Lecture 14 - Kasetsart Universityfin.bus.ku.ac.th/131539 Quantitative Applications... · ˙ ˚ ˇˆ˙ ˇ˜ˇ 7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 17 1 ( )1 15 800 50 1 When 800

7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 1

Lecture 14Lecture 14ปริพันธประยุกตปริพันธประยุกต ((Applied Applied Integration)Integration)

สวนเกินผูบริโภคและสวนเกินผูผลิต� ถา f(q) เปนฟงกชัน่อุปสงค g(q) เปนฟงกชั่นอุปทาน และ p0 และ q0 เปนราคาและปริมาณที่ดุลยภาคแลว


( )[ ]dqpqfCS

q

∫ −=

0

0

0

( )[ ]dqqgpPS

q

∫ −−=

0

0

0

ตัวอยาง� หา CS และ PS ภายใตดุลยภาค ถาอุปสงคและอุปทานแสดงไดดังนี้

� หาดุลยภาค:


( ) qqfp 05.0100 −==

( ) qqgp 1.010 +==

( ) 706001.010 Thus

600

05.01001.010

0

0

=+=

==

−=+

p

qq

qq

ตัวอยาง


( )[ ] 9000$2

05.030

600

0

2

0

0

0

=

−=−= ∫

qqdqpqfCS

q

( )[ ] 000,18$2

1.060

600

0

2

0

0

0

=

−=−= ∫

qqdqpgpPS

q


คาเฉลีย่ของฟงกชั่น� พิจารณา f(x) บนชวง [a,b]

� คาเฉลี่ยของ f(x1), f(x2),…, f(xn)

� แบง [a,b] ออกเปน n ชวงยอย และพิจารณาผลบวกทางขวา

� ถา n เขาใกลอนันต( ) ( )∑∑

== −==

n

i

i

n

i

i dxxfab

dxxfndx

y11

11

( )∑=

=n

i

ixfn

y1

1

( ) ( )dxxfab

dxxfab

f

b

a

n

i

in

1

lim1

1∫∑

−=

−=

=∞→


ตัวอยาง� หาคาเฉลี่ยของ f(x) = x2 บนชวง [1, 2]

( )

3

7

312

1

1

2

1

32

1

2=

=

−=

−=

∫

∫

xdxx

dxxfab

fb

a


สมการเชิงอนุพันธ (differential equation)� หา y ถา .0, ; ' >−= yx

x

yy

xCy

dxx

dyy

x

y

dx

dy

lnln

11

1 −=

−=

−=

∫∫0,

ln

ln

1

1

>=

=

=−

xCx

Cy

e

ey

ey

x

C

xC

ตัวอยาง� แกสมการ


.0, if ' >−= yxx

yy

xCy

dxx

dyy

x

y

dx

dy

lnln

11

1 −=

−=

−=

∫∫0,

ln

ln

1

1

>=

=

=−

xCx

Cy

e

ey

ey

x

C

xC

การทบตนตอเนื่อง� ถาความแตกตางระหวางเงินตนงวดที่ t+dt กับเงินตนงวดที่ t = ∆S = St+dt – St = S.r.dt จงพิสูจนวาถามีการทบตนตอเนื่อง S = Pert โดยที่ P = เงินตนงวดที่ 0

� dS/dt = rS � (อัตราการเปลี่ยนแปลงของจํานวนตอนตนแปรผันตามจํานวนตอนตน)

� dS/S = rdt� ln|S| = rt + C� S = eCert = Cert


การยอยสลาย� สมมติวาเวลาตองผานไป 50 วัน จึงจะทําใหสารกัมมันตภาพรังสีชนิดหนึ่งมีมวลเหลืออยู 60% หาอัตราการยอยสลายของสารชนิดนี้ สมมติวาอัตราการเปลี่ยนแปลงของจํานวนตอนตนแปรผันตามจํานวนตอนตน (dN/dt = -λN)


tλeNN −= 0

( )01022.0

50

6.0ln

6.0

6.0 and 50 When50

00

0

≈−=

=

==

−

λ

eNN

NNt

λ

การยอยสลาย� พิสูจนวาครึ่งชีวิตของสารกัมมันตภาพรังสี = ln2/λ และหาครึ่งชีวิตของสารดังกลาว

