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Les algorithmes personnels
Mise en contexte :
L’apprentissage des opérations à l’école primaire est orienté vers la compréhension des calculs contrairement à
l’apprentissage de procédures. C’est pourquoi on ne favorise plus la démarche traditionnelle. On met davantage
l’accent sur l’exploration du calcul mental et la diversité des stratégies qu’on appelle algorithmes personnels.
Certaines de ces stratégies inventées pourront être utilisées comme stratégie de calcul mental.
La mémorisation d’une démarche abstraite peut faire en sorte que l’élève voit les mathématiques comme « n’ayant
aucun sens ». À court terme, l’apprentissage d’une procédure peut paraître utile, mais peut avoir des
répercussions à long terme. Les algorithmes appris par mémorisation sont souvent vite oubliés et il faut les
réapprendre année après année. C’est pourquoi on met davantage l’accent sur le développement d’algorithmes
personnels.
Les algorithmes personnels, qu’est-ce que c’est?
Ce sont des méthodes de calcul flexibles:
elles doivent être comprises par les élèves pour être efficaces;
elles peuvent avoir été inventées par un pair, le groupe ou suggérés par l’enseignante (à l’occasion);
elles peuvent permettre de calculer mentalement et d’obtenir le résultat plus rapidement que les algorithmes
traditionnels.
Comment développer des algorithmes personnels?
Pour développer des algorithmes personnels, l’élève doit vivre de multiples occasions de résoudre différents types
de problèmes offrant des contextes concrets. Les élèves se servent de matériel de manipulation pour résoudre les
problèmes et discutent de leurs stratégies. Les échanges mathématiques entre les élèves leur permettent de voir
les liens entre les différentes stratégies, ce qui les apporte à l’utilisation de stratégies plus efficaces.
Après plusieurs expériences, la plupart des élèves utilisent les démarches qui leur sont plus faciles et plus efficaces.
La stratégie choisie pourra varier selon le contexte du problème. Par exemple, si on a 300 – 40, l’élève pourrait
compter par bonds de 10 à rebours. Mais si on a 197 – 22, il pourrait arrondir le premier terme à 200, soustraire 22
ensuite soustraire 3. Il pourrait aussi soustraire 20 de 197 en comptant à rebours et ensuite soustraire 2
Le rôle de l’enseignant ou enseignante
L’enseignant ou l’enseignante doit:
travailler la décomposition des nombres et la compréhension de la valeur de position, car ce sont des concepts
essentiels au développement d’algorithmes personnels;
offrir de multiples occasions de développer des algorithmes personnels dans des contextes signifiants;
permettre aux élèves de comparer les stratégies, orienter la discussion et diriger la progression des élèves vers des
stratégies plus efficaces;
aider l’élève à organiser les traces de son raisonnement en l’apportant à faire des liens entre le matériel de
manipulation, les images et les symboles;
modeler certaines stratégies tout en expliquant le raisonnement utilisé;
laisser du temps aux élèves de comprendre et de consolider les stratégies;
installer un climat de respect et d’entraide afin que les élèves se sentent en confiance de partager leurs stratégies.
Le matériel de manipulation
L’élève doit souvent avoir l’occasion de se servir de matériel de manipulation varié pour développer des
algorithmes personnels. Ceci favorise le développement conceptuel, ainsi qu’une compréhension solide.
Les avantages
Le développement d’algorithmes personnels favorise une compréhension du sens du nombre et des opérations, car
les élèves travaillent avec des nombres et non avec des chiffres. Les concepts de base 10 sont renforcés, les élèves
ont une meilleure compréhension de la valeur de position.
Les stratégies inventées favorisent le calcul à partir de la gauche plutôt que de la droite. Cette façon de penser
nous donne un ordre de grandeur de la réponse dès le départ. Avec l’algorithme traditionnel, il faut attendre à la
fin pour avoir une idée du résultat.
Les élèves font moins d’erreurs et ont plus de facilité avec le calcul mental.
Les élèves reconnaissent davantage l’utilité des mathématiques.
Les élèvent ont plus de souplesse en résolution de problèmes, car il peut y avoir différentes façons d’arriver à la
réponse
Quelques idées pour développer des algorithmes personnels
« Les élèves n’inventent pas spontanément de merveilleuses méthodes de calcul pendant qu’on les observe! »
Donner du temps aux élèves pour résoudre le problème avec du matériel concret
Écouter les différentes méthodes des élèves (encourager les élèves qui ont trouvé une méthode à en trouver une
deuxième)
Demander aux élèves de démontrer leur démarche à l’aide de modèle (cadre à 10 cases, rekenrek, droite
numérique, matériel de base 10, etc.)
