Introduction à l'optique ondulatoire Notes de cours - Physique …alain.lerille.free.fr/2014/Corriges12.pdf · physique année scolaire 2014/2015 Introduction à l'optique ondulatoire

physique année scolaire 2014/2015

Introduction à l'optique ondulatoire

Notes de coursmardi 9 décembre 2014

L'expérience des trous d'Young expérience de cours

Après une plaque percée de deux trous (trous d'Young) éclairée par un laser, on observe sur l'écran deszones claires qui alternent avec des zones sombres (des franges d'interférence).à installer mardi 9 décembre 2014 en salle L111.

Figure 1 � L'expérience des trous d'Young

I- Onde lumineuse

1. Sources lumineuses

Sources lumineuses classiques s'y retrouver

contrairement aux lasers, les sources classiques sont fondées sur l'émission spontanée de lumière.

Laser s'y retrouverun laser est un appareil émettant de la lumière ampli�ée par émission stimulée. Le terme laser provientde l'acronyme anglo-américain �light ampli�cation by stimulated emission of radiation� (en français :�ampli�cation de la lumière par émission stimulée de radiation�).Le laser peut être extrêmement directionnel (on dit qu'il est très cohérent spatialement) mais aussi d'unegrande pureté spectrale (temporellement très cohérent).

Les sources monochromatiques n'existent pas s'y retrouverles sources lumineuses ne peuvent en aucun cas être éternelles. Aussi, aucune lampe ne peut émettreune onde purement monochromatique.Les molécules ou atomes excités émettent souvent des ondes quasi monochromatiques, autour de lafréquence ν avec une largeur naturelle ∆ν pour une raie d'émission à la fréquence ν avec ∆ν très petit.En fait, on démontre que, plus la durée d'émission ∆t est courte, plus la largeur spectrale ∆ν estimportante : ∆ν.∆t ∼ 1.Les sources lumineuses n'envoient pas une onde monochromatique limitée dans le temps, mais plutôtune onde imparfaitement monochromatique. On peut prendre cela en compte en écrivant l'amplitudedélivrée par une source -quasi - monochromatique sous la forme :

a(S, t) = a0 cos (ωt− φ(t))

spé PC page n◦ 1 Janson de Sailly


Durée et longueur de cohérence temporelle dé�nitionla phase à l'origine des dates φ(t) n'étant pas constante mais variant dans le temps, très lentement,sur une durée caractéristique ∆t (appelée temps de cohérence temporelle) qui est très grand devant lapériode : ∆t� T = 1

ν ∼ 10−15 s.La durée de cohérence temporelle est inversement proportionnelle à la largeur du spectre de la source :∆f ·∆t ≈ 1.On appelle lc = c.∆t la longueur de cohérence temporelle.

Quelques ordres de grandeur des longueurs de cohérence temporelle s'y

retrouverCette durée de cohérence temporelle dépend fortement du type de lampe utilisée :

• ∆t ∼ 10−11 s pour des sources classiques,

• alors que dans le cas des lasers, ce temps peut être très faible (car ces sources sont souvent trèsmonochromatiques). On retiendra que, dans le cas du laser HeNe (utilisé au laboratoire), τc ∼ 10−8 s.

La longueur de cohérence lc = c.∆t est

• lc ∼ 1 mm pour des sources classiques,

• alors que dans le cas des lasers HeNe lc ∼ 1 m.

Modèle du train d'onde s'y retrouverpour simpli�er les choses, on peut imaginer que l'émission lumineuse se fait par émission de trainsd'onde de durée moyenne ∆t grande devant la période du signal. L'amplitude est donc "sinusoïdale parparties" :

... a(S, t) = a0 cos (ωt− φn) si t ∈ [n.∆t; (n+ 1) .∆t[a(S, t) = a0 cos (ωt− φn+1) si t ∈ [(n+ 1) .∆t; (n+ 2) .∆t[ ...

où les phases à l'origine des dates φn, φn+1 sont constantes mais les trains d'onde sont aléatoiresentre eux. En e�et, deux trains d'onde émis successivement par la même particule ont des déphasagesaléatoires : la suite φn est une suite aléatoire.

Modèle du train d'ondes schéma

La �gure 1 représente le modèle du train d'ondes. On peut regarder ce train d'onde

• en un endroit, au cours du temps : il est composé de "wagons" sinusoïdaux de durée ∆t, qui dé�lent ;

• à une date �xée, dans l'espace : il est composé de "wagons" sinusoïdaux de longueur lc.

Figure 2 � Modèle du train d'ondes



2. Amplitude et intensité de l'onde lumineuse

Modèle scalaire de la lumière s'y retrouverLe modèle scalaire de la lumière revient à dire que :

• la polarisation de la lumière n'est pas dé�nie ;

• et le milieu est isotrope (il se comporte de la même manière pour toutes les directions de polarisation).

Amplitude de l'onde s'y retrouverIl ne s'agit que de connaître la norme du champ électrique par exemple. On posera donc :∣∣∣ ~E (M, t)

∣∣∣ = α.a (M, t)

où a (M, t) est appelée "amplitude de l'onde" (et α une constante non dé�nie !). Aussi, le champ ma-gnétique B = E

c sera proportionnel à a.

Les récepteurs sont quadratiques s'y retrouverles récepteurs lumineux (photocellules, pellicules photo, ÷il, etc.) ont des temps de réponse τr très grandsdevant la période des ondes lumineuses dans le visible T ∼ 10−15 s :

• pour l'÷il τr est de l'ordre de 0, 1 s ;

• pour une photodiode, le temps de réponse est de 10−6 s ;

• pour une pellicule photo, τr est de l'ordre de 10−1 s à 10−2 s, ce qui correspond au temps d'expositionde la pellicule à la lumière.

Fondamentalement, le détecteur moyenne (sur une durée τr) le signal qui lui est envoyé. Puisqu'uneonde lumineuse sinusoïdale a une moyenne nulle, les détecteurs lumineux ne suivent pas les variationsde l'amplitude de l'onde.Les détecteurs lumineux font donc la moyenne du carré de l'amplitude : ils sont quadratiques (en élec-trocinétique, on dirait qu'il s'agit en fait de faire une mesure "e�cace").

Intensité de l'onde dé�nition

comme ~Π = ~E ∧ ~Bµ0, le vecteur de Poynting est proportionnel au carré de a.

Donc on retiendra que l'intensité lumineuse (ou l'éclairement) est proportionnelle à la moyenne tempo-relle (sur un temps τr) du carré du signal lumineux au point M :

I(M) = K.⟨a2(M, t)

⟩τr

et l'on prendra souvent K = 1 ! Remarquons que, ni a, ni I n'ont d'unités �xées, ce qui est assezinhabituel en physique.

Relativité de l'intensité s'y retrouvercomme les récepteurs ne sont sensibles qu'aux variations relatives de l'éclairement (ou de l'intensité),peu importe la valeur e�ective de cet éclairement, mais seulement les variations de celui-ci dans le pland'observation.Ainsi, l'impression au point M sur une plaque photo, ou l'éclairement au point M d'un écran, ou laréponse au pointM d'un photodétecteur, est proportionnelle à l'intensité reçue au pointM . La constantede proportionnalité n'est pas accessible mais on pourra prendre une référence : par exemple, on pourrase référer à l'éclairement maximal sur l'écran.