� N0/2 = N0e-λt � t = ln2/ λ� ln2/.01022 = 67.82 วัน


การโตในสภาวะธรรมชาติ (logistic growth)� ในความเปนจริงนั้นอัตราการเติบโตของประชากรจะชาลงเนื่องจากแรงตานทางธรรมชาติ (อาหารไมเพียงพอ ผูลาเพิ่มขึ้น ฯลฯ)� อัตราการเติบโตแบบธรรมชาติ

� dN/dt = kN(M-N)/M =KN(M-N)� (M-N)/M = แรงตานของสภาพแวดลอม� M = ความจุสูงสุดของประชากร� k/M = K = คาคงที่


การโตในสภาวะธรรมชาติ (logistic growth)


การโตในสภาวะธรรมชาติ (logistic growth)� กําหนดให

� N/(M-N) = eMKteMC = AeMKt

� N = MAeMKt - NAeMKt

� N = MAeMKt /(AeMKt + 1)� N = M/(1+1/(AeMKt))� ถากําหนดให 1/A = b และ MK = c


( )C

bua

u

abuau

du+

+=

+∫ ln1

ctbe

MN

−+

=1

การโตในสภาวะธรรมชาติ (logistic growth)� พิสูจนวาเวลาที่อัตราการเติบโตของประชากรจะสูงสุด (หรือจุดเปลี่ยนเวาของกราฟ) เทากับ lnb/c

� อัตราการเติบโตของประชากร = KN(M-N)� อนุพันธของฟงกชั่นดังกลาว = 0 ที่ N = M/2


c

bt

be

MMct

ln

12

=

+=

−

การเตบิโตของสมาชิกในสมาคม� จํานวนสมาชิกของสมาคมแหงหนึ่งถูกจํากัดที่ 800 คน หนึ่งปกอนชมรมนี้มีสมาชิก 50 และตอนนี้มีจํานวน 200 สมมติวาอัตราการเติบโตของสมาชิกในชมรมเปนไปโดยสภาวะธรรมชาติ จงหาจํานวนสมาชิกของชมรมดังกลาวหลังจากวันนี้อีกสามป


การเตบิโตของสมาชิกในสมาคม


( )15

11

80050

1

,0 and 800 When

=⇒+

=⇒+

=

==

bbbC

MN

tM

t

5lnln151

800200

,200 and 1 When

51 =−=⇒

+=

==

−c

e

Nt

c

( )781

151

8004

51

≈+

=N

กฎการเย็นตวัของนิวตัน� ชายคนหนึ่งถูกฆาตกรรมในบานของเขา ตํารวจมาถึงที่เกิดเหตุเวลาหาทุม อุณภูมิของศพเมื่อตํารวจมาถึงเทากับ 31◦C หนึ่งชั่วโมงหลังจากนั้นอุณภูมิลดลงเหลือ 30◦C อุณภูมิของหองที่พบศพเทากับ 22◦C จงหาเวลาที่ชายคนนี้ถูกฆาตกรรม� กําหนดใหอุณภูมิของศพจะลดลงจาก 37◦C ไปเรื่อยๆจนกระทั่งถึงอุณภูมิของสิ่งแวดลอม ซึ่งอัตราการลดลงของอุณภูมิของศพจะแปรผันตามความแตกตางระหวางอุณภูมิของรางกายและอุณภูมิของสิ่งแวดลอม � dT/dt = k(T-a)

