L un lenguaje de primer orden. Los

Capıtulo II. Teorıas de primer orden 27

axiomas logicos de L son:(a) Axiomas proposicionales: Las tautologıas son los axiomas proposicionales.

(b) Axiomas de sustitucion: ϕx[t]→ ∃xϕ. (x sustituible por t en ϕ).

(c) Axiomas de identidad: x = x.

(d) Axiomas de igualdad:

x1 = y1 ∧ . . . ∧ xn = yn → f(x1, . . . , xn) = f(y1, . . . , yn),

x1 = y1 ∧ . . . ∧ xn = yn → (p(x1, . . . , xn)→ p(y1, . . . , yn)).

Teorema II.1.7. Los axiomas logicos de un lenguaje de primer orden, L, son formulaslogicamente validas.

Demostracion: Sea A una L–estructura. Veamos que si ψ es un axioma logico, en-tonces A ² ψ.

Axiomas proposicionales: Sean ψ(x1, . . . , xn) una tautologıa y a1, . . . , an ∈ A.

Aserto II.1.7.1. Sean x una variable y t un termino. Sea σ una valoracion deverdad. Entonces la aplicacion σx,t definida por:

σx,t(ϕ) = σ(ϕx[t])

es una valoracion de verdad.

Aserto II.1.7.2. Si ϕ es una tautologıa, entonces ϕx[t] es una tautologıa.

Prueba del aserto: Supongamos que ϕx[t] no es una tautologıa. Entonces existeuna valoracion de verdad σ tal que σ(ϕx[t]) = 0. Por tanto,

σx,t(ϕ) = σ(ϕx[t]) = 0.

Por el aserto II.1.7.1, σx,t es una valoracion de verdad; por tanto, esto contradiceque ϕ es una tautologıa. 2

Por el aserto II.1.7.2, la formula ψ(a1, . . . , an) es una tautologıa. Sea σA la valoracionde verdad asociada a A (ver II.1.4). Entonces σA(ψ(a1, . . . , an)) = 1; por tanto, A ²ψ(a1, . . . , an). En consecuencia, A ² ψ.

Axiomas de sustitucion: Entonces ψ es de la forma ϕx[t] → ∃xϕ. Sean x1, . . . , xn lasvariables libres de ψ distintas de x. Entonces se tiene que:

Aserto II.1.7.3. Para cualesquiera a, a1, . . . , an ∈ A

(ϕx[t]→ ∃xϕ)x,x1,...,xn [a, a1, . . . , an]

es de la forma:θx[t

′]→ ∃x θdonde:

(i) θ ∈ Form(L(A)) y Vl(θ) ⊆ {x}.(ii) t′ es un termino sin variables de L(A).

Prueba del aserto: En efecto,(ϕx[t]→ ∃xϕ)x,x1,...,xn [a, a1, . . . , an]


es(ϕx[t])x,x1,...,xn [a, a1, . . . , an]→ ∃x (ϕx1,...,xn [a1, . . . , an]).

Puesto que x es sustituible por t en ϕ, esta formula es:

(ϕx1,...,xn [a1, . . . , an])x[tx,x1,...,xn [a, a1, . . . , an]]→ ∃x (ϕx1,...,xn [a1, . . . , an]).

Por tanto, basta tomar:

θ como ϕx1,...,xn [a1, . . . , an] y t′ como tx,x1,...,xn [a, a1, . . . , an]

para obtener el resultado. 2

Sea θx[t′] → ∃x θ como en II.1.7.3. Supongamos que A ² θx[t

′]. Sea A(t′) = a ∈ A,por I.2.14-(b), A ² θx[a]. Por tanto, A ² ∃x θ. Lo que prueba que A ² θx[t

′]→ ∃x θ.Axiomas de identidad: Entonces ψ es de la forma x = x. Sea a ∈ A. Puesto que,A ² a = a, se tiene que A ² x = x.

Axiomas de igualdad: Consideremos los siguientes casos.

Caso 1: ψ es x1 = y1 ∧ . . . ∧ xn = yn → f(x1, . . . , xn) = f(y1, . . . , yn).

Sean a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ A. Si A ² ai = bi (i = 1, . . . , n), entonces ai = bi (i =1, . . . , n). En consecuencia, fA(a1, . . . , an) = fA(b1, . . . , bn). Es decir, A ² f(a1, . . . , an) =f(b1, . . . , bn). Por tanto:

A ² a1 = b1 ∧ . . . ∧ an = bn → f(a1, . . . , an) = f(b1, . . . , bn).

Caso 2: ψ es x1 = y1 ∧ . . . ∧ xn = yn → (p(x1, . . . , xn)→ p(y1, . . . , yn)).

Sean a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ A. Si A ² ai = bi (i = 1, . . . , n), entonces ai = bi (i =1, . . . , n). Por tanto, si (a1, . . . , an) ∈ pA, entonces (b1, . . . , bn) ∈ pA. En consecuencia,A ² p(a1, . . . , an)→ p(b1, . . . , bn). Luego,

A ² a1 = b1 ∧ . . . ∧ an = bn → (p(a1, . . . , an)→ p(b1, . . . , bn)).

Lo que prueba el teorema. ¥

1.C Reglas de Inferencia

Definicion II.1.8. (Reglas de Inferencia).

(a) Modus ponens, MP:ϕ, ϕ→ ψ

ψ.

(b) Introduccion del cuantificador ∃, R∃: ϕ→ ψ∃xϕ→ ψ

x no es libre en ψ.

En las reglas de inferencia, las formulas que aparecen en la parte superior se denominanhipotesis y la que aparece en la parte inferior, conclusion.

Teorema II.1.9. Si las hipotesis de una regla de inferencia son validas en una estructu-ra, entonces tambien lo es la conclusion.

Demostracion: Modus ponens: Sea A una L–estructura tal que:


(1) A ² ϕ, y

(2) A ² ϕ→ ψ.

Sean x1, . . . , xn las variables libres de ψ y a1, . . . , an ∈ A. Sean y1, . . . , ym las variableslibres de ϕ distintas de las xi, i = 1, . . . , n. Entonces por (1)

A ² ϕ(b1, . . . , bm, a1, . . . , an).

Puesto que

ϕ(b1, . . . , bm, a1, . . . , an)→ ψ(a1, . . . , an) es (ϕ→ ψ)(b1, . . . , bm, a1, . . . , an),

entonces por (2)

A ² ϕ(b1, . . . , bm, a1, . . . , an)→ ψ(a1, . . . , an).

Por tanto, A ² ψ(a1, . . . , an). En consecuencia, A ² ψ.

Introduccion del cuantificador ∃: Sea A una L–estructura tal que: A ² ϕ→ ψ.

Sean x1, . . . , xn las variables libres de ∃xϕ → ψ. Por hipotesis x no es libre en ψy tampoco lo es en ∃xϕ; por tanto, x no es ninguna de las xi, i = 1, . . . , n. Seana1, . . . , an ∈ A. Entonces

(∃xϕ→ ψ)[a1, . . . , an] es ∃x (ϕ[a1, . . . , an])→ ψ[a1, . . . , an].

Supongamos que A ² ∃x (ϕ[a1, . . . , an]). Entonces existe a ∈ A tal que

(3) A ² (ϕ[a1, . . . , an])x[a].

Ahora bien,

(ϕ[a1, . . . , an])x[a] es ϕx1,...,xn,x[a1, . . . , an, a].

Por tanto, como x no es libre en ψ

(4) ϕx1,...,xn,x[a1, . . . , an, a]→ ψx1,...,xn [a1, . . . , an] es (ϕ→ ψ)x1,...,xn,x[a1, . . . , an, a].

Por hipotesis, A ² ϕ → ψ. Por tanto, de (3) y (4) se tiene que: A ² ψ[a1, . . . , an].Luego,

A ² (∃xϕ→ ψ)[a1, . . . , an].

En consecuencia, A ² ∃xϕ→ ψ. Lo que prueba el teorema ¥

1.D Teorıas y pruebas

Definicion II.1.10. (Teorıa). Una teorıa de primer orden T consta de:

(a) Un lenguaje de primer orden, que notaremos L(T).

(b) Axiomas (de dos tipos):(b.1) Axiomas logicos (los de II.1.6).

(b.2) Axiomas no logicos: un subconjunto de formulas de L(T), que notaremosAx(T).

(c) Reglas de inferencia (las de II.1.8).


Para describir una teorıa es suficiente dar su lenguaje y el conjunto de axiomas nologicos. Notaremos por Form(T) al conjunto de las formulas del lenguaje de T.

Definicion II.1.11. (Pruebas). Una prueba en una teorıa T es una sucesion finitade formulas de L(T): ϕ1, . . . , ϕn, tal que para todo i, 1 ≤ i ≤ n, se tiene una de lascondiciones siguientes:(a) ϕi es un axioma de T, logico o no logico.

(b) Existen j, k < i tales que ϕj es ϕk → ϕi. Esto es, ϕi se obtiene por modus ponensde ϕj y ϕk.

(c) Existe j < i tal que ϕj es ψ → θ donde x no es libre en θ y ϕi es ∃xψ → θ. Estoes, ϕi se obtiene por introduccion de la regla del cuantificador ∃ aplicada a ϕj.

Definicion II.1.12. Sean T una teorıa y ϕ ∈ Form(T). Diremos que ϕ es un teoremade T, T ` ϕ, si existe una prueba ϕ1, . . . , ϕn en T tal que ϕn es ϕ.

Nota II.1.13. (Demostraciones por induccion sobre teoremas, I). De la defi-nicion de prueba en una teorıa, se sigue que para demostrar que todo teorema de unateorıa T tiene una propiedad P es suficiente establecer que (ver tambien II.1.13):(a) Los axiomas de la teorıa tienen la propiedad P .

(b) Si las hipotesis de una regla de inferencia tienen la propiedad P , entonces laconclusion tambien tiene la propiedad P .

Definicion II.1.14. (Modelo). Sean T una teorıa de primer orden y A una L(T)–estructura. Diremos que A es un modelo de T, A ² T, si para todo ϕ ∈ Ax(T), A ² ϕ.A la clase de los modelos de T la notaremos por Mod(T).

Definicion II.1.15. Sean T una teorıa y ϕ ∈ Form(T). Diremos que ϕ es valida enT, T ² ϕ, si para todo A ² T, se tiene que A ² ϕ.

Teorema II.1.16. (Teorema de la validez). Sea T una teorıa y ϕ ∈ Form(T). SiT ` ϕ, entonces T ² ϕ.

Demostracion: Por induccion sobre teoremas. La propiedad a demostrar es: T ² ϕ.

Caso 1: Axiomas. El resultado se sigue de II.1.7 para los axiomas logicos y de ladefinicion de modelo de una teorıa (II.1.14) para los axiomas no logicos.

Caso 2: Reglas de inferencia. El resultado se sigue de II.1.9. ¥

Problema II.1.17. ¿Es cierto el recıproco de II.1.16?


§2 El teorema de tautologıa

Definicion II.2.1. Sean ϕ, ϕ1, . . . , ϕn ∈ Form(L). Diremos que ϕ es consecuenciatautologica de ϕ1, . . . , ϕn si ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn → ϕ es una tautologıa.

Proposicion II.2.2. (Teorema de Tautologıa). Supongamos que

(i) ϕ es consecuencia tautologica de ϕ1, . . . , ϕn, y

(ii) T ` ϕ1, . . . ,T ` ϕn.Entonces T ` ϕ.

Demostracion: Por induccion sobre n.

(n = 1): En efecto,

(1) T ` ϕ1 [[hipotesis, (ii)]](2) T ` ϕ1 → ϕ [[(i) y Ax. Proposicional]](3) T ` ϕ [[MP, (1) y (2)]].

(n =⇒ n+ 1): Puesto que ψ1 ∧ ψ2 → θ es consecuencia tautologica de ψ1 → (ψ2 → θ),por el caso n = 1:

(∗) Si T ` ψ1 ∧ ψ2 → θ, entonces T ` ψ1 → (ψ2 → θ).

Veamos que T ` ϕ.

(1) T ` ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ . . . ∧ ϕn+1 → ϕ [[(i) y Ax. Proposicional]](2) T ` ϕ1 → (ϕ2 ∧ . . . ∧ ϕn+1 → ϕ) [[(∗)]](3) T ` ϕ1 [[hipotesis, (ii)]](4) T ` ϕ2 ∧ . . . ∧ ϕn+1 → ϕ [[MP, (2) y (3)]](5) T ` ϕ [[hip. ind.]].

Esto prueba el teorema. ¥

Nota II.2.3. (Pruebas por induccion sobre teoremas, II). El teorema de tau-tologıa permite probar que todo teorema de una teorıa tiene una propiedad P demos-trando que:(a) Axiomas de sustitucion, igualdad, identidad y no logicos tienen la propiedad P .

(b) Si ϕ1, . . . , ϕn tienen la propiedad P y ϕ es consecuencia tautologica de ϕ1, . . . , ϕn,entonces ϕ tiene la propiedad P .

(c) Si ψ tiene la propiedad P y ϕ se obtiene de ψ por aplicacion de la regla deintroduccion del cuantificador ∃, entonces ϕ tiene la propiedad P .

32 3. Teoremas sobre cuantificadores

§3 Teoremas sobre cuantificadores

Teorema II.3.1. (Regla de introduccion de ∀, R∀). Si T ` ϕ → ψ y x no eslibre en ϕ, entonces T ` ϕ→ ∀xψ.

Demostracion: En efecto,

(1) T ` ϕ→ ψ [[hipotesis]](2) T ` ¬ψ → ¬ϕ [[T. tautologıa, (1)]](3) T ` ∃x¬ψ → ¬ϕ [[R∃, (2) (x no es libre en ¬ϕ)]](4) T ` ¬¬ϕ→ ¬∃x¬ψ [[T. tautologıa, (3)]](5) T ` ϕ→ ¬∃x¬ψ [[T. tautologıa, (4)]](6) T ` ϕ→ ∀xψ [[¬∃x¬ϕ es ∀xψ]].

Lo que prueba el resultado. ¥

Teorema II.3.2. (Regla de generalizacion). Si T ` ϕ, entonces T ` ∀xϕ.


(1) T ` ϕ [[hipotesis]](2) T ` ¬∀xϕ→ ϕ [[T. Tautologıa, (1)]](3) T ` ¬∀xϕ→ ∀xϕ [[R∀, (2) (x no libre en ¬∀xϕ)]](4) T ` ∀xϕ [[T. Tautologıa, (3)]].


Teorema II.3.3. (Regla de sustitucion). Sea ϕ ∈ Form(T) y t1, . . . , tn terminos.Si T ` ϕ, entonces T ` ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn].

Demostracion: Por induccion sobre n.

(n = 1): En efecto,

(1) T ` ϕ [[hipotesis]](2) T ` ∀xϕ [[R. generalizacion, (1)]](3) T ` ¬∃x¬ϕ [[definicion de ∀]](4) T ` ¬ϕx[t]→ ∃x¬ϕ [[Ax. sustitucion]](5) T ` ¬∃x¬ϕ→ ¬¬ϕx[t] [[T. tautologıa, (4)]](6) T ` ¬¬ϕx[t] [[MP, (3), (5)]](7) T ` ϕx[t] [[T. tautologıa, (6)]].

(n =⇒ n + 1): Sea y una variable que no ocurre en ϕ ni en t1, . . . , tn. Entonces xn+1

es sustituible por y en ϕ. Por el caso (n = 1), se tiene que: T ` ϕxn+1 [y]. Por hipotesisde induccion,

(∗) T ` (ϕxn+1 [y])x1,...,xn [t1, . . . , tn].

Puesto que y es sustituible por tn+1 en la formula que aparece en (∗), por el caso(n = 1) aplicado a (∗)


T ` ((ϕxn+1 [y])x1,...,xn [t1, . . . , tn])y[tn+1].

Esta ultima formula es ϕx1,...,xn,xn+1 [t1, . . . , tn, tn+1]. Por tanto,

T ` ϕx1,...,xn,xn+1 [t1, . . . , tn, tn+1].


Teorema II.3.4. (Teorema de sustitucion).(a) T ` ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn]→ ∃x1 . . . ∃xn ϕ.

(b) T ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ→ ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn].

Demostracion: Primero probaremos el siguiente resultado:

Aserto II.3.4.1.

(i) T ` ϕ→ ∃x1 . . . ∃xn ϕ.

(ii) T ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ→ ϕ.

Prueba del aserto: (i). Por induccion sobre n.

(n = 1): Puesto que la formula ϕx1 [x1] → ∃x1 ϕ es un axioma de sustitucion,T ` ϕx1 [x1]→ ∃x1 ϕ. Ademas, ϕx1 [x1] es ϕ; por tanto, T ` ϕ→ ∃x1 ϕ.

(n =⇒ n+ 1): En efecto,

(1) T ` ϕ→ ∃x2 . . . ∃xn+1 ϕ [[hip. ind.]](2) T ` ∃x2 . . . ∃xn+1 ϕ→ ∃x1 . . . ∃xn+1 ϕ [[axioma de sustitucion]](3) T ` ϕ→ ∃x1 . . . ∃xn+1 ϕ [[T. tautologia, (1), (2)]].

Lo que prueba (i).

(ii). En efecto,

(1) T ` ¬ϕ→ ∃x1 . . . ∃xn ¬ϕ [[(i)]](2) T ` ¬∃x1 . . . ∃xn ¬ϕ→ ¬¬ϕ [[T. Tautologıa]](3) T ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ→ ϕ [[T. tautologıa y def. de ∀]].

Lo que prueba el aserto. 2

Probaremos ahora las partes (a) y (b) del teorema.

De (i) se sigue que: T ` ϕ→ ∃x1 . . . ∃xn ϕ y por la regla de sustitucion,

T ` ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn]→ ∃x1 . . . ∃xn ϕ.

Lo que prueba (a).

De (ii), T ` ∀x1 . . .∀xn ϕ→ ϕ y por la regla de sustitucion,

T ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ→ ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn].


Teorema II.3.5. (Regla de distribucion). Supongamos que: T ` ϕ → ψ. Enton-ces(a) T ` ∃xϕ→ ∃xψ.

(b) T ` ∀xϕ→ ∀xψ.

34 3. Teoremas sobre cuantificadores

Teorema II.3.6. (Teorema del cierre). Sea ϕ(x1, . . . , xn) una formula

T ` ϕ(x1, . . . , xn) ⇐⇒ T ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn).

Demostracion: (=⇒): Por hipotesis T ` ϕ. Aplicando n veces la regla de generaliza-cion obtenemos que T ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn).

(⇐=): En efecto,

(–) T ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn).

(–) T ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn)→ ϕ(x1, . . . , xn). [[Teorema de sustitucion]].

(–) T ` ϕ(x1, . . . , xn). [[Modus Ponens]].


Teorema II.3.7. (Teorema de la equivalencia). Sea ϕ′ la formula que se obtienede ϕ reemplazando algunas estancias de ψ en ϕ por ψ′. Si T ` ψ ↔ ψ′, entoncesT ` ϕ↔ ϕ′.

Demostracion: Analizaremos primero los dos casos siguientes:

Caso (∗): No se realiza ninguna sustitucion. Entonces ϕ′ es ϕ y por el axioma propo-sicional:

(–) T ` ϕ↔ ϕ′.

Por tanto, podemos suponer que hay sustitucion.

Caso (∗∗): La estancia a sustituir es toda ϕ. Entonces ϕ es ψ. Por tanto, ϕ′ es ψ′ y porhipotesis:

(–) T ` ϕ↔ ϕ′.

En consecuencia, podemos suponer que la estancia a sustituir no es toda la fomula ϕ.Proseguimos la prueba por induccion sobre la longitud de ϕ.

Caso 1: ϕ atomica. Entonces la unica estancia de una formula en ϕ es toda ϕ. Portanto, estamos en el caso (∗∗).Caso 2: ϕ es ¬θ. Entonces una estancia de una formula en ϕ es parte de θ. Por tanto,

(1) T ` θ ↔ θ′ [[hip. ind.]](2) T ` ¬θ ↔ ¬θ′ [[T. tautologıa, (1)]](3) T ` ϕ↔ ϕ′ [[¬θ es ϕ y ¬θ′ es ϕ′]].

Caso 3: ϕ es θ1 ∨ θ2. Entonces la estancia de una formula en ϕ es parte de θ1 o partede θ2. El resultado se sigue por hipotesis de induccion como en el caso anterior.

Caso 4: ϕ es ∃x θ. Entonces la estancia de una formula en ϕ es parte de θ. Luego

(1) T ` θ ↔ θ′ [[hip. ind.]](2) T ` ∃x θ ↔ ∃x θ′ [[Regla de distribucion, (1)]](3) T ` ϕ↔ ϕ′ [[∃x θ es ϕ y ∃x θ′ es ϕ′]].



Lema II.3.8. Si z no es libre en ψ y x es sustituible por z en ψ, entonces

T ` ∃xψ ↔ ∃z (ψx[z]).

Demostracion: En efecto,(⇐=)(1) T ` ψx[z]→ ∃xψ [[Ax. de sustitucion]](2) T ` ∃z (ψx[z])→ ∃xψ [[R∃, (1), (z no es libre en ∃xψ)]]

(=⇒)

(3) T ` (ψx[z])z[x]→ ∃z (ψx[z])Ax. de sustitucion,(z es sustituible por x en ψx[z])

(4) T ` ψ → ∃z (ψx[z]) [[(ψx[z])z[x] es ψ]]

(5) T ` ∃xψ → ∃z (ψx[z]) [[R∃, (4), x no libre en ∃z ψx[z]]](6) T ` ∃xψ ↔ ∃z (ψx[z]) [[T. tautologıa, (2), (5)]].


Definicion II.3.9. Diremos que ϕ′ es una variante de ϕ, si ϕ′ se obtiene de ϕ sustituyen-do partes de ϕ de la forma ∃xψ por ∃z ψx[z], donde z no es libre en ψ y x es sustituiblepor z en ψ.

Teorema II.3.10. (Teorema de la variante). Sea ϕ′ una variante de ϕ. EntoncesT ` ϕ↔ ϕ′.

Demostracion: Se sigue de II.3.8 y II.3.7. ¥

§4 Los teoremas de la deduccion y de constantes

Nota II.4.1. Sean T una teorıa y Γ ⊆ Form(T). Entonces T + Γ es la teorıa que seobtiene de T anadiendole las formulas de Γ como nuevos axiomas no logicos.

Si Γ es un conjunto finito, Γ = {ϕ1, . . . ϕn}, notaremos T + ϕ1 + . . . + ϕn en lugar deT + {ϕ1, . . . , ϕn}.

Teorema II.4.2. (Teorema de la deduccion). Sea ϕ ∈ Sent(T). Las condicionessiguientes son equivalentes:(a) T ` ϕ→ ψ.

(b) T + ϕ ` ψ.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Si T ` ϕ→ ψ, entonces T + ϕ ` ϕ→ ψ. Puesto queT + ϕ ` ϕ; por modus ponens, T + ϕ ` ψ.

36 4. Los teoremas de la deduccion y de constantes

((b) =⇒ (a)): Realizamos la prueba por induccion sobre teoremas siguiendo el esquemadado en II.1.13. En este caso se desea demostrar que todo teorema ψ de T + ϕ tienela siguiente propiedad: T ` ϕ→ ψ.

Caso 1: ψ es un axioma de T + ϕ. Entonces pueden darse las siguientes posibilidades:

(–) ψ es ϕ. Entonces por el axioma proposicional, T ` ϕ→ ϕ. Por tanto, T ` ϕ→ ψ,pues ϕ es ψ.

(–) ψ no es ϕ. Entonces ψ ∈ Ax(T). Por tanto, T ` ψ y como ϕ→ ψ es consecuenciatautologica de ψ, por el teorema de tautologıa T ` ϕ→ ψ.

Caso 2: ψ se obtiene por Modus Ponens de θ1 y θ2. Entonces θ2 es θ1 → ψ. Ademas,por hipotesis de induccion,

(1) T ` ϕ→ θ1, y

(2) T ` ϕ→ θ2.

Puesto que θ2 es θ1 → ψ, (2) queda como:

(3) T ` ϕ→ (θ1 → ψ).

Por tanto, por el teorema de tautologıa aplicado a (1) y (3) se tiene que: T ` ϕ→ ψ.

Caso 3: ψ se obtiene de θ por aplicacion de la regla de introduccion del cuantificadorexistencial y T ` ϕ→ θ. Entonces

(–) θ es de la forma θ1 → θ2 y

(–) ψ es ∃x θ1 → θ2 donde x no es libre en θ2.

Se tiene que:(1) T ` ϕ→ (θ1 → θ2) [[hipotesis θ es θ1 → θ2]](2) T ` θ1 → (ϕ→ θ2) [[T. tautologıa, (1)]](3) T ` ∃x θ1 → (ϕ→ θ2) [[R∃, (2) (x no libre en ϕ→ θ2)]](4) T ` ϕ→ (∃x θ1 → θ2) [[[T. tautologıa, (3)]](5) T ` ϕ→ ψ [[ψ es ∃x θ1 → θ2]].


Corolario II.4.3. Sean ϕ1, . . . , ϕn ∈ Sent(L(T). Entonces

T + ϕ1 + . . .+ ϕn ` ψ ⇐⇒ T ` ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn → ψ.

Demostracion: Se obtiene del teorema II.4.2 por induccion sobre n. ¥

Teorema II.4.4. (Teorema de constantes). Sea T una teorıa. Sea C un conjuntode nuevas constantes y T′ la teorıa

T′ ={

Lenguaje: L(T) + C;Axiomas: Ax(T).

Para toda ϕ ∈ Form(T) y toda sucesion c1, . . . , cn de distintas nuevas constantesT ` ϕ ⇐⇒ T′ ` ϕx1,...,xn [c1, . . . , cn].


Demostracion: (=⇒): Si T ` ϕ, entonces T′ ` ϕ. Por la regla de sustitucion

(–) T′ ` ϕx1,...,xn [c1, . . . , cn].

(⇐=): Supongamos que T′ ` ϕx1,...,xn [c1, . . . , cn]. Sean

(–) ψ1, . . . , ψm una prueba de ϕx1,...,xn [c1, . . . , cn] en T′.(–) y1, . . . , yn nuevas variables (distintas entre sı) que no ocurren en ninguna de las

formulas ψ1, . . . , ψm, y

(–) para cada i, 1 ≤ i ≤ m, ψ′i la formula que se obtiene ψi sustituyendo cada estanciade cj por yj, j = 1, . . . , n.

Se tiene que:

(–) Si ψi es un axioma no logico, entonces ψ′i es ψi.

(–) Si ψi es un axioma logico, entonces ψ′i es un axioma logico del mismo tipo.

(–) Si ψi se obtiene por aplicacion de una regla de inferencia a formula(s) anteriores,entonces ψ′i se obtiene por aplicacion de la misma regla de inferencia a la(s)transformada(s) de la(s) hipotesis de la regla.

De lo anterior se sigue que ψ′1, . . . , ψ′m es una prueba en T de ψ′m. Ademas, ψ′m es

ϕx1,...,xn [y1, . . . , yn]. Por tanto, T ` ϕx1,...,xn [y1, . . . , yn]; luego, por la regla de sustitucionT ` (ϕx1,...,xn [y1, . . . , yn])y1,...,yn [x1, . . . , xn].

Ahora bien, esta ultima formula es ϕ. En consecuencia, T ` ϕ. ¥

Nota II.4.5. El teorema de constantes nos proporciona un procedimiento para probarla formula ϕ → ψ en una teorıa T usando el teorema de la deduccion aun cuando laformula ϕ no sea cerrada. Sean x1, . . . , xn las variables libres de ϕ, c1, . . . , cn nuevasconstantes y ϕ′ → ψ′ la formula que se obtiene de ϕ → ψ sustituyendo todas lasestancias libres de x1, . . . , xn por c1, . . . , cn, respectivamente. Sea

T′ =

{Lenguaje: L(T) + {c1, . . . , cn};Axiomas: Ax(T).

EntoncesT ` ϕ→ ψ ⇐⇒ T′ ` ϕ′ → ψ′ [[T. constantes]]

⇐⇒ T′ + ϕ′ ` ψ′ [[T. deduccion]].

§5 El teorema de igualdad

Teorema II.5.1.(a) T ` x = y ↔ y = x.

(b) T ` x1 = x2 ∧ x2 = x3 → x1 = x3.

Demostracion: ((a)): En efecto,

38 6. Relaciones entre teorıas

(1) T ` x = y ∧ x = x→ (x = x→ y = x) [[Ax. de igualdad]](2) T ` x = x→ x = y → (x = x→ y = x) [[T. tautologıa, (1)]](3) T ` x = x [[Ax. de identidad]](4) T ` x = y → (x = x→ y = x) [[MP, (3), (2)]](5) T ` x = x→ (x = y → y = x) [[T. tautologıa, (4)]](6) T ` x = y → y = x [[MP, (3), (5)]].

Analogamente se prueba que T ` y = x→ x = y. Por tanto, T ` x = y ↔ y = x.

((b)): En efecto,

(1) T ` x2 = x1 ∧ x2 = x3 → (x2 = x2 → x1 = x3) [[Ax. igualdad]](2) T ` x2 = x2 → (x2 = x1 ∧ x2 = x3 → x1 = x3) [[T. Tautologıa, (1)]](3) T ` x2 = x2 [[Ax. identidad]](4) T ` x2 = x1 ∧ x2 = x3 → x1 = x3 [[M.P. (2), (3)]](5) T ` x2 = x1 ↔ x1 = x2 [[(a)]](6) T ` x1 = x2 ∧ x2 = x3 → x1 = x3 [[T. Equivalencia, (4), (5)]].


Corolario II.5.2.(a) T ` t = t.

(b) T ` t1 = t2 → t2 = t1.

(c) T ` t1 = t2 ∧ t2 = t3 → t1 = t3.

Demostracion: Los resultados se siguen de la regla de sustitucion, II.3.3, el axiomade identidad, para la parte (a), y II.5.1, para las partes (b) y (c). ¥

§6 Relaciones entre teorıas

6.A Extensiones de teorıas

Definicion II.6.1. Sean T y T′ dos teorıas. Diremos que:(a) T es una extension de T′, T =⇒ T′, si

(a.1) L(T′) ⊆ L(T).

(a.2) Para toda ϕ ∈ Form(T′), Si T′ ` ϕ, entonces T ` ϕ.

(b) T y T′ son equivalentes, T⇐⇒ T′, si L(T) = L(T′) y para toda ϕ ∈ Form(T),

T ` ϕ ⇐⇒ T′ ` ϕ.

Proposicion II.6.2.(a) Si T1 =⇒ T2 y T2 =⇒ T3, entonces T1 =⇒ T3.

(b) Si T =⇒ T′ y A ² T, entonces A|L(T′) ² T′.(c) Si T⇐⇒ T′, entonces T y T′ tienen los mismos modelos.


Problema II.6.3. ¿Es cierto el recıproco de II.6.2-(c)?

Definicion II.6.4. Sean L un lenguaje de primer orden, T una teorıa sobre L, Γ ⊆Form(L) y A una L–estructura. Definimos

[[Γ–teorıa de T]]. ThΓ(T) =

{Lenguaje: L;Axiomas: {ϕ ∈ Γ ∩ Sent : T ` ϕ}.

[[Γ–teorıa de A]]. ThΓ(A) =

{Lenguaje: L;Axiomas: {ϕ ∈ Γ ∩ Sent : A ² ϕ}.

[[Teorıa de A]] Th(A) =

{Lenguaje: L;Axiomas: {ϕ ∈ Sent : A ² ϕ}.

Proposicion II.6.5. Si A ² T, entonces Th(A) =⇒ T.

Demostracion: Si T ` ϕ, entonces, por el teorema de la validez, A ² ϕ. Por tanto,ϕ ∈ Ax(Th(A)). Luego, Th(A) ` ϕ. ¥

Corolario II.6.6. Sean A y B L–estructuras. Son equivalentes:(a) A ≡ B

(b) B ² Th(A).

(c) A y B son modelos de las mismas teorıas.

(d) Th(A)⇐⇒ Th(B).

Definicion II.6.7. Sea T una teorıa. Diremos que:(a) T es finita si Ax(T) es finito.

(b) T es finitamente axiomatizable si existe una teorıa finita T′ tal que T⇐⇒ T′.(c) T esta recursivamente axiomatizada si el conjunto de los axiomas de T es re-

cursivo. Es decir, si existe un algoritmo tal que para cada formula ϕ de L(T)determina si ϕ es o no es un axioma de T.

(d) T es recursivamente axiomatizable si existe T′ recursivamente axiomatizada talque T⇐⇒ T′.

(e) T es decidible si el conjunto de los teoremas de T es recursivo. Es decir, existeun algoritmo que determina para cada formula si es o no es un teorema de T.

Notas II.6.8. En la medida de lo posible es conveniente tener un procedimiento al-gorıtmico para determinar si una formula es un axioma de una teorıa. Es evidenteque un tal procedimiento existe para los axiomas logicos de sustitucion, identidad eigualdad, y como veremos en el siguiente resultado, para los axiomas proposicionales.Por tanto, el problema queda reducido al conjunto de los axiomas no logicos. Como esnatural esto depende de la teorıa.

Aserto II.6.8.1. Existe un algoritmo que determina si una formula es una tautologıa.


Prueba del aserto: Consideremos el siguiente algoritmo. Para cada formula ϕ defi-nimos E(ϕ), conjunto de las formulas elementales que ocurren en ϕ como sigue.

E(ϕ) =

{ϕ}, si ϕ ∈ EF(L);E(ψ) ∪ E(θ), si ϕ es ψ ∨ θ;E(ψ), si ϕ es ¬ψ.

Ee evidente que para todo formula ϕ:

(–) E(ϕ) es finito, y

(–) para cualesquiera valoraciones de verdad σ y σ′, si σ|E(ϕ) = σ′|E(ϕ), entonces

σ(ϕ) = σ′(ϕ).

Consideremos el siguiente algoritmo.

Dada ϕ.

(–) Determinar E(ϕ).

(–) Determinar todas las aplicaciones de E(ϕ) en {0, 1}, ρ1, . . . , ρm.

(–) Sean σ1, . . . , σm valoraciones de verdad tales que (σi)|E(ϕ) = ρi, i = 1, . . . ,m.Para cada i calcular σi(ϕ).

(–) Si para todo i, σi(ϕ) = 1, entonces ϕ es una tautologıa

(–) Caso contrario, ϕ no es tautologıa.

Esto prueba el resultado. ¥En general no existe un algoritmo para determinar si una formula es valida en una es-tructura. Por tanto, la teorıa Th(A), en general, no esta recursivamente axiomatizada.

6.B Teorıas consistentes. Teorema de la reduccion

Definicion II.6.9. Diremos que una teorıa T es inconsistente si para toda formula ϕde L(T), T ` ϕ. En caso contrario, diremos que T es consistente.

Teorema II.6.10. Sea T una teorıa. Son equivalentes:(a) T es inconsistente.

(b) Existe una formula ϕ tal que T ` ϕ y T ` ¬ϕ.

(c) T ` x 6= x.

Demostracion: Trivial. Es suficiente observar que T ` x = x y que cualquier formulaes consecuencia tautologica de ϕ y ¬ϕ. ¥

Proposicion II.6.11. Sea T una teorıa. Si T tiene un modelo, T es consistente.

Problema II.6.12. ¿Es cierto el recıproco de II.6.11?


Corolario II.6.13. Si T ` x 6= y, entonces T es inconsistente.

Demostracion: Si T ` x 6= y, por la regla de sustitucion (II.3.3), T ` x 6= x. Portanto, T es inconsistente. ¥

Teorema II.6.14. Sea T una teorıa. Son equivalentes:(a) T es consistente.

(b) Toda parte finita de T es consistente.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Trivial.

((b) =⇒ (a)): Supongamos que T es inconsistente. Entonces T ` x 6= x. Seanϕ1, . . . , ϕn los axiomas de T que ocurren en una prueba de x 6= x en T. EntoncesT′ ` x 6= x, donde

T′ ={

Lenguaje: L(T);Axiomas: {ϕ1, . . . , ϕn}.

Por tanto, T′ es inconsistente. Lo cual esta en contradiccion con (b), pues T′ es unaparte finita de T. ¥

Proposicion II.6.15. Sea {Tn : n ∈ ω} una sucesion de teorıas consistentes talesque para todo n ∈ ω, Tn+1 =⇒ Tn. Entonces

⋃Tn es consistente. Donde

⋃Tn =

{Lenguaje:

⋃n∈ω L(Tn);

Axiomas:⋃n∈ω Ax(Tn).

Demostracion: Supongamos que⋃

Tn es inconsistente. Por II.6.14, existe una par-te finita, T′, de

⋃Tn que es inconsistente. Sean ϕ1, . . . , ϕk los axiomas de T′. Sean

n1, . . . , nk tales que para todo i, 1 ≤ i ≤ k, ϕi ∈ Ax(Tni). Sea m = max({n1, . . . , nk}).

Entonces para todo i, 1 ≤ i ≤ k, Tm ` ϕi. Por tanto, Tm es inconsistente. ¥

Teorema II.6.16. (Teorema de la reduccion). Sean T una teorıa y ϕ ∈ Sent(T).Son equivalentes:(a) T ` ϕ.

(b) T + ¬ϕ es inconsistente.

Demostracion: En efecto,T + ¬ϕ inconsistente ⇐⇒ T + ¬ϕ ` ϕ

⇐⇒ T ` ¬ϕ→ ϕ [[T. deduccion]]⇐⇒ T ` ϕ [[T. tautologıa]].


Corolario II.6.17. Sea ϕ ∈ Sent(T). Son equivalentes:(a) T + ϕ es inconsistente.

(b) T ` ¬ϕ.


Corolario II.6.18. Sea Γ ⊆ Sent(T). Son equivalentes:(a) T + Γ es inconsistente.

(b) Existen ϕ1, . . . , ϕn ∈ Γ tales que T ` ¬(ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn).

Demostracion: ((b) =⇒ (a)): De la hipotesis se sigue que T+ Γ ` ¬(ϕ1 ∧ . . .∧ϕn).Puesto que T + Γ ` ϕi, 1 ≤ i ≤ n, por el teorema de tautologıa: T + Γ ` ϕ1 ∧ . . .∧ϕn.Lo que demuestra que T + Γ es inconsistente.

((a) =⇒ (b)): Por hipotesis, T + Γ ` ϕ ∧ ¬ϕ. Sean ϕ1, . . . , ϕn las formulas de Γ queaparecen en una deduccion en T + Γ de ϕ∧¬ϕ. Entonces T +ϕ1 + . . .+ϕn ` ϕ∧¬ϕ.Por tanto, T + ϕ1 + . . .+ ϕn es inconsistente. Por el teorema de tautologıa,

(–) T + ϕ1 + . . .+ ϕn ⇐⇒ T + ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn.Por tanto, T + ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn es inconsistente. Luego, T ` ¬(ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn). ¥

6.C Teorıas completas

Definicion II.6.19. Sea T una teorıa consistente. Diremos que T es completa si paratoda formula cerrada, ϕ, de L(T) se tiene que T ` ϕ o T ` ¬ϕ.

Nota II.6.20. Sea T una teorıa consistente tal que para toda formula ϕ:

(∗) T ` ϕ o T ` ¬ϕ.

Consideremos la formula, x = y. Si T ` x 6= y, entonces T es inconsistente. Luego,T ` x = y y por el teorema de la validez si A ² T, entonces A ² x = y. En consecuencia,card(A) = 1. Por tanto, si en la definicion de teorıa completa no restrigimos (∗) alconjunto Sent(T), los modelos de una teorıa completa tendrıan un solo elemento.