3. Propagation de l'onde

Retard dû à la propagation s'y retrouverintéressons nous à un signal sinusoïdal émis d'un point source S. Son amplitude en S peut donc s'écrirea(S, t) = a0. cos (ω.t− φ0). Cette onde se propage dans le milieu d'indice n constant, avec v = c

n lavitesse de propagation des ondes lumineuses.Le retard temporel dû à la propagation du signal d'une source S jusqu'en un point M est SM

v = nSMc .Les distances de la source au point M étant très grandes devant la longueur d'onde dans le vide λ0 =cT = c 2π

ω et les dimensions de la surface utile du récepteur, on peut considérer que, dans une petitezone autour du point M , la distance à la source ne varie pas. Si l'amplitude est considérée constante, lesignal au point M reproduit le signal au point S avec ce retard et vaut

a(M, t) = a

(S, t− SM

v

)= a0. cos

[ω.

(t− SM

v

)− φ0

]

Chemin optique dé�nitionPour un milieu quelconque, on dé�nit le chemin optique sur un rayon lumineux curviligne quelconquede A à B par

LAB = (AB) =

∫ B

A

n(P ).ds(P )

Chemin optique et retard de propagation s'y retrouver

LAB = (AB) =

∫ tB

tA

n(P ).v(P ).dt =

∫ tB

tA

c.dt

d'oùLAB = (AB) = c. (tB − tA)

On peut donc interpréter le chemin optique comme le chemin parcouru dans le vide pendant la duréeréelle mise pour aller de A à B dans le milieu d'indice n.

1 Déphasage dû à la propagation d'une onde plane monochromatique théorème

dans le vide, le vecteur d'onde est k0 = ωc = 2π

λ0On peut réécrire l'amplitude de l'onde en un point M :

a(M, t) = a0. cos

(ω.t− 2π

λ0(SM)− φ0

)⇒dans le cas général, la phase dans le cosinus de l'amplitude d'une onde sinusoïdale varie, lorsque l'ondese propage de O jusqu'en M de

∆ψO→M =∫MO~k.−→d` = 2π

λ0(OM) + ϕsup

où λ0 est la longueur d'onde dans le vide de la radiation émise par la source S et ϕsup qui prend encompte les éventuels déphasages supplémentaires.On admet que l'onde ré�échie se déphase de π en plus par rapport à l'onde incidente :

• dans le cas d'une ré�exion sur un métal dite ré�exion métallique ;

• ou encore dans le cas d'une ré�exion d'un milieu d'indice n1, sur un milieu d'indice plus élevén2 > n1.



4. Divers type d'ondes

Surfaces d'onde s'y retrouveron appelle surface d'onde d'une source S, à l'instant t, l'ensemble des points M de phase ∆ψS→Mconstante. Pour une onde monochromatique, c'est l'ensemble des points M à égal chemin optique de lasource S, (SM) = constante.

2 Théorème de Malus théorèmeadmis ⇒Il y a orthogonalité des rayons lumineux et des surfaces d'ondes dans l'approximation de l'optiquegéométrique.

Onde sphérique schéma

La �gure 2 représente une onde sphérique issue d'un point S. Les trois points M1, M2 et M3 sont situéssur trois rayons lumineux di�érents mais sur la même surface d'onde.

Figure 3 � Onde sphérique

Onde plane schéma

La �gure 3 représente une onde plane issue d'un point à l'in�ni. Les trois points M1, M2 et M3 sont situéssur trois rayons lumineux di�érents mais sur la même surface d'onde.L'onde plane est le cas limite de l'onde sphérique lorsque le point source est à l'in�ni.



Figure 4 � Onde plane

5. Stigmatisme et conjugaison

Stigmatisme dé�nitiondeux points appartenant à la même surface d'onde de la source A (ou A′ par principe du retour inversede la lumière) sont à même chemin optique de A (ou de A′).Aussi, le chemin optique est conservé entre deux points conjugués,

(AA′) = constante si A est conjugué avec A′

Stigmatisme dans le cas d'une lentille convergente schéma

La �gure 4 représente le stigmatisme dans le cas où deux points sont conjugués grâce à une lentilleconvergente. Cela illustre la conservation du chemin optique entre deux points conjugués.

Figure 5 � Stigmatisme dans le cas d'une lentille convergente



II- Phénomène d'interférence

1. Les conditions d'interférence

Exemples de phénomènes d'interférences vidéo

Le phénomène d'interférence est donc lié au fait que l'intensité de la somme n'est pas la somme desintensités. Dans certains cas, de la lumière ajoutée à de la lumière donne de l'obscurité !Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

3 Calcul de l'intensité résultant de la superposition de deux ondes monochro-matiques exerciceOn s'intéresse à deux sources ponctuelles (lumineuses en optique) notées S1 et S2 qui émettent des ondesmonochromatiques de pulsations respectives ω1 et ω2. Les deux signaux sont d'amplitudes respectives :a1(S1, t) = a01 cos (ω1t− φ1) et a2(S2, t) = a02 cos (ω2t− φ2) avec le déphasage φ = φ2 − φ1 (supposédans un premier temps constant) appelé déphasage initial de la source 2 par rapport à 1.B Les deux signaux émis par les deux sources se propagent et atteignent le point M . Exprimer a1(M, t)et a2(M, t).B Exprimer l'intensité I1(M) si seule la première source émet. De même, exprimer l'intensité I2(M) siseule la seconde source émet.B Montrer que l'intensité I(M) si les deux sources émettent est I(M) 6= I1(M, t) + I2(M, t).B Montrer que

I(M) = I1(M, t) + I2(M, t) + 2√I1.I2. 〈cos [(ω1 − ω2) .t+ ∆ϕ]〉

B Soit c la vitesse de propagation des ondes lumineuses dans le vide, le retard temporel dû à la propagationdu signal d'une source S jusqu'au pointM est (SM)

c avec (SM) le chemin optique. Au pointM , les deux signauxont pour amplitudes respectives :

• a1(M, t) = a01 cos[ω1.(t− (S1M)

c

)− ϕsup1 − φ1

]• et a2(M, t) = a02 cos

[ω2.(t− (S2M)

c

)− ϕsup2 − φ2

].

B Si une seule source émet, l'intensité lumineuse au point M est :

• I1(M) =⟨a2

1

⟩=

a2012 si c'est la source S1 qui émet,

• ou I2(M) =⟨a2

2

⟩=

a2022 si c'est la source S2 qui émet.

L'intensité est donc sensiblement constante dans la zone éclairée de l'écran d'observation.B Dans le cas où deux sources émettent, les deux amplitude s'additionnent (a(M, t) = a1(M, t) + a2(M, t)) eton obtient l'intensité

I(M) =⟨a1(M, t)2

⟩+⟨a2(M, t)2

⟩+ 2. 〈a1(M, t).a2(M, t)〉

Dans cette formule, le premier terme est a201

2 = I1, le seconda2022 = I2 et le dernier est appelé terme d'interférence.

B Le terme d'interférence est 2. 〈a1(M, t).a2(M, t)〉

2.a01.a02.

⟨cos

[ω1.

(t− (S1M)

c

)− ϕsup1 − φ1

]. cos

[ω2.

(t− (S2M)

c

)− ϕsup2 − φ2

]⟩

= 4√I1.I2.

⟨cos

[ω1.

