Luis Camacho. La lógica proposicional en Analíticos de Aristóteles

Luis Camacho

La lógica proposicional en Analíticos de Aristóteles

Abstract. Against the usual attribution ofpropositional logic to Chrysippus as its founder,it is our contention in this paper that a brieftext in Analytics shows that Aristotle alreadyknew the modus ponens, modus tollens and theaffirmation of the consequent in a conditionalstatement. Although he does not name the cor-responding rules, his terminology is similar tothe one used by the Stoics. Our interpretation ofthe text fits in with today's propositional logic,without any need to introduce an additional rulewith validity problems.

Key Words: propositional logic, stoics,Aristotelian logic, modallogic.

Resumen. Contra lo que habitualmentese dice, Aristóteles parece haber conocido elmodus ponens, el modus tollens y la afirmacióndel consecuente en un condicional. Aunque noponga nombres a las reglas correspondientes,un breve texto en Analíticos utiliza terminologíasemejante a la de Crisipo. En el artículo defende-mos que dicho texto se puede interpretar dentrode la lógica proposicional actual, sin necesidadde postular una supuesta regla adicional quetendría problemas formales de validez.

Palabras claves: lógica proposicional, estoi-cos, lógica aristotélica, lógica modal.

Incluso a simple vista hay una sección en elcapítulo 4 del libro II de los Primeros Analíticosde Aristóteles que se diferencia claramente delresto. Empieza en 57a36 y llega hasta 57b5. A

diferencia de párrafos previos y posteriores,aquí no aparecen las conocidas variables (letrasmayúsculas) que el autor utiliza para designarlos términos en los silogismos. Nuestra hipótesises que la razón para esta diferencia es fácil decaptar: en vez de hablar de lógica cuanti ficadade primer orden, Aristóteles se detiene por unmomento a considerar lo que ahora llamamoslógica proposicional, o de conectores o juntores,cuyos comienzos se suelen ubicar en los estoi-cos y megáricos y particularmente en Crisipoy que es más básica que la lógica cuantificada.Intentamos probar que, aunque el Estagirita noutiliza una terminología propia para los esque-mas lógicos que analiza aquí, podemos inter-pretarlos como equivalentes al modus ponens, almodus tollens y a la afirmación del consecuenteen un condicional filoniano. Evitaremos hablarde implicación material para designar el condi-cional filoniano, porque como bien se sabe lamal llamada implicación material ni es impli-cación ni es material. No es implicación porquees estrictamente extensional y no es materialjustamente porque es formal. Por condicionalfiloniano entendemos la conectiva cuya tabla deverdad excluye únicamente una posibilidad, la deantecedente verdadero y consecuente falso.

El pasaje 57a-57b ha pasado desapercibidopara muchos de los autores más conocidos quehan analizado la lógica aristotélica. Tal vez esteolvido tenga que ver con los problemas másgenerales que plantea la lógica de Aristóteles ycon la forma como esos problemas afectaron eldesarrollo posterior de la lógica. Ocupados conasuntos serios, los estudiosos no se han fijado en

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XLVI (117/118), 137-143, Enero-Agosto 2008

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un texto que parece decir algo más amplio de loque se dice en el resto del capítulo.

El primero de esos problemas es que no exis-te una lógica aristotélica sino dos, y no es fácil vercómo se conectan. Fue P. T. Geach, quien en unaconferencia en 1968 en la Universidad de Leeds,Inglaterra, lo expresó de la siguiente manera:

La historia de la lógica comienza con Aristó-teles, quien pudo decir con orgullo que habíaescrito el primer tratado de lógica formal.Puedo resumir en una sola frase lo que voya decir: Aristóteles, como Adán, comenzóbien, pero se extravió pronto por un malcamino, con consecuencias desastrosas parala posteridad. ("Historia de las corrupcionesde la lógica", Themata (Universidades deMálaga y Sevilla, no.2, 1985, p. 41)