Proposicion II.6.21. Sea A una estructura. La teorıa Th(A) es completa.

Demostracion: Puesto que A ² Th(A), por II.6.11, Th(A) es consistente. Ademas,si ϕ ∈ Sent(L), A ² ϕ o A ² ¬ϕ. Por tanto, Th(A) ` ϕ o Th(A) ` ¬ϕ. Lo que pruebaque Th(A) es completa. ¥

Proposicion II.6.22. Sea T una teorıa completa.(a) Para cualesquiera A,B ² T, A ≡ B.

(b) Para todo A ² T, T⇐⇒ Th(A).

Demostracion: ((a)): Sean A,B ² T. Sea ϕ ∈ Sent. Supongamos que A ² ϕ.Entonces


A ² ϕ =⇒ A 6² ¬ϕ=⇒ T 0 ¬ϕ [[T. validez]]=⇒ T ` ϕ [[T completa]]=⇒ B ² ϕ [[T. validez]].

Por tanto, A ≡ B,

((b)): Sea A ² T. Por II.6.5, Th(A) =⇒ T. Veamos que T =⇒ Th(A). Sea ϕ cerradatal que A ² ϕ. Entonces A 6² ¬ϕ. Puesto que A ² T, de lo anterior por el teorema dela validez se sigue que T 0 ¬ϕ. Por tanto, como T es completa, T ` ϕ. ¥

Teorema II.6.23. Si T es completa y recursivamente axiomatizable, entonces T esdecidible.

Demostracion: Puesto que T es recursivamente axiomatizable, existe un algoritmoque determina para cada sucesion finita de formulas si es o no es una prueba en T.

Consideremos el siguiente algoritmo:

(•) Dada ϕ cerrada

(–) Generar una tras otra las sucesiones finitas de formulas de T.

(–) Cada vez que se genere una sucesion finita de formulas, comprobar si es unaprueba en T de ϕ o ¬ϕ.(–) Si es una prueba de ϕ, entonces ϕ es un teorema de T.

(–) Si es una prueba de ¬ϕ, entonces ϕ no es un teorema de T.

Puesto que T es completa, existe una prueba de ϕ o una prueba de ¬ϕ. Por tanto, elalgoritmo anterior termina. ¥

§7 Formas prenex. Formas normales

Definicion II.7.1. (Formas Prenex). Una formula es abierta si no contiene estan-cias de sımbolos de cuantificadores. Una formula ϕ esta en forma prenex si ϕ es de laforma

Q1x1 . . . Qnxn ψ.

donde:(a) Qixi es ∃xi o ∀xi, i = 1, . . . , n. Diremos que Q1x1 . . . Qnxn es el prefijo de ϕ.

(b) Las xi son variables distintas.

(c) ψ es abierta. Diremos que ψ es la matriz de ϕ.

Definicion II.7.2. Definimos recursivamente los siguientes conjuntos de formulas:

(a) ∃0 = ∀0 = {ϕ : ϕ es abierta}.(b) ∃n+1 = ∀n ∪ {∃x1 . . . ∃xm ϕ : ϕ ∈ ∀n}.

44 7. Formas prenex. Formas normales

(c) ∀n+1 = ∃n ∪ {∀x1 . . . ∀xm ϕ : ϕ ∈ ∃n}.Notaremos por ∃cn = ∃n ∩ Sent y ∀cn = ∀n ∩ Sent.

Definicion II.7.3. (Operaciones Prenex). Operaciones prenex basicas.

Cambiar una parte deϕ de la forma

por Condiciones

(P1) ∃xψ ∃y ψx[y] y no es libre en ψx es sustituible por y en ψ

(P2)¬∃xψ¬∀xψ

∀x¬ψ∃x¬ψ

(P3)

∃xψ ∨ θθ ∨ ∃xψ∀xψ ∨ θθ ∨ ∀xψ

∃x (ψ ∨ θ)∃x (θ ∨ ψ)∀x (ψ ∨ θ)∀x (θ ∨ ψ)

x no es libre en θ

De la definicion de las restantes conectivas se obtienen las siguientes operaciones prenexderivadas.

Cambiar una partede ϕ de la forma

por Condiciones

(P4)∃xψ → θ∀xψ → θ

∀x (ψ → θ)∃x (ψ → θ)

x no es libre en θ

(P5)ψ → ∃x θψ → ∀x θ

∃x (ψ → θ)∀x (ψ → θ)

x no es libre en ψ

(P6)

∃xψ ∧ θθ ∧ ∃xψ∀xψ ∧ θθ ∧ ∀xψ

∃x (ψ ∧ θ)∃x (θ ∧ ψ)∀x (ψ ∧ θ)∀x (θ ∧ ψ)

x no es libre en θ

Lema II.7.4. Si ϕ′ se obtiene de ϕ por aplicacion de una operacion prenex, entonces

T ` ϕ↔ ϕ′.

Demostracion: Caso 1: ϕ′ se obtiene de ϕ por aplicacion de la operacion (P1).Entonces el resultado se sigue del teorema de de la variante, II.3.10.

Caso 2: ϕ′ se obtiene de ϕ por aplicacion de la operacion (P2). Por el teorema de laequivalencia es suficiente probar que:

(–) T ` ¬∃xψ ↔ ∀x¬ψ, y

(–) T ` ¬∀xψ ↔ ∃x¬ψ.

Por definicion del cuantificador ∀ las formulas anteriores son

(i) T ` ¬∃xψ ↔ ¬∃x¬¬ψ.

(ii) T ` ¬¬∃x¬ψ ↔ ∃x¬ψ.

Puesto que ¬¬∃x¬ψ ↔ ∃x¬ψ es un axioma proposicional, esto prueba (ii). Para (i),


(1) T ` ψ ↔ ¬¬ψ. [[Ax. proposicional]].

(2) T ` ∃xψ ↔ ∃x¬¬ψ. [[R. de distribucion, (1)]].

(3) T ` ¬∃xψ ↔ ¬∃x¬¬ψ. [[T. tautologıa, (2)]].

Caso 3: ϕ′ se obtiene de ϕ por aplicacion de la operacion (P3). Por el teorema de laequivalencia basta probar que:

(i) T ` (∃xψ ∨ θ)↔ ∃x (ψ ∨ θ), con x no libre en θ.

(ii) T ` (∀xψ ∨ θ)↔ ∀x (ψ ∨ θ), con x no libre en θ.

Prueba de (i).

(=⇒)

(1) T ` ψ → ψ ∨ θ. [[Ax. proposicional]].

(2) T ` ∃xψ → ∃x (ψ ∨ θ). [[R. distribucion, (1)]].

(3) T ` θ → ψ ∨ θ. [[Ax. proposicional]].

(4) T ` ψ ∨ θ → ∃x (ψ ∨ θ). [[Ax. de sustitucion]].

(5) T ` θ → ∃x (ψ ∨ θ). [[T. tautologıa, (3), (4)]].

(6) T ` ∃xψ ∨ θ → ∃x (ψ ∨ θ). [[T. tautologıa, (2), (5)]].

(⇐=)

(7) T ` ψ → ∃xψ. [[Ax. de sustitucion]].

(8) T ` ψ ∨ θ → ∃xψ ∨ θ. [[T. de tautologıa, (7)]].

(9) T ` ∃x (ψ ∨ θ)→ ∃xψ ∨ θ. [[R∃, (8), (x no libre en ∃xψ ∨ θ)]].(10) T ` ∃xψ ∨ θ ↔ ∃x (ψ ∨ θ). [[T. tautologıa, (6), (9)]].

Prueba de (ii).

(=⇒)

(1) T ` ψ → ψ ∨ θ. [[Ax. proposicional]]

(2) T ` ∀xψ → ∀x (ψ ∨ θ). [[R. distribucion, (1)]].

(3) T ` θ → ψ ∨ θ. [[Ax. proposicional]].

(4) T ` θ → ∀x (ψ ∨ θ). [[R∀, (3). (x no libre en θ)]].

(5) T ` ∀xψ ∨ θ → ∀x (ψ ∨ θ). [[T. tautologıa, (2), (4)]].

(⇐=)

(6) T ` ∀x (ψ ∨ θ)→ ψ ∨ θ. [[T. de sustitucion]].

(7) T ` ∀x (ψ ∨ θ) ∧ ¬θ → ψ. [[T. tautologıa, (6)]].

(8) T ` ∀ (ψ ∨ θ) ∧ ¬θ → ∀xψ. [[R∀, (7), (x no libre en ∀x (ψ ∨ θ) ∧ ¬θ)]].(9) T ` ∀x (ψ ∨ θ)→ ∀xψ ∨ θ. [[T. tautologıa, (8)]].

(10) T ` ∀xψ ∨ θ ↔ ∀x (ψ ∨ θ). [[T. tautologıa, (5), (9)]].


Teorema II.7.5. Para toda ϕ ∈ Form(T) existe ψ ∈ Form(T) tal que ψ esta enforma prenex y T ` ϕ↔ ψ. Mas aun, si ϕ es cerrada, entonces ψ es cerrada.

46 7. Formas prenex. Formas normales

Demostracion: Por induccion sobre la longitud de ϕ.

Caso 1: ϕ atomica. Entonces ϕ esta en forma prenex y T ` ϕ↔ ϕ.

Caso 2: ϕ es ¬ψ. Por hipotesis de induccion existe Q1x1 . . . Qnxn θ en forma prenex talque: T ` ψ ↔ Q1x1 . . . Qnxn θ. Por el teorema de tautologıa,

(–) T ` ϕ↔ ¬Q1x1 . . . Qnxn θ.

Aplicando n veces la operacion (P2) por el lema anterior se tiene que:

(–) T ` ϕ↔ Q′1x1 . . . Q′nxn ¬θ.

Donde

(–) Q′ixi es ∃xi si Qixi es ∀xi, y

(–) Q′ixi es ∀xi si Qixi es ∃xi.Ahora bien, Q′1x1 . . . Q

′nxn ¬θ esta en forma prenex.

Caso 3: ϕ es ψ ∨ θ. Por hipotesis de induccion:

(–) T ` ψ ↔ Q1x1 . . . Qnxn ψ′.

(–) T ` θ ↔ R1y1 . . . Rmym θ′ .

Aplicando la operacion (P1) cuantas veces sea necesario, podemos suponer que:

(–) Las xi (i = 1, . . . , n) son distintas de las yj (j = 1, . . . ,m).

(–) xi no es libre en θ′, (i = 1, . . . , n).

(–) yj no es libre en ψ′, (j = 1, . . . ,m).

Por tanto,

(–) T ` ϕ↔ Q1x1 . . . Qnxn ψ′ ∨R1y1 . . . Rmymθ

′.

Aplicando n veces la operacion (P3),

(–) T ` ϕ↔ Q1x1 . . . Qnxn (ψ′ ∨R1y1 . . . Rmym θ′).

Aplicando m veces la operacion (P3),

(–) T ` ϕ↔ Q1x1 . . . QnxnR1y1 . . . Rmym (ψ′ ∨ θ′).Que esta en forma prenex.

Caso 4: ϕ es ∃xψ. Por hipotesis de induccion existe Q1x1 . . . Qnxn θ en forma prenextal que: T ` ψ ↔ Q1x1 . . . Qnxn θ.

Si x es alguna de las xi, entonces (si v no libre en σ, entonces T ` σ ↔ ∃v σ)

(–) T ` ϕ↔ Q1x1 . . . Qnxn θ.

Lo que prueba el resultado. Si x es distinta de todas las xi, entonces por la regla dedistribucion

(–) T ` ϕ↔ ∃xQ1x1 . . . Qnxn θ,

y puesto que ∃xQ1x1 . . . Qnxn θ esta en forma prenex, esto prueba el resultado. ¥


Definicion II.7.6.(a) Una formula diremos que es un literal si es atomica o es la negacion de una

formula atomica.

(b) Una formula abierta esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., si es una conjuncionde disyunciones de literales.

(c) Una formula abierta esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., si es una disyuncionde conjunciones de literales.

Teorema II.7.7. Para toda formula ϕ ∈ ∀0 existe una formula ϕc en f.n.c. y unaformula ϕd en f.n.d. tales que:(a) T ` ϕ↔ ϕc.

(b) T ` ϕ↔ ϕd.

Demostracion: Probaremos simultaneamente (a) y (b) por induccion sobre la lon-gitud de ϕ. Como ϕ es abierta, no puede ser de la forma ∃xψ. Por tanto, es suficienteconsiderar los tres casos siguientes:

Caso 1: ϕ es atomica. Entonces ϕ esta en forma normal conjuntiva y disyuntiva.

Caso 2: ϕ es ¬ψ.

Prueba de (a): Por hipotesis de induccion existe ψd en forma normal disyuntivatal que: T ` ψ ↔ ψd.

Sea ψd la formula θ1 ∨ . . . ∨ θm. Entonces T ` ϕ↔ ¬θ1 ∧ . . . ∧ ¬θm.

Para cada i, i = 1, . . . ,m, sean σij, 1 ≤ j ≤ ni, y δij, 1 ≤ j ≤ ki, formulas atomicastales que θi es σi1 ∧ . . . σini

∧ ¬δi1 ∧ . . . ∧ ¬δiki. Entonces

(–) T ` ¬θi ↔ ¬σi1 ∨ . . . ∨ ¬σini∨ δi1 ∨ . . . ∨ δiki

.

Sea θ′i la formula de la derecha en la equivalencia anterior. Entonces

(–) T ` ϕ↔ θ′1 ∧ . . . ∧ θ′m.

Como θ′1 ∧ . . . ∧ θ′m esta en forma normal conjuntiva, esto prueba (a).

Prueba de (b): Por hipotesis de induccion existe ψc en forma normal conjuntivatal que: T ` ψ ↔ ψc.

Sea ψd la formula θ1 ∧ . . . ∧ θm. Entonces T ` ϕ↔ ¬θ1 ∨ . . . ∨ ¬θm.

Para cada i, i = 1, . . . ,m, sean σij, 1 ≤ j ≤ ni, y δij, 1 ≤ j ≤ ki, formulas atomicastales que θi es σi1 ∨ . . . ∨ σini

∨ ¬δi1 ∨ . . . ∨ ¬δiki. Entonces

(–) T ` ¬θi ↔ ¬σi1 ∧ . . . ∧ ¬σini∧ δi1 ∧ . . . ∧ δiki

.

Sea θ′i la formula de la derecha en la equivalencia anterior. Entonces

(–) T ` ϕ↔ θ′1 ∨ . . . ∨ θ′m.

Como θ′1 ∨ . . . ∨ θ′m esta en forma normal disyuntiva, esto prueba (b).

Caso 3: ϕ es ψ ∨ θ.Prueba de (a): Por hipotesis de induccion

48 8. Aplicaciones

(–) T ` ψ ↔ ψ1 ∧ . . . ∧ ψn.(–) T ` θ ↔ θ1 ∧ . . . ∧ θm.

Por tanto, T ` ψ ∨ θ ↔ (ψ1 ∧ . . . ∧ ψn) ∨ (θ1 ∧ . . . ∧ θm).

En consecuencia, T ` ϕ↔ ∧1≤i≤n, 1≤j≤m (ψi ∨ θj).

Donde la formula de la derecha esta en forma normal conjuntiva.

Prueba de (b): Por hipotesis de induccion existen ψ′ y θ′ en forma normaldisyuntiva tales que:

(–) T ` ψ ↔ ψ′.(–) T ` θ ↔ θ′.

Por tanto, T ` ϕ ↔ ψ′ ∨ θ′. Como ψ′ ∨ θ′ esta en forma normal disyuntiva estoprueba el resultado. ¥

Teorema II.7.8. Para toda formula ϕ existe una formula ψ en forma prenex con sumatriz en forma normal conjuntiva (disyuntiva) tal que T ` ϕ↔ ψ.

Demostracion: Es consecuencia inmediata de los teoremas II.7.5 y II.7.7. ¥

§8 Aplicaciones

8.A Teorıas sobre L=

Proposicion II.8.1. Sea A ⊆ ω − {0} finito y no vacıo. Existe una teorıa TA sobreL= tal que para toda L=–estructura, A,

A ² TA ⇐⇒ card(A) ∈ A.

Demostracion: Sea ϕA la formula obtenida en I.4.2. Es evidente que la teorıa cuyounico axioma no logico es la formula ϕA verifica las propiedades deseadas. ¥

Proposicion II.8.2. Sea A ⊆ ω − {0}. Existe una teorıa TA tal que para toda L=–estructura, A,

A ² TA ⇐⇒ card(A) ∈ A o ℵ0 ≤ card(A).

Demostracion: Dividimos la prueba en dos casos:

Caso 1: A es finito. Sean A = {n1, . . . , nk} y n = max(n1, . . . , nk). Sea TA la teorıa:

TA = {ϕA ∨ ϕ≥m : m > n}.Donde si A = ∅, ϕA es x 6= x.

Caso 2: A es infinito. Para cada m > 0 sea Am = {n ∈ A : n ≤ m}. Sea TA la teorıa:

TA = {ϕAm ∨ ϕ≥m : 0 < m y Am 6= ∅}.En ambos casos, es facil comprobar que TA satisface el teorema. ¥


Problema II.8.3.(a) Sea T una teorıa consistente sobre L=. ¿Existe A ⊆ ω − {0} tal que T ⇐⇒ TA

o T⇐⇒ TA?

(b) ¿Para que conjuntos A la teorıa TA es completa?

(c) ¿Para que conjuntos A la teorıa TA es decidible?

(d) ¿Para que conjuntos A la teorıa TA es completa?

(e) ¿Para que conjuntos A la teorıa TA es decidible?

(f) Todas las teorıas obtenidas en la demostracion de II.8.2 tienen un numero infinitode axiomas. ¿Para que conjuntos A la teorıa TA es finitamente axiomatizable?

8.B La teorıa Th(NS)

Definicion II.8.4. (La estructura NS). Sea LS el lenguaje cuyos sımbolos no logi-cos son:

(–) 0, constante.

(–) S, funcion 1–aria.

La estructura NS esta definida por:

(–) Universo: ω = {0, 1, 2, . . .}. [[Conjunto de los numeros naturales]].

(–) Interpretaciones de sımbolos no logicos:(–) 0NS

= 0.

(–) Para todo n ∈ ω, SNS(n) = n+ 1.

Nota II.8.5. El objetivo de esta seccion es encontrar una teorıa TS, con una descrip-cion simple de sus axiomas, tal que: TS ⇐⇒ Th(NS).

Supongamos que T′ =⇒ T. Para probar que T ×⇐⇒ T′, por el teorema de la validez,es suficiente obtener A ² T tal que A 6² T′.

Nota II.8.6. (La teorıa T1). Sea T1 la teorıa

T1 =

{Lenguaje: LS;Axiomas: 0 6= S(x).

Puesto que NS ² T1, Th(NS) =⇒ T1. La cuestion es:

(–) ¿T1 ⇐⇒ Th(NS)?

Para ver que no es este el caso, consideremos la LS–estructura, A1, dada por:

(–) Universo: |A1| = {a, b}.(–) 0A1 = a, SA1(a) = b, SA1(b) = b.

Es evidente que A1 ² T1. Sin embargo, A1 6² Th(NS). En efecto,

50 8. Aplicaciones

(–) NS ² S(x) = S(y)→ x = y. [[SNSes inyectiva]].

(–) A1 6² S(x) = S(y)→ x = y. [[SA1 no es inyectiva]].

Por tanto, por el teorema de la validez, T1 0 S(x) = S(y)→ x = y.


T2 = T1 + {S(x) = S(y)→ x = y}.(–) ¿Es T2 equivalente a Th(NS)?

Puesto que en cualquier modelo de T2 la interpretacion de S es una aplicacion inyectivay la interpretacion de 0 no pertenece al rango de S, todo modelo de T2 es infinito.

Sea ϕ2 la formula:x 6= 0→ ∃y (S(y) = x).

Es claro que NS ² ϕ2. Por tanto, NS ² T2. Consideremos la siguiente cuestion

(–) ¿T2 ` ϕ2?

Por el teorema de la validez para dar una respuesta negativa a esta cuestion es suficienteencontrar un modelo de T2 en el cual ϕ2 sea falsa. Sea A2 la estructura dada por

(–) Universo: ω ∪ {ai : i ∈ ω}.(–) 0A2 = 0, SA2(n) = n+ 1, SA2(ai) = ai+1.

Entonces A2 6² ϕ2. En efecto, A2 ² 0 6= a0 y A2 ² ¬∃y (S(y) = a0). Por tanto, comoA2 ² T2, T2 0 ϕ2.


T3 = T2 ∪ {x 6= 0→ ∃y (S(y) = x)}.Consideremos la formula x 6= S(x). Es claro que NS ² x 6= S(x). Sea A3 la estructuradada por

(–) Universo: ω ∪ {a}.(–) 0A3 = 0, SA3(n) = n+ 1, SA3(a) = a.

Se tiene que A3 ² a = S(a). Por tanto, de A3 ² T3 se sigue que T3 0 x 6= S(x).


T4 = T3 ∪ {x 6= S(x)}.Consideremos ahora la estructura A4 dada por:

(–) Universo: ω ∪ {a, b}.(–) 0A4 = 0, SA4(n) = n+ 1, SA4(a) = b, SA4(b) = a.

En este caso, A4 ² a = S(S(a)). Por tanto, como A4 ² T4 tenemos que T4 0 x 6=S(S(x)). Sin embargo, NS ² x 6= S(S(x)). Luego T4 y Th(NS) no son equivalentes.


Nota II.8.10. Analogamente, se define Ak+3, 2 ≤ k, como sigue:

(–) Universo: ω ∪ {a0, . . . , ak}.(–) 0An = 0, SAk

(n) = n+ 1, SAk(aj) = aj+1, j < k, SAk

(ak) = a0.

Para cada j ∈ ω sea Sj(x) el termino:

(–) x, si j = 0.

(–) S(Sm(x)), si j = m+ 1.

Entonces Ak+3 6² x 6= Sk+1(x) y Ak+3 ² Tk+3 donde

Tk+3 = T3 ∪ {x 6= Sj(x) : 1 ≤ j ≤ k}.

Problema II.8.11. (La teorıa TS). Sea TS la teorıa

TS = T3 ∪ {x 6= Sj(x) : j > 0}.(a) ¿Son TS y Th(NS) equivalentes?

(b) ¿Es TS finitamente axiomatizable?

Problema II.8.12.(a) Sea M = {(n,m) ∈ ω2 : n < m}. ¿Es M definible en NS?

(b) Determinar los subconjuntos de ω definibles en NS.

§9 Ejercicios

Ejercicio II.9.1. (II.1.7.1). Sean x una variable y t un termino. Sea σ una valora-cion de verdad. Entonces la aplicacion σx,t definida por:

σx,t(ϕ) = σ(ϕx[t])

es una valoracion de verdad.

Ejercicio II.9.2. El resultado establecido en el teorema II.1.7 para los axiomas desustitucion no se verifica si la variable x no es sustituible por el termino t en ϕ.

Ejercicio II.9.3. (II.6.6). Sean A y B L–estructuras. Son equivalentes:(a) A ≡ B

(b) B ² Th(A).

(c) A y B son modelos de las mismas teorıas.

(d) Th(A)⇐⇒ Th(B).

Ejercicio II.9.4. Si T ` ϕ→ ψ y T ` ¬ϕ→ ψ, entonces T ` ψ.

52 9. Ejercicios

Ejercicio II.9.5. (II.3.5). Supongamos que: T ` ϕ→ ψ. Entonces(a) T ` ∃xϕ→ ∃xψ.

(b) T ` ∀xϕ→ ∀xψ.

Ejercicio II.9.6. Si x no ocurre en t y es sustituible por t en ϕ(x), entonces

T ` ϕx[t]↔ ∃x (x = t ∧ ϕ(x))

Ejercicio II.9.7. (II.6.11). Sea T una teorıa. Si T tiene un modelo, entonces T esconsistente.

Ejercicio II.9.8. (II.6.17). Sea ϕ ∈ Sent(T). Son equivalentes:(a) T + ϕ es inconsistente.

(b) T ` ¬ϕ.

A lo largo del texto se han planteado los problemas que se enuncian a continuacion.Algunos de estos seran resueltos, explıcitamente, a lo largo del Capıtulo III, losrestantes quedan propuestos como ejercicios.

Problema II.9.9. (II.1.17). ¿Es cierto el recıproco de II.1.16?

Problema II.9.10. (II.6.3). ¿Es cierto el recıproco de II.6.2-(c)?

Problema II.9.11. (II.6.12). ¿Es cierto el recıproco de II.6.11?

Problema II.9.12. (II.8.3).(a) Sea T una teorıa consistente sobre L=. ¿Existe A ⊆ ω − {0} tal que T ⇐⇒ TA

o T⇐⇒ TA?

(b) ¿Para que conjuntos A la teorıa TA es completa o es decidible?

(c) ¿Para que conjuntos A la teorıa TA es completa o es decidible?

(d) Todas las teorıas obtenidas en la demostracion de II.8.2 tienen un numero infinitode axiomas. ¿Para que conjuntos A la teorıa TA es finitamente axiomatizable?

Problema II.9.13. (II.8.11).(a) ¿Son TS y Th(NS) equivalentes?

(b) ¿Es TS finitamente axiomatizable?

Problema II.9.14. (II.8.12).(a) Sea M = {(n,m) ∈ ω2 : n < m}. ¿Es M definible en NS?

(b) Determinar los subconjuntos de ω definibles en NS.

Capıtulo III

Los teoremas de completitud ycompacidad

§1 El teorema de completitud

1.A Introduccion

El objetivo de este paragrafo es probar el siguiente resultado:

Teorema III.1.1. (Teorema de Completitud).

(a) (L. Henkin) T consistente ⇐⇒ T tiene un modelo. (⇐= II.6.11).

(b) (K. Godel) T ² ϕ ⇐⇒ T ` ϕ. (⇐= Teorema de la validez).

Lema III.1.2. III.1.1-(a) =⇒ III.1.1-(b).

Demostracion: Por el teorema de la validez es suficiente probar que: si T ² ϕ,entonces T ` ϕ. Sea ϕ tal que T ² ϕ. Por el teorema del cierre podemos suponer que ϕes cerrada. Supongamos que T 0 ϕ. Entonces por el teorema de la reduccion, T + ¬ϕes consistente. En consecuencia, de III.1.1-(a) se sigue que T + ¬ϕ tiene un modelo.Sea A un modelo de T + ¬ϕ. Entonces

(–) A ² ¬ϕ.

(–) A ² ϕ. Pues T ² ϕ y A ² T.

Lo cual es una contradiccion. ¥

Notas III.1.3. Del lema obtenemos que es suficiente probar la parte (a) del teoremade completitud. Las restantes secciones de este paragrafo las dedicaremos a la pruebade este resultado.

53

54 1. El teorema de completitud

Antes de comenzar la prueba del teorema veamos algunas consecuencias inmediatas.

(a) Por el teorema de la validez, si T ` ϕ, entonces T ² ϕ. Por tanto, la parte (b)del teorema de completitud resuelve el problema planteado en II.1.17.

(b) Por II.6.11, si T tiene un modelo, entonces T es consistente. Es decir, la parte(a) del teorema de completitud soluciona el problema planteado en II.6.12.

(c) Veamos como con el teorema de completitud podemos resolver el problema plan-teado en II.6.3. En efecto, se tiene que:

Aserto III.1.3.1. Si T y T′ tienen los mismos modelos, T⇐⇒ T′.

1.B La estructura canonica

Nota III.1.4. A lo largo de este apartado supondremos que T es una teorıa cuyolenguaje contiene alguna constante. Por tanto, el conjunto de los terminos sin variablesde T, Term0(T), es no vacıo.

Definicion III.1.5. Sean t1, t2 ∈ Term0(T). Definimos

t1 ∼T t2 ⇐⇒ T ` t1 = t2.

Lema III.1.6. La relacion ∼T es de equivalencia.

Demostracion: Se sigue de los resultados de II.5.2. ¥

Nota III.1.7. Sea t ∈ Term0(T). Notaremos por t/∼ a la clase de equivalencia det. Es decir,

t/∼ = {s ∈ Term0(T) : t ∼T s}.

Definicion III.1.8. (La estructura canonica de T, AT). La estructura canonicade T, AT, es la L(T)-estructura dada por:

(a) Universo: |AT| = {t/∼ : t ∈ Term0(T)}.(b) Constantes: AT(c) = c/∼.

(c) Funciones: fAT(t1/∼, . . . , tn/∼) = (f(t1, . . . , tn))/∼.

(d) Predicados: (t1/∼, . . . , tn/∼) ∈ pAT⇐⇒ T ` p(t1, . . . , tn).

Lema III.1.9. La interpretacion de sımbolos de predicados y funciones en AT no de-pende de los representantes de clases elegidos.

Demostracion: Se sigue de II.5.2. ¥

Lema III.1.10.

Capıtulo III. Los teoremas de completitud y compacidad 55

(a) Sea t ∈ Term0(T). Entonces

AT(t) = t/∼.

(b) Sea ϕ una formula atomica cerrada. Entonces

AT ² ϕ ⇐⇒ T ` ϕ.

Demostracion: ((a)): La prueba se realiza por induccion sobre la longitud de t,observando que el resultado es trivial para las constantes.

((b)): Se sigue de (a) y la definicion de AT. ¥

Notas III.1.11. El resultado de III.1.10–(b) no se verifica necesariamente para todaϕ ∈ Sent(T). Basicamente hay dos razones que impiden establecer este resultado deforma general.

(a) Formulas existenciales: Por una parte, la formula ϕ puede asegurar la existenciade un elemento con una determinada propiedad y, sin embargo, ningun terminosin variables de T tiene tal propiedad. Sea ϕ de la forma ∃xψ(x). Supongamosque para todo t ∈ Term0(T),

(–) AT ² ψ(t) ⇐⇒ T ` ψ(t).

Entonces se deberıa tener que:

T ` ∃xψ(x) =⇒ existe t ∈ Term0(T) tal que T ` ψ(t).

Sin embargo, este resultado no se verifica para toda teorıa. Por ejemplo, en lateorıa de grupos, considerar la formula ∃x (x 6= 0).

(b) Completitud de la teorıa: Los teoremas de T no estan necesariamente determi-nados por las formulas validas en un modelo concreto de T. Si para toda formulaϕ ∈ Sent(T)

AT ² ϕ ⇐⇒ T ` ϕ,

entonces T es completa. Sin embargo, puede existir una formula cerrada, ϕ, deT tal que T 0 ϕ y T 0 ¬ϕ; es decir, T no es completa. Por ejemplo, en la teorıade grupos la formula ∀x∀y (x+ y = y + x) satisface esta propiedad.

En el proximo resultado veremos que una vez resueltas las dificultades consideradas en(a) y (b), entonces III.1.10–(b) se tiene para toda ϕ ∈ Sent(L).

Teorema III.1.12. Sea T una teorıa tal que

(i) Para toda ψ(x) ∈ Form(T),

T ` ∃xψ(x) =⇒ existe t ∈ Term0(T) tal que T ` ψ(t).

(ii) T es completa.

Entonces para toda ϕ ∈ Sent(T),

AT ² ϕ ⇐⇒ T ` ϕ.

En particular, AT ² T.


Demostracion: Realizaremos la prueba por induccion sobre el numero de estanciasde los sımbolos ¬, ∨, ∃ en la formula ϕ.

Caso 1: ϕ atomica. El resultado se sigue de III.1.10–(b)

Caso 2: ϕ es ¬ψ. Observemos que ψ ∈ Sent(L). Ademas,

AT ² ϕ ⇐⇒ AT 6² ψ⇐⇒ T 0 ψ [[Hip. Ind.]]⇐⇒ T ` ¬ψ [[T completa]]⇐⇒ T ` ϕ [[ϕ es ¬ψ]].

Caso 3: ϕ es ψ ∨ θ. Primero observemos que ψ, θ ∈ Sent(L). Ademas,

Aserto III.1.12.1. T ` ψ ∨ θ ⇐⇒ T ` ψ o T ` θ.Veamos ahora que: AT ² ϕ ⇐⇒ T ` ϕ.

En efecto,

AT ² ϕ ⇐⇒ AT ² ψ ∨ θ⇐⇒ AT ² ψ o AT ² θ⇐⇒ T ` ψ o T ` θ [[Hip. Ind.]]⇐⇒ T ` ψ ∨ θ [[III.1.12.1]]⇐⇒ T ` ϕ.

Caso 4: ϕ es ∃xψ(x). Observemos que si t ∈ Term0(T), entonces ψx[t] ∈ Sent(T).

(=⇒): Supongamos que AT ² ϕ. Entonces

AT ² ϕ =⇒ AT ² ∃xψ(x)=⇒ Existe a ∈ AT tal que AT ² ψ(a)=⇒ Existe t ∈ Term0(T) tal que AT ² ψ(t/∼) [[a = t/∼]]=⇒ AT ² ψ(t) [[AT(t) = t/∼]]=⇒ T ` ψ(t) [[Hip. Ind.]]=⇒ T ` ∃xψ [[Ax. sust. y M.P.]]=⇒ T ` ϕ.

(⇐=): Supongamos que T ` ϕ.

T ` ϕ =⇒ T ` ∃xψ(x)=⇒ Existe t ∈ Term0(T) tal que T ` ψ(t) [[(i)]]=⇒ AT ² ψ(t) [[Hip. Ind.]]=⇒ AT ² ∃xψ(x)=⇒ AT ² ϕ.


1.C Teorıas de Henkin

Para subsanar el inconveniente senalado en III.1.11-(a) consideremos la siguientedefinicion.


Definicion III.1.13. (Teorıas de Henkin). Una teorıa T diremos que es de Henkinsi para toda ϕ ∈ Sent(L(T)) de la forma ∃xψ(x) existe una constante c de L(T) talque

(a) c no ocurre en ϕ,

(b) T ` ∃xψ(x)→ ψx[c].

Lema III.1.14. Sea T una teorıa de Henkin.

(a) Si T′ =⇒ T, donde L(T) = L(T′), entonces T′ es de Henkin.

(b) Sea ∃xψ(x) ∈ Sent. Si T ` ∃xψ(x), entonces existe t ∈ Term0(T) tal queT ` ψ(t). ¥

Teorema III.1.15. (Teorema de Completitud). Si T es consistente, entonces Ttiene un modelo.

El esquema de la prueba es el siguiente

III.1.16III.1.17III.1.18

=⇒ III.1.15.

Donde

Proposicion III.1.16. Sea T consistente. Entonces existe una teorıa TH tal que:(a) TH es consistente y de Henkin.

(b) L(T) ⊆ L(TH).

(c) Ax(T) ⊆ Ax(TH). Por tanto, TH =⇒ T.

Proposicion III.1.17. (AC) Sea T consistente. Entonces existe TC tal que(a) TC es completa.

(b) L(T) = L(TC).

(c) Ax(T) ⊆ Ax(TC). Por tanto, TC =⇒ T.

Proposicion III.1.18. Si T es de Henkin y completa, entonces AT ² T.

Nota III.1.19. (Prueba del teorema de completitud, III.1.1-(a)). Sea T unateorıa consistente. Sean

(–) TH la teorıa obtenida de T en III.1.16.

(–) THC la teorıa obtenida de TH en III.1.17.

Puesto que TH es de Henkin, por III.1.14, THC es de Henkin. Ademas, THC escompleta. Por tanto, de III.1.18 se sigue que ATHC ² THC . Sea A = (ATHC )|L(T).Entonces de THC =⇒ T se sigue que A ² T. Lo que prueba el teorema. ¥


Probaremos ahora los resultados usados en la demostracion del teorema de completitud.

Nota III.1.20. (Prueba de III.1.18). Sea T una teorıa de Henkin y completa. En-tonces T satisface las hipotesis de III.1.12; por tanto, AT ² T. ¥

Nota III.1.21. ((AC) Prueba de III.1.17). Consideremos la siguiente coleccion deteorıas.

A = {T∗ : Ax(T) ⊆ Ax(T∗) y T∗ es consistente}.Sobre A definimos la siguiente relacion de orden.

T1 ≤ T2 ⇐⇒ Ax(T1) ⊆ Ax(T2).

Se tiene que:

Aserto III.1.21.1. Toda cadena de elementos de A tiene cota superior.

Prueba del aserto: Sea C ⊆ A una cadena. Sea TC la teorıa

TC =

{Lenguaje: L(T);Axiomas:

⋃T∗∈C Ax(T∗).

Como en II.6.15 se obtiene que TC es consistente. Por tanto, TC ∈ A y es unacota superior de C. Lo que prueba el aserto. 2

Del aserto, por el lema de Zorn, se sigue que A tiene elementos maximales. Sea T′ unelemento maximal de A. Se tiene que

Aserto III.1.21.2. T′ es completa.

Prueba del aserto: Sea ϕ ∈ Sent. Veamos que T′ ` ϕ o T′ ` ¬ϕ. Supongamosque T′ 0 ϕ. Entonces

T′ 0 ϕ =⇒ T′ + ¬ϕ consistente [[T. reduccion, II.6.17]]=⇒ ¬ϕ ∈ Ax(T′) [[T′ elem. maximal de A]]=⇒ T′ ` ¬ϕ.

Lo que prueba que T′ es completa. 2

Del ultimo aserto se sigue el resultado. ¥

Nota III.1.22. En esta nota probaremos unos resultados necesarios para la demos-tracion de III.1.16.

Aserto III.1.22.1. Sea T una teorıa consistente.(a) Sea c una nueva constante y ∃xϕ(x) ∈ Sent(T). Entonces la teorıa T(c) es

consistente, donde

T(c) =

{Lenguaje: L(T) ∪ {c};Axiomas: Ax(T) ∪ {∃xϕ(x)→ ϕx[c]}.

(b) Sean c1, . . . , cn nuevas constantes y ∃x1 ϕ1(x1), . . . , ∃xn ϕn(xn) ∈ Sent(T). En-tonces la teorıa T(c1, . . . , cn) es consistente, donde


T(c1, . . . , cn) =

{Lenguaje: L(T) ∪ {c1, . . . , cn};Axiomas: Ax(T) ∪ {∃xi ϕi(xi)→ (ϕi)xi

[ci] : i = 1, . . . , n}.

Prueba del aserto: ((a)): Supongamos lo contrario. Entonces

T(c) inconsistente =⇒ T + c ` ¬(∃xϕ(x)→ ϕx[c]) [[T. reduccion]]=⇒ T + c ` ∃xϕ(x) ∧ ¬ϕx[c]=⇒

{T + c ` ∃xϕ(x)T + c ` ¬ϕx[c]

=⇒{

T ` ∃xϕ(x)T ` ¬ϕ(x)

[[T. constantes]]

=⇒{

T ` ∃xϕ(x)T ` ∀x¬ϕ(x)

=⇒{

T ` ∃xϕ(x)T ` ¬∃xϕ(x)

=⇒ T es inconsistente.

Contradiccion. Lo que prueba (a).

((b)): Por induccion sobre n.

(n = 1). Se sigue de (a).