(t− (S1M)

c

)− ϕsup1 − φ1

]. cos

[ω2.

(t− (S2M)

c

)− ϕsup2 − φ2

]⟩qu'une formule trigonométrique permet de transformer en

2√I1.I2. 〈cos [(ω1 − ω2) .t+ ∆ϕ]〉+ 2

√I1.I2. 〈cos [(ω1 + ω2) .t+ ∆ϕ′]〉

où ∆ϕ = −ω1(S1M)c −ϕsup1−φ1 +ω2

(S2M)c +ϕsup2 +φ2 et ∆ϕ′ = −ω1

(S1M)c −ϕsup1−φ1−ω2

(S2M)c −ϕsup2−φ2.

Bien entendu, la seconde moyenne est nulle :

〈cos [(ω1 + ω2) .t+ ∆ϕ′]〉 = 0

cqfd.



Etude du terme d'interférence s'y retrouverLe terme d'interférence I(M)− I1(M, t)− I2(M, t) est nul, sauf si ω1 = ω2 = ω, c'est à dire si les deuxsources ont la même pulsation. Si les deux sources ont la même pulsation, alors :

I(M) = I1 + I2 + 2√I1.I2. 〈cos (∆ϕ)〉

et 〈cos (∆ϕ)〉 6= 0 pour peu que ∆ϕ soit constant.

4 Condition d'interférence et cohérence temporelle théorèmeon a déjà mentionné qu'il fallait que les deux sources S1 et S2 aient la même pulsation pour que〈cos (∆ϕ)〉 6= 0, c'est à dire pour qu'il y ait interférence. Ainsi, puisque les ondes proviennent de lamême source primaire :

I = I1 + I2 + 2√I1.I2 cos

(2π

λ1∆ + ϕsup

)avec ϕsup = ϕsup2 − ϕsup1 . ⇒Deux longueurs d'onde di�érentes n'interfèrent pas.

5 Condition d'interférence et cohérence spatiale théorèmeRappelons que nous avons vu précédemment que l'intensité en un point M éclairé par deux sourcesponctuelles S1 et S2 était

I(M) = I1 + I2 + 2√I1.I2. 〈cos (∆ϕ)〉

avec ∆ϕ = ωc [(S2M)− (S1M)]+ϕsup2−ϕsup1 +φ2−φ1. Or le déphasage à l'origine φ2−φ1 entre deux

sources lumineuses S1 et S2 est variable et quelconque. Ainsi sur le temps de réponse du détecteur, laphase varie un très grand nombre de fois entre 0 et 2π et ainsi 〈cos (∆ϕ)〉 = 0. L'intensité vaut alorsI1 + I2. Aussi, ⇒deux sources primaires di�érentes n'interfèrent pas.

6 Condition d'interférence sur les trains d'onde théorèmerevenons à la formule de l'intensité en un point M éclairé par deux sources ponctuelles S1 et S2 :I(M) = I1 + I2 + 2

√I1.I2. 〈cos (∆ϕ)〉 avec ∆ϕ = ω

c [(S2M)− (S1M)] + ϕsup2 − ϕsup1 + φ2 − φ1. ⇒Il faut que les trains d'ondes se superposent. Or, pour que se superposent ces trains d'onde, il faut quela di�érence de marche ne soit pas plus grande (en valeur absolue) que la longueur du train d'onde dansl'espace, c'est à dire lc, la longueur de cohérence spatiale. On retiendra donc que :

|∆| < lc pour que les interférences ne soient pas brouillées

Utilisation des laser pour des interférences s'y retrouverUne grande monochromaticité (et une grande longueur de cohérence temporelle) associée à une grandedirectivité (un point source à distance in�nie) expliquent pourquoi il est plus facile de réaliser desinterférences avec un laser.



2. Interférences de deux ondes synchrones

7 Formule de Fresnel théorèmeon a donc démontré que ⇒deux sources monochromatiques de même pulsation, ponctuelles, interfèrent puisque l'intensité résul-tante n'est pas la somme des intensités

I(M) = I1 + I2 + 2√I1.I2. cos (∆ϕ) 6= I1 + I2

Interprétation de la formule de Fresnel s'y retrouverCette formule appelée formule de Fresnel fait intervenir I1, l'intensité reçue au point M avec la seulesource S1, et I2, l'intensité reçue au pointM avec la seule source S2, le seul terme dépendant deM est ledéphasage ∆ϕ(M) entre la vibration lumineuse issue de la source 2 et celle issue de la source 1 arrivantau point M . Le déphasage est primordial quand on s'intéresse aux interférences entre deux signaux.

8 Relation entre déphasage et di�érence de marche théorèmeon a vu que

∆ϕ(M) =2π

λ0∆(M) + ϕsup2 − ϕsup1 + φ2 − φ1

soit ⇒la di�érence de marche au point M est :

∆(M) = (S2M)− (S1M)

donc∆ϕ(M) =

2π

λ0∆(M) + ϕsup

où on accepte que ϕsup = π dans le cas d'une ré�exion :

• sur un miroir métallique

• sur un dioptre d'indice supérieur

Surfaces d'iso-eclairement dé�nitionUne surface d'iso-eclairement (ou d'iso-intensité) est l'ensemble connexe des points M tels que I(M) =constante, d'où ∆(M) = constante donc (S2M)− (S1M) = constante.

9 Forme des surfaces iso-eclairement théorèmeLe système de franges possède la symétrie de révolution par rapport à l'axe S1S2. Si le milieu esthomogène d'indice n constant, cela correspond à S2M − S1M = constante ⇒Les surface d'iso éclairement dans un milieu homogène sont des hyperboloïdes homofocales de foyersS1 et S2.

Quelques surfaces iso-éclairement schéma

La �gure 5 représente quelques surfaces iso-éclairement.

Trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plan contenant S1 et S2

schémaLa �gure 6 représente la trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plan méridien (donc contenantl'axe S1S2), cela correspond à des hyperboles homofocales de foyers S1 et S2.



Figure 6 � Quelques surfaces iso-éclairement

Figure 7 � Trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plan contenant S1 et S2



3. Dispositif des trous d'Young

Interférence à partir d'une unique source primaire s'y retrouversi l'on veut réaliser des interférences, une solution consiste à créer deux sources à partir d'une uniquesource primaire. On parle alors de deux sources secondaires. C'est ce qui se passe en particulier dans ledispositif des trous d'Young.Il faut pour réaliser une source quasi ponctuelle :

• un laser (source ponctuelle à l'in�ni) ;

• ou bien un laser à qui on adjoint un objectif de microscope (source ponctuelle à distance �nie) ;

• soit encore une lampe qui éclaire (grâce à un condenseur) un diaphragme (qui est dans ce cas lasource ponctuelle à S distance �nie).

Principe du dispositif des trous d'Young schéma

La �gure 7 représente deux rayons lumineux di�érents, issus du même point source primaire (qu'onnotera S) qui vont interférer en un point M . Depuis M , ces deux rayons lumineux semblent provenir (ouproviennent e�ectivement) de deux point sources secondaires S1 et S2.

Figure 8 � Principe du dispositif des trous d'Young

Non localisation des interférences à retenirDans le cas d'utilisation d'une source ponctuelle, les interférences ne sont pas localisées. C'est à direqu'elles existent a priori dans toute la zone de recouvrement des faisceaux.Aussi, il n'est pas nécessaire a priori d'utiliser un dispositif de formation d'image (lentille) pour visua-liser les interférences.