Noter au tableau les explications données oralement par les élèves
Demander aux élèves d’appliquer la méthode avec d’autres nombres (les élèves doivent avoir l’occasion de
pratiquer une stratégie proposée afin de déterminer s’il la comprend et s’il désire l’utiliser)
« Les enfants à qui l’on n’enseigne pas les algorithmes deviennent de plus en plus aptes à décomposer les nombres
et à jouer avec eux. Ils deviennent des penseurs mathématiques de plus en plus habiles. Ce processus prend du
temps; on n’y arrive pas du jour au lendemain, mais on y arrive. »
Jeunes mathématiciens en action Tome 1, p. 131
Combien de temps dois-je attendre avant d’enseigner les
algorithmes usuels?
« Si vous avez l’intention d’enseigner les algorithmes usuels ( traditionnels), il serait préférable de réserver aux
méthodes inventées une longue période de temps, mesurée en mois et non en semaines. Introduisez les
algorithmes le plus tard possible. En travaillant avec des stratégies inventées, les élèves comprendront mieux les
méthodes traditionnelles, ce qui facilitera l’enseignement ».
Van de Walle, tome 2, p. 110
Les algorithmes usuels (traditionnels)
Les algorithmes usuels ou traditionnels ou ne sont pas mauvais en soi. Mais pour les utiliser, l’élève doit bien
comprendre leur fonctionnement et être en mesure de les expliquer. Il s’agit tout simplement d’une autre
stratégie à mettre dans son coffre à outils. Ceci étant dit, il ne faut toutefois pas commencer par l’enseignement de
l’algorithme traditionnel, car il entrave à la compréhension de la valeur de position. Il importe que les élèves
explorent d’abord les algorithmes personnels. Sinon, le recours à des procédures apprises par coeur les empêchera
de faire appel à leur raisonnement mathématique.
Si un enseignant ou enseignante présente un algorithme usuel: S’assurer que l’élève a un bon sens du nombre et
une bonne connaissance des algorithmes personnels.
Bien nommer la valeur de position (par exemple si on a 45 – 23, dire 40 – 20 et non 4 – 2)
Avoir déjà donné plusieurs occasions aux élèves d’inventer des algorithmes personnels
Faire des liens entre les symboles utilisés et le matériel de manipulation
Utiliser les termes « échange » et « regroupement » au lieu de « emprunt » et « retenu »
Apporter l’élève à se servir du contexte et/ou des nombres utilisés afin de décider s’il est plus efficace d’utiliser
l’algorithme usuel ou un algorithme personnel
Des exemples d’algorithmes personnels d’addition
La compensation
L’élève simplifie les termes afin de travailler avec des nombres repères.
Miguel a 64 cartes de hockey dans sa collection. Son frère lui donne 27 cartes. Combien
de cartes Miguel a-t-il en tout dans sa collection?
Additionner de gauche à droite
L’élève additionne en commençant par la gauche, ce qui permet de développer le sens
du nombre et la valeur de position. Ceci lui permet également d’obtenir une idée de la
grandeur de la réponse dès le départ.
Martin fait une recherche afin de déterminer combien de voitures noires passent devant
sa maison pendant l’heure du diner. Il compte 38 voitures noires pendant la première
demi-heure et 27 voitures noires pendant la deuxième demi-heure. Combien de voitures
noires Martin a-t-il vues pendant l’heure du diner?
Les bonds de 10
L’élève se sert des multiples de 10 pour effectuer son calcul.
Julien a économisé 46 dollars pour faire l’achat d’un jeu vidéo. À sa fête, il reçoit 33
dollars en cadeau. Combien d’argent a maintenant Julien?
La décomposition
L’élève décompose les nombres avant d’additionner. Cet algorithme représente la
propriété de l’associativité parce que l’ordre dans laquelle il opère n’a pas d’importance.
Camylle a joué à un jeu pendant 37 minutes. Après avoir pris une petite pause, elle a
joué à nouveau pendant 26 minutes. Combien de temps Camylle a-t-elle joué à son jeu?
Simplifier un nombre
L’élève modifie un nombre afin qu’il devienne plus simple et il réajuste à la fin.
Denis a 45 petites autos dans sa collection . Au début de la journée, il avait plus d’autos,
mais il en a prêté 18 à son ami. Combien d’autos avait Denis au début de la journée?
Des exemples d’algorithmes personnels de
soustraction
Soustraire en simplifiant un terme
Simplifier un terme
La décomposition
Soustraire en pensant à l’addition
La compensation
L’élève simplifie un terme pour que la soustraction soit plus facile à faire et il réajuste à
la fin.
Pour un projet de science, Karine a ramassé 40 cailloux. Il y a 18 de ses cailloux qui sont
blancs. Combien de cailloux ne sont pas blancs?