Geach y otros autores después de él hanseñalado la discrepancia entre Categorías y De lainterpretación, por una parte, y los Analíticos porotra. Todos sabemos que en De la interpretaciónel esquema gramatical sujeto-predicado se tomacomo modelo para el análisis lógico de la propo-sición y se asume que el nombre propio es sujetoadecuado de la oración. Aristóteles dice que elnombre propio no se puede negar, es intemporal yno se puede intercambiar con el predicado, el cualsí se puede negar y es temporal. Esta dependen-cia de la lógica respecto de la gramática resultótan profunda que hubo que esperar hasta el sigloXIX, hasta el Begriffsschrift de Frege, para quese eliminara.

Una de las consecuencias de la dependenciade la gramática es el problema de los argumen-tos con relaciones. Puesto que las oracionesque expresan relaciones no se pueden analizarlógicamente de la misma manera que las no rela-cionales, el problema de cómo entender en lógicalas oraciones de relación y cómo probar la vali-dez o invalidez de los argumentos con relacionesresultó insoluble incluso para Leibniz y tuvo queesperar a los trabajos de Charles Sanders Peirceen EEUU y Ernst Schroder en Alemania a finesdel siglo XIX.

Pero lo que Aristóteles dice en De la inter-pretación no tiene continuidad en su silogís-tica de los Analíticos. Allí los términos de

las proposicrones cuantificadas se intercambiansegún reglas y ese intercambio permite buscar lareducción de todas las figuras a la primera, aun-que no se logre en todos los casos.

Un segundo problema es que, aunque Aristó-teles usa nociones modales con mucha frecuenciaen los Analíticos, su sistema de operadores moda-les, expuesto sobre todo en una tabla de oposicio-nes al final del capítulo 12 y principios del 13 enDe la interpretación, está lejos de ser coherente yni siquiera se ponen de acuerdo los traductores encómo se deben entender las oposiciones que esta-blece entre los operadores "posible", "admisible","no imposible", "no necesario", "no posible" y"no imposible". La dificultad mayor parece estaren la respuesta a la pregunta de qué es lo opuestoa imposible, si necesario, o posible.

En tercer lugar, Aristóteles desarrolla suteoría de los silogismos claramente como unmétodo de discriminación entre silogismos acep-tables y no aceptables, pero no queda claro cuáles el criterio general de validez que le permitedistinguirios, criterio que debería ser suficiente-mente abstracto como para dar cuenta tanto delos argumentos modales como de los no modales.Reconstruir el sistema o sistemas lógicos usadospor Aristóteles en sus variadas obras lógicas, perosobre todo en los Analíticos, es una tarea en laque aún queda mucho por hacer, aunque se podríaargüir que es una tarea imposible porque el textoque ha llegado hasta nosotros no da para tanto.Parte del problema es que la validez o invalidezde los silogismos depende de una visión de la pre-dicación que hoy nos resulta difícil de entender.

Aunque en el siglo XIV hubo importantesdesarrollos en la lógica, la enseñanza de esta enla Edad Media y siglos posteriores (en algunoslugares hasta mediados del XX ) se redujo confrecuencia a la silogística, sin modalidad y consolución casuística de la validez o invalidez.Saber si un silogismo es válido o no, se convirtióen recordar unos versos en latín. Cuando Leibnizformuló un método gráfico para representar lossilogismos y decidir automáticamente si eranválidos o no, se encontró con que algunos modoscomo el Darapti de la tercera figura y el Fresisonde la cuarta no encajaban en su método, y aúnasí los siguió considerando válidos. Su validez seniega cuando George Boole en 1847 matematiza


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la lógica cuantificada aristotélica y la reduce a uncaso en que el índice de las variables que repre-sentan la operación de selección de individuosdentro de una clase se reduce a los valores O y l.La lógica se convierte en el álgebra en la que x"= x (la famosa "ley del índice") porque los únicosvalores que asume el índice es O y 1, que repre-sentan respectivamente la clase vacía y la claseuniversal, o también los valores falso y verdade-ro. Los modos mencionados también resultaroninválidos cuando John Venn introdujo su sistemagráfico para representar los silogismos. Así pues,encontrar un sistema de validez en Aristótelesque dé cuenta tanto de su silogística no modalcon ecthesis (ejemplificación particular en casosde premisas universales), como de silogismosmodales, ha requerido un trabajo notable por susdificultades y que muchos consideran insolublepor problemas del texto mismo.

