7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 1
Lecture 14Lecture 14ปริพันธประยุกตปริพันธประยุกต ((Applied Applied Integration)Integration)
สวนเกินผูบริโภคและสวนเกินผูผลิต� ถา f(q) เปนฟงกชัน่อุปสงค g(q) เปนฟงกชั่นอุปทาน และ p0 และ q0 เปนราคาและปริมาณที่ดุลยภาคแลว
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 2
( )[ ]dqpqfCS
q
∫ −=
0
0
0
( )[ ]dqqgpPS
q
∫ −−=
0
0
0
ตัวอยาง� หา CS และ PS ภายใตดุลยภาค ถาอุปสงคและอุปทานแสดงไดดังนี้
� หาดุลยภาค:
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 3
( ) qqfp 05.0100 −==
( ) qqgp 1.010 +==
( ) 706001.010 Thus
600
05.01001.010
0
0
=+=
==
−=+
p
ตัวอยาง
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 4
( )[ ] 9000$2
05.030
600
0
2
0
0
0
=
−=−= ∫
qqdqpqfCS
q
( )[ ] 000,18$2
1.060
600
0
2
0
0
0
=
−=−= ∫
qqdqpgpPS
q
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 5
คาเฉลีย่ของฟงกชั่น� พิจารณา f(x) บนชวง [a,b]
� คาเฉลี่ยของ f(x1), f(x2),…, f(xn)
� แบง [a,b] ออกเปน n ชวงยอย และพิจารณาผลบวกทางขวา
� ถา n เขาใกลอนันต( ) ( )∑∑
== −==
n
i
i
n
i
i dxxfab
dxxfndx
y11
11
( )∑=
=n
i
ixfn
y1
1
( ) ( )dxxfab
dxxfab
f
b
a
n
i
in
1
lim1
1∫∑
−=
−=
=∞→
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 6
ตัวอยาง� หาคาเฉลี่ยของ f(x) = x2 บนชวง [1, 2]
( )
3
7
312
1
1
2
1
32
1
2=
=
−=
−=
∫
∫
xdxx
dxxfab
fb
a
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 7
สมการเชิงอนุพันธ (differential equation)� หา y ถา .0, ; ' >−= yx
x
yy
xCy
dxx
dyy
x
y
dx
dy
lnln
11
1 −=
−=
−=
∫∫0,
ln
ln
1
1
>=
=
=−
xCx
Cy
e
ey
ey
x
C
xC
ตัวอยาง� แกสมการ
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 8
.0, if ' >−= yxx
yy
xCy
dxx
dyy
x
y
dx
dy
lnln
11
1 −=
−=
−=
∫∫0,
ln
ln
1
1
>=
=
=−
xCx
Cy
e
ey
ey
x
C
xC
การทบตนตอเนื่อง� ถาความแตกตางระหวางเงินตนงวดที่ t+dt กับเงินตนงวดที่ t = ∆S = St+dt – St = S.r.dt จงพิสูจนวาถามีการทบตนตอเนื่อง S = Pert โดยที่ P = เงินตนงวดที่ 0
� dS/dt = rS � (อัตราการเปลี่ยนแปลงของจํานวนตอนตนแปรผันตามจํานวนตอนตน)
� dS/S = rdt� ln|S| = rt + C� S = eCert = Cert
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 9
การยอยสลาย� สมมติวาเวลาตองผานไป 50 วัน จึงจะทําใหสารกัมมันตภาพรังสีชนิดหนึ่งมีมวลเหลืออยู 60% หาอัตราการยอยสลายของสารชนิดนี้ สมมติวาอัตราการเปลี่ยนแปลงของจํานวนตอนตนแปรผันตามจํานวนตอนตน (dN/dt = -λN)
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 10
tλeNN −= 0
( )01022.0
50
6.0ln
6.0
6.0 and 50 When50
00
0
≈−=
=
==
−
λ
eNN
NNt
λ