Champ d'interférences s'y retrouverle champ d'interférences est le lieu des points M pouvant être atteints par les deux signaux. On parleaussi de zone de recouvrement des faisceaux.

11 Détermination de la di�érence de marche dans le cas des trous d'YoungexerciceB Déterminer la di�érence de marche δ dans le cas des trous d'Young.B En utilisant le fait que les trous d'Young sont situés à une distance a faible devant la distance dséparant les trous de l'écran, faire un développement limité pour exprimer δ en fonction de x et y lescoordonnées du point M sur l'écran.



B La di�érence de marche est

δ = (SS1M)− (SS2M) = (SS1 + S1M)− (SS2 + S2M) = SS1 − SS2 + S1M − S2M

B On peut calculer, en prenant O, l'origine du repère au milieu de S1S2.

S1M2 =

(a2

+ x)2

+ y2 + d2 = d2

[1 +

( a2 + x

d

)2

+(yd

)2]⇒ S1M ≈ d

[1 +

1

2

( a2 + x

d

)2

+1

2

(yd

)2]

De la même façon,

S2M ≈ d

[1 +

1

2

(−a2 + x

d

)2

+1

2

(yd

)2]

= d

[1 +

x2 − a x+ a2/4

2 d2+

y2

2 d2

]Donc

δ ≈ SS1 − SS2 + d

[1 +

x2 + a x+ a2/4

2 d2+

y2

2 d2

]− d

[1 +

x2 − a x+ a2/4

2 d2+

y2

2 d2

]= SS1 − SS2 + d

2 a x

2 d2

On trouve donc δ ≈ SS1 − SS2 + a xd .

4. Franges

Ecran éclairé par un laser à travers des trous d'Young schéma

La �gure 8 représente le plan d'observation derrière des trous d'Young éclairés par un laser.

Figure 9 � Ecran éclairé par un laser à travers des trous d'Young

Franges claires et sombres, interférences constructives et destructives dé�-

nitionLe lieu des points M contigus de même éclairement, donc de même phase, est appelé frange d'interfé-rences. ∆ϕ(M) peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 2π modulo 2π mais deux cas sont particuliè-rement intéressants.

• si ∆ϕ(M) = 0[2π], I > I1 + I2, l'interférence est constructive. L'intensité y est maximale (on lanotera Imax). On parle alors de franges brillantes ou de franges claires.

• au contraire si ∆ϕ(M) = π[2π], I < I1 + I2, l'interférence est destructive. L'intensité y est minimale(on la notera Imin). On parle dans ce cas de franges sombres. Si Imin = 0, on parle de franges noires.

12 Forme des franges dans le cas des trous d'Young exerciceB En utilisant la di�érence de marche δ ≈ SS1 − SS2 + a x

d , déterminer la forme des franges observéessur l'écran dans le cas des trous d'Young.B Retrouver le résultat en utilisant les surfaces iso-éclairement.



B La formule de Fresnel donne :

I = I1 + I2 + 2√I1 I2 cos (∆ϕ)

avec ∆ϕ = 2πλ

(SS1 − SS2 + a x

d

)car il n'y a pas de déphasage supplémentaire. Aussi,

I = I1 + I2 + 2√I1 I2 cos

(2π

λ

(SS1 − SS2 +

a x

d

))qui n'est que fonction de x, donc invariante par translation suivant y : les franges sont rectilignes.B L'intersection des surfaces iso-éclairement avec l'écran donne des hyperboles. Sur une petite distances, ceshyperboles peuvent être considérées comme quasi-rectilignes.

Ordre d'interférence dé�nition

L'ordre d'interférence est la grandeur p sans dimension telle que ∆ϕ(M) = 2.p.π.

Nature des interférences et ordre d'interférence s'y retrouverAussi, on est en présence

• d'une interférence constructive (c'est à dire d'une frange brillante ou claire) si p est entier ;

• d'une interférence destructive (c'est à dire d'une frange sombre ou noire) si p est demi entier (p = 12 +n

avec n ∈ Z).

Interfrange dé�nitionsur l'écran d'observation, la distance i entre deux franges consécutives de même nature est appeléeinterfrange. C'est par exemple l'espace entre deux franges sombres consécutives.

remarque

Cette dé�nition n'a véritablement d'intérêt que si i est constant, c'est à dire si l'éclairement est unefonction périodique d'une direction (par exemple x) du plan d'observation.

13 Interfrange dans le cas des trous d'Young exerciceB En utilisant la di�érence de marche δ ≈ SS1 − SS2 + a x

d , déterminer l'interfrange dans le cas destrous d'Young écartés de a et observés à une distance d.

B La formule de Fresnel donne :

I = I1 + I2 + 2√I1 I2 cos (∆ϕ)

avec ∆ϕ = 2πλ

(SS1 − SS2 + a x

d

)car il n'y a pas de déphasage supplémentaire. Aussi,

I = I1 + I2 + 2√I1 I2 cos

(2π

λ

(SS1 − SS2 +

a x

d

))qu'on peut réécrire sous la forme

I = I1 + I2 + 2√I1 I2 cos

(2π

x

i+ ϕ0

)Il s'agit bien d'une fonction périodique de x avec une période spatiale, l'interfrange, i = λ d

a .B L'intersection des surfaces iso-éclairement avec l'écran donne des hyperboles. Sur une petite distances, ceshyperboles peuvent être considérées comme quasi-rectilignes.



5. Contraste

Contraste ou visibilité des franges dé�nitionle contraste ou visibilité des franges est

C =Imax − IminImax + Imin

14 Encadrement du contraste exercice

Montrer que 0 6 C 6 1 .

Comme Imax = I1 + I2 + 2√I1.I2 et Imin = I1 + I2 − 2

√I1.I2, on en déduit : C = 4.

√I1.I2

2.(I1+I2) =√I1.I2

(I1+I2)2

.

Aussi, le contraste est le rapport de la moyenne géométrique des intensités des deux ondes seules sur la moyennearithmétique de I1 et I2.

Interprétation de la visibilité des franges s'y retrouverAussi,

• le contraste est nul si I1 � I2 ou I2 � I1. Il est donc primordial d'avoir des intensités I1 et I2proches pour conserver un bon contraste donc une bonne visibilité des franges.

• le contraste est maximal (c'est à dire C = 1) si I1 = I2 : c'est la meilleure visibilité des franges.

15 Réecriture de la formule de Fresnel avec le contraste exerciceMontrer qu'on peut écrire la formule de Fresnel d'une autre façon :

I(M) = I0. [1 + C. cos (∆ϕ)] avec I0 = I1 + I2

I = I1 + I2 + (I1 + I2) .C. cos (∆ϕ) ⇒

Evolution de la visibilité des franges d'interférences avec le contraste schéma

La �gure 9 représente l'évolution de la visibilité des franges d'interférences (le contraste diminuant dehaut en bas)..Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.

Figure 10 � Evolution de la visibilité des franges d'interférences avec le contraste



Technique à maîtriserjeudi 11 décembre 2014

I- Les capacités exigibles

1. Calculs de chemins optiques

ce qu'il faut savoir faire capacités

Associer la grandeur scalaire de l'optique à une composante d'un champ électrique.Exprimer le retard de phase en un point en fonction du retard de propagation ou du chemin optique.