(n =⇒ n+1). En efecto, T(c1, . . . , cn, cn+1) = T(c1, . . . , cn)(cn+1). Por hipotesis de in-duccion, T(c1, . . . , cn) es consistente. Por tanto, de (a) se sigue que T(c1, . . . , cn)(cn+1)es consistente. ¥

Aserto III.1.22.2. Para cada ∃xϕ(x) ∈ Sent(L(T)) sea cϕ una nueva constante. SiT es consistente, entonces la teorıa T∗ es consistente, donde

T∗ =

{Lenguaje: L(T) ∪ {cϕ : ∃xϕ(x) ∈ Sent(L(T))};Axiomas: Ax(T) ∪ {∃xϕ(x)→ ϕx[cϕ] : ∃xϕ ∈ Sent(L(T))}.

Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Entonces T∗ ` x 6= x. Sean

(–) θj ≡ ∃xϕj(x)→ (ϕj)x[cϕj], 1 ≤ j ≤ n,

los nuevos axiomas de T∗ que ocurren en una deduccion de x 6= x en T∗. Entonces

T + θ1 + . . .+ θn ` x 6= x.

Lo cual contradice la parte (b) de III.1.22.1. ¥

Aserto III.1.22.3. Por recursion sobre n ∈ ω definimos la sucesion de teorıas {Tn :n ∈ ω}.

(–) T0 = T,

(–) Tn+1 = T∗n (donde T∗

n es como en el aserto III.1.22.2).

Sea T(ω) la teorıa:


T(ω) =

{Lenguaje:

⋃n∈ω L(Tn);

Axiomas:⋃n∈ω Ax(Tn).

Se tiene que:(a) L(T) ⊆ L(T(ω)).

(b) Ax(T) ⊆ Ax(T(ω)). Por tanto, T(ω) =⇒ T.

(c) T consistente =⇒ T(ω) consistente.

(d) T(ω) es de Henkin.

Prueba del aserto: De la definicion se sigue inmediatamente (a) y (b).

((c)): Por III.1.22.2 para todo n, Tn es consistente. Por tanto, el resultado se siguede II.6.15.

((d)): Sea ∃xϕ(x) una formula cerrada de T(ω). Sea n el menor numero natural talque ∃xϕ(x) es una formula de Tn. Entonces ∃xϕ(x)→ ϕx[cϕ] es un axioma de Tn+1

y en consecuencia de T(ω). Por tanto,

T(ω) ` ∃xϕ(x)→ ϕx[cϕ].

Luego, T(ω) es de Henkin. Lo que prueba el resultado. ¥

Nota III.1.23. (Prueba de III.1.16). Sea T consistente. Sea T(ω) la teorıa obte-nida de T como en III.1.22.3. Entonces T(ω) es una extension consistente de T y esde Henkin. Esto prueba la proposicion. ¥

Corolario III.1.24. Si T es consistente, entonces existe A ² T tal que card(A) ≤card(L(T)).

Demostracion: Sea T′ una teorıa de Henkin que es una extension completa de T(para obtener T′ basta aplicar a T las proposiciones III.1.16 y III.1.17). Sea A larestriccion de la estructura canonica de T′ al lenguaje de T. Entonces A ² T. Ademas

card(A) ≤ card(Term0(T′)) = card(L(T)).


Teorema III.1.25. (Completa al resultado presentado en II.6.22). Sea T una teorıaconsistente. Son equivalentes:(a) T es completa.

(b) Para cualesquiera A,B ∈Mod(T), A ≡ B.

(c) Para todo A ∈Mod(T), T⇐⇒ Th(A).


§2 El teorema de compacidad

2.A El teorema de compacidad

Teorema III.2.1. (Teorema de Compacidad). Sea T una teorıa. Son equivalen-tes:(a) Toda parte finita de T tiene un modelo.

(b) T tiene un modelo.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Supongamos que T no tiene modelos. Entonces T esinconsistente. Por tanto, T ` x 6= x. Sea T′ una parte finita de T tal que T′ ` x 6= x.Entonces T′ es inconsistente y por el teorema de completitud no tiene modelos. Lo cuales una contradiccion.

((b) =⇒ (a)): Trivial. ¥

Proposicion III.2.2. Si para todo n ∈ ω existe A ² T tal que n ≤ card(A), entoncesexiste A ² T tal que ℵ0 ≤ card(A).

Demostracion: Sean {ci : i ∈ ω} nuevas constantes. Consideremos la teorıa

T′ ={

Lenguaje: L(T) ∪ {ci : i ∈ ω};Axiomas: Ax(T) ∪ {ci 6= cj : i 6= j}.

Aserto III.2.2.1. T′ es consistente.

Prueba del aserto: Sea T1 una parte finita de T′. Sean cn1 , . . . , cnklas nuevas

constantes que ocurren en los axiomas de T1. Por hipotesis, existe A ² T tal quek ≤ card(A). Sea A′ la expansion de A a L(T′) dada por:

(–) Sean a1, . . . , ak ∈ A distintos dos a dos. Definimos

A′(cni) = ai.

Entonces A′ ² T1. Lo anterior prueba que toda parte finita de T′ tiene un modelo.Luego, por el teorema de compacidad, T′ es consistente. 2

Sea A′ un modelo de T′ y A = A′|L(T). Se tiene que:

(–) A ² T. Trivial.

(–) ℵ0 ≤ card(A). En efecto, {A′(ci) : i ∈ ω} ⊆ A y si i 6= j, A′(ci) 6= A′(cj).


Teorema III.2.3. (Teorema de Lowenheim-Skolem-Tarski). Sea T una teorıaque tiene modelos infinitos. Entonces para todo cardinal κ ≥ card(T) existe A ² T talque card(A) = κ.

Demostracion: Para cada α ∈ κ sea cα una nueva constante. Consideremos la teorıa:

62 2. El teorema de compacidad

T′ ={

Lenguaje: L(T) ∪ {cα : α ∈ κ};Axiomas: Ax(T) ∪ {cα 6= cβ : α 6= β}.

Aserto III.2.3.1. T′ es consistente.

Prueba del aserto: Sea T1 cualquier parte finita de T′. Sean cα1 , . . . , cαn lasnuevas constantes que ocurren en algun axioma de T1. Sean A ² T infinito (existepor hipotesis) y a1, . . . , an ∈ A distintos dos a dos. Sea A′ la expansion de A aL(T′) dada por: A′(cαi

) = ai. Entonces A′ ² T1. Por tanto, toda parte finita de T′

tiene un modelo. De lo anterior, por los teoremas de compacidad y completitud,T′ es consistente. Lo que prueba el aserto. 2

Por el aserto y III.1.24 existe A′ ² T′ tal que card(A′) ≤ card(T′). Ahora bien,card(T′) = card(T) + κ = κ, pues card(T) ≤ κ. Por tanto, card(A′) ≤ κ. Por otraparte, {A′(cα) : α ∈ κ} ⊆ A′. Luego, κ ≤ card(A′). De las dos desigualdades anterioresse tiene que card(A′) = κ. Sea A = A′

|L(T). Entonces A ² T y card(A) = κ. Lo queprueba el teorema. ¥

Definicion III.2.4.(a) Diremos que una teorıa T es categorica si todos los modelos de T son isomorfos.

(b) Sea λ un cardinal. Diremos que T es λ-categorica si para cualesquiera A,B ² Ttales que card(A) = card(B) = λ, A ∼= B.

Teorema III.2.5. (Test de Los-Vaught). Sean T una teorıa consistente sin mode-los finitos y λ un cardinal tal que card(T) ≤ λ. Si T es λ-categorica, entonces T escompleta.

Demostracion: Supongamos lo contrario. Entonces existe una formula cerrada ϕ talque T 0 ϕ y T 0 ¬ϕ. Por tanto, T1 = T + ¬ϕ y T2 = T + ϕ son consistentes.Como todos los modelos de T son infinitos, T1 y T2 tienen modelos infinitos. Ademascard(T1) = card(T2) = card(T) ≤ λ. Luego, por el teorema de Lowenheim-Skolem-Tarski, existen A ² T1 y B ² T2 tales que card(A) = card(B) = λ. Puesto queA,B ² T y T es λ-categorica, de lo anteiror se sigue que A ∼= B. Por tanto, A ≡ B.Sin embargo, A ² ¬ϕ y B ² ϕ. Lo cual es una contradiccion. ¥

2.B El argumento topologico

Definicion III.2.6. Sean A, B estructuras, Γ una coleccion de formulas y T unateorıa.(a) Sean

Γ∨ = {θ1 ∨ . . . ∨ θn : θi ∈ Γ, 1 ≤ i ≤ n ∈ ω} [[cierre disyuntivo de Γ]];Γ∧ = {θ1 ∧ . . . ∧ θn : θi ∈ Γ, 1 ≤ i ≤ n ∈ ω} [[cierre conjuntivo de Γ]];Γ¬ = {¬θ : θ ∈ Γ} [[la clase dual de Γ]].


(b) Diremos que Γ es cerrada bajo

(b.1) disyunciones si para cualesquiera θ1, θ2 ∈ Γ existe θ ∈ Γ tal que

` (θ1 ∨ θ2)↔ θ.

(b.2) conjunciones si para cualesquiera θ1, θ2 ∈ Γ existe θ ∈ Γ tal que

` (θ1 ∧ θ2)↔ θ.

(c) Sea ϕ ∈ Form. Definimos TΓ,ϕ = T + ¬ϕ+ ThΓ(T + ϕ).

(d) Diremos que(d.1) A es sub–elementalmente Γ–equivalente con B, A vΓ B, si para toda formu-

la θ ∈ Γ ∩ Sent

A ² θ =⇒ B ² θ.

(d.2) A es elementalmente Γ–equivalente con B, A ≡Γ B, si para toda formulaθ ∈ Γ ∩ Sent

A ² θ ⇐⇒ B ² θ.

(e) Diremos que Γ es T–adecuada si existen θ1, θ2 ∈ Γ tales que

(e.1) T ` θ1.

(e.2) T ` ¬θ2.

Teorema III.2.7. Sean T una teorıa, ϕ ∈ Sent y Γ ⊆ Sent. Son equivalentes(a) TΓ∨,ϕ es inconsistente.

(b) Existe ψ ∈ (Γ∨)∧ tal que T ` ϕ↔ ψ.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Supongamos que TΓ∨,ϕ es inconsistente. Entoncesexisten θ1, . . . θn ∈ Γ∨ tales que

(1) θi ∈ ThΓ∨(T + ϕ); es decir, T + ϕ ` θi, 1 ≤ i ≤ n, y

(2) T + ¬ϕ ` ¬(θ1 ∧ . . . ∧ θn).Sea ψ ≡ θ1 ∧ . . . ∧ θn. Entonces, por el teorema de la deduccion, de (1) y (2) se sigueque

(–) T ` ϕ→ ψ, y

(–) T ` ¬ϕ→ ¬ψ; luego, T ` ψ → ϕ.

Por tanto, T ` ϕ↔ ψ. Puesto que ψ ∈ (Γ∨)∧ de lo anterior se sigue (b).

((b) =⇒ (a)): Sea ψ ∈ (Γ∨)∧ tal que T ` ϕ ↔ ψ. Sean θ1, . . . , θm ∈ Γ∨ tales queψ ≡ θ1 ∧ . . .∧ θm. Entonces T ` ϕ→ θi, 1 ≤ i ≤ m. Por tanto, T + ϕ ` θi, 1 ≤ i ≤ m.En consecuencia,

(3) θi ∈ ThΓ∨(T + ϕ).

Puesto que T + θ1 ∧ . . . ∧ θm ` ϕ, de (3) se sigue que

(4) TΓ∨,ϕ ` ϕ.

Puesto que TΓ∨,ϕ ` ¬ϕ, de (4) se sigue que TΓ∨,ϕ es inconsistente. ¥

64 2. El teorema de compacidad

Teorema III.2.8. Sean T una teorıa, ϕ ∈ Sent(T) y Γ ⊆ Sent(T) tales que

(i) Γ es T–adecuada.

(ii) Para cualesquiera A,B ² T

A vΓ B =⇒ A vΓ+ϕ B.

Entonces(a) Existe ψ ∈ (Γ∨)∧ tal que

T ` ϕ↔ ψ.

(b) Si Γ es cerrada bajo disyunciones y conjunciones, entonces existe ψ ∈ Γ tal queT ` ϕ↔ ψ.

Demostracion: Por III.2.7, es suficiente probar que

(1) TΓ∨,ϕ es inconsistente.

Sea B ² T + ¬ϕ. Sea TB la teorıa T + ϕ+ ThΓ¬(B). Se tiene que

Aserto III.2.8.1. TB es inconsistente.

Prueba del aserto: Sea A ² T + ϕ. Puesto que A ² ϕ y B ² ¬ϕ, por (ii),existe θ ∈ Γ tal que A ² θ y B ² ¬θ. Entonces

(–) ¬θ es un axioma de TB.

Por tanto, de A ² θ se sigue que

(–) A 6² TB.

Luego, TB no tiene modelos. Por tanto, TB es inconsistente. 2

Por III.2.8.1 y el teorema de la deduccion (Γ ⊆ Sent), existen θ1, . . . , θm ∈ Γ talesque:

(–) B ² ¬θi, 1 ≤ i ≤ m.

(–) T + ϕ ` ¬(¬θ1 ∧ . . . ∧ ¬θm).

Es decir, tenemos queB ² ¬θi, 1 ≤ i ≤ m =⇒ B ² ¬θ1 ∧ . . . ∧ ¬θm

=⇒ B ² ¬(θ1 ∨ . . . ∨ θm).

T + ϕ ` ¬(¬θ1 ∧ . . . ∧ ¬θm) =⇒ T + ϕ ` θ1 ∨ . . . ∨ θm=⇒ (θ1 ∨ . . . ∨ θm) ∈ ThΓ∨(T + ϕ).

Por tanto, B 6² TΓ∨,ϕ. En consecuencia, TΓ∨,ϕ no tiene modelos. Es decir, TΓ∨,ϕ esinconsistente. Lo que prueba (1).

((b)): Sea ψ como en la prueba de (a). Puesto que Γ es cerrada bajo disyunciones yconjunciones, ψ ∈ Γ. Por tanto, el resultado se sigue de (a). ¥

Notas III.2.9.(a) Si T solo tiene modelos infinitos, la condicion (ii) del teorema III.2.8 se puede

sustituir por

(iii) Sea λ ≥ card(T). Para todo A,B ² T tales que card(A) = card(B) = λ


A vΓ B =⇒ A vΓ+ϕ B.

(b) Si ϕ o las formulas de Γ tienen variables libres, sean {vj : j ∈ ω} las variablesque ocurren libres en ϕ o en las formulas de Γ. Sea C = {cj : j ∈ ω} un conjuntode nuevas constantes.

(–) ϕ(c0, . . . , cn). Si v0, . . . , vn son las variables que ocurren libres en ϕ.

(–) ΓC = {θ(cj1 , . . . , cjk) : θ(vj1 , . . . , vjk) ∈ Γ}.Usando el teorema existen ψ1(c11, . . . , c1k1), . . . , ψm(cm1, . . . , cmkm) ∈ Γ∨C talesque

(–) T + C ` ϕ(c0, . . . , cn)↔ ψ1(c11, . . . , c1k1) ∧ . . . ∧ ψm(cm1, . . . , cmkm).

Por el teorema de constantes,

(–) T ` ϕ(v0, . . . , vn)↔ ψ1(v11, . . . , v1k1) ∧ . . . ∧ ψm(vm1, . . . , vmkm).

Corolario III.2.10. Sean Γ una coleccion de formulas cerradas y T una teorıa talesque

(i) Γ es cerrada bajo disyunciones y conjunciones.

(ii) Γ es T–adecuada.

(iii) Para cualesquiera A,B ² T y toda formula cerrada θA vΓ B =⇒ A vΓ+θ B.

Entonces para toda formula cerrada, ϕ, existe ψ ∈ Γ tal que T ` ϕ↔ ψ.

Corolario III.2.11. Sean ϕ una formula cerrada, Γ una coleccion de formulas ce-rradas y T una teorıa tales que

(i) Γ es cerrada bajo negaciones.

(ii) Γ es T–adecuada.

(iii) Para cualesquiera A,B ² TA ≡Γ B =⇒ A ≡Γ+ϕ B.

Entonces

(a) Existe ψ ∈ (Γ∨)∧ tal que T ` ϕ↔ ψ.

(b) Si Γ es cerrada bajo disyunciones y conjunciones, existe ψ ∈ Γ tal que T ` ϕ↔ ψ.

§3 Aplicaciones

3.A Teorıas sobre el lenguaje L=

Nota III.3.1. A lo largo de esta seccion todas las formulas, estructuras y teorıas seconsideran sobre el lenguaje sin sımbolos no logicos, L=. Sea A ⊆ ω−{0}, recordemos

66 3. Aplicaciones

que(–) TA ≡ ϕA, [[ver II.8.2]].

(–) (A finito) TA ≡ {ϕA ∨ ϕ≥m : m > max(A)}, [[ver II.8.3]].

(–) (A infinito) TA ≡ {ϕAm ∨ ϕ≥m : 0 < m}, [[donde Am = {k ∈ A : k ≤ m}]], [[verII.8.3]].

Proposicion III.3.2. Sea A ⊆ ω − {0} infinito. No existe ninguna formula cerrada,ϕ, tal que para toda estructura A

A ² ϕ ⇐⇒ card(A) ∈ A.

Demostracion: Se sigue de III.2.2. ¥

Nota III.3.3. En lo que sigue resolveremos aquı, entre otros, los problemas planteadosen II.8.3.

Proposicion III.3.4. TA ×⇐⇒ TA.

Lema III.3.5. Sea T una teorıa que tiene modelos infinitos. Entonces toda estructurainfinita es modelo de T.

Demostracion: Sea A una estructura infinita. Veamos que A ² T. Como card(T) =ℵ0 ≤ card(A), por el teorema de Lowenheim–Skolen–Tarski, existe B ² T tal quecard(A) = card(B). Entonces A ∼= B. Luego, A ≡ B; y por tanto, A ² T. ¥

Corolario III.3.6. Sean A y B L=–estructuras infinitas. Entonces A ≡ B.

Lema III.3.7. Sea ϕ una formula. Definimos

Sϕ = {n ∈ ω : existe A ² ϕ tal que card(A) = n}.Entonces

(a) Si Sϕ es infinito, entonces ω − Sϕ es finito.

(b) Si existe A infinito tal que A ² ϕ, entonces Sϕ es infinito.

Demostracion: Supongamos que Sϕ es infinito. Por III.2.2, ϕ es valida en algunaestructura infinita. Por tanto, de III.3.5 se sigue que ϕ es valida en toda estructurainfinita. Luego, usando III.2.2, se obtiene que existe m ∈ ω tal que

{n ∈ ω : m ≤ n} ⊆ Sϕ.Por tanto, ω − Sϕ es finito. Esto prueba (a) y (b). ¥

Teorema III.3.8. Sea T una teorıa consistente. Entonces existe A ⊆ ω−{0} tal que:T⇐⇒ TA o T⇐⇒ TA.


Demostracion: Sea

A = {m ∈ ω : existe A ² T tal que card(A) = m}.Dividiremos la prueba en los siguientes casos:

Caso 1: T solo tiene modelos finitos. Entonces por el teorema de compacidad, III.2.2,existe n ∈ ω tal que para todo A ² T, card(A) ≤ n. Por tanto, A es finito. Ademas,para toda estructura A

A ² T ⇐⇒ A ² TA.

Por tanto, T⇐⇒ TA.

Caso 2: T tiene modelos infinitos. Entonces, por III.3.5, toda estructura infinita esmodelo de T. Por tanto,

A ² T ⇐⇒ A ² TA.

Luego, T⇐⇒ TA. ¥

Nota III.3.9. Como vimos en II.8.A las teorıas TA son finitamente axiomatizables.Seguidamente caracterizaremos las teorıas TA que son finitamente axiomatizables.

Teorema III.3.10. Sea A ⊆ ω − {0}. Son equivalentes:(a) TA es finitamente axiomatizable.

(b) ω − A es finito.

Demostracion: ((b) =⇒ (a)): Sean ω − A = {n1, . . . , nk}. y T la teorıa

Ax(T) = {¬ϕ=n1 , . . . ,¬ϕ=nk}.Por definicion, T es finitamente axiomatizable. Ademas, para toda estructura, A,

A ² T ⇐⇒ A ² TA.

Por tanto, TA es finitamente axiomatizable.

((a) =⇒ (b)): Sea T finita tal que T⇐⇒ TA. Sea ϕ la conjuncion de (los cierres de)los axiomas de T. Entonces toda estructura infinita satisface ϕ. Luego por III.3.7-(b) existe n ∈ ω tal que para toda estructura A, si n ≤ card(A), A ² ϕ. Por tanto,{i ∈ ω : n ≤ i} ⊆ A. En consecuencia ω − A es finito. ¥

Teorema III.3.11. TA es completa ⇐⇒ A = ∅.

Demostracion: (=⇒): Sean 0 < n ∈ ω y A ² TA infinito. Entonces A ² ¬ϕ=n. ComoTA es completa, TA ` ¬ϕ=n. Por tanto, n /∈ A. En consecuencia, A = ∅.(⇐=): Entonces TA solo tiene modelos infinitos. Como ademas TA es ℵ0-categorica,por el test de Los-Vaught, TA es completa. ¥

Teorema III.3.12. TA es completa ⇐⇒ existe n ∈ ω − {0} tal que A = {n}.

68 3. Aplicaciones

Demostracion: (=⇒): Sea A ² TA y n = card(A). Sea B ² TA. Entonces, por 2.3-(1), A ≡ B. Por tanto, B ² ϕ=n; es decir, card(B) = n. En consecuencia, A = {n}.(⇐=): Sean A, B ² TA. Entonces card(A) = card(B) = n. Por I.4.4-(b), A ≡ B. Portanto, TA es completa. ¥

3.B La teorıa Th(NS)

Nota III.3.13. En II.8.B estudiamos distintas teorıas con el objetivo de dar unaaxiomatizacion simple de la teorıa Th(NS). El objetivo de esta seccion es resolver losproblemas planteados en II.8.11 y II.8.12.

(–) ¿TS ⇐⇒ Th(NS)?

(–) ¿Es la teorıa TS finitamente axiomatizable?,

(–) {(n,m) ∈ ω2 : n < m} no es definible en NS.

(–) Determinar los subconjuntos de ω definibles en NS.

Notas III.3.14.(a) El lenguaje LS consta de los sımbolos:

(–) 0, constante.

(–) S, funcion 1-aria.

(b) Sea t un termino de LS. Definimos Sn(t) como el siguiente termino:(–) t, si n = 0.

(–) S(Sm(t)), si n = m+ 1.

(c) NS es la estructura de universo ω e interpretaciones:(–) 0NS

= 0.

(–) SNS(n) = n+ 1.

(d) TS es la teorıa sobre LS cuyos axiomas son:(–) 0 6= S(x).

(–) S(x) = S(y)→ x = y.

(–) x 6= 0→ ∃y (S(y) = x).

(–) x 6= Sn(x), 1 ≤ n.

Proposicion III.3.15.(a) NS ² TS

(b) A ² TS =⇒ A es infinito.

Demostracion: La prueba de (a) es trivial. Para obtener (b) es suficiente obsevar quela interpretacion de S es una aplicacion inyectiva y no supreyectiva (A(0) /∈ rang(SA)).Lo que prueba el resultado. ¥


Definicion III.3.16.(a) Diremos que A ² TS es no estandar si NS 6∼= A.

(b) Sea A ² TS. Por recursion sobre n ∈ ω definimos FA : ω −→ A como sigue:(–) FA(0) = A(0).

(–) FA(n+ 1) = SA(FA(n)).

(c) Sea a ∈ A. Diremos que a es no estandar si a /∈ rang(FA). Notaremos por NS(A)al conjunto de los elementos no estandar de A.

Proposicion III.3.17. Sea A ² TS.(a) FA : NS ⊂A.

(b) Son equivalentes:(b.1) A es no estandar.

(b.2) NS(A) 6= ∅.

Demostracion: ((a)): De la definicion de FA se sigue que:

(–) FA(0) = A(0).

(–) FA(NS(S(n))) = A(S(FA(n)).

(–) NS ² n 6= m ⇐⇒ n 6= m ⇐⇒ A ² FA(n) 6= FA(m).

Lo que prueba (a).

((b)): ((b.1) =⇒ (b.2)): Si A es no estandar, entonces FA no es suprayectiva. Portanto, NS(A) 6= ∅.((b.2) =⇒ (b.1)): Trivial. ¥

Definicion III.3.18. (La estructura AD). Sea D un conjunto no vacıo. DefinimosAD como la estructura:

(–) Universo: ω ∪ (Z×D), (donde Z es el conjunto de los numeros enteros).

(–) Interpretaciones:(–) AD(0) = 0.

(–)

{SAD

(n) = n+ 1, n ∈ ω;SAD

((a, d)) = (a+ 1, d), a ∈ Z, d ∈ D.

Teorema III.3.19.(a) AD ² TS y NS(AD) = Z×D.

(b) Sea A ² TS un modelo no estandar. Existe D 6= ∅ tal que A ∼= AD.

(c) Sean D,E 6= ∅. Son equivalentes:(c.1) AD

∼= AE.

(c.2) card(D) = card(E).

(d) Sea D 6= ∅. card(AD) = ℵ0 · card(D).

70 3. Aplicaciones

Demostracion: (a), (c) y (d) son evidentes. Veamos (b). Sea A ² TS. Definimos lasiguiente relacion de equivalencia, ∼, sobre NS(A). Sean a, b ∈ NS(A)

a ∼ b ⇐⇒ ∃n ∈ ω [A ² Sn(a) = b ∨ Sn(b) = a].

Sea D el conjunto de las clases de equivalencia de la relacion ∼, D = NS(A)/∼. Esevidente que: A ∼= AD. ¥

Corolario III.3.20.(a) TS tiene, salvo isomorfismos, ℵ0 modelos de cardinal ℵ0.

(b) TS no es ℵ0-categorica.

Demostracion: ((a)): Para cada n > 0 sea Dn un conjunto de cardinal n. Sea Dω

un conjunto de cardinal ℵ0. Se tiene que:

(–) Para todo n > 0, ADn ² TS. [[III.3.19-(a)]].

(–) ADω ² TS.

(–) n 6= m =⇒ ADn 6∼= ADm . [[III.3.19-(c)]].

(–) Para todo n > 0, ADn 6∼= ADω .

Esto prueba que TS tiene al menos ℵ0 modelos numerables no isomorfos. Sea A ² TS

numerable no estandar. Existe D no vacıo tal que A ∼= AD. Puesto que A es numerable,por III.3.19-(d), card(D) ≤ ℵ0. Tenemos los siguientes casos:

Caso 1: D es finito. Sea n = card(D). Entonces A ∼= AD∼= ADn .

Caso 2: D es infinito. Entonces card(D) = ℵ0, y por tanto, AD∼= ADω .

Lo anterior establece que TS tiene, salvo isomorfismos, ℵ0 modelos numerables. ¥

Lema III.3.21. Sea λ un cardinal tal que ℵ0 < λ. Entonces TS es λ–categorica.

Demostracion: Sean A,B ² TS tales que card(A) = card(B) = λ. Sean D y Econjuntos tales que A ∼= AD y B ∼= AE. Puesto que ℵ0 < λ, por III.3.19-(d),

card(D) = card(A) = card(B) = card(E).

Luego, por III.3.19-(c), AD∼= AE. Por tanto, A ∼= B. ¥

Teorema III.3.22. (II.8.11-(a)). La teorıa TS es completa. Por tanto, TS ⇐⇒Th(NS).

Demostracion: El resultado es consecuencia inmediata de III.3.21 y III.3.15-(b)usando el test de Los-Vaught. ¥

Teorema III.3.23. (II.8.11-(b)). TS no es finitamente axiomatizable.

Teorema III.3.24. (II.8.12-(a)). Sea M = {(n,m) ∈ ω : n < m}. Entonces M noes definible en NS.


Demostracion: Supongamos lo contrario. Entonces existe una formula ϕ(x, y) de LS

tal que para cualesquiera n,m ∈ ωn < m ⇐⇒ NS ² ϕ(n,m).

Por tanto, se tiene

(1) NS ² ¬ϕ(x, x), [[n 6< n]].

(2) NS ² ϕ(x, y) ∧ ϕ(y, z)→ ϕ(x, z).

(3) NS ² ϕ(x, y) ∨ ϕ(y, x) ∨ x = y.

Puesto que TS es completa estas propiedades se verifican en cualquier modelo de TS.Sea A modelo de TS: A{0,1} (su univero es ω∪{(z, j) : z ∈ Z, j = 0, 1}. Sean a = (0, 0)y b = (0, 1).

Por (3), A ² ϕ(a, b)∨ϕ(b, a). Supongamos que A ² ϕ(a, b). Consideremos la aplicacionF : A −→ A definida por:

F (n) = n, F ((z, 0)) = (z, 1), F ((z, 1)) = (z, 0).

Es evidente que F : A ∼= A. Por tanto, A ² ϕ(F (a), F (b)); es decir, A ² ϕ(b, a). Portanto, A ² ϕ(a, b) ∧ ϕ(b, a). Luego, por (2), A ² ϕ(a, a). Lo cual esta en contradiccioncon (1). ¥

Lema III.3.25. Sea A ² TS no estandar.(a) Si existe a ∈ NS(A) tal que A ² ϕ(a), entonces para todo a ∈ NS(A), A ² ϕ(a).

(b) El conjunto de los elementos estandar de A no es definible en A.

Demostracion: ((a)): Sea a ∈ NS(A) tal que A ² ϕ(a). Sea b ∈ NS(A). Por resultadosanteriores existe F : A ∼= A tal que F (a) = b. Por tanto,

A ² ϕ(a) ⇐⇒ A ² ϕ(F (a)) ⇐⇒ A ² ϕ(b).

Lo que prueba (a).

((b)): Ejercicio. ¥

Lema III.3.26. Sea A ² TS con card(A) = λ > ℵ0. Si para todo n ∈ ω existe m ≥ ntal que A ² ϕ(Sm(0)), entonces existe a ∈ NS(A) tal que A ² ϕ(a).

Demostracion: Sean c una nueva constante y T la teorıa

T =

{Lenguaje: LS ∪ {c};Axiomas: TS ∪ {ϕ(c)} ∪ {Sm(0) 6= c : m ∈ ω}.

Se tiene que:

Aserto III.3.26.1. T es consistente.

Prueba del aserto: Sea T′ una parte finita de T. Sean m1, . . . ,mk ∈ ω talesque

T′ ⊆ TS ∪ ϕ(c) ∪ {Smj(0) 6= c : j = 1, . . . , k}.

72 3. Aplicaciones

Sean n = max(m1, . . . ,mk) y m ≥ n tal que A ² ϕ(Sm(0)). Consideremos laexpansion, A′, de A al lenguaje de T dada por A′(c) = A(Sm(0)). Por cons-truccion, A′ ² T′. Por tanto, T′ es consistente. En consecuencia, por el teoremade compacidad, T es consistente. Lo que prueba el aserto. 2

Sea B′ un modelo de T con card(B′) = λ. Sean B la restriccion de B′ a LS y b = B′(c).Entonces B ² TS y b ∈ NS(B). Puesto que TS es λ–categorica, existe F : B ∼= A. SeaF (b) = a. Entonces

(–) a ∈ NS(A).

(–) A ² ϕ(a). En efecto,

B′ ² ϕ(c)⇐⇒ B′ ² ϕ(b)⇐⇒ B ² ϕ(b)⇐⇒ A ² ϕ(F (b))⇐⇒ A ² ϕ(a).


Nota III.3.27. El resultado del lema III.3.26 es valido en cualquier modelo nume-rable y no estandar de TS.

Teorema III.3.28. (II.8.12-(b)). Sea X ⊆ ω. Son equivalentes:(a) X es finito o cofinito.

(b) X es definible en NS.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Consideremos los siguientes casos.

Caso 1: X es finito. Sea X = {n1, . . . , nk}. Sea ϕ(x) la formulax = Sn1(0) ∨ . . . ∨ x = Snk(0).

Entonces X = {m ∈ ω : NS ² ϕ(m)}.Caso 2: X es cofinito. Entonces ω − X es finito. Por tanto, por el caso 1, ω − X esdefinible en NS. Sea ϕ(x) una formula que define a ω −X. Entonces ¬ϕ(x) de fine aX. Es decir, Entonces X = {m ∈ ω : NS ² ¬ϕ(m)}.((b) =⇒ (a)): Sea ϕ(x) una formula que define a X en NS. Supongamos que no severifica (a); es decir, X y ω − X son infinitos. Sea A ² TS con card(A) = λ > ℵ0.Puesto que NS ≡ A, entonces

(–) n ∈ X =⇒ A ² ϕ(Sn(0)).

(–) n ∈ ω −X =⇒ A ² ¬ϕ(Sn(0)).

Puesto que X y ω −X son infinitos, por III.3.26,

(–) Existe a ∈ NS(A), A ² ϕ(a).

(–) Existe a ∈ NS(A), A ² ¬ϕ(a).

Luego, por III.3.25-(a)

(–) Para todo a ∈ NS(A), A ² ϕ(a).

(–) Para todo a ∈ NS(A), A ² ¬ϕ(a).

Lo cual es una contradiccion. ¥


3.C Ordenes totales densos

Definicion III.3.29. (La teorıa de los ordenes totales densos).(a) Ordenes parciales: OP.

(–) Lenguaje: <, predicado binario.

(–) Axiomas:

{x 6< xx < y ∧ y < z → x < z

(b) Ordenes totales: OT + x < y ∨ y < x ∨ x = y.

(c) Ordenes totales densos: OTD.

(–) OTD = OT + {x < y → ∃z (x < z < y)}.(d) Ordenes totales densos sin puntos finales: OTD().

(–) OTD() = OTD + ∃y (y < x) + ∃y (x < y).

(e) Ordenes totales densos sin punto inicial y con punto final: OTD(].

(–) OTD(] = OTD + ∃y (y < x) + ∃y ∀x (x < y ∨ x = y).

(f) Ordenes totales densos con punto inicial y sin punto final: OTD[).

(–) OTD[) = OTD + ∃y ∀x (y < x ∨ x = y) + ∃y (x < y).

(g) Ordenes totales densos con punto inicial y final: OTD[].

(–) OTD[] = OTD + ∃y ∀x (y ≤ x) + ∃y ∀x (x ≤ y) + ∃x∃y (x 6= y).

Notas III.3.30.(a) Si A ² OTD(), entonces A es infinito.

(b) Sea Q la estructura dada por:

(–) Universo: Q. Donde Q es el conjunto de los numeros racionales.

(–) <Q: es la relacion usual de orden entre los numeros racionales.

Es evidente que Q ² OTD().

(c) Sea R la estructura dada por:

(–) Universo: R. Donde R es el conjunto de los numeros reales.

(–) <R: es la relacion usual de orden entre los numeros reales.

Es evidente que R ² OTD().

Teorema III.3.31. (Cantor). La teorıa OTD() es ℵ0-categorica.

Demostracion: Sean A,B ² OTD() numerables. Veamos que A ∼= B. Para ellousaremos un procedimiento denominado adelante y atras.

Sean |A| = {an : n ∈ ω} y |B| = {bn : n ∈ ω} enumeraciones de los elementos de losuniversos de A y B, respectivamente. Usando el metodo de adelante y atras vamos adefinir una sucesion de aplicaciones parciales, Fn : A − → B, donde n ∈ ω, tales que:

(i) a0, . . . , an ∈ dom(Fn).

74 3. Aplicaciones

(ii) b0, . . . , bn ∈ rang(Fn).

(iii) Para todo n ∈ ω, Fn es inyectiva.

(iv) Si n < m, entonces Fn ⊆ Fm.

(v) Si a, a′ ∈ dom(Fn), entonces

A ² a < a′ ⇐⇒ B ² Fn(a) < Fn(a′).

Supongamos que hemos definido una sucesion de aplicaciones Fn, n ∈ ω, verificandolas propiedades (i)–(v). Sea

F =⋃n∈ω Fn.

Se tiene que:

Aserto III.3.31.1. F : A ∼= B.

Prueba del aserto: Por (iv), F es una aplicacion. Por (i), dom(F ) = A. Por (ii),rang(F ) = B. Es decir, F es suprayectiva. Por (iii), F es inyectiva. Por tanto, Fes biyectiva. De (v) se sigue que F : A ∼= B. Lo que prueba el aserto. 2

Del aserto se sigue el teorema. Por tanto, es suficiente probar la existencia de unasucesion de aplicaciones verificando (i)–(v).

Construccion de Fn, n ∈ ω: La construccion se realizara por recursion sobre n ∈ ω.Ademas de las propiedades (i)–(v) Fn verificara:

(vi) card(Fn) = 2 · (n+ 1).

(n = 0). La definicion de F0 se descompone en los dos pasos siguientes:

Paso hacia adelante: Sea c0 = a0 y d0 = b0. Definimos F ′0 : A − → B como sigue:

dom(F ′0) = {c0} y F ′0(c0) = d0.

Paso hacia atras: Sean d1 = b1 y c1 = ai donde

i = inf({m ∈ ω : am 6∈ dom(F ′0) ∧ (c0 < am ↔ d0 < d1)}).Sea F0 la extension de F ′0 obtenida definiendo F0(c1) = d1.

Es trivial comprobar que F0 satisface las propiedades (i)–(vi).

(n =⇒ n + 1). Supongamos definida Fn verificando las condiciones (i)–(vi). Sea q =2 · (n+ 1). La definicion de Fn+1 se divide en los dos pasos siguientes:

Paso hacia adelante: Sean k = inf({j : aj /∈ dom(Fn)}) y cq = ak. Sea

i = inf({m ∈ ω : bm /∈ rang(Fn) ∧ ∀j < q(cq < cj ↔ bm < dj)}).Observese que ∀j < q [dj = Fn(cj)]. Sean dq = bi y F ′n+1 la extension de Fn dadapor:

(–) dom(F ′n+1) = dom(Fn) ∪ {cq}.(–) F ′n+1(cq) = dq.

Paso hacia atras: Sean k = inf({j : bj /∈ rang(F ′n+1)}) y dq+1 = bk. Sea

i = inf({m : am /∈ dom(F ′n+1) ∧ ∀j ≤ q(cj < am ↔ dq+1 < dj)}).Sean cq+1 = ai. Entonces Fn+1 es la extension de F ′n+1 dada por:


(–) dom(Fn+1) = dom(F ′n+1) ∪ {cq+1}.(–) Fn+1(cq+1) = dq+1.

De la definicion se sigue que Fn+1 satisface las propiedades (i)–(vi). Esto concluye laprueba del teorema. ¥

Corolario III.3.32. OTD() es completa.

Demostracion: Puesto que todos los modelos de OTD() son infinitos, el resultadose sigue del test de Los-Vaught y III.3.31. ¥

Corolario III.3.33. Q ≡ R.

Demostracion: Puesto que OTD() es completa, dos modelos cualesquiera son elemen-talmente equivalentes. En particular, Q ≡ R. ¥

Corolario III.3.34. Sean A,B ² OTD() numerables. Sean a0 < a1 < . . . < an ∈ A

y b0 < b1 < . . . < bn ∈ B. Entonces existe F : A ∼= B tal que F (ai) = bi, 0 ≤ i ≤ n.

Demostracion: La prueba es similar a la de III.3.31 tomando como F0 la aplicaciondada por:

(–) dom(F0) = {a0, . . . , an}.(–) F (ai) = bi, 0 ≤ i ≤ n. ¥

Teorema III.3.35. Sea T una de las siguientes teorıas: OTD(], OTD[), OTD[]. SiA, B ² T numerables, entonces A ∼= B. Por tanto, todas estas teorıas son completas.

