COLEGIO MAYOR SECUNDARIOPRESIDENTE DEL PER

BACHILLERATO INTERNACIONALPROGRAMA DEL DIPLOMA

Convocatoria Noviembre 2015

Optimizacin del volumen de un envase de leche Gloria con presentaciones en forma de cilindro y paraleppedo

Candidata: Kely Poccorina Salas SolgorreCdigo: 006822 - 0024Supervisor: Jos Eleuterio Risco Vilcherres

LIMA PER

066822 - 0024

2015

1

NDICE

NDICE.2MOTIVACIN..3INTRODUCCIN...4DESARROLLO..51. reas y volmenes de cuerpos en revolucin...52. La derivada en la optimizacin de una funcin.63. Optimizacin del cilindro..94. Optimizacin del paraleppedo..12CONCLUSIONES....15BIBLIOGRAFA......15

MOTIVACIN

Hay ocasiones en que me pongo a recordar las vivencias de mi infancia. Es inevitable recordar escenas en las cuales mam me enviaba a comprar a la bodega ingredientes para preparar la torta que siempre le peda que hiciera. Recuerdo con gracia que al llegar a la bodega quedaba maravillada por la gran gama de colores y formas que posean los productos que all se encontraban; puesto que, a pesar de tratarse de un solo producto, sus presentaciones segn la marca y la cantidad de su contenido variaban. Desde ese entonces, este acontecimiento llamaba mi atencin. Es as que, cotidianamente es comn la compra de insumos para nuestra alimentacin; debido a que, es esencial para nuestra supervivencia y complacencia como seres humanos. Tal es el caso de la leche, un producto empleado para cualquier momento del da. Por esta razn, diversas marcas empresariales la promocionan y con diversas presentaciones atractivas a la vista del cliente. Un claro ejemplo es la conocida marca Gloria, que actualmente tiene vigente en el campo comercial presentaciones tales como leche en lata y en tetra pack. Dichas presentaciones captan la atencin de las personas de diversas formas. Las matemticas tienen mucha implicancia en nuestra vida diaria, por ello, desde esta perspectiva EN ESTE EXPLORACION MATEMATICA buscar INVESTIGAR SOBRE las medidas ideales u ptimas para DISEAR LOS ENVASES DE dichos productos.}

INTRODUCCIN.

Geomtricamente, la presentacin en lata de la leche gloria tiene forma de un cilindro y la presentacin en tetra pack forma de un paraleleppedo; dos figuras muy conocidas. Como se sabe, el cilindro es un cuerpo geomtrico formado por una superficie lateral curva y cerrada y dos planos paralelos que forman sus bases; en especial el cilindro circular y el paraleppedo que es un poliedro de seis caras.Es por este motivo que tomando datos reales, se buscar las medidas ptimas de los envases de leche con presentacin en lata para una capacidad de 410 g (leche gloria grande comnmente llamado), e igualmente las medidas ptimas en presentacin de tetra pack de 1L de capacidad. De este modo, al determinarse las medidas ideales de los envases podrn contrastarse con los datos reales de su fabricacin y constatar la implicancia e importancia de las matemticas en nuestra cotidianidad.Por todo lo mencionado en la presente exploracin matemtica se realizar la optimizacin del cilindro y del paraleppedo en funcin de las condiciones de capacidad que se manifest anteriormente.

DESARROLLO1. reas y volmenes de cuerpos en revolucin

Volumen de un cilindroUn cilindro de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pertenecen a un segmento de recta perpendicular a ambos crculos, y por una superficie que las rodea por su borde.El volumen de un cilindro recto de base circular de radio r y altura h se obtiene multiplicando el rea de la circunferencia basal por la altura h. Sabemos que el rea de un crculo de radio r es: A crculo = r2El volumen del cilindro cuya base es el crculo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el rea de dicho crculo por la altura del cilindro, es decir:V cilindro = A crculo hO sea: Cabe resaltar que, el rea del cilindro est dada por la suma de las dos tapas ms la suma del desarrollo del cilindro.rh

Tapa (el cilindro consta de dos tapas)Desarrollo del cilindro

Volumen de un paraleppedoUn paraleppedo es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas (caras basales) y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras laterales son perpendiculares a la altura del cuerpo entonces se le denomina paraleppedo recto sino es un paraleppedo oblicuo.El volumen del paraleleppedo recto se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes a un vrtice. Por ejemplo, si las aristas de un paraleleppedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen del mismo se obtiene multiplicando 2 3 6:V paraleleppedo = (2 cm 3 cm 6 cm) = 36 cm3Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vrtice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a travs de la frmula:

cba

2. La derivada en la optimizacin de una funcin

a) Mximos y mnimosSea f una funcin de variable real. Tiene un mximo absoluto si

Sea f una funcin de variable real. Tiene un mnimo absoluto si

b) Mximos y mnimos relativos

Se dice que la funcin tiene un mximo relativo en el punto c Dom (f), si existe un intervalo I Dom(f ) tal que

