1 KOMPARASI EFEKTIVITAS, EFISIENSI, DAN KEAMPUHAN METODE NEWTON, LAGRANGE, HAMILTON DAN HAMILTON- JACOBY DALAM MERUMUSKAN PERSAMAAN GERA K BENDA (The Compa ri s on of E ffectiveness , E ffici ency a nd Capa bilt y bet wee n the N ewt on, L ag rang e, H a milt on, and H a milt on-J a c oby‘s Methods i n Fo r mula tin g the E quation of Motion ) I Gede Rasagama Unit Pelayanaan Mata Kuliah Umum –Politeknik Negeri Bandung Jln. Gegerkalong Hilir Ds. Ciwaruga Bandung 40551 Abstract This research attempts to elaborate the comparison of the motion equation formulation within 4 methods, i.e. Newton, Lagrange, Hamilton and Hamilton Jacoby. Three different cases are involved in applying the four methods. These cases are among others about the motion of aliance, rolling motion and harmonic oscillations. Observation and analysis have been carried out at every formulating level for each method to obtain general view of effectiveness and efficiency as well as capability. The purpose of this research is to identify the capability of each mehod in overcoming the cases. The result showed that (1) The Hamilton Method has the highest level of effectiveness, which has the same level as that of Lagrange, (2) The Hamilton Method has the highest level of efficiency, and (3) The Hamilton Jacoby h as the lowest level of effectivity, efficiency and capability Key words: Equation of Motion, Newtonian, Lagrangian, Hamiltonian, Hamilt on-Jacoby. PENDAHULUAN Dalam kajian gerak dikenal beberapa istilah seperti partikel (titik materi), gabungan bebe- rapa partikel (sistem materi), benda tegar dan sistem mekanis. Sistem mekanis adalah sistem di mana bagian-bagiannya mempunyai kaitan mekanis satu sama lain [Soedojo,P, 1985]. Sistem mekanis dapat berwujud himpunan titik materi atau kerangka yang tersusun atas sejumlah benda tegar dengan pola yang dapat berubah-ubah. Hukum Newton dalam meka- nika, hanya mengatur tentang gerak titik materi dan himpunan titik materi. Tampak setiap istilah memiliki pengertian berbeda. Jika seorang analis telah memahami betul semua istilah tersebut, maka analis tersebut akan mengetahui konsekuensi-konse- kuensi yang timbul, setelah suatu kajian dike- lompokkan ke dalam salah satu istilah di atas. Kajian setiap istilah akan memunculkan cara perumusan persam aan gerak y ang berbeda. Persamaan gerak merupakan persamaan mate- matis yang dirumuskan untuk merangkum infor- masi-informasi, terkait dengan gejala atau fenomena gerak yang dialami oleh suatu benda. Setiap persamaan gerak akan mengandung dua informasi penting, antara lain penyebab benda bergerak dan perubahan keadaan benda akibat adanya penyebab gerak tersebut. Cara untuk merumuskan persamaan gerak benda adalah dengan menerapkan hukum-hukum fisika berda- sarkan informasi keadaan benda. Penyelesaian terhadap persamaan gerak akan menghasilkan satu informasi tentang keadaan benda. Informasi lainnya dapat ditelusuri dengan menerapkan analisis kalkulus berupa m etode def erensial dan integral [Sutrisno, 1986].
JACOBY DALAM MERUMUSKAN PERSAMAAN GERAK BENDA
(The Comparison of Effectiveness , Efficiency and Capabilty between
the Newton, Lag range, Hamilton, and Hamilton-J acoby ‘s
Methods in Formulating the Equation of Motion)
I Gede Rasagama
Unit Pelayanaan Mata Kuliah Umum – Politeknik Negeri
Bandung Jln. Gegerkalong Hilir Ds. Ciwaruga Bandung 40551
Abstract
This research attempts to elaborate the comparison of the motion
equation formulation within 4 methods, i.e. Newton, Lagrange,
Hamilton and Hamilton Jacoby. Three different cases are involved in
applying the four methods. These cases are among others about the
motion of aliance, rolling motion and harmonic oscillations.