Demostracion: La prueba es como la de III.3.31, teniendo en cuenta que hay quetransformar puntos iniciales y finales en puntos iniciales y finales, respectivamente. ¥

Nota III.3.36. Sin embargo, para las teorıas consideradas en III.3.35 no se tiene elresultado dado en III.3.34.

§4 Extensiones conservativas

4.A El teorema de extensiones funcionales

Definicion III.4.1. Diremos que T′ es una extension conservativa de T, T′ =⇒c T,si:(a) T′ =⇒ T′.(b) Para toda formula, ϕ, de L(T) si T′ ` ϕ, entonces T ` ϕ.

76 4. Extensiones conservativas

Lema III.4.2.(a) Si T′′ =⇒c T′ =⇒c T, entonces T′′ =⇒c T.

(b) Si T′ ⇐⇒ T, entonces T′ =⇒c T y T =⇒c T′.(c) Si T′ = T + c, entonces T′ =⇒c T. ¥

Lema III.4.3. Sean T′ =⇒ T′ dos teorıas. Si para todo A ² T existe una expansion,B, de A a L(T′) tal que B ² T′, entonces T′ =⇒c T.

Demostracion: Sea ϕ una formula de L(T) tal que T′ ` ϕ. Sea A un modelo de T.Por hipotesis, existe una expansion, B, de A tal que B ² T′. Por tanto, B ² ϕ. Luego,B|L(T) ² ϕ. Por tanto, A ² ϕ. En resumen, ϕ es valida en todo modelo de T. Luego,por el teorema de completitud, T ` ϕ. ¥

Problema III.4.4. ¿Es cierto el recıproco de III.4.3?

Teorema III.4.5. (Extensiones funcionales). Sean T una teorıa, ϕ(x1, . . . , xn, y)una formula de L(T) tal que T ` ∃y ϕ(x1, . . . , xn, y) y f un nuevo sımbolo de funcionn-aria. Entonces

T + f + ϕy[f(x1, . . . , xn)] =⇒c T.

Demostracion: Sea T′ = T + f + ϕy[f(x1, . . . , xn)]. Es evidente que T′ =⇒ T. Paracompletar la prueba usaremos el lema III.4.3. Sea A ² T. Sea B la expansion de A

a L(T′) definida como sigue. Sean a1, . . . , an ∈ A. Puesto que T ` ∃y ϕ(x1, . . . , xn, y),entonces A ² ∃y ϕ(a1, . . . , an, y). Por tanto, existe b ∈ A tal que A ² ϕ(a1, . . . , an, b).Definimos

fB(a1, . . . , an) = b.

Entonces B ² ϕ(a1, . . . , an, f(a1, . . . , an)). Por tanto, B ² T′. ¥

4.B Extensiones por definicion

Definicion III.4.6. Sea T una teorıa.(a) Sea θ(x1, . . . , xn) una formula de L(T) y p un nuevo sımbolo de predicado n-ario.

La teorıa:

T′ =

Lenguaje: L(T) + p;

Axiomas:

{Ax(T)p(x1, . . . , xn)↔ θ(x1, . . . , xn) [[Axioma definidor de p]].

diremos que es una extension de T por definicion de un sımbolo de predicado.

(b) Sean θ(x1, . . . , xn, y) una formula de L(T) y z una variable distinta de las variablesx1, . . . , xn, y tales que:

(–) T ` ∃y θ(x1, . . . , xn, y) [[Condicion de existencia]]


(–) T ` θ(x1, . . . , xn, y) ∧ θ(x1, . . . , xn, z)→ y = z [[Condicion de unicidad]]

Sea f un nuevo sımbolo de funcion n–aria. La teorıa:

T′ =

Lenguaje: L(T) + f ;

Axiomas:

{Ax(T)f(x1, . . . , xn) = y ↔ θ(x1, . . . , xn, y) [[Axioma definidor de f ]].

diremos que es una extension de T por definicion de sımbolo de funcion.

Definicion III.4.7. Sea T una teorıa. Diremos que T′ es una extension por defini-ciones de T si T′ se obtiene de T por extensiones de los tipos descritos en III.4.6.

Teorema III.4.8. Sea T′ una extension por definiciones de T.(a) Para todo A ² T existe una unica expansion, B, a L(T′) tal que B ² T′.(b) T′ =⇒c T.

Demostracion: ((a)): Distinguiremos los casos siguientes:

Caso 1: Definicion de sımbolo de predicado. Supongamos que

T′ = T + p + p(~x)↔ θ(~x).

Sea A ² T. Sea B la expansion de A a L(T′) que se obtiene definiendo

B ² p(~a) ⇐⇒ A ² θ(~a).

Es claro que B ² T′ y es la unica expansion de A que satisface esta propiedad.

Caso 2: Definicion de sımbolo de funcion. Supongamos que

T′ = T + f + f(~x) = y ↔ θ(~x, y).

Sea A ² T. Sea B la siguiente expansion de A a L(T′). Sea ~a ∈ A. Entonces existe ununico b ∈ A tal que A ² θ(~a, b). Definimos fB(~a) = b. Es claro que B ² T′ y es la unicaexpansion de A que satisface esta propiedad.

((b)): Es consecuencia de (a) y III.4.3. ¥

El teorema anterior admite una demostracion sintactica mas detallada. Presentamosun procedimiento que permite obtener una prueba alternativa del teorema anterior.

Definicion III.4.9. (Traduccion).(a) Para extensiones por definicion de sımbolos de predicados:

Sea ϕ una formula de T′, definimos una formula ϕ∗ de T que denominaremostraduccion de ϕ a T, como sigue:

(i) Primero obtener una variante θ′ de θ de forma que las variables de ϕ noaparezcan ligadas en θ′.

(ii) Cada vez que p(t1, . . . , tn) ocurra en ϕ sustituirla por θ′x1,...,xn [t1, . . . , tn].

(b) Para extensiones por definicion de sımbolos de funciones:

Sea ϕ una formula de T′, definimos una formula ϕ∗ de T que denominaremos

78 5. Ejercicios

traduccion de ϕ a T, como sigue:

Caso 1: ϕ es atomica. Por induccion sobre el numero de estancias de f en ϕ.

(i) Si f no ocurre en ϕ, ϕ∗ es ϕ.

(ii) Si f ocurre en ϕ, sea ψ tal que

(–) ϕ es ψw[f(t1, . . . , tn)].

(–) f no ocurre en los ti, i = 1, . . . , n.

(–) ψ es una formula atomica y el numero de estancias de f en ψ es menorque en ϕ.

Sea θ′ una variante de θ tal que las variables de ϕ no aparezcan ligadas enθ′. Entonces ϕ∗ es:

∃z (θ′x1,...,xn,y[t1, . . . , tn, z] ∧ ψ∗).Caso 2: ϕ no es atomica. Se procede sustituyendo las componentes atomicas σde ϕ por σ∗ obtenidas como en el caso 1.

Tanto en (a) como en (b) la eleccion de θ′ no es unica. Por tanto, tampoco lo es latraduccion ϕ∗ de ϕ, pero esto no es importante pues son variantes unas de otras.

Teorema III.4.10. Sea T′ una extension por definiciones de T.(a) Entonces para toda formula, ϕ, de T′, T′ ` ϕ↔ ϕ∗.(b) Entonces para toda formula, ϕ, de T′

T′ ` ϕ ⇐⇒ T ` ϕ∗.(c) T′ =⇒c T.

§5 Ejercicios

Ejercicio III.5.1. (III.1.3). Si T y T′ tienen los mismos modelos, T⇐⇒ T′.

Ejercicio III.5.2. (III.1.12.1). Sean T una teorıa completa y ψ, θ ∈ Sent(T). En-tonces

T ` ψ ∨ θ ⇐⇒ T ` ψ o T ` θ.

Ejercicio III.5.3. (III.1.25). Sea T una teorıa consistente. Son equivalentes:(a) T es completa.

(b) Para cualesquiera A, B ∈Mod(T), A ≡ B.

(c) Para todo A ∈Mod(T), T⇐⇒ Th(A).

Ejercicio III.5.4. (I.3.7). Resolver el problema planteado en I.3.7.


Ejercicio III.5.5. (III.3.4). TA ×⇐⇒ TA.

Ejercicio III.5.6. (III.3.6). Sean A y B L=–estructuras infinitas. Entonces A ≡ B.

Ejercicio III.5.7. (I.4.3). ¿Que sucede si X es un conjunto infinito? Es decir, siX ⊆ ω − {0} es infinito, ¿existe una formula (cerrada) de L= verificando la condicion(∗) de I.4.2?

Ejercicio III.5.8. (I.4.5).(a) Sea L un lenguaje de primer orden.

(a.1) ¿Se verifica I.4.4-(a)?

(a.2) ¿Se verifica I.4.4-(b)?

(b) ¿Se verifica I.4.4-(b) para estructuras infinitas del lenguaje L=?

Ejercicio III.5.9. (III.3.8). Sea T una teorıa consistente. Entonces existe A ⊆ ω−{0} tal que: T⇐⇒ TA o T⇐⇒ TA.

Ejercicio III.5.10. (III.3.10). Sea A ⊆ ω − {0}. Son equivalentes:(a) TA es finitamente axiomatizable.

(b) ω − A es finito.

Ejercicio III.5.11. (III.3.11, III.3.12).(a) TA es completa ⇐⇒ A = ∅.(b) TA completa ⇐⇒ existe n > 0 tal que A = {n}.

Ejercicio III.5.12. (III.3.23). TS no es finitamente axiomatizable.

Ejercicio III.5.13. (III.3.25-(b)). Sea A ² TS no estandar. El conjunto de loselementos estandar de A no es definible en A.

Ejercicio III.5.14. ¿Donde se usa en la prueba de III.2.8 que Γ es T–adecuado?

Ejercicio III.5.15. Sean T y T′ teorıas tales que L(T′) ⊆ L(T). Son equivalentes:(a) T =⇒ T′,(b) Para todo A ² T, A|L(T′) ² T′.

Ejercicio III.5.16. Sea L el lenguaje cuyos unicos simbolos no logicos son los pre-dicados 1–arios: p y q. Determinar todas las teorıas completas sobre L con modelosinfinitos.

80 5. Ejercicios

Ejercicio III.5.17. Sean C = {cn : n ∈ ω} un conjunto de sımbolos de constantesy T la teorıa

T =

{Lenguaje: C;Axiomas: {ci 6= cj : i 6= j}.

Probar que:(a) T no es ℵ0–categorica.

(b) Para todo λ > ℵ0, T es λ–categorica.

(c) T es completa.

Ejercicio III.5.18. Sea λ ≥ ℵ0 un cardinal infinito. Sean C = {cα : α < λ} unconjunto de sımbolos de constantes y T la teorıa

T =

{Lenguaje: C;Axiomas: {ϕ≥n : n ∈ ω}.

(a) Probar que todos los modelos de T son infinitos.

(b) Sean T∗ y T′ las extensiones de T dadas por

(–) T∗ = T + {cα 6= cβ → cγ 6= cδ : α < β < λ, γ < δ < λ}.(–) T′ = T + {cα 6= cβ → cγ 6= cδ : α < β < γ < δ < λ}.

Probar que:

(b.1) T∗ ×⇐⇒ T′.(b.2) T∗ y T′ no son completas.

(b.3) Supongamos que ℵ0 < λ. Para todo µ tal que ℵ0 ≤ µ < λ, T∗ es µ-categorica.

(b.4) ¿Esta en contradiccion (b.2) y (b.3) con el test de Los-Vaught?

Ejercicio III.5.19. Sea κ un cardinal tal que ω < κ. Probar que la teorıa OTD() noes κ–categorica.

Ejercicio III.5.20. Sea T una teorıa. Sea T(c) como en el aserto III.1.22.1 de laprueba del teorema de completitud. Probar (sin usar el teorema de completitud) queT(c) es una extension conservativa de T.

Parte B

Teorıa de la Recursion

81

Capıtulo IV

Funciones Recursivas

§1 Introduccion

Nota IV.1.1. El objetivo de este capıtulo es presentar una definicion formal del con-cepto de algoritmo. En este paragrafo vamos a describir de manera informal algunasde las caracterısticas de los algoritmos.

Nota IV.1.2. Un algoritmo o programa, P, es un procedimiento mecanico que cuandoactua sobre un dato de entrada, a, devuelve, despues de un numero finito de pasos, undato de salida, b. Notaremos

P(a) = b.

En la descripcion anterior

(•) un procedimiento mecanico consiste en:

(–) conjunto finito de instrucciones

(–) cada instruccion especificala tarea que hay que realizar, y

la siguiente instruccion que hay que aplicar.

(•) los datos de entrada y salida son objetos finitos: sucesiones finitas de elementosde un conjunto finito (palabras sobre un alfabeto).

Nota IV.1.3. Puesto que un programa es un objeto finito, le podemos asociar unapalabra sobre un alfabeto (de tal forma que la palabra caracterice al programa) quedenominaremos codigo del programa. Dado un programa P notaremos por pPq al codigode P.

Nota IV.1.4. (El Programa Universal). Consideremos el siguiente programa, U,

83

84 1. Introduccion

(–) Dados p y a como datos de entrada

Aplicar el programa de codigo p al dato de entrada a.

Devolver como dato de salida el resultado de aplicar p a a.

Es decir, si P es el programa tal que pPq = p, entonces

U(p, a) = P(a).

Nota IV.1.5. Consideremos el siguiente programa, DD(a) = U(a, a) + 1.

Sea pDq el codigo de D. Entonces

D(pDq) = U(pDq, pDq) + 1 [[Definicion de D]]= D(pDq) + 1 [[Definicion de U]].

¿Es lo anterior una contradiccion?

Nota IV.1.6. Sean P un programa y a un dato de entrada. Notaremos

(–) P(a)↓ si P para cuando actua sobre a.

(–) P(a)↑ si P no para cuando actua sobre a.

Sea A un conjunto de palabras. Diremos que

(–) A es de tipo ∆ si existe un programa PA tal que

x ∈ A =⇒ PA(x) = 1.

x /∈ A =⇒ PA(x) = 0.

(–) A es de tipo Σ si existe un programa PA tal que

x ∈ A ⇐⇒ PA(x)↓.

Nota IV.1.7. Estudiaremos algunas propiedades de los conjuntos de tipo ∆ y Σ.

Aserto IV.1.7.1. Si A es de tipo ∆, entonces Ac es de tipo ∆.

Aserto IV.1.7.2. Son equivalentes:

(i) A y Ac son de tipo Σ.

(ii) A esde tipo ∆.

Aserto IV.1.7.3. El conjunto {a : D(a)↓} es de tipo Σ y no es de tipo ∆.

Probaremos ahora los resultados anteriores.

Prueba de IV.1.7.1: Basta considerar el siguiente programa:

Dado x. Aplicar PA a x

si PA devuelve 1, devolver 0 y parar.

si PA devuelve 0, devolver 1 y parar.

Capıtulo IV. Funciones Recursivas 85

Esto prueba que Ac es de tipo ∆. 2

Prueba de IV.1.7.2: ((i) =⇒ (ii)): Consideremos el siguiente programa:

Dado x.

(1) Hacer n = 0.

(2) Durante n pasos simular PA sobre x.

(–) Si PA para, devolver 1 y parar.

(–) Si PA no para, pasar a (3).

(3) Durante n pasos simular PAc sobre x.

(–) Si PAc para, devolvar 0 y parar.

(–) Si PAc no para, pasar a (4).

(4) n→ n+ 1 y pasar a (2).

De aqui se sigue que A es de tipo ∆.

((ii) =⇒ (i)): Ejercicio. 2

Prueba de IV.1.7.3: Sea

A = {a : D(a)↓}.Por definicion, A es de tipo Σ. Ademas,

x ∈ A ⇐⇒ D(x)↓⇐⇒ U(x, x)↓ [[Definicion de D]].

Supongamos que A es de tipo ∆. Entonces, por IV.1.7.2, Ac es de tipo Σ; por tanto,existe un programa P tal que

x ∈ Ac ⇐⇒ P(x)↓.Entonces

pPq ∈ Ac ⇐⇒ P(pPq)↓⇐⇒ U(pPq, pPq)↓⇐⇒ pPq ∈ A.

Lo cual es una contradiccion. 2

Nota IV.1.8. (Tesis de Church).

“Definicion” Una funcion ϕ : ωn − → ω diremos que es computable si existe unprograma P tal que para cualesquiera a1, . . . , an, b ∈ ω

ϕ(a1, . . . , an) ' b ⇐⇒ P(a1, . . . , an) ' b.

Se conocen distintas definiciones formales del concepto de algoritmo:

(–) Funciones recursivas. [[Se estudiara en este capıtulo]].

(–) Maquinas de Turing.

86 2. Funciones Primitivas Recursivas

(–) Maquinas URM.

(–) Sistemas de produccion de Post.

(–) λ–calculo.

(–) Definibilidad en lenguajes formales. [[Se estudiara en el capıtulo VI]].

Todas ellas son equivalentes.

Tesis de Church: Sea ϕ : ωn − → ω. Son equivalentes

(a) ϕ es computable.

(b) ϕ es recursiva.

§2 Funciones Primitivas Recursivas

Notas IV.2.1.

(a) Sean h : ωm −→ ω, g : ωm+2 −→ ω. Diremos que f : ωm+1 −→ ω se obtiene de hy g por recursion, f = R(h, g), si para todo ~y ∈ ωm(–) f(~y, 0) = h(~y).

(–) f(~y, x+ 1) = g(~y, x, f(~y, x)).

(b) Sean g : ωn −→ ω y h1, . . . , hn : ωm −→ ω. Diremos que f : ωm −→ ω se obtienede g y h1, . . . , hn por composicion, f = C(g;h1, . . . , hn), si para todo ~y ∈ ωm

f(~y) = g(h1(~y), . . . , hn(~y)).

Proposicion IV.2.2. Sean h : ωm −→ ω y g : ωm+2 −→ ω. Entonces existe unaunica f : ωm+1 −→ ω tal que, f = R(h, g). ¥

Definicion IV.2.3. La coleccion de las funciones primitivas recursivas, PR, es elmenor conjunto de funciones tal que:

(a) Funciones basicas: Las siguientes funciones estan en PR:

S : ω −→ ω, S(x) = x+ 1,

O : ω −→ ω, O(x) = 0,

Πni : ωn −→ ω, Πn

i (x1, . . . , xn) = xi (1 ≤ i ≤ n).

(b) Sean g : ωn −→ ω y h1, . . . , hn : ωm −→ ω. Si g, h1, . . . , hn ∈ PR, entonces lafuncion que se obtiene de g y h1, . . . , hn por composicion esta en PR.

(c) Sean h : ωm −→ ω y g : ωm+2 −→ ω. Si h, g ∈ PR, entonces la funcion que seobtiene de h y g por recursion esta en PR.

Proposicion IV.2.4. Son equivalentes:


(a) f ∈ PR.

(b) Existen g1, . . . , gn ∈ PR tales que:(b.1) gn = f .

(b.2) Para todo i ≤ n se tiene una de las siguientes posibilidades:(–) gi es una funcion basica.

(–) Existen i1, i2 < i tales que gi = R(gi1 , gi2).

(–) Existen i0, i1, . . . , ik < i tales que gi = C(gi0 ; gi1 , . . . , gik). ¥

Proposicion IV.2.5. f ∈ PR =⇒ f es total. ¥

Nota IV.2.6. Es posible describir las funciones primitivas recursivas usando la ter-minologıa de programas. Consideremos la coleccion de los pares (P, n) donde:

(–) P es una sucesion finita de los sımbolos: O, S, Πin (1 ≤ i ≤ n), C y R.

(–) n es un numero natural, que denominaremos aridad del programa.

La coleccion de los programas primitivos recursivos se define como sigue:

(–) (O, 1) es un programa primitivo recursivo.

(–) (S, 1) es un programa primitivo recursivo.

(–) (Πin, n) es un programa primitivo recursivo.

(–) Si (Q,n), (Q1,m), . . . , (Qn,m), son programas primitivos recursivos, entonces

(C(Q;Q1, . . . , Qn),m)

es un programa primitivo recursivo.

(–) Si (Q1, n) y (Q2, n+ 2) son programas primitivos recursivos, entonces

(R(Q1, Q2), n+ 1)

es un programa primitivo recursivo.

Notas IV.2.7. La definicion anterior de las funciones primitivas recursivas, IV.2.3,es muy rıgida con respecto a las condiciones en las que podemos aplicar los esquemas decomposicion y recursion para obtener nuevas funciones primitivas recursivas. El uso delas funciones proyeccion, Πn

i , permite ampliar las posibilidades de aplicacion de estosprocedimientos.

Composicion: Por definicion solo podemos usar este proceso con funciones de la mismaaridad y todas ellas aplicadas a la misma tupla. Veamos, con un ejemplo, como esposible obtener funciones primitivas recursivas cuando las funciones, hi, no son todasde la misma aridad, o bien no se aplican a la misma tupla.

Aserto IV.2.7.1. Sean g, h1, h2, h3 ∈ PR. Entonces la funcion definida por

(–) f(x, y) = g(h1(y, x), h2(x, x, y), h3(x)).

es primitiva recursiva.


Prueba del aserto: Sean

(–) h′1 = C(h1; Π22,Π

21),

(–) h′2 = C(h2; Π21,Π

21,Π

22),

(–) h′3 = C(h3; Π21).

Entonces

f(x, y) = g(h′1(x, y), h′2(x, y), h

′3(x, y)).

Lo que prueba el resultado. 2

Recursion: Una situacion analoga ocurre con la recursion. Ademas, en este caso larecursion se realiza sobre la ultima variable. Como antes, el uso de las proyeccionespermite ampliar facilmente el metodo de definicion por recursion.

Aserto IV.2.7.2. Sean g, h ∈ PR. Entonces la funcion definida por:

(–) f(0, y) = h(y),

(–) f(x+ 1, y) = g(y, f(x, y)),

es primitiva recursiva.

Prueba del aserto: En efecto, consideremos la aplicacion definida por:

(–) f ′(y, 0) = h(y),

(–) f ′(y, x+ 1) = g′(y, x, f ′(y, x)).

Donde g′(a, b, c) = g(a, c). Entonces f ′ ∈ PR. Por induccion sobre a se pruebafacilmente que:

(–) f(a, b) = f ′(Π22(a, b),Π

12(a, b)) = f ′(b, a).

Por tanto, f es primitiva recursiva. 2

En lo que sigue usaremos, sin mencionarlo explıcitamente, las ideas introducidas enesta nota para definir funciones primitivas recursivas.

Lema IV.2.8. (Algunas funciones primitivas recursivas). Las funciones siguien-tes son primitivas recursivas.

(a) (La funcion identidad). Id(x) = x.

Prueba: Trivial, pues Id = Π11. 2

(b) (Funciones constante). Cna : ωn −→ ω, Cna (~x) = a.

Prueba: Por induccion sobre a ∈ ω.

(a = 0). En efecto, Cn0 (~x) = O(Πn1 (~x)).

(a =⇒ a+ 1). Basta tener presente que: Cna+1(~x) = S(Cna (~x)). 2

Nota. Cuando por el contexto este claro la aridad de la funcion, escribiremos Caen lugar de Cna .

(c) (Predecesor). pr(x) =

{0, si x = 0x− 1, si x > 0


Prueba: Consideremos la funcion

(–) f(x, 0) = 0,

(–) f(x, y + 1) = y.

La funcion f es primitiva recursiva (tomar h = O y g = Π32). Ademas,

pr(x) = f(x, x) = f(Id(x), Id(x)).

Por tanto, pr es primitiva recursiva. 2

Observemos que una descripcion primitiva recursiva de la funcion predecesor es

C(R(O,Π32); Π

11,Π

11).

(d) (Diferencia). x −−• y =

{0, si x ≤ yx− y, en caso contrario

Prueba: Consideremos la funcion

(–) f(x, 0) = x,

(–) f(x, y + 1) = pr(f(x, y)).

Puesto que f ∈ PR y

x −−• y = f(x, y)

la funcion −−• es primitiva recursiva. 2

(e) (Signo). sg(x) =

{0, si x = 01, si x 6= 0

Prueba: Consideremos la aplicacion

(–) f(x, 0) = 0,

(–) f(x, y + 1) = 1(= C1(y)).Es claro que f es primitiva recursiva. Puesto que

sg(x) = f(x, x)

se tiene que sg ∈ PR. 2

(f) sg(x) =

{1, si x = 00, si x 6= 0

Prueba: Pues sg(x) = 1 −−• sg(x). 2

(g) (Suma). f(x, y) = x+ y.

Prueba: En efecto, por recursion

(–) x+ 0 = x.

(–) x+ (y + 1) = S(x+ y). 2

(h) (Producto). f(x, y) = x · y.Prueba: Por recursion

(–) x · 0 = 0.


(–) x · (y + 1) = x · y + x. 2

(i) (Exponenciacion). f(x, y) = xy.

Prueba: Por recursion

(–) x0 = 1.

(–) xy+1 = xy · x. 2

(j) (Factorial). f(x) = x!.


(–) 0! = 1.

(–) (x+ 1)! = x! · (x+ 1). 2

(k) (Mınimo). f(x, y) = min(x, y).

Prueba: En efecto, min(x, y) = x −−• (x −−• y). 2

(l) (Maximo). f(x, y) = max(x, y).

Prueba: En efecto, max(x, y) = x+ (y −−• x). 2

(m) (Valor absoluto). f(x, y) = |x− y|.Prueba: Pues |x− y| = max(x, y) −−• min(x, y). 2

(n) (Resto). rm(x, y) = z ⇐⇒ x = q · y + z donde 0 ≤ z < y.


(–) rm(0, y) = 0.

(–) rm(x+ 1, y) = (rm(x, y) + 1) · sg(y −−• (rm(x, y) + 1)). 2

(n) (Cociente). qt(x, y) = z ⇐⇒ x = z · y + rm(x, y).

Prueba: Por recursion,

(–) qt(0, y) = 0.

(–) qt(x+ 1, y) = qt(x, y) + sg(y −−• (rm(x, y) + 1)) · sg(y). 2

Nota. Las funciones rm(x, y) y qt(x, y) representan, respectivamente, al restoy cociente de dividir x entre y. Aunque no tiene sentido dividir por 0, tambienhemos definido las funciones anteriores para y = 0. De las definiciones se sigueque:

(–) rm(x, 0) = 0.

(–) qt(x, 0) = 0.

(o) (Divisor). div(x, y) =

{1, si rm(x, y) = 00, en caso contrario

Prueba: En efecto, div(x, y) = sg(rm(x, y)). 2


Definicion IV.2.9. Sea A ⊆ ωn. La funcion caracterıstica de A, σA : ωn −→ ω, sedefine como sigue:

σA(~x) =

{1, si ~x ∈ A;0, en caso contrario.

En lo que sigue usaremos indistintamente, ~x ∈ A y A(~x). Si A ⊆ ωn, notaremos porAc al complementario de A; es decir, Ac = ωn − A.

Definicion IV.2.10. Sea A ⊆ ωn. Diremos que A es primitivo recursivo si σA ∈ PR.Notaremos por ∆0

∗ a la coleccion de los conjuntos recursivos primitivos.

Teorema IV.2.11. Sea A ⊆ ωn. Son equivalentes:(a) A ∈ ∆0

∗.(b) Existe f ∈ PR tal que:

A(~x) ⇐⇒ f(~x) = 0.

(c) Para todo a ∈ ω existe g ∈ PR tal que:

A(~x) ⇐⇒ g(~x) = a.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Basta tomar f(~x) = 1 −−• σA(~x).

((b) =⇒ (c)): Sea a ∈ ω. Sea f ∈ PR satisfaciendo (b). Entonces

g(~x) = f(~x) + a

satisface (c).

((c) =⇒ (a)): Sea a ∈ ω. Sea g ∈ PR como en (c). Entonces

σA(~x) = sg(|g(~x)− a|).Por tanto, A es primitivo recursivo. ¥

Proposicion IV.2.12. Sean A,B ⊆ ωn.(a) A,B ∈ ∆0

∗ =⇒ A ∪B, A ∩B ∈ ∆0∗.

(b) A ∈ ∆0∗ =⇒ Ac ∈ ∆0

∗.

Demostracion: ((a)): Basta observar que:

(–) σA∪B(~x) = max(σA(~x), σB(~x)).

(–) σA∩B(~x) = min(σA(~x), σB(~x)).

((b)): Trivial, pues σAc(~x) = 1 −−• σA(~x). ¥

Ejemplos IV.2.13. Los siguientes conjuntos son primitivos recursivos:

(a) {(x, y) ∈ ω2 : x ≤ y}.(b) {(x, y) ∈ ω2 : x < y}.


(c) {(x, y) ∈ ω2 : x = y}.(d) {(x, y) ∈ ω2 : x 6= y}.

Demostracion: Ejercicio. ¥

Proposicion IV.2.14. Sean f : ωn −→ ω, g : ωm −→ ω y A ⊆ ωn.

(a) Si f, g ∈ PR, entonces {(~x, ~y) ∈ ωn+m : f(~x) = g(~y)} ∈ ∆0∗.

(b) Para cada i, 1 ≤ i ≤ n, sea

Bi = {(~y, x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn) : (x1, . . . , xi−1, g(~y), xi+1, . . . , xn) ∈ A}.Si A ∈ ∆0

∗ y g ∈ PR, entonces Bi ∈ ∆0∗.

Demostracion: ((a)): Sea B = {(~x, ~y) : f(~x) = g(~y)}. Entonces

σB(~z) = σ=(f(Πn+m1 (~z), . . . ,Πn+m

n (~z)), g(Πn+mn+1 (~z), . . . ,Πn+m

n+m(~z))).

De aquı se sigue (a).

((b)): La prueba es analoga a la de (a). ¥

Teorema IV.2.15. (Teorema del grafo, I). Sea f : ωn −→ ω. Si f ∈ PR, enton-ces

Gr(f) = {(~x, y) ∈ ωn+1 : f(~x) = y} ∈ ∆0∗.

[[El recıproco no es cierto]].

Demostracion: Puesto que

σGr(f)(~x, y) = σ=(f(~x), y).

De lo anterior se sigue el teorema. ¥

Teorema IV.2.16. Sean f1, . . . , fk : ωn −→ ω y A1, . . . , Ak ⊆ ωn tales que:

(i)⋃ki=1Ai = ωn.

(ii) i 6= j =⇒ Ai ∩ Aj = ∅.Sea f : ωn −→ ω la funcion definida por:

f(~y) =

f1(~y), si ~y ∈ A1;...

fk(~y), si ~y ∈ Ak.

Si f1, . . . , fk ∈ PR y A1, . . . Ak ∈ ∆0∗, entonces f ∈ PR.

Demostracion: Observemos que

f(~y) = f1(~y) · σA1(~y) + . . .+ fk(~y) · σAk(~y).



Definicion IV.2.17. Sea f : ωn+1 −→ ω. Definimos∑(f),

∏(f) : ωn+1 −→ ω

como sigue:

(–)∑

(f)(~x, z) =∑

i≤z f(~x, i).

(–)∏

(f)(~x, z) =∏

i≤z f(~x, i).

Proposicion IV.2.18. f ∈ PR =⇒ ∑(f),

∏(f) ∈ PR.


(–)∑

(f)(~x, 0) = f(~x, 0).

(–)∑

(f)(~x, z + 1) =∑

(f)(~x, z) + f(~x, z + 1).

(–)∏

(f)(~x, 0) = f(~x, 0).

(–)∏

(f)(~x, z + 1) =∏

(f)(~x, z) · f(~x, z + 1). ¥

Teorema IV.2.19. Sea A ⊆ ωn+1. Definimos

A∃≤ = (∃y)≤z A = {(x1, x2, . . . , xn, z) : ∃y ≤ z (x1, x2, . . . , xn, y) ∈ A},A∀≤ = (∀y)≤z A = {(x1, x2, . . . , xn, z) : ∀y ≤ z (x1, x2, . . . , xn, y) ∈ A}.

Entonces

(a) A ∈ ∆0∗ =⇒ A∃leq

∈ ∆0∗.

(b) A ∈ ∆0∗ =⇒ A∀≤ ∈ ∆0

∗.


(–) σA∃≤ (~x, z) = sg(∑

(σA)(~x, z)).

(–) σA∀≤ (~x, z) =∏

(σA)(~x, z). ¥

Definicion IV.2.20.

(a) Sea f : ωn+1 −→ ω. Definimos µ≤(f) : ωn+1 −→ ω

µ≤(f)(~x, z) = (µy)≤z(f(~x, y) = 0) =

{inf({y : f(~x, y) = 0 ∧ y ≤ z});z + 1, si no existe tal ınfimo.

(b) Sean f : ωn+1 −→ ω y g : ωn −→ ω. Definimos µ≤(g, f) : ωn −→ ω

µ≤(g, f)(~x) = (µy)≤g(~x)(f(~x, y) = 0) =

{inf({y : f(~x, y) = 0 ∧ y ≤ g(~x)});g(~x) + 1, si no existe tal ınfimo.

Teorema IV.2.21.

(a) f ∈ PR =⇒ µ≤(f) ∈ PR.

94 3. La funcion β de Godel

(b) f, g ∈ PR =⇒ µ≤(g, f) ∈ PR.


µ≤(f)(~x, z) = (µy)≤z(f(~x, y) = 0) =∑

(h)(~x, z).

Donde h(~x, w) = sg(∏

(f)(~x, w)).

((b)): En efecto,

(µy)≤g(~x)(f(~x, y) = 0) = µ≤(f)(~x, g(~x)) = C(µ≤(f); Πn1 , . . . ,Π

nn, g)(~x).

Por tanto, el resultado se sigue de (a). ¥

Corolario IV.2.22. Sea f : ωn+1 −→ ω tal que f ∈ PR. Si existe g ∈ PR tal que

∀~x∃y ≤ g(~x) (f(~x, y) = 0)

entonces h(~x) = (µy)(f(~x, y) = 0) es primitiva recursiva.

Demostracion: Se sigue de IV.2.21-(c). ¥

§3 La funcion β de Godel

Comentarios IV.3.1. Esta seccion esta dedicada a estudiar procedimientos para co-dificar sucesiones finitas de numeros naturales. Es decir, deseamos definir funcionesprimitivas recursivas para asociar a cada sucesion a0, . . . , an de numeros naturales unnumero natural a, de tal forma que con procedimientos primitivos recursivos a partirde a podamos establecer propiedades de la sucesion. Por ejemplo: longitud, i–esimoelemento de la sucesion, etc.

(–) En IV.3.2 y IV.3.4 veremos que es posible alcanzar el objetivo anterior si con-sideramos tan solo sucesiones de una longitud determinada, n.

(–) En el caso anterior para cada n definiremos una funcion para codificar y n fun-ciones para decodificar. El siguiente objetivo es encontrar un procedimiento paracodificar sucesiones de longitud arbitraria. Para ello usaremos la funcion β deGodel, IV.3.6.

Teorema IV.3.2. Sea J : ω2 −→ ω la aplicacion definida por:

J(x, y) =(x+ y) · (x+ y + 1)

2 + x.

Se tiene que:

(a) J ∈ PR.

(b) J es biyectiva.

(c) Existen K,L : ω −→ ω tales que(c.1) K,L ∈ PR.


(c.2) K(z), L(z) ≤ z.

(c.3) J(K(z), L(z)) = z.

Demostracion: ((a)): Es trivial.

((b)): Basta tener en cuenta que:

(–) J(0, 0) = 0.

(–) J(x+ 1, y) = J(x, y + 1) + 1.

(–) J(0, y + 1) = J(y, 0) + 1.

((c)): Sean

(–) K(z) = (µx)≤z [(∃y)≤z (J(x, y) = z)].

(–) L(z) = (µy)≤z [(∃x)≤z (J(x, y) = z)].

De las definiciones se siguen trivialmente las propiedades deseadas. ¥

Definicion IV.3.3. Para cada n ≥ 2 definimos Jn : ωn −→ ω como sigue:

(–) J2(x, y) = J(x, y).

(–) Jn+1(x1, . . . , xn, xn+1) = J2(Jn(x1, . . . , xn), xn+1).

Proposicion IV.3.4. Para cada n ≥ 2(a) Jn ∈ PR.

(b) Jn es biyectiva.

(c) Existen Ki : ω −→ ω, 1 ≤ i ≤ n, tales que Ki ∈ PR y para todo z ∈ ωJn(K1(z), . . . , Kn(z)) = z. ¥

Lema IV.3.5. Existe β′ : ω3 −→ ω tal que:(a) β′ ∈ PR.

(b) ∀n ∈ ω ∀a0, a1, . . . , an ∈ ω ∃a, b ∈ ω ∀i ≤ n [β′(a, b, i) = ai].

Demostracion: Sea

β′(x, y, z) = rm(x, (z + 1) · y + 1).

((a)): Trivial.

((b)): Sean m = max(n, a0, . . . , an) y b = m!. Se tiene que

Aserto IV.3.5.1. i < j ≤ n =⇒ mcd((i+ 1) · b+ 1, (j + 1) · b+ 1) = 1.

Prueba del aserto: Sea p primo. Supongamos que p divide a (i+ 1) · b+ 1 y a(j + 1) · b + 1. Entonces p divide a la diferencia, esto es, p|(j − i) · b. Por tanto,p|(j − i) o p|b. Ahora bien, j − i ≤ n ≤ m y b = m!. En consecuencia, p|b. De loanterior y p|(i + 1) · b + 1, se sigue que p|1. Lo cual es una contradiccion. Estoprueba el aserto. 2


Para cada i ≤ n sea di = (i + 1) · b + 1. Por el aserto anterior y el teorema chino delresto, existe a tal que:

a0 ≡ a (d0),...

...an ≡ a (dn).

Por tanto, para todo i ≤ n, rm(a, di) = ai [[ai < di]]. Es decir, para todo i ≤ n

β′(a, b, i) = rm(a, (i+ 1) · b+ 1) = rm(a, di) = ai.


Teorema IV.3.6. (Godel) Existe β : ω2 −→ ω tal que:(a) β ∈ PR.

(b) ∀n ∈ ω ∀a0, . . . , an ∃a ∀i ≤ n [β(a, i) = ai].

Demostracion: Basta definir

β(a, c) = β′(K(a), L(a), c) = rm(K(a), (c+ 1) · L(a) + 1).

El resultado es consecuencia del lema anterior. ¥

Notas IV.3.7.

(a) De los resultados y definiciones anteriores se sigue que:

(a.1) β(0, c) = 0.

(a.2) β(a, c) ≤ a −−• 1. Pues L(a) ≤ a y β′(a, b, c) ≤ a −−• 1.

(a.3) a 6= 0 =⇒ β(a, c) < a.

(b) El elemento a ∈ ω cuya existencia asegura el teorema IV.3.6-(b), esta acotadopor una funcion primitiva recursiva.

Prueba: En efecto, sea m = max(n, a0, . . . , an). Entonces

(–) L(a) = m!.

(–) K(a) ≤∏i≤n[(i+ 1) · L(a) + 1] ≤ ((n+ 1) · L(a) + 1)n.

Por tanto,

a = J(K(a), L(a))≤ (K(a) + L(a))2 + 1≤ ((n+ 1) ·m! + 1)n +m!)2 + 1

≤ (m+ 2)(m+2)2 .


Definicion IV.3.8.

(a) lg : ω −→ ω, lg(a) = β(a, 0).

(b) Πβi : ω −→ ω, Πβ

i (a) = β(a, i+ 1).