Se dice que la funcin tiene un mnimo relativo I Dom(f ) tal que

Criterio de la primera derivada para calcular extremos relativosSea f una funcin continua en (a;b) y derivable en (a;b), excepto quizs en c (a;b); entonces: i) Si ; entonces c corresponde a un valor mximo relativo de f(x).ii) Si ; entonces c corresponde a un valor mnimo relativo de f(x).Criterio de la segunda derivada para calcular extremos relativosSea c Dom(f) un punto crtico de la funcin (es decir, f(c) = 0), y sea f derivable en un intervalo abierto que contiene a c. Entonces, si f(c) existe y es diferente de cero se tiene:i) Si f(c) < 0, entonces c corresponde a un mximo relativo.ii) Si f(c) > 0, entonces c corresponde a un mnimo relativo.Interpretacin grfica:Mximo relativo:

Mnimo relativo:

Ningn extremo:

Concavidad y punto de inflexin Definicin. Una funcin es cncava hacia arriba (convexa) en (a;b) si f(x) > 0, x (a;b).Definicin. Una funcin en cncava hacia abajo (cncava) en (a;b) si f(x) < 0, x (a;b).Definicin. Un nmero c Dom(f) es un punto de inflexin de f si:i) f(c) = 0ii) f(c) no existe

es convexa en el intervalo (a;b) es cncava en el intervalo (b;c) es el punto de inflexin

3. Optimizacin del cilindro.

Breve explicacin del que se va a hacerEn primer lugar como se trabajar con datos reales y la capacidad de la lata de leche est expresado en gramos es conveniente convertir las unidades de g a mL:

Despus de ello; debemos tener en cuenta frmulas como:Volumen del cilindro Superficie total de cilindro (que es la suma de las dos tapas ms el desarrollo del cilindro)

Para la facilidad del desarrollo y la resolucin del problema, despejamos a un sola variable con la ayuda del dato inicial del volumen requerido, que es de 398, 06 mL.

Despejando: De esta forma obtenemos h en funcin de r, entonces, podemos reemplazar h en la frmula de superficie.S(r) = Simplificando, obtendremos lo siguiente:

Adems, ello indica la cantidad de material en funcin del radio y a partir de ello podremos adems calcular el mnimo y el mximo.Para una mayor familiaridad, hacemos un cambio de variable: r = x Entonces:

El siguiente paso es derivar la funcin:

Para hallar mximos y mnimos:f (x) = 0

Entonces:

Para poder saber si este valor es el mximo o el mnimo de la funcin, analizaremos la positividad de la funcin sacando la segunda derivada a la funcin e igualando al valor obtenido.

Como la derivada en 3, 99 es positiva, la concavidad es hacia arriba, por lo cual la funcin tiene un mnimo en 3, 99.Como ya hallamos el radio del cilindro, tenemos que hallar la otra dimensin que es altura.

Altura del cilindro: 7, 96Las dimensiones del cilindro deben ser: Radio = 3, 99 cmAltura = 7, 96 cmExplicacin de los resultados Datos obtenidos en la optimizacin :Radio = 3, 99 cmAltura = 7, 96 cm Datos reales obtenidos en una medicin con una regla 0, 05Radio = 3, 5 cmAltura = 9, 5Al contrastar los datos obtenidos a travs del proceso de optimizacin con los datos reales del envase de leche gloria en presentacin de lata (forma de cilindro), los cuales se consiguieron empleando en la medicin una regla que posea incertidumbre de 0,05. Se puede observar en la proporcin de sus dimensiones que: en cuanto al radio, la medida obtenida en la optimizacin es mayor a la real, mientras que en la altura, la medida obtenida mediante la optimizacin es menor a la real.Cabe resaltar que las medidas reales fueron tomados obviando la parte superior e inferior sobresalientes del envase, ya que, no perteneca a la parte que contena realmente la leche. En este sentido, un aspecto importante a tomar en cuenta para dicha variacin, es que los 450 g () de leche, volumen requerido para las proporciones halladas en la optimizacin, no llenaban el envase totalmente. Mientras que, al optimizar el cilindro en el presente trabajo, las dimensiones obtenidas del envase son consideradas las ptimas o ideales, puesto que, el volumen requerido debera llenar el envase con exactitud.Por otro lado, a pesar de que las diferencias existentes entre las medidas tomadas en la vida real y las obtenidas despus del proceso de optimizacin; las medidas son muy prximas.