Después de sufrir la superficialidad de lo quelos neoescolásticos llamaron lógica clásica (en laque toda la lógica se reduce a los silogismos y noexiste un principio general y ni siquiera existeuna noción clara de validez), Jan Lukasiewiczhizo justicia a la complejidad de la lógica delEstagirita en Aristotle's Syllogistic from the Stan-dpoint of Modern Formal Logic (Oxford: Claren-don Press, 1957; traducción al español en Tecnos,1977). Lukasiewicz analiza los silogismos y, portanto, la lógica cuantificada tal como aparece enlos Analíticos, aunque, como es bien conocido, noincorpora los aspectos modales. Aunque Luka-siewicz menciona en esta obra el modus ponens,lo atribuye a los estoicos, como es habitual en loshistoriadores de la lógica, pero no cita el brevetexto 57a36-57b5 de los Primeros Analíticos. Elenfoque de Lukasiewicz es sintáctico y no modal,mientras este texto es semántico y modal.

Fue Storrs McCall quien en 1963 revivió ladiscusión sobre la lógica modal aristotélica en suobra Aristotle's Modal Syllogisms (Amsterdam:North Holland). McCall propuso un sistema paraprobar validez e invalidez de silogismos moda-les conocido como LXM. Posteriormente FredJohnson, profesor en Colorado State University,proporcionó la semántica para un sistema depruebas de validez e invalidez de silogismos conmodalidad en su artículo "Models for ModalSyllogism", publicado en Notre Dame Journal of

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Formal Logic, volumen 30, número 2, primaverade 1989, pp. 273-284. Pero ni McCall ni Johnsonconsideran el texto que estamos analizando, porrazones obvias: la modalidad la aplican a la lógicacuantificada de primer orden, no a la proposi-cional. Todavía ellos siguen considerando que lalógica aristotél ica se reduce a los famosos modosBarbara, Celarent, Darii, Ferio, etc., que en el sis-tema XLM genera formas silogísticas nunca antesvistas como la Superbarbara.

En 57a-57b Aristóteles empieza con semán-tica de argumentos válidos y acaba con términosmodales y lo que dice se aplica más claramentea la lógica proposicional que a la cuantificada,pero quienes han expuesto la lógica cuantificadade Aristóteles, con o sin operadores modales, hanignorado las breves consideraciones que hace elEstagirita sobre la relación entre premisas y con-clusión de cualquier argumento.

Robin Smith en su artículo sobre la lógica deAristóteles en el volumen conjunto compilado porJonathan Barnes bajo el título de The CambridgeCompanion to Aristotle (1995) tampoco mencio-na para nada este texto. En la lista de pasajes queaparecen al final del compendio no aparece 57a-57b. Ni lo hace Benson Mates en su breve peroenjundioso resumen de la historia de la lógica enLógica matemática elemental.