การยอยสลาย� พิสูจนวาครึ่งชีวิตของสารกัมมันตภาพรังสี = ln2/λ และหาครึ่งชีวิตของสารดังกลาว
� N0/2 = N0e-λt � t = ln2/ λ� ln2/.01022 = 67.82 วัน
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 11
การโตในสภาวะธรรมชาติ (logistic growth)� ในความเปนจริงนั้นอัตราการเติบโตของประชากรจะชาลงเนื่องจากแรงตานทางธรรมชาติ (อาหารไมเพียงพอ ผูลาเพิ่มขึ้น ฯลฯ)� อัตราการเติบโตแบบธรรมชาติ
� dN/dt = kN(M-N)/M =KN(M-N)� (M-N)/M = แรงตานของสภาพแวดลอม� M = ความจุสูงสุดของประชากร� k/M = K = คาคงที่
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 12
การโตในสภาวะธรรมชาติ (logistic growth)
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 13
การโตในสภาวะธรรมชาติ (logistic growth)� กําหนดให
� N/(M-N) = eMKteMC = AeMKt
� N = MAeMKt - NAeMKt
� N = MAeMKt /(AeMKt + 1)� N = M/(1+1/(AeMKt))� ถากําหนดให 1/A = b และ MK = c
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 14
( )C
bua
u
abuau
du+
+=
+∫ ln1
ctbe
MN
−+
=1
การโตในสภาวะธรรมชาติ (logistic growth)� พิสูจนวาเวลาที่อัตราการเติบโตของประชากรจะสูงสุด (หรือจุดเปลี่ยนเวาของกราฟ) เทากับ lnb/c
� อัตราการเติบโตของประชากร = KN(M-N)� อนุพันธของฟงกชั่นดังกลาว = 0 ที่ N = M/2
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 15
c
bt
be
MMct
ln
12
=
+=
−
การเตบิโตของสมาชิกในสมาคม� จํานวนสมาชิกของสมาคมแหงหนึ่งถูกจํากัดที่ 800 คน หนึ่งปกอนชมรมนี้มีสมาชิก 50 และตอนนี้มีจํานวน 200 สมมติวาอัตราการเติบโตของสมาชิกในชมรมเปนไปโดยสภาวะธรรมชาติ จงหาจํานวนสมาชิกของชมรมดังกลาวหลังจากวันนี้อีกสามป
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 16
การเตบิโตของสมาชิกในสมาคม
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 17
( )15
11
80050
1
,0 and 800 When
=⇒+
=⇒+
=
==
bbbC
MN
tM
t
5lnln151
800200
,200 and 1 When
51 =−=⇒
+=
==
−c
e
Nt
c
( )781
151
8004
51
≈+
=N
กฎการเย็นตวัของนิวตัน� ชายคนหนึ่งถูกฆาตกรรมในบานของเขา ตํารวจมาถึงที่เกิดเหตุเวลาหาทุม อุณภูมิของศพเมื่อตํารวจมาถึงเทากับ 31◦C หนึ่งชั่วโมงหลังจากนั้นอุณภูมิลดลงเหลือ 30◦C อุณภูมิของหองที่พบศพเทากับ 22◦C จงหาเวลาที่ชายคนนี้ถูกฆาตกรรม� กําหนดใหอุณภูมิของศพจะลดลงจาก 37◦C ไปเรื่อยๆจนกระทั่งถึงอุณภูมิของสิ่งแวดลอม ซึ่งอัตราการลดลงของอุณภูมิของศพจะแปรผันตามความแตกตางระหวางอุณภูมิของรางกายและอุณภูมิของสิ่งแวดลอม � dT/dt = k(T-a)
� T = อุณภูมิของรางกาย� a = อุณภูมิของสิ่งแวดลอม
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 18
กฎการเย็นตวัของนิวตัน
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 19
( ) ( )22−=⇒−= Tkdt
dTaTk
dt
dT
( ) CktT
dtkT