4. Optimizacin del paraleppedoSiguiendo trabajando con datos reales, por lo cual el volumen ser 1 L cba

Para trabajar con datos similares a la optimizacin anterior, las unidades sern en mL

Entonces tenemos:

Cabe aclarar que: sean a es ancho, b la altura y c el largo.Con la intensin de obtener nicamente dos variables en la operacin a realizar:

Para la correcta optimizacin necesitamos las siguientes frmulas:Para el volumen:

Para el rea:

Reemplazamos en la frmula del volumen con el volumen requerido y de esta manera obtenemos una ecuacin el valor de c en funcin de a:

Utilizamos la frmula del rea desarrollado anteriormente:

Sacamos la primera derivada:

Igualamos la primera derivada a cero (0):

Con el valor de a, reemplazamos para hallar el valor de b y c:Para el valor de b:

Para el valor de c:

Entonces, los valores de las dimensiones son las siguientes

Explicacin de los resultados Datos obtenidos mediante la optimizacin:Altura = 14, 42Ancho = 7, 21Largo: 9, 62 Datos reales obtenidos en una medicin con una regla 0, 05Altura = 16, 50Ancho = 5, 90Largo = 9, 10Al comparar los valores obtenidos al optimizar el paraleppedo, con los valores reales obtenidos a partir de la medicin del envase de tetra pack con una regla que posea incertidumbre de 0, 05, podemos observar que los valores de la optimizacin son prximos a los reales. No obstante, los datos cualitativos registrados, las observaciones, indican que al igual que el caso del envase de lata (cilindro) el contenido requerido no llenaba el envase; y como precisamos anteriormente, mediante la optimizacin realizada se busc hallar las mediadas ptimas para el volumen requerido.Es por ello que, aunque las medidas obtenidas con la optimizacin no son iguales a las medidas reales, tampoco guardan una diferencia significativa, puesto que los datos son prximos. Asimismo, como ya se aludi, el que exista haya un espacio sobrante, amplifica el tamao de estos contenedores hacindolo ms llamativo a la vista del cliente, hecho que justifica las medidas.

CONCLUSIONESEn conclusin, como se ha podido apreciar a lo largo del desarrollo del trabajo; mediante la optimizacin se ha logrado hallar las proporciones ideales para el volumen del contenido requerido. En este caso el volumen del envase de leche, tanto en su presentacin de lata (forma cilndrica), como en su presentacin de tetra pack (forma paralelepipdica). Respecto al resultado, se evidenciaron pequeas variaciones, es decir, las medidas obtenidas mediante la optimizacin en contraste con las medidas reales no eran iguales, en cada caso. Sin embargo, se proporcion explicacin a tales variaciones, las cuales dicho sea de paso, no eran significativas. Por ello, se puede decir que las matemticas siempre estn presentes en nuestra cotidianidad, y que responden a preguntas que tiene lugar en nuestra mente; cuestiones inherentes al hombre, debido a que el ser humano por naturaleza busca darle explicacin a todo lo que ocurre alrededor suyo.Asimismo, recalcando que este trabajo se abord a partir de un caso de la vida real; considero que el desarrollo fue muy enriquecedor. Me permiti entender ms y arraigar los conocimientos que posea sobre el criterio de la primera derivada, el criterio de la segunda derivada, puntos de inflexin, los mximos y mnimos en una funcin, entre otros; y de una forma mucho ms interactiva, debido a que fue un tema que llamaba mi curiosidad. Despus de indagar ms sobre el tema, tambin he podido darme cuenta que las empresas requieren que los envases que contienen sus productos posean medidas con las cuales puedan ahorrar material, y por ende economa. Claro ejemplo de esta necesidad de ahorro son las nuevas botellas de gaseosa, chicha, entre otros, que actualmente estn vigentes en nuestro mercado. Dichos envases son mucho ms delgados en comparacin a los envases de tiempos pasados. Por ello el encontrar las medidas ptimas de un envase est muy ligado al factor econmico y empresarial.Antes de culminar esta exploracin, considero necesario hacer mencin que despus de indagar sobre la optimizacin de envases con forma regular, observ que hay envases de productos comerciales que rompen este esquema y poseen formas irregulares, las cuales son mucho ms llamativas a la vista del cliente. Por esta razn, surgi un tpico interesante que deja abierta las puertas para futuras investigaciones, como es la optimizacin del envase (botella) de chicha de la marca gloria, el cual posee una forma irregular.

BIBLIOGRAFAStewart, J. (2008). Clculo de una variable: Trascendentes tempranas Sexta edicin. Cengage Learning Editores: Canad.Huerta, C. (s.f). Derivadas.13