Observation and analysis have been carried out at every formulating
level for each method to obtain general view of effectiveness and
efficiency as well as capability. The purpose of this research is
to identify the capability of each mehod in overcoming the cases.
The result showed that (1) The Hamilton Method has the highest
level of effectiveness, which has the same level as that of
Lagrange, (2) The Hamilton Method has the highest level of
efficiency, and (3) The Hamilton Jacoby has the lowest level of
effectivity, efficiency and capability
Key words : Equation of Motion, Newtonian, Lagrangian,
Hamiltonian, Hamilton-Jacoby.
PENDAHULUAN
Dalam kajian gerak dikenal beberapa istilah seperti partikel (titik
materi), gabungan bebe- rapa partikel (sistem materi), benda tegar
dan sistem mekanis. Sistem mekanis adalah sistem di mana
bagian-bagiannya mempunyai kaitan mekanis satu sama lain
[Soedojo,P, 1985]. Sistem mekanis dapat berwujud himpunan titik
materi atau kerangka yang tersusun atas sejumlah benda tegar dengan
pola yang dapat berubah-ubah. Hukum Newton dalam meka- nika, hanya
mengatur tentang gerak titik materi dan himpunan titik
materi.
Tampak setiap istilah memiliki pengertian berbeda. Jika seorang
analis telah memahami betul semua istilah tersebut, maka analis
tersebut akan mengetahui konsekuensi-konse- kuensi yang timbul,
setelah suatu kajian dike- lompokkan ke dalam salah satu istilah di
atas.
Kajian setiap istilah akan memunculkan cara perumusan persamaan
gerak yang berbeda.
Dalam buku-buku mekanika klasik disebutkan bahwa ada empat metode
yang dapat digunakan untuk merumuskan persamaan gerak, antara lain
metode Newton, metode Lagrange, metode Hamilton, dan metode
Hamilton-Jacoby. Metode Newton banyak menerapkan konsep vektor,
tiga metode lainnya banyak menerapkan konsep matematika, teru- tama
konsep deferensial parsial. Metode Hamilton-Jacoby merupakan metode
yang paling rumit dan untuk memahaminya perlu keterampilan berpikir
kritis dan kreatif.
Metode Newton dapat diterapkan pada gerak translasi. Dalam
perkuliahan Fisika Dasar, persamaan gerak untuk gerak rotasi
disebut persamaan dinamika rotasi, yang sebenarnya dapat dirumuskan
dari persamaan Newton. Pada metode Newton, analisa awal terfokus
pada gaya-gaya sebagai penyebab benda bergerak translasi. Pada
dinamika rotasi, analisis awal terfokus pada torka-torka sebagai
penyebab benda bergerak rotasi. Persamaan Newton untuk gerak
translasi dan persamaan dinamika gerak rotasi berbentuk [Halliday,
D., dkk., 1978].
F = m a dan . I
….………………….. 1)
Keterangan : F : gaya resultan
I : momen inersia : percepatan
anguler.
Persamaan Lagrange merupakan formulasi yang merepresentasikan
hukum-hukum gerak Newton yang dapat memakai koordinat- koordinat
sembarang dan tidak terikat untuk satu jenis sistem
koordinat.
Metode Lagrange
lk l l
di mana :
L : fungsi Lagrange, yaitu selisih energi kinetik dengan energi
potensial benda.
k q
waktu.
q j : koordinat umum yaitu koordinat yang dapat berupa
koordinat kartesius, koordinat polar, koordinat silinder, koordinat
bola, dan lain-lainnya.
l : pengali Lagrange, yaitu besaran fisika
yang
nantinya dapat dieleminasi untuk mendapat solusi persamaan
gerak.
lk a : tetapan-tetapan koordinat yang ada dalam
persamaan holonomik (persamaan yang mengandung koordinat-koordinat,
di mana satu sama lain tidak saling bebas, yang berguna untuk
menjelaskan keadaan benda).
: turunan pertama koordinat umum terhadap
waktu. H : fungsi Hamilton, yaitu jumlah energi kinetik dan energi
potensial benda.
Pi : momentum umum, yaitu komponen momentum yang terkait
koordinat umum bersangkutan.
l :pengali Lagrange, yaitu suatu besaran
fisika
yang nantinya dieleminasi untuk mendapatkan persamaan gerak.
k : fungsi keadaan yang bergantung pada
),,( t pq ii .
waktu.
Hamilton Jacoby dalam Merumuskan Gerak Benda (I Gede
Rasagama)
Persamaan Hamilton Jacoby merupakan formulasi lanjutan dari
persamaan Hamilton. Metode Hamilton-Jacoby mengawali analisisnya
dengan melakukan transformasi ruang fase (koordinat) bagi fungsi
Hamilton dalam persamaan Hamilton, untuk memperoleh fungsi Hamilton
dalam persamaan Hamilton- Jacoby. Salah satu persamaan Hamilton-
Jacoby dituliskan dalam bentuk persamaan 4 [Soedojo,P, 1985]
.
0),,(
di mana :
F : fungsi generasi, yaitu fungsi yang membangkitkan atau
menyebabkan fungsi Hamilton di ruang fase baru (untuk persamaan
Hamilton-Jacoby) berharga nol.
Berdasarkan penjelasan di atas, nampak bahwa setiap metode memiliki
bentuk rumus berbeda, memakai jenis besaran-besaran Fisika berbeda,
dan memiliki langkah-langkah atau prosedur perumusan berbeda.
Setiap metode memiliki karakteristik yang khas. Komparasi tingkat
efektivitas, efisiensi, dan keampuhan antar metode akan
menghasilkan diskripsi keung- gulan-keunggulan,
kelemahan-kelemahan, dan perbedaan keampuhan setiap metode dalam
memecahkan suatu kasus gerak. Hal ini merupakan kajian yang
menarik, di mana pem- bahasan semacam ini tidak diketemukan dalam
buku-buku mekanika klasik. Hasil kajian ini dapat bermanfaat
sebagai referensi bagi dosen yang bertugas mengajar mata kuliah
mekanika klasik dan mahasiswa yang sedang mengambil mata kuliah
mekanika klasik. Secara opera- sional, permasalahan penelitian
dijabarkan sebagai berikut.
Apakah bentuk persamaan gerak sebagai hasil penerapan setiap
metode ?
Apakah konsep Fisika yang melatar- belakangi munculnya
setiap metode ?
Bagaimana cara kerja setiap metode dalam merumuskan
persamaan gerak ?
Berapa banyak tahapan penyelesaian yang diperlukan oleh
setiap metode ?
Berapa banyak besaran Fisika yang dilibatkan oleh setiap
metode ?
Bagaimana komparasi tingkat efektivitas antar metode pada
setiap kasus ?
Bagaimana komparasi tingkat efisiensi antar metode pada
setiap kasus ?
Bagaimana komparasi tingkat keampuhan setiap metode pada
semua kasus?.
METODE
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur.
Masalah penelitian dan pemecahan masalah bersumber pada kajian
literatur. Untuk bahan analisis, peneliti menerapkan keempat metode
pada satu kasus setipe, dalam tiga kasus gerak berbeda, antara lain
:
Gerak gabungan, di mana dalam sistem ada dua beban
bertranslasi dan satu katrol berotasi.
Gerak menggelinding bola pejal pada bidang miring.
Getaran harmonis beban yang tergantung pada pegas ujung
tetap.
Alasan pemilihan ketiga kasus di atas adalah berikut ini.
Kasus pertama, karena kasus ini mengandung dua jenis gerak
(translasi dan rotasi) yang dilakukan oleh benda berbeda. Kasus
kedua, karena dalam kasus ini ditemukan sebuah benda melakukan
gerak rotasi dan gerak translasi secara simultan. Kasus ketiga,
karena jenis gerak yang dialami benda termasuk gerak translasi yang
bersifat periodik atau berkala. Berdasarkan pemi- lihan kasus-kasus
yang beragam ini, diharapkan aplikasi keempat metode akan
memberikan infor- masi dari proses awal sampai proses akhir, yang
berbeda secara signifikan.
Tingkat efektivitas setiap metode diukur secara kualitatif
berdasarkan ketepat-gunaan.
r mK
m1 m2
x a=
suatu metode dalam menyelesaikan suatu kasus. Semakin tepat-guna
suatu metode untuk memperoleh persamaan gerak yang diinginkan maka
ketepatan metode tersebut semakin tinggi. Tingkat efisiensi setiap
metode diukur secara kualitatif berdasarkan cara kerja, jumlah
tahapan penyelesaian, jumlah besaran fisika yang dilibatkan dalam
merumuskan persamaan gerak. Semakin sederhana cara kerja suatu
metode, semakin sedikit jumlah tahapan penyelesaian, dan semakin
banyak besaran fisika yang dilibatkan maka metode tersebut semakin
efisien. Tingkat keampuhan setiap metode diukur secara kualitatif
berdasarkan keberhasilan setiap metode merumuskan persamaan gerak
untuk semua kasus yang harus diselesaikan. Semakin banyak tipe
kasus yang dapat dipecahkan, semakin ampuh metode tersebut.
Prosedur penelitian dibagi dalam lima tahap, yaitu :
Kegiatan awal penelitian. Dalam tahap ini peneliti mengumpulkan
informasi-informasi tentang meto- de Newton, metode Lagrange,
metode Hamilton dan metode Hamilton Jacoby melalui buku-buku
referensi.
Kajian literatur. Informasi yang telah terkumpul dalam beberapa
referensi terkait digunakan untuk mendapatkan penjelasan tentang
setiap metode yang hendak diterapkan pada persoalan gerak benda.
Peneliti juga mempelajari contoh-contoh penerapan keempat metode
pada kasus-kasus yang disajikan dalam referensi terkait.
Penerapan setiap metode. Dalam tahap ini, setiap metode diterapkan
pada setiap kasus secara bergantian sehingga diperoleh penyelesaian
persamaan gerak per kasus per metode.
Analisis data. Analisis dilakukan terhadap proses
penyelesaian dan hasil penerapan setiap metode. Fokus analisis
diarahkan pada variabel terikat penelitian.
Kesimpulan. Hasil komparasi digunakan untuk menarik sejumlah
kesimpulan yang terkait dengan masalah penelitian.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penerapan keempat metode pada setiap kasus menghasilkan bentuk
persamaan gerak, seperti ditunjukkan tabel 1, lengkap dengan
penyelesaian persamaan geraknya.
Berdasarkan tabel-1, nampak penerapan metode Newton, metode
Lagrange dan metode Hamilton pada kasus yang sama menghasilkan
bentuk persamaan gerak yang berbeda, namun meng- hasilkan
penyelesaian persamaan gerak yang sama. Metode Hamilton-Jacoby
menghasilkan persamaan gerak dan penyelesaian persamaan gerak agak
berbeda. Pada kasus III, nampak me- tode Hamilton-Jacoby memberikan
perumusan yang rumit namun lengkap, tidak demikian terhadap kasus I
dan II. Ini berarti metode Hamilton-Jacoby hanya cocok untuk
analisis gerak benda bersifat periodik.
Hamilton Jacoby dalam Merumuskan Gerak Benda (I Gede
Rasagama)
cukup banyak, antara lain perpindahan linier, perpindahan anguler,
kecepatan anguler, momen- tum linier, dan energi. Cara kerja metode
Hamilton-Jacoby tidak hanya sampai sampai pada perumusan persamaan
gerak, melainkan secara langsung menampilkan penyelesaian dari
persamaan gerak. Ini berarti, metode Hamilton- Jacoby merumuskan
persamaan gerak dan
penyelesaiannya secara simultan. Jenis penyelesaiannya berbentuk
perpindahan benda, di mana jenis besaran ini merupakan besaran
paling sederhana dalam bidang kinematika. Ini menunjukkan metode
Hamilton-Jacoby memberi informasi paling lengkap. Hasil observasi
dan analisis terhadap aplikasi keempat metode ditunjukkan oleh
tabel 2.