Solo hemos encontrado un artículo rela-cionado con parte de este texto, concretamentecon 57b3-5. Se trata de "On Systems ContainingAristotles Thesis", cuyos autores son R.Routleyy H. Montgomery y que aparece en The Journalof Symbolic Logic, volumen 33, número 1, marzo1968. Los autores toman únicamente la frase"(...) es imposible que la misma cosa sea necesitadapor el ser y el no ser de la misma cosa" y la tradu-cen al lenguaje simbólico de la siguiente manera,donde la última línea recoge lo dicho en 57b3:

l.P--+Q2. - P --+ Q3. p+ q --+ A - q --+ - P4. - Q --+ - P5. - Q --+ Q6. - {(p--+ Q) A ( - P--+ Q)}

A la última línea los autores llaman "tesisde Aristóteles" y en el artículo muestran los


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problemas de validez que la afectan, por lo queintentan construir un sistema modal con opera-dores apropiados en el que se pueda acomodarla tesis de Aristóteles. Mientras en la prueba dearriba las líneas I y 2 son las prernisas, la 3 es unaequivalencia bien conocida, que suele llamarse"transposición". No hace falta incluir esta línea,pues se utiliza aquí para justificar la prueba. Laslínea 4 y 5 son de prueba y la 6 es la conclusión. Enla 4 se aplica transposición a la 1 y la 5 se obtienepor transitividad del condicional usando las líneas

4 Y 2. Los autores consideran que el peso de laprueba está en la línea 5, que según ellos Aristóte-les considera imposible. Sin embargo, esa línea noes contradictoria en un condicional corriente y noes imposible en un sistema de lógica modal comoel S5. De modo que el argumento claramente noes válido, como se puede mostrar por cualquierade los procedimientos habituales. Podemos lograrque la conclusión sea falsa mientras las premisasson verdaderas, como se ve en la tabla de verdadreducida, a continuación:

[(P --+ Q) A (- P --+ Q) A (- Q --+ - P) A «- Q --+ Q)]--+ - [( P--+ Q) A ( - P--+ Q)]v v f v f f f v vv fv

v v v v f [v v v]f

Además, el carácter de verdad contingentede la conclusión encaja con nuestras intuicioneshabituales. No es difícil encontrar ejemplos enlos que un consecuente se desprende tanto deun antecedente como de su negación. "Si subeel precio del petróleo hay crisis, pero si no subetambién hay crisis". En inglés incluso existe unaexpresión para referirse a estos casos: "damn ifyou do, damn if you don t".

Aquí daremos otra interpretación formal altexto de Aristóteles que evite los problemas de vali-dez, pero para hacerlo empezaremos con 57a36.

Aristóteles empieza el capítulo 4 hablandode la última figura del silogismo después dehablar en el anterior de la segunda figura. Desdeel comienzo del capítulo habla en términossernánticos, es decir en términos de verdaderoy falso. De hecho, desde el comienzo del libro 11el enfoque es sernántico, es decir, se considerancombinaciones de verdadero y falso en premisasy conclusión. Hacia la mitad del capítulo habla desilogismos particulares y dice de ellos que tam-bién en este caso se pueden obtener conclusionesverdaderas a partir de premisas falsas. En 57a37usa el término argumento y no el de silogismo,lo que indica una perspectiva mucho más amplia.Obviamente todo silogismo es un argumento perono al revés.

Lo que dice a partir de 57a 37 es válido paracualquier cálculo que admita el principio formalde validez:

Así, pues, es manifiesto que, si la conclusiónes falsa, necesariamente serán falsas todaso algunas [proposiciones] de las que surgeel argumento; en cambio, cuando la conclu-sión es verdadera, no necesariamente seránverdadera ni alguna ni todas ellas, sino quees posible que, sin ser verdadera ningunade la cosas que hay en el razonamiento, laconclusión sea igualmente verdadera; perono necesariamente.

Nótese que aquí Aristóteles no habla de lacombinación de términos cuantificados desde elpunto de vista de lo que se puede o no predicar deellos, sino de la relación entre verdadero y falso.La tabla de verdad del condicional, la prueba devalidez e invalidez por tabla de verdad reducida yla regla formal de validez vienen inmediatamentea la mente cuando se leen las primeras líneas.También 10 hace la metáfora de la verdad comopropiedad hereditaria: en un argumento válido, silas premisas son verdaderas la conclusión tam-bién debe ser verdadera. Por estas razones, estetexto se puede analizar así:


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(a) Si la conclusión de un argumento válido esfalsa, por lo menos una premisa debe serfalsa.