2. Calculs de di�érences de marche


Utiliser l'égalité des chemins optiques sur les rayons d'un point objet à son image.Associer une description de la formation des images en termes de rayon lumineux et en termes de surfacesd'onde.

3. Intensité lumineuse sur un écran éclairé par les trous d'Young


Relier l'intensité à la moyenne temporelle du carré de la grandeur scalaire de l'optique.Citer le temps de réponse de l'÷il. Choisir un récepteur en fonction de son temps de réponse et de sasensibilité fournis.Établir la formule de Fresnel. Citer la formule de Fresnel et justi�er son utilisation par la cohérence desdeux ondes. Associer un bon contraste à des intensités I1 et I2 voisines.Justi�er l'additivité des intensités dans le cas de deux ondes incohérentes entre elles.Savoir que les franges ne sont pas localisées dans le cas des trous d'Young.Dé�nir, déterminer et utiliser l'ordre d'interférences.Interpréter la forme des franges observées sur un écran éloigné parallèle au plan contenant les trousd'Young.

II- Méthodes


A) Calculer un chemin optique méthode

∆ψO→M =∫MO~k.−→d` = 2π

λ0(OM) + ϕsup.

Le calcul de chemin optique revient à évaluer la distance dans un milieu LHI et la multiplier par l'indiceoptique du milieu, sachant qu'il y a égalité de chemin optique entre deux points conjugués.NB : il y a égalité de chemin optique entre un point A et deux points B et B′ sur le trajet de la lumièredepuis A, si B et B′ sont sur la même surface d'onde (qui est un plan à l'in�ni).




B) Appliquer le théorème de Malus méthodeSur le schéma ci-contre, le point d'observationM étant dans le plan focal image, il est conju-gué avec l'in�ni.Du point de vue de l'optique géométrique, lesrayons issus de S1 et S2 qui aboutissent en Msont parallèles (et parallèles au rayon �ctif quipasserait par le centre de la lentille sans êtredévié).Du point de vue de l'optique ondulatoire,commeH est le projeté orthogonal de S1 sur lerayon issus de S2, H et S1 sont dans le mêmeplan d'onde.Ainsi, (S1M) = (HM) d'après le théorème deMalus.


C) Déterminer l'interfrange méthodeUne fois écrit l'intensité lumineuse grâce à la formule de Fresnel sous la forme

I = I1 + I2 + 2√I1 I2 cos

(2π

x

i+ ϕ0

)l'interfrange i apparaît naturellement.

III- Exercices


1.1) Calcul de chemin optique dans le cas d'une lentille

Soient A et A′ deux points sur l'axe d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f ′, de centre O. Onconnait 0A.

1) Déterminer le chemin optique (AA′).2) En déduire (AH), si H est un point sur la lentille à une distance h de l'axe, du côté de A′.

1) 10A′ = 1

0A+ 1

0A, donc 0A′ = 0A.f ′

f ′+0AAinsi, AA′ = AA′ = −0A+ 0A.f ′

f ′+0A= − 0A

2

f ′+0A. Le chemin optique

est : (AA′) = AA′ − e+ n.e, soit

(AA′) = − 0A2

f ′ + 0A+ (n− 1) .e

2) (AH) + (HA′) = (AA′), donc (AH) = (AA′) − (HA′). Or (HA′) = HA′ =

√(h2 + 0A

2)d'après

Pythagore. Donc, comme 0A′ = 0A.f ′

f ′+0A,

(AH) = − 0A2

f ′ + 0A+ (n− 1) .e−

√√√√(h2 +

(0A.f ′

f ′ + 0A

)2)



1.2) Calcul de chemin optique dans le cas d'un foyer

Soit F le foyer objet d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f ′, de centre O.1) Déterminer le chemin optique (AB), où B est accolé à la lentille, sur l'axe de la lentille, côté image.2) Même question pour C, accolé à la lentille, à une distance h de l'axe de la lentille, côté image.

1) (AB) = f ′ + n.e.2) C sont sur le même plan d'onde, donc (AB) = (AC) = f ′ + n.e.

1.3) Calcul de chemin optique dans le cas d'un miroir plan

Soit A un point ayant pour symétrique A′ par rapport à un miroir plan M .1) Déterminer le chemin optique (AP ), où P est est un point atteint par la lumière après ré�exion sur M .

(AP ) = A′P .

1.4) Le pêcheur et le poisson

Un pêcheur (H), dont les yeux sont à HS = 1, 20m au dessus de l'eau (d'indice n = 1, 33), regarde vertica-lement un poisson P situé à SP = 0, 60m au dessous de l'eau.

1) A quelle distance d1 le pêcheur voit-il le poisson ?2) A quelle distance d2 le poisson voit-il le pêcheur ?

On pose : P ′ la position de l'image du poisson vue par l'homme, et H ′ la position de l'image de l'hommevue par le poisson.

1) d1 = HP ′, avec HP ′

1 = HS1 + SP

n , soit

d1 = HS +SP

n= 1, 65m

2) d2 = PH ′, avec PH′

n = PSn + SH

1 , soit

d2 = PS + n.SH = 2, 20m

1.5) Limitation du taux de transfert d'une �bre optique

Une impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans une �bre optique d'indice n = 1, 5 subit un élargisse-ment temporel lorsqu'elle ressort de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d'informationsà grande distance. En e�et, les rayons lumineux d'inclinaisons di�érentes n'ont pas le même chemin à parcourirdans la �bre, donc leur temps de parcours est variable.

1) Calculer la di�érence de temps ∆t mis par deux rayons lumineux se propageant dans une �bre optiquede longueur L = 10km, l'un sur l'axe de la �bre et l'autre incliné de θ = 20◦ par rapport à celui-ci.

2) Quel nombre d'informations N peut transférer une telle �bre par unité de temps ?

1) Rayon sur l'axe : distance l1, temps de parcours t1 = l1cn.

Rayon incliné : distance l2, temps de parcours t2 = l2cn.

Géométriquement, cos θ = l1l2, soit ∆t = t2 − t1, en prenant l1 = L. Soit :

∆t =n.L

c

(1

cos θ− 1

)= 3, 2µs

2) On doit éloigner deux "bips" de ∆t au moins, donc la fréquence des bips doit être f < N = 1∆t , soit

N =c

n.L.(

1cos θ − 1

) = 0, 31MHz




2.6) Calcul de chemin optique dans le cas des trous d'Young à distance �nie

On s'intéresse à deux sources qui sont à une distance a = S1S2, l'une de l'autre sur l'axe Ox. Ainsi, leurscoordonnées sont S1

(−a2 , 0, 0

)et S2

(+a

2 , 0, 0).

Le plan d'observation est le plan z = D, D est donc la distance des sources à l'écran. Un point d'observationM a pour coordonnées (x, y,D).

Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1.1) Déterminer le chemin optique (S1M).2) En déduire (S2M).3) Que vaut la di�érence de chemin optique ∆ = (S1M)− (S2M) ?

1) (S1M) =

√−−−→S1M

2. En remplaçant par les coordonnées précédemment données,

(S1M) =

√(x+

a

2

)2

+ y2 +D2

soit :

(S1M) = D.

(1 +

(x+ a

2

D

)2

+( yD

)2) 1

2

On fait un développement limité à l'ordre 2 en x

D ,yD et a

D :

(S1M) = D.

[(1 +

1

2

x2 + x.a+ a2

4 + y2

D2

)]

2)

(S2M) = D.

[(1 +

1

2

x2 − x.a+ a2

4 + y2

D2

)]

3)

∆ ≈ x.a

D

2.7) Calcul de chemin optique dans le cas des trous d'Young à distance in�nie


(−a2 , 0, 0

)et S2

(+a

2 , 0, 0).

Le plan d'observation est le plan focal d'une lentille convergente de focale f ′. Un point d'observation M apour coordonnées (x, y,D).

Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1.1) Que vaut la di�érence de chemin optique ∆ = (S1M)− (S2M) ?

1) La lentille conjugue le point M avec l'in�ni dans la direction qui fait un angle α avec l'axe optique.Aussi, S1 et H sont dans le même plan d'onde : (S1M) = (HM). La di�érence de marche est

∆ = (S1M)− (S2M) = −S2H

D'autre part, S2H = S1S2. sinα ≈ a.α = a.xf ′ . Donc

∆ = −a.xf ′

2.8) Calcul de chemin optique dans le cas du réseau



On s'intéresse à une onde plane issue de S à l'in�ni faisant un angle αi avec l'axe Oz. L'onde est incidentesur un plan orthogonal à Oz contenant deux trous qui sont à une distance a = S1S2, l'un de l'autre sur l'axeOx. On observe l'onde plane émergente qui fait un angle αe avec l'axe Oz en M , à l'in�ni.

Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1.1) Que vaut la di�érence de chemin optique ∆ = (SS1M)− (SS2M) ?


∆ = (SS1) + (S1M)− [(SH) + (HS2) + (S2J) + (JM)]

où H est dans le même plan d'onde incident que S1 : (SS1) = (SH).Et J est dans le même plan d'onde que S2 : (S1M) = (JM).D'autre part, S2H = −S1S2. sinαi ≈ −a.αi et S2J = S1S2. sinαe ≈ a.αi.αe. Donc

∆ = a. (αe − αi)

2.9) Di�érence de marche en lame d'air

On s'intéresse aux deux miroirs parallèles distants de e, le premier miroir traversé par la lumière ré�échissntune partie de celle-ci, et laissant passer l'autre partie. On repère la position sur l'écran à partir du foyer F ′ avecle rayon r. Si la focale de la lentille est f ′, θ = r

f ′ est l'angle que font les rayons qui vont interférer avec l'axeoptique. Montrer que la di�érence de marche en r vaut ∆ = 2.e. cos θ.

La di�érence de marche vaut ∆ = 2.e. cos θ = 2.e(

1− θ2

2

)où θ = r

f ′ est l'angle que font les rayons qui

vont interférer avec l'axe optique.


3.10) Trous d'Young sans di�raction

Une source ponctuelle S0 (en (0, 0,−l0)) monochromatique (de longueur d'onde λ) éclaire un écran opaque(placé en z = −D, où D < l0) est percé de deux trous ponctuels S1 (en (a2 , 0,−D)) et S2 (en (−a2 , 0,−D)). Onobserve les inteférences sur un écran en z = 0.

1) Calculs généraux :On considère que les trous envoient, sur tout l'écran, des ondes de même intensité I0. On néglige donc le

phénomène de di�raction.1.a) Exprimer l'éclairement E en fonction de ∆, la di�érence de marche au point M et I0.1.b) Déterminer la di�érence de marche ∆ pour le point M placé en (x, y, 0).

2) On suppose de plus que D � |x| et D � |y|.2.a) Grâce à un développement limité, simpli�er l'expression de ∆.2.b) En déduire la forme des franges.2.c) Quelle est l'interfrange i ?

1) Calculs généraux :1.a) E = 2.I0.

(1 + cos

(2.π.∆λ

)).

1.b) ∆ = S1M − S2M =

√(x− a

2

)2+ y2 +D2 −

√(x+ a

2

)2+ y2 +D2.

2) On suppose de plus que D � |x| et D � |y|.2.a) ∆ ≈ −a.xD .2.b) Les franges sont rectilignes, parallèles à (Oy).2.c) i = λ.D

a .

3.11) Franges rectilignes dans le cas d'une visualisation à distance �nie




(−a2 , 0, 0

)et S2

(+a

2 , 0, 0).

Le plan d'observation est le plan z = D, D est donc la distance des sources à l'écran. Un point d'observationM a pour coordonnées (x, y,D).

Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1.1) Montrer que la di�érence de marche en fonction de x est

∆ = ∆0 +x.a

D

où ∆0 est une constante.2) En déduire que les franges sont rectilignes, parallèles à Oy.3) Montrer que l'interfrange est i = λ.D

a .4) Pour visualiser à l'÷il nu les franges, il faut que l'interfrange soit su�sant, c'est à dire i > 100µm. Qu'est

ce que cela impose sur a ?

1)∆ = SS1 + S1M − SS2 − S2M = ∆0 + S1M − S2M

avec ∆0 = SS1−S2M et S1M−S2M =

√−−−→S1M

2−√−−−→S2M

2. En remplaçant par les coordonnées précédemment

données,

∆ = ∆0 +

√(x+

a

2

)2

+ y2 +D2 −√(

x− a

2

)2

+ y2 +D2

soit :

∆ = ∆0 +D.

(1 +

(x+ a

2

D

)2

+( yD

)2) 1

2

−

(1 +

(x− a

2

D

)2

+( yD

)2) 1

2

On fait un développement limité à l'ordre 2 en x

D ,yD et a

D :

∆ ≈ ∆0 +D.

[(1 +

1

2

x2 + x.a+ a2

4 + y2

D2

)−

(1 +

1

2

x2 − x.a+ a2

4 + y2

D2

)]= ∆0 +

x.a

D

2) L'intensité lumineuse en M est donc

I(M) = I1 + I2 + 2√I1.I2. cos

(2π

λ

x.a

D+ ϕsup +

2π.∆0

λ

)L'intensité ne dépendant que de x, les franges sont rectilignes, parallèles à Oy.

3) L'intensité lumineuse en M peut se réécrire sous la forme

I(M) = I1 + I2 + 2√I1.I2. cos

(2πx

i+ ψ

)où i est la période spatiale des franges, c'est à dire l'interfrange. On en tire l'interfrange i = λ.D

a . Quand xvarie de ±i alors ∆ varie de ±λ.

4) Comme λ ∼ 500nm et D ∼ 50cm, on trouve :

a <25.10−8

10−4= 2, 5mm

ce qui permet bien de véri�er que a� D.

3.12) Franges rectilignes dans le cas d'une visualisation à l'in�ni

On s'intéresse à la visualisation des interférences dans le plan focal d'une lentille convergente de focale f ′.1) Montrer que la di�érence de marche est

∆ = ∆0 −a.x

f ′

où ∆0 est une constante.



2) En déduire que les franges sont donc rectilignes, parallèles à Oy, comme précédemment.3) Montrer que l'interfrange est : i = λ.f ′

a .


∆ = (SS1M)− (SS2M) = SS1 − SS2 − S2H

On peut poser comme précédemment ∆0 = SS1 − S2M . D'autre part, S2H = S1S2. sinα ≈ a.α = a.xf ′ .

2) L'intensité lumineuse en M est donc

I(M) = I1 + I2 + 2√I1.I2. cos

(2π

λ

x.a

f ′+ ϕsup +

2π.∆0

λ

)On voit que l'intensité ne dépendant que de x, les franges sont donc rectilignes, parallèles à Oy, commeprécédemment.

3) L'intensité lumineuse en M peut se réécrire sous la forme

I(M) = I1 + I2 + 2√I1.I2. cos

(2πx

i+ ψ

)où i est la période spatiale des franges, c'est à dire l'interfrange.



Résolution de problèmevendredi 12 décembre 2014

Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.

L'épaisseur des verres de lunettes

Extraits de�http ://www.lunettes-experoptic.fr/verres-lunettes.htm�

De quoi dépend l'épaisseur des lunettes ?

Lors du choix d'une paire de lunettes, l'épaisseur des verres delunettes est un critère majeur. Des verres épais sont esthétiquementpeu avantageux et surtout plus lourds.

L'épaisseur dépend de :

• La puissance de la correction

• L'indice du matériau

• La sculpture du verre

L'indice évalue la capacité du matériau à "tordre" les rayons lu-mineux. A correction égale, plus l'indice sera élevé et plus le verrecorrecteur sera �n. Nos verres Standards sont des verres d'indice 1,5

Enoncé

Evaluer l'épaisseur d'une lentille convergente de diamètre 6 cm et de focale 40 cm.



Correction

Les point I et J sont sur le même plan d'onde. Le stigmatisme impose :

(IF ′) = (JKF ′)

or JF ′ = f ′ et JK = e donc KF ′ = f ′ − e ainsi

(JKF ′) = nJK +KF ′ = (n− 1) e+ f ′

D'autre part, l'application du théorème de Pythagore dans le triangle IF ′J rectangle en J donne :

IF ′ =√IJ2 + JF ′2 =

√(d

2

)2

+ f ′2 ⇒ (IF ′) =

√(d

2

)2

+ f ′2 ≈ f ′(

1 +d2

8 f ′2

)Donc

(n− 1) e+ f ′ ≈ f ′(

1 +d2

8

)⇒

e =d2

8 (n− 1) f ′=

0, 062

8× (1, 5− 1)× 0, 4= 2, 3 mm

ce qui semble être un bon ordre de grandeur.

Travaux pratiquesvendredi 12 décembre 2014

Le TP est dévolu aux expériences de TIPE (apporter la liste du matériel).



Approche documentairevendredi 12 décembre 2014

Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Arthur Lassus et Florence Lebon feront un exposé.

Les découvertes de Galilée et le Dioptricae de Kepler

Kepler le musicien du ciel - Les génies de la sciences - Belin Pour la ScienceAnna Maria Lombardi

L'importance, pour les partisans du système copernicien, des observationsréalisées par Galilée à l'aide de la lunette pousse Kepler à rédiger, en 1610, le

premier traité moderne d'optique.

Début 1610, la communauté des astronomes est secouée par une découverte révolutionnaire : Galileo Galileia rendu publiques ses observations de quatre nouveaux objets célestes qui tournent autour de Jupiter. Kepler estébranlé par cette nouvelle que son ami Wackher von Wackenfels (auquel l'astronome a dédicacé un intéressanttraité sur la raison pour laquelle les cristaux de neige ont des formes régulières) lui a transmise. Les deux amisentament sans tarder une discussion sur la nature possible des quatre corps célestes. Selon von Wackenfels, ils'agit de nouvelles planètes du Système solaire, tandis que, pour Kepler, les quatre objets ne peuvent être quedes satellites d'une autre planète : il ne peut exister que six planètes !

Le Sidereus Nuncius (�Le Messager céleste�), publié le 4 mars de la même année, relate les sidérantes (etsidérales) observations e�ectuées par Galilée lors des automne et hiver précédents. On y lit que la Voie lactéen'est que l'e�et d'ensemble produit par une multitude d'étoiles, que la surface de la Lune, bien loin d'être unesphère brillante et lisse, est piquetée de montagnes, et que les objets di�us que l'on distingue à l'÷il nu dans leciel sont des amas stellaires. Surtout, Galilée annonce que Jupiter possède, comme la Terre, des satellites, dansce cas au nombre de quatre. Le coup est dur pour les partisans d'Aristote et de Ptolémée.

Le 8 avril, Kepler reçoit, par l'intermédiaire de Julien de Médicis, le livre Sidereus Nuncius, accompagnéd'une lettre où Galilée le prie instamment d'exprimer son opinion sur l'ouvrage. Si Galilée tenait vraiment ausoutien de Kepler, il paraît étrange qu'il ait été si indi�érent à ses demandes pressantes et ne lui ait pas faitparvenir de lunette. Kepler a �nalement l'occasion de contrôler les découvertes de Galilée grâce à l'ElecteurErnst de Cologne, duc de Bavière. Celui-ci se rend à Prague pour discuter avec d'autres princes des divergencesentre le Duc Rodolphe et son frère Matthias - divergences qui déboucheront sur la guerre de Trente Ans - etemporte avec lui un bon instrument qu'il prête quelques jours à l'astronome. Kepler observe le ciel avec la lunettede l'Électeur les soirs du 30 août au 9 septembre 1611. Il consigne ses observations dans un rapport intituléNarratio de Jouis satellibus. Tous les observateurs présents, raconte-t-il, ont noté à la craie sur un tableau cequ'ils ont vu. Les di�érents comptes rendus ont été comparés : ils con�rment les a�rmations du Nuncius. LeNarratio est publiée à Florence la même année et devient un témoignage supplémentaire en faveur de Galilée.

Kepler tirera un autre pro�t de la lecture du Nuncius. Galilée, dans l'introduction de son livre, donne unepremière et vague explication du grossissement permis par la lunette, ce qui incite Kepler à traiter de façonsystématique, par la méthode de l'optique géométrique, les problèmes liés aux lentilles et à leur combinaison.Nombre de ses successeurs verront dans le livre qui rassemble ces études le premier traité d'optique moderne.Kepler écrit le premier ouvrage d'optique géométriqueL'÷uvre, rédigée entre août et septembre 1610 et imprimée en 1611, est intitulée Dioptricae, en référence à

l'astronome Geminus qui a utilisé ce terme pour quali�er l'observation e�ectuée avec des instruments optiquestels que le dioptre. La place consacrée au fonctionnement des lentilles mérite d'être soulignée : au début du XVIIesiècle, il est presque inconvenant qu'un philosophe naturel, tenu d'étudier les phénomènes réels, s'interroge sur lefonctionnement des lentilles. Les miroirs ou les sphères, �gures �parfaites�, méritent l'intérêt des scienti�ques ;mais quel béné�ce tirerait un chercheur rationnel d'un objet tel que la lentille, qui est de forme hybride etqui déforme l'image du monde ? Les lentilles sont laissées aux lunetiers ou, si l'on en croit le succès du Demagia universalis (1593) de Délia Porta, à qui veut stupé�er et émerveiller un auditoire à l'aide de tours etd'arti�ces : les lentilles sont des instruments destinés au magicien, et non au scienti�que. Au début du XVIIesiècle, même un dispositif qui nous paraît scienti�que par excellence, telle la lunette astronomique, est, pour



nombre de personnes, un �instrument trompeur� : il altère la réalité et ne peut être compté parmi les moyensde connaissance sérieux.

Galilée ne s'est pas attardé sur le mécanisme par lequel ses instruments donnent un certain grossissement,et les premières lunettes astronomiques sont construites par les artisans qui fabriquent les lunettes de vue.Les observations qu'il e�ectue en automne 1609 bouleversent cette convention. Les résultats exceptionnels qu'ilobtient à l'aide de sa lunette attirent l'attention des esprits les plus rationnels sur la théorie des lentilles, suscitantune compétition entre ceux qui commencent à se spécialiser dans la construction de divers types de lunettes.

La première ÷uvre qui place l'étude des lentilles parmi les �vraies� sciences sous le nom de Dioptrique n'estautre que le Dioptricae de Kepler. Le livre est constitué d'une succession de 141 �théorèmes�, classés en quatrecatégories di�érentes : les dé�nitions, les axiomes (théorèmes qui ne nécessitent pas de démonstration), les pro-blèmes (théorèmes étayés par une démonstration expérimentale) et les propositions (théorèmes qui découlentd'axiomes et de dé�nitions via des démonstrations fondées sur la logique aristotélicienne). Dans le Dioptricae,Kepler reprend de nombreux thèmes déjà abordés dans l'Optica, mais dans un langage plus dépouillé et rigou-reux. Outre la présentation approfondie de thèmes, par exemple articulés autour de la réfraction, signalons ausside nouvelles avancées, telle la découverte de la ré�exion totale. Kepler, expérimentant divers prismes, remarquel'existence d'un angle de ré�exion totale : si l'angle d'inclinaison du rayon est supérieur à cette valeur, la lumièrene traverse plus le cristal et est entièrement ré�échie.

Le point central du Dioptricae reste l'étude des phénomènes liés aux lentilles. À l'aide de l'optique géo-



métrique, Kepler explique comment on grossit ou réduit une image grâce à un choix adéquat de lentilles. Enparticulier, après avoir reconstitué le schéma optique de la lunette galiléenne, il propose un nouveau montagepour cette lunette : au lieu d'utiliser une lentille concave et une convexe, il aligne deux lentilles convexes. Grâceà cette combinaison optique, l'image est bien plus nette. D'aucuns objecteront que l'on obtient une image ren-versée, mais cela ne perturbe certainement pas Kepler, qui a passé tant d'heures à observer des images inverséesdans les chambres obscures, acceptant même l'idée que notre rétine reçoit des images à l'envers. L'astronomeétudie aussi des systèmes à trois lentilles ou plus, encore utilisés à l'heure actuelle dans les téléobjectifs modernes.

Kepler, conscient d'avoir écrit une ÷uvre compliquée, lance, dès l'introduction, un avertissement : �Je t'o�re,ami lecteur, un livre mathématique, c'est-à-dire un livre qui n'est pas facile à comprendre et qui présume nonseulement un esprit intelligent, mais une certaine vivacité intellectuelle et un incroyable désir d'apprendre lescauses des choses.� Le mérite de Kepler, qui ne mit que deux mois pour rédiger ce chef-d'÷uvre, en est d'autantplus grand. Le manuscrit, présenté à l'Électeur Ernst de Cologne en septembre, aurait dû paraître peu après ;�fort heureusement�, les problèmes liés à son impression retardent grandement sa publication. Ce délai se révèle



favorable car, entretemps, Galilée a obtenu un précieux résultat qui fait vaciller l'image géocentrique du cosmos :il a observé les phases de Vénus. Suivant l'usage de l'époque, Galilée a �breveté� sa découverte en di�usantdans toute l'Europe une anagramme qui recèle la clé de ses observations et dont, pendant de nombreux mois,les astronomes les plus célèbres chercheront en vain la signi�cation.Galilée observe les phases de Vénus à la lunette astronomiqueFinalement, le premier janvier 1611, Galilée révèle la solution : de même que la Lune, Vénus présente des

phases di�érentes. Le Dioptricae n'est pas encore publié et Kepler en pro�te pour expliquer, dans l'introduction,la signi�cation de ce phénomène pour l'astronomie : ces phases montrent que le Système solaire est décrit parle modèle de de Copernic, mais pas par celui de Ptolémée. Si Vénus tournait autour de la Terre le long d'unépicycle, l'on ne verrait, depuis la Terre, que des croissants de lumière sur Vénus, et non la face complète dela planète éclairée. La Terre ne peut être le centre du monde. La possibilité d'écarter avec certitude le modèlegéocentrique, qui parut intouchable pendant des siècles, fascine Kepler, qui écrit : �Ô tube [la lunette], qui saistant de choses, plus précieux que n'importe quel sceptre. Celui qui te tient dans sa main droite ne connaît niroi ni maître dans l'÷uvre divine.�

Enoncé

1) Lunette de Galilée1.a) Refaire le schéma de la lunette de Galilée. On fera apparaître les foyers des lentilles, on tracera la

marche d'un rayon incident sur la lunette avec un angle α non nul par rapport à l'axe optique et qui émerge decelle-là avec un angle α′ par rapport à l'axe optique.

1.b) Exprimer le grossissement G = α′

α . L'image est-elle retournée ?2) Lunette de KeplerMêmes questions.3) Expliquer le phénomène de ré�exion totale expérimenté par Kepler avec un prisme.4) Les phases de Vénus observées à la lunette par Galilée

4.a) Relier les di�érentes phases de Vénus (c1 à c5) à des con�gurations de Vénus, de la Terre et du Soleil,soit dans le système de Ptolémée (con�gurations a1 à a10), soit dans le système de Copernic (con�gurations b1à b12).

4.b) En quoi cela permet-il de choisir entre les systèmes de Ptolémée et de Copernic ?



Correction

1) Lunette de Galilée1.a) Le schéma de la lunette de Galilée est donné sur la �gure suivante :

1.b) Le grossissement est G = α′

α =F ′

1A1

f ′2

f ′1

F ′1A1⇒ G =

f ′1

f ′2. L'image est droite.

2) Lunette de Kepler2.a) Le schéma de la lunette de Kepler est donné sur la �gure suivante :

2.b) Le grossissement est G = α′

α = −F′1A1

f ′2

f ′1

F ′1A1⇒ G = − f

′1

f ′2. L'image est retournée.

3) Les lois de la réfraction n1 sin i1 = n2 sin i2 n'ont de solution i2 que si |n1

n2sin i1| ≤ 1. Aussi, il se peut,

si n1 > n2 que tel ne soit pas le cas : il n'y a alors pas de réfraction, mais seulement ré�exion. On parle deré�exion totale. Ce peut être le cas lors du passage sur le second prisme (verre-air) du un prisme, où n1 > n2.

4) Les phases de Vénus observées à la lunette par Galilée4.a) Les di�érentes phases de Vénus sont :

pour c1 reliée à a8 ou b9,pour c2 reliée à a7 ou b8,pour c3 reliée à b7,pour c4 reliée à b6,pour c5 reliée à b4.

4.b) Contrairement au système de Ptolémée celui de Copernic permet donc d'expliquer les phasesde Vénus observées à la lunette.

Devoir surveillé



samedi 13 décembre 2014

Un DS commun aura lieu samedi 13 décembre 2014, il portera sur toutes les ondes mécaniques avec les ondessonores.


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Introduction à l'optique ondulatoire Notes de cours - Physique …alain.lerille.free.fr/2014/Corriges12.pdf · physique année scolaire 2014/2015 Introduction à l'optique ondulatoire