Tabel 1 Persamaan Gerak Hasil Aplikasi keempat Metode dan
Solusinya
No Metode Persamaan Gerak sebagai Hasil Perumusan Langsung dan
Solusinya
Kasus I Kasus II Kasus III
1 Newton
a= .r
3 Hamilton
)( 21 mm
21
Tidak dapat diterapkan
P H ;
Keterangan :
- Tanda titik di atas variabel menyatakan deferensial terhadap
waktu. - Simbol g menyatakan percepatan gravitasi Bumi.
Tabel 2 Hasil Analisis Variabel Bebas untuk Setiap Variabel Terikat
Penelitian
Variabel Terikat Variabel Bebas
Newton Lagrange Hamilton Hamilton-Jacoby
1 Konsep Dasar Fisika yang melatar belakangi
Pernyataan hasil observasi bahwa resultan gaya yang sebanding
dengan
Hasil manipulasi matematis Hukum Kedua Newton dan dinyatakan
dalam
Hasil manipulasi metode Lagrange yang dilatar belakangi
pentingnya
Metode pelengkap / lanjutan metode Hamilton, karena metode Hamilton
belum memberikan solusi tuntas.
Hamilton Jacoby dalam Merumuskan Gerak Benda (I Gede
Rasagama)
perumusan setiap metode
pemunculan besaran impuls dan momentum dalam persamaan.
2 Cara kerja setiap metode dalam merumuskan
persamaan gerak benda
-(1) Diskripsi masalah dengan gambar dan data- data besaran fisis.
-(2) Perumusan resultan gaya yang bekerja pada benda atau sistem.
-(3) Penerapan persamaan bahwa resultan gaya sama dengan massa
dikalikan percepatan benda.
Untuk kasus tertentu dibantu dengan 2 tahapan berikut : -(4)
Perumusan resultan torka yang bekerja pada benda atau sistem -(5)
Penerapan persamaan dinamika rotasi bahwa resultan torka sama
dengan momen inersia dikalikan percepatan anguler benda.
-(1) Diskripsi masalah dengan gambar dan koordinat benda- benda
dalam sistem. -(2) Perumusan persamaan konstrain sbg wujud
keterkaitan antar koordinat dalam sistem. -(3) Perumusan fungsi
Lagrange yaitu energi kinetik dikurangi energi potensial sistem.
-(4) Substitusi fungsi Lagrange ke persamaan Lagrange. -(5)
Perumusan percepatan tiap benda dari hasil substitusi fungsi
Lagrange dan persamaan kaitan antar koordinat sistem.
-(1) Diskripsi masalah dengan gambar dan koordinat benda- benda
dalam sistem. -(2) Perumusan persamaan sbg wujud kaitan antar
koordinat dalam sistem. -(3) Perumusan fungsi Hamilton yaitu energi
kinetik ditambah energi potensial sistem. -(4) Substitusi fungsi
Hamilton ke persamaan Hamilton yang secara langsung mendefinisikan
kecepatan benda dan momentum sistem. -(5) Perumusan percepatan tiap
benda sebagai hasil substitusi fungsi Hamilton dan persamaan kaitan
antar koordinat sistem.
-(1) Diskripsi masalah dengan gambar dan koordinat benda- benda
dalam sistem -(2) Perumusan fungsi Hamilton yaitu energi kinetik
ditambah energi potensial sistem. -(3) Pemilihan bentuk fungsi
transformasi dari ruang fase lama ke ruang fase baru. -(4)
Substitusi bentuk fungsi transformasi ke fungsi Hamilton ruang fase
lama sehingga diperoleh fungsi Hamilton ruang fase baru. -(5)
Perumusan salah satu fungsi pembangkit. -(6) Substitusi fungsi
pembangkit pada suatu persamaan untuk merumuskan besaran-besaran
dalam ruang fase lama sebagai fungsi dari besaran-besaran dalam
ruang fase baru. -(7) Pendiskripsian besaran- besaran dalam ruang
fase baru dengan besaran-besaran yang menjelaskan keadaan sistem.
-(8) Substitusikan kembali
besaran-besaran dalam ruang fase baru ke persamaan transformasi
untuk menyatakan besaran-besaran di ruang fase lama dengan
besaran-besaran dalam sistem.
3 Jumlah tahapan penyelesaian setiap metode dalam
merumuskan
persamaan gerak benda
4 Jumlah besaran Fisika yang dilibatkan setiap metode dalam
merumuskan
persamaan gerak benda
Ada 6 (enam) macam, yaitu : gaya, torka, massa, momen
inersia, percepatan linier dan percepatan anguler.
Ada 7 (tujuh) macam, yaitu : energi kinetik, energi
potensial, fungsi Lagrange, pengali Lagrange, massa, percepatan
anguler, dan percepatan linier.
Ada 8 (delapan) macam, yaitu : energi kinetik, energi
potensial, fungsi Hamilton, pengali Lagrange, fungsi keadaan,
massa, percepatan linier dan percepatan anguler.
Ada 11 (sebelas) macam, yaitu : perpindahan dalam dua ruang
fase, momentum dalam dua ruang fase, fungsi Hamilton dalam dua
ruang fase, fungsi pembangkit, kecepatan, massa, energi, dan sudut
fase.
Tingkat Efektivitas Metode dalam Merumuskan Persamaan Gerak untuk
Tiap Kasus
Efektivitas metode Newton terhadap kasus I dan II tergolong rendah.
Kegunaan metode Newton untuk menyelesaikan kasus I dan II harus
dibantu persamaan dinamika rotasi, sehingga metode Newton kurang
lengkap. Efektivitas metode Newton terhadap kasus III tergolong
tinggi, di mana persamaan gerak
dengan efektivitas metode Lagrange. Metode Hamilton Jacoby sangat
tidak efektif pada kasus I dan II, walaupun pada kasus III
tergolong efektif namun tingkat keefektifannya tergolong sangat
rendah. Hasil analisis, tingkat efektivitas diperlihatkan pada
tabel 3.
Tabel 3. Tingkat Efektivitas Keempat Metode Terhadap Ketiga
Kasus
Metode Kasus I Kasus II Kasus III
Newton Rendah Rendah Tinggi Lagrange Tinggi Tinggi Sangat Tinggi
Hamilton Tinggi Tinggi Sangat Tinggi Hamilton Jacoby Tidak efektif
Tidak efektif Rendah
Tingkat efisiensi tertinggi dalam perumusan persamaan gerak
dimiliki oleh metode Hamilton.
Metode Hamilton-Jacoby merupakan metode perumusan persamaan gerak
yang memiliki tingkat efektivitas, tingkat efisiensi dan tingkat
keampuhan paling rendah dibanding metode lainnya.
Satu saran dalam penelitian ini, agar dilakukan penelitian lebih
lanjut tentang aplikasi ke empat metode pada kasus gerak harmonik
non linier dan gerak zat-alir sehingga dasar analisis untuk
perumusan kesimpulan lebih lengkap.
DAFTAR PUSTAKA
Desloge, E.A. (1982), Classical Mechanics, New York: Jhon Wiley and
Sons, p. 349-391.
Goldstein, H. (1980), Classical Mechanics, Massachusetts : Addison
Wesley, p. 35-63 dan 339-377.
Halliday, D., dkk., (1978), Fisika, Jakarta: Erlangga,(Terjemahan
P.Silaban, dkk ) h.111-113 dan 355-364.
Jose, J.V., et.al. (1998), Classical Dynamics, New York: Cambridge,
p. 240-248.
Moeryono (1996), Mekanika, Proyek Pendidikan Tenaga Akademik,
DIKTI, h. 169-177.
Simon, K.R. (1980), Mechanics, Third Edition, Massachusetts:
Addison Wesley, p. 353-396.
Soedojo, P., dkk., (1985), Mekanika Klasik, Edisi Pertama,
Yogyakarta: Liberty, h. 55 dan 81-91.
Sutrisno, dkk., (1979), Fisika Dasar , Bandung: ITB, h.
6-13.
UCAPAN TERIMA KASIH