� T = อุณภูมิของรางกาย� a = อุณภูมิของสิ่งแวดลอม


กฎการเย็นตวัของนิวตัน


( ) ( )22−=⇒−= Tkdt

dTaTk

dt

dT

( ) CktT

dtkT

dT

+=−

=− ∫∫22ln

22

( ) ( ) 9ln02231ln

,0 and 31 When

=⇒+=−

==

CCk

tT

( ) ktT

InktT =−

⇒+=−9

229ln22ln Hence,

กฎการเย็นตวัของนิวตัน


( ) ( )9

8ln9ln12230ln

,1 and 30 When

=⇒+=−

==

kk

tT

( )( )( )

34.49/8ln

9/15ln

9

8ln2237ln

, 37 When

−≈=⇒

=−

=

tt

T

ปริพันธไมตรงแบบ (improper integral)� ปริพันธจํากัดเขต ∫b

a f (x) dx จะถูกเรียกวา ปริพันธไมตรงแบบ ถาลิมิตของการหาปริพันธอยางนอยหนึ่งคาเปนอนันต� สมมติวา f(x) มีความตอเนื่องที่ชวง [a,∞)

� ปริพันธไมตรงแบบดานบนจะเรียกวา ลูเขา (convergent) ถาลิมิตนั้นหาคาได แตถาลิมิตหาคาไมได จะเรียกปริพันธไมตรงแบบดานบนวาเปนชนิด ลูออก (divergent)


( ) ( )dxxfdxxfr

ar

a

lim ∫∫ ∞→

∞

=

ปริพันธไมตรงแบบ (improper integral)� ถา f(x) มีความตอเนื่องที่ชวง (-∞,b]

� ถา f ตอเนื่องที่ทุก ๆ จุดบนชวง (−∞,∞) และ a∈(−∞,∞)


( ) ( )dxxfdxxf

b

rr

b

lim ∫∫ −∞→∞−

=

( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfa

a

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

+=

ลูเขาหรือลูออก


2

1

2

10

2lim lim

1 a.

1

2

1

3

1

3=+−=

−==

−

∞→

−

∞→

∞

∫∫r

r

r

r

xdxxdx

x

[ ] 1lim lim b.0

00

===−∞→−∞→

∞−

∫∫ rx

rr

x

r

x edxedxe

[ ] ∞===∞→

−

∞→

∞

∫∫r

r

r

rxdxxdx

x1

2/1

1

2/1

1

2lim lim 1

c.

ฟงกชั่นความหนาแนน (density function)� f(x) จะเปนฟงกชัน่ความหนาแนน ถา f(x) ≥ 0 และ

� ตัวอยาง: หาคา k ถา f(x) เปนฟงกชั่นความหนาแนน และ


( ) 1 =∫∞

∞−

dxxf

( ) ≥

=

−

elsewhere 0

0 for xkexf

x

ฟงกชั่นความหนาแนน (density function)


( ) ( )

[ ] 11lim1lim

101

0

0

00

0

=⇒=−⇒=

=+⇒=+

−

∞→

−

∞→

∞

−

∞

∞−

∫

∫∫∫

kkedxke

dxkedxxfdxxf

rx

r

r

x

r

x

ความหนาแนนของความนาจะเปน� ถา X เปนตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง

� เราจะสนใจเฉพาะความนาจะเปนที่ X จะอยูบนชวงใดๆ มากกวาความนาจะเปนที่ X จะมีคาใดๆ (ความนาจะเปนนอยมาก)� P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b)


( ) ( )∫=≤≤

b

a

dxxfbXaP

ความหนาแนนของความนาจะเปน� ถา X เปนตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง ฟงกชั่นความหนาแนนของความนาจะเปนของ X จะมีคุณสมบัติดังตอไปนี้


( )

( )

( ) ( )∫

∫

=≤≤

=

≥

∞

∞−

b

a

dxxfbXa. P

dxxf.

x. f

3

1 2

01

การแจกแจงความหนาแนนแบบเอกรูป (uniform density distribution)� หา P(2 < X < 3) ถา


( )

≤≤−=

otherwise0

b a if1

xabxf

( ) ( )

ababab

x

dxab

dxxfXP

−=

−

−=

−=

−==≤≤ ∫∫

123

1

32

3

2

3

2

3

2

ความหนาแนนแบบเอ็กซโพเนนเชียล� หา P(2 < X < 3) และ P(X > 4) ถา


( )

<

≥=

−

0 if0

0 if

x

xexf

x

ความหนาแนนแบบเอ็กซโพเนนเชียล


( )

086.0)(

32

3223

32

3

2

≈−=−−−=

==<<

−−−−

−−

∫

eeee

edxeXP xx

( )

018.001

lim

lim 4

44

44

≈+=

+−=

==>

−−

∞→

−

∞

∞→

−

∫∫

eee

dxedxeXP

rr

rx

r

x

คาเฉลีย่และความแปรปรวน� หาคาเฉลี่ยและความแปรปรวนของ


( ) ≤≤

=otherwise 0

20 if 21 xx

xf

( )3

4

6

2

1 Mean,

2

0

32

0

=

=

== ∫∫

∞

∞−

xdxxxdxxxfµ

( )9

2

9

16

83

4

2

1

2

0

422

0

2222=−

=

−

=−= ∫∫

∞

∞−

xdxxxµdxxfxσ

การแจกแจงปรกติ (normal distribution)� ตัวแปรสุมตอเนื่อง X จะมีการแจกแจงปรกติถาฟงกชั่นความหนาแนนของ X เปนดังนี้

� ตัวแปรสุมตอเนื่อง Z จะมีการแจกแจงปรกติมาตรฐานถาฟงกชัน่ความหนาแนนของ Z เปนดังนี้


( ) ( ) ( )[ ]∞<<∞−=

−− xeπσ

xf σµx 2

1 2/2/1

( ) 2/2

2

1 zeπσ

zf −=

ตัวอยาง� กําหนดให X ~ N(600,902)


( ) 0.95 is 600 of points 1802 =σP

( )

0.997 is 600 of points 270

)3(870 and 330between

=

= σPP

ตัวอยาง� หา P(−2 < Z < −0.5)

� หา z0 ที่ทําให P(−z0 < Z < z0) = 0.9642


( ) ( )

( ) ( ) 2857.05.02

25.05.02

=−=

<<=−<<−

AA

ZPZP

( ) 4821.09642.02

1=

ใชการแจกแจงปรกตปิระมาณการแจกแจงทวินาม� สมมติวา X ~ Binomial(n = 100, p = .3) ประมาณคา P(X=40)


( ) ( ) ( )6040

40100 7.03.040 CXP ==

( )

( ) 58.421)7.0(3.0100

303.0100

≈===

===

npqσ

npµ

29.221

305.40 and 07.2

21

305.3921 ≈

−=≈

−= zz

ใชการแจกแจงปรกตปิระมาณการแจกแจงทวินาม


( ) ( )

( ) ( )

0082.0

4808.04890.0

07.229.2

29.207.240

=

−=

−=

≤≤≈=

AA

ZPXP

7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 377/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 377/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 377/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 377/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 37

4/6/2011 Natt Koowattanatianchai 37

7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 387/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 387/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 387/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 38

�� Email: Email: Email: Email: Email: Email: Email: Email: �� [email protected]@[email protected]@[email protected]@[email protected]@ku.ac.th

�� Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:�� http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm

�� Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: �� 087087087087087087087087-------- 53935255393525539352553935255393525539352553935255393525

�� Office: Office: Office: Office: Office: Office: Office: Office: �� ชั้นชั้นชั้นชั้นชั้นชั้นชั้นชั้น 9 9 9 9 9 9 9 9 ตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจ

Documents

Lecture 14 - Kasetsart Universityfin.bus.ku.ac.th/131539 Quantitative Applications... · ˙ ˚ ˇˆ˙ ˇ˜ˇ 7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 17 1 ( )1 15 800 50 1 When 800