(c) Sea Seq ⊆ ω el conjunto definido por:

a ∈ Seq ⇐⇒ (∀x)<a [lg(x) 6= lg(a) ∨ ∃i < lg(a) ((x)i 6= (a)i)].

Estas funciones se denominan, respectivamente, longitud y proyeccion i-esima de Godel.Es usual escribir: (a)i en lugar de Πβ

i (a), (a)i,j en lugar Πβj (Π

βi (a)), etc.

Los elementos del conjunto Seq se denominan numeros de sucesion. Se tiene que 0 =〈〉 ∈ Seq, que se denonima sucesion vacıa.

Proposicion IV.3.9.

(a) lg,Πβi ∈ PR.

(b) Seq ∈ ∆0∗.

(c) Para cualesquiera n ∈ ω y a0, . . . , an−1 ∈ ω existe un unico a ∈ Seq (que notare-mos a = 〈a0, . . . , an−1〉) tal que

(c.1) lg(a) = n.

(c.2) ∀i < n [(a)i = ai]. ¥

Demostracion: Para la prueba de (c) basta tomar:

a = (µx)(β(x, 0) = n ∧ (∀i)<n (β(x, i+ 1) = ai))

Basta tener presente que por IV.3.7-(b) el µ-operador que aparece en la definicionanterior esta acotado por una funcion primitiva recursiva. Por tanto, el resultado sesigue de IV.2.22.

Las otras partes de la proposicion son triviales. ¥

Comentarios IV.3.10. Es posible usar un procedimiento “mas simple” para codifi-car sucesiones de numeros naturales. Sean

(–) Pr = {n : n es primo}.(–) p : ω −→ ω la funcion definida por

(–) p(0) = 2.

(–) p(n+ 1) = (µx)[p(n) < x ∧ x ∈ Pr].

Escribiremos pi en lugar de p(i). Es facil comprobar que Pr ∈ ∆0∗ y p ∈ PR [[el µ–

operador esta acotado por p(n)! + 1 (mejor, por 2 · p(n))]]. Definimos β∗ : ω2 −→ ωcomo sigue. Para a > 0

β∗(a, i) = max({k < a : pk+1i |a}).

Si a = 0, β∗(a, i) = 0. Es evidente que

(–) β∗ es primitiva recursiva.

(–) ∀n ∈ ω ∀a0, . . . , an ∈ ω ∃a∀i ≤ n [β∗(a, i) = an].

a = pa0+10 · pa1+1

1 · . . . · pan+1n .

Entonces la funcion longitud se define como sigue


(–) lg(0) = 0

(–) lg(a) = max({k : pk|a}), a > 0.

La coleccion de los numeros de sucesiones, Seq, se define por: 0 ∈ Seq y para a > 0

a ∈ Seq ⇐⇒ ∀k ∀j < k [pk|a→ pj|a].Desde el punto de vista de la Teorıa de la Recursion es indiferente usar la funcion βo la funcion β∗. La razon de introducir formalmente la funcion β en lugar de β∗ laveremos en §5 y en el capıtulo VI.

Proposicion IV.3.11. Sean In, ∗ : ω2 −→ ω las aplicaciones definidas por:

In(a, i) = (µx)(lg(x) = i ∧ (∀j < i) ((x)j = (a)j)),

a ∗ b = (µx)

lg(x) = lg(a) + lg(b) ∧∀i < lg(a) [(x)i = (a)i] ∧∀i < lg(b) [(x)lg(a)+i = (b)i].

Se tiene que: In, ∗ ∈ PR.

Demostracion: Trivial. Pues en ambos casos el µ-operador esta acotado por unafuncion primitiva recursiva. ¥

Nota IV.3.12. Estas funciones se denominan: parte inicial y concatenacion, respec-tivamente. Aunque solo usaremos estas funciones sobre numeros de sucesion, para quesean primitivas recursivas las hemos definido para cualesquiera numeros naturales.

Proposicion IV.3.13. Sea f : ωn −→ ω. Definimos 〈f〉 : ω −→ ω como sigue:

〈f〉(a) = f((a)1, . . . , (a)n).

Se tiene que : f ∈ PR ⇐⇒ 〈f〉 ∈ PR.


Proposicion IV.3.14. Sea A ⊆ ωn. Definimos 〈A〉 ⊆ ω como sigue:

a ∈ 〈A〉 ⇐⇒ ((a)1, . . . , (a)n) ∈ A.

Se tiene que : A ∈ ∆0∗ ⇐⇒ 〈A〉 ∈ ∆0

∗.


Proposicion IV.3.15. Sea f : ωn −→ ω. Definimos f : ωn −→ ω como sigue:

f(~x, y) =

{ 〈〉, si y = 0;〈f(~x, 0), f(~x, 1), . . . , f(~x, z)〉, si y = z + 1.

Se tiene que : f ∈ PR ⇐⇒ f ∈ PR.



Proposicion IV.3.16. Sea g : ωn+2 −→ ω con g ∈ PR. Sea f : ωn+1 −→ ω laaplicacion definida por:

f(~x, y) = g(~x, y, f(~x, y)).

Entonces f ∈ PR.


Proposicion IV.3.17. Sean g1, . . . gn : ωn+m+1 −→ ω y h1, . . . , hn : ωm −→ ω.Consideremos las aplicaciones f1, . . . , fn : ωm+1 −→ ω definidas por:

(–) fi(~x, 0) = hi(~x).

(–) fi(~x, y + 1) = gi(~x, y, f1(~x, y), . . . , fn(~x, y)).

Se tiene que:

(∀i)1≤i≤n [gi, hi ∈ PR] =⇒ (∀i)1≤i≤n [fi ∈ PR].


§4 Funciones recursivas

Notas IV.4.1.

(a) Diremos que ϕ es una aplicacion parcial de ωn en ω, ϕ : ωn − → ω, si ϕ es unaaplicacion, dom(ϕ) ⊆ ωn y rang(ϕ) ⊆ ω. Si ~x ∈ dom(ϕ), escribiremos ϕ(~x)↓. Encaso contrario escribiremos ϕ(~x)↑.

(b) Sean ϕ, γ : ωn − → ω. Diremos que ϕ ' γ si:(b.1) dom(ϕ) = dom(γ).

(b.2) ~x ∈ dom(ϕ) =⇒ ϕ(~x) = γ(~x).

Definicion IV.4.2. Sea ϕ : ωn+1 − → ω. La funcion obtenida de ϕ por µ-recursion,

µ(ϕ) : ωn − → ω

esta definida por:

µ(ϕ)(~x) '{

inf({y : ϕ(~x, y) ' 0 ∧ ∀z < y (ϕ(~x, z)↓)});↑, si no existe el ınfimo.

Es decir,

µ(ϕ)(~x) ' z ⇐⇒ ϕ(~x, z) ' 0 ∧ ∀w < z ∃v > 0 (ϕ(~x, w) ' v).

Notaremos µ(ϕ)(~x) ' (µy)[ϕ(~x, y) ' 0].

Definicion IV.4.3. La coleccion de las funciones recursivas (parciales), P , es el menorconjunto tal que:

100 4. Funciones recursivas

(a) Funciones basicas: Las funciones basicas estan en P :

S : ω −→ ω, S(x) = x+ 1,

O : ω −→ ω, O(x) = 0,

Πni : ωn −→ ω, Πn

i (x1, . . . , xn) = xi (1 ≤ i ≤ n).

(b) Sean ϕ : ωn − → ω y γ1, . . . , γn : ωm − → ω. Si ϕ, γ1, . . . , γn ∈ P , entonces lafuncion que se obtiene de ϕ y γ1, . . . , γn por composicion esta en P .

(c) Sean ϕ : ωm − → ω y γ : ωm+2 − → ω. Si ϕ, γ ∈ P , entonces la funcion que seobtiene de ϕ y γ por recursion esta en P .

(d) Sea ϕ : ωn+1 − → ω. Si ϕ ∈ P , entonces la funcion que se obtiene de ϕ porµ-recursion esta en P .

Notaremos por R al conjunto de las funciones recursivas totales.

Proposicion IV.4.4. PR ⊆ R ⊂ P .

Demostracion: De las definiciones se sigue que PR ⊆ R. Por otra parte, existenfunciones recursivas que no son totales, por ejemplo,

ϕ(x) ' (µy)(S(Π21(x, y)) = 0) [[dom(ϕ) = ∅]].

Por tanto, R ⊂ P . ¥

Definicion IV.4.5. Sea A ⊆ ωn. Diremos que A es recursivo si σA es recursiva. Nota-remos por ∆0

1 a la coleccion de los conjuntos recursivos.

Nota IV.4.6. Los resultados que siguen se prueban de manera analoga a los corres-pondientes para conjuntos pimitivos recursivos.

Aserto IV.4.6.1. Sea A ⊆ ωn. Son equivalentes:(a) A ∈ ∆0

1

(b) ∃f ∈ R [~x ∈ A⇐⇒ f(~x) = 1]. 2

Aserto IV.4.6.2. Sea A,B ⊆ ωn.(a) A,B ∈ ∆0

1 =⇒ A ∪B, A ∩B ∈ ∆01.

(b) A ∈ ∆01 =⇒ Ac ∈ ∆0

1. 2

Aserto IV.4.6.3. Sean A ⊆ ωn y f : ωm −→ ω. Sea

Bi = {(~y, x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn) : (x1, . . . , xi−1, f(~y), xi+1, . . . , xn) ∈ A}.Si A ∈ ∆0

1 y f ∈ R, entonces Bi ∈ ∆01. 2

Aserto IV.4.6.4. Sea A ⊆ ωn. Si A ∈ ∆01, entonces (∃y)≤xA, (∀y)≤xA ∈ ∆0

1. 2


Teorema IV.4.7. (Teorema del grafo, II). [[Completa a IV.2.15]]. Sea f : ωn −→ω. Son equivalentes:

(a) f ∈ R.

(b) Gr(f) = {(~x, y) ∈ ωn+1 : f(~x) = y} ∈ ∆01.

Demostracion: Sea

A = {(~x, y) : f(~x) = y}.((a) =⇒ (b)): Se tiene que:

σA(~x, y) = σ=(f(~x), y).

Por tanto, A es recursivo.

((b) =⇒ (a)): En efecto,

f(~x) = (µy)(σA(~x, y) = 1).

Por tanto, f es recursiva total. ¥

§5 Eliminacion de la recursion

Nota IV.5.1. En los siguientes resultados describiremos la coleccion de las funcionesrecursivas sin usar definiciones por recursion.

Definicion IV.5.2. Sea P ′ el menor conjunto tal que:

(a) Las funciones O, S, Πni , σ≤, suma y producto estan en P ′.

(b) Es cerrado bajo:(b.1) Composicion.

(b.2) µ-recursion.

Proposicion IV.5.3. P ′ ⊆ P . ¥

Lema IV.5.4.

(a) σ=, σ< ∈ P ′.(b) Para todo a ∈ ω, Ca ∈ P ′.(c) Sea f : ωn+1 −→ ϕ.

f ∈ P ′ =⇒ µ≤(f) ∈ P ′.


Definicion IV.5.5. Sea A ⊆ ωn. Diremos que A ∈ P ′∗ si σA ∈ P ′.

102 6. Enumeracion y Parametrizacion

Lema IV.5.6. Sean A,B ⊆ ωn tales que A,B ∈ P ′∗. Entonces

(a) Ac ∈ P ′∗.(b) A ∪B,A ∩B ∈ P ′∗.(c) ∃x ≤ y A, ∀x ≤ y A ∈ P ′∗.


Lema IV.5.7.

(a) La funcion cociente, qt, esta en P ′∗.(b) Las funcion J y sus inversas laterales, K y L, estan en P ′.(c) La funcion β de Godel esta en P ′.


Teorema IV.5.8. P ′ es cerrado bajo recursion.

Demostracion: Supongamos que ϕ se obtiene por recursion a partir de θ y γ, dondeθ, γ ∈ P ′. Definimos

ϕ1(~x, y) ' (µw)

lg(w) = y + 1 ∧(w)0 ' θ(~x) ∧(∀j < y) [(w)j+1 ' γ(~x, j, (w)j)].

De los resultados anteriores se sigue que ϕ1 ∈ P ′. Ademas,

ϕ(~x, y) ' (ϕ1(~x, y))y.

Por tanto, ϕ ∈ P ′. Lo que prueba el teorema. ¥

Corolario IV.5.9. P = P ′.

Demostracion: Es consecuencia inmediata de IV.5.8. ¥

§6 Enumeracion y Parametrizacion

Teorema IV.6.1. (Teorema de la forma normal (Kleene)). Existen U ∈ PR yT ∈ ∆0

∗, T ⊆ ω, tal que para todo n > 0 y para toda ϕ ∈ P , ϕ : ωn − → ω, existee ∈ ω tal que para todo x1, . . . , xn ∈ ω:

(a) ϕ(x1, . . . .xn)↓ ⇐⇒ ∃y [T (y) ∧ (y)0,0 = e ∧ y0,1 = 〈x1, . . . , xn〉].(b) ϕ(x1, . . . , xn) ' U((µy)[T (y) ∧ (y)0,0 = e ∧ (y)0,1 = 〈x1, . . . , xn〉]).

Demostracion: Puesto que la prueba consiste, basicamente, en definir T y U ire-mos intercalando unas observaciones que permitan una mejor comprension de estas


definiciones.

Observacion 1: Veamos con un ejemplo cual es la tarea que hay que realizar paradeterminar el valor de una funcion recursiva. Consideremos la funcion predecesor, pr.Como vimos en IV.2.8-(c) una descripcion recursiva de pr es

pr = C(R(O,Π32); Π

11,Π

11).

Calculemos el valor de pr(2) = a usando esta descripcion de la funcion pr. Para ello,es necesario calcular:

Π11(2) = a1, Π1

1(2) = a2 y R(O,Π32)(a1, a2) = a.

Como Π11 es una funcion basica, su valor se obtiene de forma inmediata: Π1

1(2) = 2.Por tanto, todo se reduce a calcular R(O,Π3

2)(2, 2). Para ello, es necesario calcular:

R(O,Π32)(2, 1) = b1 y Π3

2(2, 1, b1) = a.

Para determinar el valor de R(O,Π32)(2, 1) es necesario calcular:

R(O,Π32)(2, 0) = c1 y Π3

2(2, 0, c1) = b1.

Por definicion, R(O,Π32)(2, 0) = O(2). Puesto que O es una funcion basica, podemos

obtener inmediatamente su valor: O(2) = 0 = c1. Por tanto,

b1 = Π32(2, 0, c1) = Π3

2(2, 0, 0) = 0.

En consecuencia

pr(2) = a = Π32(2, 1, 0) = 1.

Observacion 2: Vamos a generalizar el proceso descrito en la observacion anterior. Lacuestion consiste en especificar los pasos que tenemos que dar para determinar el valorde una funcion atendiendo a su descripcion recursiva.

Funciones basicas: En este caso los valores de la funcion estan determinados de formainmediata.

O(x) ' 0, S(x) ' x+ 1 y Πni (x1, . . . , xn) ' xi.

Composicion: Sea ϕ ' C(γ; θ1, . . . , θm). Entonces para determinar que

ϕ(x1, . . . , xn) ' z

es necesario calcular

θ1(x1, . . . , xn) ' z1, . . . , θm(x1, . . . , xn) ' zm y γ(z1, . . . , zm) ' z.

Recursion: Sea ϕ ' R(γ, θ). Para calcular

ϕ(~x, y) ' z

tenemos dos casos:

Caso 1. y = 0. Entonces tenemos que cacular

γ(~x) ' z.


Caso 2. y = w + 1. Entonces es necesario calcular

ϕ(~x, w) ' z1 y θ(~x, w, z1) ' z.

µ-recursion: Sea ϕ ' (µ)(γ). Para calcular

ϕ(~x) ' z

es necesario calcular

γ(~x, 0) ' w0, . . . , γ(~x, z − 1) ' wz−1 y γ(~x, z) ' 0.

Donde wi 6= 0, 0 ≤ i < z.

Dada una descripcion recursiva de una funcion, siguiendo los procesos descritos ante-riormente podemos obtener el valor de la funcion. Esta forma de organizar el procesode calculo lo denominaremos arbol de computacion. El siguiente objetivo, mas formal,consistira en asignarles numeros a los arboles de computacion.

Indices de funciones:

funcion ındice

O 〈0〉,S 〈1〉,Πni 〈2, n, i〉,C(γ; θ1, . . . , θm) 〈3, b1, . . . , bm, a〉,R(γ, θ) 〈4, a, b〉,µ(γ) 〈5, a〉.

Observacion 3: Un arbol de computacion lo representaremos por un numero de sucesion

y = 〈v, T1, . . . , Tm〉donde:

(i) v = (y)0 = 〈e, 〈x1, . . . , xn〉, z〉, es el vertice inicial del arbol y tiene la siguienteforma:

(–) e = (y)0,0 es el ındice de la funcion.

(–) 〈x1, . . . xn〉 = (y)0,1 es el dato de entrada.

(–) z = (y)0,2 es el valor de la funcion.

(ii) Para todo j, 0 < j < lg(y), (y)j = Tj es un arbol de computacion. En cada unode ellos se codifican las tareas a realizar para el calculo de la funcion.

(iii) (y)j,0 es el vertice de Tj y tiene las mismas caracteristicas que (y)0.

La observacion anterior la formalizamos con la siguiente definicion:

Arboles:


y ∈ A⇐⇒{y ∈ Seq ∧ (y)0 ∈ Seq ∧ lg((y)0) = 3 ∧ (y)0,0 ∈ Seq ∧(y)0,1 ∈ Seq ∧ 0 < lg((y)0,1).

Observacion 4: Seguidamente definiremos unos predicados que nos aseguran si, local-mente, un arbol de computacion es correcto. Por ejemplo,

(–) 〈〈〈0〉, 〈5〉, 2〉〉 es un arbol incorrecto, pues O(5) = 0 y el arbol dice que O(5) = 2.

(–) 〈〈〈0〉, 〈5, 1〉, 0〉〉 es un arbol incorrecto, pues O es una funcion 1-aria y en el arbolse trata de determinar el valor de O sobre el par (5, 1).

(–) 〈〈〈2, 3, 1〉, 〈4, 1, 1〉, 4〉〉 es un arbol de computacion correcto pues Π31(4, 1, 1) = 4.

Para ello definimos los siguientes conjuntos

Correccion local:

Funciones basicas:

y ∈ B ⇐⇒ lg(y) = 1 ∧

(y)0,0 = 〈0〉 ∧ lg((y)0,1) = 1 ∧ (y)0,2 = 0∨(y)0,0 = 〈1〉 ∧ lg((y)0,1) = 1 ∧ (y)0,2 = (y)0,1,0 + 1∨lg((y)0,0) = 3 ∧ (y)0,0,0 = 2 ∧ (y)0,0,1 = lg((y)0,1) ∧1 ≤ (y)0,0,2 ≤ (y)0,0,1 ∧ (y)0,2 = ((y)0,1)(y)0,0,2−1.

Composicion:

y ∈ C ⇐⇒

3 ≤ lg((y)0,0) ∧ (y)0,0,0 = 3 ∧ lg(y) = lg((y)0,0) ∧(∀j)1≤j<lg(y)−1 [(y)j,0,0 = (y)0,0,j ∧ (y)j,0,1 = (y)0,1] ∧(y)lg(y)−1,0,0 = (y)0,0,lg(y)−1 ∧ (y)lg(y)−1,0,2 = (y)0,2 ∧lg((y)lg(y)−1,0,1) = lg(y)− 2 ∧(∀j)j<lg(y)−2 [(y)lg(y)−1,0,1,j = (y)j+1,0,2].

Recursion:

y ∈ D ⇐⇒

lg((y)0,0) = 3 ∧ (y)0,0,0 = 4 ∧

{lg(y) = 2 ∧ (y)1,0,0 = (y)0,0,1 ∧(y)1,0,1 ∗ 〈0〉 = (y)0,1 ∧ (y)1,0,2 = (y)0,2

∨

lg(y) = 3 ∧ (y)1,0,0 = (y)0,0 ∧(y)0,1 = In((y)1,1, lg((y)1,1 − 1)) ∗ 〈((y)1,1)lg((y)1,1)−1 + 1〉 ∧(y)2,0,0 = (y)0,0,2 ∧ (y)2,0,2 = (y)0,2 ∧(y)2,0,1 = (y)1,0,1 ∗ 〈(y)1,0,2〉.

µ-Recursion:


y ∈ E ⇐⇒

lg((y)0,0) = 2 ∧ (y)0,0,0 = 5 ∧2 ≤ lg(y) ∧ (y)0,2 = lg(y)− 2 ∧(∀j)1≤j<lg(y) [(y)j,0,0 = (y)0,0 ∧ (y)j,0,1 = (y)0,1 ∗ 〈j − 1〉] ∧(∀j)1≤j<lg(y) [(y)j,0,2 = 0↔ j = lg(y)− 1].

Con todo lo anterior definimos ahora que es un arbol de computacion.

Arboles de computacion:

T (y)⇐⇒{y ∈ A ∧ [y ∈ B ∨ y ∈ C ∨ y ∈ D ∨ y ∈ E] ∧1 < lg(y) → (∀j)1≤j<lg(y) (T ((y)j)).

La funcion U :

U(y) = (y)0,2.

Las pruebas de las partes (a) y (b) del teorema se obtienen directamente a partir delas definiciones. ¥

Definicion IV.6.2. Sea n ∈ ω, n ≥ 1,

(a) Los conjuntos Tn:Tn(e, x1, . . . , xn, y)⇐⇒ T (y) ∧ (y)0,0 = e ∧ (y)0,1 = 〈x1, . . . , xn〉.

(b) Para cada e ∈ ω sea

{e}n(~x) ' U((µy)Tn(e, ~x, y)).{e}n es la e–esima funcion recursiva en n-variables.

(c) Para cada e, s ∈ ω sea

{e}ns (~x) '{ {e}n(~x), si ∃y < s Tn(e, ~x, y);↑, en caso contrario.

{e}ns es la aproximacion finita de {e}n de nivel s.

Notas IV.6.3.

(a) {e}n representa a la e–esima funcion recursiva parcial de aridad n. Cuando seainnecesario, o claro por el contexto, precisar la aridad de la funcion prescindiremosdel superındice n y notaremos {e}.

(b) La definicion de {e}s(~x) modela el proceso de simular el calculo de la funcion{e} sobre ~x durante s pasos.

Teorema IV.6.4. La sucesion 〈{e}n : e ∈ ω〉 es una enumeracion efectiva de lasfunciones recursivas n-arias, es decir:

(a) Para todo e ∈ ω, {e}n ∈ P .


(b) Sea ϕ : ωn − → ω. Si ϕ ∈ P , entonces existe e ∈ ω tal que ϕ ' {e}n.(c) (Funcion universal.) Existe Un ∈ P , Un : ωn+1 − → ω, tal que para todo

e ∈ ωUn(e, ~x) ' {e}n(~x).

Demostracion: (a) y (b) son triviales. Para probar (c) definimos

Un(e, ~x) ' U((µy)(Tn(e, ~x, y))). ¥

Teorema IV.6.5. (Funcion universal). Existe U ∈ P , U : ω2 − → ω, tal que paratoda ϕ ∈ P existe e ∈ ω tal que:

ϕ(~x) ' U(e, 〈~x〉).

Demostracion: Basta considerar la funcion

U(e, z) ' U((µy)(T (y) ∧ (y)0,0 = e ∧ (y)0,1 = z)). ¥

Corolario IV.6.6. R es el menor conjunto de funciones tal que:

(–) O,S,Πni ∈ R.

(–) g, h1, . . . , hm ∈ R =⇒ C(g;h1, . . . , hm) ∈ R.

(–) h, g ∈ R =⇒ R(h, g) ∈ R.

(–) g ∈ R ∧ ∀~x ∃y (g(~x, y) = 0) =⇒ µ(g) ∈ R.


Teorema IV.6.7. (Teorema s-n-m). Sean n, m ∈ ω. Existe Snm : ωn+1 −→ ω talque:

(a) Snm ∈ PR y es inyectiva.

(b) {Snm(e, x1, . . . , xn)}(y1, . . . , ym) ' {e}(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym).

Demostracion: Sea h : ω −→ ω la aplicacion definida por:

(–) h(0) = 〈3, 〈2, n, 1〉, 〈0〉〉,(–) h(x+ 1) = 〈3, h(x), 〈1〉〉.

De la definicion se sigue inmediatamente que:

(1) h ∈ PR.

(2) para todo k ∈ ω, {h(k)}n(x1, . . . , xn) ' k. (Esto es, {h(k)}n ' Cnk ).

Definimos

Snm(e, x1, . . . , xn) = 〈3, h(x1), . . . , h(xn), 〈2,m, 1〉, . . . , 〈2,m,m〉, e〉.De (1), (2) y resultados anteriores se siguen (a) y (b). Lo que prueba el teorema. ¥

Corolario IV.6.8. Existe g ∈ PR tal que: ∀e1, e2 ∈ ω ({e1}1◦{e2}1 ' {g(e1, e2)}1).



Notas IV.6.9. El proposito de esta nota es dar un esquema de la prueba de queexisten funciones recursivas totales que no son primitivas recursivas.

Una ligera modificacion de la prueba del teorema de la forma normal de Kleene permiteobtener el siguiente resultado:

Aserto IV.6.9.1. Existe una funcion recursiva F : ω2 −→ ω tal que:

(i) Para todo n ∈ ω, la funcion h : ω −→ ω definida por h(x) = F(n, x) esprimitiva recursiva.

(ii) Para toda funcion primitiva recursiva, h, de ω en ω existe n ∈ ω tal queh(x) = F(n, x). 2

Es decir, F es una funcion universal para las funciones primitivas recursivas de ω enω. La modificacion de la prueba del teorema de la forma normal de Kleene consistebasicamente en:

(–) Prescindir del conjunto E asociado a las definiciones por µ-recursion.

(–) Modificar el conjunto B asociado a la correccion de las funciones basicas haciendoque en el caso de que (y)0,0 no sea el ındice de una funcion primitiva recursiva,entonces defina a la funcion O (o cualquier otra funcion primitiva recursiva fijadapreviamente). Con esto, todo numero natural es el ındice de una funcion total.

Aserto IV.6.9.2. La funcion g : ω −→ ω definida por

g(x) = F(x, x) + 1

no es primitiva recursiva.

Prueba del aserto: En caso contrario existe n ∈ ω tal que g(x) = F(n, x). Portanto,

F(n, n) = g(n) = F(n, n) + 1.

Lo cual es una contradiccion. 2

Aserto IV.6.9.3. F ∈ R− PR.

Prueba del aserto: Por construccion F ∈ R. Por el aserto anterior F /∈ PR. 2

Aserto IV.6.9.4. Sea A = {(x, y, z) : F(x, y) = z}. Entonces A ∈ ∆01 −∆0

∗.

Prueba del aserto: Puesto que F es recursiva, por IV.4.7, A ∈ ∆01. Supogamos

que A ∈ ∆0∗. Entonces el conjunto B = {x : F(x, x) = 0} es primitivo recursivo.

Por tanto, existe n ∈ ω tal que CB(x) = F(n, x). Luego,

F(n, n) = 0⇐⇒ n ∈ B ⇐⇒ σB(n) = 1⇐⇒ F(n, n) = 1.

Lo cual es una contradiccion. Esto prueba el resultado. 2


§7 Ejercicios

Ejercicio IV.7.1. (IV.2.13). Los siguientes conjuntos son primitivos recursivos:

(a) {(x, y) ∈ ω2 : x ≤ y}.(b) {(x, y) ∈ ω2 : x < y}.(c) {(x, y) ∈ ω2 : x = y}.(d) {(x, y) ∈ ω2 : x 6= y}.

Ejercicio IV.7.2. (IV.3.13, IV.3.14, IV.3.15, IV.3.16).

(a) [[IV.3.13]] Sea f : ωn −→ ω. Definimos 〈f〉 : ω −→ ω como sigue:

〈f〉(a) = f((a)1, . . . , (a)n)

Se tiene que : f ∈ PR ⇐⇒ 〈f〉 ∈ PR.

(b) [[IV.3.14]] Sea A ⊆ ωn. Definimos 〈A〉 ⊆ ω como sigue:

a ∈ 〈A〉 ⇐⇒ ((a)1, . . . , (a)n) ∈ ASe tiene que : A ∈ ∆0

∗ ⇐⇒ 〈A〉 ∈ ∆0∗.

(c) [[IV.3.15]] Sea f : ωn −→ ω. Definimos f : ωn −→ ω como sigue:

f(~x, y) =

{ 〈〉, si y = 0〈f(~x, 0), f(~x, 1), . . . , f(~x, z)〉, si y = z + 1

Se tiene que : f ∈ PR ⇐⇒ f ∈ PR.

(d) [[IV.3.16]] Sea g : ωn+2 −→ ω con g ∈ PR. Sea f : ωn+1 −→ ω la aplicaciondefinida por:

f(~x, y) = g(~x, y, f(~x, y))

Entonces f ∈ PR.

Ejercicio IV.7.3. (IV.5.3, IV.5.4, IV.5.6, IV.5.7). Sea P ′ el menor conjunto talque:

(–) Las funciones O, S, Πni , C≤, suma y producto estan en P ′.

(–) Es cerrado bajo:(–) Composicion.

(–) µ-recursion.

Se tiene que

(a) [[IV.5.3]] P ′ ⊆ P .

(b) [[IV.5.4]] Las siguientes funciones estan en P ′.(b.1) C=, C< ∈ P ′.(b.2) Para todo a ∈ ω, Ca ∈ P ′.(b.3) Sea f : ωn+1 −→ ϕ. f ∈ P ′ =⇒ µ≤(f) ∈ P ′.

110 7. Ejercicios

(c) [[IV.5.6]] Sea A ⊆ ωn. Diremos que A ∈ P ′∗ si CA ∈ P ′. Sean A,B ⊆ ωn tales queA, B ∈ P ′∗. Entonces

(c.1) A ∈ P ′∗.(c.2) A ∪B, A ∩B ∈ P ′∗.(c.3) ∃x ≤ y A, ∀x ≤ y A ∈ P ′∗.

(d) [[IV.5.7]] Las siguientes funciones estan en P ′.(d.1) La funcion cociente, qt.

(d.2) Las funcion J y sus inversas laterales, K y L.

(d.3) La funcion β de Godel.

(e) [[IV.5.9]] P = P ′.

Ejercicio IV.7.4. (IV.6.8). Existe g ∈ PR tal que:

∀e1, e2 ∈ ω ({e1}1 ◦ {e2}1 ' {g(e1, e2)}1)

Ejercicio IV.7.5. (IV.3.17). Sean g1, . . . gn : ωn+m+1 −→ ω y h1, . . . , hn : ωm −→ω. Consideremos las aplicaciones f1, . . . , fn : ωm+1 −→ ω definidas por:

(–) fi(~x, 0) = hi(~x).

(–) fi(~x, y + 1) = gi(~x, y, f1(~x, y), . . . , fn(~x, y)).

Se tiene que: gi, hi ∈ PR, i = 1, . . . , n =⇒ fi ∈ PR, i = 1, . . . , n.

[[Probar el resultado para n = 2]].

Ejercicio IV.7.6. (IV.6.6). R es el menor conjunto de funciones tal que:

(a) O,S,Πni ∈ R.

(b) g, h1, . . . , hm ∈ R =⇒ C(g;h1, . . . , hm) ∈ R.

(c) h, g ∈ R =⇒ R(h, g) ∈ R.

(d) g ∈ R ∧ ∀~x ∃y (g(~x, y) = 0) =⇒ µ(g) ∈ R.

Capıtulo V

Conjuntos recursivamenteenumerables

§1 Conjuntos recursivamente enumerables

Definicion V.1.1. Sea A ⊆ ωn. Diremos que A es recursivamente enumerable, A ∈Σ0

1, si existe ϕ ∈ P tal que A = dom(ϕ).

Nota V.1.2. Notaremos

(a) We = dom({e}).

(b) We,s = dom({e}s).Por tanto, para todo A ∈ Σ0

1, existe e ∈ ω tal que A = We. Los conjuntos We,s sonfinitos, y en consecuencia recursivos. Diremos que We,s es la aproximacion finita de We

de nivel s. Se tiene que

Aserto V.1.2.1.

(i) We,0 ⊆ We,1 ⊆ . . . ⊆ We,s ⊆ . . .

(ii) We =⋃s∈ω We,s. 2

Teorema V.1.3. (Teorema de la proyeccion). Sea A ⊆ ωn. Son equivalentes:

(a) A ∈ Σ01.

(b) Existe B ∈ ∆01, B ⊆ ωn+1, tal que:

A(~x) ⇐⇒ ∃y B(~x, y).

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Como A ∈ Σ01 existe e ∈ ω tal que A = We. Por tanto,

~x ∈ A⇐⇒ ~x ∈We ⇐⇒ ∃s (~x ∈ We,s).

111

112 1. Conjuntos recursivamente enumerables

Por tanto, basta tomar B = {(~x, s) : ~x ∈ We,s}.((b) =⇒ (a)): Sea B ∈ ∆0

1 satisfaciendo (b). Definimos

ϕ(~x) ' (µy)(σB(~x, y) = 1).

Por definicion, ϕ ∈ P y dom(ϕ) = A. Por tanto, A es recursivamente enumerable. ¥

Corolario V.1.4. ∆01 ⊆ Σ0

1.


Corolario V.1.5. Sea A ⊆ ωn+1 un conjunto recursivamente enumerable. Entonces

(a) ∃y A(~x, y) ∈ Σ01.

(b) (∃y)≤w A(~x, y) ∈ Σ01.

(c) (∀y)≤w A(~x, y) ∈ Σ01.

Demostracion: Sea B ∈ ∆01 tal que

A(~x, y) ⇐⇒ ∃z B(~x, y, z).

((a)): (Contraccion de cuantificadores). Se tiene que

∃y A(~x, y) ⇐⇒ ∃y ∃z B(~x, y, z) ⇐⇒ ∃wB(~x, (w)0, (w)1).

Ahora bien, {(~x, w) : (~x, (w)0, (w)1) ∈ B} es recursivo, pues lo es B. Por tanto,∃y A(~x, y) es recursivamente enumerable por V.1.3.

((b)): En efecto,

(∃y)≤w A(~x, y) ⇐⇒ ∃y (y ≤ w ∧ A(~x, y))⇐⇒ ∃y (y ≤ w ∧ ∃z B(~x, y, z))⇐⇒ ∃y ∃z (y ≤ w ∧B(~x, y, z)).

Puesto que la interseccion de conjuntos recursivos es recursivo, el resultado se sigue dela parte (a).

((c)): En efecto,

(∀y)≤w A(~x, y) ⇐⇒ (∀y)≤w ∃z B(~x, y, z)

⇐⇒ ∃u (∀y)≤w (∃z)≤uB(~x, y, z)⇐= trivial=⇒ ver (∗).

(∗) Para cada j, 0 ≤ j ≤ w, sea zj tal que B(~x, j, zj). Basta tomar

u = max({zj : 0 ≤ j ≤ w}).Puesto que ∆0

1 es cerrado bajo cuantificacion acotada, entonces de V.1.3 se sigue elresultado. ¥

Corolario V.1.6. Sean A,B ⊆ ωn. Si A, B ∈ Σ01, entonces A ∪B, A ∩B ∈ Σ0

1.

Demostracion: Sean A1, B1 ∈ ∆01 tales que:

Capıtulo V. Conjuntos recursivamente enumerables 113

(–) A(~x) ⇐⇒ ∃y A1(~x, y).

(–) B(~x) ⇐⇒ ∃y B1(~x, y).

Entonces

(–) ~x ∈ A ∪B ⇐⇒ ∃y [A1(~x, y) ∨B1(~x, y)].

(–) ~x ∈ A ∩B ⇐⇒ ∃y ∃z [A1(~x, y) ∧B1(~x, z)].

Puesto que ∆01 es cerrado bajo union e interseccion, entonces de V.1.5-(a) se sigue el

resultado. ¥

Teorema V.1.7. (Teorema de la negacion). Sea A ⊆ ωn. Son equivalentes:

(a) A ∈ ∆01.

(b) A,Ac ∈ Σ01.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Puesto que ∆01 es cerrado bajo complementacion, el

resultado se sigue de V.1.4.

((b) =⇒ (a)): Sean i, j ∈ ω tales que: A = Wi y Ac = Wj. Consideremos las funciones

h(~x, s) =

{1, si ~x ∈Wi,s;0, si ~x /∈Wi,s.

g(~x) = (µs)(~x ∈ Wi,s ∨ ~x ∈ Wj,s).

Por definicion, h, g ∈ R. Ademas,

σA(~x) = h(~x, g(~x)).

Por tanto, A es recursivo. ¥

Notas V.1.8.

(a) Con todo lo anterior tenemos las siguientes propiedades de cierre para ∆01 y Σ0

1.

∪ ∩ − ∃≤ ∀≤ ∃ ∀∆0

1 sı sı sı sı sı ? ?Σ0

1 sı sı ? sı sı sı ?

En el siguiente paragrafo veremos que todos los interrogantes tienen una respuestanegativa.

(b) El teorema V.1.7 dice que un conjunto es recursivo si y solo si el y su comple-mentario son recursivamente enumerables; es decir, por V.1.3 son proyeccionesde conjuntos recursivos. Teniendo en cuenta la caracterizacion de las funcionesrecursivas dada en IV.5.2 se tiene que: un conjunto de numeros naturales esrecursivo si el y su complementario tienen una definicion a partir de: O, S, ≤,suma y producto usando cuantificadores acotados y cuantificadores existenciales(para mas detalles ver capıtulo VI). Se prueba, (teorema MRDP (Problema10o de Hilbert)), que se puede prescindir de los cuantificadores acotados. Estopermite dar una definicion del concepto de conjunto computable en una situacioncompletamente general.

114 1. Conjuntos recursivamente enumerables

Definicion. Sean A un conjunto y Bi ⊆ Ami , i = 1, . . . , n.

(–) La clase de los conjuntos recursivamente enumerables respecto deB1, . . . , Bn,es la menor coleccion de subconjuntos de A que se obtienen a partir delos conjuntos Bi, i = 1, . . . , n, y sus complementarios usando union,interseccion y proyeccion (cuantificacion existencial).

(–) Un subconjunto C de Am es recursivo respecto de B1, . . . , Bn, si C y Cc

son recursivamente enumerables respecto de B1, . . . , Bn.

La coleccion ası obtenida depende trivialmente de los conjuntos, B1, . . . , Bn,tomados como objetos basicos de definicion.

(c) Los comentarios anteriores ponen de manifiesto la ıntima relacion que existe entrelos conceptos de conjunto o funcion computable y el de definibilidad. Es decir,entre computacion y logica. Los lenguajes de primer orden y la definibilidad enestos lenguajes se estudio en los capıtulos I–III.

Definicion V.1.9. Sea ϕ : ωn − → ω. Definimos el grafo de ϕ, Grf(ϕ), como sigue

Grf(ϕ) = {(~x, z) : ϕ(~x) ' z}.

Teorema V.1.10. (Teorema del grafo, III). [[Completa a IV.4.7]]. Sea ϕ : ωn − →ω. Son equivalentes:

(a) ϕ ∈ P .

(b) Grf(ϕ) ∈ Σ01.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Por hipotesis, existe e ∈ ω tal que ϕ ' {e}. Portanto,

(~x, z) ∈ Grf(ϕ)⇐⇒ ∃y [Tn(e, ~x, y) ∧ (y)0,2 = z].

Por tanto, de V.1.3 se sigue que Grf(ϕ) es recursivamente enumerable.

((b) =⇒ (a)): Sea B ∈ ∆01 tal que:

(~x, z) ∈ Grf(ϕ)⇐⇒ ∃y B(~x, z, y).

Sea h(~x, w) = σB(~x, (w)0, (w)1). Por definicion, h ∈ R. Ademas

ϕ(~x) ' ((µw)(h(~x, w) = 1))0.

Por tanto, ϕ ∈ P . Lo que prueba el teorema. ¥

Teorema V.1.11. (Seleccion). Sea A ⊆ ωn+1, A ∈ Σ01. Existe ϕ ∈ P tal que

(a) dom(ϕ) = {~x ∈ ωn : ∃y ((~x, y) ∈ A)}.(b) ∀~x ∈ dom(ϕ) [(~x, ϕ(~x)) ∈ A].


Teorema V.1.12. Sea A ⊆ ω tal que A 6= ∅. Son equivalentes:


(a) A ∈ Σ01.

(b) Existe ϕ ∈ P , ϕ : ω − → ω, tal que A = rang(ϕ).

(c) Existe f ∈ R, f : ω −→ ω, tal que A = rang(f).

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sea e ∈ ω tal que A = We. Definimos la aplicacion

ϕ(x) ' x+O({e}(x)).

Entonces

(–) ϕ(x)↓ ⇐⇒ {e}(x)↓, y

(–) ϕ(x)↓ ⇐⇒ ϕ(x) ' x.

Por tanto,

A = We = dom({e}) = dom(ϕ) = rang(ϕ).

Lo que prueba (b).

((b) =⇒ (c)): Sean ϕ ∈ P tal que rang(ϕ) = A, e ∈ ω tal que ϕ ' {e} y a ∈ A.Consideremos la aplicacion

f(x, s) =

{a, si {e}s(x)↑;ϕ(x), en caso contrario.

De la definicion se sigue que f es recursiva total y rang(f) = A. Lo que prueba (c).

((c) =⇒ (a)): Sea f ∈ R tal que rang(f) = A. Entonces

x ∈ A⇐⇒ ∃y (f(y) = x).

Por IV.4.7, el conjunto {(y, x) : f(y) = x} es recursivo. Luego de lo anterior y V.1.3se sigue que A es recursivamente enumerable. ¥

§2 Indecidibilidad

Definicion V.2.1.

(a) K = {x : {x}(x)↓}(b) K0 = {〈e, x〉 : {e}(x)↓}.

Teorema V.2.2. (Problema de parada).

(a) K ∈ Σ01 −∆0

1.

(b) K0 ∈ Σ01 −∆0

1.

Demostracion: ((a)): (K ∈ Σ01): En efecto,

116 2. Indecidibilidad

x ∈ K ⇐⇒ {x}(x)↓⇐⇒ ∃s ({x}s(x)↓)⇐⇒ ∃y (T1(x, x, y)).

Por tanto, el resultado se sigue de V.1.3.

(K /∈ ∆01): Por V.1.7 es suficiente probar que Kc no es recursivamente enumerable. Es

decir, para todo e ∈ ω, Kc 6= We. En efecto,

e ∈ Kc ⇐⇒ e /∈ K⇐⇒ {e}(e)↑⇐⇒ e /∈ We.

((b)): (K0 ∈ Σ01): En efecto

〈e, x〉 ∈ K0 ⇐⇒ {e}(x)↓ ⇐⇒ ∃s ({e}s(x)↓)de lo anterior y V.1.3 se sigue que K0 ∈ Σ0

1.

(K0 /∈ ∆01): Por definicion,

x ∈ K ⇐⇒ 〈x, x〉 ∈ K0.

Por tanto, σK(x) = σK0(〈x, x〉). Puesto que K no es recursivo, tampoco lo es K0. ¥

Notas V.2.3. Puesto que

e ∈ K ⇐⇒ ∃y [T1(e, e, y)],entonces ∆0

1 no es cerrado bajo cuantificacion existencial.

Puesto que

e ∈ ω −K ⇐⇒ ∀y [¬T1(e, e, y)],entonces ∆0

1 y Σ01 no son cerrados bajo cuantificacion universal.

Los resultados anteriores permiten completar el diagrama de V.1.8.

∪ ∩ − ∃≤ ∀≤ ∃ ∀∆0

1 sı sı sı sı sı no noΣ0

1 sı sı no sı sı sı no

Lema V.2.4. Sea f ∈ R tal que:

x ∈ K ⇐⇒ f(x) ∈ A.

Entonces A /∈ ∆01.


σK(x) = σA(f(x)).

Por tanto, el resultado se sigue de V.2.2. ¥


Teorema V.2.5. (Rice). Sea F ⊆ P tal que F 6= ∅,P . Entonces el conjunto

IF = {e : {e} ∈ F}no es recursivo.

Demostracion: Por hipotesis existen a, b ∈ ω tales que {a} ∈ F y {b} /∈ F . Seaϕ ∈ P tal que dom(ϕ) = ∅.Caso 1: ϕ /∈ F . Se tiene que:

Aserto V.2.5.1. Existe f ∈ R tal que:

{f(x)} '{ {a}, si x ∈ K;ϕ, en caso contrario.

Prueba del aserto: Sea θ(x, y) ' C1({x}(x))·{a}(y). Como θ ∈ P , existe j ∈ ωtal que θ ' {j}. Basta tomar f(x) = S(j, x). Lo que prueba el aserto. 2

Entonces

x ∈ K ⇐⇒ {f(x)} ∈ F ⇐⇒ f(x) ∈ IF .

Por tanto, de V.2.4 se sigue que IF no es recursivo.

Caso 2: ϕ ∈ F . Entonces, con un argumento similar al caso 1, usando {b}, obtenemosque ω − IF no es recursivo; por tanto, tampoco lo es IF . ¥

§3 El teorema de recursion

Lema V.3.1. Sea ϕ : ωn+1 − → ω tal que ϕ ∈ P . Existe e ∈ ω tal que

ϕ(e, ~x) ' {e}(~x).

Demostracion: Sea θ ∈ P la aplicacion definida por:

θ(y, ~x) ' ϕ(S(y, y), ~x).

Sea j ∈ ω tal que θ ' {j}. Entonces

θ(y, ~x) ' {j}(y, ~x) ' {S(j, y)}(~x).

En particular, θ(j, ~x) ' {S(j, j)}(~x). Sea e = S(j, j). Entonces

ϕ(e, ~x) ' ϕ(S(j, j), ~x)' θ(j, ~x)

' {S(j, j)}(~x)

' {e}(~x).


Teorema V.3.2. (Teorema de recursion). Sea f ∈ R. Existe e ∈ ω tal que:

118 4. Ejercicios

(a) {e} ' {f(e)}.

(b) We = Wf(e).

Demostracion: ((a)): Sea ϕ(y, ~x) ' Un(f(y), ~x). Es decir,

ϕ(y, ~x) ' {f(y)}(~x).

Puesto que ϕ ∈ P , por V.3.1, existe e ∈ ω tal que ϕ(e, ~x) ' {e}(~x). Por tanto,

{e}(~x) ' ϕ(e, ~x) ' {f(e)}(~x).

Lo que prueba (a).

((b)): Se sigue de (a). ¥

Teorema V.3.3. (Teorema de recursion con parametros). Sea f : ωn+1 −→ ωtal que f ∈ R. Existe g ∈ R, g : ωn −→ ω tal que

{g(~y)} ' {f(g(~y), ~y)}.


§4 Ejercicios

Ejercicio V.4.1. (V.1.4). ∆01 ⊆ Σ0

1.

Ejercicio V.4.2. (V.1.11). Sea A ⊆ ωn+1, A ∈ Σ01. Existe ϕ ∈ P tal que

(a) dom(ϕ) = {~x ∈ ωn : ∃y ((~x, y) ∈ A)}.(b) ∀~x ∈ dom(ϕ) [(~x, ϕ(~x)) ∈ A].

Ejercicio V.4.3. Sean ϕ ∈ P , ϕ : ω − → ω, y A ∈ Σ01, A ⊆ ω. Sea ψ : ω − → ω

definida por

ψ(x) '{ϕ(x), si x ∈ A;↑, en caso contrario.

Entonces ψ ∈ P .

Ejercicio V.4.4. Sea F = {∅} = {ϕ ∈ P : ϕ ' ∅}. Entonces IF /∈ Σ01.

Ejercicio V.4.5. Existe e ∈ ω tal que We = {e}. [[Observacion: aquı {e} es el con-junto cuyo unico elemento es e y no la funcion recursiva de ındice e, {e}]].

Ejercicio V.4.6. Probar que ϕ es recursiva. Donde ϕ es la funcion definida por


ϕ(x, y) =

1, si (∃z)≤y ({x}(z)↓ = y);0, si (∀z)≤y ({x}(z)↓ 6= y);↑, en cualquier otro caso.

Ejercicio V.4.7. Sea g una funcion recursiva total tal que para todo x ∈ ω, ϕg(x) estotal. Probar que el conjunto

{x : {g(x)}(x) = 0}es recursivo.

Ejercicio V.4.8. Sea f ∈ P . Probar que existe g ∈ R tal que

{g(i, j)}(x) = y ⇐⇒ i ∈ Wj,x ∧ f(x) = y.

Ejercicio V.4.9.

(a) Sean A y B conjuntos recursivamente enumerables. Probar que existe una funcionrecursiva total, g, tal que para todo x ∈ ω

Wg(x) =

{A, si x ∈ B;∅, en cualquier otro caso.

(b) Probar que existe una funcion recursiva total, f , tal que para todo x, y, z ∈ ω

Wf(x,y,z) =

{Wy, si x ∈ Wz;∅, en cualquier otro caso.

Ejercicio V.4.10.

(a) Probar que existe g ∈ R tal que

Wg(e) =

{ω, si e ∈ K;∅, en caso contrario.

(b) Probar que no existe f ∈ R tal que

We ∈ ∆01 =⇒ f(e)↓ ∧ Wf(e) = We

c.

Ejercicio V.4.11.

(a) Sea f una funcion recursiva parcial. Probar que el conjunto {e : f = {e}} esinfinito.

(b) Sea g una funcion recursiva total. Probar que el conjunto {e : {e} = {g(e)}} esinfinito.

Ejercicio V.4.12.

(a) Probar que existe h recursiva total tal que

120 4. Ejercicios

{h(i)}(z) =

{ {{i}(i)}(z), si {i}(i)↓;↑, en caso contrario.

(b) Sea f recursiva total, {e} = f ◦ h y j = h(e). Probar que {j} = {f(j)}.

(c) Probar que existe h′ recursiva total tal que {h′(i)} = {i} ◦ h.(d) Probar que existe g recursiva total tal que

{i} recursiva total =⇒ {g(i)} = {{i}(g(i))}.

Parte C

Los Teoremas de Incompletitud

121

Capıtulo VI

La Aritmetica de Peano

§1 El lenguaje de primer orden de la Aritmetica

1.A Sintaxis

Nota VI.1.1. El lenguaje de la Aritmetica, L, consta de los siguientes sımbolos nologicos:

(–) 0, constante.

(–) S, funcion 1-aria.

(–) + y ·, funciones binarias.

(–) <, predicado binario.

Escribiremos

(–) x ≤ y en lugar de x < y ∨ x = y.

(–) t + 1 en lugar de S(t).

Definicion VI.1.2. (La jerarquıa Aritmetica).

(a) Cuantificacion acotada. Sean x una variable, t un termino en el cual no ocurrex y ϕ(x) una formula. Notaremos por:

(i) ∃x ≤ tϕ(x) a la formula ∃x (x ≤ t ∧ ϕ(x)).

(ii) ∀x ≤ tϕ(x) a la formula ∀x (x ≤ t→ ϕ(x)).

(b) Formulas acotadas. El conjunto de las formulas acotadas, ∆0, es el menorconjunto de formulas de L tal que

(b.1) contiene al conjunto de las formulas abiertas y

(b.2) es cerrado bajo conectivas proposicionales (negacion ¬, disyuncion ∨, con-juncion ∧ e implicacion →) y cuantificacion acotada.

123

124 1. El lenguaje de primer orden de la Aritmetica

(c) Formulas Σ1, Π1. Una formula ϕ(x1, . . . , xn) es Σ1 si es de la forma∃y1 . . . ∃ym ψ(x1, . . . xn, y1, . . . , ym).

Donde ψ ∈ ∆0. Una formula es Π1 si es la negacion de una formula Σ1. Es decir,si es de la forma

∀y1 . . . ∀ym ψ(x1, . . . xn, y1, . . . , ym).

Donde ψ ∈ ∆0.

(d) En general definimos Σn, Πn (n ∈ ω) como sigue:

(–) Σ0 = Π0 = ∆0.

(–) Σn+1 = {∃~x ϕ(~x) : ϕ(~x) ∈ Πn}.(–) Πn+1 = {∀~x ϕ(~x) : ϕ(~x) ∈ Σn}.

Notacion VI.1.3. Sean T una teorıa y Γ un conjunto de formulas.

Γ(T) = {ϕ(~x) : existe ψ(~x) ∈ Γ tal que T ` ϕ(~x)↔ ψ(~x)};ThΓ(T) = {ϕ ∈ Γ ∩ Sent : T ` ϕ};∆n(T) = {ϕ(~x) ∈ Σn : existe ψ(~x) ∈ Πn tal que T ` ϕ(~x)↔ ψ(~x)}.

Sea A un modelo. Entonces

Γ(A) = Γ(Th(A)), ThΓ(A) = ThΓ(Th(A)), ∆n(A) = ∆n(Th(A)).

Definicion VI.1.4. Sean T una teorıa (en el lenguaje de la Aritmetica) y ϕ(x1, . . . , xk, y)una formula. Diremos que ϕ es funcional en T si

T ` ∀x1 . . . ∀xk ∃!y ϕ(x1, . . . , xk, y).

Donde ∀x1 . . . ∀xk ∃!y ϕ(x1, . . . , xk, y) es la conjuncion de las formulas:

(–) ∀x1 . . . ∀xn ∃y ϕ(x1, . . . , xn, y), y

(–) ∀x1 . . . ∀xn ∀y ∀y′ (ϕ(x1, . . . , xn, y) ∧ ϕ(x1, . . . , xn, y′ → y = y′).

∃!y se lee: “existe un unico y”.

Lema VI.1.5. Sean T una teorıa y ϕ(~x, y) ∈ Σn una formula funcional en T. Entoncesϕ ∈ ∆n(T).

Demostracion: El resultado es trivial para n = 0. Supongamos que 0 < n. Puestoque ϕ(~x, y) es funcional en T, se tiene que:

T ` ϕ(~x, y)↔ ∀u (u 6= y → ¬ϕ(~x, u)).

Ahora bien,

∀u (u 6= y → ¬ϕ(~x, u)︸︷︷︸Σn︸︷︷︸

Πn︸︷︷︸Πn

).

︸︷︷︸Πn [[0<n]]

Capıtulo VI. La Aritmetica de Peano 125


1.B El modelo estandar. Conjuntos ∆01 y Σ0

1

Notas VI.1.6. El modelo estandar, N , consta de:

(–) Universo: ω (conjunto de los numeros naturales).

(–) Funciones:

0N = 0,SN (n) = n+ 1,n+N m = n+m,n ·N m = n ·m.

(–) Predicados: n <N m ⇐⇒ n < m.

La teorıa de N , Th(N ), es la teorıa cuyo conjunto de axiomas es

{ϕ : N ² ϕ}.

Definicion VI.1.7.

(a) Sea A ⊆ ωn. Diremos que A es definible en N si existe una formula ϕ(x1, . . . , xn)tal que

A = {(a1, . . . , an) ∈ ωn : N ² ϕ(a1, . . . , an)}.(b) Sea ϕ(x1, . . . , xn, y) una formula. Diremos que ϕ(~x, y) es funcional en N si

N ² ∀x1 . . .∀xn ∃!y ϕ(x1, . . . , xn, y).

(c) Sea F : ωn −→ ω una funcion. Diremos que F es definible en N si existe unaformula ϕ(x1, . . . , xn, y) tal que para cualesquiera a1, . . . , an, b ∈ ω,

F (a1, . . . , an) = b ⇐⇒ N ² ϕ(a1, . . . , an, b).

Notas VI.1.8.

(a) Sea ϕ(x1, . . . , xn) es una formula. Notaremos por ϕ(N ) al conjunto

ϕ(N ) = {(a1, . . . , an) ∈ ωn : N ² ϕ(a1, . . . , an)}.(b) Si ϕ(~x, y) define a F : ωn −→ ω en N , entonces ϕ(~x, y) es funcional en N .

Definicion VI.1.9. (Conjuntos Σ0n, Π0

n). Mediante la clasificacion de las formulasdel lenguaje de la Aritmetica dada en VI.1.2 podemos establecer una jerarquıa de lossubconjuntos de ωk, k ≥ 1, definibles en N . La jerarquıa aritmetica es la siguientecoleccion de subconjuntos de ω:

(a) Σ0n = {A ⊆ ωk : existe ϕ(~x) ∈ Σn tal que A = ϕ(N )}

(b) Π0n = {A ⊆ ωk : existe ϕ(~x) ∈ Πn tal que A = ϕ(N )}

(c) ∆0n = Σ0

n ∩ Π0n.


Lema VI.1.10. En N es posible sustituir un bloque de cuantificadores del mismo tipopor un unico cuantificador.

(a) Para cada ϕ(~x) ∈ Σn existe ψ(z1, . . . , zn, ~x) ∈ ∆0 tal que

N ² ϕ(~x)↔ ∃z1 ∀z2 ∃z3 . . . ψ(z1, . . . , zn, ~x).

(b) Para cada ϕ(~x) ∈ Πn existe ψ(z1, . . . , zn, ~x) ∈ ∆0 tal que

N ² ϕ(~x)↔ ∀z1 ∃z2 ∀z3 . . . ψ(z1, . . . , zn, ~x).


Proposicion VI.1.11. Sean ϕ(x, ~z) ∈ Σ1 y t(~z) un termino. Entonces ∀x ≤ t(~z)ϕ(x, ~z) ∈Σ1(N ). Es decir, existe ψ(x, ~z) ∈ Σ1 tal que

N ² ψ(x, ~z)↔ ∀x ≤ t(~z)ϕ(x, ~z).

Esto es, en la estructura estandar la coleccion de formulas Σ1 es cerrada bajo cuantifi-cacion acotada.

Demostracion: Sea θ(x, y1, . . . , yn, ~z) ∈ ∆0 tal que ϕ(x, ~z) es la formula

∃y1 . . . ∃yn θ(x, y1, . . . yn, ~z).

Sea ~a ∈ ω. Para cada j ≤ N (t(~a)) tal que N ² ∃y1 . . . ∃yn θ(j, y1, . . . , yn,~a) sean

(–) bj,1, . . . bj,n ∈ ω tales que

N ² θ(j, bj,1, . . . , bj,n,~a).

(–) cj = max(bj,1, . . . , bj,n) y

(–) d = max{cj : j ≤ N (t(~a))}.Entonces

N ² ∀x ≤ t(~a) ∃~y θ(x, ~y,~a)↔ ∀x ≤ t(~a)∃~y ≤ d θ(x, ~y,~a).

Por tanto, la formula

(–) ∃u ∀x ≤ t(~z)∃y1 ≤ u . . . ∃yn ≤ u θ(x, y1, . . . , yn, ~z)

satisface la proposicion. ¥

Definicion VI.1.12. Sea ϕ(~x) ∈ Σ1. Diremos que ϕ(~x) es ∆1 en N , ϕ(~x) ∈ ∆1(N ),si es equivalente en N a una formula Π1.

Nota VI.1.13. Es evidente que Σ1 es cerrado bajo cuantificacion existencial. Usandooperaciones prenex se obtiene que Σ1 es cerrado bajo disyuncion y conjuncion. Ademas,por VI.1.11, Σ1 es cerrado en N bajo cuantificacion acotada. En el siguiente resultadoveremos que una formula Σ1 funcional en N es ∆1 en N .

Lema VI.1.14. Sea ϕ(~x, y) ∈ Σ1 funcional en N . Entonces existe ψ(~x, y) ∈ Π1 tal que

N ² ϕ(~x, y)↔ ψ(~x, y).


Es decir, ϕ(~x, y) ∈ ∆1(N ).

Demostracion: Sea ψ(~x, y) la formula

∀u [ϕ(~x, u)→ u = y].

Puesto que ϕ(~x, y) es funcional se tiene que: [[(→) unicidad; (←) existencia]]

N ² ϕ(~x, y)↔ ψ(~x, y).


Lema VI.1.15. Sea ϕ(~x) una formula.

(a) Si ϕ(~x) ∈ ∆0, entonces ϕ(N ) es primitivo recursivo.

(b) Si ϕ(~x) ∈ Σ1, entonces ϕ(N ) es recursivamente enumerable.

Demostracion: ((a)): Por induccion sobre la longitud de ϕ(~x).

Caso 1: ϕ(~x) abierta. Entonces ϕ(N ) es primitivo recursivo.

Caso 2: ϕ(~x) ∈ ∆0. Puesto que la coleccion de los conjuntos primitivos recursivos escerrada bajo disyuncion, conjuncion, complementacion y cuantificacion acotada, porhipotesis de induccion, se sigue que ϕ(N ) es primitivo recursivo.

((b)): Sea θ ∈ ∆0 tal que ϕ(~x) es ∃~w θ(~x, ~w). Entonces, por (a), θ(N ) es primitivorecursivo. Por tanto, ϕ(N ) es la proyeccion de un conjunto recursivo. En consecuencia,ϕ(N ) es recursivamente enumerable. ¥

Nota VI.1.16. Como veremos en VI.1.18 todo conjunto recursivamente enumerablees definible por una formula Σ1.

Teorema VI.1.17. Sea F : ωn −→ ω. Son equivalentes:

(a) F es recursiva.

(b) F es definible en N por una formula Σ1 funcional.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): La prueba se realiza por induccion sobre funcionesrecursivas (ver IV.5 y IV.6.6).

Caso 1: Funciones basicas:

(–) O. x = x ∧ y = 0.

(–) S. y = S(x).

(–) Πni . x1 = x1 ∧ . . . ∧ xn = xn ∧ xi = y.

(–) C≤. ((x1 < x2 ∨ x1 = x2) ∧ y = S(0)) ∨ (x2 < x1 ∧ y = 0).

(–) Suma. x1 + x2 = y.

(–) Producto. x1 · x2 = y.

Caso 2: Composicion. Sea F (~a) = G(H1(~a), . . . , Hm(~a)). Sean ϕ(~z, y), ϕi(~x, y), i =1, . . . ,m, formulas Σ1 y funcionales en N que definen, respectivamente, a G, Hi, i =


1, . . . ,m. Entonces la formula ψ(~x, y) dada por:

∃y1 . . . ∃ym [ϕ1(~x, y1) ∧ . . . ∧ ϕm(~x, ym) ∧ ϕ(y1, . . . , ym, y)]

es funcional, Σ1 y define a F en N .

Caso 3: µ-recursion. Supongamos que F se obtiene de G por µ-recursion.

F (~a) = (µb)[G(~a, b) = 0].

Sea ϕ(~x, z, w) una formula Σ1 funcional en N que define a G. Sea ψ(~x, y) la formula

∀z < y ¬ϕ(~x, z,0) ∧ ϕ(~x, y,0).

Esta formula es Σ1 en N . En efecto,

∀z < y ¬ϕ(~x, z,0)︸︷︷︸Σ1︸︷︷︸

Σ1(N )︸︷︷︸Σ1(N )

∧ϕ(~x, y,0)︸︷︷︸Σ1

︸︷︷︸Σ1(N )

.

Ademas, en N es funcional y define a F .

((b) =⇒ (a)): Sea ϕ(~x, y) ∈ Σ1 funcional que define a F en N . Entonces

Gr(F ) = {(~a, b) ∈ ωn+1 : N ² ϕ(~a, b)}.Entonces, por VI.1.15-(b), el conjunto Gr(F ) es recursivamente enumerable. Por tan-to, F es recursiva. ¥

Teorema VI.1.18. Sea A ⊆ ωn. Son equivalentes:

(a) A es recursivamente enumerable.

(b) Existe ϕ(~x) ∈ Σ1 tal que A = ϕ(N ).

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Supongamos que A es recursivamente enumerable.Entonces existe B recursivo tal que para todo ~a ∈ ω

~a ∈ A ⇐⇒ ∃b ((~a, b) ∈ B).

Por VI.1.17, existe ψ(~x, z, y) ∈ Σ1 funcional que define a la funcion caracterıstica deB, CB. Entonces

~a ∈ A ⇐⇒ N ² ∃z ψ(~a, z,S(0)).

Por tanto, es suficiente tomar ϕ(~x) como la formula ∃z ψ(~x, z,S(0)).

((b) =⇒ (a)): Esto es el lema VI.1.15-(b). ¥

Teorema VI.1.19. Sea A ⊆ ωn. Son equivalentes:

(a) A es recursivo.

(b) Existe ϕ(~x) ∈ ∆1(N ) tal que A = ϕ(N ).


Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Supongamos que A es recursivo. Entonces A y Ac sonrecursivamente enumerables. Por tanto, existen ϕ(~x), ψ(~x) ∈ Σ1 tales que para todo~a ∈ ωn

(–) ~a ∈ A ⇐⇒ N ² ϕ(~a).

(–) ~a ∈ Ac ⇐⇒ N ² ψ(~a).

Entonces A = ϕ(N ). Ademas, N ² ϕ(~x)↔ ¬ψ(~x); es decir, ϕ(~x) ∈ ∆1(N ).

((b) =⇒ (a)): En efecto, por VI.1.18, A y Ac son recursivamente enumerables. Portanto, A es recursivo. ¥

§2 Aritmetizacion

Nota VI.2.1. Para cada sımbolo, s, del lenguaje de la Aritmetica sea ν(s) un numeronatural, que no es numero de sucesion, ν(0), ν(S), ν(+), ν(·), ν(<), ν(=), ν(∃), ν(∀),ν(∨), ν(∧), ν(¬), ν(→), ν(v).

Definicion VI.2.2. (Numeros de Godel).

Terminos: A cada termino, t, del lenguaje de la Aritmetica le vamos asociar un numero,ptq, que denominaremos numero de Godel del termino

pviq = 〈〈ν(v), i〉〉;p0q = 〈ν(0)〉;

pS(u)q = 〈ν(S)〉 ∗ puq;pu1 + u2q = 〈ν(+)〉 ∗ pu1q ∗ pu2q;pu1 · u2q = 〈ν(·)〉 ∗ pu1q ∗ pu2q.

Formulas: A cada formula, ϕ, del lenguaje de la Aritmetica le vamos asociar un numero,pϕq, que denominaremos numero de Godel de la formula.

pu1 = u2q = 〈ν(=)〉 ∗ pu1q ∗ pu2q;pu1 < u2q = 〈ν(<)〉 ∗ pu1q ∗ pu2q;

p¬θq = 〈ν(¬)〉 ∗ pθq;pθ1 ∨ θ2q = 〈ν(∨)〉 ∗ pθ1q ∗ pθ2q;pθ1 ∧ θ2q = 〈ν(∧)〉 ∗ pθ1q ∗ pθ2q;

pθ1 → θ2q = 〈ν(→)〉 ∗ pθ1q ∗ pθ2q;p∃x θq = 〈ν(∃)〉 ∗ pxq ∗ pθq;p∀x θq = 〈ν(∀)〉 ∗ pxq ∗ pθq.

Nota VI.2.3. Seguidamente definiremos los conjuntos de los numeros de Godel de losterminos y de las formulas del lenguaje de la Aritmetica.

Definicion VI.2.4. (Variables y Terminos). Definimos Var,Term ⊆ ω tales que

130 2. Aritmetizacion

sus elementos son los numeros de Godel de la variables y terminos, respectivamente.

(a) a ∈ Var ⇐⇒ ∃b < a (a = 〈〈ν(v), b〉〉).

(b) a ∈ Term⇐⇒

a ∈ Var ∨ a = 〈ν(0)〉 ∨

∃a1, a2 < a

a1, a2 ∈ Term ∧

a = 〈ν(S)〉 ∗ a1 ∨a = 〈ν(+)〉 ∗ a1 ∗ a2 ∨a = 〈ν(·)〉 ∗ a1 ∗ a2

Definicion VI.2.5. (Formulas atomicas). Definimos At ⊆ ω tal que sus elementosson los numeros de Godel de las formulas atomicas

a ∈ At ⇐⇒ ∃a1, a2 < a

a1, a2 ∈ Term ∧{a = 〈ν(=)〉 ∗ a1 ∗ a2 ∨a = 〈ν(<)〉 ∗ a1 ∗ a2.

Definicion VI.2.6. (Formulas). Definimos Form ⊆ ω tal que sus elementos son losnumeros de Godel de las formulas.

a ∈ Form⇐⇒

a ∈ At ∨

∃a1, a2 < a

a1, a2 ∈ Form ∧

a = 〈ν(∨)〉 ∗ a1 ∗ a2 ∨ a = 〈ν(∧)〉 ∗ a1 ∗ a2 ∨a = 〈ν(→)〉 ∗ a1 ∗ a2 ∨ a = 〈ν(¬)〉 ∗ a1 ∨∃b < a

{b ∈ Var ∧a = 〈ν(∃)〉 ∗ b ∗ a1 ∨ a = 〈ν(∀)〉 ∗ b ∗ a1.

Comentarios VI.2.7. Es facil comprobar que se verifican las siguientes propiedades.

(a) Para el conjunto Term

(–) t es un termino de L =⇒ ptq ∈ Term.

(–) n ∈ Term =⇒ existe t termino de L tal que ptq = n.

(b) Para el conjunto Form

(–) ϕ es una formula de L =⇒ pϕq ∈ Form.

(–) n ∈ Form =⇒ existe ϕ formula de L tal que pϕq = n.

Nota VI.2.8. Veamos como es posible identificar un numero natural con un conjunto.Para ello definiremos una relacion recursiva que describa a la pertenencia.

x ∈ a ⇐⇒ ∃v < 2x ∃u ≤ a (a = u · 2x+1 + 2x + v).

Se tiene que

(a) ∈ ⊆ ω2 es primitivo recursivo.

(b) ∀x (x ∈ a↔ x ∈ b)↔ a = b.

(c) x ∈ 2y ↔ x = y. Es decir, {y} = 2y.

(d) ∀x (x /∈ 0). Es decir, 0 = ∅.


(e) Existen f, g : ω2 −→ ω primitivas recursivas tales que

∀a∀b ∀x (x ∈ f(a, b)↔ x ∈ a ∨ x ∈ b).∀a∀b ∀x (x ∈ f(a, b)↔ x ∈ a ∧ x /∈ b).

Escribiremos a ∪ b = f(a, b), a-b = g(a,b).

Nota VI.2.9. (Variables libres). Existe una aplicacion Vl : ω −→ ω tal que a cadatermino o formula le asocia el conjunto de sus variables libres.

Si a ∈ Term, se define

Vl(a) =

∅, si a = 〈ν(0)〉;{a}, si a ∈ Var;Vl(b), si a = 〈ν(S)〉 ∗ b;Vl(b) ∪ Vl(c), si a = 〈ν(+)〉 ∗ b ∗ c;Vl(b) ∪ Vl(c), si a = 〈ν(·)〉 ∗ b ∗ c.

Si a ∈ Form, se define

Vl(a) =

Vl(b) ∪ Vl(c), si a = 〈ν(=)〉 ∗ b ∗ c;Vl(b) ∪ Vl(c), si a = 〈ν(<)〉 ∗ b ∗ c;Vl(b) ∪ Vl(c), si a = 〈ν(∨)〉 ∗ b ∗ c;Vl(b) ∪ Vl(c), si a = 〈ν(∧)〉 ∗ b ∗ c;Vl(b) ∪ Vl(c), si a = 〈ν(→)〉 ∗ b ∗ c;Vl(b), si a = 〈ν(¬)〉 ∗ bVl(c)− {b}, si a = 〈ν(∃)〉 ∗ b ∗ c;Vl(c)− {b}, si a = 〈ν(∀)〉 ∗ b ∗ c.

Definimos el conjunto de los numeros de Godel de las formulas cerradas, Sent.

a ∈ Sent ⇐⇒ a ∈ Form ∧ ∀b < a (b /∈ Vl(a)).

Nota VI.2.10. En lo que sigue supondremos definidos conjuntos y funciones que des-criben propiedades y operaciones sintacticas en el lenguaje de la aritmetica; por ejem-plo,

(–) Sub ⊆ ω3 tal que

(a, b, c) ∈ Sub ⇐⇒ a ∈ Form ∧ b ∈ Term ∧ c ∈ Var ∧ c es sustituible por b en a.

(–) Sust : ω3 −→ ω tal que

(–) Sust(ptq, pxq, puq) = ptx[u]q.

(–) Sust(pϕq, pxq, ptq) = pϕx[t]q.

Definicion VI.2.11. (Axiomas logicos). Tambien supondremos definidos los siguien-tes conjuntos

(a) PAx cuyos elementos son los numeros de Godel de las formulas del lenguaje dela Aritmetica que son tautologıas; es decir,

pϕq ∈ PAx ⇐⇒ ϕ es una tautologıa.

132 2. Aritmetizacion

(b) SAx

a ∈ SAx ⇐⇒ ∃b, c, d < a

{b ∈ Var ∧ c ∈ Term ∧ d ∈ Form ∧ Sub(d, b, c) ∧a = 〈ν(→)〉 ∗ Sust(d, b, c) ∗ 〈ν(∃)〉 ∗ b ∗ d.

Se tiene que

pϕq ∈ SAx ⇐⇒ ϕ es un axioma de sustitucion.

(c) IdAx

a ∈ IdAx ⇐⇒ ∃j < a (a = 〈ν(=)〉 ∗ 〈〈ν(v), j〉〉 ∗ 〈〈ν(v), j〉〉.Se tiene que

pϕq ∈ IdAx ⇐⇒ ϕ es un axioma de identidad.

(d) IgAx tal que

pϕq ∈ AgAx ⇐⇒ ϕ es un axioma de igualdad.

(e) LAx = PAx ∪ SAx ∪ IdAx ∪ IgAx.

Definicion VI.2.12. (Reglas de inferencia).

(a) Definimos MP ⊆ ω3 como sigue:

(a, b, c) ∈ MP ⇐⇒ a, b, c ∈ Form ∧ b = 〈ν(→)〉 ∗ a ∗ c.(b) Definimos R∃ ⊆ ω2 como sigue:

(a, b) ∈ R∃ ⇐⇒

a, b ∈ Form ∧∃c, d, e < b

{a = 〈ν(→)〉 ∗ d ∗ e ∧ c 6∈ Vl(e) ∧b = 〈ν(→)〉 ∗ 〈ν(∃)〉 ∗ c ∗ d ∗ e.

Teorema VI.2.13. Todos los conjuntos y funciones definidos anteriormente son pri-mitivos recursivos. ¥

Definicion VI.2.14. (Teorıas). Sea T una teorıa. Definimos

AxT = {pϕq : ϕ es un axioma de T}.

Definicion VI.2.15. (Pruebas). Sea T una teorıa.

(a) Definimos PrfT ⊆ ω2 como sigue:

(a, b) ∈ PrfT ⇐⇒

a ∈ Seq ∧ (a)lg(a)−1 = b ∧∀i < lg(a) ((a)i ∈ Form) ∧

∀i < lg(a)

(a)i ∈ LAx ∨(a)i ∈ AxT ∨∃j < i ((a)j, (a)i) ∈ R∃ ∨∃j, k < i ((a)j, (a)k, (a)i) ∈ MP.

(b) Definimos ThT ⊆ ω como sigue:

b ∈ ThT ⇐⇒ ∃a [(a, b) ∈ PrfT].


Definicion VI.2.16. Sean T una teorıa y Γ un conjunto de formulas. Diremos que:

(a) T esta recursivamente axiomatizada si AxT es recursivo.

(b) T es decidible si ThT es recursivo.

(c) T es una Γ–teorıa si AxT es definible por una formula de Γ. Es decir, si existeϕ(x) ∈ Γ tal que para toda formula θ,

pθq ∈ AxT ⇐⇒ N ² ϕ(pθq).

Proposicion VI.2.17. Sea T una Σ1–teorıa. Existe una teorıa recursivamente axioma-tizada, T′, tal que T y T′ son equivalentes.


Teorema VI.2.18. Sea T una Σ1–teorıa. Entonces

(a) Para cada formula ϕ(x1, . . . , xn) el conjunto

{(a1, . . . , an) ∈ ωn : T ` ϕ(a1, . . . , an)}es recursivamente enumerable.

(b) El conjunto ThT = {pϕq : T ` ϕ} es recursivamente enumerable.


§3 Modelos no estandar

3.A Numerales

Definicion VI.3.1. (Numerales). Para cada n ∈ ω sea n el termino de L, quedenominaremos numeral asociado a n, dado por:

(–) 0, si n = 0.

(–) S(m), si n = m+ 1.

Lema VI.3.2. Para todo n ∈ ω, N (n) = n.

Demostracion: Por induccion sobre n ∈ ω.

(n = 0): N (0) = N (0) = 0.

(n =⇒ n+ 1): N (n+ 1) = N (S(n)) = SN (N (n)). Por hipotesis de induccion, N (n) =n. Por tanto, N (n+ 1) = SN (n) = n+ 1. ¥

Lema VI.3.3. Sea A ² Th(N ). Entonces para todo n,m ∈ ω(a) n 6= m ⇐⇒ A ² n 6= m.

134 3. Modelos no estandar

(b) n < m ⇐⇒ A ² n < m.

(c) A ² n+m = n+m.

(d) A ² n ·m = n ·m.

Demostracion: Puesto que A ² Th(N ), A ≡ N . Por tanto, es suficiente probar losresultados para N . Todos los resultados son consecuencia inmediata del VI.3.2. ¥

Lema VI.3.4. Sea A ² Th(N ), entonces para todo n ∈ ω,

(a) A ² x ≤ n+ 1↔ x = n+ 1 ∨ x ≤ n.

(b) A ² x ≤ n↔ 0 = x ∨ 1 = x ∨ . . . ∨ n = x.

Demostracion: Como en VI.3.3 es suficiente probar los resultados para N . La parte(a) es trivial. La prueba de (b) se realiza por induccion sobre n ∈ ω.

(n = 0): Trivial.

(n =⇒ n+ 1): Sea a ∈ N tal que N ² a ≤ n+ 1. Por (a), N ² a ≤ n∨ a = n+ 1. Porhipotesis de induccion, N ² a ≤ n↔ a = 0 ∨ . . . ∨ a = n. Por tanto,

N ² a ≤ n+ 1↔ a = 0 ∨ . . . ∨ a = n ∨ a = n+ 1.


3.B La inmersion canonica

Definicion VI.3.5. (La inmersion canonica). Sea A un modelo. Definimos FA :N −→ A como sigue:

FA(n) = A(n).

Proposicion VI.3.6. Sea A ² Th(N ). Entonces FA : N ⊂A. Mas aun, FA es launica inmersion de N en A. ¥

Definicion VI.3.7. Sea A un modelo. Diremos que A es no estandar si N 6∼= A. Unelemento a ∈ A diremos que es no estandar, y notaremos ω < a, si a /∈ rang(FA).

Proposicion VI.3.8. Sea A ² Th(N ).

(a) Son equivalentes:(a.1) A es no estandar.

