Lógica Proposicional (cont.) - Campus Universitário do ...araguaia2.ufmt.br/professor/disciplina_arquivo/90/201606221111.pdf · Equivale a negação da lógica proposicional a ~

Lógica Matemática Elementos de Lógica Digital

Lógica Proposicional (cont.) Conectivos lógicos

Conjunção (e: ^) Disjunção (ou: v) Negação (não : ~)

Condicional (se ...então: ) Bicondicional (se somente se: )

1


Negação de um proposição composta

Negar uma proposição simples.

p: João é médico.

~p: João não é médico. Ou ~p: É falso que João é médico

Como negar uma proposição composta?

Vai depender da estrutura da proposição.

2


Negação de uma proposição conjuntiva: ~(p e q)

w: João é médico e Pedro é analista

p: João é médico q: Pedro é analista

~p: João não é médico ~q: Pedro não é analista

Em linguagem lógica: ~(p ^ q) = ~p v ~q

~w: João não é médico ou Pedro não é analista

3

p q p^q ~p ~q (~p)^(~q) ~(p^q) pvq (~p)v(~q)

V V V F F F F V F

V F F F V F V V V

F V F V F F V V V

F F F V V V V F V


Negação de uma proposição disjuntiva: ~(p ou q)

w: Pedro não é dentista ou Paulo é engenheiro

p: Pedro não é dentista q: Paulo é engenheiro

~p: Pedro é dentista ~q: Paulo não é engenheiro

Em linguagem lógica: ~(p v q) = ~p ∧~q

~w: Pedro é dentista e Paulo não é engenheiro.

4

p q pvq ~p ~q (~p)v(~q) ~(pvq) p^q ~p ^ ~q

V V V F F F F V F

V F V F V V F F F

F V V V F V F F F

F F F V V V V F V


Negação de uma proposição condicional: ~(p q)

w: Se chover, então levarei o guarda-chuva

p: se chover q: levarei o guarda-chuva

~p: chove ~q: não levarei o guarda-chuva

Em linguagem lógica: ~(p q) = p ∧~q

~w: Chove e eu não levo o guarda-chuva

5

p q pq ~p ~q ~(pq) ~p~q ~pq p~q p^~q

V V V F F F V V F F

V F F F V V V V V V

F v V V F F F V V F

F F V V V F V F V F


Negação do bicondicional: ~(p↔q)

w: trabalharei se somente se ganhar salário

p: trabalharei q: ganhar salário

~p: não trabalharei ~q: não ganho salário

Em linguagem lógica: ~(p q) = [(p e ~q) ou (q e ~p)]

~w: não trabalharei se somente se não ganho salário

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p q ~p ~q pq ~(pq) A= p^~q B= q^~p AvB

V V F F V F F F F

V F F V F V V F V

F V V F F V F V V

F F V V V F F F F


Ordem de precedência dos conectivos lógicos.

Primeiramente obedece os delimitadores, {[( )]} depois

segue a ordem:

1º negação (~)

2º conjunção e disjunção ( , )

3º implicação ( )

4º bicondicional ( )

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Exemplo:

F(p,q,r)=(p ∧ ~q) (q v ~r)

Lê-se: Se p e não q, então q ou não r

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Tabela verdade

Trata-se de uma tabela mediante a qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas.

1 proposição = 2 combinações (V , F)

2 proposições = 4 combinações (VV, VF, FV, FF)

3 proposições = 8 combinações

(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF)

...

N proposições = 2N combinações

Assim:

Nº linhas da Tabela-Verdade = 2 nº de proposições

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Tautologia

Uma proposição composta formada por duas ou mais

proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se ela for

sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos

das proposições p, q, r, ... que a compõem.

A proposição (p ∧ q) (p V q) é uma tautologia

Ex.: F(p,q,s)=[(p v q) ∧ (p ∧ s)] p, verifique se é uma

Tautologia.

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Contradição

Uma proposição composta formada por duas ou mais

proposições p, q, r, ... será dita uma contradição se ela

for sempre falsa, independentemente dos valores

lógicos das proposições p, q,r ... que a compõem.

A proposição “ p ↔ ~p ” é uma contradição

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Contingência

Uma proposição composta será dita uma contingência

sempre que não for uma tautologia ou uma

contradição.

A proposição “p ↔ (p∧q)” é uma contingência.

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Equivalência Lógica

De acordo com os valores lógicos que as proposições compostas assumem, em suas possíveis interpretações, elas podem ser classificadas em vários tipos:

se a expressão assume sempre o valor V, em qualquer interpretação, é chamada uma tautologia, ou uma expressão válida;

se a expressão assume o valor V em alguma interpretação, é dita satisfatível, ou consistente; evidentemente, as tautologias são exemplos de expressões satisfatíveis;

se a expressão assume sempre o valor F, em qualquer interpretação, é chamada uma contradição, ou uma expressão insatisfatível, ou inconsistente.

se a expressão assume o valor F em alguma interpretação, é chamada uma expressão inválida; claramente, as contradições são, também, expressões inválidas;

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Exercícios fixação

1) Dê o valor lógico das proposições

a) (8>2) ^(4 ≤4)

b) (6< 10).(6> ⅓)

c) (7<2) +[(4-3)≥1]

d) (5>8) (4>3)

e) (4<2) + (2<4)

f) (8-3 = 5) (2≤ 2)

g) (8-10=2) (6-2=4)

h) (4-2)(8-2=15)

i) ~(4 >5) ^ (⅕ > ⅓)

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2) A proposição “ Se Marcos não estuda, então Pedro não passeia” equivale dizer:

a) Marcos estudar é condição necessária para Pedro não passear

b) Marcos estudar é condição suficiente para Pedro não passear

c) Marcos não estudar é condição necessária para Pedro não Passear

d) Marcos não estudar é condição suficiente para Pedro passear

e) Marcos estudar é condição suficiente para Pedro passear

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3) Sejam as proposições:

“p: Está frio” e “q: Está chovendo”.

Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições:

a) ~p

b) p.q

c) p+q

d) p q

e) p~q

f) p v ~q

g) ~p^~q

h) ~~q

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4) Verifique se as afirmações dadas são

suficientes para determinar o valor da

expressão:

a) (p q) r , onde r tem valor lógico V

b) (p+r)+(sq), onde q tem valor lógico F

c) [(p+q)(p.q)] [(r.p)+q], onde q tem

valor lógico V

d) [(pq) p], onde q tem valor lógico V

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5) Considerando Vl(p)=F; Vl(q)=V; Vl(x)=F e

Vl(y)=V, determine:

a) Vl([(p+q).(x+y)]p)=

b) Vl(x.yp)=

c) Vl(p.y.p.x)=

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Sistemas dicotômicos

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Sistemas dicotômicos

Chama-se interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de

um circuito elétrico que pode assumir um dos dois

estados:

Fechado (1) Aberto (0)

Quando fechado o interruptor permite que a corrente

passe através do ponto. Quando aberto nenhuma

corrente pode passar através do ponto.

Representação:


Sejam a e b dois interruptores ligados em paralelo. Numa

ligação em paralelo só passará corrente se pelo menos um

dos interruptores estiver fechado.

Denotamos um circuito em paralelo por “a+b”

Essa ligação descreve a seguinte tabela:

a b a + b

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Observe que essa tabela é

equivalente a proposição

“ou” da lógica proposicional


Sejam a e b dois interruptores ligados em série. Numa

ligação em serie só passará corrente se ambos

interruptores estiverem fechados.

Denotamos um circuito em série por “a.b”

Essa ligação descreve a seguinte tabela:

a b a . b

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Observe que essa tabela é

equivalente a proposição “e”

da lógica proposicional


Se um interruptor apresenta aberto quando “a” fechado e

apresenta fechado quando “a” aberto, chamamos de

inversão (negação) e denotamos por “~a” ou “ “.

A tabela verdade

Equivale a negação da lógica proposicional

a ~ a

1 0

0 1


Com a combinação de interruptores podemos criar

expressões mais complexas

Ex.

S = a.(b+c) + a’.(b’+c’)

Cuja tabela é ...


Descreva as expressões dada pelos circuitos

S =

S =


Desenhe os circuito dado pelas expressões:

a) p.(q’.(s+r)+r.s)+(q+p’).(r.s’+s)

b) a. (b+c+d)

Próxima aula: Circuitos digitais

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