Soustraire en pensant à l’addition
L’élève qui comprend le lien entre l’addition et la soustraction se sert de l’addition pour
trouver la réponse à un problème de soustraction.
Le grand-père d’Olivier est âgé de 86 ans. Le père d’Olivier est âgé de 53 ans. Quelle est
la différence d’âge entre le père et le grand-père d’Olivier?
La décomposition
L’élève décompose un des termes pour simplifier le calcul et il soustrait par étape.
Sara a 64 bandes dessinées dans sa bibliothèque. Elle prête 15 bandes dessinées à sa
grande sœur Myriam. Combien de bandes dessinées a maintenant Sara?
Utiliser la compensation
L’élève modifie les termes en ajoutant ou en enlevant la même quantité aux deux
termes. Cette stratégie peut s’avérer efficace lorsque l’élève a à travailler avec des
zéros.
Felicia a 200 $ en économies à la banque. Elle fait un achat de 97 $ avec ses économies.
Combien lui reste-t-il d’argent à la banque?
Exemples d’algorithmes de multiplication
L’addition répétée
L’élève utilise l’addition répétée pour trouver la solution à l’opération.
Julie et ses amies font une sortie à la crémerie du coin. En tout, elles sont 6 petites filles
qui mangeront une crème glacée. Chaque crème glacée coûte 2 $. Combien coûtera
l’achat de crème glacée pour toutes les filles?
L’addition répétée
La disposition rectangulaire
La multiplication
par étape
La compensation
La décomposition
Disposition rectangulaire
L’élève représente la multiplication en se servant d’un rectangle dont les dimensions
correspondent aux facteurs de l’opération.
Dans la classe de Maxime, il y a 5 rangées de 4 pupitres. Combien y a-t-il de pupitres?
Disposition rectangulaire (matériel de base 10)
L’élève se sert du matériel de base 10 concret ou matériel de base 10 imagé pour
représenter un rectangle dont les dimensions correspondent aux facteurs de
l’opération.
Dans une salle de théâtre, il y a 20 rangées de 35 sièges. Combien de sièges y a-t-il en
tout dans le théâtre?
Matériel de base 10 imagé
Exemple 1 : Exemple 2 :
Disposition rectangulaire (grands nombres)
Lorsque l’élève est habile à utiliser les dispositions rectangulaires et qu’il comprend la
stratégie de faire la somme des produits liés au concept d’aire, il peut résoudre des
problèmes avec de plus grands nombres.
La classe de Jeanne organise un voyage éducatif. Le coût est de 435 $ par élève et il y a
25 élèves qui participent au voyage. Quel est le coût total du voyage?
La multiplication par étape
Cet algorithme ressemble beaucoup à l’algorithme traditionnel, mais sans retenues et
sans préoccupation de l’alignement des produits.
À chaque jour, un chien doit manger 32 grammes de nourriture par kilogramme de son
poids. Le chien de Rachel pèse 12 kilogrammes. Combien de nourriture Rachel doit-elle
donner à son chien dans une journée?
Multiplier par la compensation
L’élève divise un facteur et multiplie l’autre facteur. Cet algorithme fonctionne mieux
avec des nombres pairs.
Pour l’anniversaire de sa sœur, Daniel prépare 6 sacs de 35 bonbons. Combien de
bonbons Daniel doit-il acheter?
Multiplier en décomposant les termes
L’élève décompose un des facteurs et multiplie ces nombres par le deuxième facteur.
Un verre de Coca-Cola contient 27 grammes de sucres. Combien y a-t-il de grammes de
sucres dans 3 verres de Coca-Cola?
Exemples d’algorithmes de division
Diviser en utilisant l’addition répétée
À l’animalerie du coin, il y a 25 chatons à vendre. Le propriétaire dit qu’il veut placer 6 chatons
par cage. Combien de cages seront nécessaires pour garder les chatons?
L’addition répétée
La soustraction
répétée
Multiplier pour diviser
Diviser en simplifiant
les nombres
L’algorithme continental
La soustraction répétée
Il y 146 élèves qui veulent se rendre à l’aréna pour regarder un match de hockey. Les petits
autobus qui les transportent peuvent accueillir 24 élèves. Combien d’autobus auront-ils besoin?
Multiplier pour diviser
Martine achète un sac de 66 bonbons qu’elle partage avec ses deux amis. Chaque personne
reçoit le même nombre de bonbons. Combien de bonbons chaque personne reçoit-elle?
Diviser en simplifiant les nombres
Nathan organise une course à relais avec ses 4 amis. La distance à parcourir est de 450 mètres.
Les 5 garçons doivent courir la même distance. Combien de mètres chacun va-t-il parcourir
durant la course?
L’algorithme continental
Rachelle partage également 64 ballons d’eau avec ses 2 amis. Combien de ballons d’eau aura
chaque personne?