(a.2) A tiene elementos no estandar.

(b) Si ω < a, entonces para todo n ∈ ω, A ² n < a. ¥

Definicion VI.3.9. (Extensiones finales). Sean A ⊂ B. Diremos que B es una


extension final de A (o que A es una subestructura inicial de B), A ⊂e B, si

∀a ∈ A ∀b ∈ B (b < a =⇒ b ∈ A).

Proposicion VI.3.10. Sea A ² Th(N ). Existe una unica B ⊂e A tal que N ∼= B.

Habitualmente, identificaremos N con la unica seccion inicial de A que es isomorfa aN y escribiremos N ⊂e A.

Demostracion: Sea B = FA(N ). Por VI.3.6, FA es una inmersion. Luego, N ∼= B ⊂A. Ademas, por VI.3.8-(b), B es una subestructura inicial de A; es decir, B ⊂e A. ¥

Proposicion VI.3.11. Sea A ² Th(N ) no estandar. Entonces

(a) N ≺ A.

(b) ∃a > ω, A ² ϕ(a) ⇐⇒ ∀n ∈ ω, A ² ∃x (n < x ∧ ϕ(x)).

(c) ω no es definible en A.

Demostracion: ((a)):N ≺ A significa que para cualesquiera a1, . . . , ak ∈ ω y formulaϕ(x1, . . . , xk) se tiene que

N ² ϕ(a1, . . . , ak) ⇐⇒ A ² ϕ(a1, . . . , ak).

Esto es trivial pues N ≡ A.

((b)): (=⇒): Puesto que A ² ϕ(a), por VI.3.8-(b), A ² ∃x (n < x ∧ ϕ(x)).

(⇐=): Puesto que A ≡ N , entonces para todo n ∈ ω, N ² ∃x (n < x ∧ ϕ(x)). Luego,N ² ∀y ∃x (y < x∧ϕ(x)). Por tanto, A ² ∀y ∃x (x < y ∧ϕ(x)). Sea b ∈ A no estandar.Entonces A ² ∃x (b < x ∧ ϕ(x)). Sea a ∈ A tal que

A ² b < a ∧ ϕ(a).

Entonces, puesto que b es no estandar y b < a, a es no estandar. Ademas, A ² ϕ(a).

((c)): En efecto, sea ϕ(x) una formula tal que para todo n ∈ ω, A ² ϕ(n). Por (b),existe a ∈ A no estandar tal que A ² ϕ(a). Por tanto,

ω 6= {b ∈ A : A ² ϕ(b)}.


Teorema VI.3.12. (Existencia de modelos no estandar). Th(N ) tiene modelosno estandar.


136 4. La teorıa P−

§4 La teorıa P−

4.A La teorıa P−

Definicion VI.4.1. (Axiomas). La teorıa P− tiene los siguientes axiomas:

(1) 0 ≤ x. (11) x+ y = y + x.(2) x 6< x. (12) x · 0 = 0.(3) x < y ∧ y < z → x < z. (13) x · S(y) = x · y + x.(4) x < y ∨ y < x ∨ x = y. (14) x · (y · z) = (x · y) · z.(5) S(x) = S(y)→ x = y. (15) x · y = y · x.(6) 0 6= S(x). (16) x · (y + z) = x · y + x · z.(7) x < S(y)↔ x ≤ y. (17) x < y → x+ z < y + z.(8) x+ 0 = x. (18) x < y ∧ 0 < z → x · z < y · z.(9) x+ S(y) = S(x+ y). (19) x ≤ y ↔ ∃z (x+ z = y).

(10) x+ (y + z) = (x+ y) + z.

Notas VI.4.2.

(a) El axioma (19) se puede escribir como: x ≤ y ↔ ∃z ≤ y (x+ z = y).

(b) N ² P−.

(c) P− esta recursivamente axiomatizada.

Nota VI.4.3. Ahora veremos que en todo modelo de P− se verifican las propiedadessobre los numerales probadas en 3.A.

Lema VI.4.4. Sea A ² P−. Entonces para todo n,m ∈ ω,

(a) n 6= m ⇐⇒ A ² n 6= m.

(b) n < m ⇐⇒ A ² n < m.

(c) A ² n+m = n+m.

(d) A ² n ·m = n ·m.

(e) A ² x ≤ n↔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ . . . ∨ x = n.

Demostracion: ((a)): (⇐=) Trivial.

(=⇒): Por induccion sobre n ∈ ω probaremos que

(–) n 6= m =⇒ A ² n 6= m.

(n = 0): Puesto que m 6= 0 existe k ∈ ω tal que m = k + 1. Por el axioma (6),A ² 0 6= S(k). Puesto que A ² m = S(k), entonces A ² 0 6= m.

(n =⇒ n + 1): Supongamos que n + 1 6= m. Ademas, sin perdida de generalidad,podemos suponer que m 6= 0. Por tanto, existe k ∈ ω tal que m = k + 1. Puesto que


n + 1 6= m = k + 1, entonces n 6= k. Por hipotesis de induccion, A ² n 6= k. Entoncespor el axioma (5), A ² n+ 1 6= k + 1. Luego, A ² n+ 1 6= m.

((b)): Ejercicio.

((c)): Por induccion sobre m ∈ ω probaremos que A ² n+m = n+m.

(m = 0): El resultado se sigue del axioma (8).

(m =⇒ m+ 1): En efecto, en A se verifica que:

n+m+ 1 = n+ S(m)= S(n+m) [[Axioma (9)]]= S(n+m) [[Hip. ind.]]= (n+m) + 1

= n+ (m+ 1).

((d)): Ejercicio.

((e)): Ejercicio. ¥

Lema VI.4.5. Sea A ² P−.

(a) FA : N ⊂A. Mas aun, FA es la unica inmersion de N en A.

(b) Existe una unica B ⊂e A tal que N ∼= B.

Demostracion: Se sigue de VI.4.4. ¥

Definicion VI.4.6. Sean A y B estructuras. Diremos que A es una subestructura0–elemental de B, A ≺0 B, si

(a) |A| ⊆ |B|.(b) Para toda formula ϕ(x1, . . . , xk) ∈ ∆0 y a1, . . . , ak ∈ A

A ² ϕ(a1, . . . , ak) ⇐⇒ B ² ϕ(a1, . . . , ak).

Proposicion VI.4.7. Sea A ² P−. Entonces N ≺0 A.

Demostracion: Por induccion sobre la longitud de la formula. Puesto que N ⊂ A, essuficiente probar el resultado para formulas que contengan cuantificadores acotados.

Caso 1: ∃x ≤ t(y1, . . . , yk)ϕ(x, y1, . . . , yk). Sean n1, . . . , nk ∈ N y m ∈ N tales que

m = N (t(n1, . . . , nk)).

Puesto que N ⊂ A, A(t(n1, . . . , nk)) = m.

(=⇒): Supongamos que N ² ∃x ≤ mϕ(x, n1, . . . , nk). Entonces existe p ∈ N tal queN ² p ≤ m∧ϕ(p, n1, . . . , nk). Por hipotesis de induccion, A ² p ≤ m∧ϕ(p, n1, . . . , nk).Por tanto, A ² ∃x ≤ mϕ(x, n1, . . . , nk).

(⇐=): Supongamos que A ² ∃x ≤ mϕ(x, n1, . . . , nk). Sea a ∈ A tal que

(–) A ² a ≤ m ∧ ϕ(a, n1, . . . , nk).


Puesto que m es estandar y A ² a ≤ m, por VI.4.4-(e), a es estandar; es decir, a ∈ N .Entonces, por hipotesis de induccion,

N ² a ≤ m ∧ ϕ(a, n1, . . . , nk).

Por tanto, N ² ∃x ≤ mϕ(x, n1, . . . , nk).

Caso 2: ∀x ≤ t(y1, . . . , yk)ϕ(x, y1, . . . , yk). La prueba es analoga. ¥

Proposicion VI.4.8. (∆0–completitud). Sea T una extension consistente de P−.Sean ϕ(~x) ∈ ∆0 y ~a ∈ ω. Entonces

(a) T ` ϕ(~a) ⇐⇒ N ² ϕ(~a).

(b) T ` ϕ(~a) o T ` ¬ϕ(~a).

Demostracion: ((a)): (=⇒): Sea A ² T. Entonces A ² P− y A ² ϕ(~a). Por VI.4.7,N ² ϕ(~a).

(⇐=): Sea A ² T. Entonces A ² P−. Puesto que N ² ϕ(~a), por VI.4.7, A ² ϕ(~a). Portanto, del teorema de completitud se sigue que T ` ϕ(~a).

((b)): Puesto que N ² ϕ(~a) o N ² ¬ϕ(~a) y la clase de formulas ∆0 es cerrada bajonegacion, el resultado se sigue de (a). ¥

Teorema VI.4.9. (Σ1–completitud de P−). Sea ϕ ∈ Σ1 cerrada. Entonces

P− ` ϕ ⇐⇒ N ² ϕ.

Demostracion: (=⇒): Trivial, N ² P−.

(⇐=): Sea ψ(x) ∈ ∆0 tal que ϕ es ∃xψ(x). Supongamos que N ² ∃xψ(x). Sea n ∈ Ntal que N ² ψ(n). Entonces, por VI.4.8, P− ` ψ(n). En consecuencia, P− ` ∃xψ(x).Es decir, P− ` ϕ. ¥

Definicion VI.4.10. Sea T una teorıa.

(a) T es Σ1–valida si para toda ϕ ∈ Σ1 cerrada

T ` ϕ =⇒ N ² ϕ.

(b) Sea ThΠ1(N ) = {ϕ ∈ Π1 : ϕ cerrada y N ² ϕ}. Diremos que T es 1–consistentesi T + ThΠ1(N ) es consistente.

(c) Sea Γ un conjunto de formulas. Diremos que T es Γ–ω–consistente si para todaformula ϕ(x) ∈ Γ se tiene que

∀n ∈ ω, T ` ¬ϕ(n) =⇒ T 0 ∃xϕ(x).

Proposicion VI.4.11. Sea T una extension de P−. Son equivalentes:

(a) T es 1–consistente.

(b) T es ∆0–ω–consistente.

(c) T es Σ1–ω–consistente.


(d) T es Σ1–valida.


Corolario VI.4.12.

(a) Si T es 1–consistente, entonces T es consistente.

(b) Si T es Σ1–valida, entonces T es consistente.

(c) Si N ² T, entonces T es Σ1–valida.

(d) (Σ1-completitud). Sea T una teorıa Σ1–valida extension de P−. Entonces paratoda ϕ ∈ Σ1 cerrada

T ` ϕ ⇐⇒ N ² ϕ.


4.B Incompletitud de P−

Definicion VI.4.13. Sea p(α) = anαn + . . . + a1α + a0 ∈ Z[α] con n > 0. Diremos

que p(α) es positivo si 0 < an.

La estructura Z+[α] esta definida como sigue:

(–) Universo: ω ∪ {p(α) : p(α) es positivo}.(–) Funciones: La suma y el producto se interpretan como la suma y el producto de

polinomios.

S(p(α)) = p(α) + 1.

(–) Predicado: p(α) < q(α) ⇐⇒{q(α)− p(α) es positivo ∨q(α)− p(α) ∈ ω − {0}

Lema VI.4.14.

(a) Z+[α] ² P−.

(b) Z+[α] 6² ∀x ∃y ≤ x (x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1).


Proposicion VI.4.15. (Incompletitud de P−).

(a) P− 0 ∀x∃y ≤ x (x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1).

(b) P− no es completa.

(c) Existe ϕ ∈ Π1 cerrada tal que N ² ϕ y P− 0 ϕ.



Corolario VI.4.16.

(a) Para todo n ∈ ω, P− ` ∃y ≤ n (n = 2 · y ∨ n = 2 · y + 1).

(b) En Z+[α] es definible ω.


4.C Representabilidad

Definicion VI.4.17. Sean T una teorıa, A ⊆ ωk y ϕ(x1, . . . , xk) una formula tal queA = ϕ(N ). Diremos que

(a) ϕ(~x) representa debilmente a A en T si para cualesquiera a1, . . . , ak ∈ ω(a1, . . . , ak) ∈ A ⇐⇒ T ` ϕ(a1, . . . , ak).

En este caso diremos que A es debilmente representable en T.

(b) ϕ(~x) representa a A en T si para cualesquiera a1, . . . , ak ∈ ω(a1, . . . , ak) ∈ A =⇒ T ` ϕ(a1, . . . , ak).

(a1, . . . , ak) /∈ A =⇒ T ` ¬ϕ(a1, . . . , ak).

En este caso diremos que A es representable en T.

Notas VI.4.18. Sean T una teorıa consistente y A ⊆ ωn. Se tiene que

(–) A es representable en T =⇒ A debilmente representable en T.

Si T es una extension de P−, entonces

(–) ϕ(~x) representa a A en P− =⇒ ϕ(~x) representa a A en T.

Si ademas ϕ(~x) ∈ Σ1 y T es Σ1–valida, entonces

(–) ϕ(~x) repr. debilmente a A en P− =⇒ ϕ(~x) repr. debilmente a A en T.

Teorema VI.4.19. Sea T una Σ1–teorıa Σ1–valida extension de P−. Sea A ⊆ ωn.Son equivalentes:


(b) Existe ϕ(~x) ∈ Σ1 que representa debilmente al conjunto A en T.

[[Como veremos en VII.1.10, el teorema anterior es valido para cualquier Σ1–teorıaconsistente extension de P−]].

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Por VI.1.18 existe ϕ(~x) ∈ Σ1 tal que A = ϕ(N ).Entonces para todo ~a ∈ ωn

~a ∈ A ⇐⇒ N ² ϕ(~a)⇐⇒ T ` ϕ(~a) [[T es Σ1–valida y VI.4.12]].


Por tanto, ϕ(~x) representa debilmente a A en T.

((b) =⇒ (a)): Se sigue de VI.4.18. En efecto, sea ϕ(~x) una formula que representadebilmente a A en T. Entonces

A = {(a1, . . . , an) : T ` ϕ(a1, . . . , an)}.Por tanto, de VI.2.18 se sigue el resultado. ¥

Teorema VI.4.20. Sea T una Σ1–teorıa consistente extension de P−. Sea A ⊆ ωn.Son equivalentes:

(a) A es recursivo.

(b) Existe una formula ϕ(~x) ∈ Σ1 que representa al conjunto A en T.

(c) Existe una formula ϕ(~x) ∈ Π1 que representa al conjunto A en T.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Por VI.1.19 existen θ(~x, z), ψ(~x, w) ∈ ∆0, tales quepara cualesquiera ~a ∈ ω

~a ∈ A ⇐⇒ N ² ∃z θ(~a, z) ⇐⇒ N ² ∀wψ(~a, w).

Seanϕ∗θ,ψ(~x, z) ≡ θ(~x, z) ∧ ∀w ≤ z ψ(~x, w),ϕθ,ψ(~x) ≡ ∃z ϕ∗θ,ψ(~x, z).

Es evidente que ϕθ,ψ(~x) ∈ Σ1. Ademas, se tiene que:

Aserto VI.4.20.1. Para cualesquiera ~a ∈ ω y A ² T

(i) ~a ∈ A ⇐⇒ N ² ϕθ,ψ(~a).

(ii) N ² ϕθ,ψ(~a) ⇐⇒ A ² ϕθ,ψ(~a).

[[Es decir, en cierto sentido, N es una subestructura ∆1–elemental de A]].

Prueba del aserto: ((i)): (=⇒): En efecto,

~a ∈ A =⇒{ N ² ∃z θ(~a, z)N ² ∀wψ(~a, w)

=⇒ ∃b ∈ ω{ N ² θ(~a, b)N ² ∀w ≤ b ψ(~a, w)

=⇒ ∃b ∈ ω, N ² ϕ∗θ,ψ(~a, b)

=⇒ N ² ∃z ϕ∗θ,ψ(~a, z)

=⇒ N ² ϕθ,ψ(~a).

(⇐=): En efecto,

N ² ϕθ,ψ(~a) =⇒ ∃b ∈ ω, N ² ϕ∗θ,ψ(~a, b)

=⇒ ∃b ∈ ω, N ² θ(~a, b)

=⇒ N ² ∃z θ(~a, z)=⇒ ~a ∈ A.

((ii)): (=⇒): En efecto,


N ² ϕθ,ψ(~a) =⇒ ∃b ∈ ω, N ² ϕ∗θ,ψ(~a, b)

=⇒ ∃b ∈ ω, A ² ϕ∗θ,ψ(~a, b) [[ϕ∗θ,ψ(~x, z) ∈ ∆0, N ≺0 A]]

=⇒ A ² ∃z ϕθ,ψ(~a, z)

=⇒ A ² ϕθ,ψ(~a).

(⇐=): Supongamos que A ² ϕθ,ψ(~a). Entonces existe b ∈ A tal que A ² ϕ∗θ,ψ(~a, b).Consideremos los siguientes casos.

Caso 1. b ∈ ω. Entonces

A ² ϕ∗θ,ψ(~a, b) =⇒ N ² ϕ∗θ,ψ(~a, b) [[ϕ∗θ,ψ(~x, z) ∈ ∆0, N ≺0 A]]

=⇒ N ² ∃z ϕ∗θ,ψ(~a, z)

=⇒ N ² ϕθ,ψ(~a).

Caso 2. b /∈ ω. Entonces

A ² ϕ∗θ,ψ(~a, b) =⇒ A ² ∀w ≤ b ψ(~a, w)

=⇒ ∀c ∈ ω, A ² ψ(~a, c) [[b /∈ ω]]

=⇒ ∀c ∈ ω, N ² ψ(~a, c) [[ψ(~x, w) ∈ ∆0, N ≺0 A]]

=⇒ N ² ∀wψ(~a, w)

=⇒ ~a ∈ A=⇒ N ² ϕθ,ψ(~a) [[(i)]].

Lo que prueba (ii). 2

Aserto VI.4.20.2.

(i) ~a ∈ A =⇒ T ` ϕθ,ψ(~a).

(ii) ~a /∈ A =⇒ T ` ¬ϕθ,ψ(~a).

Prueba del aserto: Sea A ² T.

((i)): En efecto,

~a ∈ A =⇒ N ² ϕθ,ψ(~a)=⇒ A ² ϕθ,ψ(~a).

Puesto que A es un modelo arbitrario de T, entonces T ` ϕθ,ψ(~a).

((ii)): En efecto,

~a /∈ A =⇒ N 6² ϕθ,ψ(~a)=⇒ A 6² ϕθ,ψ(~a)=⇒ A ² ¬ϕθ,ψ(~a).

Puesto que A es un modelo arbitrario de T, entonces T ` ¬ϕθ,ψ(~a). 2

De los asertos se sigue que la formula ϕθ,ψ(~x) representa al conjunto A en T. Lo queprueba (b).

((b) =⇒ (a)): Sea ϕ(~x) ∈ Σ1 tal que

~a ∈ A =⇒ T ` ϕ(~a);

~a /∈ A =⇒ T ` ¬ϕ(~a).

Puesto que T es consistente, entonces


A = {~a ∈ ωn : T ` ϕ(~a)};Ac = {~a ∈ ωn : T ` ¬ϕ(~a)}.

Puesto que T es una Σ1-teorıa, para toda formula ψ(~x) el conjunto

{~a ∈ ωn : T ` ψ(~a)}es recursivamente enumerable. Por tanto, A y Ac son recursivamente enumerable; enconsecuencia, A es recursivo.

((c) =⇒ (a)): Se prueba analogamente.

((a) =⇒ (c)): Si A es recursivo, entonces Ac es recursivo. Por tanto, existe ϕ1(~x) ∈ Σ1

que representa a Ac. Entonces ¬ϕ1(~x) representa a A. Puesto que ¬ϕ1(~x) ∈ Π1 estoprueba el resultado. ¥

Definicion VI.4.21. Sean T una teorıa, F : ωn −→ ω y ϕ(~x, y) una formula quedefine a F en N . Diremos que

(a) ϕ(~x, y) representa a F en T si para cualesquiera a1, . . . , an, b ∈ ωF (a1, . . . , an) = b =⇒ T ` ϕ(a1, . . . , an, b);

F (a1, . . . , an) 6= b =⇒ T ` ¬ϕ(a1, . . . , an, b).

Es decir, ϕ(~x, y) representa a Gr(F ) en T. En este caso diremos que F es repre-sentable en T.

(b) ϕ(~x, y) representa fuertemente a F en T si

(b.1) ϕ(~x, y) representa a F en T.

(b.2) Para cualesquiera a1, . . . , an ∈ ωT ` ϕ(a1, . . . , an, y) ∧ ϕ(a1, . . . , an, y

′)→ y = y′.

En este caso diremos que F es fuertemente representable en T.

Lema VI.4.22. Sea T una Σ1–teorıa consistente extension de P−. Sea F : ωn −→ ω.Son equivalentes:

(a) F es recursiva.

(b) Existe ϕ(~x, y) ∈ Σ1 que representa a F en T.

(c) Existe ϕ(~x, y) ∈ Π1 que representa a F en T.


F recursiva ⇐⇒ Gr(F ) = {(~a, b) : F (~a) = b} recursivo.

El resultado se sigue de VI.4.20. ¥.

Teorema VI.4.23. Sean T una Σ1–teorıa consistente extension de P− y F : ωn −→ω. Si F es recursiva, existe ϕ(~x, y) ∈ Σ1 que representa fuertemente a F en T.


Demostracion: Por VI.4.22 existen θ(~x, y, z), ψ(~x, v, w) ∈ ∆0 tales que ∃z θ(~x, y, z)y ∀wψ(~x, v, w) representan a F en T. Sea

ϕfθ,ψ(~x, y) ≡ ∃z θ(~x, y, z) ∧ ∃u∀v < y ∃w ≤ u¬ψ(~x, v, w).

Es evidente que ϕfθ,ψ(~x, y) ∈ Σ1. Veamos que ϕf(~x, y) representa fuertemente a F en T.

Aserto VI.4.23.1. Sean ~a, b ∈ ω.

F (~a) = b ⇐⇒ N ² ϕfθ,ψ(~a, b).

Prueba del aserto: (=⇒): Supongamos que F (~a) = b. Entonces

(1) N ² ∃z θ(~a, b, z). [[∃z θ(~x, y, z) define a F en N ]].

(2) N ² ∃u∀v < b ∃w ≤ u¬ψ(~a, v, w).

Prueba de (2): Sea c < b. Entonces F (~a) 6= c; por tanto,N ² ¬∀wψ(~a, c, w);es decir, N ² ∃w¬ψ(~a, c, w). En consecuencia, existe dc ∈ ω tal que N ²¬ψ(~a, c, dc). Sea

e = max({dc : c < b}).Entonces

N ² ∀v < b ∃w ≤ e¬ψ(~a, v, w).

Por tanto,

N ² ∃u∀v < b ∃w ≤ u¬ψ(~a, v, w).

Lo que prueba (2).

De (1) y (2) se sigue que N ² ϕfθ,ψ(~a, b).

(⇐=): En efecto,

N ² ϕfθ,ψ(~a, b) =⇒ N ² ∃z θ(~a, b, z) =⇒ F (~a) = b.


Aserto VI.4.23.2. Sean ~a, b ∈ ω.

(i) F (~a) = b =⇒ T ` ϕfθ,ψ(~a, b).

(ii) F (~a) 6= b =⇒ T ` ¬ϕfθ,ψ(~a, b).

Prueba del aserto: ((i)): En efecto,

F (~a) = b =⇒ N ² ϕfθ,ψ(~a, b)

=⇒ P− ` ϕfθ,ψ(~a, b)

=⇒ T ` ϕfθ,ψ(~a, b).

((ii)): Si F (~a) 6= b, entonces T ` ¬∃z θ(~a, b, z). Por tanto, T ` ¬ϕfθ,ψ(~a, b). 2

Aserto VI.4.23.3. Sean ~a ∈ ω.

T ` ϕfθ,ψ(~a, y)↔ y = F (~a).

Prueba del aserto: (←): Por VI.4.23.2-(i), T ` F (~a) = y → ϕfθ,ψ(~a, y).

(→): Sean A ² T y b ∈ A tales que A ² ϕfθ,ψ(~a, b). Entonces

b < F (~a) ∨ F (~a) < b ∨ b = F (~a).


Sin embargo, los dos primeros casos no son posibles:

(–) b < F (~a). Entonces b ∈ ω. Ademas, se tiene que T ` ¬∃z θ(~a, b, z). Portanto, A 6² ϕf

θ,ψ(~a, b). Lo cual es una contradiccion.

(–) F (~a) < b. Puesto que, A ² ∀wψ(~a, F (~a), w), A 6² ∃u ∀v < b ∃w ≤ u¬ψ(~a, v, w).Lo cual es una contradiccion.

Por tanto, b = F (~a). Lo que prueba el aserto. 2

De los asertos se sigue que F es fuertemente representable en T. ¥

Notas VI.4.24. Una formula ϕ(~x) ∈ Σ1 diremos que es ∆1 en P−, ϕ(~x) ∈ ∆1(P−),

si existe ψ(~x) ∈ Σ1 tal que

P− ` ¬ϕ(~x)↔ ψ(~x).

Se tiene que:

Aserto VI.4.24.1. Sea ϕ(~x) ∈ ∆1(P−). Entonces para todo ~a ∈ ω

(i) P− ` ϕ(~a) ⇐⇒ N ² ϕ(~a).

(ii) N ² ¬ϕ(~a) ⇐⇒ P− ` ¬ϕ(~a).

Prueba del aserto: ((i)): Es el teorema de Σ1–completitud de P−.

((ii)): Si N ² ¬ϕ(~a), entonces N ² ψ(~a). Por Σ1–completitud de P− se tiene queP− ` ψ(~a). Por tanto, P− ` ¬ϕ(~a). 2

En 1.B probamos que toda funcion recursiva total es definible en N . En esta seccionhemos probado que toda funcion recursiva es representable en P−.

Definicion. Diremos que una funcion F : ωn −→ ω es recursiva en una teorıa Tsi existe una formula ϕ(~x, y) ∈ Σ1 tal que

(i) ϕ(~x, y) representa a F en T.

(ii) T ` ∀~x ∃!y ϕ(~x, y).

Una formula ϕ(~x, y) que verifique (ii) diremos que es funcional en T.

No es cierto que toda funcion representable sea definible. Por ejemplo, la funcion expo-nencial es recursiva, y por tanto, es representable en P−. Sin embargo, no es definibleen P−. Se tiene que:

Aserto VI.4.24.2. Si ϕ(~x, y) ∈ Σ1 es funcional en T, entonces ϕ(~x, y) ∈ ∆1(T).

Prueba del aserto: En efecto,

T ` ϕ(~x, y)↔ ∀z (z 6= y → ¬ϕ(~x, z)).


146 5. La Aritmetica de Peano

4.D Incompletitud e indecidibilidad

Teorema VI.4.25. (Primer teorema de incompletitud). Sea T una Σ1–teorıa,Σ1–valida y extension de P−. Entonces T no es completa.

Demostracion: Sea A un conjunto recursivamente enumerable no recursivo. Porejemplo, el problema de parada: K = {e : {e}(e)↓}, donde {e} es la funcion recursivaparcial de ındice e. Entonces

(–) Por VI.4.19, A es debilmente representable en T. Por tanto, existe ϕ(x) ∈ Σ1

tal que para todo a ∈ ωa ∈ A ⇐⇒ T ` ϕ(a).

(–) Por VI.4.20, A no es representable en T.

Por tanto, existe n ∈ ω tal que n 6∈ A y T 0 ¬ϕ(n). Es decir,

(–) T 0 ϕ(n). En caso contrario, n ∈ A.

(–) T 0 ¬ϕ(n).

Por tanto, T no es completa. ¥

Teorema VI.4.26. Sea T una Σ1–teorıa, Σ1–valida y extension de P−. Entonces Tes indecidible.

Demostracion: Sean A un conjunto recursivamente enumerable y no recursivo y ϕ(x)una formula que representa debilmente a A en T. Entonces

(1) A = {a ∈ ω : T ` ϕ(a)}.Supongamos que T es decidible; es decir, el conjunto ThT es recursivo. Entonces elconjunto

{a ∈ ω : T ` ϕ(a)}.es recursivo. Por tanto, de (1) se sigue que A es recursivo. Contradiccion. ¥

§5 La Aritmetica de Peano

5.A La Aritmetica de Peano

Definicion VI.5.1. (La Aritmetica de Peano).

(a) Induccion: Sea ϕ(x,~v) una formula. El axioma de induccion relativo a ϕ y a lavariable x, Iϕ,x(~v), es la fomula

ϕ(0, ~v) ∧ ∀x (ϕ(x,~v)→ ϕ(x+ 1, ~v))→ ∀xϕ(x,~v).


En lo sucesivo omitiremos los parametros ~v y a la variable x; es decir, escribiremosIϕ en lugar de Iϕ,x(~v).

(b) La Aritmetica de Peano: PA, es la teorıa

PA = P− + {Iϕ : ϕ formula de L}.

Teorema VI.5.2.

(a) N ² PA.

(b) PA es Σ1–valida.

(c) (Σ1-completitud de PA). Para toda ϕ ∈ Σ1 cerrada

PA ` ϕ ⇐⇒ N ² ϕ.

(d) PA esta recursivamente axiomatizada. Por tanto, PA es una Σ1–teorıa.

(e) (Primer teorema de incompletitud para PA). PA no es completa.

(f) PA es indecidible. ¥

Teorema VI.5.3. (Mimimizacion). Sea A ² PA. Entonces

A ² ∃xϕ(x)→ ∃x (ϕ(x) ∧ ∀y < x¬ϕ(y)).

Demostracion: Supongamos lo contrario. Es decir,

(1) A ² ∃xϕ(x) y

(2) A ² ∀x (ϕ(x)→ ∃y < xϕ(y)).

Sea ψ(x) la formula ∀y ≤ x¬ϕ(y). Se tiene que:

Aserto VI.5.3.1.

(i) A ² ψ(0).

(ii) A ² ψ(x)→ ψ(x+ 1).

Prueba del aserto: ((i)): De (2) se sigue que A ² ¬ϕ(0). Por tanto, A ² ψ(0).

((ii)): Sea a ∈ A tal que A ² ψ(a). Es decir, A ² ∀y ≤ a¬ϕ(y). Entonces, por(2), A ² ¬ϕ(a+ 1). Por tanto,

A ² ∀y ≤ a+ 1¬ϕ(y).

Es decir, A ² ψ(a+ 1). 2

Puesto que A ² PA, de VI.5.3.1 usando el axioma de induccion para la formula ψ(x)se sigue que A ² ∀xψ(x). Es decir, A ² ∀x∀y ≤ x¬ϕ(y). Por tanto, A ² ∀x¬ϕ(x). Locual esta en contradiccion con (1). ¥

Notacion VI.5.4. Notaremos por (µx)[ϕ(x,~v)] = z a la formula

ϕ(z,~v) ∧ ∀x < z ¬ϕ(x,~v).

Corolario VI.5.5. Sea A ² PA no estandar. Entonces


(a) ∀n ∈ ω, A ² ϕ(n) =⇒ ∃a > ω, A ² ϕ(a).

(b) ω no es definible en A.

5.B Overspill

Definicion VI.5.6. Sean A una estructura e I ⊆ |A| tal que I 6= ∅. Diremos que Ies un corte de A si

(a) ∀a ∈ I ∀b ∈ A (b ≤ a =⇒ b ∈ I).(b) I es cerrado bajo SA.

Si I es un subconjunto propio, es decir I ⊂ |A|, notaremos I ⊂e A.

Lema VI.5.7. Sean A ² PA e I ⊂e A. Entonces I no es definible en A.

Demostracion: Supongamos lo contrario. Sean ϕ(x,~v) una formula y ~a ∈ A talesque

I = {b ∈ A : A ² ϕ(b,~a)}.Entonces

(–) A ² ϕ(0,~a).

(–) A ² ϕ(x,~a)→ ϕ(x+ 1,~a). Pues I es cerrado bajo SA.

Puesto que A ² PA, del axioma de induccion para ϕ(x) se sigue que

A ² ∀xϕ(x,~a).

Por tanto, I = |A|; es decir, I no es propio. ¥

Teorema VI.5.8. (Lema del desbordamiento). Sean A ² PA, I ⊂e A, ϕ(x, ~y)una formula y ~a ∈ A. Entonces

(a) Overspill: ∀b ∈ I, A ² ϕ(b,~a) =⇒ ∃c 63 I, A ² ∀x ≤ c ϕ(x,~a).

(b) Underspill: ∀c 3 I, A ² ϕ(c,~a) =⇒ ∃b ∈ I, A ² ∀x ≥ b ϕ(x,~a).

Demostracion: ((a)): Supongamos que para todo c 3 I, A ² ∃z ≤ c¬ϕ(z,~a). Seaψ(x, ~y) la formula ∀z ≤ xϕ(z, ~y). Entonces

I = {b ∈ A : A ² ψ(b,~a)}.Lo cual esta en contradiccion con VI.5.7.

((b)): Ejercicio. Supongamos que para todo b ∈ I, A ² ∃z (b < z ∧ ¬ϕ(z,~a)). Seaψ(x, ~y) la formula ∃z (x < z ∧ ¬ϕ(z, ~y)). Entonces

I = {b ∈ A : A ² ψ(b,~a)}.Lo cual esta en contradiccion con VI.5.7. ¥


5.C Modelos no estandar de PA y ordenes totales

Lema VI.5.9. Sea A ² P−. Existe un orden total B tal que

A|< ∼= ω + Z ·B.

Demostracion: Consideremos la siguiente relacion de equivalencia sobre los elemen-tos no estandar de A. Sean a, b ∈ A elementos no estandar

a ∼ b ⇐⇒ ∃n ∈ ω (a = b+ n ∨ b = a+ n).

Para cada a ∈ A no estandar sea a/∼ la clase de equivalencia de a. Se tiene que

(a/∼, <) ∼= Z.

En el conjunto {a/∼ : a ∈ A no estandar} definimos la relacion, <∗

a/∼ <∗ b/∼ ⇐⇒ a < b ∧ a 6∼ b.

Sea B = ({a/∼ : a ∈ A no estandar}, <∗). Entonces A|< ∼= ω + Z ·B. ¥

Proposicion VI.5.10. Sea A ² PA no estandar. Sea B un orden total tal que A|< ∼=ω + Z ·B. Entonces B es un orden total denso sin puntos finales.

Demostracion: (Sin primer elemento): Sea a ∈ A no estandar. Podemos suponer quea es par; es decir, A ² ∃y (a = 2 ·y) (si a no es par, entonces a+1 es par y a ∼ (a+1)).Sea b ∈ A tal que a = 2 · b. Entonces b < a y a 6∼ b. Por tanto, b/∼ <∗ a/∼.

(Sin ultimo elemento): Sea a ∈ A no estandar. Entonces a < a + a y a 6∼ (a + a). Portanto, a/∼ <∗ (a+ a)/∼.

(Denso): Sean a, b ∈ A no estandar tales que a/∼ <∗ b/∼. Como anteriormentepodemos suponer que a y b son pares. Sea c ∈ A tal que a + b = 2 · c. Entoncesa/∼ <∗ c/∼ <∗ b/∼.


Nota VI.5.11. Sea B es un orden total. Diremos que D ⊆ B es una cortadura deDedekind de B si

(a) B 6= D.

(b) ∀a ∈ B∀d ∈ D [a ≤ d→ a ∈ D].

(c) ∀d ∈ D ∃c ∈ D [d < c].

El conjunto de los numeros reales se puede describir como el conjunto de las cortadurasde Dedekind de Q. Para ello basta identificar cada numero real con el conjunto de losnumeros racionales menores que el. En Teorıa de Conjuntos se usa este procedimientopara definir el conjunto de los numeros reales.

Proposicion VI.5.12. Sea A ² PA numerable y no estandar. Entonces


(a) A tiene 2ℵ0 cortes propios.

(b) A tiene 2ℵ0 subestructuras iniciales.

Demostracion: ((a)): Sea B orden total denso sin puntos finales tal que A|< ∼=ω + Z ·B. Entonces B es numerable, y por tanto, B ∼= Q. Donde Q es la estructuracuyo universo es el conjunto de los numeros racionales con el orden usual. Entoncescada cortadura de Dedekind de B define un corte propio en A. Puesto que Q tiene 2ℵ0

cortaduras de Dedekind, esto prueba el resultado.

((b)): Para la prueba de (b) definiremos otra relacion de equivalencia en el conjuntode los elementos no estandar de A. Sea a ∈ A. Definimos

aω = {b ∈ A : ∃n ∈ ω (a < bn)}.Sean a, b ∈ A no estandar

a ∼′ b ⇐⇒ aω = bω.

Es evidente que ∼′ es una relacion de equivalencia. Sea a/∼′ = {b ∈ A : a ∼′ b} laclase de equivalencia de a ∈ A (no estandar). Sea B la estructura cuyo universo es elconjunto de las clases de equivalencia de los elementos no estandar de A por la relacion∼′ con la relacion de orden <′ dada por:

a/∼′ <′ b/∼′ ⇐⇒ a < b ∧ a 6∼′ b.Se tiene que B es un orden total denso sin puntos finales. En efecto,

(Sin primer elemento): Sea a ∈ A no estandar. Para todo n ∈ ω, A ² nn < a. Poroverspill, VI.5.8, existe b ∈ A no estandar tal que A ² bb < a. Entonces b/∼′ <′ a/∼′.(Sin ultimo elemento): Sea a ∈ A no estandar. Entonces a/∼′ <′ (aa)/∼′.(Denso): Sean a, b ∈ A no estandar tales que a/∼′ <′ b/∼′. Para todo n ∈ ω

A ² ∃x (an < x < xn < b).

Por overspill, VI.5.8, existe c ∈ A no estandar tal que

A ² ∃x (ac < x < xc < b).

Sea d ∈ A tal que ac < d < dc < b. Entonces

a/∼′ <′ d/∼ <′ b/∼′.Lo que prueba que el orden es denso.

Cada cortadura de Dedekind de B define una subestructura inicial de A. Por tanto, A

posee 2ℵ0 subestructuras iniciales. ¥

Proposicion VI.5.13. No existe A ² PA tal que:

A|< ∼= ω + Z ·R.

Donde R es la estructura de los numeros reales con su orden usual.


§6 Ejercicios

Ejercicio VI.6.1. (VI.1.10). En N es posible sustituir un bloque de cuantificadoresdel mismo tipo por un unico cuantificador.

(a) Para cada ϕ(~x) ∈ Σn existe ψ(z1, . . . , zn, ~x) ∈ ∆0 tal que

N ² ϕ(~x)↔ ∃z1 ∀z2 ∃z3 . . . ψ(z1, . . . , zn, ~x).

(b) Para cada ϕ(~x) ∈ Πn existe ψ(z1, . . . , zn, ~x) ∈ ∆0 tal que

N ² ϕ(~x)↔ ∀z1 ∃z2 ∀z3 . . . ψ(z1, . . . , zn, ~x).

Ejercicio VI.6.2. (VI.2.18). Sea T una Σ1–teorıa. Entonces

(a) Para cada formula ϕ(x1, . . . , xn) el conjunto

{(a1, . . . , an) ∈ ωn : T ` ϕ(a1, . . . , an)}es recursivamente enumerable.

(b) El conjunto ThT = {pϕq : T ` ϕ} es recursivamente enumerable.

Ejercicio VI.6.3. (Existencia de modelos no estandar, (VI.3.12)). Th(N ) tie-ne modelos no estandar.