(b) Si la conclusión es verdadera, las premisaspueden ser verdaderas o falsas.

Solo faltaría añadir que la validez excluye laposibilidad de que las premisas sean verdaderas yla conclusión falsa, pero eso se sigue de (a).

El texto que sigue se presenta como explica-ción de lo anterior:

La razón de ello es que, cuando dos cosasestán relacionadas entre sí de manera quecuando la primera es, la segunda debe ser,cuando la segunda no es, tampoco será laprimera; pero cuando la segunda es, la pri-mera puede ser y no ser.

En la primera línea tenemos la formulaciónde un condicional y se usa una terminología ("laprimera", "la segunda") que recuerda los inde-mostrables de Crisipo:

p~q

Sabemos que en un condicional verdadero sise da el antecedente debe darse el consecuente("dos cosas relacionadas entre sí de manera quecuando la primera es, la segunda debe ser").Ahora podemos construir el modus ponens consolo explicitar lo dicho por Aristóteles y represen-tarJo con símbolos conocidos:

(A) Modus ponens ("cuando la primera es, lasegunda debe ser"):

(1) p ~ q

(2) p ~ q

En el breve texto citado tenemos también elmodus tollens : "cuando la segunda no es tam-poco será la primera", que representamos de lasiguiente manera:

(B) Modus tollens:

(1) p ~ q

(2) - q :. - p

Hemos visto, pues, lo que ocurre cuando elantecedente ("la primera (cosa) ") es verdadero ycuando al consecuente ("la segunda (cosa)" ) esfalsa. ¿ Qué ocurre cuando el consecuente es ver-dadero? Tenemos entonces que volver a una frasedel texto anterior. Nótese que a continuación nose habla de verdadero o falso, sino de relacionesnecesarias o no necesarias entre cosas. Si en vezde "cosas" entendemos "proposiciones" el asuntose aclara mucho más.

(...) cuando la conclusión es verdadera, no esnecesario que las premisas sean verdaderas,bien sea alguna o todas, sino que es posibleque, sin ser verdadera ninguna de las partesdel silogismo, la conclusión sea sin embargoverdadera; pero no necesariamente.

Expresar lo anterior en lógica proposicionalparece forzar el texto, que habla de silogismos yconclusión. Pero supongamos que reducimos elargumento a un condicional, como se hace en laspruebas por tabla de verdad reducida. Si, además,prescindimos de operadores modales, tendríamoslo que sigue:

(C) Afirmación del consecuente en uncondicional:

(1) p ~ q

(2) q :. p v - p

Puesto que la conclusión en este argumentoes siempre verdadera (es una tautología), el argu-mento es válido cualquiera que sea el valor delantecedente. De modo que seguimos sin tenerproblemas de validez en esta interpretación de57a-57b.

A continuación el texto de Analíticos da unaexplicación ulterior:

Pues es imposible que la misma cosa se denecesariamente, tanto si el mismo factor sepredica como si no se predica.

No entendemos estas palabras como si dije-ran que no es el caso que de un antecedente y


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de su negacion se siga el mismo consecuente.Se está hablando de lo que ocurre cuando tienelugar el consecuente, no de la posibilidad deafirmar el consecuente a partir del antecedente.Podemos suponer que el autor está explicandopor qué de la afirmación del consecuente no sepuede concluir necesariamente la afirmación delantecedente, pues éste puede darse o no darse.Además, Aristóteles utiliza operadores modalesen la explicación. Por esta razón preferimos intro-ducir lógica modal y representar lo dicho de lasiguiente manera:

(D) (Mp A M - p) ~ -MLpcuya prueba por árbol semántico en el sistema SSsería como sigue:

S5

MpAM~p ./~MLp ./

(Mp A M~py+ ~ MLp ./

Mp

MLp./

+ p ./

Lp P

Empezamos suponiendo que (D) es falso y,por tanto, que su antecedente es verdadero y suconsecuente falso. Pero si p es posible, hay por lomenos un mundo posible en que p es verdadero.Si ~p es posible, hay por lo menos un mundoposible en que p es falso. Por otra parte, si asu-mimos que es falso que no es posible que p seanecesario (si asumimos que el consecuente es

falso), entonces es verdad que es posible que p esnecesario. Entonces hay por lo menos un mundoposible en que es verdad que p es necesario.Ahora pasamos a un mundo posible determina-do, w¡. En este mundo w¡ tenemos Lp. Si p esnecesario entonces p es verdadero en todos losmundos posibles y, por tanto, verdadero en w¡ .Esta fórmula bien formada modalmente cerradasobrevive en cualquier mundo que se haya abiertoal despachar otra fórmula, como ocurre en w2.

Pero si -p es verdadero entonces p es falso y,por consiguiente, el árbol semántico se cierra:no podemos suponer que (D) sea un condicionalfalso y, por consiguiente, es verdadero. El argu-mento correspondiente es válido.

A lo mismo llegamos si formulamos el textode la siguiente manera:

[(p ~ q) A q] ~ M (p v -p¡

cuya prueba en SS por árbol semántico es simple:si el antecedente es verdadero y el consecuentefalso, entonces el consecuente es falso en todoslos mundos posibles. Para que eso ocurra tantop como -p tienen que ser falsos, pues se trata deuna disyunción.

Pero entonces tenemos p a ambos lados de lalínea divisoria, por lo cual el árbol semántico secierra y la validez del argumento se prueba porsemántica en forma indirecta.

Así pues, lo que dice Aristóteles encaja sinmayores problemas en la lógica contemporáneay no nos parece necesario crear un sistema queincluya una regla nueva para entender lo que dice,aunque por supuesto se puede aislar una oración yconstruir todo un sistema a partir de ella.

Conclusión

Aunque no utilice nombres especiales paralos esquemas respectivos, hay indicios de queAristóteles conoció el modus ponens, el modustollens y la afirmación del consecuente, al tratarde explicar la validez semántica de argumen-tos cuantificados. Además, dio una explicaciónmodal de la validez de ambos y del carácter con-tingente de la afirmación del consecuente.


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Bibliografía

Primaria

Hemos consultado las siguientes versiones enespañol:

Aristóteles. (1964) Obras. (Traducción y notas deFrancisco de P. Sarnaranch). Madrid: Aguilar.

Aristóteles. (1988) Lógica (Traducción y notas deMiguel Candel San martín). Madrid: Gredos.

Hemos usado las siguientes versiones en inglés:

Great Books of the Western World (Chicago,etc.:Encyclopedia Britannica, 1952), vol. 8, p. 76-77.(La traducción es de A.J. Jenkinson.)

Past Masters, en versión digital.

Las traducciones de este pasaje son muy semejantes.

Secundaria

Johnson, Fred. (1989) "Models for Modal Syllogism."Notre Dame Journal of Formal Logic, volumen30, número 2, primavera de 1989, pp. 273-284.

Lukasiewicz, Jan. (1957) Aristotle's Syllogistic fromthe Standpoint of Modern Formal Logic (Oxford:Clarendon Press (1977) La silogtstica de Aristó-teles, desde el punto de vista de la lógica formalmoderna. Madrid: Tecnos.

Mates, Benson. (1970). Lógica matemática elemental.Madrid: Tecnos.

Routley, R. Montgomery, H. (1968) "On SystemsContaining Aristotles Thesis". The Journal ofSymbolic Logic, volumen 33, número 1, marzo1968, pp. 82-96

Smith, Robin. (1995) "Logic", en Barnes, Jonathan(ed.). The Cambridge Companion to Aristotle.Cambridge, Cambridge University Press.


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