dT
+=−
=− ∫∫22ln
22
( ) ( ) 9ln02231ln
,0 and 31 When
=⇒+=−
==
CCk
tT
( ) ktT
InktT =−
⇒+=−9
229ln22ln Hence,
กฎการเย็นตวัของนิวตัน
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 20
( ) ( )9
8ln9ln12230ln
,1 and 30 When
=⇒+=−
==
kk
tT
( )( )( )
34.49/8ln
9/15ln
9
8ln2237ln
, 37 When
−≈=⇒
=−
=
tt
T
ปริพันธไมตรงแบบ (improper integral)� ปริพันธจํากัดเขต ∫b
a f (x) dx จะถูกเรียกวา ปริพันธไมตรงแบบ ถาลิมิตของการหาปริพันธอยางนอยหนึ่งคาเปนอนันต� สมมติวา f(x) มีความตอเนื่องที่ชวง [a,∞)
� ปริพันธไมตรงแบบดานบนจะเรียกวา ลูเขา (convergent) ถาลิมิตนั้นหาคาได แตถาลิมิตหาคาไมได จะเรียกปริพันธไมตรงแบบดานบนวาเปนชนิด ลูออก (divergent)
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 21
( ) ( )dxxfdxxfr
ar
a
lim ∫∫ ∞→
∞
=
ปริพันธไมตรงแบบ (improper integral)� ถา f(x) มีความตอเนื่องที่ชวง (-∞,b]
� ถา f ตอเนื่องที่ทุก ๆ จุดบนชวง (−∞,∞) และ a∈(−∞,∞)
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 22
( ) ( )dxxfdxxf
b
rr
b
lim ∫∫ −∞→∞−
=
( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfa
a
∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
+=
ลูเขาหรือลูออก
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 23
2
1
2
10
2lim lim
1 a.
1
2
1
3
1
3=+−=
−==
−
∞→
−
∞→
∞
∫∫r
r
r
r
xdxxdx
x
[ ] 1lim lim b.0
00
===−∞→−∞→
∞−
∫∫ rx
rr
x
r
x edxedxe
[ ] ∞===∞→
−
∞→
∞
∫∫r
r
r
rxdxxdx
x1
2/1
1
2/1
1
2lim lim 1
c.
ฟงกชั่นความหนาแนน (density function)� f(x) จะเปนฟงกชัน่ความหนาแนน ถา f(x) ≥ 0 และ
� ตัวอยาง: หาคา k ถา f(x) เปนฟงกชั่นความหนาแนน และ
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 24
( ) 1 =∫∞
∞−
dxxf
( ) ≥
=
−
elsewhere 0
0 for xkexf
x
ฟงกชั่นความหนาแนน (density function)
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 25
( ) ( )
[ ] 11lim1lim
101
0
0
00
0
=⇒=−⇒=
=+⇒=+
−
∞→
−
∞→
∞
−
∞
∞−
∫
∫∫∫
kkedxke
dxkedxxfdxxf
rx
r
r
x
r
x
ความหนาแนนของความนาจะเปน� ถา X เปนตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง
� เราจะสนใจเฉพาะความนาจะเปนที่ X จะอยูบนชวงใดๆ มากกวาความนาจะเปนที่ X จะมีคาใดๆ (ความนาจะเปนนอยมาก)� P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b)
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 26
( ) ( )∫=≤≤
b
a
dxxfbXaP
ความหนาแนนของความนาจะเปน� ถา X เปนตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง ฟงกชั่นความหนาแนนของความนาจะเปนของ X จะมีคุณสมบัติดังตอไปนี้
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 27
( )
( )
( ) ( )∫
∫
=≤≤
=
≥
∞
∞−
b
a
dxxfbXa. P
dxxf.