Ejercicio VI.6.4. (VI.4.4-(b,c,e)). Sea A ² P−. Entonces para todo n,m ∈ ω,

(a) n 6= m ⇐⇒ A ² n 6= m.

(b) n < m ⇐⇒ A ² n < m.

(c) A ² n+m = n+m.

(d) A ² n ·m = n ·m.

(e) A ² x ≤ n↔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ . . . ∨ x = n.

Ejercicio VI.6.5. (VI.4.11). Sea T una extension de P−. Son equivalentes:

(a) T es 1–consistente.

(b) T es ∆0–ω–consistente.

(c) T es Σ1–ω–consistente.

(d) T es Σ1–valida.

Ejercicio VI.6.6. (VI.4.12).

(a) Si T es 1–consistente, entonces T es consistente.

(b) Si T es Σ1–valida, entonces T es consistente.

(c) Si T ² N , entonces T es Σ1–valida.

(d) (Σ1-completitud). Sea T una teorıa Σ1–valida tal que P− ⊆ T. Entonces para

152 6. Ejercicios

toda ϕ ∈ Σ1 cerrada

T ` ϕ ⇐⇒ N ² ϕ

Ejercicio VI.6.7. (VI.4.14, VI.4.15, VI.4.16).

(a) (VI.4.14)

(a.1) Z+[α] ² P−.

(a.2) Z+[α] 6² ∀x∃y ≤ x (x = 2y ∨ x = 2y + 1).

(b) (Incompletitud de P−, (VI.4.15))

(b.1) P− 0 ∀x∃y ≤ x (x = 2y ∨ x = 2y + 1).

(b.2) P− no es completa.

(b.3) Existe una formula cerrada ϕ ∈ Π1 tal que N ² ϕ y P− 0 ϕ.

(c) (VI.4.16)

(c.1) Para todo n ∈ ω, P− ` ∃y ≤ n (n = 2y ∨ n = 2y + 1).

(c.2) En Z+[α] es definible ω.

Ejercicio VI.6.8. (VI.5.5). Sea A ² PA no estandar. Entonces

(a) ∀n ∈ ω A ² ϕ(n) =⇒ ∃a > ω A ² ϕ(a).

(b) ω no es definible en A.

Ejercicio VI.6.9. (VI.2.17). Sea T una Σ1–teorıa. Existe una teorıa recursivamenteaxiomatizada, T′, tal que T y T′ son equivalentes.

Ejercicio VI.6.10. ((Lema del desbordamiento), VI.5.8-(b)). Sean A ² PA,I ⊂e A, ϕ(x, ~y) una formula y ~a ∈ A. Entonces

Underspill: ∀c 3 I, A ² ϕ(c,~a) =⇒ ∃b ∈ I, A ² ∀x ≥ b ϕ(x,~a).

Ejercicio VI.6.11. (VI.5.13). No existe A ² PA tal que:

A|< ∼= ω + Z ·RDonde R es la estructura de los numeros reales con su orden usual.

Capıtulo VII

Los teoremas de incompletitud

§1 El lema diagonal

1.A Notacion

Notas VII.1.1. (Aritmetizacion). Sea T una Σ1–teorıa consistente extension deP−. Los conjuntos Form y PrfT, definidos en VI.2.6 y VI.2.15, son recursivos. Portanto, usando VI.4.20 y VI.4.22 se obtienen formulas Σ1 que los representan en P−.Notaremos estas formulas con la denominacion correspondiente al conjunto o funcionpero en negrita. Por ejemplo, Form(x) representa al conjunto Form, PrfT(y, x) alconjunto PrfT.

Sean A ² T y a, b ∈ A elementos estandar. Se tiene que:

(–) a ∈ Form ⇐⇒ existe una formula ϕ tal que pϕq = a.

a ∈ Form ⇐⇒ P− ` Form(a)⇐⇒ T ` Form(a)⇐⇒ A ² Form(a).

a /∈ Form ⇐⇒ P− ` ¬Form(a)⇐⇒ T ` ¬Form(a)⇐⇒ A ² ¬Form(a).

(b, a) ∈ PrfT ⇐⇒ P− ` PrfT(b, a)⇐⇒ T ` PrfT(b, a)⇐⇒ A ² PrfT(b, a).

(b, a) /∈ PrfT ⇐⇒ P− ` ¬PrfT(b, a)⇐⇒ T ` ¬PrfT(b, a)⇐⇒ A ² ¬PrfT(b, a).

Sea ThT(x) la formula

∃yProfT(y, x).

153

154 1. El lema diagonal

Esta formula representa debilmente en P− al conjunto ThT. Se tiene que:

a ∈ ThT ⇐⇒ P− ` ThT(a)=⇒ T ` ThT(a) [[tambien ⇐= si T es Σ1–valida]]=⇒ A ² ThT(a).

Notacion VII.1.2. A lo largo de este capıtulo vamos a considerar formulas

(–) en el metalenguaje (es decir, formulas “reales”), y

(–) en el lenguaje (es decir, elementos de un modelo que dicho modelo “cree” queson formulas [[esto es, a ∈ A tal que A ² Form(a).

Para evitar confusiones y disponer de una notacion lo mas simple posible usaremos

(–) Φ, Ψ, Θ (letras griegas mayusculas) para referirnos a formulas en el metalenguaje,y

(–) δ, γ, ρ (letras griegas minusculas) para referirnos a formulas en el lenguaje (esdecir, elementos del modelo que dicho modelo cree que son formulas).

Ademas, si a lo largo de un argumento consideramos una formula (en el metalenguaje)Φ, entonces notaremos a su numero de Godel, pΦq, por le letra minuscula correspon-diente; es decir, ϕ (esto es, ϕ es el elemento del modelo que se corresponde con elnumero de Godel de Φ). Observemos que si T es una extension de P−, A ² T y Φ unaformula entonces

(–) A ² Form(pΦq).

Usaremos δ, γ, . . . como variables sobre formulas. Es decir,

Ψ(δ) es la formula Form(δ) ∧Ψ(δ).

Con esta notacion,

∀δΨ(δ) es la formula ∀x [Form(x)→ Ψ(x)],∃δΨ(δ) es la formula ∃x [Form(x) ∧Ψ(x)].

Nota VII.1.3. En algunos de los resultados que siguen necesitaremos que algunasfunciones recursivas sean definibles en la teorıa que estemos considerando. En general,estas funciones estan relacionadas con la funcion exponencial. Observemos que la fun-cion exponencial no es definible en la teorıa P−. Sin embargo, como es recursiva, esrepresentable en P−. Tambien necesitaremos que algunos axiomas de induccion seanteoremas de la teorıa. Veamos con un ejemplo algunas de las propiedades que supon-dremos que debe satisfacer la teorıa. Sea PFor(x) ∈ Σ1 la formula que representa alconjunto de los numeros de Godel de las formulas en forma prenex (este conjunto esprimitivo recursivo). Se tiene que

Aserto VII.1.3.1. Para toda formula Φ

P− ` ∃δ [PFor(δ) ∧Th(ϕ↔ δ)]

Prueba del aserto: Ejercicio. 2

Capıtulo VII. Los teoremas de incompletitud 155

Sin embargo, algunas veces es necesario una extension del aserto anterior. Por ejemplo,se tiene que

Aserto VII.1.3.2. PA ` ∀γ ∃δ [PFor(δ) ∧Th(γ ↔ δ)].


Tambien se tiene que:

Aserto VII.1.3.3. PA ` ∀δ ∀γ [Sent(δ)→ (ThT+δ(γ)↔ ThT(δ → γ))].


Muchos de los resultados probados en Teorıas de Primer Orden en el capıtulo II,paragrafos 2–7, usan solo procedimientos finitos (e.g. no mencionan modelos); portanto, son aritmetizables y se pueden probar en PA.

1.B El lema diagonal

Teorema VII.1.4. (Lema diagonal). Sea Φ(x) una formula. Existe una formula ce-rrada Ψ, que denominaremos punto fijo de Φ(x) (en P−), tal que:

P− ` Φ(pΨq)↔ Ψ

Demostracion: Sea F : ω −→ ω una funcion recursiva tal que para toda formulaΘ(z),

F (pΘ(z)q) = pΘz[pΘ(z)q]q

Sea Ψ∗(v, w) ∈ Σ1 una formula que representa fuertemente a F en P−. Entonces paratoda formula Θ(z),

P− ` Ψ∗(pΘ(z)q, w)↔ w = F (pΘ(z)q).

Es decir, para toda formula Θ(z),

(i) P− ` Ψ∗(pΘ(z)q, w)↔ w = pΘz[pΘ(z)q]q.

Sea Θ(z) la formula

∃w [Ψ∗(z, w) ∧ Φ(w)].

Sea Ψ la formula Θz[pΘ(z)q]. Es decir, Ψ es la formula,

∃w [Ψ∗(pΘ(z)q, w) ∧ Φ(w)].

De (i) se sigue que:

P− ` Ψ↔ ∃w [w = pΘz[pΘ(z)q]q ∧ Φ(w)].

Luego,

P− ` Ψ↔ ∃w [w = pΨq ∧ Φ(w)].

Por tanto,

156 1. El lema diagonal

P− ` Ψ↔ Φ(pΨq).


Teorema VII.1.5. (Lema diagonal con parametros). Sea Φ(~x, y) una formula.

(a) Existe una formula Ψ(~x) tal que:

P− ` Φ(~x, pΨ(~x)q)↔ Ψ(~x).

(b) Existe una formula Ψ(~x) tal que para todo ~a ∈ ωP− ` Φ(~a, pΨ(~a)q)↔ Ψ(~a).


Notas VII.1.6.

(a) Si Φ(x) es Σ1, entonces el punto fijo obtenido en la prueba del lema diagonales tambien una formula Σ1. Si Φ(x) es Π1, una ligera modificacion en la prue-ba proporciona un punto fijo que es Π1. Basta tomar como Θ(z) la formula∀w [Ψ∗(z, w)→ Φ(w)].

(b) Puesto que existen infinitas formulas que representan fuertemente a F (por ejem-plo, Ψ∗(v, w)∧0 = 0 tambien la representa), existen infinitos puntos fijos de Φ(x).

(c) Los teoremas VII.1.4 y VII.1.5 son validos en cualquier extension de P−.

Teorema VII.1.7. (Tarski). No existe ninguna formula Sat(x) tal que para todaformula cerrada Φ,

N ² Sat(ϕ) ⇐⇒ N ² Φ.

Demostracion: Sea Sat(x) una formula cualquiera. Por VII.1.4 existe una formulacerrada Ψ que es un punto fijo de ¬Sat(x). Es decir,

(•) P− ` Ψ↔ ¬Sat(pΨq).

Por tanto,

N ² Ψ ⇐⇒ N ² ¬Sat(pΨq) [[(•)]]⇐⇒ N 6² Sat(pΨq).


Notas VII.1.8.

(a) De VII.1.7 se sigue que no es posible definir la validez. Es decir, el subconjuntode ω dado por:

{pΦq : Φ cerrada y N ² Φ}no es definible en N . En particular este conjunto no es recursivamente enumera-ble. Por tanto, la teorıa Th(N ) no es recursivamente axiomatizable.

(b) Si Sat(x) es Π1, entonces existe Φ en Σ1 verificando la propiedad (•) de VII.1.7.Por tanto, la validez de formulas Σ1 no es definible por una formula Π1. Sin


embargo, es posible definir la validez de las formulas Σ1 mediante una formulaΣ1.

1.C Conjuntos recursivamente enumerables

Nota VII.1.9. El siguiente teorema amplıa VI.4.19 a toda extension consistente yrecursivamente axiomatizada de P−.

Teorema VII.1.10. Sean T una Σ1–teorıa consistente extension de P− y A ⊆ ωn.Son equivalentes:


(b) A es debilmente representable en T.

Demostracion: ((b) =⇒ (a)): La prueba es analoga a la dada para la teorıa P−.Sea Φ(~x) una formula que representa debilmente a A en T. Entonces

~a ∈ A ⇐⇒ T ` Θ(~a) ⇐⇒ pΦ(~a)q ∈ ThT.

Puesto que ThT es recursivamente enumerable, A es recursivamente enumerable.

((a) =⇒ (b)): Supongamos que A es recursivamente enumerable. Entonces existe Brecursivo tal que

~a ∈ A ⇐⇒ ∃b ∈ ω [(~a, b) ∈ B].

Sea Φ(~x, y) una formula que representa a B en T. En particular se tiene que

(~a, b) ∈ B ⇐⇒ T ` Φ(~a, b).

Sea Θ(~x, y) la formula

∃z [Φ(~x, z) ∧ ∀w ≤ z ¬PrfT(w, y)].

Sea Ψ(~x) un punto fijo de Θ(~x, y) (ver VII.1.5-(b)). Es decir, Para todo ~a ∈ ωT ` Ψ(~a)↔ ∃z [Φ(~a, z) ∧ ∀w ≤ z ¬PrfT(w,Ψ(~a))].

Se tiene que:

Aserto VII.1.10.1. Para todo ~a ∈ ω,

~a ∈ A ⇐⇒ T ` Ψ(~a).


Del aserto se sigue el resultado. ¥

Corolario VII.1.11. Sea T un Σ1–teorıa extension de P−. Si T es consistente, en-tonces T no es decidible; es decir, el conjunto {pΦq : T ` Φ} no es recursivo.


158 2. El primer teorema de incompletitud

Corolario VII.1.12. Sea T una Σ1–teorıa consistente extension de P−. Sea Ψ(x)una formula que representa debilmente a K, (problema de parada), en T. Entoncesexiste a ∈ ω tal que:

(a) T 0 Ψ(a).

(b) T 0 ¬Ψ(a).


§2 El primer teorema de incompletitud

Nota VII.2.1. En este y en el siguiente paragrafo supondremos que T es una Σ1–teorıa extension de P−.

2.A Version de Godel

Definicion VII.2.2. Diremos que Φ es una formula de Godel para T si

T ` Φ↔ ¬ThT(ϕ).

Lema VII.2.3. Sea T una Σ1–teorıa extension de P−. Sea Ψ una formula de Godelpara T.

(a) T ` Ψ =⇒ T ` ¬Ψ.

(b) T consistente =⇒ T 0 Ψ.

(c) T Σ1–valida =⇒ T 0 ¬Ψ.

Demostracion: Por hipotesis,

(∗) T ` ¬Ψ↔ ThT(ψ).

((a)): En efecto,

T ` Ψ =⇒ T ` ThT(pΨq) [[Representabilidad]]=⇒ T ` ¬Ψ [[Punto fijo]].

((b)): Supongamos que T ` Ψ. Entonces por (a) T ` ¬Ψ. Por tanto, T es inconsistente.Contradiccion.

((c)): Supongamos que T ` ¬Ψ. Entonces

T ` ¬Ψ =⇒ T ` ThT(ψ) [[(∗)]]=⇒ N ² ThT(ψ) [[T es Σ1–valida]]=⇒ P− ` ThT(ψ) [[Σ1–completitud de P−]]=⇒ T ` Ψ [[Representabilidad]]


Por tanto, T es inconsistente. Lo cual es un contradiccion. ¥

Teorema VII.2.4. (Primer teorema de incompletitud (Godel)). Sea T una Σ1–teorıa extension de P−. Si T es Σ1–valida, entonces T no es completa.

Demostracion: Por VII.1.4 existen formulas de Godel. Por tanto, el resultado sesigue de VII.2.3. ¥

Corolario VII.2.5. PA no es completa. ¥

Notas VII.2.6.

(a) Puesto que ¬ThPA(x) es Π1, por VII.1.6-(b) existe Ψ ∈ Π1 que es un puntofijo de ¬ThPA(x). Por tanto, existe una formula Π1 tal que ni ella ni su negacionson demostrables en PA. Ademas,

Aserto VII.2.6.1. N ² Ψ.

Prueba del aserto: En efecto, caso contrario N ² ¬Ψ y como ¬Ψ es Σ1,por el teorema de Σ1-completitud de PA, PA ` ¬Ψ. Lo cual contradiceVII.2.3-(c). Lo que prueba el aserto. 2

Por tanto, PA + Ψ es Σ1–valida; y en consecuencia, esta teorıa no es completa.

(b) Puesto que Ψ es Π1, podemos escribir Ψ de la forma ∀zΘ(z) con Θ(z) ∈ ∆0.Por tanto, ¬Ψ es equivalente a ∃z ¬Θ(z). Ahora bien, N 6² ∃z ¬Θ(z). Luego paratodo n ∈ ω, N ² Θ(n). Por Σ1-completitud de PA, PA ` Θ(n). Por tanto,

(–) ∀n ∈ ω, PA + ¬Ψ ` Θ(n)

(–) PA + ¬Ψ ` ∃z ¬Θ(z).

En consecuencia, PA + ¬Ψ no es Σ1–valida. Por otra parte, como PA 0 Ψ, lateorıa PA + ¬Ψ es consistente.

La version de Godel del primer teorema de incompletitud, VII.2.4, deja abiertala posibilidad de que la teorıa PA + ¬Ψ sea completa. Veremos en la siguienteseccion que no es este el caso.

2.B Version de Rosser

Lema VII.2.7. Sea T una teorıa consistente extension de P−. Sea Φ(x) una formulatal que para cualquier formula cerrada Ψ

(i) T ` Ψ =⇒ T ` Φ(pΨq).

(ii) T ` ¬Ψ =⇒ T ` ¬Φ(pΨq).

Sea Θ un punto fijo de ¬Φ(x) en T. Entonces

(a) T 0 Θ.

160 2. El primer teorema de incompletitud

(b) T 0 ¬Θ.

Demostracion: ((a)): Supongamos que T ` Θ. Entonces

(–) T ` Φ(pΘq), [[(i)]].

(–) T ` ¬Φ(pΘq), [[Punto fijo]].

Por tanto, T es inconsistente. Lo cual es una contradiccion.

((b)): Supongamos que T ` ¬Θ. Entonces

(–) T ` ¬Φ(pΘq), [[(ii)]].

(–) T ` Φ(pΘq), [[Punto fijo]].

Por tanto, T es inconsistente. Lo cual es una contradiccion. ¥

Definicion VII.2.8. Sea T una Σ1–teoria. Sea RThT(δ) la formula

∃y [PrfT(y, δ) ∧ ∀z < y ¬PrfT(z,¬δ))].Si se tiene RThT(δ), diremos que δ es un teorema en T segun Rosser.

Lema VII.2.9. Sea T una Σ1–teorıa consistente extension de P−. Se tiene que paratoda formula cerrada Ψ

(a) T ` Ψ =⇒ T ` RThT(pΨq).

(b) T ` ¬Ψ =⇒ T ` ¬RThT(pΨq).

Demostracion: ((a)): Supongamos que T ` Ψ. Por representabilidad, existe n ∈ ωtal que T ` PrfT(n, pΨq).

Aserto VII.2.9.1. Para todo m < n, T ` ¬PrfT(m, p¬Ψq).

Prueba del aserto: Sea m ∈ ω con m < n. Puesto que T es consistente, T 0 ¬Ψy por representabilidad, T ` ¬PrfT(m, p¬Ψq). 2

Ademas,

T ` z < n↔ z = 0 ∨ . . . ∨ z = n− 1.

Por tanto, del aserto se sigue que T ` ∀z < n¬PrfT(z, p¬Ψq). En consecuencia,T ` RThT(pΨq).

((b)): Supongamos que T ` ¬Ψ. Por representabilidad existe n ∈ ω tal que

(•) T ` PrfT(n, p¬Ψq).

Veamos que T ` ¬RThT(pΨq). Es decir,

T ` ∀y [PrfT(y, pΨq)→ ∃z ≤ yPrfT(z, p¬Ψq)].

Sean A ² T y a ∈ A. Veamos que

(1) A ² PrfT(a, pΨq)→ ∃z ≤ aPrfT(z, p¬Ψq)].

Supongamos que A ² PrfT(a, pΨq). Se tiene que:


Aserto VII.2.9.2. a 6< n.

Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Entonces a < n. Por tanto, a ∈ ω.Luego,

A ² PrfT(a, pΨq) =⇒ (a, pΨq) ∈ PrfT=⇒ T ` Ψ.

Puesto que T ` ¬Ψ, de lo anterior se sigue que T es inconsistente. Lo cual esuna contradiccion. 2

Del aserto se sigue que n ≤ a. Luego, por (•),T ` PrfT(n, p¬Ψq) =⇒ A ² PrfT(n, p¬Ψq)

=⇒ A ² ∃z ≤ aPrfT(z, p¬Ψq) [[n ≤ a]].

Lo que prueba (1). ¥

Teorema VII.2.10. (Primer teorema de incompletitud (Rosser)). Sea T unaΣ1–teorıa extension de P−. Si T es consistente, entonces T no es completa.

Demostracion: Sea Θ un punto fijo de ¬RThT(x). Entonces, por los lemas VII.2.7y VII.2.9, T 0 Θ y T 0 ¬Θ. Por tanto, T no es completa. ¥

§3 El segundo teorema de incompletitud

3.A El predicado ThT(x)

Notas VII.3.1.

(a) Recordemos que si T es una teorıa tal que AxT es recursivo, entonces ThT(x) esla formula Σ1

∃yPrfT(y, x).

(b) En el capıtulo anterior hemos visto que toda funcion recursiva es representa-ble en P−. Para la prueba del siguiente teorema necesitamos algo mas que larepresentabilidad, necesitaremos que ciertas funciones recursivas sean definibles.En lo que sigue supondremos que

(–) T es un Σ1–teorıa extension de P−.

(–) En T son definibles las funciones recursivas que se usan en la prueba delteorema VII.3.3. En particular supondremos que las funciones definidas en§2, asociadas a la aritmetizacion, son definibles en T.

(–) Tambien supondremos que los axiomas de induccion para ciertas formulasson axiomas de T.

La aritmetica de Peano, PA, satisface estas propiedades. La teorıa IΣ1 tambiensatisface estas condiciones. Donde IΣ1 es la teorıa cuyos axiomas no logicos son

162 3. El segundo teorema de incompletitud

los de P− y los axiomas de induccion para formulas Σ1.

Notas VII.3.2. Definimos Nm : ω −→ ω, como sigue:

Nm(a) =

{ 〈ν(0)〉, si a = 0;〈ν(S)〉 ∗ Nm(b), si a = b+ 1.

Esta funcion asocia a cada numero natural el numero de Godel de un termino. Es decir,para todo a ∈ ω, Nm(a) ∈ Term. Mas aun, Nm(n) = pnq.

Notaremos por Nm(x, y) a la formula que representa en P− a la funcion Nm.

La formula ThT(x) tiene solo x como variable libre. Por tanto, si Φ(~y) es una formula,entonces ThT[pΦ(~y)q] es una formula cerrada. Sin embargo, a veces es conveniente quelas variables ~y sean libres. Para salvar este problema definimos:

(–) Para Φ(x1), ThT[ϕ(x1)] es

ThT[Sust(pΦ(x1)q, px1q,Nm(x1))].

(–) Para Φ(x1, x2), ThT[ϕ(x1, x2)] es

ThT[Sust(Sust(pΦ(x1, x2)q, px1q,Nm(x1)), px2q,Nm(x2))].

Teorema VII.3.3. (Condiciones de probabilidad). Sea T una teorıa verificandolas condiciones de VII.3.1. Para cualesquiera formulas Φ y Ψ

(CP1) T ` Φ =⇒ T ` ThT[ϕ].

(CP2) T ` ThT[ϕ→ ψ] ∧ThT[ϕ] → ThT[ψ].

(CP3) T ` ThT[ϕ]→ ThT[pThT[ϕ]q].

(CP4) Si Φ(~y) ∈ Σ1, entonces T ` Φ(~y)→ ThT[ϕ(~y)].

Demostracion: (CP1): Supongamos que T ` Φ. Sean Φ1, . . . ,Φn una prueba deΦ en T y a = 〈pΦ1q, . . . , pΦnq〉. Puesto que T es una extension de P−, la formulaPrfT(y, x) representa en T al conjunto PrfT. En consecuencia, T ` PrfT(a, ϕ). Portanto, T ` ∃yPrfT(y, ϕ). Es decir, T ` ThT[ϕ].

(CP2): Sea A ² T. Supongamos que A ² ThT[ϕ] y A ² ThT[ϕ → ψ]. Entoncesexisten a, b ∈ A tales que

A ² PrfT(a, ϕ) y A ² PrfT(b, ϕ→ ψ).

Sea c ∈ A tal que c = a ∗ b ∗ 〈pΨq〉, donde ∗ es la funcion de concatenacion. Entonces

A ² PrfT(c, ψ).

Por tanto, A ² ThT[ψ]. En consecuencia,

A ² ThT[ϕ] ∧ThT[ϕ→ ψ]→ ThT[ψ].

Puesto que A es un modelo arbitrario de T, por el teorema de completitud,

T ` ThT[ϕ] ∧ThT[ϕ→ ψ]→ ThT[ψ].

Lo que prueba el resultado.


(CP3): Esto es consecuencia de (CP4) pues ThT(x) es Σ1.

(CP4). (Esquema de la prueba). Sea Φ(~y) una formula Σ1. La prueba se realiza porinduccion (en la metateorıa) sobre la longitud de Φ(~y).

Caso 1: Φ abierta. Este es el caso mas laborioso. La prueba consiste en probar porinduccion sobre la longitud de Φ que

(–) T ` Φ(~y)→ ThT(ϕ(~y)).

(–) T ` ¬Φ(~y)→ ThT(¬ϕ(~y)).

Caso 2: Φ(u, ~y) es ∀w ≤ uΨ(w, u, ~y).

Por hipotesis, T ` Ψ(w, u, ~y)→ ThT[ψ(w, u, ~y)]

Luego, T ` ∀w ≤ uΨ(w, u, ~y)→ ∀w ≤ uThT[ψ(w, u, ~y)]

Ademas, (?) T ` ∀w ≤ uThT[ψ(w, u, ~y)]→ ThT[∀w ≤ u ψ(w, u, ~y)]

Por tanto, T ` ∀w ≤ uΨ(w, u, ~y)→ ThT[∀w ≤ u ψ(w, u, ~y)]

Es decir, T ` Φ(u, ~y)→ ThT[ϕ(u, ~y)]

Donde (?) se prueba formalizando la demostracion de

T ` Φ(0) ∧ . . . ∧ Φ(n)→ ∀x ≤ nΦ(x)

Caso 3: Φ(~y) es ∃wΨ(w, ~y).

Por hipotesis, T ` Ψ(w, ~y)→ ThT[ψ(w, ~y)]

Luego, T ` ∃wΨ(w, ~y)→ ∃wThT[ψ(w, ~y)]

Ademas, (?) T ` ∃wThT[ψ(w, ~y)]→ ThT[∃wψ(w,~y)]

Por tanto, T ` ∃wΨ(w, ~y)→ ThT[∃wψ(w,~y)]

Es decir, T ` Φ(~y)→ ThT[ϕ(~y)]

Probaremos ahora (?). Sean A ² T y ~a ∈ A tales que A ² ∃wThT[ψ(w, ~a)]. Entonces,A ² ∃w ∃zPrfT(z, ψ(w, ~a)). Sean b, c ∈ A tales que A ² PrfT(c, ψ(b, ~a)). Sea

d = c ∗ 〈ψw[b, ~a]→ ∃wψ[w,~a]〉 ∗ 〈∃wψ[w,~a]〉Donde ∗ es la concatenacion.

Entonces A ² PrfT(d,∃wψ(w,~a)). Por tanto, A ² ∃zPrfT(z, ∃wψ(w,~a)). En conse-cuencia, A ² ThT[∃wψ(w,~a)]. Por tanto,

A ² ∃wThT[ψ(w, ~a)]→ ThT[∃wψ(w,~a)].

Puesto que A es un modelo arbitrario de T, entonces

T ` ∃wThT[ψ(w, ~y)]→ ThT[∃wψ(w,~y)].

Lo que prueba (?). Esto completa la prueba del teorema. ¥

Notas VII.3.4.

(a) La condicion de probabilidad (CP1) es valida en P−. Es decir, si T ` Φ, entoncesP− ` ThT[ϕ].

(b) La condicion de probabilidad (CP2) puede escribirse como sigue:


T ` ThT[ϕ→ ψ]→ (ThT[ϕ]→ ThT[ψ]).

(c) La induccion, sobre la longitud de Φ(~y), usada en la prueba de (CP4) es unametainduccion. Es decir, no es una induccion en la teorıa T. En la teorıa IΣ1

se puede formalizar este proceso de induccion, por tanto, es posible generalizarel resultado anterior, como sigue. Sea SatΣ1(x) una formula Σ1 que define lavalidez de formulas Σ1; esto es, para toda formula Φ(~y) ∈ Σ1 y ~a ∈ ω

N ² Φ(~a) ⇐⇒ N ² SatΣ1(pΦ(~a)q).

Entonces, IΣ1 ` ∀x∀δ(~v) [FormΣ1(δ(~v))→ (SatΣ1(δ(~x))→ ThT(δ(~x)))].

(d) No es posible ampliar el resultado (CP4) para otros conjuntos de formulas.En general no es cierto que si Φ ∈ Π1, entonces T ` Φ → ThT[ϕ]. Siguiendo elargumento dado en el Caso 3 tendrıamos que si Φ es la formula ∀wΨ(w), entonces

T ` ∀wΨ(w)→ ∀wThT[ψ(w)].

Sin embargo, ahora no es posible obtener que

T ` ∀wThT[ψ(w)]→ ThT[∀wψ(w)].

Sea A ² T tal que A ² ∀wThT[ψ(w)]. Entonces para cada a ∈ A, existe ca ∈ A

tal que A ² PrfT(ca, ψ(a)). Sin embargo, ahora no es posible obtener c ∈ A, demanera uniforme en T, tal que A ² PrfT(c, ∀wψ(w)).

Este problema es similar al que pusimos de manifiesto para la teorıa P−. Porejemplo, si Φ(x) es la formula ∃y ≤ x (x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1), entonces

(–) ∀n ∈ ω, P− ` Φ(n).

Sin embargo,

(–) P− 0 ∀xΦ(x).

Es decir, no es posible obtener, de manera uniforme en P−, una prueba en P−

de ∀xΦ(x) a partir de las pruebas individuales de Φ(n).

3.B El segundo teorema de incompletitud

Lema VII.3.5. Sea T una teorıa verificando las condiciones de VII.3.1. Sea Ψ unpunto fijo de ¬ThT(x). Entonces

(a) T ` ThT[ψ]→ ThT[¬ψ]. (Formalizacion de la prueba de VII.2.3-(a)).

(b) Para toda formula Φ, T ` ThT[ψ]→ ThT[ϕ].


(1) T ` ThT[ψ]↔ ¬Ψ [[Punto fijo]](2) T ` ThT[ThT[ψ]↔ ¬ψ] [[(CP1), (1)]](3) T ` ThT[ThT[ψ]]→ ThT[¬ψ] [[M.P. (2) y (CP2)]](4) T ` ThT[ψ]→ ThT[ThT[ψ]] [[(CP3)]](5) T ` ThT[ψ]→ ThT[¬ψ] [[T. tautologıa (4) y (5)]]

Lo que prueba (a).


((b)): Sea Φ una formula.

(1) T ` Ψ→ (¬Ψ→ Φ) [[Tautologıa]](2) T ` ThT[ψ → (¬ψ → ϕ)] [[(CP1), (1)]](3) T ` ThT[ψ]→ (ThT[¬ψ]→ ThT[ϕ]) [[M.P. (CP2), (2)]](4) T ` ThT[ψ]→ ThT[ϕ] [[(a) y (3)]]


Lema VII.3.6. Sea T una teorıa verificando las condiciones de VII.3.1. Si existe Φtal que T ` ¬ThT[ϕ], entonces T es inconsistente

Demostracion: Sea Φ tal que T ` ¬ThT[ϕ]. Sea Ψ un punto fijo de ¬ThT(x).Entonces

(1) T ` ¬ThT[ϕ] [[Hipotesis]](2) T ` ¬ThT[ϕ]→ ¬ThT[ψ] [[VII.3.5-(b)]](3) T ` ¬ThT[ψ] [[M.P. (1), (2)]](4) T ` ¬ThT[ψ]→ Ψ [[Punto fijo]](5) T ` Ψ [[M.P. (3), (4)]](6) T ` ThT[ψ] [[(CP1, (5)]]

De (3) y (6) se sigue que T es inconsistente. ¥

Definicion VII.3.7. Notaremos por ConT a la formula ¬ThT[p0 6= 0q].

Teorema VII.3.8. (Segundo teorema de incompletitud). Sea T una teorıa ve-rificando las condiciones de VII.3.1. Si T es consistente, entonces T 0 ConT. Es decir,si T es consistente, entonces T no prueba que T es consistente.

Demostracion: Supongamos lo contrario; esto es, T ` ¬ThT[p0 6= 0q]. Entoncespor el lema VII.3.6, T es inconsistente. Lo cual es una contradiccion. ¥

Corolario VII.3.9. PA 0 ConPA.


(–) PA es consistente, y

(–) PA verifica las condiciones de VII.3.1,

el resultado se sigue del teorema anterior. ¥

Notas VII.3.10. Hemos probado que una teorıa consistente no prueba su consisten-cia. Sin embargo se tiene el siguiente:

Aserto VII.3.10.1. Existe una teorıa consistente, T, tal que T prueba que esinconsistente. Es decir, T ` ¬ConT.



Notas VII.3.11. (Los predicados ThT(x) y PThT(x)).

(a) N ² ThPA(x)↔ RThPA(x). Es decir, la formula RThPA(x) es extensionalmentecorrecta. Pues

{Φ : PA ` Φ} = {Φ : N ² ThPA[pΦq]} = {Φ : N ² RThPA[pΦq]}.(b) Sin embargo, de la definicion de RThPA(x), esta formula es intencionalmente

incorrecta.

(c) T ` RThT(x)→ ThT(x). Trivial.

(d) Sea RConT la formula ¬RThT(p0 6= 0q). La formula RConT la denominaremosconsistencia de T segun Rosser. Se tiene el siguiente resultado que establece queuna teorıa consistente prueba su consistencia segun Rosser.

Aserto VII.3.11.1. Sea T es consistente, entonces

(i) T ` RCon.

(ii) T 0 ThT(x)→ RThT(x).

Sin embargo, se tiene que

Aserto VII.3.11.2. T ` ConT → [ThT(x)↔ RThT(x)].

3.C Propiedades de puntos fijos

Proposicion VII.3.12. Sea T una teorıa consistente verificando las condiciones deVII.3.1.

(a) Sea Ψ un punto fijo de ¬ThT(x).(a.1) T 0 Ψ.

(a.2) T ` Ψ↔ ConT.

(b) Sean Ψ1 y Ψ2 puntos fijos de ¬ThT(x). Entonces T ` Ψ1 ↔ Ψ2.


Nota VII.3.13. En el resultado anterior hemos visto cual es la situacion para lospuntos fijos de ¬ThT(x). En el siguiente teorema estudiaremos el comportamiento delos puntos fijos de ThT(x).

Teorema VII.3.14. (Lob). Sea T una teorıa verificando las condiciones de VII.3.1.

(a) T ` ThT[ϕ]→ Φ =⇒ T ` Φ.

(b) Si Ψ es un punto fijo de ThT(x), entonces T ` Ψ.

(c) Si Ψ1 y Ψ2 son puntos fijos de ThT(x), entonces T ` Ψ1 ↔ Ψ2.

Demostracion: ((a)): Supongamos que T ` ThT[ϕ]→ Φ. Sea Ψ un punto fijo de laformula ThT(x)→ Φ. Entonces


(1) T ` Ψ↔ (ThT[ψ]→ Φ) [[Punto fijo]](2) T ` ThT[ψ → (ThT[ψ]→ ϕ)] [[(CP1), 1]](3) T ` ThT[ψ]→ (ThT[ThT[ψ]]→ ThT[ϕ]) [[M.P. (CP2), (2)]](4) T ` ThT[ψ]→ ThT[ϕ] [[T. tautologıa (3), (CP3)]](5) T ` ThT[ϕ]→ Φ [[Hipotesis]](6) T ` ThT[ψ]→ Φ [[T. tautologıa (4), (5)]](7) T ` Ψ [[M.P. (1), (6)]](8) T ` ThT[ψ] [[(CP1), (7)]](9) T ` Φ [[M.P. (7), (8)]]

Lo que prueba (a).

((b)): Es consecuencia inmediata de (a). Pues si Φ es un punto fijo de ThT(x), entoncesT ` ThT[ϕ]→ Φ.

((c)): Se sigue de (b). ¥

Nota VII.3.15. El teorema de Lob permite dar una prueba alternativa del segundoteorema de incompletitud.


§4 Ejercicios

Ejercicio VII.4.1. (VII.1.3.1). Para toda formula Φ

P− ` ∃δ [PFor(δ) ∧Th(ϕ↔ δ)].

Ejercicio VII.4.2. (VII.1.3.2). PA ` ∀γ ∃δ [PFor(δ) ∧Th(γ ↔ δ)].

Ejercicio VII.4.3. (VII.1.3.3). Sea T una Σ1–teorıa

(i) Sea Φ una formula cerrada. Entonces para toda formula Ψ

P− ` ThT+ϕ(ψ)↔ ThT(ϕ→ ψ).

(ii) PA ` ∀δ ∀γ [Sent(δ)→ ThT+δ(γ)↔ ThT(δ → γ)].

Ejercicio VII.4.4. (VII.1.11). Sea P− ⊆ T una Σ1–teorıa. Si T es consistente,entonces T no es decidible; es decir, el conjunto {pΦq : T ` Φ} no es recursivo.

Ejercicio VII.4.5. (VII.1.12). Sea P− ⊆ T una Σ1–teorıa consistente. Sea Ψ(x)una formula que representa debilmente a K (problema de parada), en T. Entoncesexiste a ∈ ω tal que:

(a) T 0 Ψ(a).

168 4. Ejercicios

(b) T 0 ¬Ψ(a).

Ejercicio VII.4.6. (VII.3.11.1). Existe una teorıa consistente, T, tal que T pruebaque es inconsistente. Es decir, T ` ¬ConT.

Ejercicio VII.4.7. (VII.3.11.1, VII.3.11.2). Sea T una Σ1–teorıa.(a) [[VII.3.11.1]] Si T es consistente, entonces

(a.1) T ` RCon.

(a.2) T 0 ThT(x)→ RThT(x).

(b) [[VII.3.11.2]] T ` ConT → [ThT(x)↔ RThT(x)].

Ejercicio VII.4.8. (VII.3.12).

(a) Sea Ψ un punto fijo de ¬ThT(x).(a.1) T 0 Ψ.

(a.2) T ` Ψ↔ ConT.

(b) Sean Ψ1 y Ψ2 puntos fijo de ¬ThT(x). Entonces T ` Ψ1 ↔ Ψ2.

Ejercicio VII.4.9. (VII.3.15). El teorema de Lob permite dar una prueba alterna-tiva del segundo teorema de incompletitud.

Ejercicio VII.4.10. (Lema diagonal con parametros (VII.1.5)). Sea Φ(~x, y) unaformula.

(a) Existe una formula Ψ(~x) tal que:

P− ` Φ(~x, ψ(~x))↔ Ψ(~x).

(b) Existe una formula Ψ(~x) tal que para todo ~a ∈ ωP− ` Φ(~a, ψ(~a))↔ Ψ(~a).

Ejercicio VII.4.11. (VII.1.10.1). Para todo ~a ∈ ω,

~a ∈ A ⇐⇒ T ` Ψ(~a).

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