x. f
3
1 2
01
การแจกแจงความหนาแนนแบบเอกรูป (uniform density distribution)� หา P(2 < X < 3) ถา
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 28
( )
≤≤−=
otherwise0
b a if1
xabxf
( ) ( )
ababab
x
dxab
dxxfXP
−=
−
−=
−=
−==≤≤ ∫∫
123
1
32
3
2
3
2
3
2
ความหนาแนนแบบเอ็กซโพเนนเชียล� หา P(2 < X < 3) และ P(X > 4) ถา
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 29
( )
<
≥=
−
0 if0
0 if
x
xexf
x
ความหนาแนนแบบเอ็กซโพเนนเชียล
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 30
( )
086.0)(
32
3223
32
3
2
≈−=−−−=
==<<
−−−−
−−
∫
eeee
edxeXP xx
( )
018.001
lim
lim 4
44
44
≈+=
+−=
==>
−−
∞→
−
∞
∞→
−
∫∫
eee
dxedxeXP
rr
rx
r
x
คาเฉลีย่และความแปรปรวน� หาคาเฉลี่ยและความแปรปรวนของ
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 31
( ) ≤≤
=otherwise 0
20 if 21 xx
xf
( )3
4
6
2
1 Mean,
2
0
32
0
=
=
== ∫∫
∞
∞−
xdxxxdxxxfµ
( )9
2
9
16
83
4
2
1
2
0
422
0
2222=−
=
−
=−= ∫∫
∞
∞−
xdxxxµdxxfxσ
การแจกแจงปรกติ (normal distribution)� ตัวแปรสุมตอเนื่อง X จะมีการแจกแจงปรกติถาฟงกชั่นความหนาแนนของ X เปนดังนี้
� ตัวแปรสุมตอเนื่อง Z จะมีการแจกแจงปรกติมาตรฐานถาฟงกชัน่ความหนาแนนของ Z เปนดังนี้
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 32
( ) ( ) ( )[ ]∞<<∞−=
−− xeπσ
xf σµx 2
1 2/2/1
( ) 2/2
2
1 zeπσ
zf −=
ตัวอยาง� กําหนดให X ~ N(600,902)
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 33
( ) 0.95 is 600 of points 1802 =σP
( )
0.997 is 600 of points 270
)3(870 and 330between
=
= σPP
ตัวอยาง� หา P(−2 < Z < −0.5)
� หา z0 ที่ทําให P(−z0 < Z < z0) = 0.9642
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 34
( ) ( )
( ) ( ) 2857.05.02
25.05.02
=−=
<<=−<<−
AA
ZPZP
( ) 4821.09642.02
1=
ใชการแจกแจงปรกตปิระมาณการแจกแจงทวินาม� สมมติวา X ~ Binomial(n = 100, p = .3) ประมาณคา P(X=40)
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 35
( ) ( ) ( )6040
40100 7.03.040 CXP ==
( )
( ) 58.421)7.0(3.0100
303.0100
≈===
===
npqσ
npµ
29.221
305.40 and 07.2
21
305.3921 ≈
−=≈
−= zz
ใชการแจกแจงปรกตปิระมาณการแจกแจงทวินาม
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 36
( ) ( )
( ) ( )
0082.0
4808.04890.0
07.229.2
29.207.240
=
−=
−=
≤≤≈=
AA
ZPXP
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 377/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 377/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 377/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 377/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 37
4/6/2011 Natt Koowattanatianchai 37
7/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 387/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 387/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 387/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 38
�� Email: Email: Email: Email: Email: Email: Email: Email: �� [email protected]@[email protected]@[email protected]@[email protected]@ku.ac.th
�� Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:�� http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmhttp://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm
�� Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: �� 087087087087087087087087-------- 53935255393525539352553935255393525539352553935255393525
�� Office: Office: Office: Office: Office: Office: Office: Office: �� ชั้นชั้นชั้นชั้นชั้นชั้นชั้นชั้น 9 9 9 9 9 9 9 9 ตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจ